精品解析：重庆市丰都县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年重庆市丰都县八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号对应的正确答案的方框涂黑． 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知菱形ABCD的周长是24米，∠BAC＝30°，则对角线BD的长等于( ) A. 6米 B. 3米 C. 6米 D. 3米 4. 已知的三边为a，b，c，下列条件不能判定为直角三角形的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列命题中正确的是（　　） A. 有一组邻边相等四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 对角线垂直的平行四边形是正方形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形 6. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长10cm的直吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s（千米）与所用的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是（ ） A. 前10分钟，甲比乙速度慢 B. 经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米 C. 甲的平均速度为0.08千米/分钟 D. 经过30分钟，甲比乙走过的路程少 8. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．若把第一个三角形数记为，第二个三角形数记为，…，第n个三角形数记为，计算，，…由此推算，的值为（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 9. 如图，四边形是平行四边形，线段垂直平分边于点，点是边上一点，连接，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 有依次排列的个整式：，，对任意相邻的个整式都用右边的整式减去左边的整式，所得的差都写在这个整式之间，由此产生第个整式串：，，；将第个整式串按上述方式再操作一次，可以得到第个整式串：，，，，．以此类推，通过实际操作，得到以下结论： ①第个整式串中末尾的整式为； ②第个整式串共有个整式； ③第个整式串中，所有整式的和为； ④第个整式串中，从左往右第二个整式为． 以上结论中正确的有　　个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 11. 计算＝_____． 12. 某5人学习小组在某次测试中，成绩（分）分别为：86，88，91，91，94，方差，后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的方差_____． 13. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径两弧，交网格线于点，则的长为________． 14. 若函数是正比例函数，则k的值为______． 15. 将直线向右平移5个单位长度，向下平移3个单位长度后，经过点，平移后直线的解析式为 _____． 16. 如图，正方形的顶点在直线上，直线于点，连接．若＝，则（阴影部分）的面积为 _____． 17. 如果关于x的分式方程有非负整数解，一次函数的图象过一、三、四象限，则所有符合条件的整数m的和是 _____． 18. 若一个四位正整数的各个数位上的数字不同，且各个数位上的数字之和为完全平方数，则称这个四位数为“和方数”，那么最大的“和方数”为 _____；将一个“和方数”M的前两位数字组成的两位数记为s，后两位数字组成的两位数记为t，规定，，若都是整数，则满足条件的M的最大值为 _____． 三、解答题（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 学习了正方形后，小芳进行了拓展研究．她发现：如图所示正方形中，E为上一点（E不与B，C重合），连接，过点D作的垂线，交于点F，则线段与线段的长度相等．她的解决思路是通过证明这两条线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，过点D作的垂线，垂足为点O，交于点F．（只保留作图痕迹） 已知：如图，四边形是正方形，点E在上（E不与B，C重合），连接，，垂足为O，交于点F． 求证： ． 证明：∵四边形是正方形， ∴① ， ， ∴． ∵， ∴． ∴② ， ∴③ ． ∴． ∴． 小芳再进一步研究发现，过上其它点也能作出具备此特征的一组垂线．请你依照题意完成下面命题： 过上一点作的垂线，④ ． 21. 2024年6月3日，是虎门销烟185周年纪念日．“毒品是全人类的公敌，禁毒没有旁观者．”为了提高学生的毒品防范意识，某校组织了一场禁毒知识竞赛，在八、九年级中分别随机抽取了50名学生的成绩（分数）进行整理分析，已知成绩（分数）x均为整数，且分为A、B、C、D、E五个等级，分别是： A：，B：，C：，D：，E：． 并给出了部分信息： ①八年级B等级中由高到低的10个分数分别为： 85，85，84，84，83，83，83，82，80，80． ②两个年级学生禁毒知识竞赛分数统计图： ③两个年级学生禁毒知识竞赛分数样本数据的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 八年级 84 a 76 九年级 84 81 75 （1）直接写出a，m的值； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的学生对禁毒知识掌握较好？请说明理由（说明一条理由即可）； （3）若分数不低于80分表示该生对禁毒知识掌握较好，且该校八年级有1800人，九年级有1500人，请估计该校八、九年级所有学生中，对禁毒知识掌握较好学生人数． 22. 近年来，丰都不断挖掘当地优秀传统文化内涵，形成了“红宝石”与“黑珍珠”两大文化名片，特别是2023年1月23日发布祈福文化节吉祥物——“钟福福”和“风祥祥”广受大家喜爱．某文创店看准商机，在经过授权后，准备以“钟福福”和“风祥祥”为品牌形象开发“面具”和“折扇”两款文创产品，已知10个面具和15把折扇的成本为420元；30个“面具”和20把“折扇”的成本为760元． （1）每个面具和每把折扇的成本分别多少元？ （2）文创店经过调研，将面具和折扇售价定为18元/个和40元/把．由于“钟福福”和“凤祥祥”品牌形象持续走热，文创店决定在2024年折福文化节期间投放两款产品共300个，其中面具的数量不超过折扇数量的2倍，且总成本不超过4560元．为庆祝折福文化节，文创店决定对折扇降价20%后再销售，若投放的产品全部售出，则面具的数量为多少时，文创店利润最大，最大利润为多少？ 23. 如图，在矩形中，点E、F分别是边、上的点，，连接、，与对角线交于点O． （1）求证：； （2）若，，，求线段的长． 24. 如图，在梯形中，，，M为中点，当动点E从点M出发，沿着M→A→B匀速运动，到达点B时停止运动．设点E的运动路程为x， 的面积为y． （1）请直接写出y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围，在给定的平面直角坐标系中画出该函数的函数图象； （2）请写出函数y的一条性质； （3）结合函数图象，当面积小于10时，直接写出x的取值范围． 25. 如图，在直角坐标系中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A、点B，其中点B的坐标为，直线交于点C，交x轴于点E，D是直线上一动点，且在点C的下方，设D． （1）求直线的解析式与点A的坐标； （2）当四边形的面积为38时，求点D的坐标，此时在y轴上找一点M，使的周长有最小值，请求出M点坐标； （3）设N点是直线上除C点以外的一个动点，问：在x轴上是否存在H点，使得为等腰直角三角形？若有，请直接写出H点的坐标；若没有，请说明理由． 26. 已知正方形，点E在边上（不与两端点重合）． （1）如图1，点F在对角线上，连接、，若，，，求的长． （2）如图2，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，，过点H作交于点F，延长交于点G．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年重庆市丰都县八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号对应的正确答案的方框涂黑． 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察． 直接根据最简二次根的定义逐一判断即可得解． 【详解】解：A、，故不是最简二次根式，不合题意； B、，故不是最简二次根式，不合题意； C、，故不是最简二次根式，不合题意； D、是最简二次根式，符合题意． 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类二次根式，以及二次根式的乘法和除法法则逐项计算即可． 【详解】解：A.与不是同类二次根式，不能合并，故不正确； B.，故不正确； C.，故不正确； D.，正确； 故选D． 【点睛】本题考查了合并同类二次根式，以及二次根式的乘法和除法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 3. 如图，已知菱形ABCD的周长是24米，∠BAC＝30°，则对角线BD的长等于( ) A. 6米 B. 3米 C. 6米 D. 3米 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形ABCD的周长是24米，∠BAC=30°，易求得AB=6米，△ABD是等边三角形，继而求得答案． 【详解】解：∵菱形ABCD的周长是24米，∠BAC=30°， ∴AB=AD=24÷4=6（米），∠DAB=2∠BAC=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD=AB=6米． 故选C． 【点睛】此题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABD是等边三角形是解此题的关键． 4. 已知的三边为a，b，c，下列条件不能判定为直角三角形的是（　　） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解题的关键．根据“有一个角是直角的三角形是直角三角形”，“三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形是直角三角形”，进行逐一验证即可． 【详解】解：A、 ，设三边：， ， 该选项能判定为直角三角形，不符合题意； B、 ，设三角为：， ， 解得， ，，， 该选项不能判定为直角三角形，符合题意； C、 ， ， ，该选项能判定为直角三角形，不符合题意； D、 ， 该选项能判定为直角三角形，不符合题意； 故选：B． 5. 下列命题中正确的是（　　） A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 对角线垂直的平行四边形是正方形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项． 