精品解析：浙江省宁波市慈溪市2023-2024学年高二下学期6月期末测试数学试题

2023学年第二学期期末测试卷 高二数学学科试卷 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知），若为纯虚数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 或 D. 1或2 3. 已知函数与是互为反函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知一个袋子中有大小和质地相同的8个球，其中有3个白球（标号为1~3），5个红球（标号为），现从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两次摸到同种颜色球的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知三个不同的平面，且，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知向量，夹角为，，且向量在向量上的投影向量为，则实数（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，为两个随机事件，且，，则（ ） A. 当和互斥时， B. 当和互斥时， C. 当和相互独立时， D. 当和相互独立时， 10. 若关于的一元二次不等式的解集为，则（ ） A. B. C D. 11. 已知复变函数是以复数作为自变量和因变量的函数，对任意一个复数，由可以得到，，，…，，….如果存在一个正实数，使得对任意都成立，那么称为函数的收敛点.若是复变函数的收敛点，则复变函数可以是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数图象过点，则______. 13. 已知，则__________. 14. 已知四棱锥的底面是矩形，平面平面，，，.若四棱锥内存在内切球（球与四棱锥的各个面均相切），则______，该内切球的表面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，是不共线的单位向量，且向量，. （1）若，求的值； （2）若，，求. 16. 已知函数的最大值为2，其图象相邻的两条对称轴距离为，且图象关于点对称. （1）求函数的解析式； （2）若，求函数的值域. 17. 为贯彻“阳光体育”计划，促进学生身心素养提高，某校倡导全校学生积极参与体育运动，并统计学生一周内运动时长，发现时长均在区间之间（单位：小时）. （1）将全校男生一周内运动时长分为，，，，五组，并绘制如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.求该校男生一周运动时长的平均数和中位数； （2）已知高二（1）班男生30人，女生20人，根据数据统计分析，发现该班男生一周内运动时长的平均数为9，方差为2；女生一周内运动时长的平均数为6.5，方差为4.求该班级全体学生一周内运动时长的方差. 18. 如图，平行四边形中，，，为中点，现将沿折起至，连接，，且. （1）求证：平面平面； （2）已知. （i）若，求证：平面； （ii）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 19. 已知函数. （1）若函数是奇函数，求的值； （2）若，记函数在上的最小值为. （i）求； （ii）设函数满足：对任意，均存在，使得，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第二学期期末测试卷 高二数学学科试卷 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的补集概念即得. 【详解】依题，由可得，. 故选：A. 2. 已知），若为纯虚数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 或 D. 1或2 【答案】B 【解析】 【分析】根据纯虚数的定义，即可列关系求解. 【详解】为纯虚数， 故且，解得. 故选：B. 3. 已知函数与是互为反函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先得到解析式，再代入计算可得. 【详解】因为函数与是互为反函数， 所以，则，， ，，即正确的只有D. 故选：D 4. 已知一个袋子中有大小和质地相同的8个球，其中有3个白球（标号为1~3），5个红球（标号为），现从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两次摸到同种颜色球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分步以及分类计数原理，即可根据古典概型的概率公式求解. 【详解】不放回地依次随机摸出2个球,共有种选择， 则两次都摸到同色球共有种选择， 故两次摸到同种颜色球的概率为， 故选：A 5. 已知三个不同的平面，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由垂直于同一平面的两平面相交或平行以及充分必要条件的定义判断即可． 【详解】解：若，，则或与相交，故不是充分条件， 反之，若，，则，故是必要条件， 故选：B． 6. 已知向量，的夹角为，，且向量在向量上的投影向量为，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用投影向量概念列出向量方程，由条件求出，代入计算即得. 【详解】向量在向量上的投影向量为， 依题意，，即， 因,代入解得，. 故选：C. 7. 若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对进行讨论，即可结合二次函数的性质以及零点存在性定理求解. 【详解】若时，，则，满足题意， 若，当，解得且，此时满足题意， 若时，，此时， 此时方程在只有一根，满足题意， 若时，，此时， 此时方程在只有一根，满足题意， 当，得时，此时， 此时方差的根为，满足题意， 综上可得或 故选：C 8. 在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形面积公式，以及和差角公式可得，根据三角函数的性质以及基本不等式可得，且,以及，即可代入求解. 【详解】由可得, 故， 由于,当且仅当,以及时，等号成立， 结合，因此，且,以及， 故,因此， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，为两个随机事件，且，，则（ ） A. 当和互斥时， B. 当和互斥时， C. 当和相互独立时， D. 当和相互独立时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据互斥事件以及相互独立事件概率公式以及性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 当和互斥时，,A正确， 对于B, 当和互斥时，,B正确， 对于C, 当和相互独立时，,故C错误， 对于D，当和相互独立时，和也相互独立，故，D正确， 故选：ABD 10. 若关于的一元二次不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】抓住一元二次方程、一元二次不等式和一元二次函数“三个二次”的关系分析，结合图象即可一一判断. 【详解】对于A，由题意，结合二次函数的图象知，抛物线开口应向下，则，故A错误； 对于B，依题意，，且一元二次方程的两根为和3， 由韦达定理，，故，，即，故B正确； 对于C，由上分析可得，故C正确； 对于D，由上分析可得，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知复变函数是以复数作为自变量和因变量的函数，对任意一个复数，由可以得到，，，…，，….如果存在一个正实数，使得对任意都成立，那么称为函数的收敛点.若是复变函数的收敛点，则复变函数可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，计算出，故不存在一个正实数，使得对都成立，A错误；BC选项，可找到，，，…，，…的周期，故满足要求；D选项，计算发现的实部和虚部的绝对值均趋向于，故D错误. 【详解】A选项，，，……，， 其中，不存在一个正实数，使得对都成立，A错误； B选项，，， ， 故此时，，，…，，…的周期为3，且， 不妨取，满足要求，B正确； C选项，，， 故此时，，，…，，…的周期为2，且， 不妨取，满足要求，C正确； D选项，， ， ， ， ， ……， 依次计算，可以发现的实部和虚部的绝对值均趋向于， 故不存在一个正实数，使得对都成立，D错误； 故选：BC 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象过点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先设幂函数的解析式，根据条件确定幂函数的解析式，再求值. 【详解】设，由得，所以. 故答案为： 13. 已知，则__________. 【答案】34 【解析】 【分析】利用平方法，结合完全平方公式进行求解即可. 【详解】由， 故答案为： 14. 已知四棱锥的底面是矩形，平面平面，，，.若四棱锥内存在内切球（球与四棱锥的各个面均相切），则______，该内切球的表面积为______. 【答案】 ①. 7 ②. 【解析】 【分析】根据内切球在等边三角形内的“正投影”求得内切球的半径，进而求得内切球的表面积，利用等体积法，即可求解. 【详解】由于平面平面，，，.为直角三角形，底面为矩形， 所以四棱锥的内切球在的“正投影”是的内切圆， 设的内切圆半径为， 则， 解得， 所以内切球的半径为1，其表面积为． 设，则平面平面，且交线为, 平面, 所以平面，同理平面，平面,故,故, 由余弦定理可得， 进而可得， 由等体积法可得化简可得，故（舍去）， 故答案为：7， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，是不共线的单位向量，且向量，. （1）若，求的值； （2）若，，求. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据共线定理，即可列方程求解， （2）根据垂直关系可得，即可由模长公式求解，代入模长公式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以存在实数，使得， 即， ，所以； 【小问2详解】 因为，所以， 即， 所以 即 因为， 所以. 所以 16. 已知函数的最大值为2，其图象相邻的两条对称轴距离为，且图象关于点对称. （1）求函数的解析式； （2）若，求函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意分别求出,代入点求出，即得解析式； （2）设，由求出，结合余弦函数的图象，根据函数单调性即可求得函数值域. 【小问1详解】 由题意得，，. 因，则，， 又因为，且，所以. 故. 【小问2详解】 设，因，则， 而在上递减，在上递增， 且，故， 所以函数的值域为. 17. 为贯彻“阳光体育”计划，促进学生身心素养的提高，某校倡导全校学生积极参与体育运动，并统计学生一周内运动时长，发现时长均在区间之间（单位：小时）. （1）将全校男生一周内运动时长分为，，，，五组，并绘制如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.求该校男生一周运动时长的平均数和中位数； （2）已知高二（1）班男生30人，女生20人，根据数据统计分析，发现该班男生一周内运动时长的平均数为9，方差为2；女生一周内运动时长的平均数为6.5，方差为4.求该班级全体学生一周内运动时长的方差. 【答案】（1）平均数为7.3；中位数为. （2）4.3 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数的计算公式以及中位数的计算公式即可求解， （2）根据方差计算公式即可求解. 【小问1详解】 ， 即男生一周运动时长的平均数为7.3小时； 中位数为第50百分位数，运动时长为的概率为， 运动时长为的频率为， 所以中位数落在区间内， 由，得到，即中位数为. 【小问2详解】 该班级全体学生一周内运动时长平均数， 所以该班级全体学生一周内运动时长的方差 18. 如图，平行四边形中，，，为中点，现将沿折起至，连接，，且. （1）求证：平面平面； （2）已知. （i）若，求证：平面； （ii）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】（1）证明见解析； （2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求解长度，即可由勾股定理求解垂直，根据线线垂直求证线面垂直，进而可得面面垂直， （2）（i）根据中位线以及平行四边形可得线线平行，即可求证线面平行，进而由面面平行的判定即可求证， （ii）由线面角的定义可得就是直线与平面所成的角，即可三角形相似以及余弦定理求解. 【小问1详解】 由题可知为正三角形，取中点，连接， 则，且， 在中，，，，，所以， 所以在中，，所以， 因，平面平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 ①取中点，连接，， 在中，因为，分别为，的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 而，且，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 又因为，平面,所以平面平面， 因为平面，所以平面. ②过作交于点，过作交于， 设与交于点，连接，，， 同①，易证平面平面， 又因为平面平面，平面平面， 所以， 由（1）可知平面，所以平面， 所以就是直线与平面所成的角， 所以， 因为，所以， 在中，， 所以， 在中，，所以， 所以， 所以， 解得或， 因为，故. 19. 已知函数. （1）若函数是奇函数，求的值； （2）若，记函数在上的最小值为. （i）求； （ii）设函数满足：对任意，均存在，使得，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义可直接求参数的值. （2）（i）分情况去掉绝对值符号，结合二次函数的单调性，求函数的最小值，可得的解析式；（ii）问题转化为的值域是值域的子集，根据集合之间的关系求参数的取值范围. 【小问1详解】 因为为奇函数，所以， 所以. 【小问2详解】 （i）①若，则， 当时，对称轴，所以在上单调递增， 当时，若，即，则在上单调递减， 如图： 所以. 若，即，则， 若，即时， 如图： 则在上单调递增，在上单调递减， 所以， ②若，则，，对称轴， 如图： 所以在上单调递增， 所以， 综上，. （ii）若，则， 所以，所以， 若，则，所以， 所以， 综上，的取值范围为 【点睛】关键点点睛：该题的最后一问，要把问题转化成的值域是值域的子集，根据集合之间的关系求参数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$