第06讲 二次根式（3大知识点+5大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假七升八数学衔接讲义（北师大版）

第06讲 二次根式（3大知识点+5大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 求二次根式的值 题型二 求二次根式中的参数 题型三 二次根式有意义的条件 题型四 利用二次根式的性质化简 题型五 复合二次根式的化简 知识点01：二次根式 二次根式的概念 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号． 如都是二次根式。 二次根式满足条件： （1） 必须含有二次根号 （2） 被开方数必须是非负数 知识点02：二次根式有无意义的条件 条件 字母表示 二次根式有意义 被开方数为非负数 二次根式无意义 被开方数为负数 知识点03：二次根式的性质 1.的性质 符号语言 文字语言 一个非负数的算数平方根是非负数 提示 有最小值，为0 2.的性质 符号语言 应用 （1） 正用： （2） 逆用：若a≥0，则 提示 逆用可以再实数范围内分解因式：如 3.的性质 符号语言 a（a＞0） 0（a=0) -a(a＜0） 文字语言 任意一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值 应用 （1） 正用： （2） 逆用： 【典型例题一 求二次根式的值】 【例1】（23-24八年级下·重庆开州·阶段练习）下列各式是二次根式的为（    ） A．2 B． C．6 D．0 【例2】（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）下列各式中，是二次根式的有（    ） A． B．5 C． D． 【例3】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）当时，二次根式的值为 ． 【例4】（22-23八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值是 ． 【例5】（22-23八年级下·全国·课后作业）当时，求二次根式的值． 【例6】（22-23八年级下·全国·课后作业）物体自由下落时，下落距离h（米）可用公式h=9t2来估计，其中t（秒）表示物体下落所经过的时间. （1）把这个公式变形成用h表示t的公式； （2）一个物体从64米高的塔顶自由下落，落到地面需几秒？ 【典型例题二 求二次根式中的参数】 【例1】（22-23八年级上·福建福州·期末）若是一个整数，则正整数m的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（22-23八年级下·广东江门·期中）已知是整数，则满足条件的最小正整数n为 （    ） A．5 B．3 C．4 D．2 【例3】（22-23八年级下·广东深圳·开学考试）若是一个整数，则最小正整数的值是 ． 【例4】（22-23八年级下·江苏扬州·期末）已知那么 ． 【例5】（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知是整数，求自然数n的值． 【例6】（22-23八年级·全国·假期作业）（1）已知是整数，求自然数所有可能的值； （2）已知是整数，求正整数的最小值． 【典型例题三 二次根式有意义的条件】 【例1】（23-24八年级下·广东江门·期中）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·新疆和田·期中）使有意义的字母的取值范围（    ） A．全体实数 B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·重庆綦江·期中）要使代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【例4】（2024·山东枣庄·二模）已知函数，则自变量x的取值范围是 ． 【例5】（23-24八年级下·广东汕头·阶段练习）已知，求的平方根． 【例6】（23-24八年级下·全国·课后作业）当x为何值时，的值最小？最小值是多少？ 【典型例题四 利用二次根式的性质化简】 【例1】（2024·福建泉州·模拟预测）化简的结果是（    ） A．2 B．4 C． D． 【例2】（23-24八年级下·广西百色·期中）计算的结果为（    ） A． B．7 C． D．14 【例3】（23-24八年级下·湖北武汉·期中）化简： ． 【例4】（23-24七年级下·四川德阳·期中）若为正整数，则整数的最小值为 ． 【例5】（22-23八年级下·广西钦州·阶段练习）化简： (1)； (2)； (3)． 【例6】（22-23八年级下·四川广安·期中）先化简，再求值：已知：，求的值． 【典型例题五 复合二次根式的化简】 【例1】（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）把根号外的因式移入根号内的结果是（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 【例2】（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知为正整数，若是整数，则的最小值为（    ）． A．4 B．8 C．21 D．84 【例3】（22-23七年级上·江西景德镇·期中）化简＝ 【例4】（22-23八年级上·广东佛山·阶段练习）形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为 ． 【例5】（22-23八年级·全国·课后作业）（1）；（2）. 【例6】（22-23八年级上·福建三明·期中）先阅读下面的解题过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，使得，，那么便有：. 例如：化简：. 解：首先把化为，这里，， 因为，， 即，， 所以== 根据上述例题的方法化简： 【变式训练1 求二次根式的值】 1．（22-23八年级下·广西南宁·期中）下列式子不属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·湖北十堰·期中）已知二次根式，当时，此二次根式的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 3．（22-23八年级下·浙江·期中）当时，二次根式的值为 ． 4．（2024八年级下·浙江·专题练习）当时，二次根式的值是 ． 5．（22-23八年级下·全国·课后作业）当时，求二次根式的值． 6．（22-23八年级下·全国·课后作业）计算： （1） （2） （3） （4） 【变式训练2 求二次根式中的参数】 1．（22-23八年级下·河南商丘·期末）下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023九年级·浙江·专题练习）如果是二次根式，那么x应满足的条件是（    ） A．x≠2的实数 B．x≤2的实数 C．x≥2的实数 D．x＞0且x≠2的实数 3．（2024九年级下·广东·专题练习）若实数m满足，则m的取值范围是 ． 4．（23-24九年级上·广东惠州·开学考试）已知为正整数，且也为正整数，则的最小值为 ． 5．（22-23八年级·全国·假期作业）已知n是一个正整数，是整数，求n的最小值． 6．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）知n=-6，求的值． 【变式训练3 二次根式有意义的条件】 1．（23-24八年级下·广西南宁·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·甘肃陇南·期中）如果要使有意义，那么的取值范围是(　) A． B．且 C． D．且 3．（2024·湖南娄底·二模）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 4．（23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知为实数，且，则的值为 ． 5．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）已知x，y为实数，且，求的值． 6．（23-24八年级下·甘肃陇南·阶段练习）已知实数a、b满足，求的值． 【变式训练4 利用二次根式的性质化简】 1．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·北京·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·上海徐汇·三模）当时， ． 4．（2024·吉林·二模）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”的美誉，函数称为取整函数，也称高斯函数，即表示不超过的最大整数，例如，则 ． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）化简： （1）；        （2）；        （3）；        （4）； （5）；            （6）；            （7）；        （8）． 6．（22-23八年级下·安徽马鞍山·阶段练习）计算： 【变式训练5 复合二次根式的化简】 1．（22-23八年级上·上海宝山·期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·广东广州·期中）已知，，化简 ． 4（22-23八年级下·山东青岛·单元测试）当时，化简： ． 5．（22-23七年级上·上海黄浦·阶段练习）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数、，使，，使得，，那么便有：（）． 由上述方法化简：． 6（22-23八年级下·山东聊城·阶段练习）计算，其中，小明算出了这样的结果：当a=-1时，；请你说出小明的错误在哪里． 1．（23-24八年级下·山东泰安·期中）下列各式中，属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．14 3．（2024·湖北宜昌·模拟预测）若有意义，则的值可以是（    ） A． B．0 C．5 D．7 4．（23-24八年级下·山东德州·期中）当时，代数式的值是（   ） A． B．1 C． D． 5．（22-23八年级上·上海嘉定·阶段练习）对式子作恒等变形，使根号外不含字母，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 6．（22-23八年级下·浙江丽水·期中）当时，的值为 ． 7．（22-23八年级上·全国·单元测试）若是整数，则整数n的所有可能的值为 ． 8．（2024·江苏无锡·一模）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 9．（23-24八年级下·广东广州·期中）计算： ． 10．（22-23八年级下·湖北恩施·期末）阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式” ． 11．（22-23八年级上·全国·单元测试）观察下面的运算，完成计算：    (1) (2)． 12．（22-23八年级·上海·假期作业）设是实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？ (1)； (2)． 13．（22-23八年级下·河南驻马店·期中）观察下面的解法：为求的值，可设， 显然则． 仿照上面的解法，求的值． 14．（22-23七年级下·福建福州·期中）阅读材料并解决下列问题： 已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣﹣a，求a、b的值． 解：∵5﹣﹣a 即5﹣ ∴2b﹣a＝5，﹣a＝ 解得：a＝﹣ （1）已知a、b是有理数，并且满足等式﹣1，则a＝　 　，b＝　 　． （2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+x+18，求xy的平方根． 15．（23-24八年级下·山东烟台·期中）阅读理解： 我们解决某些数学题的时候，经常会遇到题目中的条件比较含糊，它们常常巧妙地隐蔽在题设的背后，不易被发现和运用，导致我们解题受阻，因此，挖掘题设中的隐含条件，应该成为我们必备的一种能力．请阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并依次解决所给的问题． 化简： 解：由题意可知隐含条件解得：， ∴， ∴． 启发应用： （1）按照上面的解法，化简：； 类比迁移： （2）已知的三边长分别为，，，请求出的周长．（用含有的代数式表示，结果要求化简） 拓展延伸： （3）若，请直接写出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 二次根式（3大知识点+5大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 求二次根式的值 题型二 求二次根式中的参数 题型三 二次根式有意义的条件 题型四 利用二次根式的性质化简 题型五 复合二次根式的化简 知识点01：二次根式 二次根式的概念 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号． 如都是二次根式。 二次根式满足条件： （1） 必须含有二次根号 （2） 被开方数必须是非负数 知识点02：二次根式有无意义的条件 条件 字母表示 二次根式有意义 被开方数为非负数 二次根式无意义 被开方数为负数 知识点03：二次根式的性质 1.的性质 符号语言 文字语言 一个非负数的算数平方根是非负数 提示 有最小值，为0 2.的性质 符号语言 应用 （1） 正用： （2） 逆用：若a≥0，则 提示 逆用可以再实数范围内分解因式：如 3.的性质 符号语言 a（a＞0） 0（a=0) -a(a＜0） 文字语言 任意一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值 应用 （1） 正用： （2） 逆用： 【典型例题一 求二次根式的值】 【例1】（23-24八年级下·重庆开州·阶段练习）下列各式是二次根式的为（    ） A．2 B． C．6 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，即含有二次根号且被开方数为非负数，据此即可作答． 【详解】解：∵二次根式是指含有二次根号且被开方数为非负数， ∴是二次根式， 故选：B． 【例2】（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）下列各式中，是二次根式的有（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的定义，解答的关键是熟知形如的式子叫做二次根式． 【详解】解：A. 中被开方数小于，不是二次根式； B. 5是整数，不是二次根式； C. 是二次根式； D. 是三次根式，不是二次根式； 故选C． 【例3】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）当时，二次根式的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次根式的基本性质及化简、二次根式的定义，掌握代入求值法是解题关键．把代入原式化简即可． 【详解】解：当时，原式， 故答案为：3． 【例4】（22-23八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值是 ． 【答案】 【分析】直接把的值代入进而得出答案． 【详解】解：当时，二次根式． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键． 【例5】（22-23八年级下·全国·课后作业）当时，求二次根式的值． 【答案】1 【分析】根据二次分式的性质即可求解． 【详解】解：当时， ． 【点睛】本题考查了二次分式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质进行求解． 【例6】（22-23八年级下·全国·课后作业）物体自由下落时，下落距离h（米）可用公式h=9t2来估计，其中t（秒）表示物体下落所经过的时间. （1）把这个公式变形成用h表示t的公式； （2）一个物体从64米高的塔顶自由下落，落到地面需几秒？ 【答案】（1）t= （2）秒 【分析】（1）根据平方根的定义和等式的性质将公式h=9变形成用h表示t的公式； （2）将h=64代入用h表示t的公式中求解，即可求出物体落到地面所用的时间. 【详解】（1）h=9 根据等式的性质两边除以9，得 = ， t=，因为t为时间，t 所以t= ； （2）将h=64代入t= ，得t== （秒）. 故答案为（1）t=  （2）秒. 【点睛】本题考查二次根式的应用. 【典型例题二 求二次根式中的参数】 【例1】（22-23八年级上·福建福州·期末）若是一个整数，则正整数m的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】结合正整数与最简二次根式的性质即可求出m的值． 【详解】∵是一个整数,且m是正整数，, ∴m的最小值为3，此时的值是整数3. 故选C． 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 【例2】（22-23八年级下·广东江门·期中）已知是整数，则满足条件的最小正整数n为 （    ） A．5 B．3 C．4 D．2 【答案】B 【分析】是整数则一定是一个完全平方数，把3分解因数即可确定． 【详解】解：，而是整数， 的最小值是3． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式． 【例3】（22-23八年级下·广东深圳·开学考试）若是一个整数，则最小正整数的值是 ． 【答案】6 【分析】先将化简为最简二次根式，再取的最小正整数值，使被开方数开得尽． 【详解】解：， 当，6，时，都可以开方， 是最小正整数， 时，被开方数开得尽，结果为整数，故． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了二次根式的化简运算，比较基础，需要熟练掌握． 【例4】（22-23八年级下·江苏扬州·期末）已知那么 ． 【答案】81 【分析】先求出x值，再求平方即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：81． 【点睛】本题考查了二次根式的意义，掌握二次根式的意义和运算方法是正确求解的基本方法． 【例5】（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知是整数，求自然数n的值． 【答案】10，9，6，1 【分析】本题考查二次根式的性质，利用二次根式的性质、化简法则及自然数指大于等于0的整数，分析求解． 【详解】由题意得， 又n为自然数， ∴， ∵是整数 ， ∴，，，， ∴自然数n所有可能的值为10，9，6，1． 【例6】（22-23八年级·全国·假期作业）（1）已知是整数，求自然数所有可能的值； （2）已知是整数，求正整数的最小值． 【答案】（1）自然数的值为，，，，；（2）正整数的最小值为． 【分析】（1）根据二次根式结果为整数，确定出自然数n的值即可； （2）根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的最小值即可． 【详解】（1）∵是整数， ∴，，，，， 解得：，，，，， 则自然数的值为2，9，14，17，18； （2）∵是整数，为正整数， ∴正整数的最小值为． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解本题的关键． 【典型例题三 二次根式有意义的条件】 【例1】（23-24八年级下·广东江门·期中）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件：被开方数非负；根据被开方数非负得，解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：； 故答案为：B． 【例2】（23-24八年级下·新疆和田·期中）使有意义的字母的取值范围（    ） A．全体实数 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，解得：； 故选C． 【例3】（23-24八年级下·重庆綦江·期中）要使代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式中被开方数大于等于0即可求解． 【详解】解：要使代数式有意义，则， 解得． 故答案为：． 【例4】（2024·山东枣庄·二模）已知函数，则自变量x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件列不等式组即可求解． 【详解】由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【例5】（23-24八年级下·广东汕头·阶段练习）已知，求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求一个数的平方根，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0得到，则，进而得到，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是． 【例6】（23-24八年级下·全国·课后作业）当x为何值时，的值最小？最小值是多少？ 【答案】，5 【分析】本题目考查二次根式的非负性的运用，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键； 根据二次根式的非负性，可知，当时，式子即可求出最小值． 【详解】解：有意义． ， ∴当，即时，式子的值最小， 最小值为5． 【典型例题四 利用二次根式的性质化简】 【例1】（2024·福建泉州·模拟预测）化简的结果是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的化简，根据二次根式的性质进行化简即可解题． 【详解】解：， 故选：D． 【例2】（23-24八年级下·广西百色·期中）计算的结果为（    ） A． B．7 C． D．14 【答案】B 【分析】本题考查利用二次根式的性质化简，运用公式求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 【例3】（23-24八年级下·湖北武汉·期中）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【例4】（23-24七年级下·四川德阳·期中）若为正整数，则整数的最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查二次根式的运算．由知，整数的最小值为6即可． 【详解】解： 整数的最小值为6． 故答案为：6． 【例5】（22-23八年级下·广西钦州·阶段练习）化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)当时，；当时， (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式的性质．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，； （2）； （3）． 【例6】（22-23八年级下·四川广安·期中）先化简，再求值：已知：，求的值． 【答案】 【分析】由得到，利用算术平方根的性质进行化简求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是进行化简的关键． 【典型例题五 复合二次根式的化简】 【例1】（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）把根号外的因式移入根号内的结果是（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 【答案】C 【分析】利用二次根式的性质直接化简得出即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了复合二次根式的化简，正确确定二次根式的符号是解题关键． 【例2】（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知为正整数，若是整数，则的最小值为（    ）． A．4 B．8 C．21 D．84 【答案】C 【分析】根据和是整数可得是整数，再结合为正整数即可得． 【详解】解：， 是整数， 是整数， 又∵为正整数， 的最小值为21， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法是解题关键． 【例3】（22-23七年级上·江西景德镇·期中）化简＝ 【答案】 【分析】将原式化为，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解： = = = = 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【例4】（22-23八年级上·广东佛山·阶段练习）形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为 ． 【答案】/ 【分析】先把10拆成与的平方和，则可写成完全平方式，然后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质：．也考查了完全平方公式的运用． 【例5】（22-23八年级·全国·课后作业）（1）；（2）. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先将被开方数写成乘积的形式，再利用二次根式的积的性质进行化简；（2）先将带分数写成假分数，再利用二次根式商的性质进行化简. 【详解】（1）. （2）. 【点睛】本题考查了二次根式的化简，利用积的算术平方根的性质进行化简时，要注意被开方数一宽是乘积的形式，一定不要出现“”的错误. 【例6】（22-23八年级上·福建三明·期中）先阅读下面的解题过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，使得，，那么便有：. 例如：化简：. 解：首先把化为，这里，， 因为，， 即，， 所以== 根据上述例题的方法化简： 【答案】 【分析】直接利用完全平方公式化简求出答案. 【详解】解：首先把化为，这里，， 因为， 即，， 所以== 故答案为. 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，正确应用完全平方公式是解题的关键. 【变式训练1 求二次根式的值】 1．（22-23八年级下·广西南宁·期中）下列式子不属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义进行判断即可． 【详解】一般的，形如（）的式子叫做二次根式，因此不是二次根式． 故选：B 【点睛】本题考查了二次根式的定义，掌握知识点是解题关键． 2．（22-23八年级下·湖北十堰·期中）已知二次根式，当时，此二次根式的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】把代入进行计算即可． 【详解】解：当时，， 故选A． 【点睛】本题考查的是二次根式的值，熟练代入并求值是解本题的关键． 3．（22-23八年级下·浙江·期中）当时，二次根式的值为 ． 【答案】4 【分析】把代入二次根式求值即可得结果． 【详解】解：当时，原式． 故答案是：4． 【点睛】本题主要考查二次根式的代入求值，解题的关键是注意二次根式的符号，此类题比较简单． 4．（2024八年级下·浙江·专题练习）当时，二次根式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式的基本性质及化简，二次根式的定义，掌握代入求值法是解题关键．把代入原式化简即可． 【详解】解：当时，， 故答案为：2． 5．（22-23八年级下·全国·课后作业）当时，求二次根式的值． 【答案】3 【分析】直接将代入二次根式即可求解． 【详解】解：将代入二次根式，得 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解题的关键是利用二次根式的性质直接开平方． 6．（22-23八年级下·全国·课后作业）计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）2；（2）11；（3）；（4）0 【分析】（1）根据二次根式的性质直接计算即可； （2）根据算术平方根的定义计算； （3）根据二次根式的性质直接计算即可； （4）根据二次根式的性质分别计算每一项，再合并即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）原式； （4）原式． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和算术平方根的定义，属于应知应会题型，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 【变式训练2 求二次根式中的参数】 1．（22-23八年级下·河南商丘·期末）下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合二次根式的定义即可求解． 【详解】解：A：在中，，不合题意，故错误； B：在中，，符合题意，故正确； C：在中，的正负性不可确定，不合题意，故错误； D：在中，根指数是3，不合题意，故错误； 故答案是：B． 【点睛】本题考查二次根式的定义，属于基础概念题，难度不大．解题的关键是掌握二次根式的概念．形如“”且的式子叫二次根式． 2．（2023九年级·浙江·专题练习）如果是二次根式，那么x应满足的条件是（    ） A．x≠2的实数 B．x≤2的实数 C．x≥2的实数 D．x＞0且x≠2的实数 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件可知2-x≥0，解出x的范围即可． 【详解】解：根据题意得，2﹣x≥0， 解得x≤2． 所以x应满足的条件是x≤2的实数． 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式的定义，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型． 3．（2024九年级下·广东·专题练习）若实数m满足，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质即可求出m的取值范围．理解是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知：， 解得：， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·广东惠州·开学考试）已知为正整数，且也为正整数，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】首先将被开方数化简，然后找到满足题意的最小被开方数即可． 【详解】解：，且开方的结果是正整数， 为某数的平方， 又，是满足题意最小的被开方数， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，知道开方结果为正整数被开方数必为平方数．先化简再讨论是本题的关键． 5．（22-23八年级·全国·假期作业）已知n是一个正整数，是整数，求n的最小值． 【答案】n的最小值是15 【分析】直接利用二次根式的性质化简，进而得出n的最小值． 【详解】解：∵＝3，n是一个正整数， ∴n的最小值是15． 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键． 6．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）知n=-6，求的值． 【答案】45． 【分析】先根据二次根式的被开方数的非负性求出m的值，再代入可求出n的值，然后代入求解即可． 【详解】由二次根式的被开方数的非负性得： 则，解得 将代入得： 将代入得：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义（二次根式的被开方数的非负性），利用二次根式的定义求出m的值是解题关键． 【变式训练3 二次根式有意义的条件】 1．（23-24八年级下·广西南宁·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据题意得出，求出结果即可． 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义， ， ， 故选：B． 2．（23-24八年级下·甘肃陇南·期中）如果要使有意义，那么的取值范围是(　) A． B．且 C． D．且 【答案】A 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：二次根式在实数范围有意义， ， ， 故选：A． 3．（2024·湖南娄底·二模）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知为实数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件得出的值，进而得出的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）已知x，y为实数，且，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件可得且，得x和y的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 6．（23-24八年级下·甘肃陇南·阶段练习）已知实数a、b满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练4 利用二次根式的性质化简】 1．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查二次根式的化简，根据二次根式的化简法则计算可得答案 【详解】． 故选：B． 2．（22-23七年级下·北京·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简．直接利用二次根式的性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、，故本选项符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：A． 3．（2024·上海徐汇·三模）当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握是解题的关键． 根据的进行计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴ ∴． 故答案为：． 4．（2024·吉林·二模）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”的美誉，函数称为取整函数，也称高斯函数，即表示不超过的最大整数，例如，则 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，先估算出的范围，即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴即， ∴ 故答案为：． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）化简： （1）；        （2）；        （3）；        （4）； （5）；            （6）；            （7）；        （8）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）． 【分析】利用二次根式的性质，分别对每个小题进行化简，即可得到答案． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质进行化简． 6．（22-23八年级下·安徽马鞍山·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型． 【变式训练5 复合二次根式的化简】 1．（22-23八年级上·上海宝山·期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 2．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式成立的条件确定x的取值，从而利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：由题意可得：x＜0 ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的化简，理解二次根式成立的条件及二次根式的性质正确化简计算是解题关键． 3．（22-23八年级下·广东广州·期中）已知，，化简 ． 【答案】 【分析】利用二次根式的乘法法则和性质化简即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握性质是解题的关键，难度适中． 4（22-23八年级下·山东青岛·单元测试）当时，化简： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 5．（22-23七年级上·上海黄浦·阶段练习）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个数、，使，，使得，，那么便有：（）． 由上述方法化简：． 【答案】 【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42，再判断是选择加法还是减法． 【详解】解： 原式． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是把根号内的式子整理为完全平方的形式． 6（22-23八年级下·山东聊城·阶段练习）计算，其中，小明算出了这样的结果：当a=-1时，；请你说出小明的错误在哪里． 【答案】小明的错误在最后一步 【分析】根据算术平方根为非负数判断即可． 【详解】， 故小明的错误在最后一步． 【点睛】本题考查二次根式的求值，理解算术平方根的非负性是解答的关键． 1．（23-24八年级下·山东泰安·期中）下列各式中，属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，理解定义是解题的关键． 根据二次根式的定义逐项分析判断即可， 【详解】A． 是分式，不是二次根式，故该选项不符合题意； B． ，是整式，不是二次根式，故该选项不符合题意； C． 是二次根式，故该选项符合题意； D． 是三次根式，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值． 【详解】解：， ∵是整数，n是一个正整数， ∴n的最小值是7． 故选：C． 3．（2024·湖北宜昌·模拟预测）若有意义，则的值可以是（    ） A． B．0 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数为非负数，得出求解，选择答案即可，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∴选项中符合的数只有7， 故选：D． 4．（23-24八年级下·山东德州·期中）当时，代数式的值是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的化简，直接利用，再化简绝对值即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选C 5．（22-23八年级上·上海嘉定·阶段练习）对式子作恒等变形，使根号外不含字母，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案． 【详解】解：由题意可得：，∴ ∴ 故选：C 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 6．（22-23八年级下·浙江丽水·期中）当时，的值为 ． 【答案】4 【分析】直接把x的值代入化简即可． 【详解】解：当时， ． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了二次根式的求值，熟记二次根式的性质是解决此题的关键． 7．（22-23八年级上·全国·单元测试）若是整数，则整数n的所有可能的值为 ． 【答案】1，4，9，36 【分析】是整数，则，且是完全平方数，即可求出n的值． 【详解】解：∵是整数， ∴，且是完全平方数， ∴①，即； ②，即； ③，即； ④，即； 综上所述，整数n的所有可能的值为1，4，9，36． 故答案是：1，4，9，36． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，理解是整数的条件是解题的关键． 8．（2024·江苏无锡·一模）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数得出，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为： ． 9．（23-24八年级下·广东广州·期中）计算： ． 【答案】5 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 先将被开方数化为，然后按照二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：5． 10．（22-23八年级下·湖北恩施·期末）阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式” ． 【答案】/ 【分析】仿照题意进行求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了化简复合二次根式，正确理解题意是解题的关键． 11．（22-23八年级上·全国·单元测试）观察下面的运算，完成计算：    (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）被开方数，据此即可开方； （2）首先化简，然后代入原式利用相同的方法化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2） 则原式 【点睛】本题考查了二次根式的化简，把所求的式子的被开方数化成完全平方式是关键． 12．（22-23八年级·上海·假期作业）设是实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？ (1)； (2)． 【答案】(1)任意实数 (2) 【分析】（1）根据，可知，x为一切实数； （2）根据二次根式的定义得出，解不等式即可 【详解】（1）解：恒成立，可知为任意实数， ∴x为任意实数； （2）解：，当且仅当，即时该式可以成立， ∴． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 13．（22-23八年级下·河南驻马店·期中）观察下面的解法：为求的值，可设， 显然则． 仿照上面的解法，求的值． 【答案】 【分析】先求出()2的值，再根据与()2的关系即可求出答案. 【详解】解：可设x= 显然则 x2=()2 = = =6, ∵x＞0, ∴=. 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，关键是找出规律再进行计算，要注意结果的符号. 14．（22-23七年级下·福建福州·期中）阅读材料并解决下列问题： 已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣﹣a，求a、b的值． 解：∵5﹣﹣a 即5﹣ ∴2b﹣a＝5，﹣a＝ 解得：a＝﹣ （1）已知a、b是有理数，并且满足等式﹣1，则a＝　 　，b＝　 　． （2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+x+18，求xy的平方根． 【答案】（1）4，1；（2）± 【分析】（1）利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程即可． （2）先将等式变形，再利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程得到x和y，再求xy的平方根． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴b=1，a-b=3， ∴a=4； （2）， ∴， ∴， 解得：， ∴xy=21， ∴xy的平方根为±． 【点睛】此题是一个阅读题目，主要考查了实数的运算．对于阅读理解题要读懂阅读部分，然后依照同样的方法和思路解题． 15．（23-24八年级下·山东烟台·期中）阅读理解： 我们解决某些数学题的时候，经常会遇到题目中的条件比较含糊，它们常常巧妙地隐蔽在题设的背后，不易被发现和运用，导致我们解题受阻，因此，挖掘题设中的隐含条件，应该成为我们必备的一种能力．请阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并依次解决所给的问题． 化简： 解：由题意可知隐含条件解得：， ∴， ∴． 启发应用： （1）按照上面的解法，化简：； 类比迁移： （2）已知的三边长分别为，，，请求出的周长．（用含有的代数式表示，结果要求化简） 拓展延伸： （3）若，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质和二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质和二次根式有意义的条件是解题的关键； （1）先根据二次根式有意义的条件求出m的范围，再根据二次根式的性质化简即可； （2）先根据二次根式有意义的条件求出的范围，再根据二次根式的性质化简即可； （3）先根据二次根式有意义的条件求出x的范围，再分类讨论，根据二次根式的性质化简即可； 【详解】解：（1）由题意可知隐含条件解得：， ∴， ∴， （2）由题意可知隐含条件解得：， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为；               （3）由题意可知隐含条件，解得：， 当时，， 则，符合题意， 当时，， 则，不符合题意， 综上所述，的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $$