精品解析：江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高二下学期期末调研测试数学试题

2023-2024学年第二学期六校联合体期末调研测试 高二数学 2024.6.24 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 对于x，y两个变量，有四组样本数据，分别算出它们的线性相关系数r（如下）：，则线性相关性最强的是（ ） A. B. 0.72 C. D. 0.85 【答案】A 【解析】 【分析】根据线性相关性的特征和线性相关系数的概念意义可解． 【详解】线性相关系数的绝对值越接近1，线性相关性越强，则线性相关性最强的是． 故选：A. 2. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点的对称的关系判断即可. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标为. 故选：C 3. 已知，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式定理的性质，采取赋值法即可解决． 【详解】令，则，即． 故选：B. 4. 3个男生2个女生站成一排，其中女生相邻的排法个数是（ ） A. 24 B. 48 C. 96 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】可以用捆绑法解题． 【详解】根据捆绑法，“先捆再松”.可以将女生看作一个整体与男生全排，有种， 女生自身“内排”有种，则女生相邻的排法个数是：. 故选：B. 5. 已知函数，那么的值是（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的除法法则求，即可得结果. 【详解】因为，则， 所以. 故选：D. 6. 已知随机变量满足：，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项分布的均值公式和方差公式求解即可. 【详解】若，，则，解得， 故，则，故A错误， 而，故， 可得，故B错误， 而，故C错误， 由题意得，故D正确. 故选：D 7. 给出下列四个命题，其中真命题是（ ） A. 若向量与向量，共面，则存在实数x，y，使 B. 若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面 C. 直线a的方向向量为，平面的法向量为，则 D. 若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，举反例排除A；对于B，运用四点共面定理推论可知正确；对于C，利用空间向量判断线面关系即可；对于D，根据法向量性质求得，，从而得以判断. 【详解】对于A，如果为非零向量，且与不共线，而与共线， 则不成立，故A错误； 对于B，运用四点共面定理推论可知B正确； 对于C，，则，则，故C错误； 对于D，向量是平面的法向量，则，， 即，，又，， 得且，解得，，则，故D错误. 故选：B. 8. 若函数有两个极值点，且，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 的范围是 D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于AC，原函数的极值点即为导函数的零点，求导后等价于与有两个交点，结合单调性等函数特征画出图象判断出，且；对于B，利用，推导，则可得；对于D，而等价于，构造合适的函数进行分析. 【详解】对于AC，，有两个极值点且， 所以，有两个零点，且在各自两边异号， 所以与有两个交点，， 记，则， 易知：时，时， 所以在上递增，在上递减， 所以有最大值，且时，时， 又当趋向于正无穷时，趋向于正无穷的速率远远超过趋向于正无穷的速率，所以趋向于0，且， 由上可得的图象如下， 所以当且仅当时与有两个交点，且，故A，C正确； 对于B，又， 所以，即，故B错误. 对于D，令，则，所以，则，， 所以要证，只需证， 只需证， 令，则， 所以在上单调递减，即时，不等式得证，故D正确. 故选：B. 【点睛】方法点睛：根据函数的零点个数求解参数范围，一般方法： （1）转化为函数最值问题，利用导数解决； （2）转化为函数图像的交点问题，数形结合解决问题； （3）参变分离法，结合函数最值或范围解决. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分. 9. ，分别为随机事件A，B的对立事件，下列命题正确的是（ ） A. B. 若，，则 C. 若，则A与B独立 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，由对立事件得到A正确；B选项，；C选项，由条件概率得到，C正确；D选项，利用乘法公式得到D正确. 