精品解析：江苏省无锡市梁溪区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2024年春学期期末初中学业水平抽测 八年级数学试题 （考试时间100分钟，满分120分．） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 如图所示城市地铁图标，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若二次根式有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查适合普查的是（ ） A. 全班学生家庭1周内收看“新闻联播”的次数 B. 某品牌灯泡的使用寿命 C. 长江中现有鱼的种类 D. 夏季冷饮市场上冰淇淋的质量 4. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 在标准大气压下，温度低于时冰融化 B. 从只装有红球的袋中摸到1个红球 C. 367人中至少有2人的生日相同 D. 买一张电影票，座位号是奇数号 5. 若分式的值为，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 下列化简正确的是（ ） A B. C. D. 7. 下列结论错误的是（ ） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 三个角相等的平行四边形是矩形 C. 顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 8. 在中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，是上一点，，是延长线上一点，，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，点在线段上运动，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．其中第18题第1空1分，第2空2分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置处） 11. 计算_________． 12. 将个数据分成个组，前组的频数分别是，则第组的频数为_________． 13. 一枚质地均匀的骰子的个面上分别刻有的点数，投掷这枚骰子，若向上一面的点数是奇数的概率记作，是偶数的概率记作，则与的大小关系是_________． 14. 若某个函数图像关于原点对称，请写出一个符合上述条件的函数表达式：_________． 15. 已知菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的面积是_________． 16. 已知三角形三边长分别为、、，则顺次连接三边中点所得的三角形的周长是_________． 17. 如图，反比例函数的图像与一次函数的图像相交于，两点，则关于的不等式的解集为_________． 18. 如图，已知，，以，为边作矩形，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点为，则的坐标为_________，的坐标为_________． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 计算： （1）； （2）． 21. 解方程： （1）； （2）． 22. 某校为落实“双减”工作，丰富课后服务活动内容，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：音乐；体育； 美术；阅读；人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题： （1）此次调查共随机抽取了多少名学生？ （2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中圆心角的度数； （3）若该校有1800名学生，请估计该校参加“人工智能”活动小组的学生有多少人？ 23. 如图，在中，，、分别是、的中点，连接、．求证：四边形是菱形． 24. 端午节是我国的传统节日，粽子是必不可少的美食．某超市在端午节来临前夕，准备购进一批粽子进行销售，据了解，用6000元购买种粽子的数量比购买种粽子的数量少60袋，已知每袋种粽子的单价比种粽子单价多． （1）求每袋、两种粽子的单价各多少元； （2）该超市购进这两种粽子共500袋，其中种粽子数量不超过种粽子数量的3倍，购进的种粽子每袋以30元价格出售，种粽子每袋以23元的价格出售，若这批粽子全部售出，则怎样进货可使获得的利润最大，最大利润是多少元． 25. 如图，在中，． （1）尺规作图：在上确定一点，使，作的平分线交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所做的图形中，连接，若，且，，则  ． 26. 如图，在矩形中，，，点为射线上一点，将沿所在直线翻折至位置（点落在点处），连接． （1）当时，与有何数量关系？请说明理由； （2）当为直角三角形时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年春学期期末初中学业水平抽测 八年级数学试题 （考试时间100分钟，满分120分．） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 如图所示城市地铁图标，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形：一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；根据中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：由中心对称图形的概念知，前三个选项中的图形，均找不到一点，使得图形绕该点旋转后能够与原来的图形重合，故它们都不是中心对称图形；选项D中的图形，则可找到一点，图形绕着该点旋转后能够与原来的图形重合，故是中心对称图形； 故选：D． 2. 若二次根式有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键；根据二次根式的被开方数是非负数即可得到答案． 【详解】解：二次根式有意义， ， ， 故选：C. 3. 下列调查适合普查的是（ ） A. 全班学生家庭1周内收看“新闻联播”的次数 B. 某品牌灯泡使用寿命 C. 长江中现有鱼的种类 D. 夏季冷饮市场上冰淇淋的质量 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了调查方式的选择：普查与抽样调查；选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查与抽样调查的特征进行判断即可． 【详解】解：A、适合普查，符合题意； B、适合抽样调查，不符合题意； C、适合抽样调查，不符合题意； D、适合抽样调查，不符合题意； 故选：A． 4. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 在标准大气压下，温度低于时冰融化 B. 从只装有红球的袋中摸到1个红球 C. 367人中至少有2人的生日相同 D. 买一张电影票，座位号是奇数号 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了事件的分类，根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【详解】解：A．在标准大气压下，温度低于时冰融化，不可能事件，故选项不符合题意； B．从只装有红球的袋中摸到1个红球，是必然事件，故选项不符合题意； C．