1.2.3 第1课时 含有量词的命题-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册教师用书配套课件（湘教版）

该高中数学课件聚焦全称量词、存在量词的定义及相关命题的识别与真假判断，以学校体操表演情境导入，通过“所有”“至少有”等生活用语引出逻辑量词，搭建生活与数学的桥梁，衔接集合基础，为逻辑用语学习提供支架。 其亮点在于以情境导学激发兴趣，结合例题解析与分层训练，培养数学抽象与逻辑推理素养。如通过“平行四边形对角线互相平分”等实例强化命题理解，课堂小结系统梳理知识，助力学生形成逻辑思维，也为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

第1章　集合与逻辑 1.2　常用逻辑用语 1.2.3　全称量词和存在量词 第1课时　含有量词的命题 学习任务 核心素养 1．理解全称量词、全称量词命题的定义．(重点) 2．理解存在量词、存在量词命题的定义．(重点) 3．会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．(难点) 1．借助全称量词、存在量词的含义，培养数学抽象素养． 2．通过全称量词命题、存在量词命题的判断，提升逻辑推理素养． 第1课时　含有量词的命题 某学校为了迎接秋季田径运动会，正在排练由1 000名学生参加的开幕式体操表演．这1 000名学生符合下列条件： (1)所有学生都来自高二年级； (2)至少有30名学生来自高二(1)班； (3)每一个学生都有固定表演路线． 上述条件中包含以下短语：“所有”“至少有”和“每一个”，这些短语在逻辑上称为什么？含有这些短语的命题称作什么命题？ 必备知识·情境导学探新知 第1课时　含有量词的命题 知识点1　全称量词与全称量词命题 (1)“任意”“所有”“每一个”等量词叫作____________，数学上用符号“______”表示． (2)语句“对M的任一个元素x，有p(x)成立”是命题，叫作____________命题，用符号简单地表示为__________________． 全称量词 ∀ 全称量词 ∀x∈M，p(x) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　含有量词的命题 提醒　全称量词命题含有全称量词，有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　含有量词的命题 思考　1．命题“自然数是正整数”是全称量词命题吗？它的量词是什么？ [提示]　是全称量词命题．它的量词是“所有的”(“每一个”等)．即所有的自然数都是正整数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　含有量词的命题 体验　1．下列命题中是全称量词命题的有______．(填序号) ①任意一个偶数都能被2整除； ②有的矩形是正方形； ③三角形的内角和是180°． ①③ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　含有量词的命题 体验　2．“任意一个实数的平方都大于等于0”用符号“∀”可表示为____________________． ∀x∈R，x2≥0　[命题“任意一个实数的平方都大于等于0”，用“∀”符号可以表示为∀x∈R，x2≥0．] ∀x∈R，x2≥0 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　含有量词的命题 知识点2　存在量词与存在量词命题 (1)“有一个”“存在某个”“至少有一个”等量词叫作______量词，数学上用符号“________”表示． (2)语句“存在M的某个元素x，使p(x)成立”是命题，叫作存在量词命题，用符号简单地表示为____________________． 存在 ∃ ∃x∈M，p(x) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　含有量词的命题 思考　2．“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式． [提示]　是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　含有量词的命题 体验　3．命题“有些长方形是正方形”含有的量词是________，该量词是_______________． (填“全称量词”或“存在量词”) 有些 存在量词 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　含有量词的命题 关键能力·合作探究释疑难 类型1　全称量词命题与存在量词命题的识别 【例1】　【链接教材P20例6】 判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题． (1)对任意x∈{x|x>－1}，3x＋4>0成立； (2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形． 第1课时　含有量词的命题 [解]　(1)全称量词命题，表示为∀x∈{x|x>－1}，3x＋4>0． (2)全称量词命题，表示为∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解． (3)存在量词命题，表示为∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除． (4)存在量词命题，表示为∃x∈{y|y是四边形}，x不是平行四边形． 【教材原题·P20例6】 例6　指出下列命题中使用了什么量词以及量词的作用范围，并把量词用相应的数学符号取代： (1)对任意正实数a，a2－a－2>0； (2)对某个大于10的正整数n，()n＝1 024． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　含有量词的命题 [解]　(1)命题中有量词“任意”，这是一个全称量词，它的作用范围是正实数集．该命题可以写成“∀a∈R＋，a2－a－2>0”． (2)命题中有量词“某个”，这是一个存在量词，它的作用范围是大于10的正整数集．该命题可以写成“∃n>10且n∈N＋，()n＝ 1 024”，或者写成“∃n∈N＋且n>10，()n＝1 024”“∃n∈N＋∩(10，＋∞)，()n＝1 024”． 反思领悟　判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 提醒：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　含有量词的命题 [跟进训练] 1．下列语句中，是全称量词命题的是___________，是存在量词命题的是________．(填序号) ①菱形的四条边相等； ②所有含两个60°角的三角形是等边三角形； ③负数的立方根不等于0； ④至少有一个负整数是奇数； ⑤所有有理数都是实数吗？ ①②③ ④ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　含有量词的命题 ①②③　④　[①②③是全称量词命题；④是存在量词命题；⑤不是命题．] 类型2　全称量词命题与存在量词命题的真假 【例2】　【链接教材P20例7、P21例8】 判断下列命题的真假： (1)任意两个面积相等的三角形一定相似； (2)∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0； (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P； (4)∀x∈N，x2>0． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　含有量词的命题 [解]　(1)因为面积相等的三角形不一定相似，故它是假命题． (2)因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0， 所以不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题． (3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题． (4)因为0∈N，02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题． 【教材原题·P20例7、P21例8】 例7　判断下列全称量词命题的真假： (1)∀x∈R，x2＋2>0； (2)∀x∈N，x4≥1． [解]　(1)因为∀x∈R，x2≥0，从而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0．因此“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题． (2)因为0∈N，且当x＝0时，x4≥1不成立，因此“∀x∈N，x4≥1”是假命题． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　含有量词的命题 例8　判断下列存在量词命题的真假： (1)∃a∈Z，a2＝3a－2； (2)∃a≥3，a2＝3a－2； (3)设A，B，C是平面上不在同一直线上的三点，在该平面上存在某个点P，使得PA＝PB＝PC． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　含有量词的命题 [解]　(1)因为1∈Z且12＝3×1－2，因此“∃a∈Z，a2＝3a－2”是真命题． (2)因为a2＝3a－2只有两个实数根a＝1或a＝2，所以当a≥3时a2≠3a－2．因此“∃a≥3，a2＝3a－2”是假命题． (3)以A，B，C为顶点构成一个三角形，三角形总有外接圆，设P是△ABC的外心，则PA＝PB＝PC．因此“该平面上存在某个点P，使得PA＝PB＝PC”是真命题． 反思领悟　全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)． (2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　含有量词的命题 [跟进训练] 2．判断下列命题的真假： (1)∀x∈R，x2＋1> ； (2)∃α，β∈R，(α－β)2＝(α＋β)2； (3)存在一个数既是偶数又是负数； (4)每一条线段的长度都能用正有理数表示； (5)存在一个实数x，使等式x2＋x＋8＝0成立． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　含有量词的命题 [解]　(1)真命题，因为x2≥0， 所以x2＋1≥1，x2＋1>恒成立． (2)真命题，例如α＝0，β＝1，符合题意． (3)真命题，如数－2，－4等，既是偶数又是负数． (4)假命题，如边长为1的正方形的对角线长为，它的长度就不是有理数． (5)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31<0，故无实数解． 类型3　依据含量词命题的真假求参数的取值范围 【例3】　命题p：存在实数x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立，若命题p为真命题，求实数a的取值范围． 判断方程ax2＋2x－1＝0是否为关于x的一元二次方程，由此思考命题为真的情况． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　含有量词的命题 [解]　当a＝0时，方程为2x－1＝0，显然有实数根，满足题意；当a≠0时，由题意可得ax2＋2x－1＝0有实根，得Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1，且a≠0． 综上可得a≥－1． 即实数a的取值范围是． 反思领悟　利用含量词的命题的真假求参数的取值范围 (1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围． (2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　含有量词的命题 [跟进训练] 3．若命题“p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A．m≥1　　B．m＞1　　C．m＜1　　D．m≤1 B　[命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则Δ＜0，即m＞1．] √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　含有量词的命题 1．(多选题)下列是全称量词的是(　　) A．任意一个 B．所有的 C．每一个 D．很多 学习效果·课堂评估夯基础 √ ABC　[很明显A，B，C中的量词均是全称量词，D中的量词不是全称量词．故选ABC．] √ √ 第1课时　含有量词的命题 2．下列命题中是存在量词命题的是(　　) A．任何一个实数乘0都等于0 B．任意一个负数都比零小 C．每一个正方形都是矩形 D．一定存在没有最大值的二次函数 √ D　[D选项是存在量词命题．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　含有量词的命题 3．(教材P21练习T2改编)下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　) A．每个二次函数的图象都开口向上 B．存在一条直线与已知直线不平行 C．对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤b D．存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立 √ C　[对于B，D，它们是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象开口向下，也应排除．故选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　含有量词的命题 4．命题p：∃x∈R，x2＋2x＋5＝0是_____________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)． 存在量词命题　假　[命题p是存在量词命题， 因为方程x2＋2x＋5＝0的判别式Δ＝22－4×5<0， 即方程x2＋2x＋5＝0无实根，所以命题p是假命题．] 存在量词命题 假 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　含有量词的命题 5．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为__________________________． ∃x<0，使(1＋x)(1－9x)>0　[“有些”是存在量词，所以命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“∃”可表述为∃x<0，使(1＋x)(1－9x)>0．] ∃x<0，使(1＋x)(1－9x)>0 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　含有量词的命题 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．常见的全称量词有哪些？用符号怎么表示？ [提示]　全称量词有：“所有的”“任意一个”等，用符号“∀”表示． 2．常见的存在量词有哪些？用符号怎么表示？ [提示]　存在量词有：“存在一个”“至少有一个”等，用符号“∃”表示． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　含有量词的命题 3．全称量词命题如何用符号表述？存在量词命题呢？ [提示]　全称量词命题用符号简记为“∀x∈M，p(x)”，存在量词命题用符号简记为“∃x∈M，p(x)”． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　含有量词的命题 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．(多选题)下列命题是“∃x∈R，x2>3”的表述方法的是(　　) A．有一个x∈R，使得x2>3成立 B．对有些x∈R，使得x2>3成立 C．任选一个x∈R，都有x2>3成立 D．至少有一个x∈R，使得x2>3成立 课时分层作业(八)　含有量词的命题 √ √ √ 38 ABD　[原命题为存在量词命题，A，B，D选项均为对应的存在量词命题，C为全称量词命题．故选ABD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．下列命题中的假命题是(　　) A．∃x∈R，|x|＝0 B．∃x∈R，2x－10＝1 C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R，x2＋1>0 √ C　[当x＝0时，x3＝0，故选项C为假命题．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　含有量词的命题 40 3．下列命题中是存在量词命题的是(　　 ) A．∀x∈R，x2＞0 B．∃x∈R，x2≤0 C．平行四边形的对边平行 D．矩形的任一组对边相等 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ B　[对于A，含有全称量词“∀”，为全称量词命题；对于B，含有存在量词“∃”，为存在量词命题，满足题意；对于C，省略了全称量词“所有”，为全称量词命题；对于D，省略了全称量词“所有”，为全称量词命题．故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　含有量词的命题 41 4．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　 ) A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使>2 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ B　[对于A，锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；对于B，x＝0时，x2＝0，所以B既是存在量词命题又是真命题；对于C，因为＋(－)＝0，所以C是假命题；对于D，对于任意一个负数x，都有<0，所以D是假命题．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　含有量词的命题 42 5．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则(　　) A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉P C．∃x∉Q，使得x∈P D．∃x∈P，使得x∉Q 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ B　[∵P∩Q＝P，∴P⊆Q， ∴∀x∉Q，有x∉P，故B正确．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　含有量词的命题 43 二、填空题 6．命题“存在实数x，y，使得x＋y＞1”是__________________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，用符号表示为 __________________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 存在量词命题　∃x，y∈R，x＋y＞1　[命题“存在实数x，y，使得x＋y＞1”是存在量词命题，用符号表示为“∃x，y∈R，x＋y＞1”．] 存在量词命题 ∃x，y∈R，x＋y＞1 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　含有量词的命题 44 7．下列命题： ①存在x<0，使|x|>x； ②对于一切x<0，都有|x|>x； ③不存在实数x，使x2＋x＋1<0； ④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N＋，都有A∩B＝∅． 其中，所有真命题的序号为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ①②③ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　含有量词的命题 45 ①②③　[命题①②显然为真命题；由于∀x∈R，x2＋x＋1＝＋>0恒成立，故③为真命题；已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，如n＝1，2，3时，6∈(A∩B)，故④为假命题．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 46 8．若一次函数y＝kx＋2(x∈R)的图象恒过第三象限，则实数k的取值范围为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 {k|k>0}　[一次函数y＝kx＋2的图象过点(0，2)，若恒过第三象限，则k>0．] {k|k>0} 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　含有量词的命题 47 三、解答题 9．已知命题p：∃x≥－，2x＋2－a＝0为真命题，求实数a的取值范围． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　因为p为真命题，即方程2x＋2－a＝0在x≥－范围内有实根，所以a＝2x＋2≥2×＋2＝1， 所以a≥1，即实数a的取值范围为{a|a≥1}． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　含有量词的命题 48 10．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，然后用符号表示，并判断真假． (1)对任意实数a，b，若a>b，则<； (2)有些实数a，b能使＝成立． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　含有量词的命题 49 [解]　(1)全称量词命题． 用符号表示：∀a，b∈R，若a>b，则<， 当a＝1，b＝－1时，＝1，＝－1，则>，可知该命题为假命题． (2)存在量词命题． 用符号表示：∃a，b∈R，＝， 当a＝b＝0时，＝，可知该命题为真命题． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 50 11．已知不等式x＋3≥0的解集是A，则使命题“∀a∈M，a∉A”为真命题的集合M是(　　) A．{a|a≥－3} B．{a|a>－3} C．{a|a≤－3} D．{a|a<－3} 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ D　[因为x＋3≥0，所以A＝{x|x≥－3}． 又因为∀a∈M，都有a∉A，所以a<－3．故选D．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　含有量词的命题 51 12．(多选题)下列四个命题： ①一切实数均有相反数；②∃a∈N，使得方程ax＋1＝0无实数根；③梯形的对角线相等；④有些三角形不是等腰三角形． 其中，是真命题的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ ABD　[①为真命题；②为真命题，当a＝0时，方程ax＋1＝0无实数根；对于③，等腰梯形的对角线相等，故③为假命题；④为真命题．] √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　含有量词的命题 52 13．若存在实数x∈{x|x≤1}，使不等式4x＋3≥m能成立，则实数m的取值范围是_______________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 {m|m≤7}　[因为不等式4x＋3≥m的解集为， 所以只需要≤1， 即m≤7．] {m|m≤7} 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　含有量词的命题 53 14．能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab”是真命题的一组有序数对(a，b)为___________________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (答案不唯一)　[存在两个不相等的正数a，b，如a＝，b＝时，使得a－b＝ab是真命题．] (答案不唯一) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　含有量词的命题 54 15．选择合适的量词(∀，∃)，加在下列语句的前面，使其成为一个真命题． (1)x>2； (2)x是偶数； (3)若x是无理数，则x2是无理数； (4)a2＋b2＝c2．(这是含有三个变量的语句，用p(a，b，c)表示) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 第1课时　含有量词的命题 55 [解]　(1)∃x∈R，x>2． (2)∃x∈Z，x是偶数． (3)∃x∈R，若x是无理数，则x2是无理数． (4)∃a，b，c∈R，a2＋b2＝c2． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 56 $