精品解析：河南省驻马店市汝南县三门闸乡天中山中学2023—2024学年九年级下学期5月月考数学试题

2024年初中毕业生中招适应性测试 数学 注意： 本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（下面各题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的序号填涂在答题卡相应位置．每小题3分，共30分） 1. 的相反数的倒数是（ ） A. B. C. D. 2024 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的相反数和倒数的概念，正确理解有理数的相反数和倒数的概念是解题的关键．只有符号不同的两个数叫做互为相反数，乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数．根据有理数的相反数和倒数的概念，即得答案． 【详解】的相反数是，的倒数是， 所以的相反数的倒数是． 故选D． 2. 《孙子算经》中记载“蚕所吐丝为忽，十忽为秒，十秒为毫，十毫为厘，十厘为分．”说明了长度计量单位之间的关系：1秒忽，1毫秒，1厘毫，1分厘，则90分等于（ ） A. 忽 B. 忽 C. 忽 D. 忽 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．根据题干中长度计量单位之间的关系计算即可． 【详解】解：90分忽， 故选：C． 3. 如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在原正方体的“静”相对的面上的汉字是（ ） A. 冷 B. 着 C. 应 D. 考 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体展开图的相对面的确定方法：同行隔一个，进行判断即可． 【详解】解：在原正方体的“静”相对的面上的汉字是：着； 故选B． 【点睛】本题考查正方体展开图的相对面．熟练掌握正方体展开图的相对面的确定方法：同行隔一个，是解题的关键． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 对神舟十七号零部件进行检查可采用抽样调查 B. 甲、乙两人射中环数的方差分别为：，说明甲的射击成绩比乙稳定 C. 从2000名学生中选200名学生进行抽样调查，样本容量为2000 D. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上是必然事件 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了普查和抽样调查、方差、样本容量、事件的分类等知识，根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：A．对神舟十七号零部件进行检查必须采用普查，不能抽样调查，故选项错误，不符合题意； B．甲、乙两人射中环数的方差分别为：，说明甲的射击成绩比乙稳定，故选项正确，符合题意； C．从2000名学生中选200名学生进行抽样调查，样本容量为200，故选项错误，不符合题意； D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上是随机事件，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 5. 与函数自变量取值范围相同的函数是（ ） A. 函数 B. 函数 C. 函数 D. 函数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．熟练掌握函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件判断题干函数与各选项中函数的自变量取值范围，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，函数自变量取值范围为，即； A中函数自变量取值范围为，即，故不符合要求； B中函数自变量取值范围为取所有实数，故不符合要求； C中函数自变量取值范围为，即，故不符合要求； D中函数自变量取值范围为，即，故符合要求； 故选：D． 6. 我们可以用如图的方法做出平行线，这种做法的依据是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同位角相等，两直线平行 D. 两直线平行，同旁内角互补 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，解题的关键是掌握平行线判定的方法：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．据此分析即可作出判断． 【详解】解：由题意知：， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故选：B． 7. 学完一元二次方程根的判别式后，小凡不解方程，很快判断出下列一元二次方程中有一个方程没有实数根，这个一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程判别式与根的个数的关系，利用判别式的取值范围进行判断即可． 【详解】解：A、变型为：，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B、，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； C、，，方程没有实数根，符合题意； D、变型为：，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 故选：C． 8. 为方便游客观光游览，不少景区预增购一批“游览观光车”．某企业抓住机遇投资15万元购买并投放一批A型“游览观光车”，因需求量增加，计划继续投放B型观光车，B型观光车的投放数量与A型观光车的投放数量相同，投资总费用减少，其中B型观光车的单价比A型观光车的单价少30元，则A型观光车的单价是多少元？设A型观光车的单价为x元，根据题意列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，设型单车每辆车的价格为元，则型单车每辆车的价格为元，再根据型单车的投放数量与型单车的投放数量相同，投资总费用减少列出方程即可． 【详解】解：设型单车每辆车的价格为元，则设型单车每辆车的价格为元， 由题意得，， 故选：A． 9. 如图，在中，点是边上的一点，，且的面积为10，则的周长的最小值是（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理，作，作点关于直线对称点，交于，连接，交于，由已知得出，由三角形面积得出，从而得出，表示出的周长，得出要使周长最小，则需点与重合，即点、、共线，由勾股定理得出，即可得解． 【详解】解：如图，作，作点关于直线对称点，交于，连接，交于， ， ∵， ∴，， ∵的面积为10， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的周长， ∴要使周长最小，则需点与重合，即点、、共线，如图所示， ， 由勾股定理得：， ∴周长最小值为， 故选：D． 10. 在平面直角坐标系中，将一块含有角的直角三角尺如图放置，其中，直角顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角尺沿轴正方向平移，当顶点恰好落在该双曲线上时点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作轴于点D．根据勾股定理可求出．再结合含角的直角三角形的性质可求出，进而可求出，得出，即说明，可求出，最后可求出，即得出双曲线解析式为，令，求出x的值即得出平移后点A的坐标为，最后可得出平移后点C的坐标为． 【详解】解：过点作轴于点D． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 设双曲线解析式为，则， 解得：， ∴双曲线解析式为． 将直角三角尺沿轴正方向平移，即点A纵坐标不变，即， 将代入，则， 解得：， ∴平移后点A的坐标为， ∴平移后， ∴平移后点C的坐标为． 故选：C． 【点睛】此题考查坐标与图形的变化—平移，反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理，解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质．正确作出辅助线是解题关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，点可能是无理数________. 【答案】（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴．熟练掌握实数与数轴是解题的关键．根据点A表示的无理数数大于且小于，且靠近，作答即可． 【详解】解：由题意可知，点A表示的数大于小于，且靠近， ∴点可能表示的无理数是， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 小聪将不等式组的所有整数解分别写到了卡片正面，每张卡片正面有且仅有1个数字，卡片背面完全相同，把这几张卡片背面朝上后随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率是________. 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查求一元一次不等式组的整数解，用树状图或列表法求概率，先解不等式组求出整数解，再画出树状图，用概率公式求出概率即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为 则不等式组的整数解为,共4个， 画树状图如下； 共有16个可能的结果，第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的结果有6个， ∴第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率为． 故答案为： 13. 如图，菱形中，．过菱形的中心分别作边、的垂线，交各边于点．则四边形的周长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据菱形的性质，结合含有的直角三角形三边关系即可得出菱形对角线长，证明是等边三角形，求出，同法可证，，都是等边三角形，求出，，即可． 【详解】解：连接，，如图所示： 四边形是菱形， ，，， ，，即， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， 同法可证，，，都是等边三角形， ，， 四边形的周长， 故答案为：． 【点睛】本题考查中心对称，菱形的性质，三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定和性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 14. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为，点、、均为格点，点为的三等分点（靠近点），点、分别是线段、上的动点，且，点为的中点，连接、．在滑动的过程中，当值最小时，阴影部分的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接、、、，根据勾股定理的逆定理确定，即的度数为，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，根据题意得，即，推出当点、、三点共线时，取“”号，此时值最小，最小值为：，进一步得出点为的中点，如图，根据弧的度数的意义确定，证明为等边三角形，得到，由等腰三角形三线合一得，求出，，再代入即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、、、， ∵每个小正方形的边长为，点为弧的三等分点（靠近点）， ∴，， ∵， ∴是直角三角形， ∴，即的度数为， ∴是直角三角形， ∵点为的中点，， ∴， ∵点、分别是线段、上的动点，点为的中点， ∴， ∴， 当点、、三点共线时，取“”号，此时值最小，最小值为：， 此时点为的中点，如图， ∵点为弧的三等分点（靠近点），的度数为， ∴的度数为：，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴在滑动的过程中，当值最小时，阴影部分的面积是． 故答案为：． 【点睛】本题考查求不规律图形的面积，考查了勾股定理及逆定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，两点之间线段最短，弧的度数，等边三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，扇形的面积，三角形的面积等知识点．确定点、、三点共线时求出的最小值是解题的关键． 15. 如图，在边长为4的正方形中，点是的中点，点是上的一动点，将沿折叠得到．连接，作关于对称的，连接、 ，当是等腰三角形时，的长为________． 【答案】2或 【解析】 【分析】先判断，然后分时和时两种情况求解即可． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， 根据翻折有：， ∴四边形是菱形， ∴点在以点E为圆心，2为半径的圆上运动，当点D，，E共线时，最短， 最小值线段的长减去圆的半径，即为＞2， ∴， ∴当是等腰三角形时，分两种情况讨论． ①当时， ∵， ∴， ∴点在边上，如图(1)， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ②当时，如图(2)， ∵四边形是菱形， ， ∴，， ∴CD垂直平分， ∴，则， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方向的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，分类讨论是解答本题的关键． 三、解答题（本大题8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算和整式的混合运算，涉及特殊角的三角函数值、化简绝对值、负整数指数幂和零指数幂的计算、平方差公式和完全平方公式．熟练掌握实数的混合运算和整式的混合运算法则是解题关键． （1）先计算特殊角的三角函数值、化简绝对值、负整数指数幂和零指数幂，再进行四则运算即可； （2）利用整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 2023年12月4日是我国第十个国家宪法日，为提高学生法治意识，某学校举行了校园法律知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的总成绩（百分制）进行整理、描述和分析成绩用（分）表示，80分及以上为优秀，分为A组（），B组（），C组（），D组（），并给出部分信息（表、图） 八年级抽取的学生竞赛成绩C组的数据为：82，86，88 九年级抽取的学生竞赛成绩数据为：68，77，75，100，80，100，80，86，95，91，100，86，84，94，87 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 87 98 60% 九年级 87 86 八年级抽取的学生竞赛成绩频数分布直方图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ． （2）该校八、九年级共800人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数． （3）假如你是该校同学，请结合以上数据分析本次法律知识竞赛的结果，并提出相关建议． 【答案】（1）86，100，； （2）人． （3）八年级学生优秀率相比九年级学生的优秀率偏低，八年级学生应该加强法律知识的学习力度，提高优秀率． 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，中位数，众数，以及用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握相关知识点，并灵活运用，正确从统计图中获取需要数据． （1）根据中位数的定义得出a为排序后第八名学生的成绩；找出抽取的九年级学生的竞赛成绩中出现次数最多的分数，即可求出b；用抽取的九年级学生的竞赛成绩中80分以上的个数除以15，即可求出c； （2）用800人乘以抽取的八、九年级学生竞赛成绩中90分以上的人数所占百分比，即可求解； （3）结合以上数据分析本次法律知识竞赛的结果提出相应的建议即可． 【小问1详解】 解：∵一共抽取八年级学生15人， ∴中位数是排序后的第8个数据， ∵， ∴第8个数据落在C组，是第八名学生成绩， 即； ∵抽取的九年级学生竞赛成绩中，100分出现了3次，出现次数最多， ∴， ∵抽取的九年级学生竞赛成绩中，80分及以上的有12个， ∴； 故答案为：86，100，； 【小问2详解】 解：根据频数分布直方图可得，抽取的八年级学生竞赛成绩中，90分以上的有6个； 根据抽取的九年级学生的竞赛成绩可得，90分以上的有6个； ∴该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数为：（人）， 答：该校八、九年级此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数为人． 【小问3详解】 略 18. 如图，在南海一次演习中，驻岛屿A处的侦察兵发现一艘“敌舰”在正东方向的B处，立即通知在岛屿A处的驱逐舰前去拦截，“敌舰”沿北偏西方向以30的速度航行，C处在A处的正北方向，驱逐舰沿东北方向航行，恰好在上的D处截停“敌舰”，请问驱逐舰的航行速度是多少（结果精确到0.1．参考数据：，，，） 【答案】驱逐舰的航行速度为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．设驱逐舰在上的处截停“敌舰”的时间为，则，在和中，依次表示出和，再根据速度=路程时间即可得解． 【详解】解：如图，作于点，则，， 设驱逐舰在上的处截停“敌舰”的时间为， ， 在中，， ， 在中，， ， 驱逐舰的航行速度， 答：驱逐舰的航行速度是． 19. 2024年，郑州市中招体育考试的总分值提高到分，考试项目增加至项，其中技能类考试项目除篮球和足球外增加了排球垫球．某校为更好开展排球课程，计划购买一批排球，郑州市两家体育用品商店分别推出了自己的优惠方案： 商店：若购买超过个，超过部分按每个排球标价的八折出售． 商店：若购买超过个，超过部分按每个排球标价的九折出售，然后每个再优惠元． 若用字母表示购买排球的数量，字母表示购买排球的价格，其函数图象如图所示． （1）求每个排球的标价是多少元． （2）当时，商店的应付总价与数量之间的函数关系式为 ；当时，商店的应付总价与数量之间的函数关系式为 ． （3）请求出图中点的坐标，并简要说明点表示的实际意义． （4）根据图象直接写出选择哪家商店购买排球更优惠． 【答案】（1）元 （2）； （3）点的坐标为；点表示的实际意义为当购买个排球时，在、两家商店所付的钱数相同，均为元 （4）当或时，在、两家商店所付的钱数相同；当时，选择商店更合算；当时，选择商店更合算 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，列函数关系式，单价、数量、总价之间的关系 （1）根据函数图象可知：商店：购买个排球的总价为元；商店：购买个排球的总价为元，根据“单价总价数量”即可得解； （2）根据两家体育用品商店分别推出的优惠方案并根据“总价单价数量”即可得出函数关系式； （3）根据（2）的结论列方程解答即可； （4）根据（3）的结论结合图象解答即可； 解题的关键是根据题意或图像找出等量关系列出函数关系式或方程，利用图像确定自变量的取值范围以解决方案问题． 【小问1详解】 解：商店：购买个排球的总价为元， ∴标价为：（元/个）； 商店：购买个排球的总价为元， ∴标价为：（元/个）； 则两个商店排球的标价是一样的， ∴每个排球的标价是元； 【小问2详解】 当时，， ∴与数量之间的函数关系式为， 当时，， ∴与数量之间的函数关系式为， 故答案为：；； 【小问3详解】 由图像可知，点是两个函数图象的交点，此时这两个图象的横、纵坐标分别相等， 则， 解得：， 此时， ∴点的坐标为， ∴点表示的实际意义为当购买个排球时，在、两家商店所付的钱数相同，均为元； 【小问4详解】 观察图象可知： 当或时，在、两家商店所付的钱数相同； 当时，选择商店更合算； 当时，选择商店更合算． 20. 小华在数学活动课上遇到了这样一个问题：如图，是直角三角形，． （1）操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母，保留作图痕迹，不写作法． ①作，使其经过、、三点． ②分别以点、为圆心，以线段的长为半径作弧，两弧交于点，且点与点分别在的两侧． ③连接，交于点． （2）综合与运用：若，解决以下问题： ①猜想与的位置关系，并说明理由． ②连接，求线段的长． 【答案】（1）如图，，点即为所作； （2）①解：是的切线，理由如下； 如图2，连接， 图2 ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线； ② 【解析】 【分析】（1）如图1，作的垂直平分线交于，以为圆心为半径画圆，则即为所作，然后按照步骤作图即可； （2）如图2，连接，证明是等边三角形，则，由，可得，则，即，进而可得是的切线；②如图3，连接，则，由①可知，，，由勾股定理得，，则，即，计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴为的直径， 如图1，作的垂直平分线交于，以为圆心为半径画圆，则即为所作，以点、为圆心，以线段的长为半径作弧，两弧交于点，连接交于； 【小问2详解】 ①略 ②解：如图3，连接， 图3 ∵是直径， ∴， 由①可知，，， 由勾股定理得，， ∴，即， 解得，， ∴的长为． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆，圆周角所对的弦为直径，直径所对的圆周角为直角，作垂线，切线的判定，等边三角形的判定与性质，正弦，正切，勾股定理等知识．熟练掌握三角形的外接圆，圆周角所对的弦为直径，直径所对的圆周角为直角，作垂线，切线的判定，等边三角形的判定与性质，正弦，正切，勾股定理是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点． （1）若抛物线经过点，求此抛物线的对称轴． （2）点为轴上一点，，过点且垂直于轴的直线与抛物线交于、两点，若，求点的纵坐标的取值范围． 【答案】（1）直线 （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程根与系数关系等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）由题意可得，由题意得到，求出或，进一步即可得到m的取值范围． 【小问1详解】 解：把代入得到， 解得 ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线． 【小问2详解】 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴或 当时，， 即此时抛物线的最高点为，则， 当时，， 即此时抛物线的最高点为，则， ∴m的取值范围是 22. 函数图象是研究函数的重要工具，探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．数学兴趣小组对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请按照要求补充完成． （1）与的几组对应值如下表： … 0 2 3 … … 0 … 其中＝ ，＝ ． （2）根据表中的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了该函数的一部分，请描出剩余的点，补全函数图象． （3）观察图象，判断下列关于该函数的性质的命题： ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为直线； ②当时，有最小值0； ③当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 其中正确的是 ．（填序号） （4），结合图象写出，当满足 时．（取近似值，结果精确到0.1） 【答案】（1）， （2）补全函数图象如图： （3）① （4） 【解析】 【分析】本题考查函数图象和性质，能够从表格中获取信息，利用描点法画出函数图象，并结合函数图象解题是关键． （1）将和分别代入中，即可得解； （2）根据列表描点，用平滑的曲线依次连接即可得解； （3）观察图象即可得解； （4）画出函数在第一象限的图象，令，当时，求出其解，结合图象即可得解． 【小问1详解】 解：当时，， ， 当时，， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：观察图象，可知①正确，②错误， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而减小，③错误， 故答案为：①； 【小问4详解】 解：如图，画出函数与在第一象限的图象，求出其交点， 令，，解得， 根据图象当时，， 即当时，， 故答案为：． 23. 在边长为12的等边三角形中，是边上的高，是边上一动点（不与、重合），连接，将绕点顺时针旋转得到，连接、． 某数学小组围绕上面的问题进行了如下的思考与探索： 【初步探索】（1）小组成员发现，点在上移动时，点会落在上，如图①，此时他们发现与存在一定的数量关系，请你猜想存在什么数量关系，并说明你的理由． 【深入交流】（2）小组成员进一步移动点，点位置也随之变化，他们猜测不论点在什么位置，与存在的数量关系仍然成立．当点落在线段下方时，若成立，请就图②所示的情形给出证明，若不成立，请说明理由． 【拓展应用】（3）请你借助上面探究的过程及结论，完成下面的应用：在点运动的过程中，当的面积为9时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）， 理由如下， ∵是等边三角形边上的高， ∴， 由题意知，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）， 证明：如图，取的中点，连接，， 则，又， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴； （3）线段的长为或． 【解析】 【分析】（1）证明是等边三角形，利用三角形的外角性质求得，再利用等边对等角证得； （2）取的中点，证明是等边三角形，推出，得到，再证明，得到； （3）取的中点，则点在线段的垂直平分线上，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得和的长，利用三角形面积公式求得，分两种情况讨论，结合即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）线段的长为或． 解：取的中点， 由（2）知，， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵是等边三角形边上的高， ∴直线与平行，设直线交于点，如图， ∵，， ∴，， ∵的面积为9， ∴， ∴， ∴当点落在线段下方时，； 当点落在线段上方时，， 由（2）知， ∴， ∴线段的长为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识点．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年初中毕业生中招适应性测试 数学 注意： 本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（下面各题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的序号填涂在答题卡相应位置．每小题3分，共30分） 1. 的相反数的倒数是（ ） A. B. C. D. 2024 2. 《孙子算经》中记载“蚕所吐丝为忽，十忽为秒，十秒为毫，十毫为厘，十厘为分．”说明了长度计量单位之间的关系：1秒忽，1毫秒，1厘毫，1分厘，则90分等于（ ） A. 忽 B. 忽 C. 忽 D. 忽 3. 如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在原正方体的“静”相对的面上的汉字是（ ） A. 冷 B. 着 C. 应 D. 考 4. 下列说法正确的是（ ） A. 对神舟十七号零部件进行检查可采用抽样调查 B. 甲、乙两人射中环数的方差分别为：，说明甲的射击成绩比乙稳定 C. 从2000名学生中选200名学生进行抽样调查，样本容量为2000 D. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上是必然事件 5. 与函数自变量取值范围相同的函数是（ ） A. 函数 B. 函数 C. 函数 D. 函数 6. 我们可以用如图的方法做出平行线，这种做法的依据是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同位角相等，两直线平行 D. 两直线平行，同旁内角互补 7. 学完一元二次方程根的判别式后，小凡不解方程，很快判断出下列一元二次方程中有一个方程没有实数根，这个一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 8. 为方便游客观光游览，不少景区预增购一批“游览观光车”．某企业抓住机遇投资15万元购买并投放一批A型“游览观光车”，因需求量增加，计划继续投放B型观光车，B型观光车的投放数量与A型观光车的投放数量相同，投资总费用减少，其中B型观光车的单价比A型观光车的单价少30元，则A型观光车的单价是多少元？设A型观光车的单价为x元，根据题意列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，点是边上的一点，，且的面积为10，则的周长的最小值是（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 10. 在平面直角坐标系中，将一块含有角的直角三角尺如图放置，其中，直角顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角尺沿轴正方向平移，当顶点恰好落在该双曲线上时点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，点可能是无理数________. 12. 小聪将不等式组的所有整数解分别写到了卡片正面，每张卡片正面有且仅有1个数字，卡片背面完全相同，把这几张卡片背面朝上后随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率是________. 13. 如图，菱形中，．过菱形的中心分别作边、的垂线，交各边于点．则四边形的周长为________． 14. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为，点、、均为格点，点为的三等分点（靠近点），点、分别是线段、上的动点，且，点为的中点，连接、．在滑动的过程中，当值最小时，阴影部分的面积是________． 15. 如图，在边长为4的正方形中，点是的中点，点是上的一动点，将沿折叠得到．连接，作关于对称的，连接、 ，当是等腰三角形时，的长为________． 三、解答题（本大题8个小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简： 17. 2023年12月4日是我国第十个国家宪法日，为提高学生法治意识，某学校举行了校园法律知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的总成绩（百分制）进行整理、描述和分析成绩用（分）表示，80分及以上为优秀，分为A组（），B组（），C组（），D组（），并给出部分信息（表、图） 八年级抽取的学生竞赛成绩C组的数据为：82，86，88 九年级抽取的学生竞赛成绩数据为：68，77，75，100，80，100，80，86，95，91，100，86，84，94，87 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 87 98 60% 九年级 87 86 八年级抽取的学生竞赛成绩频数分布直方图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ． （2）该校八、九年级共800人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数． （3）假如你是该校同学，请结合以上数据分析本次法律知识竞赛的结果，并提出相关建议． 18. 如图，在南海一次演习中，驻岛屿A处的侦察兵发现一艘“敌舰”在正东方向的B处，立即通知在岛屿A处的驱逐舰前去拦截，“敌舰”沿北偏西方向以30的速度航行，C处在A处的正北方向，驱逐舰沿东北方向航行，恰好在上的D处截停“敌舰”，请问驱逐舰的航行速度是多少（结果精确到0.1．参考数据：，，，） 19. 2024年，郑州市中招体育考试的总分值提高到分，考试项目增加至项，其中技能类考试项目除篮球和足球外增加了排球垫球．某校为更好开展排球课程，计划购买一批排球，郑州市两家体育用品商店分别推出了自己的优惠方案： 商店：若购买超过个，超过部分按每个排球标价的八折出售． 商店：若购买超过个，超过部分按每个排球标价的九折出售，然后每个再优惠元． 若用字母表示购买排球的数量，字母表示购买排球的价格，其函数图象如图所示． （1）求每个排球的标价是多少元． （2）当时，商店的应付总价与数量之间的函数关系式为 ；当时，商店的应付总价与数量之间的函数关系式为 ． （3）请求出图中点的坐标，并简要说明点表示的实际意义． （4）根据图象直接写出选择哪家商店购买排球更优惠． 20. 小华在数学活动课上遇到了这样一个问题：如图，是直角三角形，． （1）操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母，保留作图痕迹，不写作法． ①作，使其经过、、三点． ②分别以点、为圆心，以线段的长为半径作弧，两弧交于点，且点与点分别在的两侧． ③连接，交于点． （2）综合与运用：若，解决以下问题： ①猜想与的位置关系，并说明理由． ②连接，求线段的长． 21. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点． （1）若抛物线经过点，求此抛物线的对称轴． （2）点为轴上一点，，过点且垂直于轴的直线与抛物线交于、两点，若，求点的纵坐标的取值范围． 22. 函数图象是研究函数的重要工具，探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．数学兴趣小组对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请按照要求补充完成． （1）与的几组对应值如下表： … 0 2 3 … … 0 … 其中＝ ，＝ ． （2）根据表中的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了该函数的一部分，请描出剩余的点，补全函数图象． （3）观察图象，判断下列关于该函数的性质的命题： ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为直线； ②当时，有最小值0； ③当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 其中正确的是 ．（填序号） （4），结合图象写出，当满足 时．（取近似值，结果精确到0.1） 23. 在边长为12的等边三角形中，是边上的高，是边上一动点（不与、重合），连接，将绕点顺时针旋转得到，连接、． 某数学小组围绕上面的问题进行了如下的思考与探索： 【初步探索】（1）小组成员发现，点在上移动时，点会落在上，如图①，此时他们发现与存在一定的数量关系，请你猜想存在什么数量关系，并说明你的理由． 【深入交流】（2）小组成员进一步移动点，点位置也随之变化，他们猜测不论点在什么位置，与存在的数量关系仍然成立．当点落在线段下方时，若成立，请就图②所示的情形给出证明，若不成立，请说明理由． 【拓展应用】（3）请你借助上面探究的过程及结论，完成下面的应用：在点运动的过程中，当的面积为9时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $