1.2.3 全称量词和存在量词 课件-2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

该高中数学课件聚焦全称量词、存在量词及相关命题的意义、真假判断与否定，通过对比“x>0”“对每一个实数x，x>0”“有一个实数x，x>0”是否为命题，衔接已学命题知识，搭建从具体语句到量词概念的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动，通过三角形外心证存在命题等实例培养数学思维，用“改量词，否结论”口诀强化数学语言表达。例题分层设计，方法提炼结构化，助力学生提升逻辑推理能力，教师可直接用于课堂，高效落实教学目标。

1.2.3 全称量词和存在量词 学习目标 1.理解全称量词和存在量词的意义以及全称量词命题 和存在量词命题的意义. 2.掌握全称量词命题与存在量词命题真假性的判断. 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. “每一个”和“有一个”叫作量词.分别叫作全称量词和存在量词. 常见的全称量词：“任意”“所有”“每一个”“一切”“每一 个”“任给”. 常见的存在量词：“存在某个”“至少有一个”“有些”“有一 个”“对某些”“有的”. 下列语句是命题吗? (1)x>0; 不是命题 (2) 对每一个实数x,x>0; (3)有 一个实数x, x>0; 导入新课 假命题 真命题 新课学习 知识点1:含有量词的命题 “任意”“所有”“每一个”等全称量词，数学上用符号“V” 表示.语句“对M的任一个元素x, 有p(x) 成立”是命题，叫作全称 量词命题.用符号表示为：Vx∈M,p(x). “存在某个”“至少有一个”等存在量词，数学上用符号“3” 表示.语句“存在M的某个元素x, 使p(x) 成 立”也是命题，叫作存在 量词命题.用符号表示为：3 x∈M,p(x). 例题解析 例1 指出下列命题中使用了什么量词以及量词的作用范围，并把量词 用相应地数学符号取代： (1)对任意正实数a,a²-a-2>0; (2)对某个大于10的正整数n,(√2)n=1024. 解：(1)命题中有量词“任意”,这是一个全称量词，它的作用 范围是正实数集.该命题可以写成 “Va∈R+,a²-a-2>0”. (2)命题中有量词“某个”,这是一个存在量词，它的作用范围是 大于10的正整数集.该命题可以写成 “3n>10 且n∈N+,(√2)”=1024”. 例题解析 例2 判断下列全称量词命题的真假： (1)Vx∈R,x²+2>0; (2)Vx∈N,x⁴≥1. 解：(1)因为Vx∈R,x²≥0, 从而有x²+2≥2>0, 即x²+2>0. 因此 “Vx∈R ,x²+2>0” 是真命题. (2)因为0∈N, 且当x=0时 ，x⁴≥1 不成立，因此 “Vx∈N, x⁴≥ 1” 是假命题. 例题解析 例3 判断下列存在量词命题的真假： (1)3a∈Z,a²=3a-2; (2)3a≥3,a²=3a-2; ( 3 ) 设A,B,C 是平面上不在同一直线上的三点，在该平面上存在 某个点P, 使得PA=PB=PC. 解：(1)因为1∈Z 且1²=3×1 - 2,因此“3a∈Z,a²=3a- 2” 是真命题. (2)因为a²=3a-2 只有两个实数根a=1 或a=2, 所以当a≥ 时 a²≠3a-2. 因 此“ 3a≥3, a²=3a-2” 是假命题. 例题解析 ( 3 ) 设A,B,C 是平面上不在同一直线上的三点，在该平面上 存在某个点P, 使得PA=PB=PC. ( 3 ) 以A,B,C 为顶点构成一个三角形，三角形总有外接圆，设P 是△ABC 的外心，则PA=PB=PC. 因此“该平面上存在某个点P, 使得PA=PB=P C” 是真命题. 方法提炼 1.判断全称量词命题真假的思维过程 全称 量词 命题 经证明为真或与性质、 定理等真命题相符 可举反例 可找到x, 使p(x)成立 找不到x, 使p(x) 成立 真命题 假命题 真命题 假命题 2.判断存在量词命题真假的思维过程 存在 量词 命题 新课学习 知识点2:含量词命题的否定 如何对含有量词的命题进行否定呢?先看下面两个例子： (1)所有的正方形都是平行四边形； (2)存在实数x, 使得x²-3x- 5=0. 命题(1)的否定为“所有的正方形并不都是平行四边形”,换言之， “有正方形不是平行四边形”.命题否定后，全称量词变为存在量词， “肯定”变为“否定”. 命题(2)的否定为“不存在实数x, 使得x²-3x-5=0”, 即“对 所有的实数x,使得x²-3x-5≠0”. 命题否定后，存在量词变为全称 量词，“肯定”变为“否定” . 新课学习 一般地，命题 “Vx∈I,p(x)” 的否定是“3x∈1, 一p(x)”; 命题“3x∈I,p(x)” 的否定是 “Vx∈I,→p(x)”. 即 ┐(Vx∈I,p(x))⇔3x∈I, 一p(x) ┐(3x∈I,p(x))⇔Vx∈I, 一p(x) 改量词，否结论 例题解析 例4 写出下列含量词命题的否定： (1)p: 每一个素数都是奇数； →p:存在一个素数不是奇数. (2)q: 所有二次函数的图象都是轴对称图形； ┐q:存在一个二次函数的图象不是轴对称图形. (3)r:3x∈R,-2x²+4x-3>0; ┐r:Vx∈R,-2x²+4x-3≤0 (4)s: 有的三角形的垂心在其外部； ┐s:任意三角形的垂心都在其内部或边上. (5)t: 有一个小于210的正整数至少有4个质因数. ┐t: 任意小于210的正整数至多有3个质因数. 例5 对下列含有量词的命题作否定，并判断其真假： (1)p: 任意正实数都有算术平方根； →p:存在正实数没有算术平方根. 由于所有正实数都有算术平方 根，所以这是假命题. (2)q:3x∈R,x²+3≤0. 一q:Vx∈R,x²+3>0. 由于Vx∈R,x²≥0, 于是x²+3>0 恒成立，所以这是真命题. 例题解析 课堂练习 1、判断正误： (1)“一切”“每一个”“任意一个”是全称量词. ( √) (2)有些全称量词命题的全称量词可以省略. ( √) (3)“有些”“有一个”“对某些”“有的”是存在量词. ( √) (4) 存在量词命题中的存在量词可以省略. (× ) 3 、命题“对任意x∈ R,|x-2|+|x- 4|>3” 否定一p是 3x∈R,||x-2|+|x-4|≤3 2、命题p:3x∈R,x²-2x+1=0 Vx∈R,x²-2x+1≠0 课堂练习 的否定一p是 课堂练习 4 、 已 知 集 合A={(x|-2≤x≤5},B={(x|m+1≤x≤2m-1}, (1)若命题p:Vx∈B,x∈A 是真命题，求m 的取值范围； (2)命题q:3x∈A,x∈B 是真命题，求m 的取值范围. 解：(1)因为命题p:Vx∈B,x∈A 是真命题，所以B≌A, 当B= 时 ，m+1>2m-1, 解得m<2; 当B≠Ø 时 ， , 解得2≤m≤ 3. 综上，m 的取值范围为{m|m ≤3}. 4 、 已 知 集 合A={(x|-2≤x≤5},B={(x|m+1≤x≤2m-1}, (2)命题q:3x∈A,x∈B 是真命题，求m 的取值范围. (2)因为q:3x∈A,x∈B 是真命题，所以A∩B≠Ø, 所以B≠Ø, 即m≥2, 所以m +1≥3, 所以A∩B≠ø 只需满足m+1≤5 即可，即m≤4. 故m 的取值范围为{m|2≤m≤4}. 课堂练习 课堂练习 5、写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)p: 对于任意的实数m, 方程x²+x-m=0 必有实数根； (2)q: 任意一个实数乘-1都等于它的相反数； (3)r: 正方形的对角线相等. 解：(1) →p:存在实数m, 使得方程x²+x-m=0 当△= 1+4 m<0, 即 时，方程x² +x-m 根.一p是真命题. 没有实数根. =0 没有实数 课堂练习 (2)q: 任意一个实数乘-1都等于它的相反数； (3)r: 正方形的对角线相等. (2) 一q: 存在一个实数乘-1不等于它的相反数.一q 是假命题. (3)┐r: 有的正方形的对角线不相等.┐r是假命题. 课堂练习 6 、已知p:1≤x ≤2, q:a≤x≤a+2. 若→p 是 ┐q 的必要而不充分 条件，求a 的取值范围. 解：一p:x<1 或x>2, 一q:x<a 或x>a+2, 因为→p 是 ┐q的必要而不充分条件， 正 1 以 解得0≤ a≤1, 故a 的取值范围为[0,1]. 常见的全称量词：“任意”“所有”“每一个”“一切” “每一个”“任给”. 常见的存在量词： “存在某个”“至少有一个”“有些” “ 有 一 个 ” “ 对 某 些 ” “ 有 的 ” . 3、全称量词命题与存在量词命题的否定 ┐(Vx∈I,p(x))⇔3x∈I, 一p(x) (3x∈I,p(x))⇔V x∈I,一p(x) 全称量词命题：Vx∈M,p(x). 存在量词命题： Vx∈M,p(x). 课堂总结 1、全称量词、存在量词 改量词，否结论 2、全称量词命题、存在量词命题 $