精品解析：福建省厦门市松柏中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年松柏中学八年级（下）期末试卷 数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 1，1，1 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 3，4，10 3. 某中学八年级有名同学参加了“走进古典数学，趣谈数学史话”的数学史知识竞赛，他们的初赛成绩各不相同，要取前名同学参加决赛，其中小智同学已经知道了自己的初赛成绩，他想知道自己能否进入决赛，还需要知道这名同学成绩的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 4. 在平行四边形中，下列结论一定正确是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程x2+3x=0的根是（　　） A. 或 B. 或 C. D. 6. 已知点，在一次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 某药品经过两次降价，且第二次降低的百分率是第一次降低的百分率的2倍，药品价格由每盒72元调至56元，若设第一次降低的百分率为x，则根据题意，可得方程为（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数的x与y的部分对应值如下表所示，根据表中数值分析．下列结论不正确的是（ ） x … 0 1 2 … y … 5 2 … A. y随x的增大而减小 B. 一次函数的图象经过第一、二、四象限 C. 是方程的解 D. 一次函数图象与x轴交于点 9. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E在AC上，CE＝BC．BE的延长线交AD于F，若∠ACB＝36°，连接OF，则下列结论正确的是（　　） A. BF＝BC B. BF＝CD C. OF⊥BD D. OE＝2AE 10. 在正方形中，点E为边中点，点与点B关于对称，与交于点F，连接，，．下列结论：①；②为直角三角形；③；④。其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②④ C. ③④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 计算：______． 12. 如图，菱形的周长是16，，则对角线的长是_____________． 13. 《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深_________尺． 14. 设甲组数据：，，，，的方差为，乙组数据：，，的方差为，则与的大小关系是________． 15. 如图，在中，D，E分别是，的中点，点F在上，且，若，，则的长为___________． 16. 如图①，在长方形中，，对角线，相较于点O，动点P由点A出发，沿向点D运动，设点P运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图像如图②所示，则边的长为_________． 三、解答题（共86分） 17. （1）计算 （2）解方程 18. 若一次函数的图象经过点，． （1）求该一次函数的解析式； （2）判断点是否在该函数图像上，若不在直线上，是在直线上方还是直线下方． 19. 先化简，再求值：，其中m=+1． 20. 某公司欲招聘一名工作人员，对甲、乙两名应聘者进行面试和笔试，他们的成绩（百分制）如下表所示． 应聘者 面试 笔试 甲 84 90 乙 91 80 若公司分别赋予面试成绩和笔试成绩5和3的权，平均成绩高的被录，判断谁将被录取，并说明理由． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，该方程均有两个不相等的实数解； （2）如果方程的两个实数根为，且，求m的取值范围． 22. 已知：如图，在平行四边形中，G，H分别是，的中点，E，O，F分别是对角线上的四等分点，顺次连接G，E，H，F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：当平行四边形满足时，四边形是菱形． 23. 某班40名同学去参观科技展览馆，已知展览馆分为A、B、C三个场馆，且购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元．C场馆门票为每张15元，请回答以下问题： （1）求A场馆和B场馆的门票价格； （2）参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票．但由于场地原因，为了避免参观人员太多导致拥挤，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观； ①若购买A场馆门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值； ②若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需要购买部分门票，且让去A场馆的人数尽量的多，最终购买三种门票共花费了1100元，请你写出购买方案． 24. 定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”． 理解： （1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是__________（填写序号）； （2）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且连接，，求证：四边形是等角线四边形； 运用： （3）如图2，中，已知，，，点为线段的垂直平分线上的一动点，若以点，，，为顶点的四边形是等角线四边形，求该四边形的面积． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于、两点，点在线段上，将线段绕着点顺时针旋转得到，此时点恰好落在直线上，过点作轴于点． （1）求证：； （2）如图2，将沿轴正方向平移得，当经过点时，求平移距离及点的坐标； （3）在（2）的条件下，若点在轴上，点在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年松柏中学八年级（下）期末试卷 数学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：二次根式有意义， ， ． 故选：C． 2. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A 1，1，1 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 3，4，10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理；根据勾股定理的逆定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 1，1，1； ∵，， ∴，不能组成直角三角形；本选项不合题意； B. 2，3，4； ∵，， ∴，不能组成直角三角形；本选项不合题意； C. 3，4，5； ∵，， ∴，能组成直角三角形；本选项符合题意； D.3，4，10； ∵，即此时不能构成三角形， ∴也不能组成直角三角形；本选项不合题意； 故选：C． 3. 某中学八年级有名同学参加了“走进古典数学，趣谈数学史话”的数学史知识竞赛，他们的初赛成绩各不相同，要取前名同学参加决赛，其中小智同学已经知道了自己的初赛成绩，他想知道自己能否进入决赛，还需要知道这名同学成绩的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】由于有名同学参加“感恩最美逆行者”演讲比赛，要取前名参加决赛，故应考虑中位数的大小． 【详解】解：共有名学生参加“走进古典数学，趣谈数学史话”的数学史知识竞赛，取前名，所以小智需要知道自己的成绩是否进入前，我们把所有同学的成绩按大小顺序排列， 第名的成绩是这组数据的中位数，所以小智知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛． 故选：C． 【点睛】本题考查了用中位数的意义解决实际问题．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 4. 在平行四边形中，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形邻角互补,对面相等性质作答即可． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，，， 根据现有条件无法推出、、， 故选：C． 5. 一元二次方程x2+3x=0的根是（　　） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】提公因式后化为一元一次方程解答． 【详解】提公因式得：x（x+3）=0，解得：x1=0，x2=﹣3． 故选A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法，熟悉提公因式法是解题的关键． 6. 已知点，在一次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．根据题中一次函数y随着x的增大而减少即可得出答案． 【详解】解：∵一次函数，， ∴y随着x的增大而减小． ， ∴， 故选：A． 7. 某药品经过两次降价，且第二次降低的百分率是第一次降低的百分率的2倍，药品价格由每盒72元调至56元，若设第一次降低的百分率为x，则根据题意，可得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别表示出每次降价后的价格，即可得到方程． 【详解】解：设第一次降低的百分率为x，则设第二次降低的百分率为， 第一次降价后的价格为元， 第二次降价后的价格为元， 故两次降价后的价格为， 故选：D． 【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用—增长率（降低率）问题，正确理解题意是解题的关键． 8. 一次函数的x与y的部分对应值如下表所示，根据表中数值分析．下列结论不正确的是（ ） x … 0 1 2 … y … 5 2 … A. y随x的增大而减小 B. 一次函数的图象经过第一、二、四象限 C. 是方程的解 D. 一次函数的图象与x轴交于点 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格中的数据和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由表格可得， A、y随x的增大而减小，故选项A正确，不符合题意； B、当时，，可知，y随x的增大而减小，可知，则该函数图象经过第一、二、四象限，故选项B正确，不符合题意； C、时，，故方程的解是，故选项C正确，不符合题意； D、∵点，在该函数图象上， ∴，解得， ∴， 当时，，得， ∴一次函数的图象与x轴交于点，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数的性质，解答本题的关键是利用一次函数的性质解答． 9. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E在AC上，CE＝BC．BE的延长线交AD于F，若∠ACB＝36°，连接OF，则下列结论正确的是（　　） A. BF＝BC B. BF＝CD C. OF⊥BD D. OE＝2AE 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质推出，推出为等腰三角形，再推出，再为等腰三角形和是等腰三角形即可求解． 【详解】解：如图 ∵矩形ABCD中 ∴, 为等腰三角形 是等腰三角形 ∴OF是△BFD底边上的中线， ∴OF是的高 故选：C 【点睛】此题考查的是矩形的性质和等腰三角形的判定和性质，掌握它们的性质和判定定理是解题关键． 10. 在正方形中，点E为边的中点，点与点B关于对称，与交于点F，连接，，．下列结论：①；②为直角三角形；③；④。其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②④ C. ③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质结合轴对称得性质可得，可判断①正确；可得EF为△BCB′的中位线，即有，可得，可判断②正确；利用可证明，即可证明，进而可得，进而有，可得，再证明，可得，可判断④正确；根据周角的定义可得，由可得，根据等腰三角形的性质及角的和差关系可得，进而可得，根据等腰三角形的性质可得，可判断③错误；综上即可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点E为边的中点，点与点B关于对称， ∴，，， ∴，故①正确； ∵，点E为边的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴，即是直角三角形，故②正确； ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，故④正确， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； 综上所述：正确的结论有①②④， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 计算：______． 【答案】2 【解析】 【分析】该题考查了算术平方根，根据算术平方根的意义解答即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 12. 如图，菱形的周长是16，，则对角线的长是_____________． 【答案】4 【解析】 【分析】由于四边形是菱形，是对角线，根据，而，易证是等边三角形，从而可求的长． 【详解】解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵菱形的周长是16， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质．菱形的对角线平分对角，解题的关键是证明是等边三角形． 13. 《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深_________尺． 【答案】12 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出方程的解即可得到水深． 【详解】依题意画出图形，设芦苇长尺，则水深尺， ∵尺，芦苇生长在它的正中央， ∴尺， 在中，， 解得：， 即水深12尺， 故答案为：12． 14. 设甲组数据：，，，，的方差为，乙组数据：，，的方差为，则与的大小关系是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方差的意义进行判断． 【详解】解：因为甲组的数据都相等，没有波动，而乙组数有波动， 所以s甲2＜s乙2． 故答案为s甲2＜s乙2． 【点睛】本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 15. 如图，在中，D，E分别是，中点，点F在上，且，若，，则的长为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可． 【详解】解：∵D、E分别为、的中点，， ∴， ∵，D为的中点，， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 16. 如图①，在长方形中，，对角线，相较于点O，动点P由点A出发，沿向点D运动，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图像如图②所示，则边的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，结合图象可得面积最大为3，得到与的积为12；当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，得到与的和为7，构造关于的一元二方程可求解，问题随之得解． 【详解】解：在长方形中，点到边的距离为，点到边的距离为， 当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，面积最大为3． ，即． 当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7， ． 则，代入，得， 解得或3， ，即， ，． 即, 即：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，矩形的性质，三角形的面积，解一元二次方程，勾股定理等知识，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值． 三、解答题（共86分） 17. （1）计算 （2）解方程 【答案】（1），（2）， 【解析】 【分析】此题主要考查了实数的运算和一元二次方程的求解， （1）根据二次根式的性质、零指数幂和负整数指数幂的运算求解即可； （2）可配方法求解，按照求解过程得出结果即可． 【详解】（1） ； （2） ， 即：，． 18. 若一次函数的图象经过点，． （1）求该一次函数的解析式； （2）判断点是否在该函数图像上，若不在直线上，是在直线上方还是直线下方． 【答案】（1） （2）点不在函数图象上，而在直线下方 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象， （）利用待定系数法解答即可求解； （）把代入（）得到的函数表达式中，求出的值，与点的纵坐标比较即可判断； 【小问1详解】 将，代入， 可得：， 解得：， 故所求一次函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∵， ∴点不在函数图象上，而在直线下方． 19. 先化简，再求值：，其中m=+1． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将m的值代入即可解答本题． 【详解】 = = =， 当m=+1时，原式=． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 20. 某公司欲招聘一名工作人员，对甲、乙两名应聘者进行面试和笔试，他们成绩（百分制）如下表所示． 应聘者 面试 笔试 甲 84 90 乙 91 80 若公司分别赋予面试成绩和笔试成绩5和3的权，平均成绩高的被录，判断谁将被录取，并说明理由． 【答案】乙将被录取，理由如下 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的公式，利用加权平均数的公式求出甲、乙的平均成绩，再比较大小即可得． 【详解】乙将被录取，理由如下： 由题意得：甲的平均成绩为， 乙的平均成绩为， 因为， 所以乙将被录取． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，该方程均有两个不相等的实数解； （2）如果方程的两个实数根为，且，求m的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）先计算，由于，则，即△＞0，根据△的意义即可得到无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）利用两根之和与两根之积的公式代入得出关于m的不等式，解之即可． 【详解】解：（1）证明：， ∵， ∴，即， ∴无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）∵， ∴由可得，解得． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有两实数根，也考查了根与系数的关系．本题的关键是熟练掌握公式． 22. 已知：如图，在平行四边形中，G，H分别是，的中点，E，O，F分别是对角线上的四等分点，顺次连接G，E，H，F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：当平行四边形满足时，四边形是菱形． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，三角形中位线定理等知识， （1）连接，由三角形中位线定理可得，，，，可得，，可得结论； （2）先证四边形是平行四边形，可得，可得，可得结论 【小问1详解】 证明：如图1，连接， 四边形是平行四边形， ，． ，，分别是对角线上的四等分点， ，分别为，的中点， 是中点， 为的中位线， ，， 同理，， ，， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 证明：如图2，连接，， 四边形是平行四边形，，分别是，的中点， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ，即， 又四边形是平行四边形， 四边形是菱形． 23. 某班40名同学去参观科技展览馆，已知展览馆分为A、B、C三个场馆，且购买1张A场馆门票和1张B场馆门票共需90元，购买3张A场馆门票和2张B场馆门票共需230元．C场馆门票为每张15元，请回答以下问题： （1）求A场馆和B场馆的门票价格； （2）参观当天刚好有优惠活动：每购买1张A场馆门票就赠送1张C场馆门票．但由于场地原因，为了避免参观人员太多导致拥挤，要求到A场馆参观的人数要少于到B场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观； ①若购买A场馆门票赠送的C场馆门票刚好够参观C场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值； ②若参观C场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需要购买部分门票，且让去A场馆的人数尽量的多，最终购买三种门票共花费了1100元，请你写出购买方案． 【答案】（1）A场馆门票的单价为50元，B场馆门票的单价为40元 （2）①此次购买门票所需总金额的最小值为1210元；②购买10张A场馆门票，22张B场馆门票，8张C场馆门票 【解析】 【分析】（1）设A场馆门票为x元，B场馆门票为y元，再根据文中数量关系列出等量关系式即可得出结论． （2）①购设购买A场馆门票a张，则购买B场馆门票张，求出a取值范围，再设此次购买门票所需总金额为w元，则有，最后根据函数系数的性质确定最值问题．②设购买A场馆门票m张，C场馆门票n张，则购买B场馆门票张，可得．根据m、n为正整数，且让去A场馆的人数尽量的多，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设A场馆门票为x元，B场馆门票为y元，根据题意得： ， 解得． 答：A场馆门票的单价为50元，B场馆门票的单价为40元． 【小问2详解】 解：①设购买A场馆门票a张，则购买B场馆门票张，依题意得： ，解得：． 设此次购买门票所需总金额为w元，则 ， ∵， ∴w随a的增大而减小 ． ∵，且a为整数， ∴当时，w取得最小值，最小值． 答：此次购买门票所需总金额的最小值为1210元． ②设购买A场馆门票m张，C场馆门票n张，则购买B场馆门票张，依题意得：， ∴． 又∵m，n均为正整数， ∴或或， 当时，，符合题意． 当时，，符合题意． 当时，，符合题意，舍去； ∵让去A场馆的人数尽量的多， ∴购买10张A场馆门票，12张B场馆门票，8张C场馆门票． 【点睛】本题考查了二元一次方程组，不等式的应用以及最值问题，解题的关键是根据题意列出相应的方程和不等式． 24. 定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”． 理解： （1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是__________（填写序号）； （2）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且连接，，求证：四边形是等角线四边形； 运用： （3）如图2，中，已知，，，点为线段的垂直平分线上的一动点，若以点，，，为顶点的四边形是等角线四边形，求该四边形的面积． 【答案】（1）②④；（2）见解析；（3）或 【解析】 【分析】（1）由矩形和正方形的性质可直接求解； （2）由“”可证，可得，可得结论； （3）分两种情况讨论，由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：矩形、正方形的对角线相等， 矩形和正方形是“等角线四边形”， 故答案为②④； （2）证明：连接，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 四边形是等角线四边形； （3）解：当点在的上方时，如图， 是的中垂线， ， ，，， ， 四边形为等角线四边形， ， ， ； 当点在的下方时，如图，过点作，交的延长线于， 四边形为等角线四边形， ， ，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 综上所述：这个等角线四边形的面积为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，理解等角线四边形的定义并运用是解题的关键． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于、两点，点在线段上，将线段绕着点顺时针旋转得到，此时点恰好落在直线上，过点作轴于点． （1）求证：； （2）如图2，将沿轴正方向平移得，当经过点时，求平移的距离及点的坐标； （3）在（2）的条件下，若点在轴上，点在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）平移的距离为，点的坐标为 （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质及旋转的性质可知，再根据全等三角形的判定可知； （2）利用一次函数与轴，轴的交点可得点的坐标，设，则点的坐标为，再利用待定系数法可得直线的解析式和直线的解析式，进而可得的坐标为，最后根据两点之间的距离公式即可解答； （3）根据题意分①若为边，①若为对角线两种情况，再按照平行四边形的性质即可解答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， ∴， ∵将线段绕着点顺时针旋转得到， ∴， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：∵直线与轴、轴相交于、两点， ∴点的坐标为，点的坐标为． 设， ∵， ∴，， ∴点的坐标为． ∴点在直线上， ∴， 解得：， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为，根据题意可得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∴将代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴点的坐标为， ∴， ∴平移的距离为． 【小问3详解】 解：设点的坐标为，点的坐标为． 分两种情况考虑，如图3所示： ①若为边，当四边形为平行四边形时， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 当四边形为平行四边形时， ∵，，，， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ②若为对角线， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴点的坐标为， 综上所述：存在，点的坐标为或． 图3 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，一次函数与轴，轴的交点，平行四边形的性质，明确一次函数与几何图形之间的关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$