第01讲 勾股定理及其逆定理（2大知识点+12大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假七升八数学衔接讲义（北师大版）

第01讲 勾股定理及其逆定理（2大知识点+12大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 用勾股定理解三角形 题型二 已知两点坐标求两点距离 题型三 勾股数问题 题型四 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型五 勾股定理与网格问题 题型六 勾股定理与折叠问题 题型七 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 题型八 利用勾股定理证明线段平方关系 题型九 勾股定理的证明方法 题型十 以弦图为背景的计算题 题型十一 用勾股定理构造图形解决问题 题型十二 勾股定理与无理数 知识点01 勾股定理 知识点01 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 知识点2：勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如）. （2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【典型例题一 用勾股定理解三角形】 【例1】（2024·福建宁德·二模）在中，，，，则的长是（    ） A． B．11 C．13 D．17 【例2】（23-24八年级下·湖南永州·期中）已知直角三角形的两直角边长为3和4，则这个直角三角形的斜边长为（   ） A．5 B．7 C．10 D．12 【例3】（23-24八年级下·天津河北·期中）在中，斜边，则的值是 ． 【例4】（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图所示，是一块由花园小道围成的边长为12米的正方形绿地，在离处5米的绿地旁边处有健身器材，为保护绿地，不直接穿过绿地从到，而是沿小道从，这样多走了 米． 【例5】（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）在中，，，，求． 【例6】（23-24八年级下·广东阳江·期中）如图，直线，垂足为，线段，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点．求的长． 【典型例题二 已知两点坐标求两点距离 】 【例1】（23-24八年级下·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（    ） A． B． C． D．5 【例2】（21-22八年级上·福建三明·期中）在平面直角坐标系中，点M的坐标为，则的长为（    ） A．2 B．5 C．7 D．12 【例3】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在直角坐标平面内点，与点的距离等于 ． 【例4】（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）平面直角坐标系中，有点和点，连接，线段的长为 ． 【例5】（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）如图平面直角坐标系中，已知三点，，． (1)求线段的长； (2)请用含x的代数式表示的值； (3)根据（2）中得出的规律和结论，直接写出代数式的最大值． 【例6】 （23-24七年级下·广西玉林·期中）先阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点坐标，，其两点间距离公式为，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于轴或垂直于轴时，两点距离公式可简化成或． (1)已知，，试求，两点的距离； (2)已知，在平行于轴的直线上，点的纵坐标为6，点的纵坐标为，试求，两点的距离； (3)已知一个三角形各顶点坐标为，，，找出三角形中相等的边？说明理由． 【典型例题三 勾股数问题】 【例1】（23-24八年级下·重庆·期中）在下列四组数中，属于勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．1，， C．4，5，6 D．5，12，13 【例2】（23-24八年级下·广西来宾·期中）下列各组数是勾股数的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级上·山西太原·阶段练习）请你写两个数，使得它们与8可以组成一组勾股数： ． 【例4】（22-23八年级下·安徽六安·期末）若a，12，13是一组勾股数，则 ． 【例5】（22-23八年级下·全国·课后作业）我们知道3，4，5是一组勾股数，那么（k是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果a，b，c是一组勾股数，那么（k是正整数）也是一组勾股数吗？ 【例6】（22-23八年级下·云南昆明·期末）（1）我们知道像3，4，5这样三个整数是一组勾股数，那么，，（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （2）如果a，b，c是一组勾股数，那么，，（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 【典型例题四 以直角三角形三边为边长的图形面积】 【例1】（23-24八年级下·黑龙江·期中）如图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数字及字母表示所在正方形的面积，其中的值为（    ） A．6 B．5 C．8 D．7 【例2】（22-23八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，阴影部分的四边形均为正方形，图中的数据表示其面积，则正方形M的面积为（    ）      A．1 B．7 C． D．5 【例3】（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，正方形的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形的边长分别为4和8，则正方形的面积为 ． 【例4】（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积差为 ． 【例5】（22-23八年级上·广西玉林·期中）如图，在△ABC中，，于点D，，，．请求出△ABC的面积和CD的长． 【例6】（22-23八年级上·重庆万州·期末）如图，学习了勾股定理后，数学活动兴趣小组的小娟和小燕对离教室不远的一个直角三角形花台斜边上的高进行了探究：两人在直角边上距直角顶点米远的点处同时开始测量，点为终点.小娟沿的路径测得所经过的路程是米，小燕沿的路径测得所经过的路程也是米，这时小娟说我能求出这个直角三角形的花台斜边上的高了，小燕说我也知道怎么求出这个直角三角形的花台斜边上的高了.亲爱的同学们你能求出这个直角三角形的花台斜边上的高吗？若能，请你求出来：若不能，请说明理由？    【典型例题五 勾股定理与网格问题】 【例1】（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的顶点处．长为（    ）    A．4.5 B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·广西南宁·期中）如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【例3】（23-24八年级上·重庆大渡口·期末）如图，每个小正方形边长都为1，连接小正方形的三个顶点，，，可得，则边上的高为 ． 【例4】（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上．以点为圆心，长为半径画弧，圆弧交于点，则的长为 ． 【例5】（22-23八年级下·全国·假期作业）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，求网格上的三角形ABC的面积和周长． 【例6】（22-23八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形或四边形．（绘图要求：①所绘图形不得超出正方形网格；②必须用直尺和中性笔绘图，确保所绘图形的顶点必须在格点上） （1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数； （3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数； （4）在图④中，画一个正方形，使它的面积为10． 【典型例题六 勾股定理与折叠问题】 【例1】（22-23八年级上·江苏无锡·期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（   ） A． B．3 C． D． 【例2】（22-23八年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，将等腰直角三角形（）沿折叠，使点落在边的中点处，，那么线段的长度为 A．5 B．4 C．4. 25 D． 【例3】（22-23八年级下·重庆江津·期中）如图，折叠直角三角形纸片ABC，使得两个锐角顶点A、C重合，设折痕为DE，若AB=4，BC=3，则△ADC的周长是    【例4】（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，，，将折叠，使点恰好落在边上，与点重合，为折痕，则 . 【例5】（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图，将长方形纸片沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上．若，，求的长． 【例6】（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形（长方形），，，将沿对角线翻折，使点B落在点处，与轴交于点D，求点D的坐标．    【典型例题七 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 【例1】（22-23八年级下·吉林松原·期末）直角三角形的边长分别为a，b，c，若a2＝9，b2＝16，那么c2的值是（　　） A．5 B．7 C．25 D．25或7 【例2】（22-23八年级上·广东茂名·期中）把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（    ） A．2倍 B．4倍 C．3倍 D．5倍 【例3】（22-23八年级上·甘肃兰州·期中）在中，斜边，则 ． 【例4】（22-23八年级上·江西九江·期中）在中，斜边长，的值为 【例5】（22-23九年级·全国·单元测试）如图所示，中，于，求的长． 【例6】（22-23八年级上·福建宁德·期中）如图，在中，，求BD的值.某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程. （1）过点A作交BC于D，设，用含的代数式表示CD，则______. （2）请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出的值. 【典型例题八 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例1】 （22-23八年级下·广东云浮·期中）在中，，，的对边分别是，，，若，则（  ） A． B． C． D． 【例2】（22-23八年级下·全国·课后作业）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B＝90°，则下列等式中成立的是（    ） A．a2＋b2＝c2 B．b2＋c2＝a2 C．a2＋c2＝b2 D．c2﹣a2＝b2 【例3】（22-23八年级·全国·课后作业）已知直角三角形的三内角、、所对的边分别是、、，是直角，则、、三者之间的关系是 ． 【例4】（22-23八年级上·山西太原·阶段练习）我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据奇异三角形的定义，请你判断：若某三角形的三边长分别为1、2、，则该三角形 （填“是”或者“不是”）奇异三角形． 【例5】（22-23八年级下·山西朔州·期中）如图，△ABC中，∠C=90°，D是BC的中点，DE⊥AB于E，求证：AE2=BE2+AC2． 【例6】（22-23八年级上·江苏泰州·期中）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做双勾股三角形． (1) 根据“双勾股三角形”的定义，请你判断命题“等边三角形一定是双勾股三角形”是真命题还是假命题，并说明理由； (2) 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，若Rt△ABC是双勾股三角形，求a：b：c； (3) 如图，△ABC、△ABD都是以AB为斜边的直角三角形，DA=DB，若在△ABD内存在点E，使AE=AD，CB=CE．试说明△ACE是双勾股三角形． 【典型例题九 勾股定理的证明方法】 【例1】（2024·山西阳泉·二模）我国古代对于数学的研究非常深刻，它为中华民族乃至人类文明的发展做出了重大贡献．其中，主要记载汉代数学成就，率先提出勾股定理，并在测量太阳高远的方法中给出勾股定理的一般公式的著作是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级上·河南郑州·期中）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如下图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”.实际上它也可用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（    ） A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．方程思想 【例3】（22-23八年级上·全国·课前预习）勾股定理的验证：测量法、数格子法、割补法（拼图法）、面积法如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法．．．．．．（通过 的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法）． 【例4】（22-23八年级下·全国·单元测试）如图，利用图(1)或图(2)两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理结论的数学表达式是 ． 【例5】（23-24八年级下·广东中山·开学考试）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题．如图1，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c，将它们拼成如图2 的大正方形，请利用图2 证明“勾股定理”． 【例6】（22-23八年级上·江苏泰州·期中）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：． 证明：， 又S四边形， ． 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明： 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 【典型例题十 以弦图为背景的计算题】 【例1】（23-24八年级下·云南楚雄·期中）如图所示，以的三边向外作正方形，其面积分别为，，，且，，则（    ） A．4 B．12 C．16 D．64 【例2】（23-24八年级上·山西晋中·期中）“赵爽弦图”（图1）通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了一个重要的数学定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，这个图案被选为2002年国际数学家大会的会徽（图2）．利用这个图形证明的重要数学定理是（    ）    A．三角形内角和定理 B．勾股定理 C．勾股定理的逆定理 D．全等三角形的判定定理 【例3】（22-23八年级下·云南曲靖·阶段练习）直角三角形的两条直角边长分别为cm和cm，则这个直角三角形的周长为 . 【例4】（22-23八年级下·山西吕梁·期中）勾股定理的证明方法有很多，如图，这个图案是3世纪我国汉代的 在注解《周髀算经》时给出的．他根据此图指出：四个全等的直角三角形（阴影部分）可以如图围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形． 【例5】（22-23八年级下·江西上饶·阶段练习）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，直角三角形的两直角边之比为5比12，求小正方形的面积． 【例6】（2023八年级上·全国·专题练习）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到两个正方形．    (1)图2中小正方形的边长为___________（用含的代数式表示）： (2)当时，该大正方形的面积是___________． 【典型例题十一 用勾股定理构造图形解决问题】 【例1】（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知甲、乙两人在同一地点出发，甲往东走，乙往南走了，这时甲、乙两人相距（    ）． A． B． C． D． 【例2】（22-23八年级上·广东河源·期中）如图，为了庆祝“五•一”，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长为，高为．如果要求彩带从柱子底端的处均匀地绕柱子圈后到达柱子顶端的处（线段与地面垂直），那么应购买彩带的长度为（　　）    A． B． C． D． 【例3】（22-23八年级上·贵州毕节·期中）点M（3，﹣5）到原点的距离是 ． 【例4】（22-23八年级上·四川成都·期末）河滨公园有一块长方形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了 米，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，请大家文明出行，足下留“青”！ 【例5】（23-24九年级上·广东湛江·阶段练习）有一根长的木棒，要放入长、宽、高分别是，，的木箱中（如图），能放进去吗? 【例6】（23-24八年级上·河南郑州·期中）如图，有一个水池，水面是一个边长为16米的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面2米，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度与这根芦苇的长度分别是多少米？ 【典型例题十二 勾股定理与无理数】 【例1】（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（    ） A．1 B． C． D． 【例2】（23-24八年级上·河北保定·阶段练习）如图，在数轴上点表示的实数是（　　）    A． B． C．-2 D． 【例3】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图所示，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是 ． 【例4】（22-23八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，于点B，且，连接，在上截取，以A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是 ． 【例5】（22-23八年级上·陕西西安·期中）在如图所示的数轴上作出表示的点（保留作图痕迹，不写作法）．    【例6】（22-23八年级上·北京通州·期中）如图为方格，每个小正方形的边长都为1． (1)图1中阴影正方形的面积为________，边长为_______； (2)请在图2中画出一个与图1中阴影部分面积不相等的正方形，并求出所画正方形的边长．要求所画正方形满足以下条件：①正方形的边长为无理数  ②正方形的四个顶点均在网格格点处． 【变式训练1用勾股定理解三角形 】 1．（23-24八年级下·四川广安·期中）如果直角三角形两边分别为3和4，那么这个三角形的第三边可能是（    ） A． B．7 C． D．1 2．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）在中，，，，则正方形的面积为（    ） A．81 B．144 C．225 D．169 3．（23-24八年级下·陕西安康·期中）在中，斜边，则的值为 ． 4．（23-24八年级下·湖北十堰·期中）如图，池塘边有两点A，B，点C是与方向成直角的方向上一点，测得， ，则A，B两点间的距离为 ． 5．（23-24八年级下·甘肃庆阳·期中）如图，已知中，于点，，，，求的长． 6．（23-24八年级下·江西上饶·期中）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度． 【变式训练2已知两点坐标求两点距离 】 1．（22-23八年级下·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是，则的长为（    ） A． B．8 C．9 D．10 2．（2023八年级下·全国·专题练习）在平面直面坐标系中有两点和，则这两点之间的距离是（　　） A．3 B．4 C．5 D．7 3．（23-24八年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是，则点P到原点O的距离为 ． 4．（22-23八年级上·上海宝山·期末）在直角坐标系内，已知点，，且，那么的值是 ． 5．（22-23八年级上·上海浦东新·阶段练习）点P到y轴的距离与它到点A(-8,2)的距离都等于 13,求点P 的坐标。 6．（22-23八年级上·上海黄浦·阶段练习）如图在直角坐标平面系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点，A(+1,0) 、B(0,),已知: OB边上有一点D(0,2).若DE⊥CD于D交x轴于E,请求出点E的坐标.(需写出简要推理过程) 【变式训练3 勾股数问题】 1．（23-24八年级下·广东东莞·期中）下列各组数中，是勾股数的为（    ） A．2，3，4 B．0.3，0.4，0.5 C．5，12，13 D．，， 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）下列各组数据中的三个数是一组勾股数的为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·广东茂名·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．请你写出一组“勾股数” ． 4．（22-23八年级下·全国·单元测试）观察下列几组勾股数，①，，；②，，；③，，；④，，；并寻找规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： ，第组勾股数是 ． 5．（23-24七年级下·全国·假期作业）判断下列各组数是不是勾股数． (1)3，4，7； (2)5，12，13； (3)； (4)3，，5． 6．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）满足的三个正整数，称为勾股数． (1)请把下列三组勾股数补充完整： ①______，8，10；②5，______，13；③8，15，______． (2)任取两个正整数m和n（），请你证明这三个整数，，是勾股数． 【变式训练4 以直角三角形三边为边长的图形面积】 1．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）三个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（    ） A．48 B．64 C．80 D．128 2．（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，三个正方形围成一个直角三角形，其中两个正方形的面积分别是3和7，则字母A所代表的正方形的面积是（   ）    A．2 B．10 C． D．4 3．（23-24八年级上·四川乐山·期末）如图，在中，，，以、为边作正方形，这两个正方形的面积和为 ． 4．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）三个正方形的面积如图所示，则正方形的面积为 ． 5．（22-23八年级上·广东清远·期中）如图，等腰直角三角形的直角边长都是，以等腰直角三角形的两直角边为直径分别画两个半圆，则阴影部分的面积是多少（取）？ 6．（22-23八年级上·广东佛山·期中）如图，在中，，，以为边在点C同侧作正方形，正方形的面积是12，求的长度． 【变式训练5 勾股定理与网格问题】 1．（23-24九年级上·广东潮州·期中）第26届杯世界棋王赛决赛于2月7日至9日在线上进行，这也是2022年第一个世界围棋大赛决赛．如图是一个围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则黑、白两棋子的距离为（　　） A．4 B．5 C．7 D．25 2．（22-23八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，在的正方形网格中，点A，B在格点上，且每个小正方形的边长都是1，则线段的长为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．7 3．（22-23八年级下·河南信阳·期中）如图，在2×2的网格中，线段AB的端点均在网格线的交点上，若每个小正方形的边长均为1，则线段AB的长为 ． 4．（2023九年级下·贵州六盘水·学业考试）如图，在边长为1的正方形网格中，线段AB的端点均在格点上，将线段AB先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到线段CD，连接AC，BD，则四边形ABDC的周长是 个单位长度． 5．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形网格线的交点上．求的周长及边上的高． 6．（23-24八年级下·北京·期中）如图，每个小方格都是边长为1的正方形，求图中格点四边形的周长． 【变式训练6 勾股定理与折叠问题】 1．（22-23七年级下·河南南阳·期末）如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点C落在AB边上的点E处，AD是折痕，则△BDE的周长为(　　) A．6 B．8 C．12 D．14 2．（2023·安徽合肥·一模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠C＝60°，BC＝CD＝8，将四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，则BE的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使落在斜边上，折痕为，则的长为 ． 4．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，是一张长方形纸片，．在边上取一点E，在上取一点F，将纸片沿折叠，点C恰好落在点A处，则线段的长度为 ．      5．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）如图，将一块直角三角形纸片沿直线折叠，使落在斜边上，且点C与点E重合．已知两直角边，求的长． 6．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在长方形纸片中，，，E为边上一点．将长方形纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，求的长． 【变式训练7 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 1．（22-23八年级下·山东临沂·期末）设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为12，斜边长为5，则ab的值是（　　） A．6 B．8 C．12 D．24 2．（22-23八年级下·全国·单元测试）在Rt△ABC中，斜边BC=10，则BC2+AB2+AC2等于(　　) A．20 B．100 C．200 D．144 3．（20-21八年级上·河南平顶山·期中）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，则AB＝ ． 4．（22-23八年级下·吉林松原·期末）《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短，横之不出四尺，纵之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？这段话翻译后是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为 ． 5．（22-23八年级下·全国·单元测试）如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若EF＝10，求CE2 ＋ CF2的值． 6．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，四边形ABCD中，BD⊥AC交于点E．求证：AD2+BC2＝AB2+CD2． 【变式训练8 利用勾股定理证明线段平方关系】 1．（22-23八年级·全国·课后作业）若一个直角三角形的两条直角边各扩大一倍，则其斜边（   ） A．不变 B．扩大一倍 C．扩大两倍 D．扩大四倍 2．（22-23八年级上·山西临汾·期末）已知中，，，的对边分别为、、，若，则（    ）． A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·江苏盐城·期中）在△ABC中，∠C=90°，若AB＝6，则= ． 4．（22-23八年级下·广西南宁·期末）如图，中，，分别以为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为 ．（平方单位） 5．（22-23八年级下·天津·阶段练习）如图，△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AB－BD=AC－CD，求证AB=AC． 6．（22-23八年级上·陕西西安·期末）如图在中，，点E，F分别在上，求证：． 【变式训练9 勾股定理的证明方法】 1．（22-23八年级下·四川绵阳·期末）如图，是年月在北京召开的第届国际数学家大会会标，创作的灵感来源于我国三国时代东吴数学家赵爽所注的著作《周髀算经》中的一个数学知识，这个数学知识是（    ）    A．黄金分割 B．完全平方公式 C．平方差公式 D．勾股定理 2．（22-23八年级下·湖南长沙·期中）勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，我国古代数学家赵爽和刘徽也分别利用《赵爽弦图》和《青朱出入图》证明了勾股定理，以下四个图形，哪一个是赵爽弦图（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·北京海淀·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用“出入相补”的方法证明了勾股定理小明受此启发，探究后发现，若将个直角边长分别为、，斜边长为的直角三角形拼成如图所示的五边形，用等积法也可以证明勾股定理，则小明用两种方法表示五边形的面积分别是用含有、、的式子表示 ， ． 4．（22-23九年级上·湖南长沙·期中）素有“千古第一定理”之称的勾股定理，它是人类第一次将数与形结合在一起的伟大发现，也是人类最早发现并用于生产、观天、测地的第一个定理，它导致了无理数的发现，引发了第一次数学危机，它使数学由测量计算转变为推理论证．在中国，也被称为“商高定理”，西方则称其为“毕达哥拉斯定理”，几千年来，太多的溢美之词给了这一定理，由于它迷人的魅力，人们冥思苦索给出了数百种证明方法，成为了证明方法最多的定理，其中，利用等面积法证明勾股定理最为常见，现有四名网友为证明勾股定理而提供的图形，其中提供的图形（可以作辅助线）能证明勾股定理的网友是 （填写数字序号即可）． 5．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用“出人相补”的方法证明了勾股定理．小华受此启发，探究后发现，若将4个直角边长分别为a、b，斜边长为c的直角三角形拼成如图所示的五边形，用等积法可以证明勾股定理．于是小华用两种不同的方法表示了五边形的面积．请你完成小华的证明：． 6．（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）勾股定理的证明与计算 在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律． （1）右面图形都是用四个全等的直角三角形拼成一个正方形，从中选择一个图形证明勾股定理，写出证明过程． （2）它体现的数学思想是（    ） A． 统计思想    B． 分类思想    C． 数形结合思想    D． 函数思想 （3）如图，将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，其中，求证：． 证明：如图所示：连接，过点B作，交延长线于点F，则请补全证明过程： 【变式训练10 以弦图为背景的计算题】 1．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形．中间是个小正方形．这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，则图2中的“风车”图案的周长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·河南郑州·期中）年国际数学家大会在北京召开，如图①是这届大会会标，会标中央图案是经过艺术处理的，它标志着中国古代数学的成就．如图②是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（     ）    A．两点之间线段最短 B．勾股定理 C．垂线段最短 D．三角形三边之间的关系 3．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图是一“赵爽弦图”模板，其直角三角形的两条直角边的长分别是6和8，则中间小正方形的面积是 ． 4．（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“勾股圆方图”（又称赵爽弦图），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的面积为 ．    5．（23-24八年级下·河南安阳·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状． (1)添加如图辅助线，根据该图，可以用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，通过面积相等，从而证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整：整个组合图形面积表示，方法一：以c为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ；根据面积相等，直接得等式 ，化简最后结果是 ，从而证明勾股定理． (2)当，时，求空白部分的面积． 6．（22-23八年级下·山西·期末）阅读下面的材料，并解决问题： 数学家与勾股数组 定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边的长都是正整数，且满足，那么数组称为一组勾股数． 每一组勾股数都能确定一个边长都为正整数的直角三角形，研究勾股数对研究直角三角形具有重要意义，历史上很多数学家都对勾股数进行了研究： 1．我国西周数学家商高在公元前年发现了“勾三，股四，弦五”，数组是世界上发现最早的一组勾股数． 2．毕达哥拉斯学派提出勾股数公式为，其中为正整数．(说明：根据这个公式不能写出所有勾股数) 3．柏拉图提出的勾股数公式为，其中为大于的整数． (说明：根据这个公式不能写出所有勾股数) 4．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》，其勾股数公式为，其中是互质的奇数．(注：的相同倍数组成的一组数也是勾股数) 5．国外最先给出勾股数通解公式的是希腊的丢番图，其公式为，其中是互质且为一奇一偶的任意正整数． 问题解答： 通过观察柏拉图提出的勾股数公式特点，可知 _； 直接写出一组勾股数，且这组数不能由柏拉图提出的勾股数公式得出； 通过阅读可知，一组勾股数中至少有一个数是偶数，请写出一组勾股数，使其中含有数字． 【变式训练11 用勾股定理构造图形解决问题】 1．（22-23八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）消防云梯的长度是13米，在一次执行任务时，它只能停在离大楼5米远的地方（云梯底端离地面高度忽略不计），则云梯可以达到建筑物的高度是（ ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 2．（22-23八年级上·江苏无锡·期末）如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，从电杆上离地面的处向地面拉一条长为的钢缆，则地面钢缆到电线杆底部的距离是 ．      4．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推4m至C处时（即水平距离）．踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是 ．    5．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）如图，隧道的截面由半圆和长方形构成，长方形的长为，宽为，若该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高，宽，则这辆货运卡车能否通过该隧道？ 6．（22-23八年级下·安徽亳州·阶段练习）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． (1)在图中以格点为顶点画一个面积为10的正方形． (2)把所作正方形分割成赵爽弦图． 【变式训练12 勾股定理与无理数】 1．（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，数轴上点C所表示的数是（    ） A．2 B．3.7 C．3.8 D． 2．（2023·山西太原·三模）如图中的古印度的“无字证明”直观的证明一个重要定理，这个定理早在三千多年前就被周朝的数学家商高提出，它被记载于我国古代著名的数学著作是（　　）    A．《周髀算经》 B．《九章算术》 C．《几何原本》 D．《海岛算经》 3．（23-24八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，根据作图的痕迹可知，点C表示的实数为 ．    4．（2023·陕西咸阳·二模）勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”．即（a为勾，b为股，c为弦），若“勾”为1，“股”为3，则与“弦”最接近的整数是 ． 5．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）在如图所示的数轴上作出所对应的点（不要求写作法，保留作图痕迹）．    6．（22-23八年级上·山西临汾·期末）阅读下列材料，并回答问题，事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论，完成下面活动： （1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为______． （2）如图，于，，，，，求的长度． （3）如图，点在数轴上表示的数是多少？请用类似的方法在图数轴上画出表示数的点（保留作图痕迹） 1．（23-24八年级下·广西玉林·期中）直角三角形的两条直角边的长分别为1，，则斜边的长为（    ） A． B． C． D．2 2．（22-23八年级下·湖北孝感·期中）设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别为a，b及h，则下列关系正确的是(    ) A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·山东滨州·期中）在以O为坐标原点的平面直角坐标系中，点P（-2，1）到坐标原点O的距离为（  ） A． B． C．2 D．5 4．（22-23八年级下·云南昆明·期中）如图所示，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是(      ) A．1 B．2.41 C． D．1＋ 5．（22-23八年级上·山西太原·阶段练习）美国总统伽菲尔德用如图所示的两个边长分别为a、b的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成了一个梯形，用两个不同的方法计算梯形的面积，证明了勾股定理，这体现的数学思想是（　　） A．分类讨论 B．数形结合 C．方程思想 D．转化思想 6．（2024·江苏南京·二模）无人机正在飞行，某时刻控制界面显示“H：，D：”（H代表无人机离起飞点的垂直距离，D代表无人机离起飞点的水平距离），则此时无人机到起飞点的距离为 ． 7．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、b的面积分别为2和5，则c的面积为 ． 8．（22-23九年级上·四川成都·期中）定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形”，若既是直角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为a、b、c，且，则＝ ． 9．（22-23八年级下·天津东丽·期末）如图，图中的所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A的边长为，另外四个正方形中的数字x，8，6，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是 ．    10．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，有一块长为的长方形土地，在土地旁边处有健身器材．居住在处的居民最少走 步可到处健身（假设2步为）． 11．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）小明从家出发向正东方向走了，接着向正北方向走了，这时小明离出发点多远？ 12．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知在中，斜边OB在x轴的正半轴上，直角顶点A在第四象限内，，，求A，B两点的坐标. 13．（22-23八年级下·山东济宁·期末）已知：在中，，、、所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作、、，则有， (1)如图2，分别以的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分、、，请问与有怎样的数量关系，并证明你的结论； (2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据（2）中的探索，直接回答与有怎样的数量关系； (3)若中，，，求出图4中阴影部分的面积． 14．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）利用图形整体面积等于部分面积之和可以证明勾股定理．    ①如图（1）所示可以证明勾股定理，因为大正方形面积表示为，又可表示为，所以，所以，所以，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． ②美国第20届总统伽菲尔德利用图（2）证明了勾股定理，请你用①的方法证明勾股定理； ③如图（3）请你用①的方法证明勾股定理； ④如图（4）请你用①的方法证明勾股定理． 15．（22-23八年级下·重庆涪陵·期末）如图，城心公园的著名景点B在大门A的正北方向 ，游客可以从大门A沿正西方向行至景点C，然后沿笔直的赏花步道到达景点B；也可以从大门A沿正东方向行至景点D，然后沿笔直的临湖步道到达大门A的正北方的景点E，继续沿正北方向行至景点B（点A，B，C，D，E在同一平面内），其中米，米，米，米． (1)求A，B两点的距离； (2)为增强游客的浏览体验，提升公园品质，将从大门A修建一条笔直的玻璃廊桥AF与临湖步道DE交汇于点F，且玻璃廊桥AF垂直于临湖步道DE，求玻璃廊桥AF的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 勾股定理及其逆定理（2大知识点+12大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 用勾股定理解三角形 题型二 已知两点坐标求两点距离 题型三 勾股数问题 题型四 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型五 勾股定理与网格问题 题型六 勾股定理与折叠问题 题型七 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 题型八 利用勾股定理证明线段平方关系 题型九 勾股定理的证明方法 题型十 以弦图为背景的计算题 题型十一 用勾股定理构造图形解决问题 题型十二 勾股定理与无理数 知识点01 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式： ，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 知识点2：勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如）. （2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【典型例题一 用勾股定理解三角形】 【例1】（2024·福建宁德·二模）在中，，，，则的长是（    ） A． B．11 C．13 D．17 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，在中，，，据此直接计算即可求解． 【详解】解：如图， 在中，，， ∴， 故选C． 【例2】（23-24八年级下·湖南永州·期中）已知直角三角形的两直角边长为3和4，则这个直角三角形的斜边长为（   ） A．5 B．7 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理可得斜边长为计算即可求解． 【详解】解：由勾股定理可得，斜边长为：， 故选：A． 【例3】（23-24八年级下·天津河北·期中）在中，斜边，则的值是 ． 【答案】100 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在中， ∵斜边， ， 故答案为：100． 【例4】（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图所示，是一块由花园小道围成的边长为12米的正方形绿地，在离处5米的绿地旁边处有健身器材，为保护绿地，不直接穿过绿地从到，而是沿小道从，这样多走了 米． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，解题的关键是正确的运用勾股定理求．在直角中，为斜边，已知，，则根据勾股定理可以求斜边，根据少走的距离为可以求解． 【详解】解：在中，为斜边， 米， 少走的距离为 （米）， 故答案为：4． 【例5】（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）在中，，，，求． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，根据题意可得． 【详解】解：如图， 根据勾股定理可得：． 【例6】（23-24八年级下·广东阳江·期中）如图，直线，垂足为，线段，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点．求的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，旋转的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理得到，得到由旋转得到，即可得到结论． 【详解】解：，线段， 在中， 由题意可知：， ∴． 【典型例题二 已知两点坐标求两点距离 】 【例1】（23-24八年级下·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】此题考查了平面直角坐标系中点到原点的距离．根据平面直角坐标系中点到原点的距离公式求解即可． 【详解】解：点到原点的距离为． 故选：A 【例2】（21-22八年级上·福建三明·期中）在平面直角坐标系中，点M的坐标为，则的长为（    ） A．2 B．5 C．7 D．12 【答案】B 【分析】根据勾股定理直接列式计算即可． 【详解】解：∵点M的坐标为，， ∴， 故选B 【点睛】本题考查的是已知两点坐标求解线段的长，熟记勾股定理的含义是解本题的关键． 【例3】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在直角坐标平面内点，与点的距离等于 ． 【答案】 【分析】本题考查两点之间的距离公式．根据点的坐标之间用公式即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 【例4】（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）平面直角坐标系中，有点和点，连接，线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离，以及勾股定理：计算，即可作答． 【详解】解：∵点和点， ∴线段的长为， 故答案为：． 【例5】（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）如图平面直角坐标系中，已知三点，，． (1)求线段的长； (2)请用含x的代数式表示的值； (3)根据（2）中得出的规律和结论，直接写出代数式的最大值． 【答案】(1)10 (2) (3)5 【分析】本题考查最短路线问题，两点间的距离公式： （1）根据两点间的距离公式可求线段的长； （2）根据两点间的距离公式可求线段的值，再相加即可求解； （3）由代数式可得的最大值即为点与间的距离，根据两点间的距离公式即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴ （3）解：根据题意得：表示点与点间的距离，与点的距离之差， ∴的最大值为点与间的距离， 即． 【例6】 （23-24七年级下·广西玉林·期中）先阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点坐标，，其两点间距离公式为，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于轴或垂直于轴时，两点距离公式可简化成或． (1)已知，，试求，两点的距离； (2)已知，在平行于轴的直线上，点的纵坐标为6，点的纵坐标为，试求，两点的距离； (3)已知一个三角形各顶点坐标为，，，找出三角形中相等的边？说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了两点间距离公式，准确理解题意是解题的关键． （1）直接根据两点间距离公式计算即可； （2）直接根据两点间距离公式计算即可； （3）先根据两点间距离公式分别计算三角形三边的长度，再进行比较即可． 【详解】（1），， ； （2）在平行于轴的直线上，点的纵坐标为6，点的纵坐标为， ； （3），理由如下： ，，， ， ， ， ． 【典型例题三 勾股数问题】 【例1】（23-24八年级下·重庆·期中）在下列四组数中，属于勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．1，， C．4，5，6 D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的定义，熟练掌握勾股数的定义是解此题的关键．根据勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，根据勾股数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故本选项不符合题意； B、，不是整数，故不是勾股数，故本选项不符合题意； C、，故不是勾股数，故本选项不符合题意； D、，故是勾股数，故本选项符合题意， 故选：D． 【例2】（23-24八年级下·广西来宾·期中）下列各组数是勾股数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股数，根据勾股数是满足的三个正整数逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，∴不是勾股数，不符合题意； B、∵，∴不是勾股数，不符合题意； C、∵都不是整数，∴不是勾股数，不符合题意； D、∵，∴是勾股数，符合题意； 故选：D． 【例3】（23-24八年级上·山西太原·阶段练习）请你写两个数，使得它们与8可以组成一组勾股数： ． 【答案】/10，6 【分析】本题考查了勾股数的概念，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴可以组成一组勾股数 故答案为：（答案不唯一） 【例4】（22-23八年级下·安徽六安·期末）若a，12，13是一组勾股数，则 ． 【答案】5 【分析】分a为最长边，13为最长边两种情况讨论，根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：①a为最长边， ，a不是整数，不能构成勾股数，不符合题意． ②13为最长边， ，三边都是正整数，符合题意； 故答案为5． 【点睛】此题考查勾股数，解题关键在于掌握勾股定理的含义以及勾股数为正整数． 【例5】（22-23八年级下·全国·课后作业）我们知道3，4，5是一组勾股数，那么（k是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果a，b，c是一组勾股数，那么（k是正整数）也是一组勾股数吗？ 【答案】（k是正整数）为勾股数，（k是正整数）也是勾股数 【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数a、b、c称为勾股数，即可判断（k是正整数）与是不是一组勾股数． 【详解】因为， 所以（k是正整数）为勾股数． 如果a，b，c为勾股数，即，那么 ． 因此，（k是正整数）也是勾股数． 【点睛】本题考查勾股数判断，解题的关键是熟练掌握勾股数的定义：满足的三个正整数a、b、c称为勾股数． 【例6】（22-23八年级下·云南昆明·期末）（1）我们知道像3，4，5这样三个整数是一组勾股数，那么，，（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （2）如果a，b，c是一组勾股数，那么，，（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． 【答案】（1），，（k是正整数）是一组勾股数，理由见解析；（2），，（k是正整数）是一组勾股数，理由见解析 【分析】（1）计算，，是否满足即可解答； （2）计算，，是否满足即可解答． 【详解】（1）解：，，（k是正整数）是一组勾股数，理由如下： ∵k是正整数， ∴，，都是正整数， ∵， ∴，，（k是正整数）是一组勾股数； （2）解：，，（k是正整数）是一组勾股数，理由如下： ∵a，b，c是一组勾股数，且k是正整数， ∴，，是三个正整数， ∵， ∴， ∴，，（k是正整数）是一组勾股数． 【点睛】本题考查了勾股数的定义，欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和等于最长边的平方． 【典型例题四 以直角三角形三边为边长的图形面积】 【例1】（23-24八年级下·黑龙江·期中）如图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数字及字母表示所在正方形的面积，其中的值为（    ） A．6 B．5 C．8 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理可知面积为4和面积为3的正方形的边长的平方和等于面积为S的正方形边长的平方，据此可得答案． 【详解】解：每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积， 每个正方形中的数字以及字母S表示所在正方形的边长的平方， ∴由勾股定理得：； 故选：D． 【例2】（22-23八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，阴影部分的四边形均为正方形，图中的数据表示其面积，则正方形M的面积为（    ）      A．1 B．7 C． D．5 【答案】A 【分析】根据正方形M的边长的平方加上面积为3的正方形的边长的平方等于面积为4的正方形的边长的平方，进而可知正方形M的面积加上面积为为3的正方形的面积等于面积为4的正方形的面积，即可得出答案． 【详解】解：正方形M的面积=， 故选：A． 【点睛】本题考查以直角三角形三边为边长的图形面积，掌握勾股定理是解题的关键． 【例3】（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，正方形的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形的边长分别为4和8，则正方形的面积为 ． 【答案】48 【分析】本题考查勾股定理的应用．由正方形的边长分别为4和8可得中间的直角三角形的一直角边和斜边分别是4和8，再用勾股定理可求另一直角边，即可得出答案． 【详解】解：如图， ∵正方形的边长分别为4和8， ∴ ∵是直角三角形， ∴ ∴正方形的面积． 故答案为：48． 【例4】（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积差为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理的知识，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．由勾股定理可求出的值，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴正方形和正方形的面积差为． 故答案为：． 【例5】（22-23八年级上·广西玉林·期中）如图，在△ABC中，，于点D，，，．请求出△ABC的面积和CD的长． 【答案】△ABC的面积为，CD的长为cm 【分析】根据直角三角形面积公式即可求解三角形的面积，再根据直角三角形面积的两种计算方法求出斜边上的高． 【详解】解：∵∠ACB=90 ∴ ∵ ∴ ∴ 答：△ABC的面积为，CD的长为cm． 【点睛】本题考查直角三角形的性质及其面积公式，解题的关键是熟知三角形面积不变． 【例6】（22-23八年级上·重庆万州·期末）如图，学习了勾股定理后，数学活动兴趣小组的小娟和小燕对离教室不远的一个直角三角形花台斜边上的高进行了探究：两人在直角边上距直角顶点米远的点处同时开始测量，点为终点.小娟沿的路径测得所经过的路程是米，小燕沿的路径测得所经过的路程也是米，这时小娟说我能求出这个直角三角形的花台斜边上的高了，小燕说我也知道怎么求出这个直角三角形的花台斜边上的高了.亲爱的同学们你能求出这个直角三角形的花台斜边上的高吗？若能，请你求出来：若不能，请说明理由？    【答案】能，理由见祥解，米 【分析】设，，，根据小娟沿的路径测得所经过的路程是米，小燕沿的路径测得所经过的路程也是米，，，由勾股定理求出x的值，有面积公式得，即可求解. 【详解】解：中，， 设，， 则. ， 又在中，由勾股定理得：， ， 解得：，即（米） 米，米，米 ，米 答：这个直角三角花台底边上的高位为米 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用及三角形的面积公式.正确运用勾股定理及三角形的面积公式是解决问题的关键. 【典型例题五 勾股定理与网格问题】 【例1】（23-24八年级上·广东深圳·期中）如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的顶点处．长为（    ）    A．4.5 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理，直接利用勾股定理求出的长． 【详解】解：． 故选C． 【例2】（23-24八年级下·广西南宁·期中）如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，直接根据网格的特点和勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为， 故选：C． 【例3】（23-24八年级上·重庆大渡口·期末）如图，每个小正方形边长都为1，连接小正方形的三个顶点，，，可得，则边上的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，由图形，根据勾股定理可得，然后根据三角形的面积和正方形的面积，求得，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：依题意，， ， ∴边上的高为， 故答案为：． 【例4】（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上．以点为圆心，长为半径画弧，圆弧交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查网格中求线段长，涉及勾股定理，由题中条件及网格可知在中，，，，由勾股定理代值求解即可得到答案，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，，， 在中，，则由勾股定理可得， 故答案为：． 【例5】（22-23八年级下·全国·假期作业）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，求网格上的三角形ABC的面积和周长． 【答案】面积是7，周长是 【分析】利用面积和差和勾股定理求解即可． 【详解】解：△ABC的面积=； 由勾股定理得： ， ， ， 所以△ABC的周长为． 【点睛】本题考查了勾股定理，解题关键是熟练运用勾股定理求线段长． 【例6】（22-23八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形或四边形．（绘图要求：①所绘图形不得超出正方形网格；②必须用直尺和中性笔绘图，确保所绘图形的顶点必须在格点上） （1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数； （3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数； （4）在图④中，画一个正方形，使它的面积为10． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析； 【分析】根据勾股定理即可得． 【详解】解：（1）如图①所示，三边分别为：3，4，5； （2）如图②所示，三边分别为：，，2或，，4 ； （3如图③所示，三边分别为：，，或，，或，，； （4）如图④所示，正方形的边长为：，则面积：（）2=10． 【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理． 【典型例题六 勾股定理与折叠问题】 【例1】（22-23八年级上·江苏无锡·期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】先利用折叠的性质得到，设，则，，在中，根据勾股定理可得到，求解即可． 【详解】解：∵沿DE翻折，使点A与点B重合， ∴， ∴， 设，则，， 在中， ∵， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质及勾股定理的应用，理解题意，熟练掌握勾股定理解三角形是解题关键． 【例2】（22-23八年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，将等腰直角三角形（）沿折叠，使点落在边的中点处，，那么线段的长度为 A．5 B．4 C．4. 25 D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质可求得AE=A1E，可设AE=A1E=x，则BE=6-x，且A1B=3，在Rt△A1BE中，利用勾股定理可列方程，则可求得答案． 【详解】解：由折叠的性质可得AE=A1E， ∵△ABC为等腰直角三角形，BC=6， ∴AB=6， ∵A1为BC的中点， ∴A1B=3， 设AE=A1E=x，则BE=6-x， 在Rt△A1BE中，由勾股定理可得32+（6-x）2=x2，解得x=， 故选D． 【点睛】本题考查折叠的性质，利用折叠的性质得到AE=A1E是解题的关键，注意勾股定理的应用． 【例3】（22-23八年级下·重庆江津·期中）如图，折叠直角三角形纸片ABC，使得两个锐角顶点A、C重合，设折痕为DE，若AB=4，BC=3，则△ADC的周长是    【答案】 【分析】首先根据勾股定理设，求出AD、CD，再求出AB，相加即可． 【详解】解：∵折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点、重合， ∴， 设，则，故， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 则 在中， 由勾股定理得 ∴AC=5 ∴周长为AD+CD+AB= ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用以及折叠的性质，掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键． 【例4】（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，，，将折叠，使点恰好落在边上，与点重合，为折痕，则 . 【答案】15 【分析】根据折叠的性质可设BE=EB′=x，EC=40﹣x，然后再利用勾股定理在Rt△ABC中求得AC，进而在Rt△B′EC中求解x即可. 【详解】解：根据折叠的性质可得BE=EB′，AB′=AB=30， 设BE=EB′=x，则EC=40﹣x， ∵∠B=90°，AB=30，BC=40， ∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC=50， ∴B′C=50﹣30=20， 在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2+202=（40﹣x）2， 解得x=15． 故答案是15． 【点睛】勾股定理和翻折变换是本题的考点，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键. 【例5】（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图，将长方形纸片沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上．若，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质得到，设，则，由线段中点的定义得到，再由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， ∵是边的中点， ∴， 由长方形的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 【例6】（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形（长方形），，，将沿对角线翻折，使点B落在点处，与轴交于点D，求点D的坐标．    【答案】D的坐标为 【分析】根据题意由折叠的性质可知，易得设则，在中，由勾股定理得，进一步求得D的坐标,并且主要考查了翻折变换的性质及勾股定理的应用问题，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答是解题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可知， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得：， ∴点D的坐标为： 【典型例题七 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 【例1】（22-23八年级下·吉林松原·期末）直角三角形的边长分别为a，b，c，若a2＝9，b2＝16，那么c2的值是（　　） A．5 B．7 C．25 D．25或7 【答案】D 【分析】此题有两种情况：①当a，b为直角边，c为斜边，由勾股定理求出c2即可；②当a，c为直角边，b为斜边，利用勾股定理即可求解；即可得出结论． 【详解】解：当b为直角边时，c2＝a2+b2＝25， 当b为斜边时，c2＝b2﹣a2＝7， 故选D． 【点睛】此题主要考查学生对勾股定理的理解和掌握；解答此题要用分类讨论的思想，学生容易忽略a，c为直角边，b为斜边时这种情况，很容易选A，因此此题是一道易错题． 【例2】（22-23八年级上·广东茂名·期中）把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（    ） A．2倍 B．4倍 C．3倍 D．5倍 【答案】A 【分析】根据勾股定理，可知：把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的2倍． 【详解】设一直角三角形直角边为a、b，斜边为c．则a2+b2＝c2； 另一直角三角形直角边为2a、2b，则根据勾股定理知斜边为＝2c． 即直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的2倍． 故选A． 【点睛】熟练运用勾股定理对式子进行变形． 【例3】（22-23八年级上·甘肃兰州·期中）在中，斜边，则 ． 【答案】2 【分析】根据勾股定理，可知两直角边的平方和等于斜边平方，进而得出答案． 【详解】∵在中，斜边 ∴ ∴ 故答案为：2． 【点睛】本题考查勾股定理，解题关键是根据勾股定理，发现题干中． 【例4】（22-23八年级上·江西九江·期中）在中，斜边长，的值为 【答案】 【分析】结合题意，根据勾股定理的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵中，斜边长， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用，从而完成求解． 【例5】（22-23九年级·全国·单元测试）如图所示，中，于，求的长． 【答案】 【分析】首先由勾股定理求得AB的长度，然后利用射影定理来求CD的长度 【详解】∵在△ABC中，∠ACB=90°,AC=5,BC=12 ∴由勾股定理得到 AB= =13 又CD⊥AB ∴AC =AD AB,即25=13AD 则AD= ∴BD=13-= ∴CD=AD×BD=×, ∴CD= ，即CD的长为 【点睛】此题考查勾股定理，射影定理，解题关键在于利用勾股定理求出AB的值 【例6】（22-23八年级上·福建宁德·期中）如图，在中，，求BD的值.某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程. （1）过点A作交BC于D，设，用含的代数式表示CD，则______. （2）请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设BD=x，由CD=BC-BD表示出CD， （2）分别在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用勾股定理表示出AD2，列出关于x的方程，求出方程的解得到AD的长 【详解】（1）设BD=x ，CD=BC-BD= （2）在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13， 设BD=x，则有CD=14-x， 由勾股定理得： 故， 解得：. 【点睛】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 【典型例题八 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例1】 （22-23八年级下·广东云浮·期中）在中，，，的对边分别是，，，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理解答即可． 【详解】解：，，的对边分别是，，，， 为斜边， ． 故选：C． 【点睛】本题考查的勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 【例2】（22-23八年级下·全国·课后作业）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B＝90°，则下列等式中成立的是（    ） A．a2＋b2＝c2 B．b2＋c2＝a2 C．a2＋c2＝b2 D．c2﹣a2＝b2 【答案】C 【分析】利用勾股定理即可得到结果． 【详解】解：在△ABC中，∠B＝90°， ∴△ABC为直角三角形， 则根据勾股定理得：． 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 【例3】（22-23八年级·全国·课后作业）已知直角三角形的三内角、、所对的边分别是、、，是直角，则、、三者之间的关系是 ． 【答案】 【分析】根据在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即可得到答案. 【详解】解：在直角三角形中，是直角， ∴； 故答案为. 【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握定理的运用. 【例4】（22-23八年级上·山西太原·阶段练习）我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据奇异三角形的定义，请你判断：若某三角形的三边长分别为1、2、，则该三角形 （填“是”或者“不是”）奇异三角形． 【答案】是 【分析】根据奇异三角形的定义，即可求解． 【详解】解，   ∴该三角形是奇异三角形． 故答案是：是． 【点睛】本题主要考查了新定义的理解，明确题意，理解新定义是解题的关键． 【例5】（22-23八年级下·山西朔州·期中）如图，△ABC中，∠C=90°，D是BC的中点，DE⊥AB于E，求证：AE2=BE2+AC2． 【答案】见解析 【分析】连接AD，根据中点的定义得到BD=CD，利用勾股定理得到，即可证明． 【详解】证明：连接AD， ∵D是BC中点，DE⊥BC， ∴BD=CD， ∵∠C=90°， ∴ = =． 【点睛】本题考查了勾股定理，解此题的关键是能正确作出辅助线，掌握直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方． 【例6】（22-23八年级上·江苏泰州·期中）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做双勾股三角形． (1) 根据“双勾股三角形”的定义，请你判断命题“等边三角形一定是双勾股三角形”是真命题还是假命题，并说明理由； (2) 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，若Rt△ABC是双勾股三角形，求a：b：c； (3) 如图，△ABC、△ABD都是以AB为斜边的直角三角形，DA=DB，若在△ABD内存在点E，使AE=AD，CB=CE．试说明△ACE是双勾股三角形． 【答案】（1）真命理，理由见解析；（2）a：b：c=1： ：：或a：b：c=： 1：；（3）见解析 【分析】（1）根据“双勾股三角形”的定义即可得出结论； （2）由勾股定理可得a2＋b2＝c2，然后根据三边的大小关系分类讨论，分别根据“双勾股三角形”的定义列出方程即可分别求出结论； （3）根据勾股定理可得AC2＋BC2=AB2，AD2＋BD2=AB2,从而得出AC2＋BC2 =AD2＋BD2，再结合已知条件和等量代换即可证出AC2＋CE2=2AE2，从而证出结论． 【详解】解：（1）真命题，理由如下： 设等边三角形的三边为a、b、c，则a=b=c ∴a2＋b2＝2c2 ∴等边三角形一定是双勾股三角形． （2）在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴a2＋b2＝c2, 当c＞b＞a＞0时， ∴2c2＞a2＋b2，2a2＜b2＋c2, ∴若△ABC是双勾股三角形，一定有2b2=a2＋c2, ∴2b2=a2＋（a2＋b2 ）， ∴b2=2a2， ∴b=a, ∵c2=b2＋a2=3a2， ∴c=a ∴a: b: c＝1: : ； 当c＞a＞b＞0时， 同理若△ABC是双勾股三角形，一定有2a2=b2＋c2， ∴2a2=b2＋（a2＋b2 ）， ∴a2=2b2， ∴a=b, ∵c2=b2＋a2=3b2， ∴c=b ∴a: b: c＝ :1: 综上：a：b：c=1： ：：或a：b：c=： 1：；． （3）在Rt△ACB中，AC2＋BC2=AB2 在Rt△ADB中，AD2＋BD2=AB2, ∴AC2＋BC2 =AD2＋BD2 ∵DA=DB，AE=AD，CB=CE ∴AC2＋CE2 =2AD2 ∴AC2＋CE2=2AE2 ∴△ACE是双勾股三角形 【点睛】此题考查的是勾股定理和新定义类问题，掌握勾股定理和“双勾股三角形”的定义是解题关键． 【典型例题九 勾股定理的证明方法】 【例1】（2024·山西阳泉·二模）我国古代对于数学的研究非常深刻，它为中华民族乃至人类文明的发展做出了重大贡献．其中，主要记载汉代数学成就，率先提出勾股定理，并在测量太阳高远的方法中给出勾股定理的一般公式的著作是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数学历史文化，勾股定理，掌握知识点是解题关键． 【详解】解：“勾三、股四、弦五”这一结论最早在数学著作《周髀算经》中提出来的，故B正确． 故选：B． 【例2】（23-24八年级上·河南郑州·期中）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如下图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”.实际上它也可用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（    ） A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．方程思想 【答案】C 【分析】本题是对数学思想的考查，根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，据此回答即可． 【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法， 如勾股定理的推导是根据图形面积转换得以证明的， 由图形到数学规律的转化体现的数学的思想为：数形结合思想， 故选：C． 【例3】（22-23八年级上·全国·课前预习）勾股定理的验证：测量法、数格子法、割补法（拼图法）、面积法如青朱出入图、五巧板、玄图、总统证法．．．．．．（通过 的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积法）． 【答案】面积 【解析】略 【例4】（22-23八年级下·全国·单元测试）如图，利用图(1)或图(2)两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理结论的数学表达式是 ． 【答案】a2＋b2＝c2 【分析】题中的两个图叫勾股弦图，四个全等的直角三角形的面积和加上小正方形的面积等于大正方形的面积；根据上述的等量关系列式并变形即可得直角三角形的三边关系. 【详解】选择用图(2)证明， 如图大正方形的面积＝(a＋b)2， 用三角形的面积与边长为c的正方形的面积表示为4×ab＋c2， 则(a＋b)2＝4×ab＋c2化简，得a2＋b2＝c2. 故答案为a2＋b2＝c2. 【点睛】本题考查勾股定理的证明. 【例5】（23-24八年级下·广东中山·开学考试）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题．如图1，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c，将它们拼成如图2 的大正方形，请利用图2 证明“勾股定理”． 【答案】见解析 【分析】本题考查利用图形面积证明勾股定理，掌握图形面积的多种求法，一般利用面积公式直接求解，两种方法利用拼组图形面积和来求是解题关键．利用两种求大正方形面积方法列出等式即可． 【详解】解：∵4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c，将它们拼成如图2 的大正方形， ∴， ∴， ∴． 【例6】（22-23八年级上·江苏泰州·期中）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：． 证明：， 又S四边形， ． 请参照上述证法，利用图2完成下面的证明： 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明． 连接，过点B作边上的高，则，仿照已知材料中的方法，利用五边形面积的不同表示方法解答即可． 【详解】证明：连接，过点B作边上的高，则． ∵ 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【典型例题十 以弦图为背景的计算题】 【例1】（23-24八年级下·云南楚雄·期中）如图所示，以的三边向外作正方形，其面积分别为，，，且，，则（    ） A．4 B．12 C．16 D．64 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理及正方形面积公式的运用，解题关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积．由题意可知，，再根据勾股定理可求出． 【详解】解：∵，， ∴，． 在中，， ∴． 故选C． 【例2】（23-24八年级上·山西晋中·期中）“赵爽弦图”（图1）通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了一个重要的数学定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，这个图案被选为2002年国际数学家大会的会徽（图2）．利用这个图形证明的重要数学定理是（    ）    A．三角形内角和定理 B．勾股定理 C．勾股定理的逆定理 D．全等三角形的判定定理 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的数学背景，“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．熟知相关数学史是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理相关的数学背景可知：“赵爽弦图”是对勾股定理的验证． 故选：B． 【例3】（22-23八年级下·云南曲靖·阶段练习）直角三角形的两条直角边长分别为cm和cm，则这个直角三角形的周长为 . 【答案】cm 【分析】已知两直角边长,用勾股定理求出斜边,得出三角形的周长即可. 【详解】∵直角边长为:cm和cm, ∴斜边=(cm), ∴周长=(cm). 故答案为: cm 【点睛】本题考查了二次根式与三角形边长,面积的综合运用.熟练掌握勾股定理的计算解出斜边是关键 【例4】（22-23八年级下·山西吕梁·期中）勾股定理的证明方法有很多，如图，这个图案是3世纪我国汉代的 在注解《周髀算经》时给出的．他根据此图指出：四个全等的直角三角形（阴影部分）可以如图围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形． 【答案】赵爽 【分析】根据数学常识求解即可． 【详解】解：由数学常识可知，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的， 故答案为：赵爽． 【点睛】本题主要考查了赵爽弦图，熟知相关数学常识是解题的关键． 【例5】（22-23八年级下·江西上饶·阶段练习）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，直角三角形的两直角边之比为5比12，求小正方形的面积． 【答案】49 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质和勾股定理，求出直角三角形的两直角边的长是解决问题的关键．由题意勾股定理求出直角三角形的两直角边的长，即可得出小正方形的边长，即可求面积． 【详解】解： 直角三角形的两直角边之比为5比12， 设直角三角形的两直角边分别为， ， （负值舍去）， 直角三角形的两直角边分别为5，12， ∴小正方形的边长为， 小正方形的面积是． 【例6】（2023八年级上·全国·专题练习）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到两个正方形．    (1)图2中小正方形的边长为___________（用含的代数式表示）： (2)当时，该大正方形的面积是___________． 【答案】(1) (2)17 【分析】（1）观察图形，用直角三角形较长的直角边减去较短的直角边即可； （2）当时，求出大正方形的边长即可求其面积． 【详解】（1）解：∵直角三角形较短的直角边， 较长的直角边， ∴小正方形的边长； 故答案为：； （2）解：当时，大正方形的边长， ∴大正方形的面积． 故答案为：17 【点睛】本题考查了列代数式，代数式求值，观察图形，用直角三角形较长的直角边减去较短的直角边求出小正方形的边长是解题的关键． 【典型例题十一 用勾股定理构造图形解决问题】 【例1】（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知甲、乙两人在同一地点出发，甲往东走，乙往南走了，这时甲、乙两人相距（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为甲向东走，乙向南走，其刚好构成一个直角．两人走的距离分别是两直角边，则根据勾股定理可求得斜边即两人的距离． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理的应用．能结合题述正确画出图形是解题关键． 【例2】（22-23八年级上·广东河源·期中）如图，为了庆祝“五•一”，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长为，高为．如果要求彩带从柱子底端的处均匀地绕柱子圈后到达柱子顶端的处（线段与地面垂直），那么应购买彩带的长度为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆柱表面切开展开呈长方形，则有螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长， 【详解】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，    则有螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长， ∵圆柱高米，底面周长米， ∴彩带长=， ∴彩带长至少是， 故选：． 【点睛】本题主要考查立体图形展开图的认识，勾股定理的运用，掌握以上知识是解题的关键． 【例3】（22-23八年级上·贵州毕节·期中）点M（3，﹣5）到原点的距离是 ． 【答案】． 【分析】利用勾股定理，即可求出点M到原点的距离． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点M（3，-5）， ∴点M到原点的距离为：=． 故答案为． 【点睛】本题考查勾股定理，坐标与图形性质，熟记定理是解题的关键． 【例4】（22-23八年级上·四川成都·期末）河滨公园有一块长方形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了 米，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，请大家文明出行，足下留“青”！ 【答案】6 【分析】利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：由题意，， 则（米）， ∴（米）， 故答案为：6． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，理解题意，掌握勾股定理是解答的关键． 【例5】（23-24九年级上·广东湛江·阶段练习）有一根长的木棒，要放入长、宽、高分别是，，的木箱中（如图），能放进去吗? 【答案】能放进去，理由见解析 【分析】本题考查了几何体中勾股定理计算， 连接，利用勾股定理，计算，比较大小，判断即可． 【详解】如图，连接， 根据题意，得， ， 能放进去， 答：能放进去． 【例6】（23-24八年级上·河南郑州·期中）如图，有一个水池，水面是一个边长为16米的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面2米，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度与这根芦苇的长度分别是多少米？ 【答案】水的深度是15米，芦苇长为17米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练地掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理构造方程求解即可． 【详解】解：设水池里水的深度是x米，则芦苇长为米， 由题意得，， 解得：， ， 答：水池里水的深度是15米，芦苇长为17米 【典型例题十二 勾股定理与无理数】 【例1】（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点到原点的距离求法，利用勾股定理结合坐标计算即可． 【详解】解：点到原点的距离是． 故选：B． 【例2】（23-24八年级上·河北保定·阶段练习）如图，在数轴上点表示的实数是（　　）    A． B． C．-2 D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出圆弧的半径即可求解． 【详解】解：设原点表示的点为， 由图可得：， ∵， ∴点表示的实数是， 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理与无理数．注意计算的准确性． 【例3】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图所示，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理，在数轴上表示无理数． 根据勾股定理可求得正方形对角线的长，再根据数轴上两点间的距离公式求出点A表示的数即可． 【详解】解：由勾股定理得： 正方形的对角线为， 设点A表示的数为x， 则， ∵， ∴， 即点A表示的数是． 故答案为：． 【例4】（22-23八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，于点B，且，连接，在上截取，以A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理及实数与数轴上的点是一一对应关系进行求解是解决本题的关键．根据勾股定理可得的长，由题意可得，即，因为，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则点E表示的实数是． 故答案为：． 【例5】（22-23八年级上·陕西西安·期中）在如图所示的数轴上作出表示的点（保留作图痕迹，不写作法）．    【答案】见解析 【分析】只需作出以1和4为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是．然后以原点为圆心，以为半径画弧，和数轴的负半轴交于一点即可． 【详解】解：如图，点P表示的数为．    【点睛】本题考查了实数与数轴的关系、勾股定理等知识知识；熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【例6】（22-23八年级上·北京通州·期中）如图为方格，每个小正方形的边长都为1． (1)图1中阴影正方形的面积为________，边长为_______； (2)请在图2中画出一个与图1中阴影部分面积不相等的正方形，并求出所画正方形的边长．要求所画正方形满足以下条件：①正方形的边长为无理数  ②正方形的四个顶点均在网格格点处． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】（1）根据勾股定理求得正方形的边长，进而求得正方形的面积； （2）根据题意可以选取边长为为边长画出正方形即可求解． 【详解】（1）解：正方形的边长为：，面积为， 故答案为：；； （2）解：如图所示（答案不唯一），正方形的边长为，正方形的面积为 【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，掌握勾股定理是解题的关键． 【变式训练1用勾股定理解三角形 】 1．（23-24八年级下·四川广安·期中）如果直角三角形两边分别为3和4，那么这个三角形的第三边可能是（    ） A． B．7 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，设第三边为a，再分情况讨论即可． 【详解】解：设第三边为a， 当4为斜边时，则， 当为斜边时，则， 四个选项，符合题意的是A， 故选：A． 2．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）在中，，，，则正方形的面积为（    ） A．81 B．144 C．225 D．169 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理以及正方形的面积求法，得出的值是解题关键． 【详解】解：因为，所以正方形的面积为， 故选C． 3．（23-24八年级下·陕西安康·期中）在中，斜边，则的值为 ． 【答案】72 【分析】】 本题考查了勾股定理．正确判断直角三角形的直角边、斜边，利用勾股定理得出等式是解题的关键． 利用勾股定理将转化为，再求值． 【详解】解：中，为斜边， ， ． 故答案为：72． 4．（23-24八年级下·湖北十堰·期中）如图，池塘边有两点A，B，点C是与方向成直角的方向上一点，测得， ，则A，B两点间的距离为 ． 【答案】150 【分析】本题考查勾股定理的应用，直接利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， 由勾股定理，得：； 故答案为：150． 5．（23-24八年级下·甘肃庆阳·期中）如图，已知中，于点，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，先用勾股定理解求出，再用勾股定理解即可． 【详解】解：， ， ，， ， 在中，． 6．（23-24八年级下·江西上饶·期中）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度． 【答案】14.5尺 【分析】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．设尺，用表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设尺， ∵尺，尺， ∴尺，尺， 在中，尺，尺，尺， 根据勾股定理得：， 整理得：，即， 解得：． 答：秋千绳索的长度为尺． 【变式训练2已知两点坐标求两点距离 】 1．（22-23八年级下·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是，则的长为（    ） A． B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】直接根据勾股定理计算即可． 【详解】解：，点为坐标原点， ． 答：线段的长度为10． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 2．（2023八年级下·全国·专题练习）在平面直面坐标系中有两点和，则这两点之间的距离是（　　） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【分析】根据平面直角坐标系中，两点之间的距离公式，代值求解即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中，两点之间的距离，熟练掌握两点之间距离公式的运用是解决问题的关键． 3．（23-24八年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是，则点P到原点O的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求点到原点的距离，勾股定理，解题关键是合理添加辅助线构造直角三角形，并利用勾股定理解三角形．过点作轴，交轴于点，已知点P的坐标是，得，，再根据勾股定理得，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作轴，交轴于点， 点P的坐标是， ，， ， 故答案为：． 4．（22-23八年级上·上海宝山·期末）在直角坐标系内，已知点，，且，那么的值是 ． 【答案】 【分析】结合两点间的距离公式根据的长列等式，计算可求解的值． 【详解】∵、， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查两点间的距离公式，掌握两点间的距离公式是解题的关键． 5．（22-23八年级上·上海浦东新·阶段练习）点P到y轴的距离与它到点A(-8,2)的距离都等于 13,求点P 的坐标。 【答案】或. 【分析】由P到y轴的距离为13，可得P点横坐标为13或-13，设出P点坐标，然后利用两点间的距离公式建立方程求解即可. 【详解】解：∵点P到y轴的距离为13， ∴P点横坐标为13或-13 当P点横坐标为13时，设P(13,a) 由点P到点A(-8,2)的距离等于13得： 整理得，无解，故此种情况不存在； 当P点横坐标为-13时，设P(-13,a) 同理可得 整理得，解得或 ∴点P的坐标为或. 【点睛】本题考查直角坐标系中两点间的距离公式与解一元二次方程，熟练掌握公式建立方程是解题的关键. 6．（22-23八年级上·上海黄浦·阶段练习）如图在直角坐标平面系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点，A(+1,0) 、B(0,),已知: OB边上有一点D(0,2).若DE⊥CD于D交x轴于E,请求出点E的坐标.(需写出简要推理过程) 【答案】（1,0） 【分析】首先设点E的坐标为，求出DE、CD、CE的距离，然后利用勾股定理即可得出点E的坐标. 【详解】设点E的坐标为 ∵D(0,2) ∴ 又∵A(+1,0) ，B(0,), ∴C ∴ 又∵，DE⊥CD ∴ ∴ ∴ ∴点E的坐标为（1,0） 【点睛】此题主要考查直角坐标系中两坐标之间的距离以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题. 【变式训练3 勾股数问题】 1．（23-24八年级下·广东东莞·期中）下列各组数中，是勾股数的为（    ） A．2，3，4 B．0.3，0.4，0.5 C．5，12，13 D．，， 【答案】C 【分析】本题考查勾股数，根据三个正整数，满足两个较小数的平方和等于较大数的平方，则这三个数是勾股数，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是勾股数，不符合题意； B、三个数不是整数，不符合题意； C、，三个数是勾股数，符合题意； D、三个数不是整数，不符合题意； 故选C． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）下列各组数据中的三个数是一组勾股数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理和勾股数的定义，满足．根据勾股数的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A、，，，故此选项错误； B、，，且，故此选项正确； C、，故此选项错误； D、中不是正整数，三个数不是勾股数，故此选项错误． 故答案为：B． 3．（23-24八年级上·广东茂名·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．请你写出一组“勾股数” ． 【答案】6，8，10（答案不唯一） 【分析】根据勾股数的定义，即可求解． 【详解】解：∵， ∴这一组“勾股数”为6，8，10． 故答案为：6，8，10（答案不唯一） 【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若a，b，c是满足的三个正整数，则称a，b，c为勾股数． 4．（22-23八年级下·全国·单元测试）观察下列几组勾股数，①，，；②，，；③，，；④，，；并寻找规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： ，第组勾股数是 ． 【答案】 11，60，61 ，， 【分析】根据所给的几组勾股数可找出规律，根据此规律即可求出第五组勾股数． 【详解】解：①，，， ②，，， ③，，， ， 第组勾股数为： ，，， 第⑤组勾股数为，，，即11，60，61． 故答案为：11，60，61；，，． 【点睛】本题考查了勾股数，此题属规律性题目，解答此题的关键是根据所给的勾股数找出规律，按照此规律即可解答． 5．（23-24七年级下·全国·假期作业）判断下列各组数是不是勾股数． (1)3，4，7； (2)5，12，13； (3)； (4)3，，5． 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 (4)不是 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股数的定义(凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数.)及勾股定理的逆定理计算判断即可． （1）分别计算三边的平方，即可完成判断； （2）分别计算三边的平方，即可完成判断； （3）根据勾股数不能为分数完成判断； （3）根据勾股数不能为负数完成判断； 【详解】（1）解：因为, 所以3，4，7不是勾股数； （2）因为, 所以5，12，13是勾股数； （3）因为勾股数不能为分数，所以不是勾股数； （4）因为勾股数不能为负数，所以3，-4，5不是勾股数． 6．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）满足的三个正整数，称为勾股数． (1)请把下列三组勾股数补充完整： ①______，8，10；②5，______，13；③8，15，______． (2)任取两个正整数m和n（），请你证明这三个整数，，是勾股数． 【答案】(1)①6；②12；③17 (2)见解析 【分析】本题考查勾股数： （1）根据勾股数的定义求解即可； （2）根据勾股数的定义，分别计算各整式的平方，然后判断等式是否成立即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴6，8，10是勾股数； 故答案为：6 ②∵， ∴5，12，13是勾股数； 故答案为：12 ③∵， ∴8，15，17是勾股数． 故答案为：17； （2）证明：∵，， ∴， ∴三个整数，，是勾股数； 【变式训练4 以直角三角形三边为边长的图形面积】 1．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）三个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（    ） A．48 B．64 C．80 D．128 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：因为三个正方形的边构成一个直角三角形，且已知两个正方形的面积即为两条直角边的平方， 由勾股定理，得：正方形A的边长的平方等于 ∴正方形A的面积为； 故选B． 2．（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，三个正方形围成一个直角三角形，其中两个正方形的面积分别是3和7，则字母A所代表的正方形的面积是（   ）    A．2 B．10 C． D．4 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理和正方形的面积公式，得字母A所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差． 【详解】解：由勾股定理得：字母A所代表的正方形的面积． 故选：D． 3．（23-24八年级上·四川乐山·期末）如图，在中，，，以、为边作正方形，这两个正方形的面积和为 ． 【答案】36 【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：， 所以这两个正方形的面积和为36． 故答案为：36． 4．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）三个正方形的面积如图所示，则正方形的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．由勾股定理，求得，即可得到正方形的面积． 【详解】解：由题意可知，,， 是直角三角形， ， 正方形的面积为4， 故答案为：4． 5．（22-23八年级上·广东清远·期中）如图，等腰直角三角形的直角边长都是，以等腰直角三角形的两直角边为直径分别画两个半圆，则阴影部分的面积是多少（取）？ 【答案】 【分析】根据题意可得阴影部分的面积等于圆的面积减去，即可求解． 【详解】解：如图： ∵以等腰直角三角形的两直角边为直径分别画两个半圆， ∴， ∴阴影部分①②③④的面积相等， ∴阴影部分的面积； 答：阴影部分的面积共有． 【点睛】本题主要考查了求阴影部分面积，根据题意得到阴影部分的面积等于圆的面积减去是解题的关键． 6．（22-23八年级上·广东佛山·期中）如图，在中，，，以为边在点C同侧作正方形，正方形的面积是12，求的长度． 【答案】 【分析】根据正方形的面积可知：，然后根据勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：∵正方形的面积是12， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的内容：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 【变式训练5 勾股定理与网格问题】 1．（23-24九年级上·广东潮州·期中）第26届杯世界棋王赛决赛于2月7日至9日在线上进行，这也是2022年第一个世界围棋大赛决赛．如图是一个围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则黑、白两棋子的距离为（　　） A．4 B．5 C．7 D．25 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题中棋盘中黑、白两棋子的位置，构建直角三角形，利用勾股定理即可得到答案，熟练掌握网格中线段长度的求法是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ，即黑、白两棋子的距离为， 故选：B． 2．（22-23八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，在的正方形网格中，点A，B在格点上，且每个小正方形的边长都是1，则线段的长为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【分析】利用勾股定理即可计算． 【详解】根据题意，利用勾股定理有， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的的知识，通过网格点找到合适的直角三角形并确定其边长是解答本题的关键． 3．（22-23八年级下·河南信阳·期中）如图，在2×2的网格中，线段AB的端点均在网格线的交点上，若每个小正方形的边长均为1，则线段AB的长为 ． 【答案】 【分析】利用勾股定理即可计算． 【详解】根据题意，利用勾股定理有， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的的知识，通过网格点找到合适的直角三角形并确定其边长是解答本题的关键． 4．（2023九年级下·贵州六盘水·学业考试）如图，在边长为1的正方形网格中，线段AB的端点均在格点上，将线段AB先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到线段CD，连接AC，BD，则四边形ABDC的周长是 个单位长度． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出AB，BD，CD，AC的长度，再计算四边形ABDC的周长即可． 【详解】解：∵A，B，C，D都在边长为1的正方形网格的格点上， ∴，，，． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，熟练掌握该知识点是解题关键． 5．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形网格线的交点上．求的周长及边上的高． 【答案】周长为；高为 【分析】此题考查了勾股定理，等面积法求线段长度， 首先根据网格的特点和勾股定理求出，，，然后根据三角形周长公式求解，然后利用等面积法求解即可． 【详解】解：由题意可得， 由勾股定理可得， 的周长为． 设边上的高为， ∴ 则， 边上的高是． 6．（23-24八年级下·北京·期中）如图，每个小方格都是边长为1的正方形，求图中格点四边形的周长． 【答案】 【分析】此题考查勾股定理的实际运用，利用格点的特点，把每一条边放在格点直角三角形中是解决问题的关键． 把每一条边都看作直角三角形的斜边，利用勾股定理求得边长，进一步求和即可； 【详解】解：∵每个小方格都是边长为1的正方形， ， ， ， ， ∴四边形的周长为． 【变式训练6 勾股定理与折叠问题】 1．（22-23七年级下·河南南阳·期末）如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点C落在AB边上的点E处，AD是折痕，则△BDE的周长为(　　) A．6 B．8 C．12 D．14 【答案】C 【分析】利用勾股定理求出AB=10，利用翻折不变性可得AE=AC=6，推出BE=4即可解决问题． 【详解】在Rt△ABC中， ∵AC=6，BC=8，∠C=90°， ∴AB10， 由翻折的性质可知：AE=AC=6，CD=DE， ∴BE=4， ∴△BDE的周长=DE+BD+BE=CD+BD+E=BC+BE=8+4=12． 故选：C． 【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．（2023·安徽合肥·一模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠C＝60°，BC＝CD＝8，将四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，则BE的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】作DG⊥BC，连接AE，先根据Rt△CDG，∠DCG=60°，得出CG=4，利用勾股定理求出DG=4，则AB= DG=4，设BE=x，则CE=8-x，根据折叠得AE= CE=8-x，再根据勾股定理在Rt△ABE列出方程进行求解. 【详解】作DG⊥BC，连接AE， 在Rt△CDG，∠DCG=60°，得出CG=4， ∴DG=4，则AB= DG=4， 设BE=x，则CE=8-x，根据折叠得AE= CE=8-x， 在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2，即(8-x)2=(4)2+x2 解得x=1， 故选A. 【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的应用. 3．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使落在斜边上，折痕为，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理．根据勾股定理可求得，由折叠的性质可得，，，进而得到，，设，则，在中，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：在直角三角形中，，， ， 根据折叠的性质可得，，，， ，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 故答案为：6． 4．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，是一张长方形纸片，．在边上取一点E，在上取一点F，将纸片沿折叠，点C恰好落在点A处，则线段的长度为 ．      【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，平行线的性质．等腰三角形的判定和性质，图形的折叠问题．过点F作于点G，则，，根据平行线的性质乙折叠的性质可得，从而得到，设，则，在中，根据勾股定理可得，从而得到，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，过点F作于点G，则，，    根据题意得：， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 5．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）如图，将一块直角三角形纸片沿直线折叠，使落在斜边上，且点C与点E重合．已知两直角边，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，在中，利用勾股定理得，设，则，由折叠的性质得，，，在中，利用勾股定理即可求解， 熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ， 设，则， 沿折叠得到， ，，， ， 在中，勾股定理得：， 即：， 解得：， ． 6．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在长方形纸片中，，，E为边上一点．将长方形纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，先由长方形的性质得到，，再由折叠的性质得到，，先由勾股定理得到，则，设，则，再由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由长方形的性质可得，， 由折叠的性质可得，， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 【变式训练7 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 1．（22-23八年级下·山东临沂·期末）设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为12，斜边长为5，则ab的值是（　　） A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】C 【分析】由该三角形的周长为12，斜边长为5可知a+b+5＝12，再根据勾股定理和完全平方公式即可求出ab的值． 【详解】解：∵三角形的周长为12，斜边长为5， ∴a+b+5＝12， ∴a+b＝7，① ∵a、b是直角三角形的两条直角边， ∴a2+b2＝52，② 由②得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52 ∴72﹣2ab＝52 ab＝12， 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理和三角形的周长以及完全平方公式的运用，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及完全平方公式． 2．（22-23八年级下·全国·单元测试）在Rt△ABC中，斜边BC=10，则BC2+AB2+AC2等于(　　) A．20 B．100 C．200 D．144 【答案】C 【分析】根据勾股定理得出，AB2＋AC2= BC2，即可求出答案 【详解】∵在Rt△ABC中，斜边BC＝10 ∴AB2＋AC2= BC2=100 ∴BC2＋AB2＋AC2=100+100=200 故答案为C 【点睛】此题考查了勾股定理的基本运用，三边平方关系是解决此题的关键 3．（20-21八年级上·河南平顶山·期中）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，则AB＝ ． 【答案】2 【分析】利用勾股定理求得斜边的长度． 【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，由勾股定理得：AB＝＝＝2． 故答案是：2． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 4．（22-23八年级下·吉林松原·期末）《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短，横之不出四尺，纵之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？这段话翻译后是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为 ． 【答案】x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2 【分析】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长． 【详解】解：根据题意可列方程为x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2， 故答案为x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2． 【点睛】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般． 5．（22-23八年级下·全国·单元测试）如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若EF＝10，求CE2 ＋ CF2的值． 【答案】100 【分析】根据角平分线的定义推知∠ECF=90°，然后在直角三角形ECF中利用勾股定理求CE2+CF2的值即可． 【详解】解：∵ B、C、D三点在一条直线上，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠ECF＝∠ECA＋∠FCA＝∠ACB＋∠ACD＝×180°＝90°. ∴CE2 ＋ CF2＝EF2 . ∵EF＝10， ∴CE2＋CF2＝102＝100. 【点睛】本题考查勾股定理, 角平分线线的性质. 6．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，四边形ABCD中，BD⊥AC交于点E．求证：AD2+BC2＝AB2+CD2． 【答案】证明见解析 【分析】由BD⊥AC，利用勾股定理即可求得：在Rt△ AED中，AD2＝AE2+DE2，在Rt△ AEB中，AB2＝AE2+BE2，在Rt△ BEC中，BC2＝BE2+CE2，在Rt△ CED中，CD2＝CE2+DE2，继而证得结论 【详解】证明：∵ BD⊥AC， ∴ ∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠DEC＝90°， ∴ 在Rt△ AED中，AD2＝AE2+DE2， 在Rt△ AEB中，AB2＝AE2+BE2， 在Rt△ BEC中，BC2＝BE2+CE2， 在Rt△ CED中，CD2＝CE2+DE2， ∴ AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2， AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2， ∴ AD2+BC2＝AB2+CD2． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，注意掌握数形结合思想的应用． 【变式训练8 利用勾股定理证明线段平方关系】 1．（22-23八年级·全国·课后作业）若一个直角三角形的两条直角边各扩大一倍，则其斜边（   ） A．不变 B．扩大一倍 C．扩大两倍 D．扩大四倍 【答案】B 【分析】先假设两直角边长度为a，b，斜边为c，则有，此时,当两直角边扩大一倍时，即为2a，2b，则此时再利用勾股定理计算出斜边的表达式后与没扩大之前的斜边进行比较即可. 【详解】设两直角边长度为a，b，斜边为c，则有，此时 当两直角边扩大一倍时，即为2a，2b，则有 此时斜边扩大了一倍. 即应选：B. 【点睛】本题考查了直角三角形的勾股定理，特别注意的是本题中的扩大一倍，是指在原来的基础上增加了原来的一倍，即原来的数乘以2；扩大到两倍，也是原来的数乘以2；而扩大两倍，即在原来的基础上增加了2倍，即原来的数乘以3.以上几点务必区分好. 2．（22-23八年级上·山西临汾·期末）已知中，，，的对边分别为、、，若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理即可得． 【详解】由题意，画出图形如下： 由勾股定理得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理，依据题意，正确画出图形是解题关键． 3．（22-23八年级上·江苏盐城·期中）在△ABC中，∠C=90°，若AB＝6，则= ． 【答案】72 【详解】试题分析：根据勾股定理可得：=，则原式=2=2×36=72． 考点：勾股定理 4．（22-23八年级下·广西南宁·期末）如图，中，，分别以为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为 ．（平方单位） 【答案】14 【分析】阴影部分面积可以看成是以AC、BC为直径的两个半圆的面积加上一个直角三角形ABC的面积减去一个以AB为直径的半圆的面积． 【详解】解：S阴影=直径为AC的半圆面积+直径为BC的半圆面积+S△ABC-直径为AB的半圆面积 = = = = = =14 故答案为：14． 【点睛】本题考查了求不规则图形的面积，阴影部分的面积可以看作是几个规则图形的面积的和或差． 5．（22-23八年级下·天津·阶段练习）如图，△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AB－BD=AC－CD，求证AB=AC． 【答案】见解析. 【分析】由Rt△ADB与Rt△ADC，根据勾股定理结合已知AB－BD=AC－CD，即可得AB=AC． 【详解】∵AD⊥BC， 在Rt△ADB与Rt△ADC中，由勾股定理可得：AB2-BD2=AD2，AC2-CD2=AD2， ∴AB2-BD2=AC2-CD2，即（AB+BD）（AB-BD）=（AC+CD）（AC-CD ∵AB-BD=AC-CD， ∴AB+BD=AC+CD， 两式相加，得2AB=2AC， ∴AB=AC． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 6．（22-23八年级上·陕西西安·期末）如图在中，，点E，F分别在上，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由勾股定理可得，，，，则有，，即可得到结论 【详解】 ，均为直角三角形 在中， 在中， 在中， 在中， 【点睛】本题主要考查了勾股定理的简单应用，解题关键在于找出直角三角形，利用勾股定理求证． 【变式训练9 勾股定理的证明方法】 1．（22-23八年级下·四川绵阳·期末）如图，是年月在北京召开的第届国际数学家大会会标，创作的灵感来源于我国三国时代东吴数学家赵爽所注的著作《周髀算经》中的一个数学知识，这个数学知识是（    ）    A．黄金分割 B．完全平方公式 C．平方差公式 D．勾股定理 【答案】D 【分析】如图，边长为的大正方形的面积等于个全等的两个直角边长分别为和的直角三角形的面积加上边长为的小正方形的面积，即可求解． 【详解】解：如图所示：    由题意得：边长为的大正方形的面积个全等的两个直角边长分别为和的直角三角形的面积边长为的小正方形的面积， 即：， 整理得：， 即直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，解决本题的关键是利用面积法证明勾股定理． 2．（22-23八年级下·湖南长沙·期中）勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，我国古代数学家赵爽和刘徽也分别利用《赵爽弦图》和《青朱出入图》证明了勾股定理，以下四个图形，哪一个是赵爽弦图（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据赵爽弦图证明勾股定理的方法即可求解． 【详解】解： 赵爽弦图，是个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大正方形，直角三角形中较长的直角边为，较短的直角边为，中间小正方形的边长为， ∴选项，是赵爽弦图，符合题意； 选项，不是赵爽弦图，不符合题意； 选项，不是赵爽弦图，不符合题意； 选项，不是赵爽弦图，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查对赵爽弦图的理解，掌握勾股定理的证明方法，赵爽弦图证明勾股定理的方法是解题的关键． 3．（22-23八年级下·北京海淀·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用“出入相补”的方法证明了勾股定理小明受此启发，探究后发现，若将个直角边长分别为、，斜边长为的直角三角形拼成如图所示的五边形，用等积法也可以证明勾股定理，则小明用两种方法表示五边形的面积分别是用含有、、的式子表示 ， ． 【答案】 【分析】五边形的面积边长为的正方形面积个全等的直角边分别为的直角三角形的面积，或五边形的面积边长为的正方形面积边长为的正方形面积个全等的直角边分别为的直角三角形的面积，依此列式计算即可求解． 【详解】解：如图所示： ①， ②． 故答案为：，． 【点睛】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形． 4．（22-23九年级上·湖南长沙·期中）素有“千古第一定理”之称的勾股定理，它是人类第一次将数与形结合在一起的伟大发现，也是人类最早发现并用于生产、观天、测地的第一个定理，它导致了无理数的发现，引发了第一次数学危机，它使数学由测量计算转变为推理论证．在中国，也被称为“商高定理”，西方则称其为“毕达哥拉斯定理”，几千年来，太多的溢美之词给了这一定理，由于它迷人的魅力，人们冥思苦索给出了数百种证明方法，成为了证明方法最多的定理，其中，利用等面积法证明勾股定理最为常见，现有四名网友为证明勾股定理而提供的图形，其中提供的图形（可以作辅助线）能证明勾股定理的网友是 （填写数字序号即可）． 【答案】①②③④ 【分析】根据各部分图形的面积和差系导出a、b、c三者关系进行判断便可． 【详解】解：①由图形可知，， 整理得， 故①符合题意； ②由图形可知，， 整理得， 故②符合题意； ③由下图知，， 整理得， 故③符合题意； ④由下图知，， 即， ∴， ∴， 由的面积公式得， 整理得， 故④符合题意； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题主要考查的是勾股定理的证明，掌握正方形、梯形、直角三角形的面积公式是解决此题的关键． 5．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用“出人相补”的方法证明了勾股定理．小华受此启发，探究后发现，若将4个直角边长分别为a、b，斜边长为c的直角三角形拼成如图所示的五边形，用等积法可以证明勾股定理．于是小华用两种不同的方法表示了五边形的面积．请你完成小华的证明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形．五边形的面积边长为的正方形面积个全等的直角边分别为的直角三角形的面积，或五边形的面积边长为的正方形面积边长为的正方形面积个全等的直角边分别为的直角三角形的面积，依此列式计算即可求解． 【详解】证明：五边形的面积为： ①， ②， ∴， ∴． 6．（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）勾股定理的证明与计算 在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律． （1）右面图形都是用四个全等的直角三角形拼成一个正方形，从中选择一个图形证明勾股定理，写出证明过程． （2）它体现的数学思想是（    ） A． 统计思想    B． 分类思想    C． 数形结合思想    D． 函数思想 （3）如图，将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，其中，求证：． 证明：如图所示：连接，过点B作，交延长线于点F，则请补全证明过程： 【答案】（1）见解析；（2）C；（3）见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明： （1）分别表示出两幅图中大正方形的面积，根据面积相等建立等式证明即可； （2）根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想； （3）根据进行证明即可． 【详解】解：（1）如图1所示，大正方形的边长为，则其面积为， 又由大正方形面积为四个全等的直角三角形的面积加上一个边长为c的正方形面积，即大正方形的面积为， ∴， ∴， ∴； 如图2所示，同理根据面积相等可得， ∴， ∴； （2）根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：C； （3）如图所示：连接，过点B作，交延长线于点F，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练10 以弦图为背景的计算题】 1．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形．中间是个小正方形．这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，则图2中的“风车”图案的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理中的弦图模型，由图可知中间小正方形的边长为，再利用勾股定理求出边长即可求解； 【详解】解：如图， 由题意知：，， ∴ 在中，， ∴图2中的“风车”图案的周长为： 故选：C 2．（23-24八年级上·河南郑州·期中）年国际数学家大会在北京召开，如图①是这届大会会标，会标中央图案是经过艺术处理的，它标志着中国古代数学的成就．如图②是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（     ）    A．两点之间线段最短 B．勾股定理 C．垂线段最短 D．三角形三边之间的关系 【答案】B 【分析】根据“弦图”,说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理,本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键. 【详解】解：“弦图”说明了直角三角形的三边之间的关系，它解决的数学问题是勾股定理， 故选：B 3．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图是一“赵爽弦图”模板，其直角三角形的两条直角边的长分别是6和8，则中间小正方形的面积是 ． 【答案】4 【分析】本题考查“赵爽弦图”，发现中间小正方形的边长与两直角边长之间的关系是解题的关键． 将长的直角边减去短直角边即为中间小正方形的边长． 【详解】解：中间小正方形的边长是：， 则中间小正方形的面积是， 故答案为：4． 4．（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“勾股圆方图”（又称赵爽弦图），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的面积为 ．    【答案】4 【分析】本题考查了以弦图为背景的计算题，理解题意是解题的关键．根据图形分析可得小正方形的边长为两条直角边长的差，据此即可求解． 【详解】解：图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的边长是， ∴中间小正方形的面积为． 故答案为：4． 5．（23-24八年级下·河南安阳·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状． (1)添加如图辅助线，根据该图，可以用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，通过面积相等，从而证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整：整个组合图形面积表示，方法一：以c为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ；根据面积相等，直接得等式 ，化简最后结果是 ，从而证明勾股定理． (2)当，时，求空白部分的面积． 【答案】(1)，，， (2)13 【分析】本题考查了勾股定理的几何背景，代数式求值，正确识图是解题的关键． （1）根据题意和图形即可求解； （2）根据空白部分的面积等于以c为边的正方形的面积减去2个直角三角形的面积可得空白部分的面积为，再把，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：方法一：以c为边的正方形的面积两个直角三角形的面积为： 即最后化简为； 方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为； 根据面积相等，得：， 化简最后结果是． 故答案为：，，， （2）解：根据题意得：空白部分的面积为 当，时，原式． 6．（22-23八年级下·山西·期末）阅读下面的材料，并解决问题： 数学家与勾股数组 定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边的长都是正整数，且满足，那么数组称为一组勾股数． 每一组勾股数都能确定一个边长都为正整数的直角三角形，研究勾股数对研究直角三角形具有重要意义，历史上很多数学家都对勾股数进行了研究： 1．我国西周数学家商高在公元前年发现了“勾三，股四，弦五”，数组是世界上发现最早的一组勾股数． 2．毕达哥拉斯学派提出勾股数公式为，其中为正整数．(说明：根据这个公式不能写出所有勾股数) 3．柏拉图提出的勾股数公式为，其中为大于的整数． (说明：根据这个公式不能写出所有勾股数) 4．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》，其勾股数公式为，其中是互质的奇数．(注：的相同倍数组成的一组数也是勾股数) 5．国外最先给出勾股数通解公式的是希腊的丢番图，其公式为，其中是互质且为一奇一偶的任意正整数． 问题解答： 通过观察柏拉图提出的勾股数公式特点，可知 _； 直接写出一组勾股数，且这组数不能由柏拉图提出的勾股数公式得出； 通过阅读可知，一组勾股数中至少有一个数是偶数，请写出一组勾股数，使其中含有数字． 【答案】（1）-2；（2）答案不唯一，例如；（3）答案不唯一，例如 【分析】（1）直接令b-c即可求解； （2）根据题意即可写出勾股数； （3）根据题意即可写出勾股数． 【详解】解：（1）∵ ∴b-c= 故答案为：-2． 答案不唯一，例如 答案不唯一，例如． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握完全平方公式、满足a2＋b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数是解题的关键． 【变式训练11 用勾股定理构造图形解决问题】 1．（22-23八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）消防云梯的长度是13米，在一次执行任务时，它只能停在离大楼5米远的地方（云梯底端离地面高度忽略不计），则云梯可以达到建筑物的高度是（ ） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 【答案】A 【分析】根据题意画出图形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， ∵梯子的底端离建筑物5米，梯子长为13米， ∴（米）． 答：云梯可以达到建筑物的高度是12米． 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 2．（22-23八年级上·江苏无锡·期末）如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故选B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟知勾股定理是解题的关键：在一个直角三角形中，两直角边为a、b，斜边为c，那么． 3．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，从电杆上离地面的处向地面拉一条长为的钢缆，则地面钢缆到电线杆底部的距离是 ．      【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的知识点，电线杆、地面、缆绳正好构成直角三角形，根据勾股定理直接解答本题． 【详解】解：电线杆、地面、缆绳正好构成直角三角形， 由题意知：，， 故答案为 4．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推4m至C处时（即水平距离）．踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是 ．    【答案】/米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．本题设的长为，则，可得，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，，， ∴， 设的长为，则， ∴． 在中， 由勾股定理，得：， 即 解得：． 故答案为：． 5．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）如图，隧道的截面由半圆和长方形构成，长方形的长为，宽为，若该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高，宽，则这辆货运卡车能否通过该隧道？ 【答案】能通过，见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．在上取G，使，过G作于F反向延长交半圆E，利用勾股定理求得，再根据车的宽求此时隧道壁离地面的高度，最后与车高比较即可． 【详解】解：能通过， 如图：在上取G，使，过G作于F反向延长交半圆E， 则，圆的半径， 由勾股定理，得， E点与的距离为； 所以能通过． 6．（22-23八年级下·安徽亳州·阶段练习）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． (1)在图中以格点为顶点画一个面积为10的正方形． (2)把所作正方形分割成赵爽弦图． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）画出边长为的正方形即可； （2）根据赵爽弦图画图即可． 【详解】（1）解：如图，正方形即为所求； 其中，， ∴面积为； （2）如图，即为所求． 【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，无理数，赵爽弦图的知识，解题的关键是能准确识图，能够构造边长为的正方形． 【变式训练12 勾股定理与无理数】 1．（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，数轴上点C所表示的数是（    ） A．2 B．3.7 C．3.8 D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出OB的长，得出OC=OB=， 即可得出数轴上点C所表示的数是． 【详解】解：∵OA=3，AB=2，∠OAB=90°， ∴OB=， ∴OC=OB= 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理与无理数，掌握定理内容准确计算并利用数形结合思想解题是关键． 2．（2023·山西太原·三模）如图中的古印度的“无字证明”直观的证明一个重要定理，这个定理早在三千多年前就被周朝的数学家商高提出，它被记载于我国古代著名的数学著作是（　　）    A．《周髀算经》 B．《九章算术》 C．《几何原本》 D．《海岛算经》 【答案】A 【分析】根据历史事实即可得出答案. 【详解】解：勾股定理被记载于我国古代著名的数学著作是《周髀算经》， 故选：A． 【点睛】本题主要考查勾股定理的来源，掌握勾股定理的相关内容是解题的关键. 3．（23-24八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，根据作图的痕迹可知，点C表示的实数为 ．    【答案】 【分析】利用勾股定理求出，然后根据数轴特点得出答案． 【详解】解：如图，由题意可得：， ∴点C表示的实数为， 故答案为：．    【点睛】本题考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 4．（2023·陕西咸阳·二模）勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”．即（a为勾，b为股，c为弦），若“勾”为1，“股”为3，则与“弦”最接近的整数是 ． 【答案】3 【分析】先根据勾股定理计算出“弦”长，再估算出其取值范围即可． 【详解】解：由题意得“弦”是， ∵，，， ∴10更接近于9， ∴接近于3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 5．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）在如图所示的数轴上作出所对应的点（不要求写作法，保留作图痕迹）．    【答案】见解析 【分析】以2和3为直角边的直角三角形，其斜边长为；再以原点为圆心，以为半径画弧与数轴的正半轴的交点即为所求． 【详解】解：如图所示：    【点睛】本题考查勾股定理与无理数．注意计算的准确性． 6．（22-23八年级上·山西临汾·期末）阅读下列材料，并回答问题，事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论，完成下面活动： （1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为______． （2）如图，于，，，，，求的长度． （3）如图，点在数轴上表示的数是多少？请用类似的方法在图数轴上画出表示数的点（保留作图痕迹） 【答案】（1）10；（2）；（3），见解析 【分析】（1）依据勾股定理进行计算，即可得到这个直角三角形斜边长； （2）依据勾股定理得AD=，进而得出BD=AD=； （3）依据勾股定理，即可得到点A表示的数以及点B的位置． 【详解】解：（1）由勾股定理可得，这个直角三角形斜边长为10 故答案为：10 （2）∵ ∴∠ADC=90° 在中， （3）点在数轴上表示的数是： 如图，在Rt△OBC中，OB=OC= ∴点B即为所求 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方是解题的关键． 1．（23-24八年级下·广西玉林·期中）直角三角形的两条直角边的长分别为1，，则斜边的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理．根据勾股定理进行计算，即可求得结果． 【详解】解：由勾股定理得：斜边的长为 ． 故选：D 2．（22-23八年级下·湖北孝感·期中）设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别为a，b及h，则下列关系正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设斜边为c，根据勾股定理即可得出，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：设斜边为c，根据勾股定理即可得出， ， ，即a2b2=a2h2+b2h2， ， 即， 故选A. 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 3．（22-23八年级下·山东滨州·期中）在以O为坐标原点的平面直角坐标系中，点P（-2，1）到坐标原点O的距离为（  ） A． B． C．2 D．5 【答案】B 【分析】根据勾股定理解答即可． 【详解】解：点P（-2，1）到坐标原点O的距离为 OP＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标系中用勾股定理求距离，熟练掌握勾股定理是关键． 4．（22-23八年级下·云南昆明·期中）如图所示，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是(      ) A．1 B．2.41 C． D．1＋ 【答案】D 【分析】图中正方形的边长为1，则可根据勾股定理求出正方形对角线的长度．以对角线长度为半径作圆与x轴交于点A，则点A表示的数即为1加上对角线的长度． 【详解】应用勾股定理得，正方形的对角线的长度==， 以正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，所以数轴上的点A表示的数为：1+． 故选D． 【点睛】本题主要考查勾股定理的知识，还要了解数轴上的点表示数的方法．解题关键是利用勾股定理求出正方形的对角线长度，同时要掌握圆上各点到圆点的距离相等都为半径． 5．（22-23八年级上·山西太原·阶段练习）美国总统伽菲尔德用如图所示的两个边长分别为a、b的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成了一个梯形，用两个不同的方法计算梯形的面积，证明了勾股定理，这体现的数学思想是（　　） A．分类讨论 B．数形结合 C．方程思想 D．转化思想 【答案】B 【分析】根据伽菲尔德利用图形通过代数法表示面积证明勾股定理，是根据图形列等式体现了数形结合思想． 【详解】解：伽菲尔德利用图形通过代数法表示面积证明勾股定理，这体现了数形结合的数学思想． 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理的证明方法和数形结合思想，审清题意是解题的关键． 6．（2024·江苏南京·二模）无人机正在飞行，某时刻控制界面显示“H：，D：”（H代表无人机离起飞点的垂直距离，D代表无人机离起飞点的水平距离），则此时无人机到起飞点的距离为 ． 【答案】50 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：根据题意可得出此时无人机到起飞点的距离为， 故答案为：50． 7．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、b的面积分别为2和5，则c的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据根据已知及全等三角形的判定可得到，从而得到c的面积的面积的面积． 【详解】解： ∵三个正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴（如上图），根据勾股定理的几何意义，的面积的面积的面积， ∴c的面积的面积的面积． 故答案为：． 8．（22-23九年级上·四川成都·期中）定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形”，若既是直角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为a、b、c，且，则＝ ． 【答案】或 【分析】分两种情况，根据勾股定理、“和美三角形”的定义计算即可． 【详解】解：在Rt中，， ∴， 当时， ∴，， ∵Rt是“和美三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， 当， ∴，， ∵Rt是“和美三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了勾股定理，“和美三角形”的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 9．（22-23八年级下·天津东丽·期末）如图，图中的所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A的边长为，另外四个正方形中的数字x，8，6，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是 ．    【答案】 【分析】先由正方形A的边长得到正方形A的面积，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵正方形A的边长为， ∴正方形A的面积为45， ∴，整理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的几何意义，熟记公式是关键． 10．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，有一块长为的长方形土地，在土地旁边处有健身器材．居住在处的居民最少走 步可到处健身（假设2步为）． 【答案】52 【解析】略 11．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）小明从家出发向正东方向走了，接着向正北方向走了，这时小明离出发点多远？ 【答案】这时小明离出发点 【分析】根据题意，画出图形，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，A为出发点，B为向正东方向走了的地点，C为向正北方向走了的地点，即，．      在中，由勾股定理得： ． 答：这时小明离出发点．     【点睛】本题考查勾股定理的应用．解题的关键是理解题意，正确的画出图形． 12．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知在中，斜边OB在x轴的正半轴上，直角顶点A在第四象限内，，，求A，B两点的坐标. 【答案】点A，B的坐标分别为，. 【分析】设AB为x，由，，得到，根据勾股定理得到，再由题意，根据勾股定理得到，则可以得到答案. 【详解】解：因为，， 设AB为x，则.. 解得，，. 由勾股定理，得. 过点A作， 再由面积法可得. 在中，，, 由勾股定理，得. 所以点A，B的坐标分别为，. 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理. 13．（22-23八年级下·山东济宁·期末）已知：在中，，、、所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作、、，则有， (1)如图2，分别以的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分、、，请问与有怎样的数量关系，并证明你的结论； (2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据（2）中的探索，直接回答与有怎样的数量关系； (3)若中，，，求出图4中阴影部分的面积． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)24 【分析】（1）由扇形的面积公式可知，，，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＋BC2＝AB2，即S1＋S2＝S3； （2）根据（1）中的求解即可得出答案； （3）利用（2）中的结论进行求解． 【详解】（1）解：①， 根据勾股定理可知：， ； （2）解：由（1）知，同理根据根据勾股定理：，从而可得； （3）解：由（2）知． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是对勾股定理的熟练掌握及灵活运用． 14．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）利用图形整体面积等于部分面积之和可以证明勾股定理．    ①如图（1）所示可以证明勾股定理，因为大正方形面积表示为，又可表示为，所以，所以，所以，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． ②美国第20届总统伽菲尔德利用图（2）证明了勾股定理，请你用①的方法证明勾股定理； ③如图（3）请你用①的方法证明勾股定理； ④如图（4）请你用①的方法证明勾股定理． 【答案】②见解析；③见解析；④见解析； 【分析】②梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； ③连结，过点D作边上的高，则，根据的两种不同表示方法，列出关系式，化简即可得证； ④根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式． 【详解】解：②梯形的面积为， 也可利用表示为， ∴ 即， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； ③连结，过点D作边上的高，则，    ∵， 又∵， ∴， ∴， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； ④如图，分别过点I，H作，分别交延长线于点M，N，交于点P，则， ∴， 在正方形中， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 同理， ∴中间小正方形的面积， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理的证明方法是解题的关键． 15．（22-23八年级下·重庆涪陵·期末）如图，城心公园的著名景点B在大门A的正北方向 ，游客可以从大门A沿正西方向行至景点C，然后沿笔直的赏花步道到达景点B；也可以从大门A沿正东方向行至景点D，然后沿笔直的临湖步道到达大门A的正北方的景点E，继续沿正北方向行至景点B（点A，B，C，D，E在同一平面内），其中米，米，米，米． (1)求A，B两点的距离； (2)为增强游客的浏览体验，提升公园品质，将从大门A修建一条笔直的玻璃廊桥AF与临湖步道DE交汇于点F，且玻璃廊桥AF垂直于临湖步道DE，求玻璃廊桥AF的长． 【答案】(1)两点的距离为米 (2)玻璃廊桥的长为米 【分析】(1)在Rt△ABC中，利用勾股定理可得AB的长； (2)在Rt△ADE中，首先利用勾股定理求出DE的长，再根据面积法求出AF的长即可． 【详解】（1）解：由题意，， ∴在中，． ∵米，米， ∴（米）． 答：两点的距离为米． （2）∵米， ∴（米）． ∴在中，． ∵米， ∴（米）． ∵， ∴． ∴ （米）． 答：玻璃廊桥的长为米． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，面积法求垂线段的长，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$