第12讲 一次函数的图象与性质（6大知识点+14大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假七升八数学衔接讲义（北师大版）

第12讲 一次函数的图象与性质（6大知识点+14大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 正比例函数的图象 题型二 正比例函数的性质 题型三 判断一次函数的图象 题型四 根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型五 已知函数经过的象限求参数范围 题型六 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型七 画一次函数图象 题型八 判断一次函数的增减性 题型九 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 题型十 比较一次函数值的大小 题型十一 一次函数的规律探究问题 题型十二 已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型十三 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型十四 利用图象法解一元一次方程 知识点01 一次函数的概念 一次函数：如果，那么y叫做x的一次函数． 正比例函数：当时，一次函数变成称，y叫做x的正比例函数． 知识点02 一次函数的图象 一次函数的图象：一次函数的图象是一条恒经过点和的直线. 正比例函数的图象：正比例函数的图象是一条恒经过原点和直线. 知识点03 一次函数的性质 （1）正比例函数的图象与性质 y=kx 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0 一、三源：学*科*网X 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＜0 二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 （2）一次函数的图象与性质 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 一、二、三 从左向右上升[来源：学科网ZXXK] y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 一、三、四 k＜0，b＞0 一、二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 知识点04 一次函数的图象与k、b之间的联系 ①b决定直线与y轴的交点位置 时，直线交y轴于正半轴； 时，直线交y轴于负半轴； 时，直线经过原点. ②直线上坡，y随x的增大而增大；直线下坡，y随x的增大而减小. ③越大，直线越陡. 知识点05 确定一次函数表达式 （1）待定系数法 步骤：设：设函数表达式为； 代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组； 解：求出k与b的值，得到函数表达式． （2）常见类型 ①已知两点确定表达式； ②已知两对函数对应值确定表达式； ③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b，再把点（0,1）的坐标代入即可. 知识点06 一次函数与方程 （1）一元一次方程的根就是一次函数（k、b是常数，）的图象与x轴交点的横坐标. 【典型例题一 正比例函数的图象】 1．（2023九年级·陕西宝鸡·学业考试）已知一个正比例函数的图象经过和两点，则间的关系一定是(　　) A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·全国·单元测试）直线必过的点是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·江苏南京·期末）若点（2，2）在正比例函数y＝kx的图像上，则k的值是 ． 4．（22-23八年级下·全国·课前预习）正比例函数y＝kx （k是常数，k≠0）的图象是一条经过 的直线，我们称它为直线y＝kx． 5．（22-23八年级下·福建厦门·期中）已知正比例函数y＝kx的图象经过点A（2，k+2），求这个函数解析式并画出这个函数的图象． 6．（22-23八年级下·全国·课后作业）已知蜡烛燃烧时长度的变化与时间成正比例关系，一根长为的蜡烛点燃6分钟后，蜡烛变短了，设蜡烛点燃x分钟后变短了． （1）求函数y关于自变量x的解析式，并写出自变量的取值范围； （2）画出此函数的图象． 【典型例题二 正比例函数的性质】 1．（22-23八年级上·广西崇左·阶段练习）下列各点在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·辽宁阜新·期末），是正比例函数图象上的两个点，下列判断中，正确的是（    ） A． B． C．当时， D．当时， 3．（22-23八年级上·上海宝山·期末）正比例函数的图像经过第 象限． 4．（22-23八年级下·全国·假期作业）已知正比例函数，y的值随着x的增大而增大，则a的取值范围是 ． 5．（22-23八年级上·陕西汉中·期末）已知y与x成正比例，且当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)当时，求x的值． 6．（22-23八年级上·安徽安庆·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数解析式． (2)已知点在该函数的图像上，且，求点的坐标． 【典型例题三 判断一次函数的图象】 1．（22-23八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知一次函数y＝kx－k，当k＜0时图像过第几象限？（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 2．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期中）当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级·全国·假期作业）若函数y＝2x＋b经过点(1，3)，则b＝ ． 4．（22-23八年级下·上海宝山·期末）如果点A(1，n)在一次函数y＝3x﹣2的图象上，那么n＝ ． 5．（22-23七年级下·四川达州·期末）达川区花椒产业扶贫初见成效，农户张三今年花椒产业喜获丰收，一天他带了若干花椒进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用.按市场售出一些后，又降价出售.售出花椒斤数x与他手中持有的钱数y（含备用零钱）的关系如图所示，结合图像回答下列问题：    （1）张三自带的零钱是多少？ （2）降价前他每斤花椒出售的价格是多少？ （3）降价后他按每斤25元将剩余的花椒售完，这时他手中的钱（含备用的钱）是1150元，问他一共带了多少斤花椒？ 6．（2023·浙江嘉兴·一模）如图，一次函数y=kx+b的图象经过点A（6，0），点B（2，2），且与y轴相交于点C．请根据以上信息（不再添加其他条件），提出一个问题并尝试解答．你提出的问题是 ；并请写出你的解答过程． 【典型例题四 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 1．（22-23八年级下·吉林四平·期末）一次函数的图象不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象可能是（　　）    A．直线l1 B．直线l2 C．直线l3 D．直线l4 3．（2023·天津滨海新·二模）直线经过第 象限． 4．（22-23八年级下·青海西宁·期末）若点在函数的图象上，则的值是 ． 5．（22-23八年级下·广东揭阳·阶段练习）已知：，试判断直线一定经过哪些象限，并说明理由. 6．（22-23八年级下·江苏南通·期中）在一次函数y=（2a－4）x－（1－a）中，当a为何值时： （1）y随x的增大而增大 （2）图象与y轴交点在x轴上方 （3）图象经过第二象限 【典型例题五 已知函数经过的象限求参数范围】 1．（22-23八年级下·广东汕头·期末）若一次函数的图象经过第二、三、四象限,则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·广东广州·期末）一次函数与在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（      ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·上海崇明·期中）一次函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是 ． 4．（22-23八年级上·甘肃酒泉·期中）已知直线不经过第三象限，则其函数关系式可以为 ．（写出一个即可）． 5．（22-23八年级·全国·课后作业）已知一次函数的图象不经过第二象限，求m，n的取值范围． 6．（22-23八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知一次函数y＝(6＋3m)x＋(n－4)． (1)当m，n为何值时，函数图象经过一二四象限？ (2)当m，n为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方？ 【典型例题六 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 1．（22-23八年级上·广东佛山·期末）一次函数的图象与y轴交点是（　　） A．（﹣1，0） B．（2，0） C．（0，1） D．（0，﹣1） 2．（22-23八年级上·山东枣庄·期中）若直线与直线都经过轴同一点，则的值为（   ） A．7 B． C．3 D． 3．（22-23八年级上·江苏常州·期末）直线y=2x-4与两坐标轴围成的三角形面积为 ． 4．（22-23八年级上·广东深圳·期中）直线y＝x－2与y轴交点坐标是 ． 5．（22-23八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．    (1)请在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)直线与坐标轴围成图形的面积是_____________． 6．（22-23八年级下·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，对于非零的实数，将点变换为称为一次“-变换”．例如，对点作一次“3-变换”，得到点．已知直线与轴交于点，与轴交于点．若对直线上的各点分别作同样的“-变换”，点，变换后的对应点分别为，． (1)当时，点的坐标为 ； (2)若点的坐标为，则的值为 ； (3)以下三个结论：①线段与线段始终相等；②与始终相等；③与的面积始终相等．其中正确的是 （填写序号即可），并对正确的结论加以证明． 【典型例题七 画一次函数图象】 1．（2023·贵州贵阳·一模）在同一平面直角坐标系中，两个一次函数与的图象相交，则其交点一定在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（22-23八年级下·山东临沂·期末）用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（　　） x 2 1 1 2 y 12 10 8 4 A．（2，4） B．（1，8） C．（1，10） D．（2，12） 3．（22-23八年级下·河北邢台·阶段练习）在平面直角坐标系中，画一次函数y＝－3x＋3的图像时，通常过点 和 画一条直线． 4．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数y＝|3x－1|＋2的图象记为l1，y＝x－7的图象记为l2，把l1、l2组成的图形记为图形M．若直线y＝kx－5与图形M有且只有一个公共点，则k应满足的条件是 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并求出它们与坐标轴交点的坐标：，． 6．（22-23八年级上·陕西榆林·期中）已知一次函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出此函数图象； (2)平移一次函数的图象后经过点，求平移后的函数表达式． 【典型例题八 判断一次函数的增减性】 1．（2024·江苏无锡·二模）下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（  ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·安徽六安·期末）下列函数中，随的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·山东青岛·期中）若点都在一次函数的图象上，则 ．（填“”或“”） 4．（22-23九年级上·北京·开学考试）已知是一次函数图像上的两点 （填“<”或“>”或“>”）． 5．（22-23八年级上·山西运城·期末）有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小明根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）如图是x与y的几组对应值． x … 0 1 2 3 … y … 4 3 2 m 0 1 2 3 4 … m的值为________； （2）在如图的坐标系中，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （3）小明根据画出的函数图象，得出了如下几条结论： ①函数有最小值为0； ②当时，y随x的增大而增大； ③图象关于过点且垂直于x轴的直线对称． 小明得出的结论中正确的是___________．（只填序号） 6．（22-23八年级上·重庆沙坪坝·期末）学习一次函数时，我们通过列表、描点、连线画出一次函数图象，并结合函数图象研究函数性质．小双结合学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究，下面是小双的探讨过程，请补充完整： （1）化简：当时，_____：当时，_______ 列表： x … 0 1 2 3 … y … m 1 2 3 2 n … 其中，_______；__________； （2）描点、连线； ①在图中画出该函数图象； ②结合图象，写出该函数的一条性质：____________； （3）过点作直线轴，结合所画的函数图像，当a的取值范围在________时，直线与函数图像有两个交点． 【典型例题九 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】 1．（22-23八年级下·上海·期中）一次函数，当时，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·四川南充·期末）对于一次函数y＝﹣2x＋3，下列说法不正确的是（    ） A．图象经过点（﹣1，5） B．图象与x轴交于点（1.5，0） C．图象不经过第三象限 D．当x＞2时，y＞﹣1 3．（2023·江苏苏州·中考真题）若，且，则的取值范围为 ． 4．（22-23八年级下·湖北黄石·期末）在一次函数中，当时，的最小值为 ． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）作出函数的图象并回答： （1）当x的值增加时，y的值如何变化？ （2）求当x取何值时，，，. 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）已知一次函数. (1)满足何条件时，y随x的增大而减小； (2)满足何条件时，图像经过第一、二、四象限； (3)满足何条件时，它的图像与y轴的交点在x轴的上方. 【典型例题十 比较一次函数值的大小】 1．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）在直角坐标系中，已知点，点是直线上的两点，则m，n的大小关系是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）点都在直线上，则与大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较大小 3．（23-24八年级上·江苏南京·期末）一次函数（）的图像过点，，则 （填“”、“”或“”）． 4．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）已知是一次函数的图象上三点，则的大小关系是 ．（用“”连接） 5．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，有两点，另有一次函数的图象． （1）若，判断函数的图象与线段是否有交点？请说明理由． （2）当时，函数图象与线段有交点，求k的取值范围． （3）若，求证：函数图象一定经过线段的中点． 6．（22-23八年级下·全国·期中）先完成下列问题，再在同一直角坐标系中画出以下函数的图象(不必再列表)． (1)正比例函数y＝2x过哪两个点； (2)一次函数y＝－x＋3过哪两个点； (3)利用图象，直接写出不等式2x<－x＋3的解集． 【典型例题十一 一次函数的规律探究问题】 1．（22-23八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，依次在x轴上排列的正方形都有一个顶点在直线上，从左到右分别记作，，，，已知顶点的坐标是，则的纵坐标为（    ） A． B． C． D．2022 2．（2023·陕西西安·模拟预测）已知一次函数，点A为其图象第一象限上一点，过点A作轴于点B，点B的横坐标为2018，若在线段AB上恰好有2018个整点包括端点，则b的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·山东聊城·期末）正方形，，，按如图的方式放置，点，和点分别在直线和轴上，则点的坐标是 ． 4．（22-23八年级上·安徽·期中）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示依次作正方形、正方形、…、正方形，使得点、、在直线上，点、、在轴正半轴上，则的面积是 ．    5．（22-23八年级上·全国·课后作业）（1）在同一直角坐标系内画出函数，的图象，这两个图象有怎样的位置关系？ （2）函数，的图象又有怎样的位置关系？一般地，你有怎样的猜想？ 6．（2023·广东深圳·中考模拟）如图，直线y＝x，点A1坐标为（1，0），过点作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3；…，按照此做法进行下去，求OAn的长 【典型例题十二 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 1．（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）如图，已知直线，则方程的解等于（     ） A．0 B．2 C．4 D．1 2．（22-23八年级下·上海杨浦·期中）如图，一次函数的图像与轴的交点坐标为，则下列说法正确的有（    ）． A．随的增大而减小 B．， C．当时， D．关于的方程的解为 3．（2023八年级下·全国·专题练习）方程的解是x＝ ，则函数在自变量x等于 时的函数值是8 4．（22-23八年级上·山东青岛·期末）如图，正比例函数y＝﹣2x与一次函数y＝ax＋b的图象交于点P（﹣1，m），那么二元一次方程组的解为 ． 5．（2023九年级·全国·专题练习）画出函数的图象，根据图象回答下列问题：求方程的解 6．（22-23八年级下·广东广州·期末）已知直线y＝kx+b的图象经过点（2，4）和点（﹣2，﹣2）． （1）求b的值； （2）求关于x的方程kx+b＝0的解； （3）若（x1，y1）、（x2，y2）为直线上两点，且x1＜x2，试比较y1、y2的大小． 【典型例题十三 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 1．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）关于一次函数y=x﹣1，下列说法：①图象与y轴的交点坐标是（0，﹣1）；②y随x的增大而增大；③图象经过第一、二、三象限； ④直线y=x﹣1可以看作由直线y=x向右平移1个单位得到．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（22-23八年级上·陕西咸阳·期末）对于一次函数y=x+6，下列结论错误的是（） A．函数值随自变量增大而增大 B．函数图象与轴正方向成45°角 C．函数图象不经过第四象限 D．函数图象与轴交点坐标是（0，6） 3．（22-23八年级下·吉林四平·期末）若关于的方程的解为，则直线一定经过某点的坐标为 ． 4．（22-23八年级上·全国·单元测试）若函数y=4x+b的图象与两坐标轴围成的三角形面积为6，那么b= ． 5．（22-23七年级·北京西城·期中）如图，在直角坐标系中，A（﹣1，3），B（3，﹣2）． （1）求△AOB的面积； （2）设AB交y轴于点C，求C点的坐标． 6．（22-23八年级·全国·假期作业）利用函数图象解下列方程 （1）0.5x﹣3＝1 （2）3x﹣2＝x+4 【思路导引】 把0.5x﹣3＝1变化为y＝_______画出函数y＝_______的图象，求得函数和x轴的交点． 【典型例题十四 利用图象法解一元一次方程】 1．（22-23八年级上·重庆南岸·期中）如图,已知一次函数的图象为直线，则关于x的方程的解为 (       ) A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·全国·课后作业）小明用作图象的方法解二元一次方程组时，他作出了相应的两个一次函数的图象，则他解的这个方程组是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·河南濮阳·期末）已知一次函数（k、b为常数，且k≠0）的图象如图所示，则关于的方程的解是 ． 4．（22-23八年级下·云南丽江·期末）一次函数（，为常数，且≠0）的图象如图所示，则方程的解为 ． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）利用函数图象解下列方程 (1) (2) 6．（22-23八年级下·重庆渝中·期末）根据学习函数的经验，探究函数的图像和性质： （1）下表给出了部分，的取值： … -2 -1 0 1 2 3 4 … … 5 -1 -4 -3 -2 -1 … 由上表可知，______，______ （2）在坐标系中画出函数的图像； （3）结合你所画的函数图像，写出该函数的一条性质______________________________； （4）若关于的方程有且只有一个正根和一个负根，请直接写出的取值范围． 【变式训练1 正比例函数的图象】 1．（2024·广西梧州·一模）在直角坐标系中，下面哪个点是函数的图象经过的点（    ） A． B． C． D． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）已知点在正比例函数的图象上，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知正比例函数的图象经过点，则的值为 ． 4．（22-23八年级上·福建三明·期末）已知正比例函数的图象经过第二、四象限，则实数的值可以是 ．（只需写出一个符合条件的实数） 5．（23-24八年级下·吉林·期中）已知正比例函数． (1)为何值时，函数的图象经过第一、三象限； (2)为何值时，函数值随自变量的增大而减小． 6．（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）正比例函数随x的增大而减小． (1)确定m的取值范围； (2)小明说，函数图象不可能经过点，但可能经过点，你认为他说得有道理吗？说说你的理由． 【变式训练2 正比例函数的性质】 1．（23-24八年级下·福建泉州·期中）若正比例函数的图象经过点， 则它一定经过（     ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·福建厦门·期中）已知正比例函数的图象经过点，k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 3．（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）已知正比例函数的图象经过点，则m的值为 4．（23-24八年级上·上海·期末）正比例函数的图像经过，且，则k的范围是 ． 5．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）5月是销售樱桃的季节，某樱桃种植园为了吸引顾客，推出入园采摘销售模式．已知采摘樱桃重量x（千克）与所需费用y（元）之间的关系可以用来表示. (1)上述关系中，______是自变量，______是因变量； (2)上述关系用表格表示如下表，请补充填空： 千克 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … 元 3 6 ______ 12 15 ______ … (3)48元能买多少千克樱桃？ 6．（22-23八年级上·广西·期末）已知函数， (1)为何值时，该函数是一次函数 (2)为何值时，该函数是正比例函数. 【变式训练3 判断一次函数的图象】 1．（22-23八年级下·广西防城港·期末）下列图象中，表示y是x的一次函数的是（　　） A．         B．       C．       D．       2．（22-23九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中有P，Q，M，N四个点，其中恰有三点在一次函数的图象上．根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数的图象上的点是（    ） A．点P B．点Q C．点M D．点N 3．（22-23八年级上·四川成都·期末）点P（a，b）在函数y＝3x＋2的图象上，则代数式6a﹣2b的值等于 ． 4．（22-23七年级下·福建厦门·期末）如图，平面直角坐标系xOy中，有A、B、C、D四点，若有一直线经过点(-1,3)且与y轴垂直，则也会经过的点是 （填A、B、C或D）　 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）某种摩托车的油箱加满油后，油箱中的剩余油量与摩托车行驶路程之间的关系如图所示．根据图像回答下列问题： （1）油箱最多可储油多少升？ （2）一箱汽油可供摩托车行驶多少千米? （3）摩托车每行驶消耗多少升汽油? （4）油箱中的剩余油量小于时，摩托车将自动报警．行驶多少千米后，摩托车将自动报警? 6．（2023八年级下·上海·专题练习）一次函数的图象能否可以不经过第三象限?为什么? 【变式训练4 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 1．（23-24八年级下·四川巴中·期中）已知一次函数表达式为：，则此一次函数图像不经过第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 2．（23-24八年级下·四川广安·期中）下列图象中可能是一次函数的图象的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（23-24八年级上·山东青岛·期中）一次函数的图象不经过第 象限． 4．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）已知点，在直线上，当时，，且，则在平面直角坐标系内，它的图象经过第 象限． 5．（22-23八年级下·吉林·期末）如图，一次函数y＝（m﹣3）x﹣m+1的图象分别与x轴正半轴、y轴负半轴相交于点A、B，求m的取值范围． 6．（23-24八年级上·江苏·周测）已知一次函数． (1)若一次函数的图象经过原点，求的值； (2)若该一次函数的图象不经过第二象限． 【变式训练5 已知函数经过的象限求参数范围】 1．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）直线经过点，，，则必有（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·青海西宁·一模）一个函数的图象分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴相交，这个函数的解析式可以是 (写出一个即可)． 4．（2024·河南信阳·一模）若一次函数的图象一定过第二、四象限，则k的值为    ．（只写一个即可） 5．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知一次函数，请按要求解答问题： (1)若点在函数图像上，求m的值． (2)若函数图像平行于直线，求一次函数解析式； (3)m为何值时，函数图像不经过第二象限，且y随x的增大而增大？ 6．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）一次函数的图象经过，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)求的面积． 【变式训练6 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 1．（23-24八年级上·陕西汉中·期末）一次函数的图象与y轴的交点是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，直线与x轴交于点，则时，x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·上海宝山·期中）若直线经过点，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ． 4．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，一次函数的图象分别与轴、轴相交于点、，且与经过轴负半轴上的点的一次函数的图象相交于点，直线与轴相交于点，与关于轴对称，，点为线段上的一个动点，连接，若直线将的面积分为两部分，请直接写出点的坐标 ． 5．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，一次函数与轴、轴分别相交于点和点． (1)求点和点的坐标； (2)点在轴上，若的面积为6，求点的坐标． 6．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）已知与成正比例，当时，．    (1)求与之间的函数解析式． (2)在所给直角坐标系中画出函数图象． 【变式训练7 画一次函数图象】 1．（22-23九年级下·湖北武汉·期中）有8条不同的直线（n＝1，2，3，4，5，6，7，8），其中，，则这8条直线的交点个数最多是（    ） A．21个 B．22个 C．23个 D．24个 2．（2023·河北沧州·三模）如图，函数的图像所在坐标系的原点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．（22-23八年级下·河北邢台·阶段练习）在平面直角坐标系中，画一次函数y＝－3x＋3的图像时，通常过点 和 画一条直线． 4．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数y＝|3x－1|＋2的图象记为l1，y＝x－7的图象记为l2，把l1、l2组成的图形记为图形M．若直线y＝kx－5与图形M有且只有一个公共点，则k应满足的条件是 5．（23-24八年级下·山西临汾·期中）已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，请回答下列问题： (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出此一次函数的图象． (2)点的坐标为______，的坐标为_____，______． 6．（22-23八年级下·甘肃平凉·期末）请在所给的平面直角坐标系中作出一次函数的图像，并指出当x增大时，y如何变化． 【变式训练8 判断一次函数的增减性】 1．（2024·江苏无锡·二模）下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（  ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖南永州·期中）关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与轴交于点 C．函数值随自变量的增大而减小 D．点在函数图象上 3．（22-23八年级下·山东济宁·阶段练习）下列一次函数中，y的值随着x值的增大而减小的有 ． ①；②；③；④ 4．（23-24八年级上·重庆大渡口·期末）如图，一次函数，，的图象如图所示，则，，的大小关系为 ．（用“”符号连接） 5．（23-24八年级上·江苏淮安·期末）已知是的一次函数，与部分对应的值如下表： 1 2 5 1 (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，函数的取值范围是___________． 6．（22-23八年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． (1)求该一次函数的解析式； (2)若点在该一次函数图象上，当时，求n的取值范围． 【变式训练9 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】 1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知点，在直线上，且，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，、两点在一次函数的图象上，其坐标分别为，，下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D． 3．（22-23八年级下·上海宝山·期末）已知点都在一次函数的图像上，那么m与n的大小关系是 ． 4．（2023·河南南阳·一模）已知一次函数，当时，y的最大值等于 ． 5．（22-23八年级上·安徽合肥·期末）已知一次函数，一次函数图象经过点． (1)求的值； (2)在平面直角坐标系中，画出函数图象； (3)当时，的取值范围为_____． 6．（2023·浙江湖州·模拟预测）已知一次函数的图象经过点， (1)求和的值 (2)若，是该函数图象上的两点，试比较与的大小． 【变式训练10比较一次函数值的大小】 1．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）已知点，都在直线上，则，大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（23-24八年级下·吉林松原·期中）已知点、都在直线上，则与大小关系是（    ） A． B． C． D．无法判定 3．（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）一次函数的图象经过，，则，的大小关系是 ． 4．（23-24九年级下·北京·阶段练习）已知点，都在一次函数的图象上，那么与的大小关系是 （填“”，“”“”） 5．（22-23八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于A、B两点．    (1)求A、B两点的坐标． (2)点，在该函数的图象上，比较与的大小． 6．（22-23八年级上·江西抚州·阶段练习）已知一次函数y=x+1，分别交x轴，y轴于点A，B．已知点是点A关于y轴的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线l交直线AB于点B，点是点A关于直线l的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线，交直线AB于点，点是点A关于的对称点，作直线……继续这样操作下去，可作直线（n为正整数，且n≥1） (1)①直接写出点A，B的坐标：A ，B ． ②求出点B，的坐标，并求出直线的函数关系式； (2)根据操作规律，可知点的坐标为 ．可得直线的函数关系式为 ． (3)求的面积． 【变式训练11 一次函数的规律探究问题】 1．（2023·陕西西安·模拟预测）已知一次函数，点A为其图象第一象限上一点，过点A作轴于点B，点B的横坐标为2018，若在线段AB上恰好有2018个整点包括端点，则b的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝x和的图象分别为直线l1、l2，过点A1（1，）作x轴的垂线交l1于点A2，过点A2作y轴的垂线交l2于点A3，过点A3作x轴的垂线交l1于点A4，过点A4作y轴的垂线交l2于点A5，……依次进行下去，则点A2019的横坐标为（　　）    A．21008 B．﹣21008 C．﹣21009 D．21006 3．（22-23九年级下·江西九江·期中）对于一次函数的图象，无论k为何值，都过一个定点，则这个点的坐标是 ． 4．（2023·山东聊城·三模）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，，，……，在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为 ．    5．（22-23八年级·全国·课后作业）一次函数(n为正整数)的图象与x轴、y轴的交点是A、B，O是原点，设的面积为. (1)求； (2)求. 6．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）数学精英小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线上的任意三点，，（），满足，经小组查阅资料，再经请教老师验证，以上结论是成立的，即直线上任意两点的坐标，，（），都有．例如：，为直线上两点，则． (1)已知直线经过，两点，请直接写出______． (2)如图，直线于点，直线，分别交轴于，两点，，，三点坐标如图所示．请用上述方法求出的值． 【变式训练12 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 1．（22-23八年级下·河南商丘·期末）已知直线经过点，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·山东泰安·期末）已知一次函数（a，b是常数且），x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 6 4 2 0 那么方程的解是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·广东佛山·阶段练习）若函数与x轴交于点，则方程的解是 ． 4．（22-23八年级下·西藏那曲·期末）如图，函数的图象过点，则关于的方程的解 ．    【答案】 5．（2023九年级·全国·专题练习）画出函数的图象，根据图象回答下列问题：求方程的解 6．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，已知直线的图象经过点，，，且与x轴交于点C． (1)求一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出方程的解为 ； (3)求的面积． 【变式训练13 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 1．（22-23八年级下·陕西安康·期末）若关于x的方程4x-b=0的解是x=-2，则直线y=4x-b一定经过点（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）已知方程的解是，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·四川内江·期中）将直线沿y轴向上平移4个单位后，与x轴的交点坐标是 ． 4．（2024·上海普陀·二模）已知直线与直线相交于点A，那么点A的横坐标是 ． 5．（2013·云南普洱·一模）求出函数y＝﹣1与坐标轴围成的三角形的面积． 6．（22-23八年级下·湖南长沙·期中）已知一次函数 y kx b 的图象经过点 A1,1和点 B1,3， 求：（1）求一次函数的表达式；（2）求直线 AB 与直线 y 2x 8 的交点坐标. 【变式训练14 利用图象法解一元一次方程】 1．（22-23八年级下·全国·课后作业）将方程全部的解写成坐标的形式，那么这些坐标描出的点都在直线（    ）上． A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·广西桂林·期末）一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解是（ ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·福建·期中）若关于x的方程解为，则直线图象一定经过点（2， ）． 4．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的方程的解是 ． 5．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）根据一次函数的图象，写出下列问题的答案： (1)关于x的方程的解是 ； (2)关于x的方程的解是 ； (3)当时，y的取值范围是 ． 6．（22-23八年级下·湖北咸宁·期末）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，过程如下，请补充完整. （1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： … 0 1 2 3 4 5 … … 4 2 1 0 1 2 3 4 … 其中，__________. （2）根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分. （3）观察图象，写出该函数的两条性质： ①____________________________________________________________ ②____________________________________________________________ （4）进一步探究函数图象发现： ①方程的解是__________. ②方程的解是__________. ③关于的方程有两个不相等实数根，则的取值范围是__________. 1．（22-23八年级·全国·假期作业）已知正比例函数，下列结论正确的是（　　　） A．图象是一条射线 B．图象必经过点（-1，2） C．图象经过第一、三象限 D．随的增大而减小 2．（22-23八年级上·山东青岛·期末）已知一次函数的图象与y轴负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·浙江·期末）已知一次函数与（，为常数，且），则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为（　　） A． B． C． D． 4．（22-23八年级下·重庆·期中）已知是方程的解，则一次函数与轴的交点坐标为(     ) A．（0，2） B．（2，0） C．（-2，0） D．（0，-2） 5．（2023·云南·一模）在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点重合），再以为腰作等腰直角三角形；以为腰作等腰直角三角形…；按照这样的规律进行下去，那么的坐标为（） A． B． C． D． 6．（22-23八年级下·全国·假期作业）点 正比例函数的图像上．（填“在”或“不在”） 7．（22-23八年级下·福建福州·期中）如图，一次函数与x轴，y轴分别交于A，B两点，则 ．    8．（22-23八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过两点，若，则 ．（填“>”“<”或“=”） 9．（22-23八年级·江苏徐州·期末）如图，已知直线y=3x+b与y=ax﹣2的交点的横坐标为﹣2，则关于x的方程3x+b=ax﹣2的解为x= ． 10．（22-23九年级下·江苏·阶段练习）如图，已知直线l：y＝x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A5的坐标为 ． 11．（22-23八年级·上海·假期作业）已知函数，自变量的取值范围是，求的取值范围． 12．（22-23八年级下·广西贵港·期末）已知一次函数． （1）若这个函数的图像经过原点，求a的值． （2）若这个函数的图像经过一、三、四象限，求a的取值范围． 13．（22-23八年级下·陕西渭南·期末）已知一次函数y＝(m﹣3)x+m﹣8，y随x的增大而增大． （1）求m的取值范围； （2）如果这个一次函数又是正比例函数，求m的值． 14．（2023·云南普洱·一模）求出函数y＝﹣1与坐标轴围成的三角形的面积． 15．（22-23八年级上·贵州贵阳·期末）在学习了一次函数后，某校数学兴趣小组根据学习的经验，对函数y=-｜x｜-2的图像和性质进行了探究，下面是该兴趣小组的探究过程，请补充完整: (1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如表: x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y ... -5 -4 -3 n -3 -4 -5 ... ①n= ； ②如图，在所给的平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图像； (2)当一2＜x≤5时，y的取值范围是 ； (3)根据所画的图像，请写出一条关于该函数图像的性质. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 一次函数的图象与性质（6大知识点+14大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 正比例函数的图象 题型二 正比例函数的性质 题型三 判断一次函数的图象 题型四 根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型五 已知函数经过的象限求参数范围 题型六 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型七 画一次函数图象 题型八 判断一次函数的增减性 题型九 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 题型十 比较一次函数值的大小 题型十一 一次函数的规律探究问题 题型十二 已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型十三 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型十四 利用图象法解一元一次方程 知识点01 一次函数的概念 一次函数：如果，那么y叫做x的一次函数． 正比例函数：当时，一次函数变成称，y叫做x的正比例函数． 知识点02 一次函数的图象 一次函数的图象：一次函数的图象是一条恒经过点和的直线. 正比例函数的图象：正比例函数的图象是一条恒经过原点和直线. 知识点03 一次函数的性质 （1）正比例函数的图象与性质 y=kx 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0 一、三源：学*科*网X 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＜0 二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 （2）一次函数的图象与性质 y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 一、二、三 从左向右上升[来源：学科网ZXXK] y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 一、三、四 k＜0，b＞0 一、二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 知识点04 一次函数的图象与k、b之间的联系 ①b决定直线与y轴的交点位置 时，直线交y轴于正半轴； 时，直线交y轴于负半轴； 时，直线经过原点. ②直线上坡，y随x的增大而增大；直线下坡，y随x的增大而减小. ③越大，直线越陡. 知识点05 确定一次函数表达式 （1）待定系数法 步骤：设：设函数表达式为； 代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组； 解：求出k与b的值，得到函数表达式． （2）常见类型 ①已知两点确定表达式； ②已知两对函数对应值确定表达式； ③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b，再把点（0,1）的坐标代入即可. 知识点06 一次函数与方程 （1）一元一次方程的根就是一次函数（k、b是常数，）的图象与x轴交点的横坐标. 【典型例题一 正比例函数的图象】 1．（2023九年级·陕西宝鸡·学业考试）已知一个正比例函数的图象经过和两点，则间的关系一定是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正比例函数关系式为，再把和代入可得，，然后利用换元法换掉k，可得． 【详解】解：设正比例函数关系式为， ∵正比例函数的图象经过和两点， ∴，， 由得：， 将代入得：， 整理得：， 故选A． 【点睛】此题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点，必能满足其函数解析式． 2．（22-23八年级下·全国·单元测试）直线必过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将各点坐标代入，满足等号成立的既是直线上的点． 【详解】A、当x=2时，y=2×2=4≠1，不在该直线上； B、当x=2时，y=2×2=4≠2，不在该直线上； C、当x=-1时，y=2×(-1)=-2≠-1，不在该直线上； D、当x=0时，y=0，在该直线上； 故选：D． 【点睛】本题主要考查正比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握正比例函数图象必过原点的性质． 3．（22-23八年级上·江苏南京·期末）若点（2，2）在正比例函数y＝kx的图像上，则k的值是 ． 【答案】1 【分析】把点（2，2）代入正比例函数解析式进行求解即可． 【详解】解：把点（2，2）代入正比例函数y＝kx得： ，解得：； 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查正比例函数的性质与图象，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键． 4．（22-23八年级下·全国·课前预习）正比例函数y＝kx （k是常数，k≠0）的图象是一条经过 的直线，我们称它为直线y＝kx． 【答案】原点 【解析】略 5．（22-23八年级下·福建厦门·期中）已知正比例函数y＝kx的图象经过点A（2，k+2），求这个函数解析式并画出这个函数的图象． 【答案】这个正比例函数的解析式为y＝2x，图象见解析 【分析】把（2，k +2）代入正比例函数y＝kx可得k的值，进而可得函数解析式，再根据解析式求出函数图象上的点的坐标即可画出函数图象． 【详解】解：将点A（2，k+2）代入正比例函数y＝kx，得： k+2＝2k， 解得：k＝2， ∴这个正比例函数的解析式为y＝2x， 图象如图所示： 【点睛】本题考查了正比例函数的图象和一次函数图象上点的坐标特征，熟悉待定系数法和正比例函数的性质是解题的关键，也考查了画正比例函数的图象． 6．（22-23八年级下·全国·课后作业）已知蜡烛燃烧时长度的变化与时间成正比例关系，一根长为的蜡烛点燃6分钟后，蜡烛变短了，设蜡烛点燃x分钟后变短了． （1）求函数y关于自变量x的解析式，并写出自变量的取值范围； （2）画出此函数的图象． 【答案】（1）：（2）图见解析 【分析】（1）设，然后根据一根长为的蜡烛点燃6分钟后，蜡烛变短了即点（6，3.6）在函数图像上进行求解即可； （2）先列表，然后描点，画出函数图像即可． 【详解】解：（1）设，把点（6，3.6）代入得：， 解得， ∴函数y关于自变量x的解析式为：，自变量的取值范围为：； （2）列表如下： x 0 35 0 21 函数图像如下所示： 【点睛】本题主要考查了求正比例函数解析式，画函数图像，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 【典型例题二 正比例函数的性质】 1．（22-23八年级上·广西崇左·阶段练习）下列各点在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出当时的函数值即可得到答案． 【详解】解：当时，，即点不在函数图象上，C选项正确； 当时，，即点在函数图象上，A选项正确； 当时，，即点不在函数图象上，B选项不正确； 当时，，即点不在函数图象上，D选项不正确； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求正比例函数的函数值，熟知正比例函数图象上的点的坐标一定满足其解析式是解题的关键． 2．（22-23八年级上·辽宁阜新·期末），是正比例函数图象上的两个点，下列判断中，正确的是（    ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】根据正比例函数的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，， 故A，B，D选项错误，不符合题意；C正确，符合题意． 故选：C 【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质，熟练掌握对于正比例函数，当时， 随 的增大而增大，当时， 随 的增大而减小是解题的关键． 3．（22-23八年级上·上海宝山·期末）正比例函数的图像经过第 象限． 【答案】二、四 【分析】直接根据正比例函数的性质进行解答即可． 【详解】∵正比例函数中， ， ∴此函数的图象经过第二、四象限， 故答案为：二、四． 【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数中，当时，函数图象经过二、四象限是解答此题的关键． 4．（22-23八年级下·全国·假期作业）已知正比例函数，y的值随着x的增大而增大，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据正比例函数的性质，即可求解． 【详解】解：∵正比例函数，y的值随着x的增大而增大， ∴， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质，熟练掌握对于正比例函数，当时， 随 的增大而增大，当时， 随 的增大而减小是解题的关键． 5．（22-23八年级上·陕西汉中·期末）已知y与x成正比例，且当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正比例函数的定义，设，待定系数法求解析式即可求解； （2）将将代入中，即可求解． 【详解】（1）解：∵y与x成正比例， ∴设， 将代入中， 得， ∴y关于x的函数表达式为． （2）将代入中，得：， 解得． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义是解题的关键． 6．（22-23八年级上·安徽安庆·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数解析式． (2)已知点在该函数的图像上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据题意可得：，再将代入求解即可； （2）将点代入解析式，联立，求解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 将代入得，，解得 即，化简得： 即 （2）将点代入得， 则，解得 即 【点睛】此题考查了一次函数，掌握正比例函数的定义是解题的关键，形如的函数为正比例函数． 【典型例题三 判断一次函数的图象】 1．（22-23八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知一次函数y＝kx－k，当k＜0时图像过第几象限？（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】B 【分析】根据一次函数比例系数k的符号，判断−k的符号后即可确定答案． 【详解】解：∵一次函数y＝kx−k（k＜0）， ∴−k＞0， ∴一次函数经过一、二、四象限， 故选：B． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y＝kx＋b（k≠0）中，①k＞0，b＞0⇔y＝kx＋b的图象在一、二、三象限；②k＞0，b＜0⇔y＝kx＋b的图象在一、三、四象限；③k＜0，b＞0⇔y＝kx＋b的图象在一、二、四象限；④k＜0，b＜0⇔y＝kx＋b的图象在二、三、四象限． 2．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期中）当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据k，b的取值范围确定图象在坐标平面内的位置． 【详解】解：∵函数y＝kx+b的k＜0，b＞0， ∴该函数图象经过一、二、四象限， 故选：B． 【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交． 3．（22-23八年级·全国·假期作业）若函数y＝2x＋b经过点(1，3)，则b＝ ． 【答案】1 【详解】由于函数y=2x+b经过点（1，3），故可将点的坐标代入函数解析式，求出b的值． 解：将点（1，3）代入y=2x+b得 3=2+b， 解得b=1． 故答案为1． 4．（22-23八年级下·上海宝山·期末）如果点A(1，n)在一次函数y＝3x﹣2的图象上，那么n＝ ． 【答案】1 【分析】把点A的坐标代入一次函数y＝3x﹣2解析式中，即可求出n的值. 【详解】∵点A(1，n)在一次函数y＝3x﹣2的图象上， ∴n＝3×1﹣2＝1． 故答案为1． 【点睛】本题考查了点在一次函数图象上的条件，即点的坐标满足一次函数解析式，正确计算是解题的关键. 5．（22-23七年级下·四川达州·期末）达川区花椒产业扶贫初见成效，农户张三今年花椒产业喜获丰收，一天他带了若干花椒进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用.按市场售出一些后，又降价出售.售出花椒斤数x与他手中持有的钱数y（含备用零钱）的关系如图所示，结合图像回答下列问题：    （1）张三自带的零钱是多少？ （2）降价前他每斤花椒出售的价格是多少？ （3）降价后他按每斤25元将剩余的花椒售完，这时他手中的钱（含备用的钱）是1150元，问他一共带了多少斤花椒？ 【答案】（1）50元；（2）30元；（3）38斤 【分析】(1) 图象与y轴的交点就是农民自带的零钱; (2) 0到30时线段的斜率就是花椒的售价; (3)计算出降价后卖出的花椒质量+未降价卖出的质量=总的花椒质量: 【详解】（1）    由图像可知：张三自带的零钱是50元   答：张三自带的零钱为50元; （2）（950-50）÷30=30（元）   答:降价前他每斤花椒出售的价格是30元; （3）（1150-950）÷25=8（斤）        30+8=38（斤）     答:他一共批发了38斤花椒    【点睛】此题考查的是用一次函数解决实际问题，结合图象，读懂题意解决问题. 6．（2023·浙江嘉兴·一模）如图，一次函数y=kx+b的图象经过点A（6，0），点B（2，2），且与y轴相交于点C．请根据以上信息（不再添加其他条件），提出一个问题并尝试解答．你提出的问题是 ；并请写出你的解答过程． 【答案】点C的坐标是什么．解答详见解析． 【详解】试题分析：根据一次函数的图象可以提出多个问题，从中选择一个进行分析并解答即可． 试题解析：解：提出的问题是：点C的坐标是什么； 把A（6，0），点B（2，2）代入一次函数y=kx+b解析式，可得：， 解得：， 所以一次函数的解析式为：y=﹣0．5x+3； 把x=0代入解析式y=﹣0．5x+3，可得：y=3， 所以点C的坐标为（0，3）； 故答案为点C的坐标是什么． 考点：一次函数图象上点的坐标特征． 【典型例题四 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 1．（22-23八年级下·吉林四平·期末）一次函数的图象不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据系数判断一次函数经过的象限，即可得出答案． 【详解】一次函数中，，， 可知该函数图像经过一，二，三象限， 所以一次函数不经过第四象限． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像的性质，掌握系数k，b与一次函数图像的位置是解题的关键． 2．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象可能是（　　）    A．直线l1 B．直线l2 C．直线l3 D．直线l4 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质即可判断． 【详解】解：一次函数中， ∴一次函数过第一、二、三象限， ∴一次函数的图象可能是直线l3， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的图象．掌握各系数与图象的关系是解题关键． 3．（2023·天津滨海新·二模）直线经过第 象限． 【答案】一、二、四． 【分析】由可知直线与轴交于，且随的增大而减小，可判断直线所经过的象限． 【详解】直线与轴交于， 且，随的增大而减小， ∴直线的图象经过一、二、四象限， 故答案为：一、二、四． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，关键是根据图象与轴的交点位置，函数的增减性判断图象经过的象限． 4．（22-23八年级下·青海西宁·期末）若点在函数的图象上，则的值是 ． 【答案】3 【分析】根据点在函数的图象上，将点的坐标代入解析式即可求解． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴，即． 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合函数的解析式是解题的关键． 5．（22-23八年级下·广东揭阳·阶段练习）已知：，试判断直线一定经过哪些象限，并说明理由. 【答案】第二、三象限. 【详解】分析：由于a+b+c的符号不能确定，故进行分类讨论，当a+b+c≠0时，可利用等比性质求出k的值，当a+b+c=0时，可将a+b转化为-c，然后求出k，得到其解析式，进而判断出直线y=kx+k一定经过哪些象限． 详解：直线y=kx+k一定经过第二、三象限，理由如下： 当a+b+c≠0时， ∵， ∴k=， 此时，y=kx+k=2x+2，经过第一、二、三象限； 当a+b+c=0时，b+c=-a，此时，k=， 此时，y=kx+x=-x-1经过第二、三、四象限． 综上所述，y=kx+k一定经过第二、三象限． 点睛：本题考查了一次函数的性质，根据已知条件求出k的值是解题的关键，要熟悉等比性质，并能进行分类讨论． 6．（22-23八年级下·江苏南通·期中）在一次函数y=（2a－4）x－（1－a）中，当a为何值时： （1）y随x的增大而增大 （2）图象与y轴交点在x轴上方 （3）图象经过第二象限 【答案】（1）、a>2；（2）a＞1且a；（3）、a 【详解】试题分析：（1）、对于一次函数y=kx+b，当k0时，y随着x的增大而增大；（2）、对于一次函数y=kx+b，当b＞0时，图象与y轴交点在x轴上方；（3）、对于一次函数y=kx+b，当k＞0且b＞0时或k＜0时，图象经过第二象限. 试题解析：（1）、根据题意得：2a-4＞0   解得：a＞2 （2）、根据题意得：-（1-a）＞0 且2a-4≠0    解得：a＞1且a （3）、根据题意可得：或者2a-4＜0，解得：a＞2或a＜2，则a 考点：一次函数的性质 【典型例题五 已知函数经过的象限求参数范围】 1．（22-23八年级下·广东汕头·期末）若一次函数的图象经过第二、三、四象限,则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的图象经过第二、三、四象限,可知一次函数图象与y轴交于负半轴,即可求解． 【详解】∵一次函数的图象经过第二、三、四象限, ∴一次函数图象与y轴交于负半轴, ∵当 时, , ∴一次函数图象与y轴交点为 , ∴, 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数图象的性质，注意用数形结合的思想解答． 2．（22-23八年级下·广东广州·期末）一次函数与在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的图象特点逐项判断即可得． 【详解】A、由一次函数的图象可知，，则；由函数的图象可知，，两者不一致，则此项不符题意； B、由一次函数的图象可知，，则；由函数的图象可知，，两者不一致，则此项不符题意； C、由一次函数的图象可知，，则；由函数的图象可知，，两者一致，则此项符合题意； D、由一次函数的图象可知，，则；由函数的图象可知，，两者不一致，则此项不符题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键． 3．（22-23八年级下·上海崇明·期中）一次函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一次函数的图象与性质即可得． 【详解】当时， 即此函数在y轴上的截距为 要使一次函数的图象不经过第一象限，则此函数在y轴上的截距小于等于0 即 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 4．（22-23八年级上·甘肃酒泉·期中）已知直线不经过第三象限，则其函数关系式可以为 ．（写出一个即可）． 【答案】y=-x+1（答案不唯一） 【分析】设直线的解析式为y=kx+b（k≠0），再根据直线不经过第三象限判断出k、b的符号，写出符合条件的一次函数关系式即可． 【详解】解：设直线的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∵直线不经过第三象限， ∴k＜0，b0， ∴符合条件的直线解析式可以为：y=-x+1（答案不唯一）． 故答案为：y=-x+1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，此题属开放性题目，答案不唯一． 5．（22-23八年级·全国·课后作业）已知一次函数的图象不经过第二象限，求m，n的取值范围． 【答案】，． 【分析】一次函数的图象不经过第二象限，表示一次函数的图象经过第一、三、四象限或第一、三象限，再根据图象的位置判断m、n的正负，即可求得结果. 【详解】解：由题意可得，一次函数的图象经过第一、三、四象限或第一、三象限， 当一次函数的图象经过第一、三、四象限时，有m＞0，n＜0； 当一次函数的图象经过第一、三象限时，有m＞0，n=0； 所以，． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和k、b的关系，正确理解题意并合理进行分类是解题的关键. 6．（22-23八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知一次函数y＝(6＋3m)x＋(n－4)． (1)当m，n为何值时，函数图象经过一二四象限？ (2)当m，n为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方？ 【答案】（1）m＜-2，n＞4; （2）n＜4，且m≠-2. 【分析】（1）当6+3m＜0，n-4＞0时，图象经过第一、二、四象限； （2）当n-4＜0且6+3m≠0时，函数的图象与y轴的交点在x轴下方； 【详解】解：（1）当6+3m＜0，n-4＞0时，图象经过第一、二、四象限 解得：m＜-2，n＞4; （2）当n-4＜0，且6+3m≠0时，函数的图象与y轴的交点在x轴下方, 解得：n＜4，且m≠-2. 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图象和性质，关键是根据一次函数的性质解答． 【典型例题六 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 1．（22-23八年级上·广东佛山·期末）一次函数的图象与y轴交点是（　　） A．（﹣1，0） B．（2，0） C．（0，1） D．（0，﹣1） 【答案】D 【分析】把代入，可得，即可求解． 【详解】解：当时，， ∴一次函数的图象与y轴交点是（0，﹣1）． 故选：D 【点睛】本题主要考查了一次函数的与坐标轴的交点问题，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 2．（22-23八年级上·山东枣庄·期中）若直线与直线都经过轴同一点，则的值为（   ） A．7 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据y=−7x+3求得与y轴交点坐标，可得出答案． 【详解】解：在y=−7x+3中，令x=0，得y=3； ∵直线y=2x+b与直线y=−7x+3交于y轴同一点，即(0，3)． 把(0，3)代入y=2x+b得：b=3． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了两条直线相交问题，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上点，就一定满足函数解析式． 3．（22-23八年级上·江苏常州·期末）直线y=2x-4与两坐标轴围成的三角形面积为 ． 【答案】 【分析】画出一次函数的图象，再求解一次函数与坐标轴的交点的坐标，再利用三角形的面积公式进行计算即可. 【详解】解：如图，令 则 令 则 解得 故答案为：4 【点睛】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，利用数形结合的方法解题是解本题的关键. 4．（22-23八年级上·广东深圳·期中）直线y＝x－2与y轴交点坐标是 ． 【答案】(0，－2) 【分析】当x=0时，求y的值，从而确定直线与y轴的交点． 【详解】解：∵当x＝0时，y＝－2， ∴直线y＝x－2与y轴交点坐标是（0．－2）． 故答案为：（0，－2）． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点坐标，利用数形结合思想解题是关键． 5．（22-23八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．    (1)请在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)直线与坐标轴围成图形的面积是_____________． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，再描点、连线，画出函数图象； （2）由点A，B的坐标可得出的长，再利用三角形的面积计算公式，即可求出直线与坐标轴围成图形的面积． 【详解】（1）当时，， 所以点的坐标为． 当时，，解得， 所以点的坐标为． 描点、连线，画出函数图象如图所示．    （2）点的坐标为，点的坐标为 即直线与坐标轴围成图形的面积为1． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及三角形的面积，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 6．（22-23八年级下·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，对于非零的实数，将点变换为称为一次“-变换”．例如，对点作一次“3-变换”，得到点．已知直线与轴交于点，与轴交于点．若对直线上的各点分别作同样的“-变换”，点，变换后的对应点分别为，． (1)当时，点的坐标为 ； (2)若点的坐标为，则的值为 ； (3)以下三个结论：①线段与线段始终相等；②与始终相等；③与的面积始终相等．其中正确的是 （填写序号即可），并对正确的结论加以证明． 【答案】(1) (2) (3)③，见解析 【分析】（1）先求出点A的坐标，再按照“横坐标乘以a，纵坐标除以a”的变化方法代入得到点坐标； （2）先求出点B的坐标，又知点B变换后的对应点的坐标为，依据变化法则，列方程求解a； （3）利用三角形的面积公式分别求得其面积，即可判定 【详解】（1）直线与轴交于点， 令，即，解得， ， 当时，点的坐标为，即； 故答案为 （2）直线与轴交于点， 令时，, , 若点的坐标为，即， ，解得， 经检验是分式方程的解，则的值为； 故答案为 （3）③正确，理由如下： 证明：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴，. ∵点，变抰后的对应点分别为，， ∴，. ∵，， ∴，即③正确. 故答案为③ 【点睛】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征，三角形的面积公式，理解题意，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点是解题的关键． 【典型例题七 画一次函数图象】 1．（2023·贵州贵阳·一模）在同一平面直角坐标系中，两个一次函数与的图象相交，则其交点一定在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】两个函数的图象各经过一个定点，再根据画出大致图象，由此即可得． 【详解】解：一次函数经过定点，一次函数经过定点， 结合画出两个函数的大致图象如下：    则它们的交点一定在第一象限， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，正确画出两个函数的大致图象是解题关键． 2．（22-23八年级下·山东临沂·期末）用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（　　） x 2 1 1 2 y 12 10 8 4 A．（2，4） B．（1，8） C．（1，10） D．（2，12） 【答案】B 【分析】在坐标系描点，即可得到在同一直线上的三点，从而得到结论． 【详解】解：根据表格数据描点，如图， 则点（−2，12），（−1，10），（2，4）在同一直线上， 点（1，8）没在这条直线上， 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数图象，数形结合是解题的关键． 3．（22-23八年级下·河北邢台·阶段练习）在平面直角坐标系中，画一次函数y＝－3x＋3的图像时，通常过点 和 画一条直线． 【答案】 （0，3） （1，0） 【分析】根据题意，画一次函数的图像，通常找到直线与坐标轴的交点坐标进行画图，分别求出与坐标轴的交点坐标，即可得到答案. 【详解】解：根据题意， ∵画一次函数y＝－3x＋3的图像， 令，则， 令，则， ∴与坐标轴的交点坐标为（0，3），（1，0）； 故答案为：（0，3），（1，0）； 【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，解题的关键是正确求出直线与坐标轴的交点坐标，从而进行画图. 4．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数y＝|3x－1|＋2的图象记为l1，y＝x－7的图象记为l2，把l1、l2组成的图形记为图形M．若直线y＝kx－5与图形M有且只有一个公共点，则k应满足的条件是 【答案】－3≤k≤3且k≠1． 【分析】根据图像即可求得k的取值范围． 【详解】根据题意当x≥时，y＝3x－1＋2＝3x+1；当x＜时，y＝1-3x＋2＝3-3x， 由此画出图形M， 直线y＝kx－5过定点（0，-5），交点在l2上， 如图可得：－3≤k≤3且k≠1， 故答案为：－3≤k≤3且k≠1． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，画出图像是本题关键． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并求出它们与坐标轴交点的坐标：，． 【答案】图见解析，，， 【分析】利用画直线的方法画出两个函数的图象．再求出它们与坐标轴交点的坐标即可． 【详解】解  对函数， 取，得，得到点； 取，得，得到点． 过点，画直线，就得到函数的图象，如图．从图象可以看出，它与坐标轴的交点是原点． 同理，对函数， 取，得，得到点； 取，得，得到点． 过点，画直线，就得到函数的图象， 令，得，它与x轴的交点是，由图象得与y轴的交点是． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，解题的关键是画出函数的图象．解决该题型题目时，分别令找出函数与坐标轴的交点坐标． 6．（22-23八年级上·陕西榆林·期中）已知一次函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出此函数图象； (2)平移一次函数的图象后经过点，求平移后的函数表达式． 【答案】(1)图象见解析 (2) 【分析】（1）当时，；当时，，找出两点，连接这两点即可； （2）设平移后的函数表达式为，将点代入来求解． 【详解】（1）解：当时，；当时，，图象如图所示： （2）解：设平移后的函数表达式为，将点代入， 解得：， 所以平移后的函数的表达式为． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象画法，平移的性质，理解一次函数的画法和一次函数平移的性质是解答关键． 【典型例题八 判断一次函数的增减性】 1．（2024·江苏无锡·二模）下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，灵活运用一次函数的增减性是解题的关键．根据，，则y随x的增大而减小，，则y随x的增大而增大，然后进行判断即可． 【详解】解：Ａ、，，故y随x的增大而减小，符合题意； B、，，故y随x的增大而增大，不符合题意； C、，，故y随x的增大而增大，不符合题意； D、，，故y随x的增大而增大，不符合题意； 故选：A． 2．（23-24八年级上·安徽六安·期末）下列函数中，随的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图像与性质，熟记一次函数图像与性质是解决问题的关键． 根据一次函数，当时，随的增大而减小，找出各选项的k值小于0的即可． 【详解】A、是一次函数，，随的增大而增大，故选项不符合题意； B、是一次函数，，随的增大而增大，故选项不符合题意； C、是一次函数，，随的增大而减小，故选项符合题意； D、是一次函数，，随的增大而增大，故选项不符合题意； 故选：C 3．（22-23八年级上·山东青岛·期中）若点都在一次函数的图象上，则 ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】根据解析式中，可得y随x的增大而减小，即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴y随x的增大而减小， ∵，点都在一次函数的图象上， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是牢记当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 4．（22-23九年级上·北京·开学考试）已知是一次函数图像上的两点 （填“<”或“>”或“>”）． 【答案】 【分析】根据，可得随的增大而减小，即可求解． 【详解】解：∵是一次函数图像上的两点，， 随的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比较一次函数的函数值的大小，掌握一次函数的性质是解题的关键． 5．（22-23八年级上·山西运城·期末）有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小明根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）如图是x与y的几组对应值． x … 0 1 2 3 … y … 4 3 2 m 0 1 2 3 4 … m的值为________； （2）在如图的坐标系中，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （3）小明根据画出的函数图象，得出了如下几条结论： ①函数有最小值为0； ②当时，y随x的增大而增大； ③图象关于过点且垂直于x轴的直线对称． 小明得出的结论中正确的是___________．（只填序号） 【答案】（1）1；（2）见解析；（3）①②③ 【分析】（1）根据函数解析式可以得到m的值； （2）根据表格中的数据可以画出相应的函数图象； （3）根据函数图象可以判断该函数的性质． 【详解】解： （1）当x=-2时，m=|-2+1|=1， 故答案为1； （2）画出函数的图象如图： （3）由函数图象可知，①函数有最小值为0，正确； ②当x＞-1时，y随x的增大而增大，正确； ③图象关于过点（-1，0）且垂直于x轴的直线对称，正确；． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答． 6．（22-23八年级上·重庆沙坪坝·期末）学习一次函数时，我们通过列表、描点、连线画出一次函数图象，并结合函数图象研究函数性质．小双结合学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究，下面是小双的探讨过程，请补充完整： （1）化简：当时，_____：当时，_______ 列表： x … 0 1 2 3 … y … m 1 2 3 2 n … 其中，_______；__________； （2）描点、连线； ①在图中画出该函数图象； ②结合图象，写出该函数的一条性质：____________； （3）过点作直线轴，结合所画的函数图像，当a的取值范围在________时，直线与函数图像有两个交点． 【答案】（1），，0，1；（2）①见解析；②当时，随值的增大而减少（答案不唯一）；（3） 【分析】（1）根据绝对值的性质化简即可，把和分别代入即可求解； （2）①在平面直角坐标系中描点、连线即可； ②结合图象，即可写出该函数的一条性质； （3）观察图象，利用数形结合即可得出结论． 【详解】（1）当时， ， 当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：，，0，1； （2）①函数的图象如图所示： ②根据图象，该函数的一条性质：当时，随值的增大而减少（答案不唯一）； （3）当时，直线与函数图像只有一个交点， ∴当时，直线与函数图像有两个交点． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质以及一次函数的图象，正确的识别图象，利用数形结合是解题的关键． 【典型例题九 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】 1．（22-23八年级下·上海·期中）一次函数，当时，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数图像的性质，当时，，而，随的增大而减小，据此判断即可． 【详解】一次函数中，，随的增大而减小， 当时，， 当时，． 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数解析式判断函数的增减性是解题的关键． 2．（22-23八年级下·四川南充·期末）对于一次函数y＝﹣2x＋3，下列说法不正确的是（    ） A．图象经过点（﹣1，5） B．图象与x轴交于点（1.5，0） C．图象不经过第三象限 D．当x＞2时，y＞﹣1 【答案】D 【分析】根据题干中的函数关系式和一次函数的性质可以判断各个选项是否成立． 【详解】解：∵一次函数y＝﹣2x＋3， ∴当x＝﹣1时，y＝5， ∴图象经过点（﹣1，5）， 故选项A不合题意； 令y＝0，得﹣2x＋3＝0， 解得x＝1.5， ∴图象与x轴交于点（1.5，0）， 故选项B不合题意； ∵k＝﹣2＜0，b＝3＞0， ∴直线经过第一、二、四象限， 故选项C不合题意； 当x＞2时，y＝﹣2x＋3＜﹣1， 故选项D不正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】此题主要考查一次函数的图象与性质，解题的关键是熟知一次函数相关性质． 3．（2023·江苏苏州·中考真题）若，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据可得y＝﹣2x+1，k＝﹣2＜0进而得出，当y＝0时，x取得最大值，当y＝1时，x取得最小值，将y＝0和y＝1代入解析式，可得答案． 【详解】解：根据可得y＝﹣2x+1， ∴k＝﹣2＜0 ∵， ∴当y＝0时，x取得最大值，且最大值为， 当y＝1时，x取得最小值，且最小值为0， ∴ 故答案为：． 【点睛】此题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 4．（22-23八年级下·湖北黄石·期末）在一次函数中，当时，的最小值为 ． 【答案】-7 【分析】根据一次函数的性质得y随x的增大而减小，则当x=5时，y有最小值，然后计算x=-5时的函数值即可． 【详解】解：∵k=-2＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x=5时，y有最小值， 把x=5代入y=-2x+3得y=-10+3=-7． 故答案为：-7． 【点睛】本题考查了一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降；当b＞0时，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，直线与y轴交于负半轴． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）作出函数的图象并回答： （1）当x的值增加时，y的值如何变化？ （2）求当x取何值时，，，. 【答案】（1）当x的值增加时，y的值随之增加；（2）当时，；当时，；当时，. 【分析】求出与两坐标轴的交点坐标，再根据两点法作出一次函数图象； （1）由图可知，按从左到右的顺序，y随x的增大而增大； （2）根据函数图象在x轴下方的部分，y＜0，与x轴的交点y=0，在x轴上方的部分，y＞0，直接写出即可． 【详解】当x=0时，y=-3， 当y=0时，x-3=0， 解得x=6， ∴函数图象与两坐标轴的交点为（0，-3）（6，0）． 图象如图所示. （1）由图象，得当x的值增加时，y的值随之增加， （2）当时，； 当时，； 当时，. 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）已知一次函数. (1)满足何条件时，y随x的增大而减小； (2)满足何条件时，图像经过第一、二、四象限； (3)满足何条件时，它的图像与y轴的交点在x轴的上方. 【答案】（1）k>2；（2）2<k<3；（3）k<3且k≠2. 【分析】（1）根据一次函数的性质，如果y随x的增大而减小，则一次项的系数小于0，由此得出2-k＜0，即可求出k的值； （2）根据一次函数的性质知，当该函数的图象经过第一、二、四象限时，2-k＜0，且-2k+6＞0，即可求出k的范围； （3）先求出一次函数y=（2-k）x-2k+6与y轴的交点坐标，再根据图象与y轴的交点在x轴的上方，得出交点的纵坐标大于0，即可求出k的范围． 【详解】(1)∵一次函数y=(2−k)x−2k+6的图象y随x的增大而减小， ∴2−k<0， 解得k>2； (2)∵该函数的图象经过第一、二、四象限， ∴2−k<0，且−2k+6>0， 解得2<k<3； (3)∵y=(2−k)x−2k+6， ∴当x=0时，y=−2k+6， 由题意，得−2k+6>0且2−k≠0， ∴k<3且k≠2. 【点睛】此题考查一次函数的性质，解题关键在于掌握其性质定义，结合函数图象进行解答. 【典型例题十 比较一次函数值的大小】 1．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）在直角坐标系中，已知点，点是直线上的两点，则m，n的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．根据可知函数值y随着x增大而减小，再根即可比较m和n的大小． 【详解】解：点，点是直线上的两点，且， 函数值y随着x增大而减小， ， ． 故选：B． 2．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）点都在直线上，则与大小关系是（    ） A． B． C． D．无法比较大小 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，熟练地掌握一次函数的图像及其性质是解题的关键．根据一次函数的增减性进行比较即可． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故选：A． 3．（23-24八年级上·江苏南京·期末）一次函数（）的图像过点，，则 （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．根据一次函数的增减性进行解答即可． 【详解】解：∵一次函数中， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 4．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）已知是一次函数的图象上三点，则的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查的是利用一次函数的增减性比较函数值的大小，掌握“当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小”是解本题的关键，据此即可解决． 【详解】解：∵一次函数，其中， ∴随的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，有两点，另有一次函数的图象． （1）若，判断函数的图象与线段是否有交点？请说明理由． （2）当时，函数图象与线段有交点，求k的取值范围． （3）若，求证：函数图象一定经过线段的中点． 【答案】（1）没有；（2）；（3）证明见解析． 【分析】（1）求出当x=1和x=3时，对应的y的值，然后根据一次函数的增减性判断即可； （2）函数y=kx+12与线段AB有交点，极限情况是函数y=kx+12过A点或B点，把A、B两点的坐标代入求解即可； （3）先求出线段AB中点的坐标，再代入一次函数的解析式，验证即可． 【详解】（1）当x=1时，y=k+b=1+2=3＞2，当x=3时，y=3k+b=5． ∵y=x+2中y随x的增大而增大，∴当1＜x＜3时，3＜y＜5，∴函数y=x+2与线段AB没有交点； （2）∵函数y=kx+12与线段AB有交点，∴极限情况是函数y=kx+12过A点或B点． ∴当函数y=kx+12过A点时，2=k+12，解得：k=-10， 当函数y=kx+12过B点时，2=3k+12，解得：k=， ∴． （3）∵A（1，2），B（3，2），∴线段AB的中点坐标为（2，2）． 当b=-2k+2时，y=kx+b=kx-2k+2，x=2时，y=2k-2k+2=2，∴函数y=kx+b过（2，2）， ∴函数y=kx+b（k≠0）图象一定经过线段AB的中点． 【点睛】本题考查了一次函数的性质．掌握一次函数的性质是解答本题的关键． 6．（22-23八年级下·全国·期中）先完成下列问题，再在同一直角坐标系中画出以下函数的图象(不必再列表)． (1)正比例函数y＝2x过哪两个点； (2)一次函数y＝－x＋3过哪两个点； (3)利用图象，直接写出不等式2x<－x＋3的解集． 【答案】(1) (0 ，0)和(1，2)；(2) (0，3)和(3，0)；(3) x<1. 【分析】（1）将点的横坐标代入即可求出点的纵坐标, （2）将点的横坐标代入即可求出点的纵坐标, （3）2x<－x＋3表示的图像含义是正比例函数图像在一次函数图像下方,对应图像即可解题. 【详解】(1)正比例函数y＝2x过(0 ，0)和(1，2)； (2)一次函数y＝－x＋3过(0，3)和(3，0)； (3)由图象可知：不等式2x<－x＋3的解集是x<1. 【点睛】本题考查了一次函数求点的坐标和函数值大小的比较,属于简单题,熟悉函数图像是解题关键. 【典型例题十一 一次函数的规律探究问题】 1．（22-23八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，依次在x轴上排列的正方形都有一个顶点在直线上，从左到右分别记作，，，，已知顶点的坐标是，则的纵坐标为（    ） A． B． C． D．2022 【答案】B 【分析】求出P1、P2、P3、P4的坐标即可总结出规律即可解答． 【详解】解：∵P1坐标为（1，1），P2（2，2），P3（4，4），P4（8，8）， ， ∴点P2022的纵坐标为，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征，解答此题的关键是熟知一次函数图像上点的坐标特点，可用取特殊值的方法求定点坐标寻找规律解答． 2．（2023·陕西西安·模拟预测）已知一次函数，点A为其图象第一象限上一点，过点A作轴于点B，点B的横坐标为2018，若在线段AB上恰好有2018个整点包括端点，则b的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可以的关于b的不等式，然后根据题意即可求得b的取值范围． 【详解】解：由题意可得， 点A的横坐标为2018， 在线段AB上恰好有2018个整点包括端点， ， 解得，， 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想和不等式的性质解答． 3．（22-23八年级下·山东聊城·期末）正方形，，，按如图的方式放置，点，和点分别在直线和轴上，则点的坐标是 ． 【答案】（31，32） 【分析】A1的横坐标为0，把x＝0代入y＝x＋1得：y＝1，根据四边形A1B1C1O为正方形，得到A2和B1的横坐标为1，把x＝1代入y＝x＋1得：y＝2，即A3的横坐标为1＋2＝3，把x＝3代入y＝x＋1得：y＝4＝22，A4的横坐标为1＋2＋4＝7，纵坐标为7＋1＝8＝23，猜想归纳出点A6的横坐标，代入y＝x＋1求出纵坐标，即可得到答案． 【详解】A1的横坐标为0，把x＝0代入y＝x＋1得：y＝1， ∵四边形A1B1C1O为正方形， ∴A2和B1的横坐标为1，把x＝1代入y＝x＋1得：y＝2， 即A3的横坐标为1＋2＝3，把x＝3代入y＝x＋1得：y＝4＝22， 即A4的横坐标为1＋2＋4＝7，把x＝3代入y＝x＋1得：y＝8＝23， … 依此类推， A6的纵坐标为25，把y＝25代入y＝x＋1得：x＝25−1， 即点A6的坐标是（31，32）， 故答案为：（31，32）． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和规律型：点的坐标，正确掌握正方形的性质和猜想归纳的思想是解题的关键． 4．（22-23八年级上·安徽·期中）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示依次作正方形、正方形、…、正方形，使得点、、在直线上，点、、在轴正半轴上，则的面积是 ．    【答案】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征找出A1、A2、A3、A4的坐标，结合图形即可得知点Bn是线段CnAn+1的中点，由此即可得出点Bn的坐标，然后根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：观察，发现：A1（1，0），A2（2，1），A3（4，3），A4（8，7），A5（16，15），A6（32，31），…， ∴An（2n-1，2n-1-1）（n为正整数）． 观察图形可知：点Bn是线段CnAn+1的中点， ∴点Bn的坐标是（2n-1，2n-1），An（2n-1，2n-1-1）（n为正整数）， ∴△AnAn+1Bn的面积是（2n-1）2=22n-3， ∴△A2016A2017B2016的面积=22×2016-3=24029， 故答案为：24029． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标的变化，根据点的坐标的变化找出变化规律“An（2n-1，2n-1-1）（n为正整数）”是解题的关键． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）（1）在同一直角坐标系内画出函数，的图象，这两个图象有怎样的位置关系？ （2）函数，的图象又有怎样的位置关系？一般地，你有怎样的猜想？ 【答案】（1）图见解析，这两个图象关于轴对称；（2））这两个图象关于轴对称；一般地，函数和的图象关于轴对称． 【分析】画出函数图像，即可求解． 【详解】解：（1）如图画出函数图像如下，观察图象可知这两个图象关于轴对称； （2）如图画出函数图像如下，观察图象可知这两个图象关于轴对称；一般地，函数和的图象关于轴对称． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象，函数与系数之间的关系，熟知一次函数图象的画法是解答此题的关键． 6．（2023·广东深圳·中考模拟）如图，直线y＝x，点A1坐标为（1，0），过点作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3；…，按照此做法进行下去，求OAn的长 【答案】 【分析】根据题意先求出OA1，OA2，OA3，OA4，…即可发现规律求出OAn的长. 【详解】 如图 OA1=1， OA2= OA3= OA4= …… OAn= 【典型例题十二 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 1．（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）如图，已知直线，则方程的解等于（     ） A．0 B．2 C．4 D．1 【答案】A 【分析】观察图形可直接得出答案． 【详解】解：根据图形知，当y=-1时，x=0，即ax+b=-1时，x=0． ∴方程ax+b=-1的解x=0， 故选A． 【点睛】此题考查一次函数与一元一次方程的联系，渗透数形结合的解题思想方法． 2．（22-23八年级下·上海杨浦·期中）如图，一次函数的图像与轴的交点坐标为，则下列说法正确的有（    ）． A．随的增大而减小 B．， C．当时， D．关于的方程的解为 【答案】D 【分析】利用一次函数的图象结合一次函数的性质逐一判断即可. 【详解】解:∵图象过第一、二、三象限， ∴，，随的增大而增大，故A，B错误； 又∵图象与轴交于， ∴的解为，故D正确； 当时，图象在轴上方，，故C错误； 故选D． 【点睛】本题主要考查一次函数与一元一次方程,解题的关键是正确地从函数图象中获取信息. 3．（2023八年级下·全国·专题练习）方程的解是x＝ ，则函数在自变量x等于 时的函数值是8 【答案】 2 2 【分析】解一元一次方程求解，然后结合数形结合思想求自变量的值． 【详解】解：解方程得到：， 函数的函数值是8． 即， 即函数在自变量等于2时的函数值是8． 故答案为：2；2． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程与一次函数的关系．任何一元一次方程都可以转化为（，为常数，≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值． 4．（22-23八年级上·山东青岛·期末）如图，正比例函数y＝﹣2x与一次函数y＝ax＋b的图象交于点P（﹣1，m），那么二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】根据一次函数y=ax+b和正比例y=-2x的图象可知，点P就是一次函数y=ax+b和正比例y=-2x的交点，即二元一次方程组的解． 【详解】解：∵点P（﹣1，m）就是一次函数y=ax+b和正比例y=-2x的交点， ∴， ∴点P的坐标为（-1，2）， 根据题意可知，二元一次方程组即的解就是一次函数y=ax+b和正比例y=-2x的图象的交点P的坐标， ∴二元一次方程组的解为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解答此题的关键是熟知方程组的解与一次函数y=ax+b和正比例y=-2x的图象交点P之间的联系． 5．（2023九年级·全国·专题练习）画出函数的图象，根据图象回答下列问题：求方程的解 【答案】图像见详解；． 【分析】利用两点法画出函数的图象，然后令，即直线与x轴的交点的横坐标就是方程的解． 【详解】解：∵函数， 令，则；令，则， 的图像如图所示： 由图可知，方程的解是； 【点睛】本题考查了画一次函数的图像，由图像求一元一次方程的解，解题的关键是掌握一次函数的性质进行解题． 6．（22-23八年级下·广东广州·期末）已知直线y＝kx+b的图象经过点（2，4）和点（﹣2，﹣2）． （1）求b的值； （2）求关于x的方程kx+b＝0的解； （3）若（x1，y1）、（x2，y2）为直线上两点，且x1＜x2，试比较y1、y2的大小． 【答案】（1）1；（2）x＝﹣；（3）y1＜y2． 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式，从而得到b的值； （2）利用k、b的值得到次函数解析式为y＝x＋1，然后解方程x＋1＝0即可； （3）利用一次函数的性质解决问题． 【详解】解：（1）根据题意得，解得， 即b的值为1； （2）一次函数解析式为y＝x+1， 当y＝0时，x+1＝0，解得x＝﹣； （3）∵k＝＞0， ∴y随x的增大而增大， ∵x1＜x2， ∴y1＜y2． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax＋b确定它与x轴的交点的横坐标的值．也考查了一次函数的性质． 【典型例题十三 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 1．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）关于一次函数y=x﹣1，下列说法：①图象与y轴的交点坐标是（0，﹣1）；②y随x的增大而增大；③图象经过第一、二、三象限； ④直线y=x﹣1可以看作由直线y=x向右平移1个单位得到．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①将x=0代入一次函数解析式中求出y值，由此可得出结论①符合题意；②由k=1＞0结合一次函数的性质即可得出y随x的增大而增大，即结论②符合题意；③由k、b的正负结合一次函数图象与系数的关系即可得出该函数图象经过第一、三、四象限，即结论③不符合题意；④根据平移“左加右减”即可得出将直线y=x向右平移1个单位得到的直线解析式为y=x-1，即结论④符合题意．综上即可得出结论． 【详解】①当x=0时，y=-1， ∴图象与y轴的交点坐标是（0，-1），结论①符合题意； ②∵k=1＞0， ∴y随x的增大而增大，结论②符合题意； ③∵k=1＞0，b=-1＜0， ∴该函数图象经过第一、三、四象限，结论③不符合题意； ④将直线y=x向右平移1个单位得到的直线解析式为y=x-1， ∴结论④符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了一次函数的性质、一次函数图象与系数的关系以及一次函数图象与几何变换，逐一分析四条结论是否符合题意是解题的关键． 2．（22-23八年级上·陕西咸阳·期末）对于一次函数y=x+6，下列结论错误的是（） A．函数值随自变量增大而增大 B．函数图象与轴正方向成45°角 C．函数图象不经过第四象限 D．函数图象与轴交点坐标是（0，6） 【答案】D 【分析】根据一次函数性质逐项判断即可． 【详解】解：∵y=x+6中k=1＞0， ∴y随x的增大而增大，故A正确； 令x=0可得y=6，令y=0可求得x=-6， ∴直线与x轴交于点（-6，0），与y轴交于点（0，6）， ∴函数图象与x轴的正方向成45°角，故B、C正确；D错误； 故选D． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的图象与x轴、y轴的交点及函数的增减性是解题的关键． 3．（22-23八年级下·吉林四平·期末）若关于的方程的解为，则直线一定经过某点的坐标为 ． 【答案】（2，0） 【分析】根据方程可知时，，即直线过点（2，0）． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴当，，即时，， ∴直线一定经过某点的坐标为（2，0）， 故答案为：（2，0）． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系式解题的关键． 4．（22-23八年级上·全国·单元测试）若函数y=4x+b的图象与两坐标轴围成的三角形面积为6，那么b= ． 【答案】±4． 【分析】先令x=0，求出y的值，再令y=0求出x的值即可得出直线与坐标轴的交点，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】∵令x=0，则y=b；令y=0，则x=﹣， ∴函数y=4x+b与x轴、y轴的交点分别为（﹣，0）（0，b）． ∵函数y=4x+b的图象与两坐标轴围成的三角形面积为6， ∴|b|•|﹣|=6，解得b=±4． 故答案为±4． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 5．（22-23七年级·北京西城·期中）如图，在直角坐标系中，A（﹣1，3），B（3，﹣2）． （1）求△AOB的面积； （2）设AB交y轴于点C，求C点的坐标． 【答案】（1）3.5；（2）（0，）． 【详解】试题分析：由A（﹣1，3），B（3，﹣2）可以求出直线AB的方程，再根据直线方程来求解即可． 解：过AB两点的直线方程为，即4y+5x﹣7=0． 当y=0时，x=，即该直线与x轴的交点是D（，0）． （1）S△AOB=S△AOD+S△BOD =OD×3+OD×2 =OD×（3+2） =×5 ． 即S△AOB=； （2）当x=0时，y=，即直线4y+5x﹣7=0与x轴的交点C的坐标是（0，）． 6．（22-23八年级·全国·假期作业）利用函数图象解下列方程 （1）0.5x﹣3＝1 （2）3x﹣2＝x+4 【思路导引】 把0.5x﹣3＝1变化为y＝_______画出函数y＝_______的图象，求得函数和x轴的交点． 【答案】（1），（2） 【分析】把解方程问题转化为一次函数与x轴的交点问题． 【详解】解：（1）把0.5x﹣3＝1变化为y＝0.5x﹣4，画出函数y＝0.5x﹣4的图象， 如图，直线y＝0.5x﹣4与x轴的交点坐标为（8，0）， 所以方程0.5x﹣3＝1的解为x＝8； （2）把3x﹣2＝x+4变化为y＝2x﹣6，画出函数y＝2x﹣6的图象， 如图，直线y＝2x﹣6与x轴的交点坐标为（3，0）， 所以方程3x﹣2＝x+4的解为x＝3． 【点睛】此题考查了一次函数与一元一次方程：当某个一次函数的值为0时,求相应的自变量的值．从图象上看,相当于已知直线 确定它与x轴的交点的横坐标的值．也考查了数形结合的思想． 【典型例题十四 利用图象法解一元一次方程】 1．（22-23八年级上·重庆南岸·期中）如图,已知一次函数的图象为直线，则关于x的方程的解为 (       ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数图象经过（5，1）点，可得方程的解． 【详解】解：根据图象可得，一次函数y＝ax＋b的图象经过（5，1）点， 因此关于x的方程ax＋b＝1的解为x＝5， 故选B． 【点睛】此题主要考查了一次函数与方程，关键是正确利用数形结合的方法从图象中找到正确答案． 2．（22-23八年级下·全国·课后作业）小明用作图象的方法解二元一次方程组时，他作出了相应的两个一次函数的图象，则他解的这个方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的图象与性质的关系逐一判断即可得到结果． 【详解】由图象可知，两条直线的一次项系数都是负数， 且一条直线与y轴的交点在y轴的正半轴上，b为正数， 另一条直线与y轴的交点在y轴的负半轴上，b为负数， 符合条件的方程组只有D． 故选D． 【点睛】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 3．（22-23八年级下·河南濮阳·期末）已知一次函数（k、b为常数，且k≠0）的图象如图所示，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】图象与x轴交点横坐标就是方程的解． 【详解】解：方程的解就是一次函数函数值为0时，自变量x的值，即一次函数图象与x轴交点横坐标，观察图象可知一次函数图象与x轴交点坐标是（-6,0）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，解题关键是运用数形结合思想把解方程问题转化为求一次函数图象与x轴交点问题． 4．（22-23八年级下·云南丽江·期末）一次函数（，为常数，且≠0）的图象如图所示，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】方法一：根据图象得到直线与坐标轴的交点坐标，代入一次函数表达式联立关于，的二元一次方程组，求解后代入一元一次方程求解即可； 方法二：根据函数与方程的关系：一次函数与轴的交点横坐标就是一元一次方程的解直接求解即可． 【详解】解：方法一：由图象可知，直线与坐标轴的交点坐标为和， 将和代入一次函数得：，解得， ，解得， 方程的解为， 故答案为x=2； 方法二：根据一次函数与轴交点的横坐标就是一元一次方程的解，可知解为， 故答案为． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，通过两种方法诠释不同方面看待两者的关系，尤其是理解一次函数与轴交点的横坐标就是一元一次方程的解是解决问题的关键． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）利用函数图象解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将变化为，画出函数的图象，利用一次函数与x轴的交点即可得到答案； （2）将变化为，画出函数的图象，利用一次函数与x轴的交点即可得到答案． 【详解】（1）解：将变化为，画出函数的图象， 如图，直线与x轴的交点坐标为， 即方程的解为； （2）解：将变化为，画出函数的图象， 如图，直线与x轴的交点坐标为， 即方程的解为． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线 确定它与x轴的交点的横坐标的值．也考查了数形结合的思想． 6．（22-23八年级下·重庆渝中·期末）根据学习函数的经验，探究函数的图像和性质： （1）下表给出了部分，的取值： … -2 -1 0 1 2 3 4 … … 5 -1 -4 -3 -2 -1 … 由上表可知，______，______ （2）在坐标系中画出函数的图像； （3）结合你所画的函数图像，写出该函数的一条性质______________________________； （4）若关于的方程有且只有一个正根和一个负根，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）1，2； （2）见图； （3）当x≥1时，y随x的增大而增大（答案不唯一）； （4）m＞-1． 【分析】（1）在表格中任取一个已知点代入求出的值，然后表示出函数关系式，再将=-1代入即可求出b的值 （2）根据表格中的数据，在坐标系中描出对应的点，顺次连接即可 （3）根据所画出的一次函数的图像任选一个一次函数的性质写出即可 （4）结合图像分析，若使有且只有一个正根和一个负根，则要求两个函数图像的交点一个在左侧，一个在右侧，根据临界点写出不等式即可求出取值范围 【详解】（1）将x=1，y=-4代入解析式得 解得a=1， ∴函数关系式为 当=-1时 即b=2 故答案为：1，2； （2）如图所示，根据表格中、中数据描出下列各点，顺次连接 （3）当x≥1时，y随x的增大而增大（答案不唯一）． 故答案为：当x≥1时，y随x的增大而增大（答案不唯一）； （4）由图像可知 当方程-x+2|x-a|-3=-2x+m有且只有一个正根和一个负根的情况为： 与的交点一个在轴左侧，一个在右侧 则当时， 则m＞-1 故答案为m＞-1 【点睛】本题考查了一次函数的图像和一次函数的性质及一次函数图像上点的坐标特征，解题关键是将给出的x，y的值代入解析式即可得出正确答案． 【变式训练1 正比例函数的图象】 1．（2024·广西梧州·一模）在直角坐标系中，下面哪个点是函数的图象经过的点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正比例函数图象上的点的特点，求出时的函数值，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴函数图象经过点； 故选B． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）已知点在正比例函数的图象上，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查正比例函数图象上的点的特征，将代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， ∴点的坐标是； 故选A． 3．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知正比例函数的图象经过点，则的值为 ． 【答案】12 【分析】把点的坐标代入正比例函数解析式，即可求出a的值． 【详解】解：把点代入正比例函数， 得：， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了正比例函数图像上点的坐标特征，明确函数图像经过一个点，这个点的坐标就符合函数解析式是解题关键． 4．（22-23八年级上·福建三明·期末）已知正比例函数的图象经过第二、四象限，则实数的值可以是 ．（只需写出一个符合条件的实数） 【答案】（答案不唯一） 【分析】先根据正比例函数的图象经过第二、四象限得出k的取值范围，进而可而得出答案． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴k的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，在正比例函数中，当时，函数图象经过第一、三象限；当时，函数图象经过第二、四象限． 5．（23-24八年级下·吉林·期中）已知正比例函数． (1)为何值时，函数的图象经过第一、三象限； (2)为何值时，函数值随自变量的增大而减小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了正比例函数，熟练掌握正比例函数的增减性，函数图象所经过的象限与正比例系数之间的关系，是解决问题的关键． （1）当正比例系数大于0时，函数图象经过一、三象限，则有，求解就能确定k的范围； （2）当正比例系数小于0时，y随x的增大而减小，则有，求解就能确定k的范围． 【详解】（1）∵函数的图象经过一、三象限， ∴， 解得． 故当时，函数的图象经过一、三象限． （2）∵y随x的增大而减小， ∴， 解得． 故当时，y随x的增大而减小． 6．（23-24八年级下·湖南郴州·阶段练习）正比例函数随x的增大而减小． (1)确定m的取值范围； (2)小明说，函数图象不可能经过点，但可能经过点，你认为他说得有道理吗？说说你的理由． 【答案】(1) (2)小明说得有道理，理由见解析 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，正比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握正比例函数的性质； （1）根据，且y随着x的增大而减小则求解即可； （2）将点与代入，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数，且y随着x的增大而减小． ∴， ∴， ∴m的取值范围：； （2）小明说得有道理，理由如下： 当，， 当时，方程无解， ∴函数图象不可能经过点， 当时，， 当时，解得：， ∴函数图象可能经过点； ∴小明说得有道理． 【变式训练2 正比例函数的性质】 1．（23-24八年级下·福建泉州·期中）若正比例函数的图象经过点， 则它一定经过（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正比例函数的对称性，根据正比例函数关于原点对称即可得到答案． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴由正比例函数的对称性可知它一定经过， 故选：C． 2．（23-24八年级下·福建厦门·期中）已知正比例函数的图象经过点，k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式．把代入，即可求解． 【详解】解：把代入，得： ， 故选：D． 3．（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）已知正比例函数的图象经过点，则m的值为 【答案】2 【分析】本题考查了正比例函数的性质．把点的坐标代入函数的解析式，即可得出关于m的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴代入得：， 解得：， 故答案为：2． 4．（23-24八年级上·上海·期末）正比例函数的图像经过，且，则k的范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正比例函数图象的性质，根据题意可知y随x增大而减小，则，可得．对于正比例函数，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小． 【详解】解：∵正比例函数的图像经过，且， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）5月是销售樱桃的季节，某樱桃种植园为了吸引顾客，推出入园采摘销售模式．已知采摘樱桃重量x（千克）与所需费用y（元）之间的关系可以用来表示. (1)上述关系中，______是自变量，______是因变量； (2)上述关系用表格表示如下表，请补充填空： 千克 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … 元 3 6 ______ 12 15 ______ … (3)48元能买多少千克樱桃？ 【答案】(1)采摘草莓的重量x；所需费用y (2)见解析 (3)48元能买8千克樱桃． 【分析】本题主要考查了正比例函数的应用： （1）根据自变量和因变量的定义即可得出答案； （2）根据函数关系式，代入数据即可求解； （3）把代入函数关系式中即可得出答案． 【详解】（1）解：上表反映了所需费用y（元）与采摘草莓的重量x（千克）这两个变量之间的关系； 采摘草莓的重量x（千克）是自变量；所需费用y（元）是因变量． 故答案为：采摘草莓的重量x；所需费用y； （2）解：填表如下： x/千克 0.5 1 1.5 2 2.5 3 … y/元 3 6 9 12 15 18 … （3）解：当时，，解得． 答：48元能买8千克樱桃． 6．（22-23八年级上·广西·期末）已知函数， (1)为何值时，该函数是一次函数 (2)为何值时，该函数是正比例函数. 【答案】(1)；(2)且. 【分析】(1)根据一次函数定义得到m−1≠0，易得m的值； (2)根据正比例函数定义得到m−1≠0且n=0，易得m,n的值. 【详解】解：(1)当该函数是一次函数时， . 当时，该函数是一次函数. (2)当该函数是正比例函数时, 且. 且，该函数是正比例函数. 【点睛】考查了正比例函数和一次函数的定义，熟记一次函数与正比例函数的一般形式即可解题，属于基础题． 【变式训练3 判断一次函数的图象】 1．（22-23八年级下·广西防城港·期末）下列图象中，表示y是x的一次函数的是（　　） A．         B．       C．       D．       【答案】D 【分析】根据一次函数的图象即可判断． 【详解】解：一次函数的图象是直线， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，理解一次函数的图象是解题的关键． 2．（22-23九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中有P，Q，M，N四个点，其中恰有三点在一次函数的图象上．根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数的图象上的点是（    ） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质，在第一象限内随的增大而减小，用直线连接发现Q点不在函数的图象上． 【详解】解：在第一象限内随的增大而减小，用直线连接发现Q点不在函数的图象上， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次例函数的性质，掌握一次数图象的性质是解题的关键． 3．（22-23八年级上·四川成都·期末）点P（a，b）在函数y＝3x＋2的图象上，则代数式6a﹣2b的值等于 ． 【答案】-4 【分析】把点P的坐标代入一次函数解析式，得出3a-b=-2，代入2（3a-b）即可． 【详解】解：∵点P（a，b）在函数y=3x+2的图象上， ∴b=3a+2， 则3a-b=-2． ∴6a-2b=2（3a-b）=-4 故答案为：-4． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数关系式． 4．（22-23七年级下·福建厦门·期末）如图，平面直角坐标系xOy中，有A、B、C、D四点，若有一直线经过点(-1,3)且与y轴垂直，则也会经过的点是 （填A、B、C或D）　 【答案】D 【分析】设直线的解析式为，先根据“直线与y轴垂直”可得，再将点代入可得b的值，从而可得直线的解析式，由此即可得出答案． 【详解】设直线的解析式为， 直线与y轴垂直， ， 直线经过点， ， 将代入得：， 则直线的解析式为， 观察四个点可知，直线也会经过的点是D， 故答案为：D． 【点睛】本题考查了函数解析式，依据直线与y轴垂直得出是解题关键． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）某种摩托车的油箱加满油后，油箱中的剩余油量与摩托车行驶路程之间的关系如图所示．根据图像回答下列问题： （1）油箱最多可储油多少升？ （2）一箱汽油可供摩托车行驶多少千米? （3）摩托车每行驶消耗多少升汽油? （4）油箱中的剩余油量小于时，摩托车将自动报警．行驶多少千米后，摩托车将自动报警? 【答案】（1）油箱最多可储油；（2）一箱汽油可供摩托车行驶；（3）摩托车每行驶消耗汽油；（4）行驶后，摩托车将自动报警 【分析】（1）结合图像，当摩托车行驶路程为零时，对应的纵坐标数值即为油箱最多可储油的量； （2）结合图像，当摩托车剩余油量为零时，对应的横坐标数值即为可供摩托车行驶的总里程； （3）结合图像，从0增加到100时，从10减少到8，即可得到答案； （4）根据（3）的结论，通过计算摩托车消耗汽油对应的行驶里程，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，得：当时， ∴油箱最多可储油； （2）当时， ∴一箱汽油可供摩托车行驶； （3）根据题意，从0增加到100时，从10减少到8，减少了2， ∴摩托车每行驶消耗汽油； （4）根据（3）的结论，当摩托车消耗汽油时，对应的行驶里程为： ∴行驶后，摩托车将自动报警． 【点睛】本题考查了直角坐标系、一次函数图像的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数图像的性质，从而完成求解． 6．（2023八年级下·上海·专题练习）一次函数的图象能否可以不经过第三象限?为什么? 【答案】不可以不经过第三象限．理由见解析 【分析】先假设不经过第三象限，得到经过第一二四象限或二四象限的k的取值即可求解． 【详解】解：若一次函数的图象不经过第三象限， 则一次函数的图象可以是经过第一二四象限，此时，无解； 也可以经过第二四象限，此时，无解． 综上可知，上述一次函数图象不可以不经过第三象限． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟记一次函数的性质是解题的关键． 【变式训练4 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 1．（23-24八年级下·四川巴中·期中）已知一次函数表达式为：，则此一次函数图像不经过第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图像的性质，熟练掌握一次函数图像与系数的关系是解决本题的关键． 根据，，即可进行判断． 【详解】解：∵，， ∴一次函数的函数图像过第一、三、四象限，不过第二象限， 故选B． 2．（23-24八年级下·四川广安·期中）下列图象中可能是一次函数的图象的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．据一次函数的性质，利用分类讨论的方法可以得到一次函数的图象经过哪几个象限． 【详解】解：当时，一次函数的图象过一、三、四象限； 当时，一次函数的图象过二、三、四象限； 符合条件的为C选项， 故选C． 3．（23-24八年级上·山东青岛·期中）一次函数的图象不经过第 象限． 【答案】三 【分析】本题考查一次函数解析式及其性质，根据一次函数的解析式和一次函数的性质，可以得到该函数的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限． 【详解】解：一次函数，，， 该函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故答案为：三． 4．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）已知点，在直线上，当时，，且，则在平面直角坐标系内，它的图象经过第 象限． 【答案】一，二，三 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据题意，判断，的正负是解答本题的关键． 根据点，在直线上，当时，，且，可以得到，的正负情况，然后根据一次函数的性质，得到答案． 【详解】解：根据题意得： 点，在直线上，当时，，且， ，， 直线经过第一，二，三象限， 故答案为：一，二，三． 5．（22-23八年级下·吉林·期末）如图，一次函数y＝（m﹣3）x﹣m+1的图象分别与x轴正半轴、y轴负半轴相交于点A、B，求m的取值范围． 【答案】m＞3． 【分析】根据一次函数图象所经过的象限得到关于的不等式，解不等式组即可． 【详解】解：如图，一次函数图象经过第一、三、四象限， ， 解得． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 6．（23-24八年级上·江苏·周测）已知一次函数． (1)若一次函数的图象经过原点，求的值； (2)若该一次函数的图象不经过第二象限． 【答案】(1)的值是8； (2)的取值范围是． 【分析】本题考查一次函数的性质． （1）由于图象过原点，所以常数项为0，从而求出m的值． （2）由于图象不经过第二象限，所以一次项系数大于0，常数项小于等于0． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 答：的值是8； （2）解：根据题意，得 解得 答：的取值范围是． 【变式训练5 已知函数经过的象限求参数范围】 1．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）直线经过点，，，则必有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】 本题考查了一次函数与系数的关系．根据点、的坐标作出一次函数的大致图象，结合图象推知、的符合． 【详解】 解：直线经过点，，，则该函数图象如下所示： 该函数图象经过第二、四象限，则． 该函数图象与轴交于正半轴，则． 故选：C． 2．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是一次函数的图象与系数的关系．根据图象可知，一次函数与轴的交点在轴上方，从而可确定出的取值范围． 【详解】解：根据图象可知，一次函数与轴的交点在轴上方， ， ． 故选：D． 3．（2024·青海西宁·一模）一个函数的图象分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴相交，这个函数的解析式可以是 (写出一个即可)． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一个一次函数的图象分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴相交那么该一次函数的一次项系数和常数项都大于0，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，符合题意的解析式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（2024·河南信阳·一模）若一次函数的图象一定过第二、四象限，则k的值为    ．（只写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的性质．根据一次函数图象所经过的象限，可确定一次项系数，从而确定字母k的取值范围． 由一次函数图象经过第二、四象限，可知，在范围内确定的值即可． 【详解】解：一次函数的图象一定过第二、四象限， ， 可以取， 故答案为：（答案不唯一）． 5．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知一次函数，请按要求解答问题： (1)若点在函数图像上，求m的值． (2)若函数图像平行于直线，求一次函数解析式； (3)m为何值时，函数图像不经过第二象限，且y随x的增大而增大？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数的性质，根据一次函数的性质解题即可． （1）把点代入一次函数解析式就可以得出m的值． （2）根据平行于直线，可知一次函数的，继而求得m值，再把m值代入一次函数解析式，即可就得一次函数解析式． （3）根据函数图像不经过第二象限，且y随x的增大而增大，得出一次函数k和b值的条件，然后列出不等式组解不等式组即可求得m． 【详解】（1）解：把点代入函数解析式， 得：，故． （2）若函数图像平行于直线， 则：中的k值与直线中的k值相等， 则：， 解得：， 把代入，得：， 故一次函数解析式为：． （3）函数图像不经过第二象限，且y随x的增大而增大， 则且， 故解不等式组， 解得： 6．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）一次函数的图象经过，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的解析式求解、一次函数与坐标轴的交点问题，掌握待定系数法求出解析式是解题关键． （1）将，两点代入即可求解； （2）求出一次函数与坐标轴的交点，根据即可求解． 【详解】（1）解：将，两点代入得： ， 解得： ∴ （2）解：如图所示： 令，则； 令，则； ∴ 【变式训练6 一次函数图象与坐标轴的交点问题】 1．（23-24八年级上·陕西汉中·期末）一次函数的图象与y轴的交点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题．令，求出y值，即可得解． 【详解】解：令， ， 一次函数的图象与y轴的交点是， 故选：C． 2．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，直线与x轴交于点，则时，x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，根据题意，，即轴上方的部分图象对应的x值范围，根据图象可得答案． 【详解】解：由函数图象可知：时． 故选：． 3．（23-24八年级下·上海宝山·期中）若直线经过点，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数；先将点代入解析式，求出m的值，再分别求出直线与两坐标轴的交点，即可求出三角形的面积． 【详解】将点代入，得，解得： ∴ 当时， 当时， ∴该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 故答案为：2． 4．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，一次函数的图象分别与轴、轴相交于点、，且与经过轴负半轴上的点的一次函数的图象相交于点，直线与轴相交于点，与关于轴对称，，点为线段上的一个动点，连接，若直线将的面积分为两部分，请直接写出点的坐标 ． 【答案】或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的交点，三角形的面积，折叠的性质．根据题意，利用已知条件得到点，点坐标，用待定系数法可求出直线的解析式，联立直线和直线的解析式可求出点的坐标．过点作轴于点，先求出的面积，直线将的面积分为两部分，需要分两种情况：当点在线段上时，则有，由此建立方程求解，得到答案；当点在线段上时，设直线与轴交于点，此时有，由此建立方程求解，得到答案． 【详解】解：令，则；令，则； ∴点、， ， 与关于轴对称，， ，， ， 把点和点的坐标代入一次函数， ， 解得， 直线的函数表达式为：， 令， 解得：， ， 点的坐标为． 如图，过点作轴于点，连接， ， ，， ， ， 、、， 点是线段的中点， ， 当点在线段上时，则有 ， ， ， 解得：， ； 当点在线段上时，设直线与轴交于点，如图，此时有 ， ， ，解得， ， ， 直线的解析式为， 令， 解得：， ， 综上所述，若直线将的面积分为两部分，点的坐标为或． 故答案为：或． 5．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，一次函数与轴、轴分别相交于点和点． (1)求点和点的坐标； (2)点在轴上，若的面积为6，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)当点在点上方时，；当点在点下方时， 【分析】本题考查一次函数的综合应用．正确的求出直线与坐标轴的交点坐标，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． （1）令，求出x的值，得到点A的坐标，令，求出y的值，得到点B的坐标； （2）分点在点上方和点在点下方两种情况讨论． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，，， ； （2）点在轴上，若的面积为6， ， ， ， 当点在点上方时，． 当点在点下方时，． 6．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）已知与成正比例，当时，．    (1)求与之间的函数解析式． (2)在所给直角坐标系中画出函数图象． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】此题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式及用描点法画函数图象， （1） 根据与成正比例关系设出函数的解析式， 再把当时，代入函数解析式即可求出的值， 进而求出与之间的函数解析式 ． （2） 根据 （1） 中所求函数解析式， 分别令，，求出直线与两坐标轴的交点，然后连线即可． 【详解】（1）解：与成正比例关系， 设， 并把，代入，得：， 解得：， 原解析式为，即． （2）解：由（1）可知， ∴当时，则， 解得：， 即直线与轴的交点坐标为； 当时，则， 即直线与轴的交点坐标为； 函数图象如图所示：    【变式训练7 画一次函数图象】 1．（22-23九年级下·湖北武汉·期中）有8条不同的直线（n＝1，2，3，4，5，6，7，8），其中，，则这8条直线的交点个数最多是（    ） A．21个 B．22个 C．23个 D．24个 【答案】C 【分析】通过一次项系数相等的一次函数图像直线直线平行，得到．一次函数与轴交点为，且，得到这三条直线交于一点．想要直线之间交点尽可能多，则后出现的直线与前面所有直线都有不同交点，画图可得到最多的交点情况，得出最多交点个数． 【详解】先画出交于1点，后画分别与前3条直线各有1个交点，与前面6条直线各有1个交点，与前面7条直线各有1个交点． 所以最多共有23个交点． 故选C． 【点睛】本题考查直线之间的交点个数，直线之间的交点个数最多的情况为后出现的直线与前面的直线均有不同交点．有位置前提的情况下，需要了解直线本身具有什么位置关系特点，先理清楚条件再按照交点个数最多的策略画图．理解直线之间的交点个数最多的情况是解题的关键． 2．（2023·河北沧州·三模）如图，函数的图像所在坐标系的原点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】首先去绝对值，列出分段函数，再画出函数图像，与所给图像进行对比，即可得出答案． 【详解】解：由可得， 函数图像如下所示： 对比所给图像可知，点是坐标系的原点． 故选B． 【点睛】本题考查一次函数的图像和性质，解题的关键是列出分段函数． 3．（22-23八年级下·河北邢台·阶段练习）在平面直角坐标系中，画一次函数y＝－3x＋3的图像时，通常过点 和 画一条直线． 【答案】 （0，3） （1，0） 【分析】根据题意，画一次函数的图像，通常找到直线与坐标轴的交点坐标进行画图，分别求出与坐标轴的交点坐标，即可得到答案. 【详解】解：根据题意， ∵画一次函数y＝－3x＋3的图像， 令，则， 令，则， ∴与坐标轴的交点坐标为（0，3），（1，0）； 故答案为：（0，3），（1，0）； 【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，解题的关键是正确求出直线与坐标轴的交点坐标，从而进行画图. 4．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数y＝|3x－1|＋2的图象记为l1，y＝x－7的图象记为l2，把l1、l2组成的图形记为图形M．若直线y＝kx－5与图形M有且只有一个公共点，则k应满足的条件是 【答案】－3≤k≤3且k≠1． 【分析】根据图像即可求得k的取值范围． 【详解】根据题意当x≥时，y＝3x－1＋2＝3x+1；当x＜时，y＝1-3x＋2＝3-3x， 由此画出图形M， 直线y＝kx－5过定点（0，-5），交点在l2上， 如图可得：－3≤k≤3且k≠1， 故答案为：－3≤k≤3且k≠1． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，画出图像是本题关键． 5．（23-24八年级下·山西临汾·期中）已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，请回答下列问题： (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出此一次函数的图象． (2)点的坐标为______，的坐标为_____，______． 【答案】(1)见详解 (2)，，1 【分析】本题主要考查一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键． （1）根据题意可知点A、B的坐标，然后再图象上描出点A、B，进而问题可求解； （2）根据（1）可直接得，，进而求解△AOB的面积． 【详解】（1）解：当时，；时，，即，， 函数图象如下： （2）解：∵当时，；时，， ∴，，， 故答案为：，，1 6．（22-23八年级下·甘肃平凉·期末）请在所给的平面直角坐标系中作出一次函数的图像，并指出当x增大时，y如何变化． 【答案】画图见解析；y随x的增大而减小． 【分析】先画出一次函数的图像，接着观察图像可得出结果． 【详解】解：一次函数的图像如下图所示： 观察图像可知x越大y越小， y随x的增大而减小． 【点睛】本题主要考查画一次函数图像以及一次函数的增减性，属于基础题，比较简单，能够画出一次函数的图像是解题的关键． 【变式训练8 判断一次函数的增减性】 1．（2024·江苏无锡·二模）下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，灵活运用一次函数的增减性是解题的关键．根据，，则y随x的增大而减小，，则y随x的增大而增大，然后进行判断即可． 【详解】解：Ａ、，，故y随x的增大而减小，符合题意； B、，，故y随x的增大而增大，不符合题意； C、，，故y随x的增大而增大，不符合题意； D、，，故y随x的增大而增大，不符合题意； 故选：A． 2．（23-24八年级下·湖南永州·期中）关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与轴交于点 C．函数值随自变量的增大而减小 D．点在函数图象上 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解决问题的关键．根据一次函数的性质逐个进行分析判断即可做出选择． 【详解】解：一次函数中，，， 图象经过第一、二、三象限，故A不正确； 一次函数中，当时，， 图象与轴交于点，故B错误； 一次函数中，， 函数值随自变量的增大而增大，故C不正确； 一次函数中，当时，，故D正确． 故选： 3．（22-23八年级下·山东济宁·阶段练习）下列一次函数中，y的值随着x值的增大而减小的有 ． ①；②；③；④ 【答案】②④ 【分析】本题考查了一次函数的性质．在直线中，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 【详解】解：①，，y的值随着x值的增大而增大； ②，，y随x的增大而减小； ③，，y的值随着x值的增大而增大； ④，，y随x的增大而减小； 故答案为：②④． 4．（23-24八年级上·重庆大渡口·期末）如图，一次函数，，的图象如图所示，则，，的大小关系为 ．（用“”符号连接） 【答案】 【分析】本题考查一次函数以及正比例函数图象与性质；首先根据直线经过的象限判断k的符号，再根据直线的平缓趋势判断k的绝对值的大小，最后判断三个系数的大小． 【详解】解：由直线经过的象限，知：， ∵根据直线越陡，越大， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（23-24八年级上·江苏淮安·期末）已知是的一次函数，与部分对应的值如下表： 1 2 5 1 (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，函数的取值范围是___________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法，掌握待定系数法的步骤是解题的关键． （1）根据待定系数法求解； （2）根据一次函数的性质求解． 【详解】（1）设y与x之间的函数表达式为， 把和代入，得 ， 解得：， 所以y与x之间的函数表达式为； （2）∵， ∴y随x的增大而减小． 当时，， 当时，， ∴当时，函数y的取值范围是：， 故答案为：． 6．（22-23八年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． (1)求该一次函数的解析式； (2)若点在该一次函数图象上，当时，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解； （2）由（1）得一次函数的图象y随x的增大而减小，即可求解． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为 ∵一次函数的图像经过和      解得： ∴一次函数解析式为； （2）解：由（1）得：， 一次函数的图像y随x的增大而减小， ∵点在该一次函数图象上， ∴当时，， 当时，， 当时，． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的图象和性质，熟练掌握利用待定系数解答是解题的关键． 【变式训练9 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】 1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知点，在直线上，且，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了利用一次函数的性质比较自变量的大小，对于一次函数来说，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．根据直线中，得到随的增大而减小，由即可得到的取值范围． 【详解】解：对于直线来说， ∵， ∴随的增大而减小． ∵， ∴． 故选：A 2．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，、两点在一次函数的图象上，其坐标分别为，，下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标以及一次函数的性质．依据点A与点B的位置，即可得到点B的横坐标以及纵坐标都比点A的横坐标以及纵坐标大． 【详解】解：由题意可得，函数图象y随x增大而增大， ∴， ∴，， 故选：B． 3．（22-23八年级下·上海宝山·期末）已知点都在一次函数的图像上，那么m与n的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】根据一次函数的性质，通过题中，可判断随着x的增大而增大，即可得答案． 【详解】解：， ， 随着x的增大而增大， 点在一次函数的图像上，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握，随着x的增大而增大． 4．（2023·河南南阳·一模）已知一次函数，当时，y的最大值等于 ． 【答案】7 【分析】根据一次函数的性质即可得答案． 【详解】∵一次函数中，， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为， 故答案为：7． 【点睛】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 5．（22-23八年级上·安徽合肥·期末）已知一次函数，一次函数图象经过点． (1)求的值； (2)在平面直角坐标系中，画出函数图象； (3)当时，的取值范围为_____． 【答案】(1) (2)图象见解析 (3) 【分析】 （1）将点代入解析式，求得解析式； （2）令，得，令，得，根据两点画出函数图象即可求解； （2）观察函数图象，分别求出当时，当时的自变量取值，即可求解． 【详解】（1） 解：点代入，即， 解得， ∴， （2） 解：令，得，令，得， ∴一次函数过点，， 画出函数图象，如图， （3） 解：对于，y随x的增大而减小， 当时， 解得：， 当时，， 解得：， ∴当时，的取值范围为． 故答案为： 【点睛】 本题考查了待定系数法求解析式，画一次函数图象，求函数值的取值范围，数形结合是解题的关键． 6．（2023·浙江湖州·模拟预测）已知一次函数的图象经过点， (1)求和的值 (2)若，是该函数图象上的两点，试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质； （1）根据待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得：； （2）由（1）可得， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴． 【变式训练10比较一次函数值的大小】 1．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）已知点，都在直线上，则，大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质；根据一次函数的性质，当时，随的增大而减小，可以解答本题． 【详解】解：∵，， ∴随的增大而减小， ∵点，都在直线上， ∴， 故选A． 2．（23-24八年级下·吉林松原·期中）已知点、都在直线上，则与大小关系是（    ） A． B． C． D．无法判定 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，）当，y的值随x的值增大而增大；当，y的值随x的值增大而减小． 直接根据一次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵，， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故选A． 3．（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）一次函数的图象经过，，则，的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得该一次函数的y随x的增大而减小，然后问题可求解． 【详解】解：由一次函数可知：， ∴y随x的增大而减小， ∵一次函数的图象经过，，且， ∴； 故答案为． 4．（23-24九年级下·北京·阶段练习）已知点，都在一次函数的图象上，那么与的大小关系是 （填“”，“”“”） 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象的性质，根据一次函数解析式得出，得出随着的增大而减小，根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（22-23八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于A、B两点．    (1)求A、B两点的坐标． (2)点，在该函数的图象上，比较与的大小． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）分别代入与 求解即可． （2）根据一次函数的增减性或分别代入求解即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得， ∴点A坐标为， 把代入得： ， ∴点B坐标为． （2）解：时，， 时，， ， ． 【点睛】本题考查一次函数的性质，解题关键是熟练掌握一次函数的性质． 6．（22-23八年级上·江西抚州·阶段练习）已知一次函数y=x+1，分别交x轴，y轴于点A，B．已知点是点A关于y轴的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线l交直线AB于点B，点是点A关于直线l的对称点，作直线B，过点作x轴的垂线，交直线AB于点，点是点A关于的对称点，作直线……继续这样操作下去，可作直线（n为正整数，且n≥1） (1)①直接写出点A，B的坐标：A ，B ． ②求出点B，的坐标，并求出直线的函数关系式； (2)根据操作规律，可知点的坐标为 ．可得直线的函数关系式为 ． (3)求的面积． 【答案】(1)①A(-1，0)，B(0，1)②B(1，2)，(3，0)，y=-x+3 (2)， (3) 【分析】（1）①由一次函数y=x+1即可求得A、B的坐标； ②先求出A(-1，0)关于y轴的对称点的坐标(1，0)．将x=1代入y=2x+2，求出y=4，得到．再求出点A关于直线的对称点的坐标(3，0)．设直线的函数关系式是y=kx+b(k≠0)，把的坐标代入，利用待定系数法即可求出直线的函数关系式； （2）先求出点A关于的对称点的坐标(7，0)．由的坐标规律可得点的横坐标为．再求出的坐标，然后利用待定系数法即可求出直线的函数关系式； （3）由，可得，再利用三角形面积公式求出即可． 【详解】（1）①∵一次函数y=x+1，分别交x轴，y轴于点A，B， ∴， 故答案为：(-1，0)，(0，1)； ②∵A(-1，0)，B(0，1)， ∴点A关于y轴的对称点是(1，0)． 当x=1时，y=2， ∴B(1，2)． 点A关于直线的对称点是(3，0)． 设直线的函数关系式是y=kx+b(k≠0)， ∴，解得， ∴直线的函数关系式是y=-x+3； （2）∵A(﹣1，0)，(3，0)． 由题意过点作x轴的垂线，点是点A关于的对称点得， ∴(7，0)． 由(1，0)，(3，0)，(7，0)， 可得点的坐标为(，0)， 直线的函数关系式为． 故答案为：； （3）∵， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，解决本题的关键是一次函数的图像和性质． 【变式训练11 一次函数的规律探究问题】 1．（2023·陕西西安·模拟预测）已知一次函数，点A为其图象第一象限上一点，过点A作轴于点B，点B的横坐标为2018，若在线段AB上恰好有2018个整点包括端点，则b的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可以的关于b的不等式，然后根据题意即可求得b的取值范围． 【详解】解：由题意可得， 点A的横坐标为2018， 在线段AB上恰好有2018个整点包括端点， ， 解得，， 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想和不等式的性质解答． 2．（22-23九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝x和的图象分别为直线l1、l2，过点A1（1，）作x轴的垂线交l1于点A2，过点A2作y轴的垂线交l2于点A3，过点A3作x轴的垂线交l1于点A4，过点A4作y轴的垂线交l2于点A5，……依次进行下去，则点A2019的横坐标为（　　）    A．21008 B．﹣21008 C．﹣21009 D．21006 【答案】C 【分析】由题意分别求出A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8的坐标，找出A2n﹣1的横坐标的规律，即可求解． 【详解】解：∵过点A1（1，）作x轴的垂线交l1于点A2，过点A2作y轴的垂线交l2于点A3，过点A3作x轴的垂线交l1于点A4，过点A4作y轴的垂线交l2于点A5，……依次进行下去， ∴A1与A2横坐标相同，A2与A3纵坐标相同， ∴当x＝1时，y＝1， ∴A2（1，1）， ∴当y＝1时，x＝﹣2 A3（﹣2，1）， 同理可得：A4（﹣2，﹣2），A5（4，﹣2），A6（4，4），A7（﹣8，4），A8（﹣8，﹣8）… ∴A2n﹣1的横坐标为（﹣2）n﹣1， ∴点A2019的横坐标（﹣2）1009＝﹣21009． 故选：C． 【点睛】此题主要考查坐标的规律探索，解题的关键是熟知坐标与函数的关系及坐标的变化规律总结． 3．（22-23九年级下·江西九江·期中）对于一次函数的图象，无论k为何值，都过一个定点，则这个点的坐标是 ． 【答案】 【分析】将变形为，即可求解． 【详解】解：， 当，即时，无论k为何值，y的值都为4， 因此这个点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是将变形为． 4．（2023·山东聊城·三模）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，，，……，在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】当时，根据，可得点的坐标为，根据正方形的性质可得出规律进而可求得点，，，……，得坐标，进而可求得，，，……，进而可求解． 【详解】解：当时，有， 解得：， 点的坐标为， 四边形为正方形， 点的坐标为， 同理可得：，，，，， ，，，，， （为正整数）， 点的坐标为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数规律探索问题，根据已知找出规律是解题的关键． 5．（22-23八年级·全国·课后作业）一次函数(n为正整数)的图象与x轴、y轴的交点是A、B，O是原点，设的面积为. (1)求； (2)求. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）把n=1代入一次函数，求出AB的坐标，根据三角形的面积公式即可得出s1的值； （2）先分别令x=0求出y的值，再令y=0求出x的值，由三角形的面积公式可得出Sn的表达式，在分别把n=1，2，3…2010代入，求出s1+s2+s3+…+S2018的值即可 【详解】(1)∵当时，一次函数的解析式为， ∵A(1，0)，B(0，)，∴. (2)∵令，，∴ 令，， ∴， ∴ . 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及三角形的面积公式，属规律性题目，难度较大． 6．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）数学精英小组利用平面直角坐标系在研究直线上点的坐标规律时，发现直线上的任意三点，，（），满足，经小组查阅资料，再经请教老师验证，以上结论是成立的，即直线上任意两点的坐标，，（），都有．例如：，为直线上两点，则． (1)已知直线经过，两点，请直接写出______． (2)如图，直线于点，直线，分别交轴于，两点，，，三点坐标如图所示．请用上述方法求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据求解即可； （2）根据，分别求出k1，k2的值，再代入计算即可 【详解】（1）解：∵A(2,3)，B(4,-2)， ∴k=， 故答案为：； （2）解：∵y1=k1x+b1经过A(2,0)，B(0,4)， ∴k1=， ∵y2=k2x+b2经过A(2,0)，C(0,-1)， ∴k1=， ∴k1k2=-2×=-1． 【点睛】本题考查求一次函数解析式，本题属阅读材料题，理解题目中介绍的解题方法并能灵活运用是解题的关键． 【变式训练12 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 1．（22-23八年级下·河南商丘·期末）已知直线经过点，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线经过点（10，-1），即可确定方程的解． 【详解】解：∵直线经过点（10，-1）， ∴当时，， ∴方程的解为． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键． 2．（23-24七年级上·山东泰安·期末）已知一次函数（a，b是常数且），x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 6 4 2 0 那么方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，对于一次函数，当时求得的自变量的值就是对应的一元一次方程的解，据此即可求解． 【详解】解：由表格数据可知：当时，； ∴方程的解是， 故选：C． 3．（22-23八年级上·广东佛山·阶段练习）若函数与x轴交于点，则方程的解是 ． 【答案】 【分析】根据一次函数与一元一次方程的性质可得方程的解． 【详解】解：根据一次函数与一元一次方程的性质可知：一次函数与轴交点的横坐标即为对应一元一次方程的解， ∵一次函数交轴于点， ∴关于的方程的解是， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次方程与一次函数的性质，需要注意一次函数与一元一次方程一定要一一对应才可． 4．（22-23八年级下·西藏那曲·期末）如图，函数的图象过点，则关于的方程的解 ．    【答案】 【分析】由函数的图象过点可知时，，即可得到关于x的方程的解是． 【详解】解：由图象可得：关于x的方程的解是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数与一元一次方程的解的关系是解题的关键． 5．（2023九年级·全国·专题练习）画出函数的图象，根据图象回答下列问题：求方程的解 【答案】图像见详解；． 【分析】利用两点法画出函数的图象，然后令，即直线与x轴的交点的横坐标就是方程的解． 【详解】解：∵函数， 令，则；令，则， 的图像如图所示： 由图可知，方程的解是； 【点睛】本题考查了画一次函数的图像，由图像求一元一次方程的解，解题的关键是掌握一次函数的性质进行解题． 6．（23-24八年级上·山东济南·期中）如图，已知直线的图象经过点，，，且与x轴交于点C． (1)求一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出方程的解为 ； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）求出函数图象与x轴的交点坐标，即可求出方程的解； （3）利用三角形面积公式直接求出的面积即可． 【详解】（1）解：把，代入，得， 解得：， 故这个一次函数的解析式为； （2）解：把代入得：， 解得：， ∴直线与x轴交于点C的坐标为， ∴方程的解为． 故答案为：． （3）解：的面积为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像和性质，求一次函数解析式，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出一次函数解析式． 【变式训练13 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点】 1．（22-23八年级下·陕西安康·期末）若关于x的方程4x-b=0的解是x=-2，则直线y=4x-b一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程可知当x=-2时，y=0，从而可判断直线经过点（-2，0）． 【详解】解：由方程可知：当x=-2时，4x-b=0，即当x=-2时，y=0， ∴直线y=4x-b的图象一定经过点（-2，0）． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键． 2．（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）已知方程的解是，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程的解得出函数与x轴的交点坐标，然后判断即可． 【详解】解：∵方程的解是， ∴函数与x轴的交点坐标是， 满足条件的只有D． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，理解一元一次方程的解与函数图象和x轴交点坐标的关系是解题的关键． 3．（23-24八年级下·四川内江·期中）将直线沿y轴向上平移4个单位后，与x轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．根据“上加下减”的原则求得平移后的解析式，令，解得即可． 【详解】解：由“上加下减”的原则可知，将函数的图象向上平移4个单位长度所得函数的解析式为， ∵此时与x轴相交，则， ∴，即， ∴与x轴的交点坐标是． 故答案为： 4．（2024·上海普陀·二模）已知直线与直线相交于点A，那么点A的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代入，求出x的值即可． 【详解】解：将代入得：， 解得：， ∴点A的横坐标是． 故答案为：． 5．（2013·云南普洱·一模）求出函数y＝﹣1与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】 【分析】化简函数y＝x﹣1，分别求出与x，y轴的交点坐标分别为（1，0），（0，﹣1），即可求三角形面积； 【详解】解：∵y＝﹣1＝﹣1＝x﹣1； ∴y＝x﹣1， ∵函数y＝x﹣1与x，y轴的交点坐标分别为（1，0），（0，﹣1）， ∴S＝． 答：函数与坐标轴围成的三角形面积； 【点睛】本题考查一次函数图象及性质，分式的化简；熟练掌握分式的化简，一次函数与坐标轴围成三角形面积的求法是解题的关键 6．（22-23八年级下·湖南长沙·期中）已知一次函数 y kx b 的图象经过点 A1,1和点 B1,3， 求：（1）求一次函数的表达式；（2）求直线 AB 与直线 y 2x 8 的交点坐标. 【答案】（1）y=-x-2；（2）（2，-4） 【分析】（1）设y=kx+b，把A与B坐标代入求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式； （2）联立关于 求解即可 【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b， 把A（-1，-1）B（1，-3）代入y=kx+b 解得：k=-1，b=-2， ∴一次函数表达式为：y=-x-2 （2） 解得： 所以直线 AB 与直线 y 2x 8 的交点坐标为：（2，-4） 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上的点的坐标特征，以及交点问题，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 【变式训练14 利用图象法解一元一次方程】 1．（22-23八年级下·全国·课后作业）将方程全部的解写成坐标的形式，那么这些坐标描出的点都在直线（    ）上． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把方程变形为用x表示y即可． 【详解】解：方程用x表示y为：， 故将方程全部的解写成坐标的形式，那么这些坐标描出的点都在直线上， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与方程的关系，解题关键是明确方程与一次函数的关系，会把方程转化为一次函数． 2．（22-23八年级下·广西桂林·期末）一次函数的图象如图所示，则关于的方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象得出一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标的横坐标，即可得出方程的解． 【详解】解：∵从图象可知：一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标是(﹣2，0)， ∴关于x的方程kx+b＝0的解为x＝﹣2， 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，关键是正确利用kx+b=0解答． 3．（23-24八年级下·福建·期中）若关于x的方程解为，则直线图象一定经过点（2， ）． 【答案】5 【分析】此题考查了一次函数和一元一次方程的关系，根据题意得到当时，，进而求解即可． 【详解】∵关于x的方程解为， ∴当时，， ∴直线图象一定经过点． 故答案为：5． 4．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，先利用求出交点的坐标，然后根据一次函数图象的交点坐标进行判断．数形结合是解题的关键． 【详解】解：把代入得，解得， ∴一次函数与的图象的交点为， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 5．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）根据一次函数的图象，写出下列问题的答案： (1)关于x的方程的解是 ； (2)关于x的方程的解是 ； (3)当时，y的取值范围是 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质， （1）利用函数图象写出函数值为0时对应的自变量的值即可； （2）利用函数图象写出时对应的自变量的值即可 （3）利用函数图象写出时对应的函数值范围即可． 【详解】（1）利用函数图象可知函数值为0时，， 故答案为：； （2）利用函数图象可知时对应的自变量的值为， 故答案为：； （3）根据图象可知：当时，， 故答案为：． 6．（22-23八年级下·湖北咸宁·期末）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，过程如下，请补充完整. （1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： … 0 1 2 3 4 5 … … 4 2 1 0 1 2 3 4 … 其中，__________. （2）根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分. （3）观察图象，写出该函数的两条性质： ①____________________________________________________________ ②____________________________________________________________ （4）进一步探究函数图象发现： ①方程的解是__________. ②方程的解是__________. ③关于的方程有两个不相等实数根，则的取值范围是__________. 【答案】（1）3；（2）见解析；（3）①函数值y≥0函数值y≥0；②当x＞1时，y随x的增大而增大；（4）①；②或；③. 【分析】（1）求出x=-2时的函数值即可； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）结合图象写出两个性质即可； （4）分别求出方程的解即可解决问题； 【详解】解：（1）x=-2时，y=|x-1|=3，故m=3，故答案为3． （2）函数图象如图所示： （3）①函数值y≥0，②当x＞1时，y随x的增大而增大； 故答案为函数值y≥0；当x＞1时，y随x的增大而增大； （4）①方程|x-1|=0的解是x=1 ②方程|x-1|=1.5的解是x=2.5或-0.5 ③关于x的方程|x-1|=a有两个实数根，则a的取值范围是a＞0， 故答案为x=1，x=2.5或-0.5，a＞0． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次方程的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 1．（22-23八年级·全国·假期作业）已知正比例函数，下列结论正确的是（　　　） A．图象是一条射线 B．图象必经过点（-1，2） C．图象经过第一、三象限 D．随的增大而减小 【答案】D 【分析】根据正比例函数的图象和性质逐一判断即可． 【详解】解：A．正比例函数的图象是一条直线，故A错误； B．当时，，∴图象不经过点（-1，2），故B错误； C．∵，∴图象经过第二、四象限，故C错误； D．∵，∴随的增大而减小，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是正比例函数的图象和性质． 2．（22-23八年级上·山东青岛·期末）已知一次函数的图象与y轴负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一次函数的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，可得出，由此可以得到，由此判断出一次函数的图象经过的象限，即可得出答案． 【详解】解：∵一次函数的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小， ∴， ∴， ∴的图象经过一、二、四象限， 结合函数图象得到C选项符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数中，当时，函数的图象在第一、二、四象限是解答此题的关键． 3．（23-24八年级上·浙江·期末）已知一次函数与（，为常数，且），则它们在同一平面直角坐标系内的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象性质，根据经过第几象限，从而判断的取值情况，据此即可作答． 【详解】解：A、一次函数经过第一、三象限，得，一次函数经过第一、三、四象限，得，自相矛盾，故舍去； B、一次函数经过第一、三象限，得，一次函数经过第一、二、四象限，得，自相矛盾，故舍去； C、一次函数经过第二、四象限，得，一次函数经过第一、二、三象限，得，自相矛盾，故舍去； D、、一次函数经过第二、四象限，得，一次函数经过第一、二、四象限，得，符合，该选项是正确的； 故选：D 4．（22-23八年级下·重庆·期中）已知是方程的解，则一次函数与轴的交点坐标为(     ) A．（0，2） B．（2，0） C．（-2，0） D．（0，-2） 【答案】B 【分析】由是方程的解可知，在一次函数中，当x=2时，y=0，所以一次函数的图像与x轴的交点坐标为（2，0），即可得出答案． 【详解】解：∵是方程的解， ∴在一次函数中，当x=2时，y=0 ∴一次函数的图像与x轴的交点坐标为（2，0） 故答案为B． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，关键是掌握图象与x轴交点横坐标即为方程的解． 5．（2023·云南·一模）在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点重合），再以为腰作等腰直角三角形；以为腰作等腰直角三角形…；按照这样的规律进行下去，那么的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的解析式以及等腰直角三角形的性质即可得出A2（0，2），A3（2，4），A4（6，8），根据坐标的变化即可找出变化规律An（2n−1−2，2n−1）．即可得出点A2019的坐标． 【详解】 解：如上图， ∵点B1、B2、B3、…、Bn在x轴上，且A1B1＝B1B2，A2B2＝B2B3，A3B3＝B3B4， ∵A1（−1，1）， ∴A2（0，2），A3（2，4），A4（6，8），…， ∴An（2n−1−2，2n−1）． ∴A2019的坐标为（22018−2，22018）． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质以及规律型中点的坐标，解题的关键是找出An坐标的变化规律，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，结合一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质找出线段的变化规律是关键． 6．（22-23八年级下·全国·假期作业）点 正比例函数的图像上．（填“在”或“不在”） 【答案】不在 【分析】令，代入正比例函数，求出的值，即可判断点是否在正比例函数的图像上． 【详解】解：对于正比例函数， 当时，， ∴点不在正比例函数的图像上． 故答案为：不在． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的图像与性质，理解正比例函数的图像上的点的坐标特征是解题关键． 7．（22-23八年级下·福建福州·期中）如图，一次函数与x轴，y轴分别交于A，B两点，则 ．    【答案】1 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点，的坐标，进而可得出，的长，再利用三角形的面积公式，即可求出的值． 【详解】解：当时，， 点的坐标为， ； 当时，， 解得：， 点的坐标为， ． ． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键． 8．（22-23八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过两点，若，则 ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】根据一次函数的增减性，k＜0，y随x的增大而减小解答． 【详解】解：∵k=-5＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，关键是掌握一次函数y=kx+b，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小． 9．（22-23八年级·江苏徐州·期末）如图，已知直线y=3x+b与y=ax﹣2的交点的横坐标为﹣2，则关于x的方程3x+b=ax﹣2的解为x= ． 【答案】﹣2 【分析】直线y=3x+b与y=ax-2的交点的横坐标为-2，则x=-2就是关于x的方程3x+b=ax-2的解． 【详解】解：∵直线y=3x+b与y=ax﹣2的交点的横坐标为﹣2， ∴当x=﹣2时，3x+b=ax﹣2， ∴关于x的方程3x+b=ax﹣2的解为x=﹣2． 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值． 10．（22-23九年级下·江苏·阶段练习）如图，已知直线l：y＝x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A5的坐标为 ． 【答案】（0，1024） 【详解】试题分析：∵点A的坐标是（0，1）， ∴OA=1， ∵点B在直线y= x上， ∴OB=2， ∴OA1=4， ∴OA2=16， 根据题意得出OAn=4n， ∴OA5的长等于45=1024， 即A4的坐标（0，1024） 故答案为（0，1024） 考点：点的坐标 11．（22-23八年级·上海·假期作业）已知函数，自变量的取值范围是，求的取值范围． 【答案】 【分析】先判断出函数中，y随x增大而减小，再分别求出当时，当时，对应的函数值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴函数中，y随x增大而减小， 当时，； 当时，； ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了求正比例函数函数值的取值范围，正确判断出正比例函数的增减性是解题的关键． 12．（22-23八年级下·广西贵港·期末）已知一次函数． （1）若这个函数的图像经过原点，求a的值． （2）若这个函数的图像经过一、三、四象限，求a的取值范围． 【答案】（1）2；（2） 【分析】（1）y=kx+b经过原点则b=0，据此求解； （2）y=kx+b的图象经过一、三、四象限，k＞0，b＜0，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：（1）由题意得， ∴． （2）由题意得 解得： ∴a的取值范围是： 【点睛】考查了一次函数的性质，了解一次函数的性质是解答本题的关键，难度不大． 13．（22-23八年级下·陕西渭南·期末）已知一次函数y＝(m﹣3)x+m﹣8，y随x的增大而增大． （1）求m的取值范围； （2）如果这个一次函数又是正比例函数，求m的值． 【答案】（1）m＞3；（2）m＝8． 【分析】（1）根据函数的增减性得到m﹣3＞0，从而确定m的取值范围； （2）根据正比例函数的定义得到m﹣3≠0且m﹣8＝0，从而确定m的值． 【详解】解：（1）∵一次函数y＝(m﹣3)x+m﹣8，y随x的增大而增大 ∴m﹣3＞0， 解得m＞3； （2）∵一次函数y＝(m﹣3)x+m﹣8是正比例函数， ∴m﹣3≠0且m﹣8＝0， 解得m＝8． 【点睛】此题主要考查了一次函数的增减性以及正比例函数的定义，正确记忆相关性质是解题关键． 14．（2023·云南普洱·一模）求出函数y＝﹣1与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】 【分析】化简函数y＝x﹣1，分别求出与x，y轴的交点坐标分别为（1，0），（0，﹣1），即可求三角形面积； 【详解】解：∵y＝﹣1＝﹣1＝x﹣1； ∴y＝x﹣1， ∵函数y＝x﹣1与x，y轴的交点坐标分别为（1，0），（0，﹣1）， ∴S＝． 答：函数与坐标轴围成的三角形面积； 【点睛】本题考查一次函数图象及性质，分式的化简；熟练掌握分式的化简，一次函数与坐标轴围成三角形面积的求法是解题的关键 15．（22-23八年级上·贵州贵阳·期末）在学习了一次函数后，某校数学兴趣小组根据学习的经验，对函数y=-｜x｜-2的图像和性质进行了探究，下面是该兴趣小组的探究过程，请补充完整: (1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如表: x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y ... -5 -4 -3 n -3 -4 -5 ... ①n= ； ②如图，在所给的平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图像； (2)当一2＜x≤5时，y的取值范围是 ； (3)根据所画的图像，请写出一条关于该函数图像的性质. 【答案】（1）①-2，②见解析；（2）；（3）函数图像关于y轴对称；顶点坐标为（0，-2）等等. 【分析】（1）①把x=0代入函数表达式，即可得出n的值； ②把表格中7个点画在坐标系中，根据点的变化趋势，即可画出此函数的图像； （2）结合图像，当一2＜x≤5时，. （3）结合图像，可得当x=-2时，y=0. 【详解】解：（1）①把x=0代入y=-x-2，得y=-2 ②如图所示即为函数图像； （2）当一2＜x≤5时，从图像中可看出最高点纵坐标为-2，最低点纵坐标为-7， ∴. （3）结合图像，可得函数图像关于y轴对称；顶点坐标为（0，-2）等等. 【点睛】本题主要考查一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握函数自变量的取值范围、函数值的求法、列表描点画函数图像及一次函数的性质． 学科网（北京）股份有限公司 $$