1.3集合的基本运算讲义-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

授课主题 集合的基本运算 年 级 高一 知 识 梳 理 一．并集 1.自然语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集. 记作：A∪B读作：“A并B” 2.符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}. 3.图形语言：如图所示. 4.运算性质：A∪B＝B∪A，A⊆A∪B，B⊆A∪B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A. 如果A⊆B，则A∪B＝B，反之也成立. 5.概念理解 （1）并集中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况： “x∈A但x∉B”，“x∈B但x∉A”，“x∈A且x∈B”，如下图所示： 　　　 （2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次). 二．交集 1.自然语言：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的交集. 记作：A∩B，读作：“A交B” 2.符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}. 3.图形语言：如图所示. 4.运算性质：A∩B＝B∩A，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩A＝A，A∩∅＝∅∩A＝∅. 如果A⊆B，则A∩B＝A，反之也成立. 5.概念理解 (1)交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素. (2)两个集合若没有公共元素，则二者的交集为∅.　　 (3)两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合 三．全集、补集的概念 1.全集 ①定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集. ②记法：全集通常记作U. 2.补集 (1)文字语言：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作CUA (2)符号语言：CUA＝{x|x∈U，且x∉A} (3)图形语言 (4)符号CUA有三层意思： ①A是U的子集，即A⊆U； ②CUA表示一个集合，且(CUA) ⊆U； ③CUA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即CUA＝{x|x∈U，且x∉A}． 3.概念理解 （1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同． （2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集． （3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即） 例题讲解 知识点一、并集 例1、已知集合，，则(    ) A． B． C． D． 例2、集合，，则(    ) A． B． C． D． 例3、设集合M={3，a}，N={x|x2－2x＜0，xZ}，M∩N={1}，则M∪N为（ ）． A． {1，2，a} B． {1，2，3，a} C． {1，2，3} 　D． {1，3} 练习： 1．已知集合，，则中的元素个数为(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 2．设集合，，则(    ) A． B． C． D． 3．已知集合，满足，则(    ) A． B． C． D． 知识点二、交集 例1、设集合，，则(    ) A． B． C． D． 例2、已知集合，，则(    ) A． B． C． D． 例3、设集合，，则图阴影区域表示的集合是(    ) A． B． C． D． 例4、已知；，则A∩B＝（ ） A． B． C．[－2，2] D． 练习： 1．(2023春·北京海淀)已知集合，，则(    ) A． B． C． D． 2．设集合，，则(    ) A． B． C． D． 3．已知集合，，则(    ) A． B． C． D． 4．设A、B分别是一元二次方程2x2+px+q=0与6x2+(2-p)x+5+q=0的解集，且A∩B={}，求A∪B. 知识点三、补集、全集 例1、已知集合，，则(    ) A． B．或 C．或 D．或 例2、设全集及集合与，则如图阴影部分所表示的集合为(    ) A． B． C． D． 例3、已知全集，求CuA. 练习： 1．设全集，集合，集合，则(    ) A． B． C． D． 2．设全集，集合，则(    ) A． B． C． D． 3．设全集，，，则图中阴影部分所表示的集合为(    ) A． B．C． D． 4．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为(    ) A． B． C． D． 知识点四、集合运算的综合运用 例1、已知集合，，，则(    ) A． B． C． D． 例2、已知集合，，且，都是全集的子集，则下图韦恩图中阴影部分表示的集合为(    )    A． B． C． D． 例3. 设全集U={xN+|x≤8}，若A∩(CuB)={1，8}，(CuA)∩B={2，6}，(CuA)∩(CuB)={4，7}，求集合A，B. 例4、有三支股票位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票.在不持有股票的人中，持有股票的人数是持有股票的人数的2倍.在持有股票的人中，只持有股票的人数比除了持有股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有股票.则只持有股票的股民人数是(    ) A．7 B．6 C．5 D．4 练习： 1．已知全集，则(    ) A． B． C． D． 2． (多选)已知全集U={1,2,3,4,5,6}，集合P={1,3,5}，Q={1,2,4}，则下列结论正确的是(　　) A． ={1} B． ={1,2,3,4,5,6} C． ={1,2,4,6} D．={3,5} 3． (多选)已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，集合B＝{x||x|≤2}，则下列关系式正确的是(　　) A．A∩B＝ B．A∪B＝{x|－2≤x≤3} C．A∪＝{x|x≤－1或x＞2} D．A∩＝{x|2＜x≤3} 4．已知集合，且M，N都是全集U的子集，则如图的韦恩图中阴影部分表示的集合为(    )    A． B． C． D． 5．如图，是全集，，，是的三个子集，则图中阴影部分表示(    )    A． B． C． D． 6．某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有(    )名 A．7 B．8 C．9 D．10 知识点五、求参数 例1、已知集合，，，则(    )． A．1 B．2 C．3 D．4 例2、设集合，，若，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 例3、设集合或，若，则的取值范围是(    ) A．或 B．或 C． D． 例4、已知集合A={x|－4≤x＜2}， B={x|－1≤x＜3}，C={x|x≥a，a∈R}． （1）若（A∪B）∩C=，求实数a的取值范围； （2）若（A∪B）C，求实数a的取值范围． 例5、(多选)已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是(    ) A． B． C． D． 例6、 设集合. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 练习： 1．设全集，集合，则(    ) A． B．2 C． D． 2．已知集合，． (1)若，实数的取值范围是____________________． (2)若，实数的取值范围是____________________． (3)若，实数的取值范围是____________________． 3．在①；②这二个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题. 问题：已知集合. (1)当时，求； (2)若__________，求实数的取值范围. 4．已知集合，，全集为. (1)求集合； (2)若，求实数m的取值范围. 5.已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值范围是（ ） A．(-∞, -1] B．[1, +∞） C．[-1，1] D．（-∞，-1] ∪[1，+∞） 6．已知集合，．请从①，②，③这三个条件中选一个填入(2)中横线处，并完成第(2)问的解答．(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围． 7．设A={x｜x2+4x=0}，B={x｜x2+2(a+1)x+a2－1=0}，其中x∈R，如果A∩B=B，求实数a的取值范围． 举一反三 1．已知集合，则(    ) A． B．C． D． 2．已知集合，，则(    ) A． B． C． D． 3．设全集，，则)等于(    ) A． B． C． D． 4．已知全集，则图中阴影部分代表的集合为(    ) A． B． C． D． 5．设全集，集合，，则=(    ) A． B． C． D． 6．设A、B、C是三个集合，若，则下列结论不正确的是(    )． A． B． C． D． 7．已知集合，，，则(    ) A． B． C． D． 8．已知集合，则(    ) A． B． C． D． 9．已知集合，集合，则(　　) A． B． C． D． 10．已知全集，集合，，则(    ) A． B． C． D． 11．设集合，集合，，则(    ) A． B． C． D． 12．若全集，，，则集合等于(    ) A． B． C． D． 13．如图所示，、是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，则(    ) A． B． C． D． 14． (多选)已知集合，，下列判断正确的是(    ) A． B． C． D． 15． (多选)图中阴影部分用集合符号可以表示为(       ) A． B． C． D． 16． (多选题)设全集U＝{x|x2－8x＋15＝0，x∈R}．＝{x|ax－1＝0}，则实数a的值为(    ) A．0 B． C． D．2 17．已知.若，则实数m的取值范围为________. 18．已知集合，，，则实数______． 19．某班有学生45人，经调查发现，喜欢打篮球的学生有20人，喜欢打羽毛球的学生有32人，其中既喜欢打篮球，又喜欢打羽毛球的学生有15人，则该班学生中既不喜欢打篮球，也不喜欢打羽毛球的学生有____人． 20．设集合, (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 21．已知集合，集合． (1)若时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 22．已知集合，． (1)若，求； (2)若 ，求实数的取值范围． 请从条件①，条件②，这两个条件中选一个填入(2)中横线处，并完成第(2)问的解答． 23．已知全集，集合． (1)若且，求实数的值； (2)设集合，若的真子集共有3个，求实数的值． 24．设全集 ，，． (1)若 ，求 ． (2)若 ，求实数 的取值范围． 25．已知集合，或． (1)当时，求； (2)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在(2)问中的横线上，并求解，若__________，求实数的取值范围． (注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 26．已知集合，． (1)当时，求集合； (2)若，满足：①，②，从①②中任选一个作为条件，求实数的取值范围． 27．设全集为R，集合，. (1)若，求； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围. 课 后 作 业 1． (多选)我们已经学过了集合的并、交、补等几种基本运算，而集合还有很多其他的基本运算．设，为两个集合，称由所有属于集合但不属于集合的元素组成的集合为集合与集合的差集，记为，即．下列表达式一定正确的是(    ) A． B． C． D． 2． (多选)对于集合 ，定义，且，下列命题正确的有(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，，或，则 D．若，，则，或 3．对于集合，定义，，设，，则(    ) A． B． C． D． 4．设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”(规定与是两个不同的“理想配集”)的个数是(    ) A．16 B．9 C．8 D．4 5．集合各有8个元素,有6个元素,若集合满足:,则满足条件的集合有(    ) A．32个 B．16个 C．8个 D．4个 6．对于正整数集合，，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，我们就称集合为“和谐集” (1)判断集合是否是“和谐集”，并说明理由． (2)判断集合是否是“和谐集”，并说明理由． (3)求证：集合不是和谐集． 7．已知是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集. (1)判断集合是否为封闭集，并说明理由； (2)判断以下两个命题的真假，并说明理由； 命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集； 命题：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集； (3)若非空集合是封闭集合，且为全体实数集，求证：不是封闭集. 8．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题. 设集合 ，集合. (1)若集合B的子集有2个，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分. 9．对于给定的数集A． 若对于任意，有，且，则称集合A为闭集合. (1)判断集合是否为闭集合； (2)若集合A，B为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由； (3)若集合A，B为闭集合，且，，证明：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 集合的基本运算 年 级 高一 知 识 梳 理 一．并集 1.自然语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集. 记作：A∪B读作：“A并B” 2.符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}. 3.图形语言：如图所示. 4.运算性质：A∪B＝B∪A，A⊆A∪B，B⊆A∪B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A. 如果A⊆B，则A∪B＝B，反之也成立. 5.概念理解 （1）并集中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况： “x∈A但x∉B”，“x∈B但x∉A”，“x∈A且x∈B”，如下图所示： 　　　 （2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次). 二．交集 1.自然语言：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的交集. 记作：A∩B，读作：“A交B” 2.符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}. 3.图形语言：如图所示. 4.运算性质：A∩B＝B∩A，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩A＝A，A∩∅＝∅∩A＝∅. 如果A⊆B，则A∩B＝A，反之也成立. 5.概念理解 (1)交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素. (2)两个集合若没有公共元素，则二者的交集为∅.　　 (3)两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合 三．全集、补集的概念 1.全集 ①定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集. ②记法：全集通常记作U. 2.补集 (1)文字语言：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作CUA (2)符号语言：CUA＝{x|x∈U，且x∉A} (3)图形语言 (4)符号CUA有三层意思： ①A是U的子集，即A⊆U； ②CUA表示一个集合，且(CUA) ⊆U； ③CUA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即CUA＝{x|x∈U，且x∉A}． 3.概念理解 （1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同． （2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集． （3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即） 例题讲解 知识点一、并集 例1、已知集合，，则(    ) A． B． C． D． 【解析】因为，，所以.故选：D 例2、集合，，则(    ) A． B． C． D． 【解析】因为，，所以.故选：B. 例3、设集合M={3，a}，N={x|x2－2x＜0，xZ}，M∩N={1}，则M∪N为（ ）． A． {1，2，a} B． {1，2，3，a} C． {1，2，3} 　D． {1，3} 【解析】由N={x|x2－2x＜0，xZ}可得：N={x|0＜x＜2，xZ}={1}，又由M∩N={1}，可知1M，即a=1，故选D． 练习： 1．已知集合，，则中的元素个数为(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】由题设，所以，故其中元素共有4个．故选：B 2．设集合，，则(    ) A． B． C． D． 【解析】集合，，则故选：D. 3．已知集合，满足，则(    ) A． B． C． D． 【解析】集合与集合的关系不能用元素与集合的关系来表示，故C、D错误，而说明中元素都在集合中，故.故选：B. 知识点二、交集 例1、设集合，，则(    ) A． B． C． D． 【解析】由题意可得：.故选：A 例2、已知集合，，则(    ) A． B． C． D． 【解析】，，则.故选：C 例3、设集合，，则图阴影区域表示的集合是(    ) A． B． C． D． 【解析】由题意可知，图阴影区域表示的集合是, 所以.故选：A. 例4、已知；，则A∩B＝（ ） A． B． C．[－2，2] D． 【解析】（1）集合A、B均表示构成相关函数的因变量取值范围，故可知：A={y|y≥－2}，B={y|y≤2}，所以A∩B={y|－2≤y≤2}，选C． 练习： 1．(2023春·北京海淀)已知集合，，则(    ) A． B． C． D． 【解析】因为集合，，则.故选：B. 2．设集合，，则(    ) A． B． C． D． 【解析】由题，.故选：B 3．已知集合，，则(    ) A． B． C． D． 【解析】由题意得，，，所以 故选：B 4．设A、B分别是一元二次方程2x2+px+q=0与6x2+(2-p)x+5+q=0的解集，且A∩B={}，求A∪B. 【解析】∵A∩B={}，∴是方程2x2+px+q=0的解，则有：(1)， 同理有：6()2+(2-p)·+5+q=0(2)联立方程(1)(2)得到：∴方程(1)为2x2+7x-4=0， ∴方程的解为：x1=， x2=-4， ∴ ， 由方程(2) 6x2-5x+1=0，解得：x3=， x4=，∴B={， }，则A∪B={， ，-4}. 知识点三、补集、全集 例1、已知集合，，则(    ) A． B．或 C．或 D．或 【解析】因为集合，，故或.故选：B. 例2、设全集及集合与，则如图阴影部分所表示的集合为(    ) A． B． C． D． 【解析】依题意图中阴影部分所表示的集合为．故选：D． 例3、已知全集，求CuA. 【解析】当时，方程无实数解. 此时.CuA= 当时，二次方程的两个根，必须属于. 因为，所以只可能有下述情形： 当时，，此时 CuA=； 当时，，此时 CuA=. 综上所述，当时，CuA=； 当时，CuA=； 当时，CuA=. 练习： 1．设全集，集合，集合，则(    ) A． B． C． D． 【解析】因为，，所以，又，所以， 故选：C. 2．设全集，集合，则(    ) A． B． C． D． 【解析】， ，.故选:C. 3．设全集，，，则图中阴影部分所表示的集合为(    ) A． B．C． D． 【解析】由，解得或，所以， 由，解得或，所以， 所以，又，则图中阴影部分为.故选：D 4．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为(    ) A． B． C． D． 【解析】全集为U，集合，，,图中阴影部分表示是去掉的部分，故表示的集合是．故选：D． 知识点四、集合运算的综合运用 例1、已知集合，，，则(    ) A． B． C． D． 【解析】由题可得，则.故选：C. 例2、已知集合，，且，都是全集的子集，则下图韦恩图中阴影部分表示的集合为(    )    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 所以，图中阴影部分表示的集合为，所以.故选：C 例3. 设全集U={xN+|x≤8}，若A∩(CuB)={1，8}，(CuA)∩B={2，6}，(CuA)∩(CuB)={4，7}，求集合A，B. 【答案】A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6} 【解析】全集U={1，2，3，4，5，6，7，8} 由A∩(CuB)={1，8}知，在A中且不在B中的元素有1，8；由(CuA)∩B={2，6}，知不在A中且在B中的元素有2，6；由(CuA)∩(CuB)={4，7}，知不在A中且不在B中的元素有4，7，则元素3，5必在A∩B中. 由集合的图示可得 A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}. 例4、有三支股票位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票.在不持有股票的人中，持有股票的人数是持有股票的人数的2倍.在持有股票的人中，只持有股票的人数比除了持有股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有股票.则只持有股票的股民人数是(    ) A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【解析】由题意，设只持有股票的人数为， 则持有股票还持有其它殸票的人数为 (图中的和 )， ∵只持有一支股票的人中, 有一半没持有或股票, ∴只持有了和股票的人数和为 (图中部分) . 假设只同时持有了和股票的人数为, ∴, 即， 则的取值可能是, 与之对应的值为, ∵没持有股票的股民中，持有股票的人数是持有股票的人数的2倍 ∴，即， ∴时满足题意，此时, ∴只持有股票的股民人数是, 故选：A.    练习： 1．已知全集，则(    ) A． B． C． D． 【解析】，，，，故=.故选D. 2． (多选)已知全集U={1,2,3,4,5,6}，集合P={1,3,5}，Q={1,2,4}，则下列结论正确的是(　　) A． ={1} B． ={1,2,3,4,5,6} C． ={1,2,4,6} D．={3,5} 【解析】∵P={1,3,5}，Q={1,2,4}，∴={1}，={1,2,3,4,5}. 又={2,4,6}，={3,5,6}，∴={1,2,4,6}，={3,5}.故选：ACD. 3． (多选)已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，集合B＝{x||x|≤2}，则下列关系式正确的是(　　) A．A∩B＝ B．A∪B＝{x|－2≤x≤3} C．A∪＝{x|x≤－1或x＞2} D．A∩＝{x|2＜x≤3} 【解析】因为A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2}， 所以A∩B＝{x|－1＜x≤3}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|－1＜x≤2}，故A错误； A∪B＝{x|－1＜x≤3}∪{x|－2≤x≤2}＝{x|－2≤x≤3}，故B正确； 因为＝{x|x＜－2或x＞2}，所以A∪＝{x|－1＜x≤3}∪{x|x＜－2或x＞2}＝{x|x＜－2或x＞－1}，故C错误；A∩＝{x|－1＜x≤3}∩{x|x＜－2或x＞2}＝{x|2＜x≤3}，故D正确. 故选：BD. 4．已知集合，且M，N都是全集U的子集，则如图的韦恩图中阴影部分表示的集合为(    )    A． B． C． D． 【解析】由韦恩图可知阴影部分表示， ∵，∴．故选：C. 5．如图，是全集，，，是的三个子集，则图中阴影部分表示(    )    A． B． C． D． 【解析】如图所示，对于A，对应的是区域1；对于B，对应的是区域2； 对于C，对应的是区域3；对于D，对应的是区域4．故选：B．    7．某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有(    )名 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【解析】画三个圆分别代表数学、物理、化学的人， 因为有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛， 参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、化两科的有5名， 只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名， 所以单独参加数学的有人， 单独参加物理的有人，单独参加化学的有， 故参赛人数共有人，没有参加任何竞赛的学生共有人.故选：D.    知识点五、求参数 例1、已知集合，，，则(    )． A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】，当即时，，不符合题意； 当即时，，此时.所以.故选：B. 例2、设集合，，若，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【解析】因为，所以，当，即时，，符合题意； 当时，则，解得，综上所述实数的取值范围为.故选：C. 例3、设集合或，若，则的取值范围是(    ) A．或 B．或 C． D． 【解析】由集合或，得，又集合且，则2或，即或.故选：B. 例4、已知集合A={x|－4≤x＜2}， B={x|－1≤x＜3}，C={x|x≥a，a∈R}． （1）若（A∪B）∩C=，求实数a的取值范围； （2）若（A∪B）C，求实数a的取值范围． 【答案】（1）a≥3 （2）a≤－4 【解析】（1）∵A={x|－4≤x＜2}， B={x|－1≤x＜3}，又（A∪B）∩C=，如图，a≥3； （2）画数轴同理可得：a≤－4． 例5、(多选)已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是(    ) A． B． C． D． 【解析】①当时，令，得，此时符合题意； ②当时，，得，则或， 因为，所以或，解得或， 因为，所以.综上，m的取值范围为或，故选：BC 例6、 设集合. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【解析】 首先化简集合，得. （1）由，则有，可知集合为，或为、，或为. ①若时，，解得. ②若,代入得. 当时，符合题意； 当时，也符合题意. ③若，代入得，解得或. 当时，已讨论，符合题意； 当时，，不符合题意. 由①②③，得或. （2）.又，而至多只有两个根，因此应有，由（1）知. 练习： 1．设全集，集合，则(    ) A． B．2 C． D． 【解析】由题意全集，集合， 可得，解得或， 当时，，则不合题意， 时，， ，符合题意，故，故选：B. 2．已知集合，． (1)若，实数的取值范围是____________________． (2)若，实数的取值范围是____________________． (3)若，实数的取值范围是____________________． 【解析】①若，得，所以实数a的取值范围是； ②因为，即，所以，所以若，则，则实数a的取值范围是； ③若，即，所以，则实数a的取值范围是. 故答案为：①；②；③. 3．在①；②这二个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题. 问题：已知集合. (1)当时，求； (2)若__________，求实数的取值范围. 【解析】(1)当时，集合，所以； (2)若选择①，则，因为，所以，又， 所以，解得，所以实数的取值范围是若选择②， 因为，所以，又所以或，解得或， 所以实数的取值范围是或 4．已知集合，，全集为. (1)求集合； (2)若，求实数m的取值范围. 【解析】(1)，. (2)由得，，当时，由，可得，即； 当时，由，且，可得，解得， 综上所述，实数m的取值范围为. 5.已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值范围是（ ） A．(-∞, -1] B．[1, +∞） C．[-1，1] D．（-∞，-1] ∪[1，+∞） 【解析】｛︱｝又 ， ∴，∴ 故选C． 6．已知集合，．请从①，②，③这三个条件中选一个填入(2)中横线处，并完成第(2)问的解答．(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围． 【解析】(1)由题得，．当时，，∴； (2)选择①．∵，∴， 当时，，不满足，舍去；当时，，要使，则，解得； 当时，，此时，不满足，舍去．综上，实数的取值范围为． 选择②，∵，∴，当时，，不满足，舍去； 当时，，要使，则，解得； 当时，，此时，不满足，舍去．综上，实数的取值范围为． 选择③，∵，∴，当时，，不满足，舍去； 当时，，要使，则，解得； 当时，，此时，不满足，舍去．综上，实数的取值范围为． 7．设A={x｜x2+4x=0}，B={x｜x2+2(a+1)x+a2－1=0}，其中x∈R，如果A∩B=B，求实数a的取值范围． 【解析】A={x｜x2+4x=0}={0，－4}，∵A∩B=B知，，∴B={0}或B={－4}或B={0，－4}或， 若B={0}时，x2+2(a+1)x+a2－1=0有两个相等的根0，则，∴a=－1， 若B={－4}时，x2+2(a+1)x+a2－1=0有两个相等的根－4，则，∴a无解， 若B={0，－4}时，x2+2(a+1)x+a2－1=0有两个不相等的根0和－4，则，∴a=1， 当时，x2+2(a+1)x+a2－1=0无实数根，Δ=[2(a+1)]2－4(a2－1)=8a+8＜0，得a＜－1， 综上，a=1或a≤－1． 举一反三 1．已知集合，则(    ) A． B．C． D． 【解析】由题意，，， 根据交集的运算可知，.故选：A 2．已知集合，，则(    ) A． B． C． D． 【解析】根据并集的运算可知，.故选：A. 3．设全集，，则)等于(    ) A． B． C． D． 【解析】由题意，则，故，故选：C 4．已知全集，则图中阴影部分代表的集合为(    ) A． B． C． D． 【解析】由题意，而阴影部分为.故选：C 5．设全集，集合，，则=(    ) A． B． C． D． 【解析】因为全集，， 所以，又因为，所以故选：D． 6．设A、B、C是三个集合，若，则下列结论不正确的是(    )． A． B． C． D． 【解析】,,,，故B正确； ，,,故AD正确；故选：C 7．已知集合，，，则(    ) A． B． C． D． 【解析】集合，， 对于A：，A错误； 对于B：，B错误； 对于C：，C正确； 对于D：，D错误.故选：C. 8．已知集合，则(    ) A． B． C． D． 【解析】所求中的元素需满足或解得 或，所以共有两个元素满足.故选：C. 9．已知集合，集合，则(　　) A． B． C． D． 【解析】因为集合，集合， 所以，故AC均错误；，故B正确，D错误．故选：B． 10．已知全集，集合，，则(    ) A． B． C． D． 【解析】，全集，故．故选：C 11．设集合，集合，，则(    ) A． B． C． D． 【解析】由题意可得，则，选项A正确； ，则，选项B错误； ，则或，选项C错误； 或，则或，选项D错误；故选：A. 12．若全集，，，则集合等于(    ) A． B． C． D． 【解析】因为全集，，，因为，，，， ，， 则集合 ， 故A、B、C错误，D正确.故选：D． 13．如图所示，、是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，则(    ) A． B． C． D． 【解析】由韦恩图可知，， 因为，， 则，，因此，.故选：D. 14． (多选)已知集合，，下列判断正确的是(    ) A． B． C． D． 【解析】因为集合， 集合， 所以，，，故选：ABD. 15． (多选)图中阴影部分用集合符号可以表示为(       ) A． B． C． D． 【解析】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为， 所以选项AD正确，选项CD不正确，故选：AD. 16． (多选题)设全集U＝{x|x2－8x＋15＝0，x∈R}．＝{x|ax－1＝0}，则实数a的值为(    ) A．0 B． C． D．2 【解析】U＝{3，5}，若a＝0，则，此时A＝U；若a≠0，则＝.此时＝3或＝5， ∴a＝或a＝.综上a的值为0或或.故选：ABC 17．已知.若，则实数m的取值范围为________. 【解析】已知集合，且，或 当时，，解得，符合题意；当时，且， 则或，解得，综上：实数的取值范围为或. 18．已知集合，，，则实数______． 【解析】，.，，即.当时，得，分别代入集合与集合中得：，，此时不符合题意，舍去；当，得或，将分别代入集合与集合中得：，，不符合题意，舍去； 将分别代入集合与集合中得：，，符合题意.综上所述：.故答案为：. 19．某班有学生45人，经调查发现，喜欢打篮球的学生有20人，喜欢打羽毛球的学生有32人，其中既喜欢打篮球，又喜欢打羽毛球的学生有15人，则该班学生中既不喜欢打篮球，也不喜欢打羽毛球的学生有____人． 【解析】设全集为，集合表示喜欢打篮球的学生，集合表示喜欢打羽毛球的学生， 如图所示，由图可得该班学生中既不喜欢打篮球，也不喜欢打羽毛球的学生有人． 故答案为：8    20．设集合, (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】(1)当时，，； (2)，当时，满足题意，此时，解得； 当时，解得， 实数m的取值范围为. 21．已知集合，集合． (1)若时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】1)因为，当时，， 又因为，所以．因为或， 所以或； (2)时，当时，，解得， 当时，或，解得或， 综上，实数的取值范围是或. 22．已知集合，． (1)若，求； (2)若 ，求实数的取值范围． 请从条件①，条件②，这两个条件中选一个填入(2)中横线处，并完成第(2)问的解答． 【解析】(1)∵当时，集合，∴． (2)选择①若，∴，∴当时，，解得； 当时，，解得，满足题意；综上所述：实数的取值范围是． 选择②若，∵或，∴时，，解得； 当时，，解得满足题意；综上所述：实数的取值范围是． 23．已知全集，集合． (1)若且，求实数的值； (2)设集合，若的真子集共有3个，求实数的值． 【解析】(1)由题意，，所以， 若，则或，解得或，又，所以； (2)因为，当时，，此时集合共有1个真子集，不符合题意； 当即时，，此时集合共有3个真子集，符合题意，综上所述， 24．设全集 ，，． (1)若 ，求 ． (2)若 ，求实数 的取值范围． 【解析】(1)当时，，， 所以或，； (2)全集 ，，或， ，分，两种情况讨论. (1)当时，如图可得，或，或； (2)当时，应有：，解得；综上可知，或， 故得实数 的取值范围. 25．已知集合，或． (1)当时，求； (2)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在(2)问中的横线上，并求解，若__________，求实数的取值范围． (注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 【解析】(1)解：当时，，或， 所以，，因此，. (2)解：若选①，当时，则时，即当时，成立， 当时，即当时，即当时， 由可得，解得，此时.综上，； 若选②，当时，则时，即当时，成立， 当时，即当时，即当时， 由可得，解得，此时.综上，； 若选③，由可得， 当时，则时，即当时，成立，当时，即当时，即当时， 由可得，解得，此时.综上，. 26．已知集合，． (1)当时，求集合； (2)若，满足：①，②，从①②中任选一个作为条件，求实数的取值范围． 【解析】(1)当时，求集合，. (2)若选择条件①，，当时，，解得，当时， 由可得或，解得或， 综上的取值范围是. 若选择条件②，则集合是集合的子集，当时，，解得， 当时，有，解得，综上的取值范围是. 27．设全集为R，集合，. (1)若，求； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围. 【解析】(1)因为，∴. 又，∴，∴. (2)选择①，作为已知条件.∵，∴，又由得： 当时，，解得；当时，或， ∴或，∴或.综上，可得a的取值范围为. 选择②，作为已知条件，∵，∴，又由得： 当时，，解得；当时，或， ∴或，∴或.综上，可得a的取值范围为. 选择③，作为已知条件，∵，∴，又由得： 当时，，解得；当时，或， ∴或，∴或.综上，可得a的取值范围为. 28．已知， (1)写出集合A的所有真子集； (2)设全集，求：，； (3)若，求集合. 【解析】(1)集合的所有真子集为： (2)，， 则，又，则， (3)由，可得 课 后 作 业 1． (多选)我们已经学过了集合的并、交、补等几种基本运算，而集合还有很多其他的基本运算．设，为两个集合，称由所有属于集合但不属于集合的元素组成的集合为集合与集合的差集，记为，即．下列表达式一定正确的是(    ) A． B． C． D． 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，因为，，所以，故C正确； 对于D，因为，，所以，故D正确.故选： 2． (多选)对于集合 ，定义，且，下列命题正确的有(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，，或，则 D．若，，则，或 【解析】因为，且，所以若，则，故A正确， 若，则,则，故B正确; ，，或，则，故C正确， 若，，则，， 或，故D错误.故选：ABC 3．对于集合，定义，，设，，则(    ) A． B． C． D． 【解析】集合，，则，， 由定义可得：且， 且， 所以，选项 ABD错误，选项C正确.故选：C． 4．设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”(规定与是两个不同的“理想配集”)的个数是(    ) A．16 B．9 C．8 D．4 【解析】由题意，对子集分类讨论： 当集合，集合可以是，共4种结果； 当集合，集合可以是，共2种结果； 当集合，集合可以是，共2种结果； 当集合，集合可以是，共1种结果， 根据计数原理，可得共有种结果.故选：B. 5．集合各有8个元素,有6个元素,若集合满足:,则满足条件的集合共有(    ) A．32个 B．16个 C．8个 D．4个 【解析】由题知各有8个元素,且有6个元素, 设,且, 则画图如下: 因为,所以 所以集合中至少有,6个元素,最多有,10个元素, 只需求出的子集,在每个子集中加入6个元素,即可得集合, 所以集合的个数,即是的子集的个数个.故选:B 6．对于正整数集合，，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，我们就称集合为“和谐集” (1)判断集合是否是“和谐集”，并说明理由． (2)判断集合是否是“和谐集”，并说明理由． (3)求证：集合不是和谐集． 【解析】(1)集合不是“和谐集”，理由如下： 对于集合，当去掉元素3时，剩余元素之和为7，不能分为两个交集这空集且这两个集合的所有元素之和相等的集合， 所以集合不是“和谐集”， (2)集合是“和谐集”，理由如下： 当去掉元素1时，有， 当去掉元素3时，有， 当去掉元素5时，有， 当去掉元素7时，有， 当去掉元素9时，有， 当去掉元素11时，有， 当去掉元素13时，有， 所以集合是“和谐集”， (3)证明：假设集合是“和谐集”， 不妨设， 则必能将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 所以有①，或②， 也必能将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 所以有③，或④， 由①③，得，矛盾， 由①④，得，矛盾， 由②③，得，矛盾， 由②④，得，矛盾， 所以假设不成立， 所以集合不是和谐集. 7．已知是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集. (1)判断集合是否为封闭集，并说明理由； (2)判断以下两个命题的真假，并说明理由； 命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集； 命题：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集； (3)若非空集合是封闭集合，且为全体实数集，求证：不是封闭集. 【解析】(1)解：对于集合 因为，所以是封闭集； 对于集合，因为，，， 所以集合是封闭集； (2)解：对命题：令， 则集合是封闭集，如，但不是封闭集，故错误； 对于命题：设，则有，又因为集合是封闭集，所以， 同理可得，所以，所以是封闭集，故正确； (3)证明：因为非空集合是封闭集合，且所以， 假设是封闭集，由(2)的命题可知：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集， 又因为，所以不是封闭集.得证. 8．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题. 设集合 ，集合. (1)若集合B的子集有2个，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分. 【解析】(1)集合B的子集有2个，集合B元素个数为1.，即 解得： (2)选①：集合， 对集合B讨论：当时，即时，，满足条件； 当时，即，此时，满足； 当时，要满足条件，必有 ， 由根与系数的关系有：，此方程组无解，不满足条件舍去 综上所述，实数的取值范围是 选②：集合， ， 对集合B讨论： 当时，即时，，满足条件； 当时，即，此时，满足条件； 当时，要满足条件，必有 ， 由根与系数的关系有：，此方程组无解，不满足条件舍去 综上所述，实数的取值范围是 选③：集合， ， 对集合B讨论： 当时，即时，，满足条件； 当时，即，此时，满足条件； 当时，要满足条件，必有 ， 由根与系数的关系有：，此方程组无解，不满足条件舍去 综上所述，实数的取值范围是 9．对于给定的数集A． 若对于任意，有，且，则称集合A为闭集合. (1)判断集合是否为闭集合； (2)若集合A，B为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由； (3)若集合A，B为闭集合，且，，证明：. 【解析】(1)对于集合，，但，所以不是闭集合. 对于集合，任取，设， 则，，所以， ，，所以，所以是闭集合. (2)不一定，理由如下：令，，同理(1)可证得是闭集合， ，但，不是闭集合. (3)反证法：若，因为闭集合满足，存在，则. 同理，因为闭集合满足，存在，则.因为，所以或. 若，则由于为闭集合，，与矛盾. 若，则由于为闭集合，，与矛盾. 综上所述，存在，使得，即. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$