第20讲 认识二元一次方程组【七大考点+过关测】- 【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

第20讲 认识二元一次方程组 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解二元一次方程、二元（三元）一次方程组及其解等概念； 2．并会判断二元一次方程、二元（三元）一次方程组的解； 知识点一 二元一次方程的概念 1.二元一次方程：含有两个未知数，且 所含未知数的次数项的次数都是1的方程. 知识点二 二元一次方程组的概念 1.将几个相同未知数的一次方程联合起来，就组成了二元一次方程组. 注：①在方程组中，相同未知数必须代表同一未知量；②二元一次方程组不一定都是二元一次方程组合而成，方程个数也不一定是两个. 2.判断二元一次方程组的方法：①方程组中是否一共有两个未知数;②含未知数的项的次数是否都是1;③是否含有多个方程组成. 知识点三 二元一次方程的解的概念 1.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值（有序数对） 知识点四 二元一次方程组的解的概念 1.二元一次方程组的两个方程公共解叫作二元一次方程组的解. 2.检验二元一次方程组解的方法：将有序数对带入方程中，若方程组等式都成立，则为方程组的解；若有方程不成立，则不是方程的解. 注：方程组中只要有一个方程带入后不成立，则不是方程的解. 考点一：二元一次方程的定义 例1．下列方程为二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24七年级下·山东威海·期中）下列方程： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中是二元一次方程的是（    ） A．① B．①④ C．①③ D．①②④⑥ 考点二：利用二元一次方程的定义求参数 例2.若是关于的二元一次方程，则的值是（    ） A．2 B．2或0 C．0 D．任何数 【变式2-1】（23-24七年级下·广东东莞·期中）若是关于x、y的二元一次方程，则m、n的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-2】是关于x，y的二元一次方程，则（     ） A．2 B．0 C．1 D． 【变式2-3】若方程是二元一次方程，则 ， ． 考点三：判断是否是二元一次方程组 例3. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】下列方程组是二元一次方程组的有（    ） ①    ②    ③    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-3】方程组（1），（2），（3），（4）中，属于二元一次方程组有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点四：判断是否是二元一次方程的解 例4. 下列各组数满足方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】方程的一个解是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24七年级下·辽宁大连·期中）下列4组数中，不是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24七年级下·辽宁大连·期中）下列4组数中，是二元一次方程的解是（    ） A． B． C． D． 考点五：已知二元一次方程的解求参数或代数式的值 例5. 已知是方程的解，则a的值为 ． 【变式5-1】若是方程的解，则 ． 【变式5-2】若是方程的一个解，则 ． 【变式5-3】已知是方程的解，则 ． 【变式5-4】若是二元一次方程 的一组解，则＝ ． 考点六：判断是否是二元一次方程组的解 例6. 已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】解为的方程组可以是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24七年级下·全国·假期作业）下列各组数中，是二元一次方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 考点七：与二元一次方程的定义或解有关的新定义型问题 例7.（22-23七年级下·河南漯河·阶段练习）把（其中a、b是常数，x、y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”，当时，“雅系二元一次方程”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为， 其“完美值”为． (1)求“雅系二元一次方程”的“完美值”； (2)是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求m的值． 【变式7-1】（23-24七年级下·河南南阳·期中）对于二元一次方程（其中a，b是常数，x，y是未知数）当时，x的值称为二元一次方程的“完美值”，例如：当时，二元一次方程化为，其“完美值”为． (1)求二元一次方程的“完美值”； (2)是二元一次方程的“完美值”，求m的值； (3)是否存在n，使得二元一次方程与（n是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出n的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由． 【变式7-2】（23-24七年级下·河北沧州·阶段练习）我们规定，关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“友好”方程．例如：方程，其中，，，满足，则方程是“友好”方程，把两个“友好”方程合在一起叫“友好”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)判断方程__________“友好”方程（填“是”或“不是”）； (2)若关于x，y的二元一次方程是“友好”方程，求k的值； (3)若是关于x，y的“友好”方程组的解，求的值． 一、单选题 1．（23-24七年级下·浙江·期中）下列方程是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·广西贵港·期中）二元一次方程的一个解是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24六年级下·上海青浦·期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）二元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 5．（2024七年级下·天津·专题练习）已知是关于x，y的二元一次方程，则m、n的值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24七年级下·吉林松原·期中）已知是方程的解，则 ． 7．（23-24七年级下·安徽淮南·期中）二元一次方程的自然数解有 组． 8．（23-24七年级下·四川绵阳·期中）若是关于的二元一次方程，则 ． 9．（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知是二元一次方程的一组解，则 ． 10．（2024·江苏南通·一模）图1是我国古代传说中的洛书，图2是其数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．如图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，的值等于 ． 三、解答题 11．（22-23八年级上·全国·课前预习）哪些是二元一次方程组？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4） 12．（2024八年级上·全国·专题练习）大型客车每辆能坐54人，中型客车每辆能坐36人，现有378人，问需要大、中型客车各几辆才能使每个人上车都有座位，且每辆车正好坐满？ 13．（2023七年级下·浙江·专题练习）已知下面三对数值：；；． (1)哪几对能使方程左、右两边的值相等？ (2)哪几对能使方程左、右两边的值相等？ (3)二元一次方程组的解是什么？ 14．（23-24七年级下·福建泉州·期中）某校举办运动会，计划购买奖章颁发给获奖者．已知甲种奖章每个20元，乙种奖章每个35元，若购买甲种奖章x个，乙种奖章y个，需要花费380元． (1)试列出关于x，y的二元一次方程：__________________． (2)当甲种奖章有12个时，求乙种奖章的个数． (3)当乙种奖章有8个时，求甲种奖章的个数． 15．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）把（其中，是常数，，是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为． (1)求“雅系二元一次方程”的“完美值”； (2)是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求的值； (3)是否存在，使得“雅系二元一次方程”与（是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出的值及此时的“完美值”：若不存在，请说明理由． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第20讲 认识二元一次方程组 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解二元一次方程、二元（三元）一次方程组及其解等概念； 2．并会判断二元一次方程、二元（三元）一次方程组的解； 知识点一 二元一次方程的概念 1.二元一次方程：含有两个未知数，且 所含未知数的次数项的次数都是1的方程. 知识点二 二元一次方程组的概念 1.将几个相同未知数的一次方程联合起来，就组成了二元一次方程组. 注：①在方程组中，相同未知数必须代表同一未知量；②二元一次方程组不一定都是二元一次方程组合而成，方程个数也不一定是两个. 2.判断二元一次方程组的方法：①方程组中是否一共有两个未知数;②含未知数的项的次数是否都是1;③是否含有多个方程组成. 知识点三 二元一次方程的解的概念 1.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值（有序数对） 知识点四 二元一次方程组的解的概念 1.二元一次方程组的两个方程公共解叫作二元一次方程组的解. 2.检验二元一次方程组解的方法：将有序数对带入方程中，若方程组等式都成立，则为方程组的解；若有方程不成立，则不是方程的解. 注：方程组中只要有一个方程带入后不成立，则不是方程的解. 考点一：二元一次方程的定义 例1．下列方程为二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二元一次方程的定义求解即可． 【详解】解：A、是二元一次方程，符合题意； B、不是二元一次方程，不符合题意； C、不是二元一次方程，不符合题意； D、不是二元一次方程，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：①方程中只含有2个未知数；②含未知数项的最高次数为一次；③方程是整式方程． 【变式1-1】下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据含有两个未知数，未知数的次数都是1的整式方程是二元一次方程进行判断即可． 【详解】解：A.该方程的次数是2，故此项不符合题意； B.该方程中含有三个未知数，故此次项不符合题意； C.该方程的次数是2，故此项不符合题意； D.该方程是二元一次方程，故此项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 【变式1-2】下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二元一次方程的定义进行作答即可． 【详解】解：A、的次数是2，故不是二元一次方程； B、不是整式方程，故不是二元一次方程； C、的次数是2，故不是二元一次方程； D、是二元一次方程； 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义；含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 【变式1-3】（23-24七年级下·山东威海·期中）下列方程： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中是二元一次方程的是（    ） A．① B．①④ C．①③ D．①②④⑥ 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，即含有两个未知数，且含未知数的项的次数都为１的整式方程，据此作答即可． 【详解】①，该方程含有两个未知数，且含未知数的项的次数为１的整式方程，所以它是二元一次方程； ②，该方程含未知数的项的次数为２，所以它不是二元一次方程； ③，该方程不是整式方程，所以它不是二元一次方程； ④，化简得，该方程含有两个未知数，且含未知数的项的次数为１的整式方程，所以它是二元一次方程； ⑤，该方程含未知数的项的次数为２，所以它不是二元一次方程； ⑥，该方程不是整式方程，所以它不是二元一次方程， 综上，是二元一次方程的是①④， 故选：B． 考点二：利用二元一次方程的定义求参数 例2.若是关于的二元一次方程，则的值是（    ） A．2 B．2或0 C．0 D．任何数 【答案】C 【分析】从二元一次方程满足的条件：含有2个未知数和最高次项的次数是1这两个方面考虑． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程， ∴且， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程． 【变式2-1】（23-24七年级下·广东东莞·期中）若是关于x、y的二元一次方程，则m、n的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数且未知数的次数都是1次的整式方程就是二元一次方程，根据二元一次方程的定义解出m、n，即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ，， 故选：B． 【变式2-2】是关于x，y的二元一次方程，则（     ） A．2 B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】利用二元一次方程的定义解答即可．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴， 解得：， 故选B． 【点睛】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键． 【变式2-3】若方程是二元一次方程，则 ， ． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义求解即可． 【详解】解：∵方程是二元一次方程， ∴，， 解得，． 故答案为：；． 【点睛】本题考查的是二元一次方程的定义，熟知含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程是解答此题的关键． 考点三：判断是否是二元一次方程组 例3. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】含有两个未知数，且每个未知数的最高次数都是1的整式方程组是二元一次方程组，根据定义判断． 【详解】解：A、C、D均不符合二元一次方程组的定义，B是二元一次方程组， 故选B． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的定义，正确掌握二元一次方程组的定义的三要点：（1）共有两个未知数；（2）未知数的项最高次数都应是一次；（3）都是整式方程，是解题的关键． 【变式3-1】下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二元一次方程组的定义：共含有2个未知数的两个一次方程组成的方程组，进行判断即可． 【详解】解：A、是二元二次方程，不符合题意； B、含有三个未知数，不符合题意； C、是二元二次方程，不符合题意； D、是二元一次方程组，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二元一次方程组的识别．熟记定义，是解题的关键． 【变式3-2】下列方程组是二元一次方程组的有（    ） ①    ②    ③    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可． 【详解】解：经过观察可发现方程组③有三个未知数，不是二元一次方程组， 方程组①②④都是二元一次方程组，共有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组，利用二元一次方程组的定义是解题关键．二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 【变式3-3】方程组（1），（2），（3），（4）中，属于二元一次方程组有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组进行判定即可． 【详解】解：符合二元一次方程组的定义； 中含有、、三个未知数，不是二元一次方程组； 符合二元一次方程组的定义； 中含有未知项的最高次数为2，不是二元一次方程组； 综上，是二元一次方程组的有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义：由两个一元一次方程所组成的方程组称为二元一次方程组． 考点四：判断是否是二元一次方程的解 例4. 下列各组数满足方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入的值，逐一判断即可解答． 【详解】解：当时，方程左边，方程左边方程右边，故A符合题意； 当时，方程左边，方程左边方程右边，故B不符合题意； 当时，方程左边，方程左边方程右边，故C不符合题意； 当时，方程左边，方程左边方程右边，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟知使得二元一次方程两边的值相等的两位未知数是二元一次方程的解，是解题的关键． 【变式4-1】方程的一个解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把各项中的x、y的值代入方程检验即可求解． 【详解】解：A.把代入方程得，，不是方程的解，故不符合题意； B.把代入方程得，，是方程的解，故符合题意； C. 把代入方程得，，不是方程的解，故不符合题意； D. 把代入方程得，，不是方程的解，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解得概念是解题的关键． 【变式4-2】（23-24七年级下·辽宁大连·期中）下列4组数中，不是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的解，把各选项代入方程，进行判断即可． 【详解】解：A、把代入方程，得：，不符合题意； B、把代入方程，得：，不符合题意； C、把代入方程，得：，不符合题意； D、把代入方程，得：，符合题意； 故选D． 【变式4-3】（23-24七年级下·辽宁大连·期中）下列4组数中，是二元一次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义．要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解是本题的关键．二元一次方程的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解． 【详解】解：A．将代入方程，左边右边，所以不是方程的解，故A不符合题意； B．将代入方程，左边右边，所以不是方程的解，故B不符合题意； C．将代入方程，左边右边，所以是方程的解，故C符合题意； D．将代入方程，左边右边，所以不是方程的解，故D不符合题意． 故选：C． 考点五：已知二元一次方程的解求参数或代数式的值 例5. 已知是方程的解，则a的值为 ． 【答案】1 【分析】将方程的解代入方程中求解即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，则， 故答案为：1． 【点睛】本题考查二元一次方程的解，理解方程的解满足方程是解答的关键． 【变式5-1】若是方程的解，则 ． 【答案】 【分析】把代入方程可得，再解一元一次方程即可． 【详解】∵是方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程的解、解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 【变式5-2】若是方程的一个解，则 ． 【答案】 【分析】把代入得，将代入进行计算即可． 【详解】解：把代入得：， 即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把把代入得出． 【变式5-3】已知是方程的解，则 ． 【答案】 【分析】把代入方程计算即可． 【详解】解：把代入方程得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二元一次方程的解，关键是能准确理解题意并能求解． 【变式5-4】若是二元一次方程 的一组解，则＝ ． 【答案】 【分析】根据题意得出，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵是二元一次方程的一组解， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 考点六：判断是否是二元一次方程组的解 例6. 已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二元一次方程组的定义排除A、D选项，再根据“方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程”即可解答． 【详解】解：A.方程组不是二元一次方程组，不符合题意． B.把代入方程组可得，该数值不满足方程组中的方程． C.把代入方程组，可得这组解满足每一个方程，符合题意． D.方程组不是二元一次方程组，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解以及二元一次方程组的定义，解决本题的关键是用代入法进行检验． 【变式6-1】解为的方程组可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程组的解的定义，只要检验是否是选项中方程的解即可． 【详解】A、把代入方程，左边右边，故不是方程组的解，故选项不符合题意； B、把代入方程，左边右边，故不是方程组的解，故选项不符合题意； C、把代入方程方程，左边右边，把代入方程方程，左边右边，故是方程组的解，故选项符合题意； D、把代入方程，左边右边，故不是方程组的解，故选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，正确理解定义是关键． 【变式6-2】方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将各个选项依次代入原方程组中，能使两个方程都成立的x、y的值即为方程组的解． 【详解】 A.将代入①式中得，左边右边，成立．代入②式中得左边右边，②式不成立．因此A选项不是方程组的解，不符合题意． B. 将代入①式中得，左边右边，①式不成立，因此A选项不是方程组的解，不符合题意． C. 将代入①式中得，左边右边，成立．代入②式中得左边右边，②式成立．因此C选项是方程组的解，符合题意． D.将代入①式中得，左边右边，①式不成立，因此D选项不是方程组的解，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解叫做二元一次方程组的解，即二元一次方程组的解应满足各个方程，掌握这一点知识是解题的关键． 【变式6-3】（23-24七年级下·全国·假期作业）下列各组数中，是二元一次方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组的解及其解法，利用消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．解题的关键是熟练的掌握解二元一次方程组的方法． 方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：， ①+②得：，即， 把代入①得：， 则方程组的解为， 故答案选B． 考点七：与二元一次方程的定义或解有关的新定义型问题 例7.（22-23七年级下·河南漯河·阶段练习）把（其中a、b是常数，x、y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”，当时，“雅系二元一次方程”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为， 其“完美值”为． (1)求“雅系二元一次方程”的“完美值”； (2)是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“雅系二元一次方程”的“完美值”定义，将代入方程，然后解关于x的方程即可． （2）根据“雅系二元一次方程”的“完美值”定义，将y=x=2代入“雅系二元一次方程” 中，即可求得m的值． 【详解】（1）根据“雅系二元一次方程”的定义，当时的x值称为“完美值”， ∴化为：． 解得：． 即“雅系二元一次方程”的“完美值”是． （2）根据题意，将代入“雅系二元一次方程”中得， ． ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义及解一元一次方程，解题的关键是理解新定义的概念正确求解． 【变式7-1】（23-24七年级下·河南南阳·期中）对于二元一次方程（其中a，b是常数，x，y是未知数）当时，x的值称为二元一次方程的“完美值”，例如：当时，二元一次方程化为，其“完美值”为． (1)求二元一次方程的“完美值”； (2)是二元一次方程的“完美值”，求m的值； (3)是否存在n，使得二元一次方程与（n是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出n的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查二元一次方程的解，理解新定义，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）由题意可得，即可求解； （2）由题意可得，求出m即可； （3）由，得，由，得，再由，即可求n的值，进而求出完美值． 【详解】（1）∵有“完美值”， ∴， 解得， ∴二元一次方程的“完美值”为； （2）∵是二元一次方程的“完美值”， ∴， 解得； （3）存在n，使得二元一次方程与（n是常数）的“完美值”相同，理由如下： 由，得， 由，得， ∴， 解得， ∴， ∴“完美值”为． 【点睛】本题考查二元一次方程的解，理解新定义，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 【变式7-2】（23-24七年级下·河北沧州·阶段练习）我们规定，关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“友好”方程．例如：方程，其中，，，满足，则方程是“友好”方程，把两个“友好”方程合在一起叫“友好”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)判断方程__________“友好”方程（填“是”或“不是”）； (2)若关于x，y的二元一次方程是“友好”方程，求k的值； (3)若是关于x，y的“友好”方程组的解，求的值． 【答案】(1)是 (2)3 (3)3 【分析】 本题考查二元一次方程的解，解二元一次方程组，掌握“友好方程”的定义是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义进行判断即可； （2）根据“友好方程”的定义，进行求解即可； （3）先根据“友好”方程组的定义求出的值，再根据方程组的解的定义，得到关于的方程组，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵中， ∴方程是友好方程； 故答案为：是； （2）因为关于x，y的二元一次方程是“友好”方程，所以， 解得，所以k的值是3； （3）因为方程组是“友好”方程组， 所以，， 所以，， 所以原方程组为， 因为是方程组的解， 所以，①+②得，； ∴的值为3． 一、单选题 1．（23-24七年级下·浙江·期中）下列方程是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，理解二元一次方程的定义是解题的关键．根据二元一次方程的定义依次判断得到答案． 【详解】解：A、是一元一次方程，故本选项错误； B、是分式方程，故本选项错误； C、是二元一次方程，故本选项正确； D、是二元二次方程，故本选项错误． 故选：C． 2．（23-24七年级下·广西贵港·期中）二元一次方程的一个解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，正确把数据代入计算是解题关键．分别将各选项代入方程进而计算得出答案． 【详解】解：A、把代入方程左边得：，左边右边，故不是方程的解； B、把代入方程左边得：，右边，左边=右边，是方程的解； C、把代入方程左边得：，左边右边，故不是方程的解； D、把代入方程左边得：，左边右边，故不是方程的解； 故选：B． 3．（23-24六年级下·上海青浦·期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程组的判别，熟悉二元一次方程的定义是解题的关键．根据二元一次方程组的定义判断即可． 【详解】A． ，是二元一次方程组； B． ，方程组中有三个未知数，不是二元一次方程组； C． ，方程组中含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程组； D． ，方程组中含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程组； 故选：A． 4．（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）二元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解及其解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．根据二元一次方程组的解法可进行求解． 【详解】解： 得：，解得：， 把代入①得： ， ∴原方程组的解为； 故选B． 5．（2024七年级下·天津·专题练习）已知是关于x，y的二元一次方程，则m、n的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】主要考查二元一次方程的概念．根据二元一次方程的定义（含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程）解答． 【详解】解：根据题意，得 ，解得； ，解得n， 即； 故选：D ． 二、填空题 6．（23-24七年级下·吉林松原·期中）已知是方程的解，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查二元一次方程的解，理解方程的解与方程的关系，并能准确代入求值是解题的关键． 将代入即可求的值． 【详解】解：将代入，可得 ， 解得：， 故答案为：1． 7．（23-24七年级下·安徽淮南·期中）二元一次方程的自然数解有 组． 【答案】3 【分析】本题考查二元一次方程的自然数解，先将方程做适当变形，然后列举出适合条件的所有自然数值，再求出另一个未知数的值，即可解题． 【详解】解：， ， ， 二元一次方程的自然数解有，，，共组， 故答案为：3． 8．（23-24七年级下·四川绵阳·期中）若是关于的二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程的定义，绝对值的意义，解题的关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． 二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，据此解答即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， ∴， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知是二元一次方程的一组解，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，等式的性质等知识点，把代入二元一次方程得关于的等式，利用等式的基本性质求出的值，再整体代入求值即可，解题关键是熟练掌握二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】把代入二元一次方程得：， ∴， ∴两边同乘5得：， ∴两边同乘得：， ∴整理得：， ∴， 故答案为：． 10．（2024·江苏南通·一模）图1是我国古代传说中的洛书，图2是其数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．如图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化类，根据题意列出等式，即可求得答案，解答本题的关键是理解题意，准确进行计算． 【详解】解：由题可得：， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（22-23八年级上·全国·课前预习）哪些是二元一次方程组？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4） 【答案】（1）（3），见解析 【详解】解：(1)、(3)是二元一次方程组，因为他们是共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程 12．（2024八年级上·全国·专题练习）大型客车每辆能坐54人，中型客车每辆能坐36人，现有378人，问需要大、中型客车各几辆才能使每个人上车都有座位，且每辆车正好坐满？ 【答案】大型客车1辆，中型客车9辆；大型客车3辆，中型客车6辆；大型客车5辆，中型客车3辆；大型客车7辆，中型客车0辆 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．首先根据题意表示出大型客车辆可座人，中型客车辆可座人，根据总人数为378可得方程，再求解即可． 【详解】解：设需要大型客车辆，中型客车辆，由题意得： ， 则， 当时，； 当时，（不合题意）； 当时，； 当时，（不合题意）； 当时，； 当时，（不合题意）； 当时，； 所以一共有，；，；，；，共计4种符合题意的方案．即大型客车1辆，中型客车9辆；大型客车3辆，中型客车6辆；大型客车5辆，中型客车3辆；大型客车7辆，中型客车0辆． 13．（2023七年级下·浙江·专题练习）已知下面三对数值：；；． (1)哪几对能使方程左、右两边的值相等？ (2)哪几对能使方程左、右两边的值相等？ (3)二元一次方程组的解是什么？ 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）将三对值代入方程判断即可得到解； （2）将三对值代入方程判断即可得到解； （3）找出两方程的公共解，即为方程组的解． 【详解】（1）解：将代入方程左边得：，右边，左边≠右边； 将代入方程左边得：，右边，左边右边； 将代入方程左边得：，右边，左边右边； （2）解：将代入方程左边得：，右边，左边右边，是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边右边，是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边≠右边； （3）解：两方程的公共解为， 则方程组的解为． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 14．（23-24七年级下·福建泉州·期中）某校举办运动会，计划购买奖章颁发给获奖者．已知甲种奖章每个20元，乙种奖章每个35元，若购买甲种奖章x个，乙种奖章y个，需要花费380元． (1)试列出关于x，y的二元一次方程：__________________． (2)当甲种奖章有12个时，求乙种奖章的个数． (3)当乙种奖章有8个时，求甲种奖章的个数． 【答案】(1) (2)4个 (3)5个 【分析】本题考查了列二元一次方程以及解一元一次方程的知识， （1）依据题意直接列式即可； （2）令，代入（1）的方程，解出即可作答； （3）令，代入（1）的方程，解出即可作答； 【详解】（1）根据题意有：， 故答案为：； （2）令，则有， 解得：， 即乙种奖章的个数为4个； （3）令，则有， 解得：， 即甲种奖章的个数为5个． 15．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）把（其中，是常数，，是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为． (1)求“雅系二元一次方程”的“完美值”； (2)是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求的值； (3)是否存在，使得“雅系二元一次方程”与（是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出的值及此时的“完美值”：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了新定义二元一次方程，一元一次方程的解法，正确理解新定义，熟练转化为一元一次方程求解是解题的关键． （1）根据定义，得到，解方程即可； （2）根据定义，得到，再把代入，解方程即可； （3）根据定义，得到，，假设存在，则，方程无解，进而可判断结果； 【详解】（1）根据定义，得到， 解得， “雅系二元一次方程”的“完美值”为6． （2）根据定义，得到， 是“雅系二元一次方程”的“完美值”， ， 解得； （3）不存在，理由如下： 根据定义，得到，， 解得， 假设存在，使得“雅系二元一次方程”与（是常数）的“完美值”相同， 则，无解， 不存在，使得“雅系二元一次方程”与（是常数）的“完美值”相同； ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$