精品解析：河南省南阳市2023-2024学年高二下学期期末考前热身联考数学试题

南阳市2024春期高二年级期末考前热身联考 数学试题 注意事项： 1、答题前考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上并将考生的条形码贴在答题卡指定位置上 2、回答选择题时选出每小题答案之后用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3、考试结束之后，将本卷和答题卡一并收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 为弘扬“五四”精神学校举行了一次演讲比赛，经过大数据分析，发现本次演讲比赛的成绩服从，据此估计比赛成绩不小于86的学生所占的百分比为（ ） 参考数据：,， A. 0.135％ B. 0.27％ C. 2.275％ D. 3.173％ 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，求出，将所求问题转化为求,利用正态曲线的对称性计算即得. 【详解】依题意，而， 所以测试成绩不小于86的学生所占的百分比为： 故选：C． 2. 若将大小形状完全相同的三个红球和三个白球（除颜色外不考虑球的其他区别）排成一排，则有且只有两个白球相邻的排法有（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】将白球分为两堆，并插空，求出答案. 【详解】除颜色外不考虑球的其他区别，将三个白球分成两堆，只有一种分法， 大小形状完全相同的三个红球排成一排也只有一种排法，三个红球共有4个空， 将白球插空有种可能. 故选：B. 3. 已知变量 关于 的回归方程为，其一组数据如下表所示. 若，则预测 的值为（ ） 2 3 4 5 6 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知回归方程取对数并令，得线性回归方程，根据线性回归直线过中心点求得 值，然后代入可得预测值． 【详解】由得：，令，即， 因为， ， 将点代入直线方程中，即，可得， 所以回归方程为， 若，则. 故选：A． 4. 椭圆的两焦点为，，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A，B，易得，，由此建立a，c的齐次式，进而可得结果. 【详解】设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A，B， 易得，， ∴，∴， ∴， 故选：D. 5. 已知正三棱柱底面边长为，侧棱长为1，则该正三棱柱外接球体积为（ ） A. 3π B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出底面外接圆的半径后可求外接球半径，从而可求外接球的体积. 【详解】因为正三棱柱的底面边长为， 所以底面所在平面截其外接球所成的圆 的半径 满足即， 又由正三棱柱的高为1，则球心到圆 的距离为， 故外接球半径，∴外接球的体积． 故选：B． 6. A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可得，由可得，再结合可求出，再利用条件概率公式求解即可. 【详解】，， 又，，故C错误； ，，，故A正确； ，，故B正确； ，故D正确. 故选：C. 7. 在数列中，，，，则的前20项和（ ） A. 621 B. 622 C. 1133 D. 1134 【答案】C 【解析】 【分析】设，.根据已知可推得为等差数列，为等比数列，求出的表达式.然后分组，根据等差数列以及等比数列前 项和公式求解，即可得出答案. 【详解】设，，则，. 由已知可得， ，即， 所以为以2为首项，2为公差的等差数列，. ，即， 所以为以1为首项，2为公比的等比数列，. 所以，的前20项和. 故选：C. 8. 设实数，若对恒成立，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将指对混合形式变形为同构形式，再构造函数，利用函数单调性求函数最值，得到参数 范围. 【详解】由，则，， 当时，，恒成立， 即任意，对恒成立； 当时，， 即，其中， 构造函数，则. ，因为，所以，单调递增； 则有，则， 构造函数， 则，令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 则， 即当时，， 故要使恒成立，则，即 的取值范围为. 故选：B. 【点睛】一般地，在等式或不等式中指对形同时出现，可能需要利用指对同构来解决问题.解决问题的关键在于指对分离，构造“指幂—幂对”形式，再构造函数求解.常见的同构式有：与，与等. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若的展开式中的常数项为60，则 D. 若随机变量 的方差，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用二项式系数的性质，即可排除A；根据全称量词命题的否定要求推理得到B；根据二项展开式的通项公式求得常数项，解方程即可求得；利用随机变量的方差的性质即可排除D. 【详解】对于A，由二项式系数的性质可得，， 且，故A错误； 对于B，根据全称量词命题的否定要求推理即得，故B正确； 对于C，因的展开式中的常数项为，解得，，故C正确； 对于D，若随机变量 的方差，则,故D错误. 故选：BC. 10. 已知分别为椭圆 和双曲线的公共左，右焦点， （在第一象限）为它们的一个交点，且，直线与双曲线交于另一点 ，若，则下列说法正确的是（ ） A. 的周长为 B. 双曲线 的离心率为 C. 椭圆 的离心率为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】设，则，由双曲线定义得，，再由余弦定理得，然后由椭圆定义得，利用余弦定理求得，再求三角形周长，求出椭圆、双曲线的离心率，从而判断各选项． 【详解】设，则，，， 中由余弦定理，得 ，化简得， ，D正确； 又，所以，又， 的周长为，A错误； 中，，由余弦定理得，所以， 因此双曲线的离心率为，B正确； 椭圆的离心率为，C正确， 故选：BCD． 11. 对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的极大值为 B. 有且仅有2个零点 C. 点是的对称中心 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】求得，得出函数单调性，结合极值的概念，可判定A正确；根据极大值为，极小值，进而得到函数有3个零点，可判定B错误；求得，令，求得，得出，可判定C正确；根据对称性，得到，结合倒序相加法，可判定D正确. 【详解】由函数，可得， 令，解得或；令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 当 时，取得极大值，极大值为，所以A正确； 又由极小值，且当时，， 当时，，所以函数有3个零点，所以B错误； 由，可得，令，可得， 又由，所以点是函数的对称中心， 所以C正确； 因为是函数的对称中心，所以， 令， 可得， 所以， 所以，即， 所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若双曲线的渐近线与圆相切，则 _________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可． 【详解】解：双曲线的渐近线为，即， 不妨取，圆，即，所以圆心为，半径， 依题意圆心到渐近线的距离， 解得或（舍去）． 故答案为：． 13. 在的展开式中，项的系数为________. 【答案】 【解析】 【分析】由，写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 其中展开式的通项为，， 所以的展开式中含的项为， 所以项的系数为. 故答案为： 14. 已知函数，，若使不等式成立， 的取值范围是_________． 【答案】． 【解析】 【分析】将不等式恒成立转化为，构造函数并求出函数的最大值，即可得. 【详解】因为，使不等式成立， 则，即， 则问题转化为． 设，由， 令，得． 当 在区间内变化时，，随 的变化情况如下表： ＋ 0 － 单调递增 极大值 单调递减 由上表可知，当时，函数有极大值，即最大值为，所以． 故 的取值范围是． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象在点处的切线过点． （1）求实数 的值； （2）求的单调区间和极值． 【答案】（1） （2） 的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，将点代入求解 ； （2）利用导数研究函数单调性和极值. 【小问1详解】 由已知得， 则，又， 所以的图象在点处的切线方程为， 将点代入得，解得. 【小问2详解】 所以，定义域为， 所以， 令，则， 易得在上恒成立，所以在上单调递增， 又，所以当时，，即，在上单调递减， 当时，，即，在上单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值 16. 如图所示，三棱柱中，分别为棱的中点，分别是棱上的点，. （1）求证：直线平面； （2）若三棱柱为正三棱柱，求平面和平面的夹角的大小. 【答案】（1）证明：取 的中点 ，连接交于 ，连接， 因为 分别为棱的中点，所以∥∥， 所以，所以， 所以， 因为，所以，所以， 因为分别为棱的中点，所以， 因为∥∥，所以，∥， 所以四边形为平行四边形， 所以∥， 因为平面，平面， 所以直线平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取 的中点 ，连接交于 ，连接，则可证得，再由可证得四边形为平行四边形，则∥，再由线面平行的判定定理可证得结论； （2）以 为原点，以 所在的直线为 轴，过 与 平行的直线为 轴，所在的直线为 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接 ，因为三棱柱为正三棱柱， 所以 为等边三角形，所以， 所以以 为原点，以 所在的直线为 轴，过 与 平行的直线为 轴，所在的直线为 轴建立空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以， 设平面和平面的夹角为 ，则， 因为，所以. 【点睛】 17. 为增加学生对于篮球运动的兴趣，学校举办趣味投篮比赛，第一轮比赛的规则为：选手需要在距离罚球线1米，2米，3米的三个位置分别投篮一次．在三个位置均投进得10分；在 处投进，且在 两处至少有一处未投进得7分；其余情况（包括三处均不投进）保底得4分．已知小王在三处的投篮命中率分别为，且在三处的投篮相互独立． （1）设 为小王同学在第一轮比赛的得分，求 的分布列和期望； （2）若第二轮比赛中设置两种参赛方法．方法1：按第一轮比赛规则进行比赛；方法2：选手可以选择在 处缩短投篮距离0.5米，但得分会减少分．选手可以任选一种规则参加比赛．若小王在 处缩短投篮距离0.5米后，投篮命中率会增加．请你根据统计知识，帮助小王同学选择采用哪种方法参加比赛更好． 【答案】（1） （2）当时，选择方法1；当时，选择方法2；当时，选择两种方法都一样. 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件概率乘法公式求 的分布列，利用公式求得数学期望； （2）先求选取方法2参加比赛，则小王同学得分的数学期望，再进行比较. 【小问1详解】 的可能取值为4，7，10， ， ， 所以分别列为： 4 7 10 P 所以； 【小问2详解】 如果选取方法2参加比赛，则小王同学得分的可能取值为， ， ， ， 所以， 当时，即，即时，选择方法1， 当时，即，即时，选择方法2， 当时，即，即时，选择两种方法都一样. 18. 已知椭圆经过点. （1）求 的标准方程； （2）过点的直线交 于两点（点 在点 的上方）， 的上､下顶点分别为 ，直线 与直线 交于点 ，证明：点 在定直线上. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接代点计算即可； （2）设直线的方程为，，将直线和椭圆联立，消去 ，然后表示出直线 和直线 的方程，利用韦达定理计算的值为定值，则可求出的值即可证明. 【小问1详解】 因为 过点 ，所以，整理得. 因为，所以， 所以 的标准方程为； 【小问2详解】 设直线的方程为，. 联立，整理得， ， 所以直线 的方程为①， 直线 的方程②， 解法一： 由①②得 ， 所以. 所以点 在定直线上运动，故点 在定直线上. 解法二（和积转化）： 所以， 由①②得 ，所以. 所以点 在直线上运动，故点 在定直线上. 解法三（点代平方差）： 因为 在 上，所以， 所以， 即 由①②得 ， 所以. 所以点 在直线上运动，故点 在定直线上. 【点睛】方法点睛：在一些定点、定值、定线问题中，还常出现需要证明类似为定值的情形，通过直线代换可得：，但此时式子并不能完全整理为韦达定理的形式，这种式子一般称为“非对称韦达定理”，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到和之间的关系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法即可. 19. 定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列．设数列经过 次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为． （1）若，求； （2）求不等式的解集； （3）是否存在数列，使得数列为等比数列？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意得到第二次“和扩充”后得到数列，从而计算出； （2）数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，数列经过 次“和扩充”后得到的数列的项数为，则经第次“和扩充”后增加的项数为，得到，构造等比数列，求出，从而得到不等式，求出解集； （3）得到，从而利用累加法求和得到，从而得到结论. 【小问1详解】 ，第一次“和扩充”后得到数列， 第二次“和扩充”后得到数列， ； 【小问2详解】 数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项， 数列经过 次“和扩充”后得到的数列的项数为， 则经第次“和扩充”后增加的项数为， 所以，所以， 其中数列经过1次“和扩充”后，得到，故， ， 故是首项为4，公比为2的等比数列， 所以，故， 则，即， 又，解得， 【小问3详解】 因为， ，， 依次类推，， 故 ， 若使为等比数列，则或. 【点睛】数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南阳市2024春期高二年级期末考前热身联考 数学试题 注意事项： 1、答题前考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上并将考生的条形码贴在答题卡指定位置上 2、回答选择题时选出每小题答案之后用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3、考试结束之后，将本卷和答题卡一并收回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 为弘扬“五四”精神学校举行了一次演讲比赛，经过大数据分析，发现本次演讲比赛的成绩服从，据此估计比赛成绩不小于86的学生所占的百分比为（ ） 参考数据：,， A. 0.135％ B. 0.27％ C. 2.275％ D. 3.173％ 2. 若将大小形状完全相同的三个红球和三个白球（除颜色外不考虑球的其他区别）排成一排，则有且只有两个白球相邻的排法有（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 36 3. 已知变量 关于 的回归方程为，其一组数据如下表所示. 若，则预测 的值为（ ） 2 3 4 5 6 A. B. C. D. 4. 椭圆的两焦点为，，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知正三棱柱底面边长为，侧棱长为1，则该正三棱柱外接球体积为（ ） A. 3π B. C. D. 6. A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 在数列中，，，，则的前20项和（ ） A. 621 B. 622 C. 1133 D. 1134 8. 设实数，若对恒成立，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若的展开式中的常数项为60，则 D. 若随机变量 的方差，则 10. 已知分别为椭圆 和双曲线的公共左，右焦点，（在第一象限）为它们的一个交点，且，直线与双曲线交于另一点 ，若，则下列说法正确的是（ ） A. 的周长为 B. 双曲线 的离心率为 C. 椭圆 的离心率为 D. 11. 对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的极大值为 B. 有且仅有2个零点 C. 点是的对称中心 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若双曲线的渐近线与圆相切，则 _________． 13. 在的展开式中，项的系数为________. 14. 已知函数，，若使不等式成立， 的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象在点处的切线过点． （1）求实数 的值； （2）求的单调区间和极值． 16. 如图所示，三棱柱中，分别为棱的中点，分别是棱上的点，. （1）求证：直线平面； （2）若三棱柱为正三棱柱，求平面和平面的夹角的大小. 17. 为增加学生对于篮球运动的兴趣，学校举办趣味投篮比赛，第一轮比赛的规则为：选手需要在距离罚球线1米，2米，3米的三个位置分别投篮一次．在三个位置均投进得10分；在 处投进，且在两处至少有一处未投进得7分；其余情况（包括三处均不投进）保底得4分．已知小王在三处的投篮命中率分别为，且在三处的投篮相互独立． （1）设 为小王同学在第一轮比赛的得分，求 的分布列和期望； （2）若第二轮比赛中设置两种参赛方法．方法1：按第一轮比赛规则进行比赛；方法2：选手可以选择在 处缩短投篮距离0.5米，但得分会减少分．选手可以任选一种规则参加比赛．若小王在 处缩短投篮距离0.5米后，投篮命中率会增加．请你根据统计知识，帮助小王同学选择采用哪种方法参加比赛更好． 18. 已知椭圆经过点. （1）求 的标准方程； （2）过点的直线交 于两点（点 在点 的上方）， 的上､下顶点分别为，直线 与直线 交于点 ，证明：点 在定直线上. 19. 定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列经过第一次“和扩充”后得到数列；第二次“和扩充”后得到数列．设数列经过 次“和扩充”后得到的数列的项数为，所有项的和为． （1）若，求； （2）求不等式的解集； （3）是否存在数列，使得数列为等比数列？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $