精品解析：江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高一下学期期末调研数学试卷

2023-2024学年第二学期六校期末调研 高一数学 一、单项选择题(本题共8个小题，每小题5分，共40分) 1. 若 则（ ） A. B. 3 C. D. 5 2. 已知向量，， 若，则实数m的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知 ，则的值为（ ） A B. C. D. 4. 已知圆锥母线长为2，轴截面为等边三角形，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 在某城市正东方向200km处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度的大小为20km/h，距离台风中心 150km. 以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约几小时后该城市所在地开始受到影响.(参考数据： （ ） A. 2 B. 4.5 C. 9.5 D. 10 6. 从甲、乙2名男生，丙、丁2名女生中随机选两个人参加某个比赛，A表示事件“甲被选中参加比赛”，B表示事件“乙没被选中参加比赛”，C表示事件“被选中的两个人性别相同”，则（ ） A A与B互斥 B. A与B独立 C. A与C互斥 D. A与C独立 7. 在如图所示的几何体中， 底面ABCD 是边长为2的正方形，，，，均与底面ABCD 垂直， 且. 点 E、F分别为线段BC、的中点，记该几何体的体积为V，平面AFE将该几何体分为两部分，则体积较小的一部分的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点 P为△ABC内一点， 且∠ABP=30°， ∠PBC=15°，∠PCB=15°， ∠PCA=60°，则∠PAC的正切值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分) 9. 下列有关复数的说法正确的是（ ） A. 若则 B. C. D. 若，则的取值范围为 10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.则下列说法正确的是（ ） A. B. 的取值范围是 C. 若D为边AC的中点，且，则面积的最大值为 D. 若角B的平分线交AC于点E，且，则的最小值18. 11. 正多面体也称柏拉图立体(被誉为最有规律的立体结构)，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形).数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体的棱长都是3(如图)，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线与平面所成的角为 C. 若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值 D. 若点为棱上的动点，则的最小值为 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知向量， 向量， 则在上的投影向量的坐标为_______. 13. 如图， 平面四边形 中，,， 则的长为______. 14. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，为球的直径，且，则三棱锥体积的最大值为___________. 四、解答题 (本题共5小题，共77分) 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求角A的大小. （2）若，求AC边上的中线BD的长. 16. 为了解某地居民月收入情况，某社会机构调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每组数据以区间中点值为代表. （1）求频率分布直方图中a的值. （2）求月收入的平均数、75 百分位数. （3）现按月收入分层， 在[2000， 3000)和[3000， 4000)这两个收入段中， 按比例分配分层随机抽样方法抽出6人进一步了解情况，再从中任选2人进行专访.求选中的2人来自不同收入段的概率. 17. 如图，在梯形ABCD中，，O为AC与BM的交点. （1）若，求； （2）若，求. 18. 如图，在四棱锥中， 底面ABCD是边长为3的菱形，且， AC交BD于点O，，M，N分别为PA，BC的中点. （1）求证：MN∥平面PCD； （2）记二面角的平面角为θ， 若 ①求 PA与底面ABCD所成角的大小； ②求点 N到平面 CDP的距离. 19. 已知 点B，C分别为其两条边上不与点 A 重合的点. （1）如图1，若为锐角三角形，求AC的取值范围. （2）如图2，若以BC为边构造等边设试求AD的最大值. （3）如图2，若以BC为边构造等边试求AD最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第二学期六校期末调研 高一数学 一、单项选择题(本题共8个小题，每小题5分，共40分) 1. 若 则（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】法一：先利用复数的除法运算法则化简复数，然后用模长公式就可求解；法二：分子分母分别求模长，然后再把模长相除即可得解. 