精品解析：陕西省安康市2023-2024学年高二下学期6月期末质量联考数学试题

2023—2024学年度安康市高二年级期末质量联考 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 书架上有4本不同的科学类书籍，4本不同的文史类书籍，若从书架中任选1本书，则不同的选法有（ ） A. 4种 B. 8种 C. 12种 D. 16种 【答案】B 【解析】 【分析】根据分类加法原理结合题意求解即可. 【详解】根据题意可知，从4本不同的科学类书籍中任选1本，或从4本不同的文史类书籍中任选1本， 所以根据分类加法原理可知共有种不同的选法. 故选：B 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线方程直接求解即可 【详解】由，得， 所以， 即双曲线的渐近线方程为. 故选：A 3. 曲线在点处的切线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】函数，求导得，则，而， 所以所求切线方程为，即. 故选：B 4. 已知两个变量与的对应关系如下表： 1 3 5 7 9 6 18 39 53 若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（ ） A. 29 B. 30 C. 31 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，求出样本中心点，代入回归方程即可. 【详解】由题意，，， 样本中心点为代入回归方程，得， 解得. 故选：A 5. 的展开式中含有项的系数为（ ） A. 10 B. C. 20 D. 【答案】B 【解析】 【分析】变形给定的二项式，再求出的展开式中项即可得解. 【详解】依题意，，而的展开式中项为， 所以的展开式中含有项的系数为. 故选：B. 6. 某班举办知识竞赛，已知题库中有两种类型的试题，类试题的数量是类试题数量的两倍，且甲答对类试题的概率为，答对类试题的概率为，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用条件概率和全概率公式即可求解. 【详解】从题库中任选一题作答，选到类试题设为事件,选到类试题设为事件，由于类试题的数量是类试题数量的两倍，则． 从题库中任选一题作答甲答对设为事件, 甲答对类试题的概率为，则，甲答对类试题的概率为，则． 则． 故选：C. 7. 3名男生和3名女生随机站成一排，恰有2名女生相邻，则不同的排法种数为（ ） A. 332 B. 360 C. 432 D. 488 【答案】C 【解析】 【分析】先将3名男生全排列，形成4个空，然后从3名女生任选2名捆在一起，再与另一名女生去插空，再由分步乘法原理可求得结果. 【详解】先将3名男生全排列，有种不同的排法，形成4个空， 再从3名女生任选2名捆绑在一起，作为一个整体，与另一名女生去插空，有种排法， 所以由分步乘法原理可知共种排法. 故选：C 8. 已知是抛物线的准线，与轴交于点是上一点，直线的斜率的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当直线与抛物线相切时，斜率可取最大值，联立方程组，令，可得解. 【详解】根据题意，， 设直线：， 联立方程组，得， 当直线与抛物线相切时，斜率可取最大值， 令，即，得， 所以直线的斜率的最大值为1. 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 有最小值但没有最大值 B. 对于任意的，恒有 C. 仅有一个零点 D. 有两个极值点 【答案】BC 【解析】 【分析】求出函数的导数，并求出单调区间，再逐项判断即得. 【详解】函数的定义域为，求导得， 对于A，当时，，当且仅当时取等号，在上递增， 当时，，函数在上递减，因此函数有最大值，无最小值，A错误； 对于B，函数在上递增，，B正确； 对于C，由，得，仅有一个零点，C正确； 对于D，由选项A知，仅有一个极值点，D错误. 故选：BC 10. 已知数列满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 数列可能为常数列 B. 数列可能为等比数列 C. 若，则 D. 若，记是数列的前项积，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据常数列的定义，结合条件，判断A；根据等比数列的定义，判断为常数，判断B；根据数列的公比，并求数列的首项，利用等比数列的前项和公式判断C；结合数列的通项公式，并判断数列的单调性，即可判断D. 【详解】A.当时，，得或（舍）， 此时为常数列，故A正确； B.，， ， 若时，此时，不是等比数列， 若时，，此时数列为公比为2的等比数列，故B正确； C.若，，所以，故C错误； D.若，，数列是首项为，公比为的等比数列， ，数列单调递减，， 当时，，当时，， 所以的最大值为，故D正确. 故选：ABD 11. 袋中共有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个红球和2个白球，每次随机取1个，有放回地取球，则下列说法正确的是（ ） A. 若规定摸到3次红球即停止取球，则恰好取4次停止取球的概率为 B. 若进行了10次取球，记为取到红球的次数，则 C. 若规定摸到3次红球即停止取球，则在恰好取4次停止取球的条件下，第1次摸到红球的概率为 D. 若进行了10次取球，恰好取到次红球的概率为，则当时，最大 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由题意可知第4次取出的是红球，前3次中有2次红球，由独立事件概率公式求解判断，对于B，由题意可知，然后根据二项分布的方差公式求解判断，对于C，利用条件概率公式求解判断，对于D，由题意可得，设最大，然后列不等式组可求得的值进行判断. 【详解】对于A，由题意可知第4次取出的是红球，前3次中有2次红球，所以所求概率为，所以A错误， 对于B，由题意可知，所以，所以B正确， 对于C，记事件为恰好取4次停止取球，事件为第1次摸到红球，则 ，， 所以，所以C正确， 对于D，由题意可得，设最大，则 ，即， 解得，因为，所以，所以D正确， 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积求解直线l与平面法向量夹角的余弦值，即可得到直线与平面所成角的正弦值. 【详解】设直线与平面所成角为， 直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 则有. 故答案为：. 13. 已知分别为椭圆的左､右焦点，为上一点，则的离心率为__________，内切圆的半径为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 分析】第一空，将点代入得出方程，用公式求出离心率；第二空，画出图形，直角三角形中用等面积法求出内切圆半径即可. 【详解】第一空，将代入中，， 即，，则椭圆方程为， 离心率为：. 第二空，如图所示， 易得， 则，，， 因为(为三角形周长，为内切圆半径). 又，代入得，解得. 故答案为：；. 14. 设点在曲线上，点在曲线上，若的最小值为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由于曲线与曲线互为反函数，其图象关于对称，所以转化为的最小值为曲线上的点到直线的最小距离的两倍，然后利用导数的几何意义求出与直线平行且与相切的直线与曲线的切点，再列方程可求得结果. 【详解】因为曲线与曲线互为反函数，其图象关于对称， 所以的最小值为曲线上的点到直线的最小距离的两倍， 设与直线平行的直线与相切于点， 由，得， 所以，得，所以切点， 所以，解得或， 当时，，由，得，， 令，因为，， 所以在上至少有一个零点， 所以曲线与直线的最小距离为0，所以不合题意，舍去， 当，，由，得， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以，所以曲线与直线没有交点， 所以符合题意， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是将问题转化为的最小值为曲线上的点到直线的最小距离的两倍，从而得解. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知数列等差数列，且． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合等差数列性质求出公差，进而求出通项. （2）由（1）的结论求出，再利用裂项相消法求和即得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由，，解得， 又，则，解得， 所以的通项公式是. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以. 16. 某电商平台为了解消费者对新产品的满意度，从中随机调查了200名消费者的售后评分，得到的数据如下表： 年龄 5 2 3 6 9 14 11 20 33 34 30 25 2 1 2 3 把年龄在内的消费者称为青年，年龄在内的消费者称为中年，认为评分小于或等于80分的消费者对产品不满意，评分大于80分的消费者对产品满意. （1）完成如下表格，依据小概率值独立性检验，能否据此推断消费者对新产品的满意度与年龄有关？ 满意 不满意 合计 青年 中年 合计 （2）从表中评分在90分以上的消费者中任意选取3人电话回访，记为3人里面青年的人数，求的分布列及数学期望. 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，不能 （2）分布列见解析，期望为 【解析】 【分析】（1）根据给定的数据完善列联表，计算的观测值并回答得结论. （2）求出的所有可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望即可. 【小问1详解】 依题意，列联表如下： 满意 不满意 合计 青年 70 30 100 中年 60 40 100 合计 130 70 200 零假设为：消费者对新产品的满意度与年龄无关， ， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即可认为成立， 即不能推断消费者对新产品的满意度与年龄有关. 【小问2详解】 依题意，90分以上的有8人，其中青年人数为3，则的所有可能值是， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 期望. 17 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若恰有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，按照和 两种讨论即可； （2）根据（1）的结论，画出草图，根据图形得出结论即可. 【小问1详解】 由题意知：定义域为， 当时，    为上的减函数 当时，由，解得： 当时，；当时， 的单调递减区间为，单调递增区间为 综上所述：当时，为上的减函数； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为 【小问2详解】 由上问知道，当时，为上的减函数，不可能恰有两个零点； 当，的单调递减区间为，单调递增区间为， 则的极小值点为，极小值为， 草图如下， 若恰有两个零点，只需要最小值在轴下方即可，即， 解得，又，若恰有两个零点，求的取值范围为. 18. 学校组织一项竞赛，在初赛中有三轮答题，三轮答题相互独立，三轮答题至少两轮合格即视为通过初赛，进入决赛．已知甲在初赛中每轮答题合格的概率均为． （1）求甲在通过初赛的条件下，第三轮答题没有合格的概率． （2）已知决赛共有五道题，参赛人从中抽出三道题回答，每题的分值如下： 分值 10 20 20 20 30 答对该试题可得相应的分值，答错不得分，得分不低于60分可以获得一等奖．已知参加决赛的学生乙答对题的概率为，答对题的概率均为，答对题的概率为，求乙获得一等奖的概率． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定信息，利用条件概率公式计算即得. （2）将乙获得一等奖的事件分拆成试题中抽一题、抽两题、抽三题的3个互斥事件的和，再分别求出概率即可得解. 【小问1详解】 令甲通过初赛的事件为，甲第三轮答题没有合格的事件为， 则，， 所以甲在通过初赛的条件下，第三轮答题没有合格的概率为. 【小问2详解】 若乙在中只抽到一题，则获得一等奖的概率， 若乙在中只抽到两题，则获得一等奖的概率， 若乙在中只抽到三题，则获得一等奖的概率， 所以乙获得一等奖的概率. 19. 若函数满足对任意成立，则称为“反转函数”． （1）若是“反转函数”，求的取值范围． （2）①证明：为“反转函数”． ②设，证明：． 【答案】（1） （2）①②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“反转函数”的定义，分和两种情况讨论即可求出的取值范围； （2）①根据“反转函数”的定义证明，令，求导后可得在上递减，然后分和两种情况证明即可；②由①可得，当时，，令，则化简变形可得，然后累加可得结论. 【小问1详解】 当时，由，得， 所以，所，即， 所以，得， 因为在上递减，所以， 所以， 当时，由，得， 所以，所以，得， 所以， 因在上递增，所以， 所以， 综上，，即的取值范围为； 【小问2详解】 ①证明：令，则 ， 所以在上递减， 所以当时，，所以， 所以， 当时，，所以， 所以， 所以为“反转函数”； ②证明：由①知，当时，，即， 所以， 所以对任意时，， 所以， 整理得. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合，考查函数的新定义，考查利用导数证明不等式，第（2）问解题的关键是根据为反转函数可得当时，，然后令化简变形，考查计算能力和数学转化思想，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度安康市高二年级期末质量联考 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 书架上有4本不同的科学类书籍，4本不同的文史类书籍，若从书架中任选1本书，则不同的选法有（ ） A. 4种 B. 8种 C. 12种 D. 16种 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 曲线在点处的切线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知两个变量与的对应关系如下表： 1 3 5 7 9 6 18 39 53 若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（ ） A. 29 B. 30 C. 31 D. 32 5. 的展开式中含有项的系数为（ ） A. 10 B. C. 20 D. 6. 某班举办知识竞赛，已知题库中有两种类型的试题，类试题的数量是类试题数量的两倍，且甲答对类试题的概率为，答对类试题的概率为，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 3名男生和3名女生随机站成一排，恰有2名女生相邻，则不同的排法种数为（ ） A. 332 B. 360 C. 432 D. 488 8. 已知是抛物线的准线，与轴交于点是上一点，直线的斜率的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 有最小值但没有最大值 B. 对于任意的，恒有 C. 仅有一个零点 D. 有两个极值点 10. 已知数列满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 数列可能常数列 B. 数列可能为等比数列 C 若，则 D. 若，记是数列的前项积，则的最大值为 11. 袋中共有5个除颜色外完全相同球，其中有3个红球和2个白球，每次随机取1个，有放回地取球，则下列说法正确的是（ ） A. 若规定摸到3次红球即停止取球，则恰好取4次停止取球的概率为 B. 若进行了10次取球，记为取到红球的次数，则 C. 若规定摸到3次红球即停止取球，则在恰好取4次停止取球的条件下，第1次摸到红球的概率为 D. 若进行了10次取球，恰好取到次红球的概率为，则当时，最大 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为__________． 13. 已知分别为椭圆的左､右焦点，为上一点，则的离心率为__________，内切圆的半径为__________. 14. 设点在曲线上，点在曲线上，若的最小值为，则__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是等差数列，且． （1）求通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 某电商平台为了解消费者对新产品的满意度，从中随机调查了200名消费者的售后评分，得到的数据如下表： 年龄 5 2 3 6 9 14 11 20 33 34 30 25 2 1 2 3 把年龄在内的消费者称为青年，年龄在内的消费者称为中年，认为评分小于或等于80分的消费者对产品不满意，评分大于80分的消费者对产品满意. （1）完成如下表格，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断消费者对新产品的满意度与年龄有关？ 满意 不满意 合计 青年 中年 合计 （2）从表中评分在90分以上的消费者中任意选取3人电话回访，记为3人里面青年的人数，求的分布列及数学期望. 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6635 7.879 10.828 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若恰有两个零点，求的取值范围． 18. 学校组织一项竞赛，在初赛中有三轮答题，三轮答题相互独立，三轮答题至少两轮合格即视为通过初赛，进入决赛．已知甲在初赛中每轮答题合格的概率均为． （1）求甲在通过初赛的条件下，第三轮答题没有合格的概率． （2）已知决赛共有五道题，参赛人从中抽出三道题回答，每题的分值如下： 分值 10 20 20 20 30 答对该试题可得相应的分值，答错不得分，得分不低于60分可以获得一等奖．已知参加决赛的学生乙答对题的概率为，答对题的概率均为，答对题的概率为，求乙获得一等奖的概率． 19. 若函数满足对任意成立，则称为“反转函数”． （1）若是“反转函数”，求的取值范围． （2）①证明：为“反转函数”． ②设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$