精品解析：湖北省宜昌市西陵区2023-2024学年九年级下学期月考数学试题

四月数学诊断试题 注意事项：本试卷分为试题卷和答题卡两部分，请将答案写在答题卡上每题对应的答题区域内，写在试题卷上无效．考试结束时，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（在各小题给出的四个选项中，只有一项是特合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号．本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在四个有理数，，0，0.5中，最小是（ ） A B. C. 0 D. 0.5 2. 如图是一个正方体盒子展开后的平面图形，六个面上分别写有“争”、“创”、“文”、“明”、“班”、“级”，则“文”字对面的字是（ ） A. 班 B. 明 C. 争 D. 创 3. 下列运算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 篆体是我国古代汉字字体之一．下列篆体字“山”，“水”，“宜”，“昌”中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 2024年一季度宜昌市重大项目集中开工活动举行，总投资1991.2亿元的218个重大项目集中开工，彰显了宜昌的经济活力．将“1991.2亿”用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ） A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 7. 如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交⊙O直径AB的延长线于点D．若∠D＝40°，则∠A的度数为（　　） A. 20° B. 25° C. 30° D. 40° 8. 下列各式中：，，，，，，其中分式的个数有（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 如图，已知是半径为1的的内接三角形，其中，则的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（请将答案写在答题卡上指定位置．本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：_______． 12. 有甲，乙两组数据，如表所示；甲，乙两组数据的方差分别为，，则_______（填“>”，“”，“”）． 甲 11 12 13 14 15 乙 12 12 13 14 14 13. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于两点，和交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接和交于点，连接．若，则的长为_______． 14. 同时抛掷两枚质地均匀硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率是_____． 15. 如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是__________． 三、解答题（本题共9小题，共75分，请将答案写在答题卡上指定的位置） 16. 计算： 17. 如图，在中，．点分别是上的点，且，若，求证：． 18. 某超市用7200元购进了A种橄榄油若干瓶，用4500元购进了B种橄榄油若干瓶，所购A种橄榄油比B种多10瓶，且A种橄榄油每瓶进价是B种的1.2倍．求两种橄榄油每瓶进价分别为多少元？ 19. 某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下： a．七年级成绩频数分布直方图： b．七年级成绩在这一组的是：70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79 c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下： 年级 平均数 中位数 七 76.9 m 八 79.2 79.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有　 　人； （2）表中m的值为　 　； （3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由； （4）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数． 20. 如图，点，在反比例函数的图象上，过点，的直线交双曲线的另一支于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接，，若，求的面积． 21. 已知是的直径，C为上一点，连接，过点O作于D，交弧于点E，连接，交于F． （1）如图1，求证：为的角平分线； （2）如图2，连接，若，①求长；②求图中阴影部分的面积． 22. 某影像公司经过市场调研，发现制作某种毕业相册的销量y（套）是售价x（元/套）的一次函数，其售价、销售量、销售利润w（元）的三组对应值如下表： 售价x（元/套） 130 150 180 销售量y（套） 210 150 60 销售利润w（元） 10500 10500 6000 注：销售利润销售量（售价成本价） （1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）求制作该毕业相册的成本价； （3）当售价为多少元时，销售利润最大？最大利润是多少？ （4）已知影像公司在七月份为某校九年级制作这种毕业相册的过程中，尽可能让利于学生，最后所得利润为9600元，求这种毕业相册的售价． 23. 【特例感知】 （1）如图1，在正方形中，点P在边的延长线上，连接，过点D作，交的延长线于点M．求证：． 【变式求异】 （2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作，交于点Q，点P在边的延长线上，连接，过点Q作，交射线于点M．已知，，，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若，（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）． 24. 如图，抛物线：与轴交于点，顶点为，过点作的垂线，交轴于点．延长到点，使，作轴，交抛物线的对称轴于点． （1）当时，直接写出点、的坐标； （2）当在变化时，点在另一抛物线上运动，①求抛物线的函数解析式；②线段的长是否为定值？若是，求出的长；若不是，请说明理由； （3）在（2）的条件下，过点作的平行线，与抛物线交于另一点，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四月数学诊断试题 注意事项：本试卷分为试题卷和答题卡两部分，请将答案写在答题卡上每题对应的答题区域内，写在试题卷上无效．考试结束时，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题（在各小题给出的四个选项中，只有一项是特合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号．本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在四个有理数，，0，0.5中，最小的是（ ） A. B. C. 0 D. 0.5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，要熟记负数小于正数，负数小于0，两个负数比较大小绝对值大的反而小．根据“正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小”比较即可． 【详解】四个有理数，，0，0.5从小到大为：， ∴最小的是， 故选：A． 2. 如图是一个正方体盒子展开后的平面图形，六个面上分别写有“争”、“创”、“文”、“明”、“班”、“级”，则“文”字对面的字是（ ） A. 班 B. 明 C. 争 D. 创 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方体的展开图的知识，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，Z字形两端的两个面一定是相对面，根据这一特点作答．掌握正方体表面展开图的特征是解题的关键． 【详解】∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴“文”字对面的字是“创”． 故选：D． 3. 下列运算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项，单项式除以单项式，积的乘方和同底数幂乘法的计算法则求解即可． 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算正确，不符合题意； D、，计算错误，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，单项式除以单项式，积的乘方和同底数幂乘法，熟知相关计算法则是解题的关键． 4. 篆体是我国古代汉字字体之一．下列篆体字“山”，“水”，“宜”，“昌”中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的判断，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键；根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：由轴对称图形的定义：将一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合的图形是轴对称图形， 可知B、C、D不是轴对称图形，A是轴对称图形． 故选：A． 5. 2024年一季度宜昌市重大项目集中开工活动举行，总投资1991.2亿元的218个重大项目集中开工，彰显了宜昌的经济活力．将“1991.2亿”用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】1亿，1991.2亿，再利用科学记数法将写成，再根据同底数幂相乘法则即可得解． 本题考查了用科学记数法表示大数以及同底数幂相乘，科学记数法的标准形式为：．熟练掌握科学记数法的表示方法以及同底数幂相乘的法则是解题的关键． 【详解】解：∵1亿， ∴1991.2亿， 故选：C． 6. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ） A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 【答案】D 【解析】 【详解】A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意． 故选D． 7. 如图，过⊙O上一点C作⊙O的切线，交⊙O直径AB的延长线于点D．若∠D＝40°，则∠A的度数为（　　） A. 20° B. 25° C. 30° D. 40° 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用切线的性质得出∠OCD=90°，进而得出∠DOC=50°，进而得出答案． 【详解】解：连接OC， ∵DC是⊙O的切线，C为切点， ∴∠OCD=90°， ∵∠D=40°， ∴∠DOC=50°， ∵AO=CO， ∴∠A=∠ACO， ∴∠A=∠DOC=25°． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了切线的性质，正确得出∠DOC=50°是解题关键． 8. 下列各式中：，，，，，，其中分式的个数有（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解决本题的关键． 根据分式的定义与为整式，，且中含有字母，形如的式子称为分式），根据定义判定即可． 【详解】解： 与为整式、且中含有字母， 形如的式子称为分式 ∴是分式；，是整式， ∴分式有4个． 故选：B． 9. 如图，已知是半径为1的的内接三角形，其中，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，先根据三角形的内角和求出，再根据圆周角定理求出，最后根据勾股定理即可求出． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是掌握三角形的内角和为，同弧所对的圆周角是圆心角的一半． 10. 如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置判断①；由抛物线的对称性可判断②；由二次函数与方程的关系，以及根与系数的关系可判断③；由二次函数的性质可判断④． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线交轴于正半轴， ， ， ， ，故①正确； 抛物线对称轴为直线，时，， 时，， ，故②正确； 抛物线开口向下，对称轴为直线， ， ， ， 故③正确； 抛物线开口向下，对称轴为直线， 若且，则点到对称轴的距离小于到直线的距离， ，故不正确． 故选：C． 二、填空题（请将答案写在答题卡上指定位置．本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】先将转化成，再按照同分母分式加减法法则进行计算即可． 本题主要考查了同分母分式加减法，把转化成是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为： 12. 有甲，乙两组数据，如表所示；甲，乙两组数据的方差分别为，，则_______（填“>”，“”，“”）． 甲 11 12 13 14 15 乙 12 12 13 14 14 【答案】> 【解析】 【分析】求出甲乙两组数据的方差，比较大小即可． 【详解】解：由表格可知： 甲组数据的平均数为：， 乙组数据的平均数为：， ∴甲组数据的方差为：， 乙组的数据的方差为：， ∴乙组的方差较小， 故答案为：>． 【点睛】本题考查求方差，解题的关键是根据方差公式进行求解． 13. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，和交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接和交于点，连接．若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，三角形中位线定理，线段的垂直平分线的性质等知识利用三角形中位线定理以及线段的垂直平分线的性质求解． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段，垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】用列表法与树状图法求解即可. 【详解】解:用列表法列举出总共4种情况，分别为：正正、正反、反正、反反， 其中一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的情况为：正反、反正 所以概率是， 故答案. 【点睛】本题考查了求随机事件的概率, 用到的知识点为: 概率=所求情况数与总情况数之比. 得到所求的情况数是解决本题的关键. 15. 如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是__________． 【答案】． 【解析】 【分析】由图可得当点E与点E重合时，即AE＝DF时线段DH长度最小，根据正方形的性质及勾股定理即可求得结果． 【详解】解：由题意得当点E与点E重合时，即AE＝DF时线段DH长度最小． 所以线段DH长度的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形中的动点问题，此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大． 三、解答题（本题共9小题，共75分，请将答案写在答题卡上指定的位置） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先利用1的任何次幂等于1，立方根，特殊角的三角函数值 、0指数幂以及绝对值的性质分别化简各项，再进行加减运算即可得出答案． 此题主要考查了实数的混合运算，正确化简各数是解题关键．注意与的区别：，． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，在中，．点分别是上的点，且，若，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质等知识，由，得，再由，推导出，而，即可根据“”证明，则． 【详解】证明：且， ， 又， ， ， ， 在和中， ， ， ． 18. 某超市用7200元购进了A种橄榄油若干瓶，用4500元购进了B种橄榄油若干瓶，所购A种橄榄油比B种多10瓶，且A种橄榄油每瓶进价是B种的1.2倍．求两种橄榄油每瓶进价分别为多少元？ 【答案】A，B两种橄榄油每瓶进价分别为180、150元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设B种橄榄油每瓶进价为x元，则A种橄榄油每瓶进价为1.2x元，列出方程，求解即可，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设B种橄榄油每瓶进价为x元，则A种橄榄油每瓶进价为1.2x元， 由A种橄榄油比B种多10瓶，得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴， ∴A，B两种橄榄油每瓶进价分别为180元和150元． 19. 某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下： a．七年级成绩频数分布直方图： b．七年级成绩在这一组的是：70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79 c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下： 年级 平均数 中位数 七 76.9 m 八 79.2 79.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有　 　人； （2）表中m的值为　 　； （3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由； （4）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数． 【答案】（1）23（2）77.5（3）甲学生在该年级排名更靠前（4）224 【解析】 【分析】（1）根据条形图及成绩在这一组的数据可得； （2）根据中位数的定义求解可得； （3）将各自成绩与该年级中位数比较可得答案； （4）用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数76.9分的人数所占比例可得． 【详解】解：（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有人， 故答案为23； （2）七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为78、79， ， 故答案为77.5； （3）甲学生在该年级的排名更靠前， 七年级学生甲的成绩大于中位数78分，其名次在该班25名之前， 八年级学生乙的成绩小于中位数78分，其名次在该班25名之后， 甲学生在该年级的排名更靠前． （4）估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为（人）． 【点睛】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用． 20. 如图，点，在反比例函数的图象上，过点，的直线交双曲线的另一支于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接，，若，求的面积． 【答案】（1）反比例函数的解析式为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数图象的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，重点掌握在反比例函数中求三角形面积；（1）根据点在反比例函数上，即可求出值，即可求出反比例函数解析式；（2）点在反比例函数的图象上，求出或；求出直线解析式，进而求出的面积． 【小问1详解】 点在反比例函数的图象上 ，即 反比例函数的解析式为. 【小问2详解】 点在反比例函数的图象上 又 或 由图象得： ， 由、关于点中心对称，得： 直线解析式为： 作轴，交于点， 则 21. 已知是的直径，C为上一点，连接，过点O作于D，交弧于点E，连接，交于F． （1）如图1，求证：为的角平分线； （2）如图2，连接，若，①求的长；②求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2）①AE= 6；② 【解析】 【分析】（1）首先由圆周角定理得到，推出，得到，等边对等角，得到，即可得证； （2）①，推出，进一步得到，求出，进而推出，等边对等角以及含30度角的之间三角形的性质，求出的长，即可得解； ②首先求出，证明出为等边三角形，然后利用代数求解即可． 【小问1详解】 证明：如图1中， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故为的角平分线； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ②由①，得：， 又 ∴为等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，求扇形面积，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 22. 某影像公司经过市场调研，发现制作某种毕业相册的销量y（套）是售价x（元/套）的一次函数，其售价、销售量、销售利润w（元）的三组对应值如下表： 售价x（元/套） 130 150 180 销售量y（套） 210 150 60 销售利润w（元） 10500 10500 6000 注：销售利润销售量（售价成本价） （1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）求制作该毕业相册的成本价； （3）当售价为多少元时，销售利润最大？最大利润是多少？ （4）已知影像公司在七月份为某校九年级制作这种毕业相册的过程中，尽可能让利于学生，最后所得利润为9600元，求这种毕业相册的售价． 【答案】（1）y关于x的函数解析式为 （2）制作该毕业相册的成本价为80元/套 （3）当售价是140元时，销售利润最大，最大利润是10800元 （4）这种毕业相册的售价为120元/套 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数和二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用． （1）设y关于x的函数解析式为，代入表中相关数据得二元一次方程组，求解即可； （2）设制作该毕业相册的成本价为m元/套，则，代入表中相关数据，得到关于m的方程，求解即可； （3）根据每件的利润乘以销售量等于销售利润，得关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得答案； （4）根据“当所得利润为9600元”即可列出一元二次方程，求解并结合题意取舍即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可设y关于x的函数解析式为， 由表格可知当时，；当时，， ∴ 解得： ∴y关于x的函数解析式为； 【小问2详解】 设制作该毕业相册的成本价为m元/套 由题意可知： 由表可得当时，，， ∴， 解得： ∴制作该毕业相册的成本价为80元/套； 【小问3详解】 解：由题意可知： ∵ ∴当时，w有最大值，最大值为10800 答：当售价是140元时，销售利润最大，最大利润是10800元． 【小问4详解】 解：当所得利润9600元，即时， ， 解得：，， ∵由于影像公司尽可能让利于学生， ∴， ∴这种毕业相册的售价为120元/套． 23. 【特例感知】 （1）如图1，在正方形中，点P在边的延长线上，连接，过点D作，交的延长线于点M．求证：． 【变式求异】 （2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作，交于点Q，点P在边的延长线上，连接，过点Q作，交射线于点M．已知，，，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若，（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据证明即可； （2）证明，得出，根据勾股定理，根据，得出，求出，得出，求出； （3），作于点N，证明，得出．证明，得出，求出． 【详解】（1）证明：在正方形中， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）如图1，作于点N，如图所示： ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ， ∴， ∴． ∵， ∴， 如图2，作于点N， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 24. 如图，抛物线：与轴交于点，顶点为，过点作的垂线，交轴于点．延长到点，使，作轴，交抛物线的对称轴于点． （1）当时，直接写出点、的坐标； （2）当在变化时，点在另一抛物线上运动，①求抛物线的函数解析式；②线段的长是否为定值？若是，求出的长；若不是，请说明理由； （3）在（2）的条件下，过点作的平行线，与抛物线交于另一点，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】（1）， （2）①的函数关系式为：；②是定值， （3）的值或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点，相似三角形的判定和性质，一次函数的交点等知识，解答本题的关键要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，运用分类讨论思想思考解决问题．（1）代入抛物线：，求出抛物线解析式，即可求解；（2）证明，进而证明，即可求出的长是定值，，即可求出的函数关系式；（3）分两种情况，第一种当四边形为平行四边形时，根据，求出的值；第二种当四边形为平行四边形时，根据，求出的值即可． 【小问1详解】 解：将代入抛物线：， 则， 即可得：， 点的坐标为：， 当代入，则， 即点的坐标， 故、点的坐标分别为，． 【小问2详解】 ∵抛物线：与轴交于点，顶点为， ∴点的坐标为，点的坐标为， 过点作轴于点， 由，可证， 由， 可得， ，，， ， ，， 点的坐标为， ∴函数关系式为：． 【小问3详解】 直线：， 过点平行的直线：， ， ⅰ)当四边形为平行四边形时，如图， ， 解得：， ⅱ)当四边形为平行四边形时，如图， ， 解得：， 综上所述：的值或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $