精品解析：湖北省九师联盟2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题

高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，为复数，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若的实部为0，则是纯虚数 C. 若，则的虚部是 D. 若，则 3. 已知两个单位向量的夹角为，则（ ） A. B. 1 C. D. 4. 已知函数（是的导函数），则（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列前项和（为常数），则“”是“为等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 某陶瓷厂上釉车间有两条生产线，现随机对这两条生产线所生产的产品进行抽检，抽检生产线的产品的概率为，抽检生产线的产品的概率为.经过大量数据分析得生产线的次品率为，如果本次抽检得到的产品为次品的概率为，据此估计B生产线的次品率为（ ） A B. C. D. 7. 设函数，若，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与交于两点，在第一象限，延长交于一点，若且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，在定义域内既为奇函数，又为增函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，为抛物线的焦点，，过的直线与在第一象限交于点A，则（ ） A. 到直线距离的最大值为 B. 若到直线的距离相等，则的倾斜角为 C. 的最小值是 D. 当在直线的上方时，面积的最大值为 11. 如图，在棱长均为2的正三棱柱中，是棱的中点，，过点作平面与直线垂直，过点作平面与平面平行，则（ ） A. 当时，截正三棱柱所得截面的面积为 B. 当时，截正三棱柱所得截面面积为 C. 若截正三棱柱所得截面为三角形，则的取值范围为 D. 若，则截正三棱柱所得截面为四边形 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则__________. 13. 已知随机变量，则的展开式中含项的系数为__________. 14. 定义函数，已知函数，则的值域为 __________；若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 为了解甲､乙两所学校高二年级学生在学年度第二学期期末考试中的物理成绩情况，采用随机抽样方法从两所学校各抽取50名学生的物理成绩，并作出了频数分布统计表如下： 分组 甲校 频数 3 4 18 15 10 乙校 频数 2 6 12 18 12 （1）分别估计甲校物理成绩的分位数（精确到0.1）和乙校物理成绩的平均分（同一组中的数据用该区间的中点值代表）： （2）根据以上统计数据完成列联表（成绩不低于60分视为及格），并依据的独立性检验，判断两所学校的物理成绩的及格率是否存在差异. 甲校 乙校 合计 及格 不及格 合计 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.010 2.706 3.841 6.635 16. 已知数列满足：. （1）求； （2）证明：. 17. 如图，三棱锥的底面是边长为2的等边三角形，点在底面内的射影为的垂心. （1）证明：； （2）设，若，则当取何值时，直线与平面所成角正弦值最大？ 18. 已知函数在和处取得极值. （1）求； （2），求整数的最大值. 19. 已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，直线是与圆的一条公切线. （1）求的方程； （2）已知过的直线交于两点，交轴于点，，若（分别表示的面积），，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解出二次不等式化简集合A，求交集即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 2. 已知为虚数单位，为复数，则下列命题正确的是（ ） A 若，则 B. 若的实部为0，则是纯虚数 C. 若，则的虚部是 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的概念即可求解. 【详解】对A:若,则,故A错误; 对B:实部为0的复数可能虚部也为0,从而是实数,故B错误; 对C:复数的虚部是1,故C错误; 对D:设,则,所以,即,所以,故D正确. 故选:D. 3. 已知两个单位向量的夹角为，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用数量积的运算律和定义即可得到答案. 【详解】. 故选：A. 4. 已知函数（是的导函数），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对求导，然后令，解出即可. 【详解】由于，故. 令，得，解得. 故选：D. 5. 已知数列的前项和（为常数），则“”是“为等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先利用的表达式求出的通项为，然后分别证明充分性和必要性即可得到答案. 【详解】由于，故，且对有 ，所以. 一方面，若，则适合，所以对任意正整数都有，从而. 故是等比数列，从而条件是充分的； 另一方面，若是等比数列，则，所以，从而条件是必要的. 故选：C. 6. 某陶瓷厂上釉车间有两条生产线，现随机对这两条生产线所生产的产品进行抽检，抽检生产线的产品的概率为，抽检生产线的产品的概率为.经过大量数据分析得生产线的次品率为，如果本次抽检得到的产品为次品的概率为，据此估计B生产线的次品率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列出方程并求解即得. 【详解】设事件为“抽检得到的产品为次品”，事件分别表示抽检两条生产线的产品， 则，，设， 因此，解得， 所以估计B生产线的次品率为. 故选：D 7. 设函数，若，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先画出的图象，找到临界值，从而求出的取值范围. 【详解】的图象可由的图象向右平移个单位长度得到， 其最小正周期，画出的图象. 令，得， 故的图象离轴最近的一条对称轴为直线， 因为，令， 因为，考虑临界状态，而， 若，由对称性可知，离0最近的. 若满足题意，显然. 故选：B. 8. 如图，已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与交于两点，在第一象限，延长交于一点，若且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设的左焦点为，连接，利用双曲线的定义结合勾股定理求解即可. 【详解】设的左焦点为，连接， 则，因为，由双曲线的对称性知四边形为矩形. 在中，由，得，化简得. 在中，由，得，化简得，即离心率. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，在定义域内既为奇函数，又为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】直接通过奇函数和增函数的定义即可验证A和C正确；对于B，指出即可否定；对于D，指出即可否定. 【详解】对于A，，则的定义域为，且在上既为奇函数，又为增函数，故A正确； 对于B，因为，所以不为奇函数，故B错误； 对于C，由于的定义域为，且，所以为奇函数，又，由复合函数的单调性知为增函数，故C正确； 对于D，由于，故在定义域上不可能为增函数，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对函数奇偶性和单调性定义的熟练运用. 10. 在平面直角坐标系中，为抛物线的焦点，，过的直线与在第一象限交于点A，则（ ） A. 到直线距离的最大值为 B. 若到直线的距离相等，则的倾斜角为 C. 的最小值是 D. 当在直线的上方时，面积的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，当时，到直线的距离取得最大值，由两点间距离公式求出答案；B选项，设的方程为，根据点到直线距离公式得到方程，求出的值，从而得到直线的倾斜角；C选项，作出辅助线，结合焦半径公式得到的最小值是点到的准线的距离，即为4；D选项，当点到直线的距离取得最大值时，的面积有最大值，结合，利用导数的几何意义求出点坐标，从而求出最大面积. 【详解】对于A，当时，到直线的距离取得最大值， 其中，故最大距离为，故正确； 对于B，设的方程为，若到直线的距离相等， 则，解得或，故的倾斜角有两种可能，B错误； 对于C，由题意知，的准线为直线，焦点， 过点作的准线的垂线，垂足分别为， 则（当且仅当共线时取等号）， 故的最小值是点到的准线的距离，即为4，故C错误； 对于D，当点到直线的距离取得最大值时，的面积有最大值， 此时抛物线在处的切线与直线平行，其中. 由得，令，解得， 所以到直线的距离， 所以面积的最大值为，故D正确. 故选：AD. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 11. 如图，在棱长均为2的正三棱柱中，是棱的中点，，过点作平面与直线垂直，过点作平面与平面平行，则（ ） A. 当时，截正三棱柱所得截面的面积为 B. 当时，截正三棱柱所得截面的面积为 C. 若截正三棱柱所得截面为三角形，则的取值范围为 D. 若，则截正三棱柱所得截面为四边形 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用平面的基本性质画出不同对应的截面图形，结合已知判断图形形状或求它们的面积判断各选项正误. 【详解】对于A，当时，为中点，取中点，连接，如图1. 因为，所以， ，所以. 正三棱柱中，平面平面，平面平面， 平面，，，则平面， 因为平面，所以， 又平面，所以平面， 则为所求截面，，故A正确； 对于B，当时，与重合， 取的中点，的中点，连接，如图2， 由A选项知平面，平面，， 因为四边形为正方形，，所以， 平面，，则有平面， 则为所求截面，其面积为，故B正确； 对于C，取的中点，连接，当时，与重合，如图3， 由，，则四边形为平行四边形，有， 平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 平面，，所以平面平面， 故平面截正三棱柱所得截面为，故C错误； 对于D，若为中点，当在上（不含端点）时，即， 作出平面截正三棱柱所得截面如图4所示， 从下到上的过程中，截面为四边形，故D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由条件结合解出的值，再利用求得即可. 【详解】由，得，解得或（舍）. 又因为，所以，所以. 故答案为：. 13. 已知随机变量，则的展开式中含项的系数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由正态分布曲线的对称性求得，写出二项展开式的通项，根据题意，求得，代入通项计算即得. 【详解】因为，且，所以， 则展开式中的第项为，, 令，解得，故的展开式中含项的系数为. 故答案为：. 14. 定义函数，已知函数，则的值域为 __________；若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①根据题意得到的解析式，然后结合图象求值域；②将恰有3个零点转化为的图象与直线恰有3个不同的交点，然后根据图象求的范围. 【详解】 根据定义知， 的图象如图所示， 显然的值域为. 由，得，因为恰有3个零点， 所以的图象与直线恰有3个不同的交点，直线恒过点， 易求得图中所对应的值分别为， 联立得， 令，解得， 由图可知， 所以实数的取值范围为. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：函数的零点问题： ①转化为方程，直接求解； ②转化为函数图象与轴交点横坐标； ③转化为两个函数图象交点的横坐标. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 为了解甲､乙两所学校高二年级学生在学年度第二学期期末考试中的物理成绩情况，采用随机抽样方法从两所学校各抽取50名学生的物理成绩，并作出了频数分布统计表如下： 分组 甲校 频数 3 4 18 15 10 乙校 频数 2 6 12 18 12 （1）分别估计甲校物理成绩的分位数（精确到0.1）和乙校物理成绩的平均分（同一组中的数据用该区间的中点值代表）： （2）根据以上统计数据完成列联表（成绩不低于60分的视为及格），并依据的独立性检验，判断两所学校的物理成绩的及格率是否存在差异. 甲校 乙校 合计 及格 不及格 合计 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）；62.8 （2）表格见解析；没有差异 【解析】 【分析】（1）先求出频率所在的区间范围即分位数所在的区间范围即可求解. （2）根据题中所给数据完善列联表，进而计算出卡方值，再根据临界值表即可得解. 【小问1详解】 甲校物理成绩的前三组人数频率为， 甲校物理成绩的前四组人数频率为， 所以甲校物理成绩的分位数位于内， 所以甲校物理成绩的分位数为. 乙校物理成绩的平均分估计值为. 【小问2详解】 列联表如下： 甲校 乙校 合计 及格 25 30 55 不及格 25 20 45 合计 50 50 100 零假设：甲､乙两所学校的物理成绩的及格率没有差异， ， 依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为甲､乙两所学校的物理成绩的及格率没有差异. 16 已知数列满足：. （1）求； （2）证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等差中项证明为等差数列，然后求出公差即可求出通项公式； （2）令，先利用，则一定有，然后将进行放缩，然后再裂项，通过裂项相消求和，最后放缩证明不等式. 【小问1详解】 因为，所以数列为等差数列， 公差， 所以. 【小问2详解】 证明：令，因为，且， 所以； 因为， 所以 ， 因为，所以，故. 综上，. 17. 如图，三棱锥的底面是边长为2的等边三角形，点在底面内的射影为的垂心. （1）证明：； （2）设，若，则当取何值时，直线与平面所成角的正弦值最大？ 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设点在底面内的射影为，连接并延长交于，根据平面几何的知识可得，再由线面垂直的性质得到，从而得到平面，即可得证； （2）连接，即可说明，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦最大值. 【小问1详解】 设点在底面内的射影为，连接并延长交于， 因为为等边三角形且为的重心，所以为的中点，且， 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面，平面， 所以. 【小问2详解】 连接，由平面，平面，则，又为的中点，则. 又，所以. 以所在直线为轴，过且平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为是边长为的等边三角形，为重心，所以， ，，又， 所以， 所以，， ， 因为，所以， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 取，则得， 所以， 所以当时，， 故当时，直线与平面所成角的正弦值最大. 18. 已知函数在和处取得极值. （1）求； （2），求整数的最大值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）由题意有，解出并检验即可； （2）问题转化为恒成立，设，利用导数求最小值的范围，可求整数的最大值. 【小问1详解】 函数，， 因为函数在和处取得极值， 所以即解得 而当时，， 当时，；当时，；当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以和分别是的极大值点､极小值点， 故满足题意. 【小问2详解】 由题意，恒成立. 设，则， 显然在上单调递增. 又，所以存在唯一的，使得， 即，所以. 当时，单调递减；当时，单调递增， 所以， 当时，，所以， 由题意知，且， 所以整数的最大值为1. 19. 已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，直线是与圆的一条公切线. （1）求的方程； （2）已知过的直线交于两点，交轴于点，，若（分别表示的面积），，求实数的取值范围. 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）利用直线是圆的一条切线，与椭圆相切，再结合离心率可得答案； （2）设，的方程为，由向量共线得，，直线与椭圆方程联立，由韦达定理得，代入有，从而，设，利用导数可得答案. 【小问1详解】 因为直线是圆的一条切线， 所以，解得， 因为的离心率，所以， 由可得， 因为直线是椭圆的一条切线， 所以， 结合，解得， 所以的方程为； 【小问2详解】 设，显然的斜率存在且不为0， 设的方程为，令， 则，则， 由得， 解得，同理 由得，则， . 不妨设， ， 代入，有， 则， 由，得. 解得， 因为，所以. 设，则，令， 则，故在上单调递增， 则，则的值域为， 则的取值范围为. 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键首先是解出、的表达式，再联立直线与椭圆得到韦达定理式子，从而求证出为定值，然后再用有表示出，从而用表示出，最后再设新函数，利用导数求解出其范围，计算量很大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$