第13讲 一次函数的应用（2大知识点+5大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假七升八数学衔接讲义（北师大版）

第13讲 一次函数的应用（2大知识点+5大典例+变式训练） 题型一 分配方案问题(一次函数的实际应用) 题型二 最大利润问题(一次函数的实际应用) 题型三 行程问题(一次函数的实际应用) 题型四 几何问题(一次图数的实际应用) 题型五 其他问题(一次函数的实际应用) 知识点01 理解一次函数的基本形式 掌握一次函数的定义，即形如 y = ax + by=ax+b 的线性关系，其中 aa 和 bb 为常数，分别代表斜率和截距。 了解一次函数图像的特点，例如，当 a > 0a>0 时，函数图像是上升的；当 a < 0a<0 时，函数图像是下降的。 知识点02 模型的求解与应用 学习如何利用一次函数模型解决问题。这可能包括求解方程、不等式，或者利用模型进行预测和决策 掌握如何解释模型的结果。在应用模型解决问题时，重要的是要将数学结果转化为实际问题的解答 【典型例题一 分配方案问题(一次函数的实际应用)】 1．（2023·云南文山·一模）某公司计划6月底组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为5-20人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元．经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，其余游客八折优惠．请你帮他们算一算该公司应选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？ 2．（22-23八年级下·北京延庆·期末）自开展全区读书宣传活动以来，某书店出租店生意非常火爆，为此开设两种租书方式，方式一：零星租书，每本收费1元；方式二：会员卡租书，会员每月交会员费12元，租书费每本0.4元．小彬经常来该店租书，若小彬每月租书数量为x本，每月应付的租书金额为y元． （1）分别写出两种租书方式下，y与x之间的函数关系； （2）若小彬在一月内为班级租25本书，试问选用哪种租书方式合算？ 3．（22-23八年级下·湖南株洲·期末）某学校计划购买20张课桌和一批椅子，该校了解到甲、乙两家商场以同样的价格出售同一型号的课桌与椅子，课桌报价200元/张，椅子报价50元/把．甲、乙两商场分别给出了不同的优惠方案．甲商场的优惠方案：凡买一张课桌赠送一把椅子；乙商场的优惠方案：所有课桌和椅子均按报价的九折销售．若该校需要把椅子，在甲商场购买所花费用为（元），在乙商场购买所花总费用为（元）． （1）请分别写出与之间的函数关系式； （2）该校计划用8100元购买课桌和椅子，选甲、乙哪一家商场可以购买到尽可能多的椅子，说明理由； 4．（22-23八年级下·辽宁大连·期末）现有下面两种移动电话计费方式： 方式一 方式二 月租费/(元/月) 本地通话费/(元) （1）以(单位：分钟)表示通话时间，单位：元)表示通话费用，分别就两种移动电话计费方式写出关于的函数解析式； （2）何时两种计费方式费用相等； （3）直接写出如何选择这两种计费方式更省钱． 5．（22-23八年级下·四川绵阳·期末）某电信公司推出如下两种通话收费方式，记通话时间为分钟，总费用为元根据表格内信息完成以下问题： 收费方式 月使用费（元） 包时通话（分钟） 超时通话（元/分钟） （1）分别求出两种通话收费方式对应的函数表外达式； （2）在给出的坐标系中作出收费方式对应的函数图象，并求出． ①通话时间为多少分钟时，两种收费方式费用相同； ②结合图象，直接写出选择哪种通话方式能节省费用? 【典型例题二 最大利润问题(一次函数的实际应用)】 1．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）某商店销售一台A型电脑销售利润为100元，销售一台B型电脑的销售利润为150元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ 2．（22-23八年级下·广西桂林·期末）新华文具店的某种毛笔每支售价元，书法练习本每本售价元，该文具店为促销制定了两种优惠办法．甲：买一支毛笔就赠送一本书法练习本；乙：按购买金额打折付款．某学校欲为书法兴趣小组购买这种毛笔支，书法练习本（）本． （1）请写出用甲种优惠办法实际付款金额（元）与（本）之间的函数关系式； （2）请写出用乙种优惠办法实际付款金额（元）与（本）之间的函数关系式； （3）当购买的书法练习本数量在什么范围时，用甲种方式付款更优惠． 3．（22-23八年级下·广西玉林·期末）随着新冠病毒在全世界蔓延，疫情期间口罩成为紧缺物资，某市防控部门要求市民佩戴口罩出行，某药店购进甲种可有效预防新冠病毒的型口罩和乙种普通口罩共个，这两种口罩的进价和售价如表所示： 甲 乙 进价（元/个） 售价（元/个） 该药店计划购进乙种普通口罩个，两种口罩全部销售完后可获利润元． （1）求出利润与的函数关系式； （2）已知购进甲种口罩的数量不多于乙种口罩数量的倍，利用函数性质，说明该药店怎样进货，使全部销售获得的利润最大？并求出最大利润． 4．（22-23八年级下·山西·期中）2019年是我们伟大祖国建国70周年，各种欢庆用品在网上热销．某网店购进了相同数量的甲、乙两种欢庆用品，其中甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元，已知乙种商品每件进价比甲种商品贵8元． （1）甲、乙两种商品每件进价各是多少元? （2）这批商品上市后很快销售一空．该网店计划按原进价再次购进这两种商品共100件，将新购进的商品按照表格中的售价销售．设新购进甲种商品m件（50≤m≤100），两种商品全部售出的总利润为y元（不计其他成本）． 种类 甲 乙 售价（元/件） 50 60 ①求y与m之间的函数关系式； ②网店怎样安排进货方案，才能使销售完这批商品获得的利润最大?最大利润是多少? 5．（2023·天津西青·一模）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按折出售，乙商场对一次购物中超过元后的价格部分打折． 设原价购物金额累计为元． （1）根据题意，填写下表： 原价购物金额累计元 甲商场实际购物金额元 乙商场实际购物金额元 （2）设在甲商场实际购物金额为元，在乙商场实际购物金额为元，分别写出，关于的函数解析式； （3）根据题意填空： ①若在甲商场和在乙商场实际购物花费金额一样多，则在同一商场所购商品原价金额累计为______元； ②若在同一商场购物，商品原价购物金额累计为元，则在甲、乙两家商场中的_____商场实际购物花费金额少； ③若在同一商场实际购物金额为元，则在甲、乙两家商场中的______商场商品原价购物累计金额多 【典型例题三 行程问题(一次函数的实际应用)】 1．（22-23八年级下·辽宁鞍山·期末）高速公路上，两地相距760千米，一辆货车从地开往地，同时一辆客车从地开往地，已知货车的行驶速度为每小时90千米，客车的行驶速度为每小时100千米，设货车与地的距离为（单位：千米），客车与地的距离为（单位：千米）； (1)分别写出，与出发时间的函数关系式； (2)若距离地400千米处有一服务区，两车均需要在此处加油和休息，请判断两车是否会同时进入服务区，并说明理由． 2．（2023·浙江绍兴·一模）在某次山地勘探任务中，小王和小明使用无人机进行了勘探．中午时小王控制的无人机A位于海拔米，小明控制的无人机B位于海拔6000米，接下去10分钟内两架无人机匀速上升或下降，当时无人机A到达海拔6000米，无人机B刚好到达海拔0米，则海拔高度（h）与时间（t）的函数图象如图所示． (1)求A，B无人机在到内海拔高度（h）与时间（t）的函数解析式； (2)当t为多少时，两架无人机的高度相等． 3．（2022·陕西西安·模拟预测）“人人冬奥，全民冰雪”，寒假赵凯一家乘车去离家千米的太白山滑雪场体验滑雪运动，出发后，前小时匀速行驶了千米，之后又匀速行驶了小时到达目的地，他们在滑雪场玩了小时后乘车回家他们离家的距离千米与时间小时之间的函数关系如图所示． (1)求的函数表达式． (2)赵凯一家经过多长时间离家的距离为千米？ 4．（2023·吉林长春·中考真题）甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y（米）与甲登山的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．    (1)当时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式； (2)求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度． 5．（22-23八年级上·广东梅州·期末）甲、乙两地相距，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段表示货车离甲地的距离y（）与时间x（）之间的函数关系，折线表示轿车离甲地的距离y（）与时间x（）之间的函数关系，根据图象，解答下列问题：    (1)货车、轿车的速度分别是多少？ (2)求线段对应的函数解析式 (3)当轿车出发几小时后两车相距？ 【典型例题四 几何问题(一次图数的实际应用)】 1．（22-23八年级上·陕西西安·期中）经过点B（2，0）的直线l1与直线l2：y＝2x+8相交于点P（﹣1，n）. （1）请求出n的值； （2）试求出PB的长度. （3）试求出直线l1，直线l2与x轴所围成的三角形面积. 2．（22-23八年级下·宁夏石嘴山·期末）已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个函数图象相交于点A． （1）求出k，b的值和点A的坐标； （2）连接，直线上是否存在一点，使．如果存在，求出点P的坐标； 3．（22-23七年级上·山东淄博·期末）如图，直线y=kx+6与x轴、y轴分别交于点E、F，点E的坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0）． (1)求直线的解析式； (2)若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)探究：在（2）的情况下，当点运动到什么位置时，△OPA的面积为，并说明理由． 4．（22-23八年级上·广西百色·期末）如图，已知直线l1的解析式为，且l1与x轴相交于点D，直线l2经过点A（4，0），B（3，），直线l1、l2相交于点C． (1)求直线l2的解析式； (2)求△ADC的面积； (3)在y轴上是否存在点P使得△PAD的面积与△ADC的面积相等，若存在请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由． 5．（22-23八年级上·广东深圳·期中）在如图直角坐标系中： （1）画出y＝﹣2x+6函数的图象； （2）分别写出函数y＝﹣2x+6与x轴、y轴的交点A、B的坐标； （3）在x轴上有一点C，且△ABC的面积为12，求点C的坐标． 【典型例题五 其他问题(一次函数的实际应用)】 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）某风景区集体门票的收费标准是：20人以内（含20人），每人25元；超过20人，超过的部分，每人10元． (1)写出应收门票费（元与游览人数（人之间的函数解析式； (2)利用（1）中的函数解析式计算，某班54名学生要去该风景区游览，购买门票一共需要花多少钱？ 2．（23-24八年级下·四川眉山·期中）为保护学生的身体健康，某中学课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，下表列出5套符合条件的课桌椅的高度： 椅子高度 45 42 39 36 33 桌子高度 84 79 74 69 64 (1)假设课桌的高度为，椅子的高度为，请确定与的函数关系式； (2)现有一把高的椅子和一张高的课桌，它们是否配套？为什么？ 3．（23-24八年级下·广东佛山·期中）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的一次函数关系如表所示： x（次）y（元） 0 5 20 甲消费卡 0 100 400 乙消费卡 100 150 300 (1)直接写出甲、乙两种消费卡y关于x的关系式； (2)选择哪种卡消费比较合算？ 4．（23-24八年级下·江西南昌·期中）探空气球是人类研究平流层的重要工具，主要用于探测温度、压力、湿度和风等气象要素，在气象学发展和天气预报工作中起到了重要作用，某气象站施放了两个探空气球，1号气球从海拔高度处出发，同时，2号气球从海拔高度处出发，图中，分别表示两个气球所在的海拔高度与上升时间的关系． (1)分别求，对应的函数表达式； (2)当两气球之间的海拔高度相差时，求气球上升的时间． 5．（23-24八年级下·山西晋中·期中）一年之计在于春，春天是耕种的好时期，对于农民朋友来说，要尽早做好春耕播种的准备工作，以便为夏粮丰收打下坚实基础．某种子商店销售“黄金一号”玉米种子，为惠民促销，推出两种销售方案供采购者选择． 方案一：每千克种子价格为4元，无论购买多少均不打折； 方案二：购买3千克以内（含3千克）的价格为每千克5元，若一次性购买超过3千克的，则超过3千克的部分的种子价格打7折． 某采购者计划采购x千克“黄金一号”玉米种子，请解答下列问题： (1)设按方案一采购玉米种子的付款金额为元，按方案二采购玉米种子的付款金额为元，请分别写出，与x之间的关系式； (2)若你去购买一定量的玉米种子，你会怎样选择方案？说明理由． 【变式训练1 分配方案问题(一次函数的实际应用)】 1．（2023·上海虹口·二模）甲、乙两组同时加工某种零件，甲组每小时加工80件，乙组加工的零件数量y（件）与时间x（小时）为一次函数关系，部分数据如下表所示． x（小时） 2 4 6 y（件） 50 150 250 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）甲、乙两组同时生产，加工的零件合在一起装箱，每满340件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？ 2．（22-23八年级下·四川成都·期中）某通讯移动通讯公司手机费用有A、B两种计费标准，如下表： 月租费（元/部） 通讯费（元/分钟） 备注 A种收费标准 50 0.4 通话时间不足1分钟按1分钟计算 B种收费标准 0 0.6 设某用户一个月内手机通话时间为x分钟，请根据上表解答下列问题： （1）分别写出按A类、B类收费标准，该用户应缴纳手机费用的关系式； （2）如果该用户每月通话时间为300分钟，应选择哪种收费方式？说说你的理由； （3）如果该用户每月手机费用不超过90元，应选择哪种收费方式？说说你的理由； 3．（2024·陕西宝鸡·三模）“生活即教育，行为即课程”．某校将劳动教育融入立德树人全过程．学校给每个班划分一块地供学生“种菜”，某班现要购买肥料对该地施肥，该班班长与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门． 方案 运费 肥料价格 方案一 12元 3元 方案二 0元 3.6元 若该班购买千克肥料，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元． (1)请分别写出与之间的函数关系式； (2)若该班计划用180元钱购买肥料，请问该班选择哪种购买方案购买的肥料较多？ 4．（2024·陕西榆林·三模）刘阿姨从陕西老家通过快递公司给在外省的亲人邮寄本地土特产，寄快递时，快递公司规定：不超过千克，收费元，超过千克时，超出部分按每千克元加收费用．若刘阿姨给外省的亲人邮寄了千克本地土特产，所支付的快递费用为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若刘阿姨所支付的快递费用为元，求刘阿姨给外省的亲人邮寄的土特产的质量． 5．（2024·辽宁抚顺·二模）过去几年，某公司经历了重重考验，也在挑战中不断成长，2024年该公司为促进生产，提供了两种付给员工周报酬的方案，两种方案员工得到的周报酬y（元）与员工生产的件数x（件）之间的关系如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：    (1)求方案二y关于x的函数表达式； (2)如果你是该公司的员工，你该如何根据自己的生产能力选择方案． 【变式训练1 大利润问题(一次函数的实际应用)】 1．（2024·陕西渭南·二模）汉服是中国古老而美好的生活方式的一个缩影，近年来，“汉服热”席卷中国各大景区，尤其是在节假日期间，“汉服+景区”已然成为当下年轻人的创新玩法．某景区一汉服专卖店计划购进甲、乙两种汉服共120件，其进价与售价如表所示： 价格 类型 进价(元/件) 售价(元/件) 甲 80 100 乙 100 200 若设甲汉服的数量为x件，销售完甲、乙两种汉服的利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍，请问当甲汉服购进多少件时，该店在销售完这两种汉服后获利最多？并求出最大利润． 2．（2024·江苏无锡·二模）某企业生产A、B两种型号的产品共500件，销往甲、乙两个地区．在两地销售可获得的利润情况如下表： A型产品（元/件） B型产品（元/件） 甲地区销售可获得的利润 180 130 乙地区销售可获得的利润 160 120 若该企业计划将生产的A型产品全在乙地区销售，B型产品全在甲地区销售，这样可获得利润7.1万元． (1)求A、B两种型号产品各生产了多少件？ (2)若销往甲地区x件A型产品，余下的所有产品销往乙地区，写出销售这500件产品可获得的利润y（元）与x之间的函数表达式，并求利润的最大值． 3．（23-24九年级下·湖南永州·期中）某公司每月生产甲、乙两种型号的配件共20万个，且所有配件当月全部售出，其中成本、售价 （单位元）如下表： 配件 甲 乙 成本 售价 (1)若该公司三月份的销售收入为300万元，求生产甲、乙两种型号的配件分别是多少万个？ (2)如果公司四月份投入成本不超过216万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润． 4．（23-24九年级下·云南昭通·阶段练习）某水果超市想购进甲、乙两种水果进行销售，甲种水果每千克的价格为30元，如果一次性购买超过40千克，超过部分的价格打八折．设水果超市购进甲种水果x千克，付款y元． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)已知乙种水果的价格为每千克26元，若超市计划一次性购进甲、乙两种水果共80千克，且甲种水果多于40千克，但又不超过50千克，问如何分配甲、乙两种水果的购进数量，才能使超市付款总金额W最少？最少付款额是多少元？ 5．（23-24八年级下·山西太原·期中）1987年6月18日“国槐”被定为太原市的市树，今年春季，小区为绿化环境分别购买了两种规格的国槐树苗，其中A种国槐树苗的价格为75元/株，B种国槐树苗的价格为100元／株．若购买这两种国槐树苗共45株，其中A种国槐树苗的数量不超过B种国槐树苗数量的2倍，请你通过计算设计最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用． 【变式训练3 行程问题(一次函数的实际应用)】 1．（2024·江苏盐城·三模）小丽驾驶电动汽车从家出发到某景点游玩，行驶一段时间，停车充电，电量充满后继续行驶，到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同．在景点游玩一段时间后，按原路返回到家．小丽往返均匀速行驶，汽车每小时的耗电量均相同，出行全程一共用时小时，汽车剩余电量与时间的函数关系如图所示． (1)该电动汽车每小时的充电量为 ，小丽在景区游玩了 ； (2)电动汽车从家出发时电量为，求的值； (3)求线段所表示的与之间的函数表达式． 2．（2024·河南信阳·三模）共享电动车是一种新理念下的交通工具，给我们的出行提供了方便．现有两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌的收费方式对应，品牌的收费方式对应． (1)品牌共享电动车骑行分钟后，每分钟收费________元； (2)当时，写出的函数关系式为________； (3)如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱？可以省多少？ 3．（2024·天津河东·二模）已知甲、乙、丙三地依次在同一条直线上，乙地距离甲地，丙地离甲地，一艘游轮从甲地出发，先用了匀速航行到乙地；从乙地驶出后接着匀速航行了到丙地；从丙地进行休整后，返航回甲地．在返航途中，因天气影响匀速航行了后减速，继续匀速航行回到甲地．下面图中x表示时间，y表示游轮离甲地的距离．图象反映了这个过程中游轮离甲地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息解答下列问题： (1)①填表： 游轮离开甲地的时间/ 10 15 20 58 游轮离开甲地的距离/ ______ 280 ______ ______ ②填空：游轮从乙地到丙地的速度为______； ③当时，请直接写出游轮离甲地的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当游轮到达乙地时，一艘货轮从甲地出发匀速航行去丙地，已知货轮的速度为，求货轮追上游轮时离甲地的距离是多少？（直接写出结果即可）． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）小明和小强两同学分别从甲地出发，沿同一条道路骑自行车到乙地参加社会实践活动，小明同学先从甲地出发，1小时后小强出发，小明则放慢速度继续前行，小明和小强距甲地的距离y（千米）与小明出发的时间x（小时）之间的函数图象如图所示． (1)小强同学骑自行车的速度为___________千米/小时； (2)求小明距甲地的距离y与x之间的函数关系式； (3)当小强到达乙地时，求小明距乙地的距离． 5．（23-24七年级下·山东淄博·期中）五一节期间，申老师一家自驾游去了离家170千米的某地，如图是他们离家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象． (1)求出段图象的函数表达式； (2)他们出发2小时时，离目的地还有多少千米？ 【变式训练4 几何问题(一次图数的实际应用)】 1．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，若点在轴上，且，求点的坐标． 2．（22-23九年级下·山东滨州·期中）已知y关于x的一次函数的图象经过两点． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积． 3．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图所示，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．    (1)求A、B两点的坐标； (2)若P是x轴上的点，且，求的面积． 4．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，点为直角边边上一动点，现从点出发，沿着的方向运动至点A处停止，设点运动的路程为的面积为．（点不与点重合） (1)求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当的面积等于面积一半时，求出点运动的路程的值． 5．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，A为直线上一点，轴于点C，交直线于点B． (1)若点A的坐标为，，求k的值； (2)若，当点A在第一象限内直线上运动时，求的值． 【变式训练5 其他问题(一次函数的实际应用)】 1．（22-23八年级上·全国·课后作业）图中两个时针的指针分别表示同一时刻的北京时间和东京时间．设北京时间为t（时），东京时间为y（时），就的范围，分别求y关于t的函数表达式，并填写下表（同一时刻的两地时间）． 北京时间 8：30 4：30 东京时间 12：10 2．（2023·江苏无锡·模拟预测）某批发商欲将一批水产品委托货运公司由地运往地销售，已知、两地相距，货运车辆的平均速度是，货运公司的收费项目及收费标准如下表： 运输量单价（元/吨千米） 冷藏费单价（元/吨时） 过路过桥费（元） (1)若该批发商有水产品要运输，货运公司收取的总费用为元，写出与之间的函数表达式． (2)如果该批发商想运送水产品，支付运费元，货运公司愿意运送这批水产品吗？ 3．（22-23八年级下·河北石家庄·期中）某汽车行驶时油箱中余油量（升）与行驶时间（小时）的关系如下表： 行驶时间t/小时 余油量Q/升 1 55 2 50 3 45 4 40 5 35 观察表格解答下列问题 (1)汽车行驶之前油箱中有多少升汽油？ (2)写出用时间表示余油量的代数式； (3)当时，求余油量的值． 4．（22-23八年级上·山东青岛·期中）杆秤是我国传统的计重工具，如图，秤钩上所挂的不同重量的物体使得秤砣到秤纽的水平距离不同．称重时，秤钩所挂物重为x（斤）时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为y（厘米）．如表中为若干次称重时所记录的一些数据，且y是x的一次函数． x（斤） 0 0.75 1.00 2.25 3.25 y（厘米） －2 1 2 4 7 注：秤杆上秤砣在秤纽左侧时，水平距离y（厘米）为正，在右侧时为负． （1）根据题意，完成表格； （2）请求出y与x的关系式； （3）当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为15厘米时，秤钩所挂物重是多少斤？ 5．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）某体育馆在暑假期间推出“全民健身”优惠活动，设置两种套餐： 套餐一：按照运动次数收费； 套餐二：先交会员费，再将每次运动收费打折． 设运动次数为x，所需费用为y元，y与x之间的函数关系图象如图． (1)分别求出套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式； (2)去体育馆健身多少次时，两种套餐费用一样？费用是多少？ (3)小马准备300元去该体育馆办理套餐，选择哪种套餐划算？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 一次函数的应用（2大知识点+5大典例+变式训练） 题型一 分配方案问题(一次函数的实际应用) 题型二 最大利润问题(一次函数的实际应用) 题型三 行程问题(一次函数的实际应用) 题型四 几何问题(一次图数的实际应用) 题型五 其他问题(一次函数的实际应用) 知识点01 理解一次函数的基本形式 掌握一次函数的定义，即形如 y = ax + by=ax+b 的线性关系，其中 aa 和 bb 为常数，分别代表斜率和截距。 了解一次函数图像的特点，例如，当 a > 0a>0 时，函数图像是上升的；当 a < 0a<0 时，函数图像是下降的。 知识点02 模型的求解与应用 学习如何利用一次函数模型解决问题。这可能包括求解方程、不等式，或者利用模型进行预测和决策 掌握如何解释模型的结果。在应用模型解决问题时，重要的是要将数学结果转化为实际问题的解答 【典型例题一 分配方案问题(一次函数的实际应用)】 1．（2023·云南文山·一模）某公司计划6月底组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为5-20人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元．经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，其余游客八折优惠．请你帮他们算一算该公司应选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？ 【答案】当旅游人数5—7人时，乙旅行社收费较少；人数恰好为8人时，两家旅行社收费相同；人数9—20人时，甲旅行社收费较少 【分析】设该公司有x 人参加旅游，甲旅行社费用为，乙旅行社的费用为，根据题意即可分别写出、与x的函数关系式，然后根据和的大小关系分类讨论，求出每一种情况下x的取值范围即可得出结论． 【详解】解：设该公司有x 人参加旅游，甲旅行社费用为，乙旅行社的费用为，则： 当=时，两家旅行社收费一样：    解得： 当＞时，乙旅行社收费较少： ＞   解得：＜8 当＜时，甲旅行社收费较少： ＜   解得：＞8 答：当旅游人数5—7人时，乙旅行社收费较少；人数恰好为8人时，两家旅行社收费相同；人数9—20人时，甲旅行社收费较少． 【点睛】此题考查的是一次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 2．（22-23八年级下·北京延庆·期末）自开展全区读书宣传活动以来，某书店出租店生意非常火爆，为此开设两种租书方式，方式一：零星租书，每本收费1元；方式二：会员卡租书，会员每月交会员费12元，租书费每本0.4元．小彬经常来该店租书，若小彬每月租书数量为x本，每月应付的租书金额为y元． （1）分别写出两种租书方式下，y与x之间的函数关系； （2）若小彬在一月内为班级租25本书，试问选用哪种租书方式合算？ 【答案】（1）方式1： y=x；方式2：y=12+0.4x；（2）选用方式2合算 【分析】（1）根据题意，可以分别写出方式一和方式二，y与x之间的函数关系； （2）将x＝25代入（1）中的两个函数解析式，即可得到相应的花费情况，然后比较大小，即可解答本题． 【详解】（1）由题意可得， 方式一：y与x之间的函数关系是y＝x， 方式二：y＝12＋0.4x； （2）当x＝25时， 方式一的花费为：y＝25， 方式二的花费为：y＝12＋0.4×25＝22， ∵25＞22， ∴选择方式二租书方式合算． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 3．（22-23八年级下·湖南株洲·期末）某学校计划购买20张课桌和一批椅子，该校了解到甲、乙两家商场以同样的价格出售同一型号的课桌与椅子，课桌报价200元/张，椅子报价50元/把．甲、乙两商场分别给出了不同的优惠方案．甲商场的优惠方案：凡买一张课桌赠送一把椅子；乙商场的优惠方案：所有课桌和椅子均按报价的九折销售．若该校需要把椅子，在甲商场购买所花费用为（元），在乙商场购买所花总费用为（元）． （1）请分别写出与之间的函数关系式； （2）该校计划用8100元购买课桌和椅子，选甲、乙哪一家商场可以购买到尽可能多的椅子，说明理由； 【答案】（1） y1=50x+3000；y2=45x+3600；（2）选甲商场可以购买到尽可能多的椅子，理由见解析 【分析】（1）根据甲、乙商场的优惠方案，即可分别求出结论； （2）将和分别代入（1）中解析式中，求出x的值，比较大小即可得出结论． 【详解】解：（1）由题意可得： ， ； （2）当时，即，解得； 当时，即，解得． 由于，则选甲商场可以购买到尽可能多的椅子； 答：选甲商场可以购买到尽可能多的椅子 【点睛】此题考查的是一次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键． 4．（22-23八年级下·辽宁大连·期末）现有下面两种移动电话计费方式： 方式一 方式二 月租费/(元/月) 本地通话费/(元) （1）以(单位：分钟)表示通话时间，单位：元)表示通话费用，分别就两种移动电话计费方式写出关于的函数解析式； （2）何时两种计费方式费用相等； （3）直接写出如何选择这两种计费方式更省钱． 【答案】（1）方式一：；方式二：；（2）通话时间为分钟时，两种计费方式一样；（3）当时，选择方式二；当时，选择方式一；当时，两种方式都可以． 【分析】（1）根据表格可知：通话费用=月租费＋每分钟通话费×通话时间，即可求出结论； （2）令（1）中两种方式的通话费用相等，求出x的值即可； （3）根据两种通话费用的大小关系分类讨论，列出不等式即可求出结论． 【详解】解：（1）方式一： 方式二： （2）由题意得： 答：通话时间为分钟时，两种计费方式一样． （3）当，即时，选择方式二更省钱； 当，即时，选择方式一更省钱； 当时，两种方式都可以 【点睛】此题考查的是一次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键． 5．（22-23八年级下·四川绵阳·期末）某电信公司推出如下两种通话收费方式，记通话时间为分钟，总费用为元根据表格内信息完成以下问题： 收费方式 月使用费（元） 包时通话（分钟） 超时通话（元/分钟） （1）分别求出两种通话收费方式对应的函数表外达式； （2）在给出的坐标系中作出收费方式对应的函数图象，并求出． ①通话时间为多少分钟时，两种收费方式费用相同； ②结合图象，直接写出选择哪种通话方式能节省费用? 【答案】（1）收费方式，收费方式；（2）作出图形见解析；①当通话时间为分钟或分钟时，两种方式费用相同；②当或时，方式更省钱；当时，方式更省钱． 【分析】（1）根据题意即可求出两种通话收费方式对应的函数； （2）①根据函数关系式画出图像，分当时与当时，分别进行求解即可； ②由①所求，再根据图像即可求解． 【详解】收费方式 18+（x-40）×0.3= ∴收费方式； 作出图形如下: ①当时， 解得 当时， 解得 当通话时间为分钟或分钟时，两种方式费用相同: ②由图可知当或时，方式更省钱: 当时，方式更省钱． 【点睛】此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是根据题意写出各自的函数关系式． 【典型例题二 最大利润问题(一次函数的实际应用)】 1．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）某商店销售一台A型电脑销售利润为100元，销售一台B型电脑的销售利润为150元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ 【答案】（1）y＝﹣50x+15000；（2）该商店购进A型电脑25台，B型电脑75台时，才能使销售总利润最大 【分析】（1）根据题意列出关系式为：y＝100x+150（100﹣x），整理即可； （2）利用不等式求出x的范围，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】解：（1）据题意得，y＝100x+150（100﹣x），即y＝﹣50x+15000； （2）据题意得，100﹣x≤3x， 解得x≥25， 由（1）可知y＝﹣50x+15000， ∵k＝﹣50＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝25时，y有最大值， 100﹣25＝75（台）， ∴该商店购进A型电脑25台，B型电脑75台时，才能使销售总利润最大． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况． 2．（22-23八年级下·广西桂林·期末）新华文具店的某种毛笔每支售价元，书法练习本每本售价元，该文具店为促销制定了两种优惠办法．甲：买一支毛笔就赠送一本书法练习本；乙：按购买金额打折付款．某学校欲为书法兴趣小组购买这种毛笔支，书法练习本（）本． （1）请写出用甲种优惠办法实际付款金额（元）与（本）之间的函数关系式； （2）请写出用乙种优惠办法实际付款金额（元）与（本）之间的函数关系式； （3）当购买的书法练习本数量在什么范围时，用甲种方式付款更优惠． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，用甲种方式付款更优惠 【分析】（1）买一支毛笔就赠送一本书法练习本，相当于一支毛笔20元，一本书法练习本5元，则解析式即可求出； （2 =（毛笔的总钱数+练习本的总钱数）×0.9； （3）当时，计算即可得出购买的书法练习本数量的范围． 【详解】（1）买一支毛笔就赠送一本书法练习本，相当于一支毛笔20元，一本书法练习本5元， 所以； （2）； （3）当时，， 解得，， 所以，当时，用甲种方式付款更优惠． 【点睛】本题考查了一次函数的应用；得到两种购买方案的关系式是解决本题的关键． 3．（22-23八年级下·广西玉林·期末）随着新冠病毒在全世界蔓延，疫情期间口罩成为紧缺物资，某市防控部门要求市民佩戴口罩出行，某药店购进甲种可有效预防新冠病毒的型口罩和乙种普通口罩共个，这两种口罩的进价和售价如表所示： 甲 乙 进价（元/个） 售价（元/个） 该药店计划购进乙种普通口罩个，两种口罩全部销售完后可获利润元． （1）求出利润与的函数关系式； （2）已知购进甲种口罩的数量不多于乙种口罩数量的倍，利用函数性质，说明该药店怎样进货，使全部销售获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1）；（2）选择购进乙种普通口罩个，甲种型口罩个时，药店可获利最大，最大利润是元 【分析】（1）根据利润＝（售价−进价）×销售量列出y与x的函数关系式即可； （2）由甲种口罩的数量不多于乙种口罩数量的3倍，列出不等式解出自变量的取值范围即可确定函数值的最值． 【详解】解：（1）根据题意得：， 整理得：； （2）购进甲种口罩的数量不多于乙种口罩数量的倍， ， 解得：， 由（1）得， ， 函数值随的增大而减少， 使该药店购进口罩全部销售获得的利润最大，则应取最小值， 时，取得最大值， 此时（个） 又， 选择购进乙种普通口罩个，甲种型口罩个时，药店可获利最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，列函数解析式，掌握一次函数的性质是解题的关键． 4．（22-23八年级下·山西·期中）2019年是我们伟大祖国建国70周年，各种欢庆用品在网上热销．某网店购进了相同数量的甲、乙两种欢庆用品，其中甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元，已知乙种商品每件进价比甲种商品贵8元． （1）甲、乙两种商品每件进价各是多少元? （2）这批商品上市后很快销售一空．该网店计划按原进价再次购进这两种商品共100件，将新购进的商品按照表格中的售价销售．设新购进甲种商品m件（50≤m≤100），两种商品全部售出的总利润为y元（不计其他成本）． 种类 甲 乙 售价（元/件） 50 60 ①求y与m之间的函数关系式； ②网店怎样安排进货方案，才能使销售完这批商品获得的利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1）甲种商品每件进价是40元，则乙种商品每件进价为48元；（2）①；②购进甲种商品50件，乙种商品50件，利润最大，最大利润为1100元 【分析】（1）设甲种商品每件进价是x元，则乙种商品每件进价元，根据题意列出分式方程即可求解； （2）①由题可知新购甲种商品m件，则乙种商品为件，根据题意即可得到y与m之间的函数关系式； ②根据m的取值与一次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）设甲种商品每件进价是x元，则乙种商品每件进价元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，并且当时，符合题意． 答：甲种商品每件进价是40元，则乙种商品每件进价为48元． （2）①由题可知新购甲种商品m件，则乙种商品为件， ． ②∵，y随m得增大而减小，且， ∴当时，，此时． 答：购进甲种商品50件，乙种商品50件，利润最大，最大利润为1100元． 【点睛】此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程或函数求解． 5．（2023·天津西青·一模）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按折出售，乙商场对一次购物中超过元后的价格部分打折． 设原价购物金额累计为元． （1）根据题意，填写下表： 原价购物金额累计元 甲商场实际购物金额元 乙商场实际购物金额元 （2）设在甲商场实际购物金额为元，在乙商场实际购物金额为元，分别写出，关于的函数解析式； （3）根据题意填空： ①若在甲商场和在乙商场实际购物花费金额一样多，则在同一商场所购商品原价金额累计为______元； ②若在同一商场购物，商品原价购物金额累计为元，则在甲、乙两家商场中的_____商场实际购物花费金额少； ③若在同一商场实际购物金额为元，则在甲、乙两家商场中的______商场商品原价购物累计金额多 【答案】（1），，，．（2）．当时，；当时，．（3）①；②乙；③甲． 【分析】（1）根据两家商场的让利方式分别列式整理即可； （2）甲商场按原价直接乘以0.8，乙商场分0≤x≤200、x＞200两种情况分别列式即可； （3）根据（2）的结论解答即可． 【详解】（1）300×0.8＝240（元）；500×0.8＝400（元）；200＋0.7×（500−200）＝410（元）； 200＋0.7×（700−200）＝550（元）； （2）根据题意得：y甲＝0.8x， 当0＜x≤200时，y乙＝x， 当x＞200时，y乙＝200＋0.7（x−200），即y乙＝0.7x＋60； （3）①当y甲＝y乙时，即0.8x＝200＋0.7（x−200），解得x＝600， 所以若在同甲商场和在乙商场实际购物花费金额一样多，则在同一商场所购商品原价金额累计为600元； ②在甲商场实际购物花费：800×0.8＝640（元），在乙商场实际购物花费：200＋0.7×（800−200）＝620（元）， 所以若在同一商场购物，商品原价购物金额累计为800元，则在甲、乙两家商场中的乙商场实际购物花费金额少； ③令y甲＝400，则0.8x＝400，解得x＝500，即在甲商场商品原价购物累计金额为500元； 令y乙＝400，0.7x＋60＝400，解得x≈485.71，即在乙商场商品原价购物累计金额为485.71元． 所以若在同一商场实际购物金额为400元，则在甲、乙两家商场中的甲商场商品原价购物累计金额多． 故答案为：（1）240；400；410；550；（3）①600；②乙；③甲． 【点睛】考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解两家商场的让利方法是解题的关键，要注意乙商场根据商品原价的取值范围分情况讨论． 【典型例题三 行程问题(一次函数的实际应用)】 1．（22-23八年级下·辽宁鞍山·期末）高速公路上，两地相距760千米，一辆货车从地开往地，同时一辆客车从地开往地，已知货车的行驶速度为每小时90千米，客车的行驶速度为每小时100千米，设货车与地的距离为（单位：千米），客车与地的距离为（单位：千米）； (1)分别写出，与出发时间的函数关系式； (2)若距离地400千米处有一服务区，两车均需要在此处加油和休息，请判断两车是否会同时进入服务区，并说明理由． 【答案】(1)， (2)两车会同时进入服务区，理由见详解 【分析】（1）根据：货车与距离小时行驶的路程，客车与距离小时行驶的路程，即可求解； （2）当时，分别求出时间，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， ． （2）解：两车会同时进入服务区，理由如下： 当时， 解得：， 解得：， ， 两车会同时进入服务区． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，列出函数关系式，理解自变量和因变量的实际意义是解题的关键． 2．（2023·浙江绍兴·一模）在某次山地勘探任务中，小王和小明使用无人机进行了勘探．中午时小王控制的无人机A位于海拔米，小明控制的无人机B位于海拔6000米，接下去10分钟内两架无人机匀速上升或下降，当时无人机A到达海拔6000米，无人机B刚好到达海拔0米，则海拔高度（h）与时间（t）的函数图象如图所示． (1)求A，B无人机在到内海拔高度（h）与时间（t）的函数解析式； (2)当t为多少时，两架无人机的高度相等． 【答案】(1)A无人机：，B无人机：； (2)4 【分析】（1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）联立解析式，求出即可． 【详解】（1）解：设无人机在到内海拔高度（h）与时间（t）的函数解析式为：，由图象可知，直线过点， 则：，解得：， ∴； 设无人机在到内海拔高度（h）与时间（t）的函数解析式为：，由图象可知，直线过点， 则：，解得：， ∴； （2）解：联立，得：， ∴ 当t为时，两架无人机的高度相等． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用．正确的识图，求出函数解析式，是解题的关键． 3．（2022·陕西西安·模拟预测）“人人冬奥，全民冰雪”，寒假赵凯一家乘车去离家千米的太白山滑雪场体验滑雪运动，出发后，前小时匀速行驶了千米，之后又匀速行驶了小时到达目的地，他们在滑雪场玩了小时后乘车回家他们离家的距离千米与时间小时之间的函数关系如图所示． (1)求的函数表达式． (2)赵凯一家经过多长时间离家的距离为千米？ 【答案】(1) (2)或小时 【分析】（1）根据待定系数法，可得一次函数解析式， （2）先求出段对应的解析式，再分去滑雪场和从滑雪场回家两种情况，求出离家的距离为千米时的时间． 【详解】（1）解：设段对应的解析式为：，把，，，代入，得， ， 解得：， 段对应的解析式为． （2）由题意知，，，，， 设段对应的解析式为，把，，，代入，得， ， 解得：， 段对应的解析式为． 把代入，得， 解得，， 把代入，得， 解得，． 答：赵凯一家经过或小时，离家的距离为千米． 【点睛】本题考查了一次函数的应用及一次函数解析式的确定，解题的关键是通过仔细观察图象，从中整理出解题时所需的相关信息，掌握待定系数法． 4．（2023·吉林长春·中考真题）甲、乙两个相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15分钟到缆车站，再乘坐缆车到达山顶．甲、乙距山脚的垂直高度y（米）与甲登山的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．    (1)当时，求乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式； (2)求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）求得甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为，联立，即可求解． 【详解】（1）解：设乙距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为，将，代入得， ， 解得：， ∴； （2）设甲距山脚的垂直高度y与x之间的函数关系式为 将点代入得， 解得：， ∴； 联立 解得： ∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为米 【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 5．（22-23八年级上·广东梅州·期末）甲、乙两地相距，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段表示货车离甲地的距离y（）与时间x（）之间的函数关系，折线表示轿车离甲地的距离y（）与时间x（）之间的函数关系，根据图象，解答下列问题：    (1)货车、轿车的速度分别是多少？ (2)求线段对应的函数解析式 (3)当轿车出发几小时后两车相距？ 【答案】(1)货车的速度分别是，轿车的速度是或； (2)； (3)当轿车出发小时或小时两车相距30km． 【分析】（1）根据速度、路程、时间的关系求解即可； （2）利用D点坐标为，E点坐标为，求出函数解析式即可； （3）当时，，设的解析式为，由题意，得，，分两种情况讨论即可 【详解】（1）解：货车的速度，轿车的速度或， ∴货车的速度分别是，轿车的速度是或； （2）解：设线段对应的函数解析式为， 根据D点坐标为，E点坐标为， 代入，得：， 解得：， 故线段对应的函数解析式为：； （3）解：轿车：当时，， 设的解析式为， 由题意，得， 解得， 则的解析式为， 分两种情况讨论： ①当货车在轿车前方时，则， 解得； ②当轿车在货车前方时，则， 解得； ∴当轿车出发小时或小时两车相距30km． 【点睛】此题主要考查了一次函数的应用和待定系数法求一次函数解析式，根据已知得出函数解析式利用图象分析得出是解题关键． 【典型例题四 几何问题(一次图数的实际应用)】 1．（22-23八年级上·陕西西安·期中）经过点B（2，0）的直线l1与直线l2：y＝2x+8相交于点P（﹣1，n）. （1）请求出n的值； （2）试求出PB的长度. （3）试求出直线l1，直线l2与x轴所围成的三角形面积. 【答案】（1）n＝6；（2）；（3）直线l1，直线l2与x轴所围成的三角形面积为18 【分析】（1）把点P（﹣1，n）代入y＝2x+8即可求出n； （2）过P作PA⊥x轴于A，在Rt△ABP中，根据勾股定理即可求出PB； （3）由直线l2：y＝2x+8可求得A点的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可． 【详解】解：（1）把点P（﹣1，n）代入y＝2x+8得：﹣2+8＝n， 解得：n＝6； （2）过P作PA⊥x轴于C， 则C点的坐标为（﹣1，0）， 在Rt△CBP中，PC＝|n|＝6，CB＝2﹣（﹣1）＝3，PB2＝PC2+CB2， ∴PB＝＝3； （3）∵直线l2：y＝2x+8与x轴相交于点A ∴A点的坐标为（﹣4，0）， ∴AB＝6， ∵P（﹣1，6）． ∴S△PAB＝×6×6＝18． ∴直线l1，直线l2与x轴所围成的三角形面积为18． 【点睛】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知一次函数的性质与勾股定理的运用． 2．（22-23八年级下·宁夏石嘴山·期末）已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，这两个函数图象相交于点A． （1）求出k，b的值和点A的坐标； （2）连接，直线上是否存在一点，使．如果存在，求出点P的坐标； 【答案】（1），，；（2）点的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法即可求得、的值，然后解析式联立，解方程组即可求得的坐标； （2）求得，利用三角形面积即可求得的纵坐标为，代入即可求得的坐标． 【详解】解：（1）一次函数与轴相交于点，与轴相交于点， ，， 解得，， 解得， ； （2）连接OA，如图所示： ，， ， ， ， ， ， ， 把代入得，， 解得， 把代入得，， 解得， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查了两条直线的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解此题的关键． 3．（22-23七年级上·山东淄博·期末）如图，直线y=kx+6与x轴、y轴分别交于点E、F，点E的坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0）． (1)求直线的解析式； (2)若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)探究：在（2）的情况下，当点运动到什么位置时，△OPA的面积为，并说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)点坐标为（-，）时，三角形OPA的面积为．理由见解析 【分析】（1）将点E坐标（-8，0）代入直线y=kx+6就可以求出k值，从而求出直线的解析式； （2）由点A的坐标为（-6，0）可以求出OA=6，求△OPA的面积时，可看作以OA为底边，高是P点的纵坐标的绝对值．再根据三角形的面积公式就可以表示出△OPA．从而求出其关系式；根据P点的移动范围就可以求出x的取值范围． （3）根据△OPA的面积为代入（2）的解析式求出x的值，再求出y的值就可以求出P点的位置． 【详解】（1）解：∵点E（-8，0）在直线y=kx+6上， ∴0=-8k+6， ∴k=； ∴直线的解析式为y=x+6； （2）解：∵P点在直线y=x+6上，设P（x，x+6）， ∴△OPA以OA为底的边上的高是|x+6|， 当点P在第二象限时，|x+6|=x+6， ∵点A的坐标为（-6，0）， ∴OA=6． ∴S=． ∵P点在第二象限， ∴-8＜x＜0； （3）解：设点P（m，n）时，其面积S=， 则， 解得|n|=， 则n1=或者n2=-（舍去）， 当n=时，=m+6， 则m=-， 故P（-，）时，三角形OPA的面积为． 【点睛】本题是一道一次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式，三角形面积公式的运用以及点的坐标的求法，在解答中画出函数图象和求出函数的解析式是关键． 4．（22-23八年级上·广西百色·期末）如图，已知直线l1的解析式为，且l1与x轴相交于点D，直线l2经过点A（4，0），B（3，），直线l1、l2相交于点C． (1)求直线l2的解析式； (2)求△ADC的面积； (3)在y轴上是否存在点P使得△PAD的面积与△ADC的面积相等，若存在请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)直线l2的解析式为 (2) (3)P（0，3）或P（0，－3） 【分析】（1）根据直线特征，设直线函数解析式为：y＝kx＋b，利用待定系数法求解未知系数即可． （2）先联立l1与l2函数解析式，求出交点C的坐标，进而根据l1与x轴相交于点D，求出点D坐标，进而根据三角形面积公式求解即可． （3）△PAD的面积与△ADC的面积同底，要使面积相等，必须满足等高，则y轴正半轴与负半轴各有一点满足等高条件，利用等高长度即可求解出对应坐标． 【详解】（1）解：设直线l2的解析式为y＝kx＋b， 把A（4，0），B（3，）代入得， 解得， 所以直线l2的解析式为； （2）解：联立方程得， 则C点坐标为（2，－3），   直线l1与x轴相交于点D． 令y＝0时，－3x＋3＝0，解得x＝1，则D（1，0） （3）解： 要使 则，即OP＝3 P（0，3）或P（0，－3） 【点睛】本题考查了一次函数与几何问题的综合应用，其中贯穿的“数形结合”思想是解决本题的关键． 5．（22-23八年级上·广东深圳·期中）在如图直角坐标系中： （1）画出y＝﹣2x+6函数的图象； （2）分别写出函数y＝﹣2x+6与x轴、y轴的交点A、B的坐标； （3）在x轴上有一点C，且△ABC的面积为12，求点C的坐标． 【答案】（1）图见解析（2）A（3，0）、B（0，6）；（3）（-1，0）或（7，0） 【分析】（1）求出直线与坐标轴的交点，故可画出函数图像； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）求出三角形的底边长，故可求出C点坐标． 【详解】（1）令y＝﹣2x+6函数中x=0，得到y=6 ∴函数与y轴交于（0，6） 令y=0，即﹣2x+6=0，解得x=3 ∴函数与x轴交于（3，0） 故作出函数图像如下： （2）由（1）可得与x轴、y轴的交点A、B的坐标分别为A（3，0）、B（0，6）； （3）∵△ABC的面积为12 ∴ ∴ 解得AC=4 ∴可得C点为坐标为（-1，0）或（7，0）． 【点睛】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知一次函数与坐标轴的坐标求解方法． 【典型例题五 其他问题(一次函数的实际应用)】 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）某风景区集体门票的收费标准是：20人以内（含20人），每人25元；超过20人，超过的部分，每人10元． (1)写出应收门票费（元与游览人数（人之间的函数解析式； (2)利用（1）中的函数解析式计算，某班54名学生要去该风景区游览，购买门票一共需要花多少钱？ 【答案】(1) (2)840元 【分析】此题考查了一次函数的应用 （1）根据题意分别从当时与当时求解析式即可； （2）当时，，所以代入第二个解析式求得的值即是所求． 【详解】（1）解：当时，； 当时，（其中是整数）， 综上所述，门票费（元与游览人数（人之间的关系式为：； （2）当时，（元． 答：为购门票共花了840元． 2．（23-24八年级下·四川眉山·期中）为保护学生的身体健康，某中学课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，下表列出5套符合条件的课桌椅的高度： 椅子高度 45 42 39 36 33 桌子高度 84 79 74 69 64 (1)假设课桌的高度为，椅子的高度为，请确定与的函数关系式； (2)现有一把高的椅子和一张高的课桌，它们是否配套？为什么？ 【答案】(1)； (2)它们不配套，理由见解析． 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）观察表格中的数据可知与是一次函数，据此利用待定系数法求解即可； （2）求出当时，y的值即可得到答案 【详解】（1）解：由表中的数据可知：每减少，就减少．说明与是一次函数． 设，选两点代入得 ， ∴， ∴； （2）解：它们不配套，理由如下： 当时， ∴它们不配套 3．（23-24八年级下·广东佛山·期中）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的一次函数关系如表所示： x（次）y（元） 0 5 20 甲消费卡 0 100 400 乙消费卡 100 150 300 (1)直接写出甲、乙两种消费卡y关于x的关系式； (2)选择哪种卡消费比较合算？ 【答案】(1)；； (2)当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算． 【分析】此题主要考查了一次函数的应用． （1）运用待定系数法，即可求出y与x之间的函数表达式； （2）解方程或不等式即可解决问题，分三种情形回答即可． 【详解】（1）解：设，根据题意得， 解得， ∴； 设，根据题意得： ， 解得， ∴； （2）解：①，即，解得， 当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算； ②，即，解得， 当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样； ③，即，解得， 当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算． 所以，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算． 4．（23-24八年级下·江西南昌·期中）探空气球是人类研究平流层的重要工具，主要用于探测温度、压力、湿度和风等气象要素，在气象学发展和天气预报工作中起到了重要作用，某气象站施放了两个探空气球，1号气球从海拔高度处出发，同时，2号气球从海拔高度处出发，图中，分别表示两个气球所在的海拔高度与上升时间的关系． (1)分别求，对应的函数表达式； (2)当两气球之间的海拔高度相差时，求气球上升的时间． 【答案】(1)，； (2)气球上升的时间为或． 【分析】本题考查了一次函数的应用，求出函数解析式是解答本题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）令两个函数值差的绝对值为5，列方程并求解即可． 【详解】（1）解：设对应的函数表达式为，由图象得，， 将时，代入中，得， 解得． 所以，对应的函数表达式为． 设对应的函数表达式为，由图象得，， 将时，代入中，得， 解得， 所以，对应的函数表达式为． （2）解：当2号气球在1号气球上方时，由题意，得． 解得． 当1号气球在2号气球上方时，由题意，得． 解得． 所以，上升时间为或． 5．（23-24八年级下·山西晋中·期中）一年之计在于春，春天是耕种的好时期，对于农民朋友来说，要尽早做好春耕播种的准备工作，以便为夏粮丰收打下坚实基础．某种子商店销售“黄金一号”玉米种子，为惠民促销，推出两种销售方案供采购者选择． 方案一：每千克种子价格为4元，无论购买多少均不打折； 方案二：购买3千克以内（含3千克）的价格为每千克5元，若一次性购买超过3千克的，则超过3千克的部分的种子价格打7折． 某采购者计划采购x千克“黄金一号”玉米种子，请解答下列问题： (1)设按方案一采购玉米种子的付款金额为元，按方案二采购玉米种子的付款金额为元，请分别写出，与x之间的关系式； (2)若你去购买一定量的玉米种子，你会怎样选择方案？说明理由． 【答案】(1)；当时，，当时，； (2)当时，选择方案一；当时，选择两种方案都可以；当时，选择方案二． 【分析】本题考查了一次函数的应用： （1）根据付款金额数量单价，即可表示出方案一与方案二中，当时的函数关系式；当时，金额千克的金额超过3千克部分的金额，即可写出函数解析式； （2）当时，选择方案一；当时，比较与的大小关系，即可确定x的范围，从而进行判断． 【详解】（1）解：由题意可得： 按方案一采购玉米种子：； 按方案二采购玉米种子： 当时，； 当时，； （2）解：当时，，； ∴选择方案一； 当时， ，解得：， ，解得：； 当时，解得：． ∴当时，选择方案一； 当时，选择两种方案都可以； 当时，选择方案二． 【变式训练1 分配方案问题(一次函数的实际应用)】 1．（2023·上海虹口·二模）甲、乙两组同时加工某种零件，甲组每小时加工80件，乙组加工的零件数量y（件）与时间x（小时）为一次函数关系，部分数据如下表所示． x（小时） 2 4 6 y（件） 50 150 250 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）甲、乙两组同时生产，加工的零件合在一起装箱，每满340件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？ 【答案】（1）y＝50x﹣50；（2）经过3小时恰好装满第1箱． 【分析】（1）根据已知条件乙组加工的零件数量y（件）与时间x（小时）为一次函数关系，利用待定系数法代入两对x、y值即可求函数解析式； （2）根据题意甲生产零件+乙生产零件=340件（1箱），时间相同，故设时间为x小时恰好装满第1箱可列式80x+50x﹣50＝340，解得的x即为所求. 【详解】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）把（2，50）（4，150）代入， 得解得 ∴y与x之间的函数关系式为y＝50x﹣50； （2）设经过x小时恰好装满第1箱， 根据题意得80x+50x﹣50＝340， ∴x＝3， 答：经过3小时恰好装满第1箱． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解本题的关键为乙装箱的数量可用时间表示，明确这个隐藏条件即可解题. 2．（22-23八年级下·四川成都·期中）某通讯移动通讯公司手机费用有A、B两种计费标准，如下表： 月租费（元/部） 通讯费（元/分钟） 备注 A种收费标准 50 0.4 通话时间不足1分钟按1分钟计算 B种收费标准 0 0.6 设某用户一个月内手机通话时间为x分钟，请根据上表解答下列问题： （1）分别写出按A类、B类收费标准，该用户应缴纳手机费用的关系式； （2）如果该用户每月通话时间为300分钟，应选择哪种收费方式？说说你的理由； （3）如果该用户每月手机费用不超过90元，应选择哪种收费方式？说说你的理由； 【答案】（1）WA=50+0.4x；WB=0.6x；（2）应选择A种计费标准，更合适更省钱；（3）应该选用B种计费标准． 【分析】（1）根据手机费=月租费+通话费列出两种方式的用户应缴纳手机费用的解析式即可； （2）分别计算出两种方式通话300分钟时应付的手机费，通过比较可得出用哪种方式省钱合适； （3）根据题（1）的解析式，比较哪种方式通话时间长就选择哪种收费方式． 【详解】解：（1）设按A类、B类收费标准，该用户应缴纳手机费用为WA、WB，由题意得： WA=50+0.4x；WB=0.6x； （2）该用户每月通话时间为300分钟时， 按A类收费标准，该用户应缴纳手机费用为：WA=50+0.4×300=170（元）； 按B类收费标准，该用户应缴纳手机费用为：WB=0.6×300=180（元）； 因为WA＜WB，所以应选择A种计费标准，更合适更省钱； （3）该用户每月手机费用不超过90元时，选用A种计费标准通话时长最长为： （90-50）÷0.4=100（分钟）； 选用B种计费标准通话时长最长为：90÷0.6=150（分钟）， 因为选用A种计费标准通话最长时长＜选用B种计费标准通话最长时长， 所以应该选用B种计费标准． 故答案为（1）WA=50+0.4x；WB=0.6x；（2）应选择A种计费标准，更合适更省钱；（3）应该选用B种计费标准． 【点睛】本题考查代数式的运用，一次函数的解析式，设计方案的选择，解答时求出函数的解析式是关键． 3．（2024·陕西宝鸡·三模）“生活即教育，行为即课程”．某校将劳动教育融入立德树人全过程．学校给每个班划分一块地供学生“种菜”，某班现要购买肥料对该地施肥，该班班长与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门． 方案 运费 肥料价格 方案一 12元 3元 方案二 0元 3.6元 若该班购买千克肥料，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元． (1)请分别写出与之间的函数关系式； (2)若该班计划用180元钱购买肥料，请问该班选择哪种购买方案购买的肥料较多？ 【答案】(1)， (2)方案一 【分析】本题考查一次函数的应用，列出正确的函数关系式是解答的关键． （1）根据两种销售方案表示出销售总价即可； （2）用不同的购买方法，分别计算所用金额，比较得出答案． 【详解】（1）解： 与之间的函数关系式为， 与之间的函数关系式为． （2）解：当时，，解得， 当时，，解得， ， 该班选择方案一购买的肥料较多． 4．（2024·陕西榆林·三模）刘阿姨从陕西老家通过快递公司给在外省的亲人邮寄本地土特产，寄快递时，快递公司规定：不超过千克，收费元，超过千克时，超出部分按每千克元加收费用．若刘阿姨给外省的亲人邮寄了千克本地土特产，所支付的快递费用为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若刘阿姨所支付的快递费用为元，求刘阿姨给外省的亲人邮寄的土特产的质量． 【答案】(1) (2)刘阿姨给外省的亲人邮寄的土特产的质量是千克 【分析】（）根据“不超过千克，收费元，超过千克时，超出部分按每千克元加收费用”即可解答； （）根据与之间的函数关系式为，令即可解答． 本题考查了一次函数的实际应用，审清题意，找出数量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵不超过千克，收费元，超过千克时，超出部分按每千克元加收费用，， ∴， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：∵刘阿姨所支付的快递费用为元，与之间的函数关系式为， ∴令,则， ∴， 答：刘阿姨给外省的亲人邮寄的土特产的质量是千克． 5．（2024·辽宁抚顺·二模）过去几年，某公司经历了重重考验，也在挑战中不断成长，2024年该公司为促进生产，提供了两种付给员工周报酬的方案，两种方案员工得到的周报酬y（元）与员工生产的件数x（件）之间的关系如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：    (1)求方案二y关于x的函数表达式； (2)如果你是该公司的员工，你该如何根据自己的生产能力选择方案． 【答案】(1)； (2)若每周生产产品件数不足30件，则选择方案二；若每周生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种；若每周生产产品件数超过30件，则选择方案一． 【分析】此题考查了从函数图像获取信息、一次函数的应用等知识，从函数图象获取正确信息和掌握待定系数法是解题的关键． （1）设方案二的函数表达式为，利用待定系数法求解即可； （2）根据图象根据方案一和方案二的交点求解即可． 【详解】（1）设方案二的函数表达式为 由图象可得该函数的图像经过点， 把，代入，得 ，解得 方案二的函数表达式为． （2）由图像可得， 若每周生产产品件数不足30件，则选择方案二； 若每周生产产品件数就是30件，两种方案报酬相同，可以任选一种； 若每周生产产品件数超过30件，则选择方案一． 【变式训练1 大利润问题(一次函数的实际应用)】 1．（2024·陕西渭南·二模）汉服是中国古老而美好的生活方式的一个缩影，近年来，“汉服热”席卷中国各大景区，尤其是在节假日期间，“汉服+景区”已然成为当下年轻人的创新玩法．某景区一汉服专卖店计划购进甲、乙两种汉服共120件，其进价与售价如表所示： 价格 类型 进价(元/件) 售价(元/件) 甲 80 100 乙 100 200 若设甲汉服的数量为x件，销售完甲、乙两种汉服的利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍，请问当甲汉服购进多少件时，该店在销售完这两种汉服后获利最多？并求出最大利润． 【答案】(1)y与x之间的函数关系式为 (2)当甲汉服购进40件时，该店在销售完这两种汉服获利最多，最大利润为8800元． 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息，理解数量关系并确定出等量关系是解题的关键． （1）根据总利润=两种服装利润之和列出函数解析式； （2）根据乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍，得出x的取值范围，再根据函数的性质求函数的最值． 【详解】（1）解：由题意得， 整理得，， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：∵乙的数量不能超过甲的数量的2倍， ∴， 解得， 由（1）知，， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y取最大值，y最大， 答：当甲汉服购进40件时，该店在销售完这两种汉服获利最多，最大利润为8800元． 2．（2024·江苏无锡·二模）某企业生产A、B两种型号的产品共500件，销往甲、乙两个地区．在两地销售可获得的利润情况如下表： A型产品（元/件） B型产品（元/件） 甲地区销售可获得的利润 180 130 乙地区销售可获得的利润 160 120 若该企业计划将生产的A型产品全在乙地区销售，B型产品全在甲地区销售，这样可获得利润7.1万元． (1)求A、B两种型号产品各生产了多少件？ (2)若销往甲地区x件A型产品，余下的所有产品销往乙地区，写出销售这500件产品可获得的利润y（元）与x之间的函数表达式，并求利润的最大值． 【答案】(1)A型产品生产了200件，B型产品生产了300件 (2)利润的最大值是72000元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识点， （1）根据该企业计划将生产的A型产品全在乙地区销售，B型产品全在甲地区销售，这样可获得利润7.1万元，可以列出相应的一元一次方程，然后求解即可； （2）根据（1）中的结果和题意，可以写出y与x的函数关系式，然后根据一次函数的性质，可以求得最大利润； 解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． 【详解】（1）设A型产品生产了m件，则B型产品生产了件， 由题意得：， 解之得：， ， ∴A型产品生产了200件，B型产品生产了300件； （2）由题意得： ， 随若x的增大而增大， 当时，y有最大值72000， 答：利润的最大值是72000元． 3．（23-24九年级下·湖南永州·期中）某公司每月生产甲、乙两种型号的配件共20万个，且所有配件当月全部售出，其中成本、售价 （单位元）如下表： 配件 甲 乙 成本 售价 (1)若该公司三月份的销售收入为300万元，求生产甲、乙两种型号的配件分别是多少万个？ (2)如果公司四月份投入成本不超过216万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)甲、乙两种型号的配件分别为15万个，5万个 (2)甲型号配件生产万个，乙型号配件生产万个，最大利润为108万 【分析】本题考查了二元一次方程的应、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设甲、乙两种型号的配件分别为万个，万个，依题意，列式，再解方程，即可作答． （2）设甲型号配件生产万个，利润为，列出不等式得，再根据题意得出，运用一次函数的性质进行作答即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种型号的配件分别为万个，万个 根据题意得，， 解方程得，， 所以，甲、乙两种型号的配件分别为15万个，5万个 （2）解：设甲型号配件生产万个，利润为，则有 ， 解得：， 所以，， 而一次函数随的增大而增大， 故当时，有最大值， 所以公司4月份最大利润为108万元． 4．（23-24九年级下·云南昭通·阶段练习）某水果超市想购进甲、乙两种水果进行销售，甲种水果每千克的价格为30元，如果一次性购买超过40千克，超过部分的价格打八折．设水果超市购进甲种水果x千克，付款y元． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)已知乙种水果的价格为每千克26元，若超市计划一次性购进甲、乙两种水果共80千克，且甲种水果多于40千克，但又不超过50千克，问如何分配甲、乙两种水果的购进数量，才能使超市付款总金额W最少？最少付款额是多少元？ 【答案】(1)y与x之间的函数表达式为 (2)当购进甲种水果50千克，乙种水果30千克时，才能使超市付款总金额W最少，最少付款额是2220元 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可分当时和当时，然后问题可求解； （2）设购进甲种水果m千克，则购进乙种水果为千克，由题意易得，然后可得，进而根据一次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：当时，则；当时，则； 综上所述：y与x之间的函数表达式为； （2）解：设购进甲种水果m千克，则购进乙种水果为千克，由题意可知：， ∴， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∵， ∴当时，W取最小值，最小值为； 答：当购进甲种水果50千克，乙种水果30千克时，才能使超市付款总金额W最少，最少付款额是2220元． 5．（23-24八年级下·山西太原·期中）1987年6月18日“国槐”被定为太原市的市树，今年春季，小区为绿化环境分别购买了两种规格的国槐树苗，其中A种国槐树苗的价格为75元/株，B种国槐树苗的价格为100元／株．若购买这两种国槐树苗共45株，其中A种国槐树苗的数量不超过B种国槐树苗数量的2倍，请你通过计算设计最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用． 【答案】费用最少的方案是购买A种树苗棵，栽种B种花卉的数量为棵，最小费用为元． 【分析】本题考查了一元一次不等式及一次函数的应用．设栽种A种国槐树苗的数量为棵，则栽种B种国槐树苗的数量为棵，根据题意列出不等式求得x的范围，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】解：设购买A种国槐树苗x棵，购买两种树苗所需的费用是y元，则栽种B种国槐树苗的数量为棵， 根据题意，可得：， ∵A种国槐树苗的数量不超过B种国槐树苗数量的2倍， ∴， 解得：， ∵， 随x的增加而减少， ∵x取整数， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴费用最少的方案是购买A种国槐树苗棵，栽种B种国槐树苗的数量为棵，最小费用为元． 【变式训练3 行程问题(一次函数的实际应用)】 1．（2024·江苏盐城·三模）小丽驾驶电动汽车从家出发到某景点游玩，行驶一段时间，停车充电，电量充满后继续行驶，到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同．在景点游玩一段时间后，按原路返回到家．小丽往返均匀速行驶，汽车每小时的耗电量均相同，出行全程一共用时小时，汽车剩余电量与时间的函数关系如图所示． (1)该电动汽车每小时的充电量为 ，小丽在景区游玩了 ； (2)电动汽车从家出发时电量为，求的值； (3)求线段所表示的与之间的函数表达式． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）列式计算可得电动汽车每小时的充电量为，由于返回时间与去时行驶时间相同，可以得到小丽在景区游玩时间； （2）先求出汽车行驶时每小时的耗电量，可知到达景点时汽车剩余电量为； （3）用待定系数法可得线段所表示的与之间的函数表达式． 【详解】（1） 电动汽车每小时的充电量为 小丽往返均匀速行驶 返回时间与去时行驶时间相同，即为： 段占用时间为 段时间为： 故答案为：； （2）汽车每小时的耗电量均相同，且到达景点时汽车剩余电量与出发时恰好相同 耗电量为： 到达景点时汽车剩余电量为： （3）段时间为：，且到达景点时汽车剩余电量为： 汽车每小时的耗电量为，返回时间为 当小丽回家时，剩余电量为： 设段的函数表达式为： 将代入可得： 解得： 段的函数表达式为： 【点睛】本题考查一次函数的应用以及待定系数法求解析式，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． 2．（2024·河南信阳·三模）共享电动车是一种新理念下的交通工具，给我们的出行提供了方便．现有两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌的收费方式对应，品牌的收费方式对应． (1)品牌共享电动车骑行分钟后，每分钟收费________元； (2)当时，写出的函数关系式为________； (3)如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱？可以省多少？ 【答案】(1) (2) (3)小明选择品牌共享电动车更省钱，可以省元 【分析】本题主要考查一次函数的实际运用，理解一次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）根据一次函数图象可得骑行10分钟后的路程和费用，由此即可求解； （2）根据的图象，运用待定系数法即可求解； （3）分别算出两种品牌的费用进行比较即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，（元），（）， ∴（元/）， 故答案为； （2）解：设时，，且函数图象过， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：； （3）解：， ∴， 设品牌的费用为，且图象过， ∴， 解得，， ∴， ∴当时，品牌的费用为（元）， 品牌的费用为（元）， ∵，且（元）， ∴小明选择品牌的共享电动车更省钱，可以省元． 3．（2024·天津河东·二模）已知甲、乙、丙三地依次在同一条直线上，乙地距离甲地，丙地离甲地，一艘游轮从甲地出发，先用了匀速航行到乙地；从乙地驶出后接着匀速航行了到丙地；从丙地进行休整后，返航回甲地．在返航途中，因天气影响匀速航行了后减速，继续匀速航行回到甲地．下面图中x表示时间，y表示游轮离甲地的距离．图象反映了这个过程中游轮离甲地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息解答下列问题： (1)①填表： 游轮离开甲地的时间/ 10 15 20 58 游轮离开甲地的距离/ ______ 280 ______ ______ ②填空：游轮从乙地到丙地的速度为______； ③当时，请直接写出游轮离甲地的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当游轮到达乙地时，一艘货轮从甲地出发匀速航行去丙地，已知货轮的速度为，求货轮追上游轮时离甲地的距离是多少？（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①200；360；120；②20；③ (2)货轮追上游轮时离甲地的距离是 【分析】本题考查了一次函数的应用： （1）①根据图象，用时间×速度=路程即可求解； ②用“路程÷时间=速度”即可求解； ③分两种情况：当时，当时，根据图象求出函数解析式即可求解； （2）根据题意列出方程可得货轮追上游轮时，再列式计算即可； 能从图象中获取相关信息是解题的关键． 【详解】（1）解：①游轮离开甲地，与甲地的距离为： ， 游轮离开甲地，与甲地的距离为： ， 游轮离开甲地，与甲地的距离为：， 故答案为：200；360；120； ②， 答：游轮从乙地到丙地的速度为， 故答案为：20； ③当时， ， 当时， ， ． （2）由题意得： ， 解得：， ， 答：货轮追上游轮时离甲地的距离是． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）小明和小强两同学分别从甲地出发，沿同一条道路骑自行车到乙地参加社会实践活动，小明同学先从甲地出发，1小时后小强出发，小明则放慢速度继续前行，小明和小强距甲地的距离y（千米）与小明出发的时间x（小时）之间的函数图象如图所示． (1)小强同学骑自行车的速度为___________千米/小时； (2)求小明距甲地的距离y与x之间的函数关系式； (3)当小强到达乙地时，求小明距乙地的距离． 【答案】(1) (2) (3)千米． 【分析】本题考查一次函数的应用，理解函数图象，掌握待定系数法求解函数解析式时解题的关键． （1）根据：速度=路程/时间，计算即可． （2）利用待定系数法求解即可． （3）根据待定系数法求出小强距甲地距离与之间的函数关系式，当小强到达乙地时，，代入求出相对应的值，将的值代入，可得，即为小明距离甲地的距离，在根据：小明距离乙地的距离＝甲乙两地的距离－小明距离甲地的距离，计算即可． 【详解】（1）由图象可知，小强同学在小时内骑了千米， 故其骑自行车的速度为（千米/小时）， 故答案为． （2）设小明距离甲地的距离与之间的函数关系式为（、为常数，且）， 当时，点和在直线上，代入到中， 可得，解得， 即：当时，小明距离甲地的距离与之间的函数关系式为 点和在直线上，代入到中， 可得，解得， ∴当时，小明距离甲地的距离与之间的函数关系式为． 综上所述：小明距离甲地的距离与之间的函数关系式为. （3）设小强距离甲地的距离与之间的函数关系式为（、为常数，且）， 小强同学骑自行车的速度为千米/小时，且点、在直线上， ∴，解得， 故小强距离甲地的距离与之间的函数关系式为：， 当小强到达乙地时，，代入解得：，解得：， 将代入到中，得：， 故（千米）， ∴当小强到达乙地时，小明距乙地的距离为千米． 5．（23-24七年级下·山东淄博·期中）五一节期间，申老师一家自驾游去了离家170千米的某地，如图是他们离家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象． (1)求出段图象的函数表达式； (2)他们出发2小时时，离目的地还有多少千米？ 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，掌握待定系数法求解函数解析式是解本题的关键； （1）设段图象的函数表达式为，再建立方程组解题即可； （2）把代入（1）中的函数解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：设段图象的函数表达式为 把、代入，得 解得 所以段图象的函数表达式为 （2）当时，他们离家的距离， 此时，离目的地的距离是； 【变式训练4 几何问题(一次图数的实际应用)】 1．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，若点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】或． 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式；当时求解的值及当时得出，．得，，根据可得，进而可求解． 【详解】解：令中，则， 解得：， ， 令中，则， ． 设点的坐标为， ， ， ， ， 解得：或， 即点的坐标为或． 2．（22-23九年级下·山东滨州·期中）已知y关于x的一次函数的图象经过两点． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，求一次函数解析式： （1）利用待定系数法求解即可； （2）设一次函数与x轴交于A，则，根据进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）解：设一次函数与x轴交于A，则， ∴， ∴． 3．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图所示，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．    (1)求A、B两点的坐标； (2)若P是x轴上的点，且，求的面积． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点． （1）由函数解析式，令求得A点坐标，令求得B点坐标； （2）由，可得，，从而，然后分两种情况讨论，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）在函数中，令，则， 解得， ∴点A的坐标为， 在函数中，令，则， ∴点B的坐标为， （2）∵， ∴，， ∴， ∴当点P在点A右边时，， ∴． ∴当点P在点A左边时，， ∴． 综上所述，的面积为或． 4．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，点为直角边边上一动点，现从点出发，沿着的方向运动至点A处停止，设点运动的路程为的面积为．（点不与点重合） (1)求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当的面积等于面积一半时，求出点运动的路程的值． 【答案】(1) (2)或5 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，找到函数关系式是解题的关键． （1）分当时，当时，两种情况讨论求解即可； （2）根据（1）所求函数代入求解即可． 【详解】（1）解：当时，点在上运动， ， ， ； 当时，点在上运动， ， ， ； 综上所述，； （2）解：∵， ∴， 当时，则有； 当时，则有，解得：； 综上所述：当的面积等于面积一半时，则或5． 5．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，A为直线上一点，轴于点C，交直线于点B． (1)若点A的坐标为，，求k的值； (2)若，当点A在第一象限内直线上运动时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合： （1）先求出，进而求出，则，进一步得到，据此求出点B的坐标，即可利用待定系数法求出对应的函数解析式； （2）设，则，可得，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，轴 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：设， ∵， ∴直线解析式为， ∴， ∴， ∴． 【变式训练5 其他问题(一次函数的实际应用)】 1．（22-23八年级上·全国·课后作业）图中两个时针的指针分别表示同一时刻的北京时间和东京时间．设北京时间为t（时），东京时间为y（时），就的范围，分别求y关于t的函数表达式，并填写下表（同一时刻的两地时间）． 北京时间 8：30 4：30 东京时间 12：10 【答案】，见解析． 【分析】由图可得：同一时刻，东京时间比北京时间多1小时，然后可得y关于t的函数表达式，再根据函数表达式填表即可． 【详解】解：由图可得：同一时刻，东京时间比北京时间多1小时， 设北京时间为t（时），东京时间为y（时）， 故y关于t的函数表达式为， 填表为： 北京时间 8：30 11：10 4：30 东京时间 9：30 12：10 5：30 【点睛】本题考查的是一次函数的应用，根据题意正确求出函数解析式是解题的关键． 2．（2023·江苏无锡·模拟预测）某批发商欲将一批水产品委托货运公司由地运往地销售，已知、两地相距，货运车辆的平均速度是，货运公司的收费项目及收费标准如下表： 运输量单价（元/吨千米） 冷藏费单价（元/吨时） 过路过桥费（元） (1)若该批发商有水产品要运输，货运公司收取的总费用为元，写出与之间的函数表达式． (2)如果该批发商想运送水产品，支付运费元，货运公司愿意运送这批水产品吗？ 【答案】(1) (2)愿意 【分析】（1）先计算出行驶时间，然后把运输费用、冷藏费用和过路过桥费用加起来即可求解． （2）根据（1）中表达式，当时，计算出费用，然后与1500进行比较后进行判定即可． 【详解】（1）解：货运车辆行驶时间：（小时）， 与之间的函数表达式为：． （2）当时，， ， 货运公司愿意运送这批水产品． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，利用实际问题列一次函数关系式，并运用一次函数研究实际问题． 3．（22-23八年级下·河北石家庄·期中）某汽车行驶时油箱中余油量（升）与行驶时间（小时）的关系如下表： 行驶时间t/小时 余油量Q/升 1 55 2 50 3 45 4 40 5 35 观察表格解答下列问题 (1)汽车行驶之前油箱中有多少升汽油？ (2)写出用时间表示余油量的代数式； (3)当时，求余油量的值． 【答案】(1)60升 (2)Q= (3)当时，余油量的值为升 【分析】（1）根据表格，汽车每行驶1小时含油量相同，用行驶时间1小时的余油量减去行驶2小时的余油量即可求得每小时减少的量，再加上行驶1小时的余油量即可求得答案． （2）根据表中，原油量为60升，每行驶1小时就减少5升，则可得余油量与行驶时间的代数式． （3）当时，代入（2）中的代数式即可求得答案． 【详解】（1）解：由表格可以看出，汽车每行驶1小时耗油量相同，其数值为， 所以汽车行驶之前油箱中的汽油量为60升． （2）由表格可知，行驶时间t与剩油量Q的关系式为Q=． （3），（升）， 答：当时，余油量的值为升． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，熟练掌握根据已知信息建立一次函数表达式是解题的关键． 4．（22-23八年级上·山东青岛·期中）杆秤是我国传统的计重工具，如图，秤钩上所挂的不同重量的物体使得秤砣到秤纽的水平距离不同．称重时，秤钩所挂物重为x（斤）时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为y（厘米）．如表中为若干次称重时所记录的一些数据，且y是x的一次函数． x（斤） 0 0.75 1.00 2.25 3.25 y（厘米） －2 1 2 4 7 注：秤杆上秤砣在秤纽左侧时，水平距离y（厘米）为正，在右侧时为负． （1）根据题意，完成表格； （2）请求出y与x的关系式； （3）当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为15厘米时，秤钩所挂物重是多少斤？ 【答案】（1）1.50，11；（2）y＝4x-2；（3）4.25斤 【分析】（1）分析表格中数据填表即可． （2）设函数关系式为y＝kx+b，利用待定系数法解决问题即可； （3）将y＝15代入函数关系式中求x的值即可． 【详解】解：（1）由表格中数据可知，重量每增加0.25斤，秤砣到秤纽的水平距离会增加1厘米， 由此可得第一行数字应填[4-（-2）]×0.25=1.50， 第二行数字应填（3.25÷0.25）-2=11； 故答案为：1.50，11 （2）设y＝kx+b， 将（0，－2）和（1，2）分别代入表达式中， 得 解得：k＝4，b＝－2， ∴y与x的关系式为：y＝4x－2； （3）当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为15厘米时，即y＝15 将y＝15代入得，15＝4x－2中 解得：x＝4.25（斤） ∴当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为15厘米时，秤钩所挂物重是4.25斤． 【点睛】本题考查一次函数的应用，待定系数法等知识，解题关键是熟练运用待定系数法求出一次函数解析式． 5．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）某体育馆在暑假期间推出“全民健身”优惠活动，设置两种套餐： 套餐一：按照运动次数收费； 套餐二：先交会员费，再将每次运动收费打折． 设运动次数为x，所需费用为y元，y与x之间的函数关系图象如图． (1)分别求出套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式； (2)去体育馆健身多少次时，两种套餐费用一样？费用是多少？ (3)小马准备300元去该体育馆办理套餐，选择哪种套餐划算？请说明理由． 【答案】(1)套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式分别为：，； (2)去体育馆健身10次时，两种套餐费用一样，费用为200元； (3)300元去该体育馆办理套餐，选择套餐二更划算． 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是待定系数法求一次函数表达式． （1）设套餐一函数表达式为，设套餐二函数表达式为，根据图像，分别代入即可作答； （2）根据图像，套餐一和套餐二的交点处，两种套餐费用一样，即，进而计算即可； （3）分别求出300元的套餐一和套餐二的健身次数，进而比较即可． 【详解】（1）解：设选择套餐一时，y关于x的函数表达式为， 由题意，得， 解得， ∴， 设选择套餐二时，y关于x的函数表达式为， 把点和点分别代入， 即， 解得， ∴， ∴套餐一和套餐二中的y关于x的函数表达式分别为：，； （2）解：根据题意，当时，两种套餐费用一样， 即：， 解得， 此时， ∴去体育馆健身10次时，两种套餐费用一样，费用为200元； （3）解：办套餐一时，， 解得， 办理套餐二时，， 解得， ∵， ∴300元去该体育馆办理套餐，选择套餐二更划算． 学科网（北京）股份有限公司 $$