【详解】方法一：因为， 所以， 方法二：， 故选：C. 2. 已知向量，， 若，则实数m的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直，两向量的数量积为0，即可求得m的值. 【详解】因为向量，， 所以， 解得， 故选：B. 3. 已知 ，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角关系求，再结合两角差的正切公式分析分析求解. 【详解】因为，则， 可得， 所以. 故选：D. 4. 已知圆锥的母线长为2，轴截面为等边三角形，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴截面为等边三角形，求出圆锥底面的半径，因为圆锥侧面展开图是扇形，利扇形面积公式求圆锥的侧面积，再求底面积，然后相加即可求解. 【详解】 如图，因为圆锥的母线长为2，轴截面为等边三角形，所以圆锥的底面半径为1， 则该圆锥的侧面积为，底面积为， 所以该圆锥的表面积为. 故选：A. 5. 在某城市正东方向200km处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度的大小为20km/h，距离台风中心 150km. 以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约几小时后该城市所在地开始受到影响.(参考数据： （ ） A. 2 B. 4.5 C. 9.5 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画出示意图，利用余弦定理即可求解. 【详解】 如图，当台风中心向西北方向移动到达点时，的距离恰好150km，此时该城市所在地开始受到影响， 设小时后该城市所在地开始受到影响, 台风中心移动速度的大小为20km/h，所以km，由题意知，km, 又台风中心向西北方向移动，所以, 由余弦定理可得， 解得或（舍）， 则开始受到影响在之后. 故选：B. 6. 从甲、乙2名男生，丙、丁2名女生中随机选两个人参加某个比赛，A表示事件“甲被选中参加比赛”，B表示事件“乙没被选中参加比赛”，C表示事件“被选中的两个人性别相同”，则（ ） A. A与B互斥 B. A与B独立 C. A与C互斥 D. A与C独立 【答案】D 【解析】 【分析】利用古典概型求，再根据互斥事件和独立事件的定义逐项分析判断. 详解】由题意可知：随机选两个人参加某个比赛，可知： 样本空间：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁）， 则， 事件A：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），则，； 事件B：（甲，丙），（甲，丁），（丙，丁），则，； 事件C：（甲，乙），（丙，丁），则，； 事件AB：（甲，丙），（甲，丁），则，； 事件AC：（甲，乙），则，； 对于选项A：因为，可知A与B不互斥，故A错误； 对于选项B：因为，所以A与B不独立，故B错误； 对于选项C：因为，可知A与C不互斥，故C错误； 对于选项D：因为，可知A与C独立，故D正确； 故选：D. 7. 在如图所示的几何体中， 底面ABCD 是边长为2的正方形，，，，均与底面ABCD 垂直， 且. 点 E、F分别为线段BC、的中点，记该几何体的体积为V，平面AFE将该几何体分为两部分，则体积较小的一部分的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求几何体的体积，再根据截面位置求被截较小部分的体积即可. 【详解】由题意可知该几何体是长方体截去一个三棱锥，如图所示， 有，，四边形为平行四边形，有， 点 E、F分别为线段、的中点，则， 所以平面即为平面AFE截几何体的截面. 因为，， 所以几何体的体积， 被截棱台的体积， 较大部分体积为，且， 所以较小部分的体积为. 故选：B. 8. 已知点 P为△ABC内一点， 且∠ABP=30°， ∠PBC=15°，∠PCB=15°， ∠PCA=60°，则∠PAC的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 如图，过P作AC的垂线，垂足为D，过P作BC的垂线，垂足为E， 令的外接圆半径为r， 因为∠ABP=30°， ∠PBC=15°，∠PCB=15°， ∠PCA=60° 所以, 由正弦定理可得：， 因为∠PBC=15°，∠PCB=15°，所以, 所以，在中， ， 因为∠PCA=60°，所以，在中， ，， 所以 所以，在中， ， 故选：A. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分) 9. 下列有关复数的说法正确的是（ ） A. 若则 B. C. D. 若，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，举例判断，对于B，令，分别计算进行判断，对于C，设对应的向量分别为，利用向量的几何意义分析判断，对于D，令，则由已知可得点在以为圆心，2为半径的圆上，根据圆的性质分析判断. 【详解】对于A，因为时，所以A错误， 对于B，令，则， 所以， 因为，所以，所以B正确， 对于C，设对应向量分别为，则, ， 因为，所以，所以C正确， 对于D，令，则由，得 ，， 所以点在以为圆心，2为半径的圆上， 所以的最小值为，最大值为， 即的取值范围为，所以D正确， 故选：BCD 10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.则下列说法正确的是（ ） A. B. 的取值范围是 C. 若D为边AC的中点，且，则面积的最大值为 D. 若角B的平分线交AC于点E，且，则的最小值18. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：借助面积公式与余弦定理由题意可得，对B：借助三角恒等变换公式可将其化为正弦型函数，借助正弦型函数的值域即可得；对C：借助向量数量积公式与基本不等式即可得；对D：借助等面积法及基本不等式计算即可得. 【详解】对于选项A：因为， 则，整理得， 且，所以，故A正确； 对于选项B：因为， 则 ， 又因为，则，可得， 所以的取值范围为，故B错误； 对于选项C：因为为边的中点，则， 则， 可得，即， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为，故C正确； 对于选项D： 由题意得， 即， 整理得，即， 可得， 当且仅当时，等号成立，故D正确． 故选：ACD. 11. 正多面体也称柏拉图立体(被誉为最有规律的立体结构)，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形).数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体的棱长都是3(如图)，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线与平面所成的角为 C. 若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值 D. 若点为棱上的动点，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项，正八面体，证明平面，再判断，对于B，可知平面，找到直线与平面所成的角为，在三角形中计算角度；对于C，利用等体积变换计算三棱锥的体积；对于D，由题意分析和，将两个三角形翻折到同一平面内，可得取最小值； 【详解】对于A选项，正八面体，连接， 对称性可知，⊥平面，且相交于点，为的中点， 又，， 故四边形为菱形，四边形为菱形， 可知是平面内两条相交直线， 所以平面，又平面，故，故A正确 对于B，由A选项可知平面，故直线与平面所成的角为， 且由题意得，故， 故，B错误； 对于C，三棱锥的体积， 其中点到平面的距离为，设菱形的面积为， 则 若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值，故C正确. 对于D，由题意得为等边三角形，边长为3， 在中，，为等腰直角三角形， 将沿直线ED翻折到平面EAD内，如图，易得, 则的最小值为为 ， D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：线面角求解方法：（1）定义法（2）向量法； 三棱锥体积求法方法：（1）直接法（2）等体积变换法； 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知向量， 向量， 则在上的投影向量的坐标为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求，再结合投影向量的定义分析求解. 【详解】因为，，则， 所以在上投影向量的坐标为. 故答案为：. 13. 如图， 平面四边形 中，,， 则的长为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知角和三角形内角和为，求出对应三角形的内角，然后利用正弦定理分别求出的长度，最后利用余弦定理求出的长度. 【详解】在中，，所以，又， 由正弦定理可得，，即， 解得， 在中，，所以，又， 由正弦定理可得，，即， 解得， 又因为，所以 在中，由正弦定理可得， 即， 所以. 故答案为：. 14. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，为球的直径，且，则三棱锥体积的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】在中，由正弦定理求得外接圆半径，得到的外接圆的半径为，进而求得球心到所在小圆的距离为，再由余弦定理，结合基本不等式求得，得到面积的最大值为，利用锥体体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，设圆的半径为， 在中，因为， 由正弦定理得，可得， 即的外接圆的半径为， 因为为球的直径，且，可得球的半径为， 所以球心到所在小圆的距离为， 则点S到平面的距离为， 在中，由余弦定理得， 即， 当且仅当时，等号成立，即， 所以面积的最大值为， 故三棱锥体积的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：1.根据球的性质求点点S到所在小圆的距离； 2.利用余弦定理结合基本不等式求面积的最大值. 四、解答题 (本题共5小题，共77分) 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求角A的大小. （2）若，求AC边上的中线BD的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用正、余弦定理边角转化可得，即可得结果； （2）利用两角和差公式以及正弦定理可得，进而根据中线的性质结合数量积分析求解. 小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理可得， 且，所以. 【小问2详解】 因为，且，可知， 可得， 由正弦定理可得，则， 又因为BD为AC边上的中线，则， 可得， 所以AC边上的中线BD的长为. 16. 为了解某地居民的月收入情况，某社会机构调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每组数据以区间中点值为代表. （1）求频率分布直方图中a的值. （2）求月收入的平均数、75 百分位数. （3）现按月收入分层， 在[2000， 3000)和[3000， 4000)这两个收入段中， 按比例分配分层随机抽样方法抽出6人进一步了解情况，再从中任选2人进行专访.求选中的2人来自不同收入段的概率. 【答案】（1） （2）4800，5800 （3） 【解析】 【分析】（1）利用所有小矩形面积之和为1,即可求a的值； （2）根据频率分布直方图估计平均数和第75百分位数作答； （3）求出给定的两个区间的人数，再利用列举法求出概率作答. 【小问1详解】 由，解得， 【小问2详解】 设月收入的平均数为x,则 ， 设75 百分位数为m，则 ， 解方程得. 【小问3详解】 在[2000， 3000)的人数为人 在[3000， 4000)的人数为人 按比例分配分层随机抽样方法抽出6人中，在[2000， 3000)中抽2人，记为；在[300， 400)中抽4人； 从6人中任选2人结果有 ,共有15个； 选中的2人来自不同收入段有共有8个， 所以选中的2人来自不同收入段的概率为. 17. 如图，在梯形ABCD中，，O为AC与BM的交点. （1）若，求； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由线性运算可得，，结合数量积的定义和运算律分析求解； （2）由数量积的运算律结合（1）中结论可得，进而可求，，结合向量夹角运算求解. 【小问1详解】 由题意可知：，， 可得则，， 若，则， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知：，， 且， 可得， 则，即， ，即， 所以. 18. 如图，在四棱锥中， 底面ABCD是边长为3的菱形，且， AC交BD于点O，，M，N分别为PA，BC的中点. （1）求证：MN∥平面PCD； （2）记二面角的平面角为θ， 若 ①求 PA与底面ABCD所成角的大小； ②求点 N到平面 CDP的距离. 【答案】（1）证明见详解 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）取PD得中点E，连接ME，CE，证明，然后证明平面PCD； （2）①作出二面角的平面角，利用二面角的余弦值求出，，再由条件可证明所求线面角为，利用直角三角形求大小即可；②由平面PAC转化为求O到平面距离，作出垂线段，利用等面积法求解即可. 【小问1详解】 取PD得中点E，连接ME，CE，如图， 因为为PA的中点，则， 又因为为的中点且四边形ABCD为菱形，则， 可得，可知四边形MNCE为平行四边形，则， 且平面PCD，平面PCD。所以 MN∥平面PCD. 【小问2详解】 ①连接PO，取的中点，连接， 因为， 则，且，，， 可知为二面角的平面角，即， 在中，由余弦定理可得， 即，解得， 则， 因为，是的中点，则， 又因为为菱形，则， 且，平面，可得平面， 由平面，可知平面平面， 且平面平面， 由面面垂直的性质可知：直线在平面上的射影为， 所以PA与底面ABCD所成角为. 因为，则， 且 ，可知， 所以PA与底面ABCD所成角的大小为； ②连接，过作于， 由，平面，平面，则平面， 可知点N到平面CDP的距离即点到平面CDP的距离， 因为，平面， 可得平面，且平面，可知平面平面 又因为，平面，平面平面， 所以平面，且平面， 在中，，，， 由等面积法可得，即， 所以点N到平面CDP的距离为. 【点睛】关键点点睛：根据二面角分析可知为二面角的平面角，结合余弦定理可得. 19. 已知 点B，C分别为其两条边上不与点 A 重合的点. （1）如图1，若为锐角三角形，求AC的取值范围. （2）如图2，若以BC为边构造等边设试求AD的最大值. （3）如图2，若以BC为边构造等边试求AD的最大值. 【答案】（1） （2） （3）6 【解析】 【分析】（1）方法一：利用余弦定理得到，分为最大角和为最大角两种情况，结合余弦定理得到不等式，求出AC的取值范围. 方法二：作图，先得到临界值，从而得到AC的取值范围； （2）由正弦定理求出的外接圆半径，作出圆，数形结合得到当三点共线时，取得最大值，并求出最大值； （3）以为边向外作等边三角形，根据三角形全等得到，当三点共线时，取得最大值，求出答案. 【小问1详解】 方法一：由余弦定理得，即， 故， 若为最大角，只需，故，解得， 若为最大角，只需，故，解得， 综上，. 方法二：如图3，此时，， 如图4，此时，， 由于为锐角三角形，故； 【小问2详解】 由正弦定理得，为的外接圆半径， 故，解得， 过点，分别作⊥，⊥，相交于点， 其中， 故以为圆心，为半径的圆，即为的外接圆， 当三点共线时，取得最大值，如图，即为所求， 其中，故， 即最大值为； 【小问3详解】 以为边向外作等边三角形，连接，故， 因为为等边三角形，所以，， 故，即， 故≌，所以， 当三点共线时，取得最大值，此时， 最大值为，故的最大值为6. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$