精品解析：福建省福州福清市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023～2024学年第二学期七年级校内期末质量检测 数学学科试卷 （完卷时间120分钟，满分150分） 友情提醒：所有答案必须写在答题卡相应的位置上． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各数中，为无理数的是（ ）． A. B. C. D. 0 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列调查方式不合理的是（ ）． A. 全面调查“嫦娥六号”月球探测器的零部件的质量 B. 全面调查人们保护海洋的意识 C. 抽样调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准 D. 抽样调查全国中学生对数学学习的兴趣程度 4. 把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 6. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，由下列条件不能判定的是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在棋盘上有3颗棋子，若②与③表示的位置分别用坐标可表示为，，则棋子①的位置表示为（ ）． A. B. C. D. 9. 把一些书分给几名同学，如果每人分5本，则书本有剩余，若__________，依题意设有x名同学，可列不等式，则横线处可以是（ ）． A. 每人分3本，则剩余4本 B. 每人分3本，则最后一人可多分4本 C. 每人分3本比每人分5本，书多剩出4本 D. 每人分3本，则可多分给4个人 10. 在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点坐标分别为、、，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．若、、三点的矩面积不小于21，则t的取值范围为（ ）． A. 或 B. C. 或 D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 比较大小 ________2． 12. 平面直角坐标系中，点到x轴的距离是______． 13. 一组数据，其中最大值是169，最小值是146，对这组数据进行整理时，组距是4，则组数为__________． 14. 已知，，则x与y的关系是__________． 15. 已知不是关于x的不等式的解，则a的取值范围__________． 16. 如图，将线段平移得到线段，点在延长线上，点在射线上，、的角平分线所在直线相交于点，若，，则_____．（用，表示） 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解方程组：． 19. 解不等式组：． 20. 如图，在四边形中，，，延长至点E，平分，交于点G，求的度数． 21. “读书的目的，不在于取得多大的成就，而在于，当你被生活打回原形，陷入泥潭时，给你一种内在的力量．”为此，某校为了打造书香校园，打算购进有益于增进学生阅读兴趣的甲、乙两种图书，已知购买1本甲种图书和2本乙种图书需140元，购买2本甲种图书和3本乙种图书需230元． （1）甲、乙两种图书每本分别是多少元？ （2）若该校打算购买甲种图书a本，两种图书共100本，但总费用不能超过4524元，求a的最小值． 22. 在平面直角坐标系中，已知，，． （1）请根据题中所给的坐标，画出； （2）将向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到，请直接写出点A，B，C所对应的点，，的坐标； （3）若点是三角形ABC内部一点，则经过（2）问的平移后得到对应点，求的值． 23. 结合我国水资源短缺的形势，某校以“家庭去年月均生活用水量”为题，在全校范围内开展一次统计调查活动，通过简单随机抽样获得50个学生家庭去年的月均生活用水量（单位：吨）． 收集数据如下： 4.5 2.3 3.0 2.2 5.1 2.7 7.2 4.4 4.9 6.6 4.7 5.2 6.7 8.8 2.3 4.5 3.3 3.3 4.8 3.6 3.4 3.3 3.7 4.8 3.6 3.7 5.7 5.8 5.7 6.4 5.9 3.6 4.3 4.5 7.4 3.8 9.4 4.5 6.6 3.8 4.7 4.7 4.8 5.7 5.8 6.7 5.9 4.7 6.6 7.7 整理数据：列频数分布表如下（不完整） 组别 月均生活用水量（x） 频数（家庭数） A 9 B 21 C D E 2 合计 50 描述数据：画频数分布直方图和扇形统计图如图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）求D组数据所对应的扇形统计图的圆心角度数； （3）以此样本来估计总体，为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超过标准提高水价，若要使的家庭收费不受影响，你觉得家庭月均生活用水量标准应定多少吨？请说明理由． 24. 在一节数学课上，学生在利用平方根定义解方程时，错解成，数学老师带领学生们探究的括号展开形式． （1）老师带领数学兴趣小组1用整体思想进行运算，过程如下： 解：（乘方的定义） （步骤②） 步骤②用到的依据是__________（使用的运算律）； 请你类比数学兴趣小组1的运算过程，推导出的括号展开形式； （2）老师带领数学兴趣小组2用“数形结合”的方法进行推导，具体操作如下： 如图1，将，分别看成边长为a，b的两个正方形，如图2，将边长为b的正方形叠放在边长为a的正方形的左上角，则图2中长方形ABCD与长方形AEFG的面积用a，b都可表示为__________，因此阴影部分的面积用a，b可表示为_________，还可以表示为__________，从而得到的展开形式． （3）拓展延伸： ①由平方的非负性，探究与的大小关系． ②应用：“开心”农场准备用一定长度的护栏围成一块面积为25的长方形花园，设长方形的长为，求护栏长度的最小值． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，，，其中． （1）求证：． （2）如图2，连接，若点在线段上． ①求的值．（用含n的式子表示） ②若的面积等于的面积的1.5倍，比较与的大小关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023～2024学年第二学期七年级校内期末质量检测 数学学科试卷 （完卷时间120分钟，满分150分） 友情提醒：所有答案必须写在答题卡相应的位置上． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各数中，为无理数的是（ ）． A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的知识，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．无限不循环小数叫做无理数，根据无理数的定义进行判断即可得出答案． 【详解】解：A．是无理数，符合题意； B．不是无理数，不符合题意； C．不是无理数，不符合题意； D．0不是无理数，不符合题意． 故选：A． 2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特点，掌握象限中点的符号是解题的关键． 【详解】解：∵第一象限的点的符号为，第二象限的点的符号为，第三象限的点的符号为，第四象限的点的符号为， ∴点在第二象限，   故选：B ． 3. 下列调查方式不合理的是（ ）． A. 全面调查“嫦娥六号”月球探测器的零部件的质量 B. 全面调查人们保护海洋的意识 C. 抽样调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准 D. 抽样调查全国中学生对数学学习的兴趣程度 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查，根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、全面调查“嫦娥六号”月球探测器的零部件的质量，故A不符合题意； B、抽样调查人们保护海洋的意识，故B符合题意； C、抽样调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准，故C不符合题意； D、抽样调查全国中学生对数学学习的兴趣程度，故D不符合题意； 故选：B． 4. 把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式组的解集在数轴上的表示方法即可得． 【详解】解：把不等式组的解集表示在数轴上如下： 故选：B． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解集在数轴上的表示方法是解题关键． 5. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根、平方根和算术平方根，熟知立方根、平方根和算术平方根的定义是解题的关键． 根据算术平方根、平方根和立方根的定义求解即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选C． 6. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据，应用不等式的性质，逐项判断即可． 【详解】解：∵时，不一定成立，例如时，，但是， ∴选项A符合题意； ∵， ∴， ∴选项B不符合题意； ∵， ∴， ∴选项C不符合题意； ∵， ∴， ∴选项D不符合题意． 故选：A． 7. 如图，由下列条件不能判定的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故A不符合题意； ∵， ∴， 故B不符合题意； ∵， ∴， 故C不符合题意； ∵， ∴， 故D符合题意； 故选：D． 8. 如图，在棋盘上有3颗棋子，若②与③表示的位置分别用坐标可表示为，，则棋子①的位置表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查坐标确定位置，建立正确的直角坐标系即可得出答案． 【详解】解：如图，建立直角坐标系， 则棋子①的位置为． 故选：B． 9. 把一些书分给几名同学，如果每人分5本，则书本有剩余，若__________，依题意设有x名同学，可列不等式，则横线处可以是（ ）． A. 每人分3本，则剩余4本 B. 每人分3本，则最后一人可多分4本 C. 每人分3本比每人分5本，书多剩出4本 D. 每人分3本，则可多分给4个人 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，根据不等式表示的意义解答即可． 【详解】解：由不等式，可得：把一些书分给x名同学，若每人分3本，则可多分4个人；若每人分5本，则有剩余． 故选：D． 10. 在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点坐标分别为、、，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．若、、三点的矩面积不小于21，则t的取值范围为（ ）． A. 或 B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标的距离，一元一次不等式的应用，正确理解“矩面积”的定义是解题关键．由题意可知，、、三点坐标的“水平底”，再分三种情况讨论，分别求出“铅垂高”，再根据“矩面积”列不等式求解即可． 【详解】解：由题意可知，、、三点坐标的“水平底”， 当时，、、三点坐标的“铅垂高”， “矩面积”， 解得：； 当时，、、三点坐标的“铅垂高”， “矩面积”，不符合题意； 当时，、、三点坐标的“铅垂高”， “矩面积”， 解得：， 即、、三点矩面积不小于21时，t的取值范围为或， 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 比较大小 ________2． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，利用平方法将两个数都转化为有理数是解决此题的关键．因为两个数均大于0，将二者平方后比较大小，平方大的数就大． 【详解】解：∵，，， ∴ 故答案为：． 12. 平面直角坐标系中，点到x轴的距离是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查点到坐标轴的距离， 根据点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值即可求解． 【详解】解：点到x轴的距离为， 故答案为：4． 13. 一组数据，其中最大值是169，最小值是146，对这组数据进行整理时，组距是4，则组数为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查频数分布表，调查收集数据的过程与方法，求出最大值与最小值的差，再根据组距、组数、极差的关系进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：6． 14. 已知，，则x与y的关系是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，能利用加减消元消去题中的是解题的关键． 求与的关系式，只需将题中的消掉即可，两式相加便可解决问题． 【详解】解：由题可知， ，， 则两式相加得，， 所以x与y的关系是． 故答案为：． 15. 已知不是关于x的不等式的解，则a的取值范围__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，先解出不等式的解集，然后根据不是关于x的不等式的解即可得出结果． 【详解】解：由式，得： 不是关于x的不等式的解， ， 故答案为：． 16. 如图，将线段平移得到线段，点在延长线上，点在射线上，、的角平分线所在直线相交于点，若，，则_____．（用，表示） 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质和对顶角的性质，三角形外角的性质；对点在点的左侧和右侧进行分类，再画出相应的示意图，结合所画图形即可解决问题，能根据题意画出示意图及熟知图形平移的性质是解题的关键． 【详解】解：当点在点的左侧时，如图所示， 由平移可知，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴， ∴， 当点在点的右侧时，如图所示， 同理可得，，， 由平移可知，， ∴， ∴， 综上所述，的度数为：或， 故答案为：或 ． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，立方根的求解，化简绝对值，首先求出立方根，再化简绝对值，最后算加减法即可． 【详解】解：原式． 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解题关键．利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， 由得：， 把代入①得： 解得：． ∴方程组的解为． 19. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组解集的求解，分别求出不等式①②的值，得到不等式组的解集即可． 【详解】解： 由不等式①得， 由不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 20. 如图，在四边形中，，，延长至点E，平分，交于点G，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质及判定，角平分线的定义，根据平行线的性质与判定可求得的度数，再由角平分线的定义可求得的度数，再结合已知条件求得的度数，继而求得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21. “读书的目的，不在于取得多大的成就，而在于，当你被生活打回原形，陷入泥潭时，给你一种内在的力量．”为此，某校为了打造书香校园，打算购进有益于增进学生阅读兴趣的甲、乙两种图书，已知购买1本甲种图书和2本乙种图书需140元，购买2本甲种图书和3本乙种图书需230元． （1）甲、乙两种图书每本分别是多少元？ （2）若该校打算购买甲种图书a本，两种图书共100本，但总费用不能超过4524元，求a的最小值． 【答案】（1）甲种图书每本40元，乙种图书每本50元 （2）48 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用， （1）设甲种图书每本x元，乙种图书每本y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）依题意得：，根据题意列出一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 设甲种图书每本x元，乙种图书每本y元， 依题意得：， 解得：． 答：甲种图书每本40元，乙种图书每本50元． 【小问2详解】 依题意得：， 解得：． ∵a为正整数， ∴， ∴a最小值为48． 22. 在平面直角坐标系中，已知，，． （1）请根据题中所给的坐标，画出； （2）将向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到，请直接写出点A，B，C所对应的点，，的坐标； （3）若点是三角形ABC内部一点，则经过（2）问的平移后得到对应点，求的值． 【答案】（1） 解：如图，即为所求， （2），， （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-平移变换，根据平移方式确定点的坐标，点的坐标确定平移方式，代数式求值，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据点A，B，C的坐标描点再连线即可； （2）根据平移的性质可得答案； （3）根据平移的性质可得点的对应点的坐标为，则可得，求出m，n的值，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到， ∴，，． 【小问3详解】 由平移得，点的对应点的坐标为， 由平移的性质得： 解得：， ∴． 23. 结合我国水资源短缺的形势，某校以“家庭去年月均生活用水量”为题，在全校范围内开展一次统计调查活动，通过简单随机抽样获得50个学生家庭去年的月均生活用水量（单位：吨）． 收集数据如下： 4.5 2.3 3.0 2.2 5.1 2.7 7.2 4.4 4.9 6.6 4.7 5.2 6.7 8.8 2.3 4.5 3.3 3.3 4.8 3.6 3.4 3.3 3.7 4.8 3.6 3.7 5.7 5.8 5.7 6.4 5.9 3.6 4.3 4.5 7.4 3.8 9.4 4.5 6.6 3.8 4.7 4.7 4.8 5.7 5.8 6.7 5.9 4.7 6.6 7.7 整理数据：列频数分布表如下（不完整） 组别 月均生活用水量（x） 频数（家庭数） A 9 B 21 C D E 2 合计 50 描述数据：画频数分布直方图和扇形统计图如图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）求D组数据所对应的扇形统计图的圆心角度数； （3）以此样本来估计总体，为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超过标准提高水价，若要使的家庭收费不受影响，你觉得家庭月均生活用水量标准应定多少吨？请说明理由． 【答案】（1） 频数分布直方图如下： （2） （3） 解：我觉得家庭月均用水量标准应定为5吨； 理由：∵要使的家庭收费不受影响， ∴收费不受影响的家庭有户． ∵由频数表知， ∴家庭月均用水量标准应定为5吨． 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、频数分布表、扇形统计图，掌握频数、频率、总数之间的关系是正确计算的前提． （1）根据具体数据统计其频数，进而补全频数分布直方图； （2）求出D组数据所占百分比，再求出所对应的扇形统计图的圆心角度数； （3）求出收费不受影响的家庭有户，再根据频数表知，即可得出结果． 【小问1详解】 解：通过收集数据可知：月均生活用水量（x）在间的家庭数为10， 月均生活用水量（x）在间的家庭数为8 【小问2详解】 解：． 答：D组数据所对应的扇形统计图的圆心角度数为． 【小问3详解】 略 24. 在一节数学课上，学生在利用平方根定义解方程时，错解成，数学老师带领学生们探究的括号展开形式． （1）老师带领数学兴趣小组1用整体思想进行运算，过程如下： 解：（乘方的定义） （步骤②） 步骤②用到的依据是__________（使用的运算律）； 请你类比数学兴趣小组1的运算过程，推导出的括号展开形式； （2）老师带领数学兴趣小组2用“数形结合”的方法进行推导，具体操作如下： 如图1，将，分别看成边长为a，b的两个正方形，如图2，将边长为b的正方形叠放在边长为a的正方形的左上角，则图2中长方形ABCD与长方形AEFG的面积用a，b都可表示为__________，因此阴影部分的面积用a，b可表示为_________，还可以表示为__________，从而得到的展开形式． （3）拓展延伸： ①由平方的非负性，探究与的大小关系． ②应用：“开心”农场准备用一定长度的护栏围成一块面积为25的长方形花园，设长方形的长为，求护栏长度的最小值． 【答案】（1） 乘法分配律，推导如下： ． （2），，或，， （3）①； 由平方的非负性知， ∵， ∴， ∴． ②20 【解析】 【分析】（1）根据乘法的分配律，展开计算即可，仿照示例解答即可． （2）根据题意，长方形的面积表示为，长方形的面积表示为，因此阴影部分的面积用a，b可表示为，还可以表示为，或长方形的面积表示为，长方形的面积表示为，因此阴影部分的面积用a，b可表示为还可以表示，解答即可． （3）①根据，得到，继而得到． ②根据长方形的面积为25，长为，得到宽为，表示周长为．解答即可． 本题考查了运算的分配律，实数的非负性，几何解释，应用，熟练掌握实数的非负性，公式的应用是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据题意，长方形的面积表示为，长方形的面积表示为，因此阴影部分的面积用a，b可表示为，还可以表示为，或长方形的面积表示为，长方形的面积表示为，因此阴影部分的面积用a，b可表示为还可以表示， 故答案为：，，或，，． 【小问3详解】 解：①略 ②∵长方形的面积为25，长为， ∴宽为， ∴周长为：， ∴护栏长度的最小值为20． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，，，其中． （1）求证：． （2）如图2，连接，若点在线段上． ①求的值．（用含n的式子表示） ②若的面积等于的面积的1.5倍，比较与的大小关系． 【答案】（1） 证明：如图: ∵，， ∴轴， ∴， ∵，， ∴轴， ∴， ∴； （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，用代数式表示式，三角形面积，等高模型，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用等高模型解决面积问题，学会构建方程解决问题， （1）根据坐标点的特点可得出轴，轴，即可得出结论； （2）①过点M作于点F，过点A作于点E，过点M作于点G，连接，首先表示出各点坐标，表示出，，，，根据三角形面积即可得出结果； ②过点M作于点G，先得出，利用以及的面积等于面积的1.5倍，列出方程组求出结果，即可求出M点坐标为，结合B点坐标可得出，从而得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①过点M作于点F，过点A作于点E， 过点M作于点G，连接， ∵，，，， ∴，，，， ∵， ∴， 即， ∴， 解得：， ∴； ②过点M作于点G， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的面积等于面积的1.5倍， ∴，解得：， 又由①知， ，解得：， 所以M点坐标为． ∵， ∴轴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $