精品解析：四川省泸州市合江县2023-2024学年高二下学期6月期末联合考试数学试题

2024年春期高2022级高二期末联合考试 数学试题 数学试卷分为第1卷（选择题）和第I1卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卷上相应位置. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卷对应题目号的位置上，填涂在试卷上无效. 3.非选择题答案请使用黑色签字笔填写在答题卷对应题目号的位置上，填写在试卷上无效. 第一卷 选择题（58分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. （ ） A. B. 1 C. D. 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 直线过圆的圆心，并且与直线垂直，则直线的方程为（ ） A B. C. D. 4. 已知数列的前n项和为，则（ ） A. 81 B. 162 C. 243 D. 486 5. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 若样本数据的方差为2，则数据的方差为8 B. 若回归方程为，则变量y与x正相关 C. 甲同学所在的某校高三共有5003人，先剔除3人，再按简单随机抽样的方法抽取容量为200的一个样本，则甲被抽到的概率为 D. 在线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 6. 已知处有极值，则（ ） A. 11或4 B. -4或-11 C. 11 D. 4 7. 的展开式中的系数为（ ） A. 55 B. C. 65 D. 8. 已知，，，则（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（每小题6分，共3小题，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 直线，下列图象中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 甲罐中有5个红球，3个白球，乙罐中有4个红球，2个白球．整个取球过程分两步，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用，表示由甲罐取出的球是红球，白球的事件；再从乙罐中随机取出两球，分别用B，C表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”，“两球为一红一白”的事件，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知抛物线的焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，与C相交于P，Q，与C相交于M，N，的中点为G，的中点为H，则（ ） A. B. C. 的最大值为16 D. 当最小时，直线的斜率不存在 第二卷非选择题（92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案直接填在答题卡中的横线上.） 12. 近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，7名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中A，B角色各1人，C角色2人．已知这7名同学中有4名男生，3名女生，现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏，其余3人观看，要求选出的4人中至少有1名女生，并且A，B角色不可同时为女生．则店主共有__________种选择方式． 13. 若函数在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是___________. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上一点，且，H是线段上靠近的三等分点，且，则C的离心率为___________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列是等差数列，其前项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）. （1）求首次试验结束的概率； （2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整. ①求选到的袋子为甲袋的概率， ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 17. 如图，在直三棱柱中，，，E，F为线段，的中点． （1）证明：EF⊥平面； （2）若直线EA与平面ABC所成角大小为，求点C到平面的距离． 18. 已知函数（ 为常数，是自然对数底数），曲线在点处的切线与轴平行. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）设,其中 为的导函数.证明：对任意 . 19. 已知一动圆与圆外切，与圆内切，该动圆的圆心的轨迹为曲线． （1）求曲线方程． （2）已知点在曲线上，斜率为的直线与曲线交于两点（异于点）．记直线和直线的斜率分别为，，从下面①、②、③中选取两个作为已知条件，证明另外一个成立． ①；②；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年春期高2022级高二期末联合考试 数学试题 数学试卷分为第1卷（选择题）和第I1卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卷上相应位置. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卷对应题目号的位置上，填涂在试卷上无效. 3.非选择题答案请使用黑色签字笔填写在答题卷对应题目号的位置上，填写在试卷上无效. 第一卷 选择题（58分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. （ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的四则运算求解即可. 详解】 故选：C. 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据求导公式和求导法则，逐一验证四个选项的正误，即可得正确选项. 【详解】对于选项A：，故选项A正确； 对于选项B：，故选项B不正确； 对于选项C：，故选项C不正确； 对于选项D：，故选项D不正确， 故选：A 3. 直线过圆的圆心，并且与直线垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求圆心坐标，由垂直可得斜率，然后根据点斜式可得. 【详解】由可知圆心为， 又因为直线与直线垂直， 所以直线的斜率为， 由点斜式得直线， 化简得直线的方程是． 故选：D． 4. 已知数列的前n项和为，则（ ） A. 81 B. 162 C. 243 D. 486 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用列式计算即得. 【详解】数列的前n项和为，所以. 故选：B 5. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 若样本数据的方差为2，则数据的方差为8 B. 若回归方程为，则变量y与x正相关 C. 甲同学所在的某校高三共有5003人，先剔除3人，再按简单随机抽样的方法抽取容量为200的一个样本，则甲被抽到的概率为 D. 在线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 【答案】A 【解析】 【分析】对于选项A，结合新样本数据的方差公式运算；对于选项B，根据相关性的概念，由x的系数分析判断；对于选项C，根据随机抽样可知每个个体被抽到的机会均等，分析运算；对于选项D，相关指数越接近于1，拟合效果越好. 【详解】①若样本数据的方差为2， 则数据的方差为，故A项为真命题； ②由，可知，则变量y与x负相关，B项为假命题； ③根据随机抽样可知每个个体被抽到的机会均等，与抽样方法无关， 某校高三共有5003人，抽取容量为200的一个样本， 则甲被抽到的概率为，故C项为假命题； ④在线性回归分析中相关指数越接近于1，则模型的拟合效果越好，故D项为假命题. 故选：A. 6. 已知在处有极值，则（ ） A. 11或4 B. -4或-11 C. 11 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先求解导函数，再根据极值的概念求解参数的值即可. 【详解】根据题意， 函数在处有极值0 且 或 时恒成立，此时函数无极值点 . 故选：C. 7. 的展开式中的系数为（ ） A. 55 B. C. 65 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据展开式的通项公式进行计算即可. 【详解】含的项为， 所以展开式中的系数为． 故选： 8. 已知，，，则（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，考虑构造函数，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可. 【详解】因为， ， 考虑构造函数，则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 因为，所以，即， 所以， 所以，即， 又， 所以，故， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将被比较的数化为结构相似的形式，考虑构造函数利用函数的单调性比较大小. 二、多项选择题（每小题6分，共3小题，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 直线，下列图象中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据斜率和截距对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】直线， A选项，由图可知：，所以A选项错误. B选项，由图可知：，所以B选项正确. C选项，由图可知：，所以C选项正确. D选项，由图可知：，所以D选项错误. 故选：BC 10. 甲罐中有5个红球，3个白球，乙罐中有4个红球，2个白球．整个取球过程分两步，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用，表示由甲罐取出的球是红球，白球的事件；再从乙罐中随机取出两球，分别用B，C表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”，“两球为一红一白”的事件，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】在各自新的样本空间中求出，判断A，B；利用全概率公式计算，判断C，D作答. 【详解】在事件发生的条件下，乙罐中有5红2白7个球，则，A不正确； 在事件发生的条件下，乙罐中有4红3白7个球，则，B正确； 因，，， 则，C正确； 因，， 则，D正确. 故选：BCD 11. 已知抛物线的焦点为F，过F作两条互相垂直的直线，，与C相交于P，Q，与C相交于M，N，的中点为G，的中点为H，则（ ） A. B. C. 的最大值为16 D. 当最小时，直线的斜率不存在 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，先得到两直线斜率均存在且不为0，设直线方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由焦半径得到，，从而得到；B选项，在A选项基础上得到和，从而代入计算出；C选项，在B选项基础上，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；D选项，先得到，，表达出，并结合基本不等式求出当时，取得最小值，此时，故D正确. 【详解】A选项，若一条直线斜率不存在时，则另一条直线斜率为0， 此时与抛物线只有1个交点，不合要求， 故两直线斜率均存在且不为0， 由题意得，设直线方程为， 联立与得，， 易知，设，则， 则，， 则，A正确； B选项，在A选项基础上得到， 由于两直线均过焦点且垂直，可得， 故，B错误； C选项，由B选项可知， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为16，C错误； D选项，由A选项可知，点横坐标为， 故，所以， 由于两直线均过焦点且垂直，可得， 则 ， 其中，当且仅当，即时，等号成立， 当时，取得最小值，此时， 故当最小时，直线的斜率不存在，D正确. 故选：AD. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 第二卷非选择题（92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案直接填在答题卡中的横线上.） 12. 近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，7名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中A，B角色各1人，C角色2人．已知这7名同学中有4名男生，3名女生，现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏，其余3人观看，要求选出的4人中至少有1名女生，并且A，B角色不可同时为女生．则店主共有__________种选择方式． 【答案】348 【解析】 【分析】根据题意，按照选出的女生人数进行分类，分别求出每一类的选择种数，然后相加即可求解. 【详解】由题意，根据选出的女生人数进行分类， 第一类：选出1名女生，先从3名女生中选1人，再从四名男生中选3人，然后安排角色，两名男生扮演A，B角色有种，剩余的1名男生和女生扮演C角色，或A，B角色1名男生1名女生，女生先选有，剩下的一个角色从3名男生中选1人，则种，所以共有种， 第二类：选出2名女生，先从3名女生中选2人，再从四名男生中选2人，然后安排角色，两名男生扮演A，B角色有种，剩余的2名女生扮演C角色，或A，B角色1名男生1名女生，选出1名女生先选角色有，剩下的一个角色从2名男生中选1人，则种，所以共有种， 第三类：选出3名女生，从先从3名女生中选3人，再从四名男生中选1人，然后安排角色，A，B角色1名男生1名女生，选出1名女生先选角色有，剩下的一个角色让男生扮演，余下的2名女生扮演角色C，所以共有种， 由分类计数原理可得：店主共有种选择方式， 故答案为：. 13. 若函数在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是___________. 【答案】(4，5) 【解析】 【分析】由已知得在上存在变号零点，参变分离后利用导数讨论新函数的单调性后可得实数的取值范围. 【详解】解：函数，， 若函数在区间上不单调，则在上存在变号零点， 由得， 令，，， 在递减，在递增，而，，， 所以. 故答案：. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上一点，且，H是线段上靠近的三等分点，且，则C的离心率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，，，再结合三角形相似可得，代入分析求解即可. 【详解】由题意，不妨设点P在第一象限，如图. 因为，则，，. 因为，则，可知， 则，即，整理得. 由得，解得或（舍去）， 所以C的离心率为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知数列是等差数列，其前项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式求解； （2）分组求和方法求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，又，， 所以，解得，， 所以的通项公式. 【小问2详解】 由（1）知， 所以 . 16. 人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）. （1）求首次试验结束的概率； （2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整. ①求选到的袋子为甲袋的概率， ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 【答案】（1） （2）①；②方案二中取到红球的概率更大. 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式，解决抽签问题； （2）利用条件概率公式计算，根据数据下结论. 【小问1详解】 设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件， （1）. 所以试验一次结果为红球的概率为. 【小问2详解】 ①因为，是对立事件，， 所以， 所以选到的袋子为甲袋的概率为. ②由①得， 所以方案一中取到红球的概率为： ， 方案二中取到红球的概率为： ， 因为，所以方案二中取到红球的概率更大. 17. 如图，在直三棱柱中，，，E，F为线段，的中点． （1）证明：EF⊥平面； （2）若直线EA与平面ABC所成的角大小为，求点C到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连结，可得，通过证明平面可得； （2）利用等体积关系可得. 【小问1详解】 证明：取中点，连结， ∵在中，、分别为、的中点，∴且， 又在直三棱柱中，E是的中心， ∴且，∴且， ∴四边形BEFM为平行四边形，∴， ∵在中，M为AC的中点，且， ∴，且， ∵平面，平面，∴， 又，∴平面，∴平面； 【小问2详解】 由（1）知，，， 因为直线与平面所成的角大小为，， 因为中，，， ，， ， 设点到平面的距离为， ，， 即，解得. 18. 已知函数（ 为常数，是自然对数底数），曲线在点处的切线与轴平行. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）设,其中 为的导函数.证明：对任意 . 【答案】：（Ⅰ）； （Ⅱ）的单调增为单调减区为. （Ⅲ）见解析 【解析】 【详解】(1)由f(x)＝， 得f′(x)＝，x∈(0，＋∞)， 由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行． 所以f′(1)＝0，因此k＝1. (2)由(1)得f′(x)＝ (1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)， 令h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)， 当x∈(0,1)时，h(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)＜0. 又ex＞0，所以x∈ (0,1)时，f′(x)＞0； x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0. 因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞) (3)因为g(x)＝xf′(x)， 所以g(x)＝ (1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)， 由(2)得，h(x)＝1－x－xln x， 求导得h′(x)＝－ln x－2＝－(ln x－ln e-2)． 所以当x∈(0，e-2)时，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增； 当x∈(e-2，＋∞)时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减． 所以当x∈(0，＋∞)时，h(x)≤h(e-2)＝1＋e-2. 又当x∈(0，＋∞)时，0＜＜1， 所以当x∈(0，＋∞)时，h(x)＜1＋e-2，即g(x)＜1＋e-2. 综上所述结论成立 19. 已知一动圆与圆外切，与圆内切，该动圆的圆心的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程． （2）已知点在曲线上，斜率为的直线与曲线交于两点（异于点）．记直线和直线的斜率分别为，，从下面①、②、③中选取两个作为已知条件，证明另外一个成立． ①；②；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用两圆位置关系得到，从而得到，再利用双曲线的定义即可得到曲线的方程； （2）依次选择其中两个作为已知条件，联立直线与曲线的方程，结合韦达定理得到关于的表达式，从而得证. 【小问1详解】 依题意，设动圆的圆心为，半径为r， 因为该动圆与圆外切，与圆内切， 此处要特别注意圆在圆的内部与圆相切，否则圆无法与圆外切， 所以，， 所以， 由双曲线定义可知，M的轨迹是以E，F为焦点，实轴长为4的双曲线的右支， 所以2a＝4，2c＝6，即a＝2，c＝3，所以b2＝c2－a2＝1， 所以曲线C的方程为. . 【小问2详解】 选择①②⇒③： 设直线l：y＝kx＋m，A，B， 联立，消去，得x2－16mkx－8m2－8＝0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝， 因为，k1＋k2＝0，所以＋＝0， 即＋＝0， 即2kx1x2＋－8＝0， 所以2k×＋－8＝0， 化简得8k2＋2k－1＋m＝0，即＝0， 所以或m＝1－4k， 当m＝1－4k时，直线l：y＝kx＋m＝k＋1过点P，不满足题意，舍去； 当时，由于曲线是双曲线的右支，易知， 又由x2－16mkx－8m2－8＝0得， 此时，则，解得，故， 即时，满足题意， 综上：，所以③成立. 选择①③⇒②： 设直线l：y＝－x＋m，A，B， 联立，消去，得， 所以x1＋x2＝8m，x1x2＝8m2＋8， 由第1种选择可知且，此处不再详细说明， 所以k1＋k2＝＋＝＋ ＝－1＋＋＝－1＋ ＝－1＋＝0， 所以②成立. 选择②③⇒①： 设直线l：y＝－x＋m，A，B，P(x0，y0)， 联立，消去，得， 所以x1＋x2＝8m，x1x2＝8m2＋8， 由第1种选择可知且，此处不再详细说明， 由k1＋k2＝＋＝＋＝0， 得＋＝0， 即－x1x2＋－2x0＝0， 所以－8m2－8＋8m×－2x0＝0， 故2m＋2x0y0－8＝0， 由于的任意性，所以，，解得， 又，所以，则，满足， 所以P，①成立. 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$