【详解】A选项，由对立事件性质可知，A正确； B选项，若，，则，B错误； C选项，若，则， 故，A与B独立，C正确； D选项，，D正确. 故选：ACD 10. 已知函数，下列选项正确的是（ ） A. 若在区间上单调递减，则a的取值范围为 B. 若在区间上有极小值，则a的取值范围为 C. 当时，若经过点可以作出曲线的三条切线，则实数m的取值范围为 D. 若曲线的对称中心为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数研究三次函数的单调区间，极值，切线，对称中心问题. 【详解】令 若在区间上单调递减, 则在区间上小于或者等于零恒成立， 即恒成立， 即，又在区间单调递增， 则 所以a的取值范围为，故选项A错误. 若在区间上有极小值, 则在区间上有零点，且在零点左端小于零，在零点右端大于零， 则 解得a的取值范围为.故选项B正确. 当时,设经过点作出曲线的三条切线切点为，则切线斜率为 切线为又切线经过点， 则有三解，即有三解， 令 则当时函数取极值， 则实数m的取值范围为，故选项C正确. 若曲线的对称中心为,则即 解得. 故选：BCD. 11. 在棱长为1的正方体中，点F在底面ABCD内运动（含边界），点E是棱的中点，则（ ） A. 若F在棱AD上时，存在点F使 B. 若F是棱AD的中点，则平面 C. 若平面，则F是AC上靠近C的四等分点 D. 若F在棱AB上运动，则点F到直线的距离最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求线线的夹角，以及判断线面垂直，以及求解点到直线的距离，判断ACD，利用面面平行证明线面平行，判断B. 【详解】A.如图建立空间直角坐标系，，，， ，， ， 整理为，解得：或，都舍去， 所以不存在点F使，故A错误； B. 如图，取的中点，连结，因为点是的中点， 所以，平面，平面， 所以平面， 同理，且，所以，平面，平面，所以平面， 且，平面， 所以平面平面，平面， 所以平面 C. 若F是AC上靠近C的四等分点，则，，，， 所以，，， ，, 所以，，且，平面， 所以平面，且过点只有1条直线和平面垂直， 则点是唯一的，点是上靠近的四等分点，故C正确； D.若点在棱上运动，设，， ，, 则点到的距离， 当时，的最小值为，故D正确. 故选：BCD 【点睛】思路点睛：本题的关键是将几何问题转化为向量运算，尤其是证明垂直关系，求角和距离，以及判断是否存在问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 平面过点，其法向量为，则点到平面的距离为______. 【答案】## 【解析】 【分析】运用空间向量点到面的距离公式即可解题． 【详解】根据点到面的距离公式，且，， 可得点到平面的距离． 故答案为：． 13. 从集合的子集中选出2个不同的子集A，B，且，则一共有______种选法. 【答案】65 【解析】 【分析】由集合A中元素的个数，分类讨论对应的集合B中的元素个数，计算选法，再进行求和即可. 【详解】从集合的子集中选出2个不同的子集A，B，且， 当A为空集时，B可以包含1，2，3，4个元素， 所以共有种选法； 当A只含有1个元素时，B可以包含2，3，4个元素， 所以共有种选法； 当A只含有2个元素时，B可以包含3，4个元素， 所以共有种选法； 当A只含有3个元素时，B包含4个元素，所以共有种选法. 故共有种选法. 故答案为：65. 14. 现有甲、乙两个盒子，甲盒有2个红球和1个白球，乙盒有1个红球和1个白球.先从甲盒中取出2个球放入乙盒，再从乙盒中取出2个球放入甲盒.记事件A为“从甲盒中取出2个红球”，事件B为“乙盒还剩1个红球和1个白球”，则______，______. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】利用条件概率与独立事件的概率公式即可得解. 【详解】第一空：， 第二空：从甲盒中取出的是一个红球和一个白球， 乙盒中还剩下两个红球或者两个白球. 则 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为了研究学生的性别与喜欢运动的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下，左表数据： （1）求a，b的值，并判断是否有的把握认为“学生的性别与喜欢运动有关联”？ （2）经调查，学生的学习效率指数y与每天锻炼时间x（单位：拾分钟）呈线性相关关系，统计数据见下表，求y关于x的线性回归方程. 男学生 女学生 合计 喜欢运动 a b 60 不喜欢运动 b b 合计 60 100 x 2 3 4 5 6 y 2.5 3 3.5 5 6 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 附：（1） （2）， 【答案】（1），，有 （2） 【解析】 【分析】（1）根据列联表数据代入计算即可； （2）代入公式计算，即可求出回归方程. 【小问1详解】 依题意，得，解得，， 假设：认为学生的性别与是否喜欢运动无关联， ， 所以根据的独立性检验，认为不成立， 即有的把握认为学生的性别与喜欢运动有关联； 【小问2详解】 由题意得，，，， ，， 所以回归方程为. 16. 已知（，）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数成等差数列. （1）求的值； （2）求的近似值（精确到0.01）； （3）求的二项展开式中系数最大的项. 【答案】（1）7 （2）128.45 （3） 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数列方程，即可求解， （2）利用二项式展开，即可代入求解， （3）根据二项式展开式的通项，列不等式求解即可. 【小问1详解】 ∵展开式中第2，3，4项的二项式系数成等差数列， ∴，整理得,解得， 又∵，∴ 【小问2详解】 【小问3详解】 依题意得，，即, 解之，， 又∵，∴ 故展开式中系数最大得项为 17. 如图，所有棱长均为2的正四棱锥，点，分别是，上靠近，的三等分点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：连接交于，建立如图所示的空间直角坐标系 则，，，，，，， ∴，， ∴， ∴. （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 设平面的法向量为，则 ， 取. 取平面的法向量为， 所以，，， 设二面角的平面角为， . ∴由图可知二面角的余弦值为 18. 某校举行投篮趣味比赛，甲、乙两位选手进入决赛，每位选手各投篮4次，选手在连续投篮时，第一次投进得1分，并规定：若某次投进，则下一次投进的得分比本次得分多1分；若某次未投进，则该次得0分，且下一次投进得1分.已知甲同学每次投进的概率为，乙同学每次投进的概率为，且甲、乙每次投篮相互独立. （1）求甲最后得3分的概率； （2）记甲最后得分为X，求X的概率分布和数学期望； （3）记事件B为“甲、乙总分之和为7”，求. 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件同时发生哪几种情形，再计算概率即可； （2）利用记分规则，统计四次投篮中的得分情形，最低0分，最高10分，再计算概率，即可得分布列，求期望； （3）同比甲的概率计算方法，再来计算乙的得分概率，利用两独立事件相乘，再考虑各种情形相加即可. 【小问1详解】 记事件A为“甲得3分”，分析3分是，不可能是， 所以在这四次投篮中，连续两次投中，另两次没中，记甲得3分， 所以 【小问2详解】 X的取值为0，1，2，3，4，6，10， 0 1 2 3 4 6 10 【小问3详解】 记为乙最后得分，则事件为“甲1分，乙6分”，“甲3分，乙4分”， “甲4分，乙3分”，“甲6分，乙1分” 故 19. 定义：如果函数与的图象上分别存在点M和点N关于x轴对称，则称函数和具有“伙伴”关系. （1）判断函数与是否具有“伙伴”关系； （2）已知函数，，，. ①若两函数具有“伙伴”关系，求a的取值范围； ②若两函数不具有“伙伴”关系，求证：，其中n为正整数. 【答案】（1）函数与具有“伙伴”关系 （2）①②证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得在与的定义域的交集上存在，使得，所以，求解即可； （2）令，由题意可得在上恒为负或恒为正．分和在上恒成立，利用导数求解即可； （3）利用（2）的结论，即可取，累加，结合对数的运算性质即可化简求解． 【小问1详解】 函数与具有“伙伴”关系，理由如下： 根据定义，若与具有“伙伴”关系，则在与的定义域的交集上存在x， 使得. 所以，即，解得，所以与具有“伙伴”关系. 【小问2详解】 函数，，，， 令，，， ①两函数具有“伙伴”关系，则函数在上有零点. 当时，，所以在上递减，所以，此时函数无零点，不符合题意. 当时，令，则，，则，故在上递增，在上递减， 且时，， 当时，函数的导函数，所以该函数在上递减， 所以，所以，从而，即 此时， 取 所以 从而，又函数图象在上连续不间断，由零点存在定理可得，函数在上存在唯一零点，即存在，使得 综上可得，若两函数具有“伙伴”关系，a的取值范围为 ②由①可得若两函数不具有“伙伴”关系，a的取值范围为， 且当时，恒有成立，即在恒成立 所以当时，可得 同理，，……， 两边分别累加得： 即 即 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期六校联合体期末调研测试 高二数学 2024.6.24 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 对于x，y两个变量，有四组样本数据，分别算出它们的线性相关系数r（如下）：，则线性相关性最强的是（ ） A. B. 0.72 C. D. 0.85 2. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 3个男生2个女生站成一排，其中女生相邻的排法个数是（ ） A. 24 B. 48 C. 96 D. 120 5. 已知函数，那么的值是（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 已知随机变量满足：，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 给出下列四个命题，其中真命题是（ ） A. 若向量与向量，共面，则存在实数x，y，使 B. 若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面 C. 直线a的方向向量为，平面的法向量为，则 D. 若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则 8. 若函数有两个极值点，且，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 的范围是 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分. 9. ，分别为随机事件A，B的对立事件，下列命题正确的是（ ） A. B. 若，，则 C. 若，则A与B独立 D. 10. 已知函数，下列选项正确的是（ ） A. 若在区间上单调递减，则a的取值范围为 B. 若在区间上有极小值，则a的取值范围为 C. 当时，若经过点可以作出曲线的三条切线，则实数m的取值范围为 D. 若曲线的对称中心为，则 11. 在棱长为1的正方体中，点F在底面ABCD内运动（含边界），点E是棱的中点，则（ ） A. 若F在棱AD上时，存在点F使 B. 若F是棱AD的中点，则平面 C. 若平面，则F是AC上靠近C的四等分点 D. 若F在棱AB上运动，则点F到直线的距离最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 平面过点，其法向量为，则点到平面的距离为______. 13. 从集合的子集中选出2个不同的子集A，B，且，则一共有______种选法. 14. 现有甲、乙两个盒子，甲盒有2个红球和1个白球，乙盒有1个红球和1个白球.先从甲盒中取出2个球放入乙盒，再从乙盒中取出2个球放入甲盒.记事件A为“从甲盒中取出2个红球”，事件B为“乙盒还剩1个红球和1个白球”，则______，______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为了研究学生的性别与喜欢运动的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下，左表数据： （1）求a，b的值，并判断是否有的把握认为“学生的性别与喜欢运动有关联”？ （2）经调查，学生的学习效率指数y与每天锻炼时间x（单位：拾分钟）呈线性相关关系，统计数据见下表，求y关于x的线性回归方程. 男学生 女学生 合计 喜欢运动 a b 60 不喜欢运动 b b 合计 60 100 x 2 3 4 5 6 y 2.5 3 3.5 5 6 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 附：（1） （2）， 16. 已知（，）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数成等差数列. （1）求的值； （2）求的近似值（精确到0.01）； （3）求的二项展开式中系数最大的项. 17. 如图，所有棱长均为2的正四棱锥，点，分别是，上靠近，的三等分点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 18. 某校举行投篮趣味比赛，甲、乙两位选手进入决赛，每位选手各投篮4次，选手在连续投篮时，第一次投进得1分，并规定：若某次投进，则下一次投进的得分比本次得分多1分；若某次未投进，则该次得0分，且下一次投进得1分.已知甲同学每次投进的概率为，乙同学每次投进的概率为，且甲、乙每次投篮相互独立. （1）求甲最后得3分的概率； （2）记甲最后得分为X，求X的概率分布和数学期望； （3）记事件B为“甲、乙总分之和为7”，求. 19. 定义：如果函数与的图象上分别存在点M和点N关于x轴对称，则称函数和具有“伙伴”关系. （1）判断函数与是否具有“伙伴”关系； （2）已知函数，，，. ①若两函数具有“伙伴”关系，求a的取值范围； ②若两函数不具有“伙伴”关系，求证：，其中n为正整数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $