1.2.2充分条件和必要条件（教学课件）数学湘教版2019必修第一册

1.2 常用逻辑用语 1.2.2 充分条件和必要条件 第1章 集合与逻辑 新知探索——充分条件和必要条件 当“若，则”成立，即时，把叫作的充分条件，叫作的必要条件. 可以理解为若成立，则也一定成立，即对于的成立是充分的；反过来，若不成立，则必不成立，即对于的成立是必要的. 自然地，若，即不是的充分条件，也不是的必要条件. 对照1.2.1节例2后面列出的6个命题可知： (1)若两个三角形全等，则它们相似； 命题(1)为真命题；故“全等”是“相似”的充分条件，“相似”是“全等”的必要条件. 新知探索——充分条件和必要条件 (2)若两个三角形相似，则它们全等； 命题(1)为假命题；故“相似”不是“全等”的充分条件，“全等”不是“相似”的必要条件. (3)若实数，则； 命题(3)为真命题；故“实数”是“”的充分条件，“”是“实数”的必要条件. (4)若四边形为菱形，则； 命题(4)为真命题；故“四边形为菱形”是“”的充分条件，“”是“四边形为菱形”的必要条件. 新知探索——充分条件和必要条件 (5)若则方程没有正的实根； 命题(5)为假命题；故“”不是“方程没有正的实根”的充分条件，“方程没有正的实根”也不是“”的必要条件. (6)若，则. 命题(6)为真命题；故“”是“”的充分条件，“”是“”的必要条件. 如果既有，又有，就记作.即既是的充分条件，又是的必要条件，此时我们称是的充分必要条件，简称充要条件.当然，此时也是的充分必要条件. 新知探索——充分条件和必要条件 换句话说，如果一个命题和它的逆命题都成立，则此命题的条件和结论互为充分必要条件. 命题(3)“若实数，则”的逆命题也是真命题，故“实数”是“”的充分必要条件，“”也是“实数”的充分必要条件. 是的充分必要条件指成立当且仅当成立.在这种情况下，和称为互相等价.两个互相等价的命题或条件通常是对同一事物从不同角度所作的描述. 例如，三角形全等的判别条件，，分别从不同方面描述了两个三角形全等的同一个事实，它们互相等价. 例析 分析 分别考虑命题“若，则”和“若，则”的真假性. 例 3 从“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中选择恰当的一种填空： (1)是为正数的_______________； (2)四边形的两对角线相等是该四边形为矩形的_______________； (3)四边形的一组对边平行且相等是四边形的两组对边分别平行的_______________； (4)若，则是的_______________. 解 (1)，.因此应填“充分而不必要条件”. (2)四边形为矩形四边形的两对角线相等，反之不成立.因此应填“必要而不充分条件”. 例析 例 3 从“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中选择恰当的一种填空： (1)是为正数的_______________； (2)四边形的两对角线相等是该四边形为矩形的_______________； (3)四边形的一组对边平行且相等是四边形的两组对边分别平行的_______________； (4)若，则是的_______________. (3)四边形的一组对边平行且相等四边形的两组对边分别平行，它们实际上都在描述四边形是平行四边形.因此应填“充要条件”. (4)当时，，.因此应填“既不充分也不必要条件”. 例析 例 4 试证： (1)在实数范围内，是的充分而不必要条件； (2)四边形的两组对边分别相等是四边形为矩形的必要而不充分条件. 证明 (1)，则是的充分条件；由于，故 ，则不是的必要条件.因此，是的充分而不必要条件. (2)记：四边形的两组对边分别相等，：四边形为矩形. ，则是的必要条件；由于平行四边形的两组对边分别相等，，则不是的充分条件.因此，四边形的两组对边分别相等是四边形为矩形的必要而不充分条件. 新知探索——充分条件和必要条件 在学习平面几何时，我们知道有性质定理和判定定理的说法.例如，“等腰三角形两底角相等”叫作等腰三角形的性质定理.意思是说等腰三角形必有“两底角相等”这条性质，即此性质是等腰三角形的必要条件.反过来，“有两角相等的三角形是等腰三角形”叫作等腰三角形的判定定理，它揭示了具备此条件的三角形肯定是等腰三角形，即它是三角形成为等腰三角形的充分条件.把性质定理和判定定理综合起来就是简单的一句话：“两角相等是三角形为等腰三角形的充要条件.”使用充要条件、必要条件和充要条件这些逻辑用语来表述，学过的数学知识就更有条理了. 例析 例 5 下面列出直角三角形的6条性质： ①两锐角之和等于直角； ②有且只有一条边是最长边； ③有一条边上的中线等于此条边的一半； ④有一边的平方等于另外两边的平方之和； ⑤有一条边上的高分此边所成两线段的积等于此高的平方； ⑥有一条边是三角形外接圆的直径. 试指出哪些性质是三角形为直角三角形的充要条件. 解 以上除②之外，其余5条都是三角形为直角三角形的充要条件. 练习 题型一：充分条件的判断与探求 例1.下列命题中，是否是的充分条件？ (4)无实根； (5)设 解：(4)∵当时， 即无实根. ∴，即是的充分条件. (5)∵当时，满足. ∴，即是的充分条件. 练习 方法技巧： 1.定义法判断充分条件的步骤： (1)分清“条件”与“结论”. (2)判断条件能否推出结论. (3)下结论：若“条件结论”，则是的充分条件；若“条件结论”，则不是的充分条件. 2.集合法判断充分条件 已知满足条件,满足条件.若，则是的充分条件. 练习 变1.下列命题中，是否是的充分条件？ (1)在中， (2) (3) (4)一个四边形是等腰梯形，四边形的对角线相等. 解：(1)在中，根据大角对大边可得 (2)由，解得或，不一定有 ∴，即不是的充分条件. (3)∵， ∴，即是的充分条件. (4)∵等腰梯形的对角线相等，∴，即是的充分条件. 练习 题型二：必要条件的判断与探求 例2.(多选)下列命题正确的是( ). A.“”是“”的必要条件 B.“”是“”的必要条件 C.“”是“”的必要条件 D.是的必要条件 答案：AC. 解：∵∴A是真命题； ∵，，∴B是假命题； ∵∴C是真命题； ∵，∴不是的必要条件，D是假命题. 练习 方法技巧： 1.定义法判断必要条件的步骤： (1)分清“条件”与“结论”. (2)判断条件能否推出结论. (3)下结论：若“结论条件”，则是的必要条件；若“结论条件”，则不是的必要条件. 2.集合法判断充分条件 已知满足条件,满足条件.若，则是的必要条件. 练习 变2.下列命题中，是否是的必要条件？ (1)两个三角形面积相等，两个三角形全等； (2)四边形的对角线相等，四边形是矩形； (3) (4)，. 解：(1)两个三角形全等两个三角形面积相等，所以是的必要条件. (2)四边形是矩形四边形的对角线相等，所以是的必要条件. (3)由得或，不一定有，所以不是的必要条件. (4)由得所以是的必要条件. 练习 题型三：充要条件的判断 例3.(多选)下列各题中，是的充要条件的有( ). A.为二次函数 B. C.四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直平分 D.或 答案：AD. 解：对于A，当时，可得为二次函数，当为二次函数时，可得故是的充要条件，故A正确. 对于B，当时，或故是的不必要条件，故B错误. 对于C，当四边形对角线互相平分时，不能推出四边形是正方形，故是的不必要条件，故C错误. 对于D，当或时，两边同时平方可得解得或故是的充要条件，故D正确. 练习 方法技巧： 判断充分、必要条件的步骤 认清 找推式 下结论 分清哪个是条件，哪个是结论 判断“若，则”及“若，则”的真假 根据推论及定义下结论 练习 变3.下列各题中，哪些是的充要条件？ (1)且； (2)三角形是等边三角形，三角形是等腰三角形； (3) 解：(1)∵ ∴是的充要条件. (2)∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形 ∴不是的充要条件，是的充分不必要条件.. (3)∵, ∴是的充要条件. 练习 题型四：利用充分条件与必要条件求参数范围 例4.是否存在实数，使“”是“或”的充分条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 解：令或由，得 当时，即即 此时或 ∴当时，是或的充分条件. 练习 方法技巧： 利用充分条件与必要条件求参数的取值范围问题，常用集合法求解，其步骤如下： (1)化简集合和； (2)根据与的关系(充分条件、必要条件等)，得出集合与之间的包含关系； (3)列出相关不等式(组)(也可借助数轴)； (4)化简，求出参数的取值范围. 练习 变4.已知条件：条件，若是的充分条件，则实数的取值范围是？若是的必要条件，则实数的取值范围是？ 解：由得 令， 若是的充分条件，则 即∴. 若是的必要条件，则 即∴. 课堂小结&作业 课堂小结： (1)充分条件、必要条件的判断； (2)“充分而不必要条件、必要而不充分条件、充要条件”的判断. 作业： (1)整理本节课的题型； (2)课本P17的练习13题； (3)课本P22的习题1.2的3、4、5、7、8、10题. 谢谢学习 Thank you for learning $$