专题1.13 三角形全等几何模型（半角模型）（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题12.13 三角形全等几何模型（半角模型） 第一部分【知识点归纳】 【定义】把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半，这样的模型称为半角模型。 【特征】（1）大角内部有一个小角，小角角度是大角的一半；（2）大角的两边相等。 【类型】如下图，有三类型半角模型 【解题思路】 半角模型解题思路是构造旋转型全等，应用两次全等（两次全等判定都是SAS型）解题，具体步骤如下： （1）将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形（但要注意解题 时通常不一定是说旋转，因为不能保证旋转后两个三角形的边共线）； （2）证明（1）中构造的三角形与原三角形全等（SAS）（如果（1）中是通过旋转方式得到三角形，则没有这一步）； （3）证明合并形成的新三角形与原半角形成的三角形全等（SAS）； （4）通过全等的性质得出线段相等、角度相等，从而解决问题. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】“等边三角形含半角”模型 【例1】如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【变式】（22-23九年级下·山东滨州·期中）（1）如图1，在四边形中，，，且，求证：． （2）如图2，若在四边形中，，，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【题型2】“等腰三角形含半角”模型 【例2】如图，若在四边形中，，，E，F分别是，上的点，连接，，，若，求证： ． 【变式】（22-23八年级上·河南新乡·阶段练习）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形以为顶点作，交边、于、． (1)若，，当绕点旋转时，、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； (2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； (3)如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 【题型3】“正方形含半角”模型 【例3】如图，AB＝AD＝BC＝DC，∠C＝∠D＝∠ABE＝∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，过点A作∠GAB＝∠FAD，且点G在CB的延长线上． （1）△GAB与△FAD全等吗？为什么？ （2）若DF＝2，BE＝3，求EF的长． 【变式】如图①，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将绕点顺时针旋转，点与点重合，连接、、．    (1)试判断，，之间的数量关系； (2)如图②，点、分别在正方形的边、的延长线上，，连接，请写出、、之间的数量关系，并写出证明过程． 第三部分【拓展延伸】 【例1】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）【问题背景】如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系． 【初步探索】小亮同学认为：如图1，延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论______； 【探索延伸】如图2，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【灵活变通】如图4，已知在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足【初步探索】中的结论，请直接写出与的数量关系．    【例2】（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，线段之间的关系是 ；（不需要证明） （）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （）如图，在四边形中，，，分别是边延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12.13 三角形全等几何模型（半角模型） 第一部分【知识点归纳】 【定义】把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半，这样的模型称为半角模型。 【特征】（1）大角内部有一个小角，小角角度是大角的一半；（2）大角的两边相等。 【类型】如下图，有三类型半角模型 【解题思路】 半角模型解题思路是构造旋转型全等，应用两次全等（两次全等判定都是SAS型）解题，具体步骤如下： （1）将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形（但要注意解题 时通常不一定是说旋转，因为不能保证旋转后两个三角形的边共线）； （2）证明（1）中构造的三角形与原三角形全等（SAS）（如果（1）中是通过旋转方式得到三角形，则没有这一步）； （3）证明合并形成的新三角形与原半角形成的三角形全等（SAS）； （4）通过全等的性质得出线段相等、角度相等，从而解决问题. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】“等边三角形含半角”模型 【例1】如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得． 解：如图，将关于AE对称得到， 则，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，即是直角三角形， ， ， 即与的面积之和为21，故选：B． 【点拨】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 【变式】（22-23九年级下·山东滨州·期中）（1）如图1，在四边形中，，，且，求证：． （2）如图2，若在四边形中，，，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）结论仍然成立；理由见解析 【分析】本题主要考查的是三角形的综合题，主要涉及三角形全等的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解此题的关键． （1）延长到，使，连接，根据证明可得，再证明，可得，即可得出结论； （2）延长到，使，连接，根据证明可得，再证明，可得，即可得出结论． 证明：如图，延长到，使，连接， 则， 又， ∴， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）结论仍然成立，理由如下： 如图，延长到，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【题型2】“等腰三角形含半角”模型 【例2】如图，若在四边形中，，，E，F分别是，上的点，连接，，，若，求证： ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质；延长到G使，连接，先证明得到，再证明得到，可得，然后再证明即可． 证明：如图，延长到G使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式】（22-23八年级上·河南新乡·阶段练习）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形以为顶点作，交边、于、． (1)若，，当绕点旋转时，、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； (2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； (3)如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，运用了类比推理的方法． （1）延长到，使，证，推出，，证，推出即可； （2）延长到，使，证，推出，，证，推出即可； （3）在截取，连接，证，推出，，证，推出即可． （1）解：， 证明：延长到，使， ， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， 证明：延长到，使，连接， 由（1）知：， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， 证明：在截取，连接， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【题型3】“正方形含半角”模型 【例3】如图，AB＝AD＝BC＝DC，∠C＝∠D＝∠ABE＝∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，过点A作∠GAB＝∠FAD，且点G在CB的延长线上． （1）△GAB与△FAD全等吗？为什么？ （2）若DF＝2，BE＝3，求EF的长． 【答案】（1）全等，理由详见解析；（2）5 【分析】（1）由题意易得∠ABG＝90°＝∠D，然后问题可求证； （2）由（1）及题意易得△GAE≌△FAE，GB＝DF，进而问题可求解． 解：（1）全等．理由如下 ∵∠D＝∠ABE＝90°， ∴∠ABG＝90°＝∠D， 在△ABG和△ADF中， ， ∴△GAB≌△FAD（ASA）； （2）∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠DAF+∠BAE＝45°， ∵△GAB≌△FAD， ∴∠GAB＝∠FAD，AG＝AF， ∴∠GAB+∠BAE＝45°， ∴∠GAE＝45°， ∴∠GAE＝∠EAF， 在△GAE和△FAE中， ， ∴△GAE≌△FAE（SAS） ∴EF＝GE ∵△GAB≌△FAD， ∴GB＝DF， ∴EF＝GE＝GB+BE＝FD+BE＝2+3＝5． 【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【变式】如图①，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将绕点顺时针旋转，点与点重合，连接、、．    (1)试判断，，之间的数量关系； (2)如图②，点、分别在正方形的边、的延长线上，，连接，请写出、、之间的数量关系，并写出证明过程． (3)如图③，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，请直接写出，，之间数量关系． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）首先利用证明，得，从而得出答案； （2）在上取,连接，首先由，得，，再利用证明，得，即可证明结论； （3）将绕点逆时针旋转得，由旋转的性质得点、、共线，由（1）同理可得，得，从而解决问题． （1）解：， 证明如下： 如图： 四边形是正方形， ， ，由旋转的性质可得：，，，， ， 点、、共线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：， 证明如下： 如图，在上取，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：如图，将绕点逆时针旋转得，    ，，， ， ， 点、、共线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点拨】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用旋转构造全等三角形是解题的关键． 第三部分【拓展延伸】 【例1】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）【问题背景】如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系． 【初步探索】小亮同学认为：如图1，延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论______； 【探索延伸】如图2，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【灵活变通】如图4，已知在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足【初步探索】中的结论，请直接写出与的数量关系．    【答案】【初步探索】；【探索延伸】仍成立，理由见析；【结论运用】210海里；【灵活变通】，理由见解答过程． 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． 〖初步探索〗延长到，使，连接，先证明，再证明，则可得到结论； 〖探索延伸〗延长到，使，连接，证明，再证明，则结论可求； 〖结论运用〗连接，延长、交于点，利用已知条件得到：四边形中：，且，符合“探索延伸”具备的条件，则． 〖灵活变通〗在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 解：〖初步探索〗如图1，延长到点，使，连接，    在和中， ， ， ，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ， ， ， ； 〖探索延伸〗仍成立，理由如下： 如图2，延长到点，使，连接，    ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ． ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ； 〖结论运用〗连接，延长、交于点，如图3，    ，， ， ，， 在四边形中：，且， 四边形符合探索延伸中的条件， 结论成立， 即（海里）， 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． 〖灵活变通〗结论：． 理由：如图4，在延长线上取一点，使得，连接，    ，， ，即 在和中， ， ， ，， ∵点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足【初步探索】中的结论， 即， ∴ 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， ． 【例2】（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，线段之间的关系是 ；（不需要证明） （）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （）如图，在四边形中，，，分别是边延长线上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    【答案】（）；（）（）中的结论仍然成立，理由见解析；（）（）中的结论不成立，． 【分析】()延长至，使，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，，再证明，根据全等三角形的性质得出，结合图形计算，即可证明结论； ()延长至，使，连接 ，仿照()的证明方法解答； ()在上截取，连接，仿照()的证明方法解答． 解：（）， 理由如下： 如图，延长至，使，连接，    在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （）（）中的结论仍然成立， 理由如下： 如图，延长至，使，连接，    ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （）（）中的结论不成立，， 理由如下：如图，在上截取，连接，    同（）中证法可得，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理、灵活运用类比思想是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$