专题1.14 三角形全等几何模型（半角模型）（专项练习）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题1.14 三角形全等几何模型（半角模型）（专项练习） 1．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图，某村庄有一块五边形的田地，，，连接对角线，，． (1)，与 之间的数量关系是 ． (2)为保护田内作物不被牲畜踩踏，村里决定给这块田地的五边上围一圈木栅栏，已知每米木栅栏的建造成本是元，则建造木栅栏共需花费多少元? (3)在和区域种上小麦，已知每平方米田地的小麦播种量为克，需提前准备多少千克的小麦种子? 2．（22-23八年级上·天津和平·期中）如图，在四边形中，，是上一点，是延长线上一点，且． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若在上且，试猜想之间的数量关系，并证明． 3．（23-24八年级上·福建福州·期末）（1）如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，，试探究图1中线段、、之间的数量关系． （2）如图2，在四边形中，，，E，F分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由．    4．（2023·吉林松原·模拟预测）【问题引领】 问题1：如图①，在四边形中，，，．、分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明，再证明．他得出的正确结论是 ． 【探究思考】 问题2：如图②，若将问题1的条件改为：四边形中，，，，问题1的结论是否仍然成立？请说明理由． 5．（20-21七年级上·山东威海·期末）（问题情境）（1）如图1，在四边形中，，，．点E，F分别是和上的点，且，试探究线段，，之间的关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接．先证明，再证明，进而得出．你认为他的做法______；（填“正确”或“错误”）． （探索延伸）（2）如图2，在四边形中，，，，，点E，F分别是和上的点，且，上题中的结论依然成立吗？请说明理由． （思维提升）（3）小明通过对前面两题的认真思考后得出：如图3，在四边形中，若，，，那么．你认为正确吗？请说明理由． 6．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）（1）如图①，在四边形中，，分别是边上的点，且．求证：； （2）如图②，将（1）中的条件，“”改为“”，其他条件都不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）如图③，在四边形中，，E，F分别是边延长线上的点、且，请写出三者之间的关系并证明． 7．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）【问题背景】 （1）如图1，在四边形中，，，，，分别是上的点，且．为探究图中线段和之间的数量关系，小明同学的方法是延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论：________． 【探索延伸】 （2）在四边形中，． ①如图2，若分别是上的点，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，试写出相应的结论，并证明． ②如图3，若点在上，点在的延长线上，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，试写出相应的结论，并证明． 8．（2024七年级下·上海·专题练习）在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，在探究图1中线段，，之间的数量关系过程中． (1)你尝试添加了怎样的辅助线？成功了吗？（真实大胆作答即可得分） (2)小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系是 ． (3)如图3，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？并证明； 9．（21-22七年级下·陕西西安·阶段练习）（1）问题背景． 如图1，在四边形中，，，、分别是线段、线段上的点．若，试探究线段、、之间的数量关系．    小明同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明．再证明，可得出结论，他的结论应是____________． （2）猜想论证． 如图2，在四边形中，，，在线段上、在线段延长线上．若，上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成立，试写出相应的结论并给出你的证明．      （3）拓展应用． 如图3，在四边形中，，，AD平分，，，且，求四边形的面积．    10．已知，四边形中，，绕B点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于E，F． 当绕B点旋转到时，如图（1），易证：． 当绕B点旋转到时，在图（2）和图（3）中这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)； (2)建造木栅栏共需花费元； (3)需提前准备千克的小麦种子； 【分析】（1）本题考查角的加减，根据，即可得到答案； （2）本题考查三角形全等的判定与性质，延长至使，连接，先证，再证，即可得到答案； （3）本题考查三角形全等的性质，根据（2）得，即可得到答案； 【详解】（1）解：，理由如下， ∵，， ∴； （2）解：延长至使，连接， ∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵每米木栅栏的建造成本是元， ∴建造木栅栏共需花费为：（元）， 答：建造木栅栏共需花费元； （3）解：由（2）得， ， ∵每平方米田地的小麦播种量为克， ∴总共需要种子：， 答：需提前准备千克的小麦种子． 2．(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质、四边形内角和定理以及角的计算；根据全等三角形的性质找出相等的边角关系是关键． （1）结合即可证出，由此即可得出，，即可求解； （2）通过角的计算得出，证出，由此即可得出； （3）结合即可证出，由此即可得出，再根据即可得出，，由（2）可知，进而得知，根据角的计算即可得出，结合即可证出，即得出，由相等的边与边之间的关系即可证出． 【详解】（1）解：在和中， ， ， ，， ， ，， ， ； （2）证明：， ． ， ． 在和中， ， ． ． （3）解：猜想之间的数量关系为：． 理由如下： 在和中， ， ， ． ， ． 由（2）可得：， ． ，即． ． 在和中， ， ， ． ， ． 3．（1） （2）成立，理由见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理和正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）延长至G，使，由可直接证明，即得出，．结合题意又易证，得出，进而得出； （2）延长到点G，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题． 【详解】（1）证明：延长至G，使，（如图）．    在和中， ， ∴， ∴，． ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． （2）解：结论仍然成立； 理由：如图，延长到点G，使，连接．    在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 4．问题1：，见解析；问题2：问题1中结论仍然成立，见解析 【分析】本题考查了全等三角形得到判定与性质，解题的关键是根据题意正确作出辅助线． （1）延长到点．使．连接，先证明，再证明，根据全等三角形的性质，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，结合题意可推出，然后证明，再证明，即可得出结论． 【详解】解：问题1：． 延长到点．使．连接， 在和中， ， ． ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； 问题2：问题1中结论仍然成立，如图②． 理由：延长到点，使，连接， ，， ． 在和中， ， ， ，． ， ， ． ． 在和中， ， ， ， ． 5．（1）正确；（2）成立，见解析；（3）正确，见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，正确做辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）延长到点，使，连接，先证明，可得，再证明，可得，进而得出，即可解题； （2）证明方法同（1）：延长到点，使，连接，先证明，可得，再证明，可得，进而得出即可解题； （3）证明方法同（2）：延长到点，使，连接，先证明，可得，再证明，可得，进而得出即可解题． 【详解】（1）解：如图1，延长到点，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：正确； （2）解：上题中的结论依然成立； 如图2，延长到点，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中，   ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：正确， 如图3，延长到点，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．（1）证明见解析；（2）（1）中结论仍然成立，理由见解析；（3），证明见解析 【分析】本题主要查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）延长到G，使，连接，先证明，得到，再证明，可得，进而可得结论； （2）如图，延长至M，使，连接，先证明，进而证明，得到，再证明，得到，进而可得结论； （3）如图，在上截取，使，连接，先证明，进而证明得到．再证明，即可证明，则，即可得到结论． 【详解】解：如图中，延长到G，使，连接．    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）（1）中结论仍然成立，理由如下： 如图，延长至M，使，连接． ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3），证明如下： 如图，在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴ ∴． 又∵， ∴． ∴， ∵， ∴． 7．（1）；（2）①结论仍然成立，理由见解析；②结论不成立，结论为，理由见解析． 【分析】本题考查了三角形全等的判定及性质，构造全等三角形是解题的关键． （1）由题意可直接得出； （2）①延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； ②延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可证明． 【详解】解：（1）， 延长到点，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，． 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 故答案为：； （2）①结论仍然成立，理由如下， 延长到点，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，． 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②结论不成立，结论为， 延长到点，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，． 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 8．(1)见解析 (2) (3)成立，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）在上方作，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系； （3）延长到，使，连接，证明和，得到答案； 【详解】（1）在上方作，使，连接， 在和中， ， ， ， ∵ ∴ ∴共线 ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，即， 添加辅助线：在上方作，使，连接，成功了； （2）延长到点，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，即， 故答案为：； （3）结论仍然成立， 证明：延长到，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 9．（1）；（2）结论不成立，结论：；（3）四边形的面积为21． 【分析】（1）延长到点．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）在上截取，使，连接．根据（1）的证法，我们可得出，，那么； （3）如图3中，过点作交的延长线于，交的延长线于，于．证明四边形是正方形即可解决问题． 【详解】解：延长到点．使，连接，      ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）结论不成立，结论：； 理由如下：证明：如图2中，在上截取，使，连接．      ，， ． 在与中， ， ． ，． ． ， ， ． ， ． ． （3）如图3中，过点作交的延长线于，交的延长线于，于．      ∵，， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ，， ， ，，， ，， ， ，， ， ，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ． 故答案为：21． 【点拨】本题考查了四边形综合题，三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形． 10．图（2）成立，有，证明见解析；图（3）不成立，有，理由见解析 【分析】证明图（2）．延长至点K，使，连接，证明，然后证明，根据线段之间的数量关系可得之间的关系，然后进行判断即可； 证明图（3），延长至G，使，同理可证，，，据线段之间的数量关系可得之间的关系，然后进行判断即可． 【详解】解：图（2）成立，图（3）不成立， 的关系是．证明如下： 证明图（2）．理由如下： 延长至点K，使，连接， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图（3），延长至G，使， 同理可证，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的关系是． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质．正确作出辅助线，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$