367人中至少有2人的生日相同，是必然事件，故选项不符合题意； D．买一张电影票，座位号是奇数号，是随机事件，故选项符合题意． 故选：D． 5. 若分式的值为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，分式的值是的条件是：分子为，分母不为，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为， 且， ． 故选B． 6. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，利用分式的基本性质计算即可，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，计算正确，故选项符合题意； 故选：D． 7. 下列结论错误的是（ ） A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B. 三个角相等的平行四边形是矩形 C. 顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定．熟练掌握平行四边形形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理来念判断即可． 【详解】解：A．有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，此项正确，不符合题意； B．三个角相等的平行四边形是矩形，此项正确，不符合题意； C．顺次连接矩形各边中点，所得的四边形是菱形，故此项正确，不符合题意； D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故此项错误，符合题意． 故选：D 8. 在中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的对角相等、邻角互补以及图形可知与是对角，即可求出和的度数；再根据与是邻角，即可求得． 【详解】解：如图： 四边形为平行四边形， ∴，， ， ， ， ． 故选：C． 9. 如图，在正方形中，是上一点，，是延长线上一点，，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用；连接，得出，进而可得是等腰直角三角形，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵正方形中，是上一点， ∴， ∵是对角线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，在矩形中，，，点在线段上运动，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，确定出点的运动路径是解题的关键；把绕点逆时针旋转得到，连接，设直线交于O，则可证明，则有，表明点在过E点且垂直的射线上运动，当时，的最小，则利用含30度直角三角形的性质及勾股定理即可求得最小值． 【详解】解：如图，把绕点逆时针旋转得到线段，连接；设直线交于O； 由旋转的性质得：， ， ， ， ， 表明点在过E点且垂直的射线上运动， 故当时，的最小； ∵四边形是矩形， ，， ， ， ， 由勾股定理得，即， ， ； ， ， ， ， 由勾股定理得：； 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．其中第18题第1空1分，第2空2分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置处） 11. 计算_________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用二次根式的乘法法则进行求解即可． 【详解】解：． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则和二次根式的性质是解题的关键． 12. 将个数据分成个组，前组的频数分别是，则第组的频数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频数和频率，利用总次数减去一、二、三组的频数和，进行计算即可． 【详解】 第组的频数为： 故答案为：． 13. 一枚质地均匀的骰子的个面上分别刻有的点数，投掷这枚骰子，若向上一面的点数是奇数的概率记作，是偶数的概率记作，则与的大小关系是_________． 【答案】相等 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式的应用，熟练利用概率公式求出是解题关键．如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率；直接利用概率公式求出，的值，进而得出答案． 【详解】一枚质地均匀的骰子的六个面上分别刻有的点数，偶数有、、共个，奇数有、、共个， 抛到偶数的概率为； 抛到奇数的概率为； 故与的大小关系是： 故答案为：相等 14. 若某个函数的图像关于原点对称，请写出一个符合上述条件的函数表达式：_________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了函数的图像，解题的关键是根据所学函数的基本图像特征解答． 【详解】解：∵函数的图像关于原点对称， ∴该函数可以为反比例函数， ∴表达式可以为： 故答案为：（答案不唯一）． 15. 已知菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的面积是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查知识点是菱形的面积，解题关键是熟练掌握菱形面积的求解方法． 菱形面积求法：①底乘以高；②对角线积的一半．据此即可得解． 【详解】解：菱形的两条对角线长分别为和， 菱形的面积． 故答案为：． 16. 已知三角形的三边长分别为、、，则顺次连接三边中点所得的三角形的周长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是三角形中位线定理，解题关键是熟练掌握三角形中位线定理． 根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．据此得到各中位线长后即可求新三角形的周长． 【详解】解：根据三角形中位线定理可得： 该三角形三边中位线长分别为，，， 顺次连接三边中点所得的三角形的周长为． 故答案为：． 17. 如图，反比例函数的图像与一次函数的图像相交于，两点，则关于的不等式的解集为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了利用一次函数与反比例函数图象解不等式，观察图象，在上方的函数图象所对应函数值较大，据此得到对应的自变量取值范围是不等式的解集，会利用函数图象解不等式是解题的关键． 【详解】解：由图象得 不等式的解集为： 或， 故答案：或． 18. 如图，已知，，以，为边作矩形，将矩形翻折，使点与原点重合，折痕为，点的对应点为，则的坐标为_________，的坐标为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题考查了矩形的折叠问题，勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，利用矩形的性质和折叠的性质得到，，设，利用勾股定理求出，即可得到点M的坐标，证明，得到，过点作于点H，利用等积法求出，再用勾股定理求出，即可得到点的坐标． 【详解】解：∵，，以，为边作矩形，将矩形翻折， ∴，， 设， 则， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴的坐标为， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 过点作于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在第四象限， ∴的坐标为， 故答案为：，． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则并正确计算是解题的关键． （1）按照多项式乘多项式法则展开，再合并同类二次根式即可； （2）依次计算完全平方公式、绝对值，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的知识点是分式的加减混合运算、因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到答案； （2）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时对分母进行因式分解，约分即可得到答案． 【小问1详解】 解：原式， ， ． 【小问2详解】 解：原式， ， ． 21. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，注意解分式方程要检验； （1）方程两边乘最简公分母，把分式方程化为整式方程，再求解即可； （2）方程两边乘最简公分母，把分式方程化为整式方程，再求解即可． 小问1详解】 解：方程两边乘最简公分母得：， 解得：， 经检验，是原方程的解； 【小问2详解】 解：方程两边乘最简公分母得：， 解得：， 经检验，是原方程的解． 22. 某校为落实“双减”工作，丰富课后服务活动内容，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：音乐；体育； 美术；阅读；人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题： （1）此次调查共随机抽取了多少名学生？ （2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中圆心角的度数； （3）若该校有1800名学生，请估计该校参加“人工智能”活动小组的学生有多少人？ 【答案】（1）400 （2）图见解析， （3）180人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图相关联，由样本估计总体等知识．由条形统计图和扇形统计图得出必要的信息和数据是解题关键． （1）用B小组的人数除以其所占百分比即可解答； （2）先分别求出A小组和C小组的人数，进而即可补全条形统计图；用C小组的人数除以总人数得出其所占比例，再乘以即可； （3）用E小组的人数除以总人数得出其所占比例，再乘以该校总人数即可． 【小问1详解】 解：（名）． 即此次调查一共随机抽取了名学生； 【小问2详解】 此次调查A小组的人数为名， ∴C小组的人数为名， 补全条形统计图如下： 扇形统计图中圆心角． 【小问3详解】 解：， 答：该校有1800名学生，估计该校参加“人工智能”活动小组的学生约为180人． 23. 如图，在中，，、分别是、的中点，连接、．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了菱形的判定、平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边上中线的性质等知识，先证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上中线的性质得到一组邻边相等，即可得到结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，. 分别是的中点， ， 四边形是平行四边形. ，为中点， ， 平行四边形是菱形. 24. 端午节是我国的传统节日，粽子是必不可少的美食．某超市在端午节来临前夕，准备购进一批粽子进行销售，据了解，用6000元购买种粽子的数量比购买种粽子的数量少60袋，已知每袋种粽子的单价比种粽子单价多． （1）求每袋、两种粽子的单价各多少元； （2）该超市购进这两种粽子共500袋，其中种粽子的数量不超过种粽子数量的3倍，购进的种粽子每袋以30元价格出售，种粽子每袋以23元的价格出售，若这批粽子全部售出，则怎样进货可使获得的利润最大，最大利润是多少元． 【答案】（1）每袋种粽子的单价是25元，每袋种粽子的单价是20元 （2）购进种粽子375袋，购进种粽子125袋，获得利润最大，最大利润是2250元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数与一元一次不等式的应用，正确理解题意，根据等量关系或不等关系列出方程、函数式或不等式是解题的关键． （1）设每袋种粽子的单价是元，则每袋种粽子的单价是元，即元；根据等量关系：用6000元购买种粽子的数量比购买种粽子的数量少60袋，列出分式方程求解即可； （2）设购进种粽子袋，购进种粽子袋．由种粽子的数量不超过种粽子数量的3倍，列出不等式可确定a的范围；设利润为元，由题意列出关于a的一次函数式，由一次函数的性质即可求得最大利润． 【小问1详解】 解：设每袋种粽子的单价是元，则每袋种粽子的单价是元，即元． 根据题意，得：． 解得：，经检验，是原方程的解． ． 答：每袋种粽子的单价是25元，每袋种粽子的单价是20元． 【小问2详解】 解：设购进种粽子袋，购进种粽子袋． ， ． 设利润为元，由题意得：． ， 随的增大而增大． 当时，最大值为2250，此时． 答：购进种粽子375袋，购进种粽子125袋，获得的利润最大，最大利润是2250元． 25. 如图，在中，． （1）尺规作图：在上确定一点，使，作的平分线交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所做的图形中，连接，若，且，，则  ． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的作图、等角对等边、勾股定理、平行四边形的性质等知识，正确作图是解题的关键． （1）按照角平分线的作图方法，作交于点E，作的平分线交于点； （2）求出，，得到，，再由勾股定理即可得到，则． 【小问1详解】 如图所示，即为所求， 【小问2详解】 如图， ∵， ∴， ∵作的平分线交于点 ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为： 26. 如图，在矩形中，，，点为射线上一点，将沿所在直线翻折至的位置（点落在点处），连接． （1）当时，与有何数量关系？请说明理由； （2）当为直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1），见解析 （2），，， 【解析】 【分析】（1）连接，利用折叠性质可得及，结合可得是直角三角形，再根据等腰三角形的性质与判定证明，即； （2）分四种情况考虑：①，②，③，④，再结合矩形性质、勾股定理、正方形的判定与性质即可得解． 【小问1详解】 解：当时，连接， 由折叠性质可得，是的垂直平分线，， 即， ， ， 即，是直角三角形， ， ， 又， ， ， 即， ． 【小问2详解】 解：当为直角三角形时，有以下四种情况： ①， 由折叠性质可得，， ，，，， 中，，， ，， 在线段上， ， 设， 在中，， 即， 解得， 即； ②， 中，， ， 设， 在中，， 即， 解得， 即； ③， 此时，， 又中，， 四边形是正方形， ； ④， 中，，，， 中，， ， 设，则， 中，有， 即， 解得， 即． 综上，或或或． 【点睛】本题考查的知识点是折叠性质、等腰三角形的性质与判定、矩形性质、勾股定理、正方形的判定与性质，解题关键是全面考虑为直角三角形的各种情况． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$