【详解】A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确； C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误； D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 6. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长10cm的直吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别考虑直吸管在罐体内两种极端情况即可：直吸管下端恰好位于罐底的圆周上；直吸管下端恰好位于罐底的中心；分别计算出直吸管插在罐内部分长度，即可求得直吸管露在罐外部分a的长度范围． 【详解】当直吸管下端恰好位于罐底的圆周上时，如图所示， 则OA=3，AB=4，由勾股定理得：， ∴a=10-5=5； 当直吸管下端恰好位于罐底的中心时，则罐体内直吸管长为罐体的高即4，则a=10-4=6； 综上，直吸管露在罐外部分a的长度范围为． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，根据情况进行分类讨论、及勾股定理的应用是本题的关键． 7. 甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s（千米）与所用的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是（ ） A. 前10分钟，甲比乙的速度慢 B. 经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米 C. 甲的平均速度为0.08千米/分钟 D. 经过30分钟，甲比乙走过的路程少 【答案】D 【解析】 【分析】结合函数关系图逐项判断即可． 【详解】A项，前10分钟，甲走了0.8千米，乙走了1.2千米，则甲比乙的速度慢，故A项正确，故不符合题意； B项，前20分钟，根据函数关系图可知，甲、乙都走了1.6千米，故B正确，故不符合题意； C项，甲40分钟走了3.2千米，则其平均速度为：3.2÷40=0.08千米/分钟，故C项正确，故不符合题意； D项，经过30分钟，甲走了2.4千米，乙走了2.0千米，则甲比乙多走了0.4千米，故D项错误，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的图像及其在行程问题中的应用，理解函数关系图是解答本题的关键． 8. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．若把第一个三角形数记为，第二个三角形数记为，…，第n个三角形数记为，计算，，…由此推算，的值为（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．根据题意和题目中的图形可以求得的值． 【详解】解：由题意可得， ， ， ， … 则， 故选：C． 9. 如图，四边形是平行四边形，线段垂直平分边于点，点是边上一点，连接，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据线段垂直平分边可得，再由平行的性质可得，最后由得到，即可根据三角形外角性质得到． 【详解】连接，如图， ∵线段垂直平分边， ∴， ∴平分 ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质，涉及的知识点多但是难度不大，解题的关键是熟悉相关的性质． 10. 有依次排列的个整式：，，对任意相邻的个整式都用右边的整式减去左边的整式，所得的差都写在这个整式之间，由此产生第个整式串：，，；将第个整式串按上述方式再操作一次，可以得到第个整式串：，，，，．以此类推，通过实际操作，得到以下结论： ①第个整式串中末尾的整式为； ②第个整式串共有个整式； ③第个整式串中，所有整式和为； ④第个整式串中，从左往右第二个整式为． 以上结论中正确的有　　个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，整式的加减．根据题，得出一般规律：第个整式串共有个整式，所有整式的和为，从左往右第二个整式为，据此逐一判断即可． 【详解】解：由题意可知，第1个整式串：，，；整式的个数为， 所有整式的和为； 第2个整式串：，，，，；整式的个数为， 所有整式和为 第3个整式串为，，，，，，，，；整式的个数为， 所有整式的和为 …… 观察发现，第个整式串共有个整式，所有整式的和为， 第个整式串中末尾的整式为，故①错误， 第6个整式串共有个整式，②结论正确； 即第9个整式串中，所有整式的和为，③结论正确； 第个整式串中，从左往右第二个整式为 ∴第2025个整式串中，从左往右第二个整式为，④结论错误； 结论中正确的有②③，共2个， 故选：B． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 11. 计算＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的除法运算，正确化简二次根式是解题关键．直接利用二次根式除法运算法则化简求出答案． 【详解】解： 故答案为：． 12. 某5人学习小组在某次测试中，成绩（分）分别为：86，88，91，91，94，方差，后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的方差_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查方差的意义，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变．根据一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案． 【详解】解：∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，方差不变， ∴所得到的一组新数据的方差为； 故答案为：． 13. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径两弧，交网格线于点，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得，，在中，，根据勾股定理进行计算即可得． 【详解】解：根据题意得，， 在中，，根据勾股定理得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握勾股定理． 14. 若函数是正比例函数，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义．根据正比例函数的定义得到且求解即可． 【详解】解：函数是正比例函数， 且， 解得：，且， ， 故答案为：． 15. 将直线向右平移5个单位长度，向下平移3个单位长度后，经过点，平移后直线的解析式为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的原则是解答此题的关键．根据一次函数图象平移的规律，即可求解． 【详解】解：根据题意得：将直线向右平移5个单位长度，向下平移3个单位长度，平移后直线的解析式为， 即， 经过点， ，解得， 平移后直线的解析式为． 故答案为：． 16. 如图，正方形的顶点在直线上，直线于点，连接．若＝，则（阴影部分）的面积为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质， 过点作于，易证，可得，即可求出面积． 【详解】解：过点作于， 四边形是正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 17. 如果关于x的分式方程有非负整数解，一次函数的图象过一、三、四象限，则所有符合条件的整数m的和是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质以及分式方程的解．注意根据题意求得满足条件的m的值是关键．依据一次函数的图象过一、三、四象限，求得m的取值范围，依据关于x的分式方程有非负整数解，即可得到整数m的取值，即可得到满足条件的m的和． 【详解】解：∵一次函数的图象过一、三、四象限， ∴， ∴， ∵关于x的分式方程有非负整数解 ∴为非负整数且， 即且，为整数， ∴，，，0，2， ∴所有符合条件的m的和是， 故答案为：． 18. 若一个四位正整数的各个数位上的数字不同，且各个数位上的数字之和为完全平方数，则称这个四位数为“和方数”，那么最大的“和方数”为 _____；将一个“和方数”M的前两位数字组成的两位数记为s，后两位数字组成的两位数记为t，规定，，若都是整数，则满足条件的M的最大值为 _____． 【答案】 ①. 9871 ②. 6120 【解析】 【分析】本题考查了代数式，整式的加减，因式分解的应用，整除的意义，理解新定义和掌握知识点是解决本题的关键． 由a、b、c、d的取值范围，确定出最大的完全平方数为25，即可求解；确定都能被3整除，能被3整除，继而得到，因此得到，即可求解． 【详解】解：为最大的“和方数”，而， ∵各个数位上的数字不同，且各个数位上的数字之和为完全平方数， ∴最大的完全平方数为25， ∴最大的“和方数”，当，时，, ∴最大的“和方数”为； ，则，， ∵、都是整数， ∴设，，为正整数， 则， 两式相加得：， 两式相减得：， ∴都能被3整除， ∴能被3整除， ∵，且， ∴， ∵为完全平方数， ∴或16或25， ∵能被3整除， ∴ 又∵都能被3整除， ∴时，M最大， ∴． 故答案为：9871；6120． 三、解答题（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分式的混合运算，平方差公式，完全平方公式．熟练掌握二次根式和分式的混合运算法则是解题关键． （1）利用平方差公式进行计算化简即可； （2）先对括号内分式进行通分计算，将除法转换成乘法，利用完全平方公式分解因式，然后进行约分化简即可 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 20. 学习了正方形后，小芳进行了拓展研究．她发现：如图所示正方形中，E为上一点（E不与B，C重合），连接，过点D作的垂线，交于点F，则线段与线段的长度相等．她的解决思路是通过证明这两条线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，过点D作的垂线，垂足为点O，交于点F．（只保留作图痕迹） 已知：如图，四边形是正方形，点E在上（E不与B，C重合），连接，，垂足为O，交于点F． 求证： ． 证明：∵四边形是正方形， ∴① ， ， ∴． ∵， ∴． ∴② ， ∴③ ． ∴． ∴． 小芳再进一步研究发现，过上其它点也能作出具备此特征的一组垂线．请你依照题意完成下面命题： 过上一点作的垂线，④ ． 【答案】尺规作图见解析；证明：①，② ，③ ， ④ 过程见解析； 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图法，三角形全等的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键． 尺规作图：以为圆心，适当半径长作圆弧交于点，然后分别以为圆心，相同适当半径长作圆弧相交于，连接交于点，交于点，根据作图过程，可知为的垂直平分线，故． 证明过程：由四边形是正方形得到，，，再由，得，利用等量代换得到，即可证明，得到结论，根据证明过程即可得到①，② ，③ ； ④过上一点作，交于，交于，过 作于点，如图所示，则．由四边形是正方形，得到，，证明四边形是矩形，得到,,利用等量代换得到，即可证明，即可得到结论； 【详解】解：尺规作图作法：以为圆心，适当半径长作圆弧交于点，然后分别以为圆心，相同适当半径长作圆弧相交于，连接交于点，交于点，根据作图过程，可知为的垂直平分线，故． 证明： ∵四边形是正方形， ∴①， ， ∴． ∵， ∴． ∴②， ∴③． ∴． ∴． ④过上一点作，交于，交于，过 作于点，如图所示，则． 证明： 四边形是正方形， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ，即， ， , ， ， ． 21. 2024年6月3日，是虎门销烟185周年纪念日．“毒品是全人类的公敌，禁毒没有旁观者．”为了提高学生的毒品防范意识，某校组织了一场禁毒知识竞赛，在八、九年级中分别随机抽取了50名学生的成绩（分数）进行整理分析，已知成绩（分数）x均为整数，且分为A、B、C、D、E五个等级，分别是： A：，B：，C：，D：，E：． 并给出了部分信息： ①八年级B等级中由高到低的10个分数分别为： 85，85，84，84，83，83，83，82，80，80． ②两个年级学生禁毒知识竞赛分数统计图： ③两个年级学生禁毒知识竞赛分数样本数据的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 八年级 84 a 76 九年级 84 81 75 （1）直接写出a，m的值； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的学生对禁毒知识掌握较好？请说明理由（说明一条理由即可）； （3）若分数不低于80分表示该生对禁毒知识掌握较好，且该校八年级有1800人，九年级有1500人，请估计该校八、九年级所有学生中，对禁毒知识掌握较好的学生人数． 【答案】（1），； （2）八年级好一些，理由见解析 （3）1788人 【解析】 【分析】（1）根据题意和统计图中的数据确定第25个数与第26个数计算a即可、根据扇形图计算m的值即可． （2）把平均数、中位数和众数相结合判断即可求解． （3）分别求出两个年级成绩不低于80分的人数，再相加即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， ； 【小问2详解】 解：八年级和九年级的平均数相同，但是八年级的中位数和众数都比九年级的高，因此八年级的学生对“防疫”知识掌握较好． 【小问3详解】 ； ∴估计该校八、九年级所有学生中，对“防疫”知识掌握较好学生人数共有1788人． 【点睛】本题主要考查了平均数、中位数、众数，频数分布直方图，扇形统计图的应用，用样本估计总体．明确题意，用数形结合的思想解答是解题的关键． 22. 近年来，丰都不断挖掘当地优秀传统文化内涵，形成了“红宝石”与“黑珍珠”两大文化名片，特别是2023年1月23日发布的祈福文化节吉祥物——“钟福福”和“风祥祥”广受大家喜爱．某文创店看准商机，在经过授权后，准备以“钟福福”和“风祥祥”为品牌形象开发“面具”和“折扇”两款文创产品，已知10个面具和15把折扇的成本为420元；30个“面具”和20把“折扇”的成本为760元． （1）每个面具和每把折扇的成本分别多少元？ （2）文创店经过调研，将面具和折扇的售价定为18元/个和40元/把．由于“钟福福”和“凤祥祥”品牌形象持续走热，文创店决定在2024年折福文化节期间投放两款产品共300个，其中面具的数量不超过折扇数量的2倍，且总成本不超过4560元．为庆祝折福文化节，文创店决定对折扇降价20%后再销售，若投放的产品全部售出，则面具的数量为多少时，文创店利润最大，最大利润为多少？ 【答案】（1）每个面具的成本为元，每把折扇的成本为元． （2）面具的数量为个时，文创店利润最大，最大利润为元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数的实际应用问题，根据题意，找到相等关系和不等关系是解题的关键． （1）设每个面具的成本为元，每把折扇的成本为元，根据题意列二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设面具的数量为个，则折扇的数量为把，由题意得一元一次不等式组，解不等式组可得，设文创店利润为元，根据题意得，利用一次函数性质可得，当，面具的数量为个时，文创店利润最大，最大利润为元． 【小问1详解】 解：设每个面具的成本为元，每把折扇的成本为元， 由题意得，， 解得， 答：每个面具的成本为元，每把折扇的成本为元． 【小问2详解】 解：设面具的数量为个，则折扇的数量为把， 由题意得，， 由得，， 由得，， ， 不等式组解集为：， 设文创店利润为元， 则， ，根据一次函数的性质，可知随着增大而减小， 又， 当时， 取得最大值，此时． 答：面具的数量为个时，文创店利润最大，最大利润为元． 23. 如图，在矩形中，点E、F分别是边、上的点，，连接、，与对角线交于点O． （1）求证：； （2）若，，，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的对边平行可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“角角边”证明和全等，即可证明； （2）如图：连接，根据等腰三角形三线合一的性质可得，证明，再由可得，再结合矩形的性质可得，然后根据等边对等角的性质可得；在中利用三角形的内角和定理，结合已知即可得到，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，接下来运用勾股定理即可求得的长． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ∴， ． 在和中， ， ， ． 【小问2详解】 解：如图：连接． ，， ， 在中，． ∵， ∴， ∴， ， ． 四边形是矩形， ，， ． ，即， ． ， ， ． 【点睛】本题主要考查的是矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，含30度的直角三角形的性质，勾股定理的应用等知识点，正确作出辅助线是解决此题的关键． 24. 如图，在梯形中，，，M为中点，当动点E从点M出发，沿着M→A→B匀速运动，到达点B时停止运动．设点E的运动路程为x， 的面积为y． （1）请直接写出y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围，在给定的平面直角坐标系中画出该函数的函数图象； （2）请写出函数y的一条性质； （3）结合函数图象，当面积小于10时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1），图象见解析； （2）在范围内，随的增大而增大（答案不唯一）； （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用问题，根据题意找到等量关系，列出函数关系式是解题的关键． （1）当点在上时，即，可得，，此时的面积为；当点在上时，即，则，，，利用面积分割法，可得，代入可求得此时的面积表达式为，由此得到y与x之间的函数表达式；然后利用描点连线法即可画出函数的图象； （2）观察函数图象可知，在范围内，随的增大而增大； （3）观察函数图象可知，当时，，由此可得当时，面积小于10． 【小问1详解】 解：如图，当点在上时，即，设点E的运动路程为x， 的面积为y．则， ，，M为中点， ， 的面积为（）， 如图，当点在上时，即，设点E的运动路程为x， 的面积为y．则，，， 的面积为，即（）， 综上所述，y与x之间的函数表达式为：， 利用描点连线法，画出函数图象为： 【小问2详解】 解：观察函数图象可知，在范围内，随的增大而增大（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：观察图象可知，当时，， 当时，面积小于10． 25. 如图，在直角坐标系中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A、点B，其中点B的坐标为，直线交于点C，交x轴于点E，D是直线上一动点，且在点C的下方，设D． （1）求直线的解析式与点A的坐标； （2）当四边形的面积为38时，求点D的坐标，此时在y轴上找一点M，使的周长有最小值，请求出M点坐标； （3）设N点是直线上除C点以外的一个动点，问：在x轴上是否存在H点，使得为等腰直角三角形？若有，请直接写出H点的坐标；若没有，请说明理由． 【答案】（1）直线的解析式为：，点A的坐标为； （2）， （3）存在4种情况，满足条件，分别为，，， 【解析】 【分析】本题考查了一次函数，待定系数法求解析式，分割法求面积，三角形的边长关系求最值，等腰直角三角形的性质，熟练掌握分割法求面积，三角形的边长关系求最值，等腰直角三角形的性质，以及运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据直线l：与y轴交于点B，代入即可求出直线的解析式，再令，即可求出点A的坐标； （2）利用面积分割法，，求出，即可求出点D的坐标；作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，利用三角形的边长关系可证此时的周长最小，待定系数法求出直线解析式，即可求出此时点的坐标； （3）根据点在的左侧和右侧，以及或，共4种情况，进行分类讨论即可求解； 【小问1详解】 解：直线l：与y轴交于点B， ， 直线的解析式为：， 当，即，解得，， 点A的坐标为． 【小问2详解】 解： 点A的坐标为，点坐标为，点B的坐标为． ，，，， ， ， ， ， 点D的坐标为． 作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时的周长最小， 关于轴对称， ， 的周长为， ， 当为直线与轴交点时，的周长最小， 设直线解析式为，将，，代入得 ， 解得， 直线解析式为， 当时，． ． 【小问3详解】 解：① 如图所示，若存在为等腰直角三角形，，，设，则， ， ，解得， 此时存在点，使得为等腰直角三角形； ② 如图所示，当在点左侧时，若存在为等腰直角三角形，，，设，则， ， ，解得， ， 此时存在点，使得为等腰直角三角形； ③ 如图所示，若存在为等腰直角三角形，，，为中点，连接，设， 为等腰直角三角形，，，为中点，根据等腰三角形三线合一， ，，，坐标为， ， ，解得， ， ， ， 此时存在点，使得为等腰直角三角形； ④ 如图所示，若存在为等腰直角三角形，，，为中点，连接，设， 为等腰直角三角形，，，为中点，根据等腰三角形三线合一， ，，，坐标为， ， ，解得， ， ， ， 此时存在点，使得为等腰直角三角形； 综上所述，一共存在四个点满足条件，分别为，，，． 26. 已知正方形，点E在边上（不与两端点重合）． （1）如图1，点F在对角线上，连接、，若，，，求的长． （2）如图2，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，，过点H作交于点F，延长交于点G．求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由正方形性质得出，求出，，求出是等腰直角三角形，得出，在中，由勾股定理求出AE即可； （2）延长交于M，连接，则和是等腰直角三角形，得出，，证出，证明得出，，再证明，得出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 在中，由勾股定理得：； 【小问2详解】 证明：延长交于M，连接，如图2所示：而， 则和是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，二次根式的混合运算等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$