第18讲 一次函数的应用【六大考点+过关测】- 【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

第18讲 一次函数的应用 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握一次函数与一元一次方程之间的关系； 2．掌握单个一次函数图象的应用及两个一次函数图象的应用； 3．能利用一次函数的图象和性质解决实际数学问题。 知识点一 一元一次方程与一次函数的关系 1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0 2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。 y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解 3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 知识点二 一次函数的实际应用 1）数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 2）正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. 注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 3）选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 考点一：已知直线与坐标轴交点求一元一次方程的解 例1．（2023春·八年级课时练习）直线过点，，则关于x的方程的解为 ． 【变式1-1】（2024·陕西·一模）已知关于的方程的解是，则一次函数（、为常数，且）的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【变式1-2】（2023春·浙江台州·八年级统考期末）如图，直线与x轴交于点，则关于x的方程的解为 ．    【变式1-3】（2023秋·广东惠州·九年级校考开学考试）一次函数中，与的部分对应值，如下表：那么，一元一次方程的解是 ． 0 1 2 0 2 考点二：利用图象法解一元一次方程 例2.（2023春·河北石家庄·八年级校考期中）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图像可知，关于的方程的解是（ ）    A． B． C． D． 【变式2-1】（2023春·山东烟台·七年级统考期末）如图，直线和直线相交于点，则方程的解是（    ）    A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24八年级下·陕西商洛·阶段练习）如图，一次函数（且为常数）与的图像相交于点，且点的纵坐标为7，则关于的方程的解是（    ）    A． B． C． D． 【变式2-3】（2023春·河南商丘·八年级统考期末）如图，直线和直线相交于点，根据图像可知，关于的方程的解是（    ）    A．或 B． C． D． 考点三：一次函数的应用——分配方案问题 例3. （2024·河南周口·三模）某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案： 方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶； 方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的付款． 某厨具店计划购进80个电饭煲和x个电热水壶．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． (1)分别写出，关于x的函数表达式． (2)当时． ①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱． ②若两种优惠方案可以同时使用（使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的商品不能再使用方案一优惠），请你设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用． 【变式3-1】（2024·陕西宝鸡·三模）“生活即教育，行为即课程”．某校将劳动教育融入立德树人全过程．学校给每个班划分一块地供学生“种菜”，某班现要购买肥料对该地施肥，该班班长与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门． 方案 运费 肥料价格 方案一 12元 3元 方案二 0元 3.6元 若该班购买千克肥料，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元． (1)请分别写出与之间的函数关系式； (2)若该班计划用180元钱购买肥料，请问该班选择哪种购买方案购买的肥料较多？ 【变式3-2】（2024·安徽淮北·三模）某企业计划购进一批智能机器人，总价在20万元以上，商家推出两种分期付款购买机器人的活动：①首付款满20万元，减2万元；②首付款满15万元，分期交付的余款可享受八折优惠． (1)该企业选中的智能机器人的总价为x万元，采取哪种付款方式比较省钱？请说明理由； (2)已知购买智能机器人的总价低于50万元，除首付款之外，该企业分期付款的能力是每月2万元．若不考虑其他因素，为早日结清余款，该企业该怎样选择？请说明理由． 【变式3-3】（2024·陕西渭南·一模）古人常说：“读书可以启智，读书可以明理，读书可以医愚”，读书不但可以让人增长智慧，开拓视野，而且还能让人明事理，知荣辱．某校为营造书香校园，计划购进个某品牌书架，已知该品牌书架的单价为元个，经过与厂家协商，厂家给出两种优惠方案： 方案一：所有书架均按原价的八折销售； 方案二：若一次购买不超过个，则每个书架按原价的九折销售；若一次购买超过个，则前个打九折，超过的部分每个书架的价格在九折的基础上再降低元． (1)分别求方案一实际付款金额（元）和方案二实际付款金额（元）与之间的函数关系式； (2)当时，请分别求出两种方案的实际付款金额，并判断选择哪种方案对学校来说更省钱． 考点四：一次函数的应用——最大利润问题 例4. （23-24九年级下·宁夏银川·期中）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．通过市场调研发现：购进6千克甲种水果和10千克乙种水果共需110元；乙种水果每千克的进价比甲种水果多3元． (1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？ (2)已知甲、乙两种水果的售价分别为7元/千克和11元/千克，若水果店购进这两种水果共200千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果的3倍．则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【变式4-1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）“读万卷书，行万里路”，最美的风景在路上．为了让同学们在实践中增长见识、提高学习兴趣、陶冶情操，某中学组织八年级师生共600人开展研学活动，现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人辆） 45 60 租金（元/辆） 800 1200 倘若甲、乙两种客车都需要租用，每位师生都有座位且座位没有剩余，设租x辆甲型客车，租车总费用为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)请你设计一种租车方案，要求费用最省． 【变式4-2】（2024·河南南阳·二模）为扎实推进“百县千镇万村高质量发展工程”，某镇已将区域内特色农产品：水晶梨和鹰嘴桃发展成品牌农业，形成“专业合作+基地+农户”产销一条龙服务的产业经营模式，促进农民增收．甲商场从该镇购买500斤水晶梨和300斤鹰嘴桃共用了4300元，已知水晶梨的单价比鹰嘴桃的单价少1元． (1)水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是多少元？ (2)若该商场一次性购买这两种水果1200斤，并且在一天内分别以水晶梨每斤8元，鹰嘴桃每斤10元的价格全部售出，经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600斤，若商场购买鹰嘴桃的数量为n斤，总利润为w元，求w关于n的函数关系式，并求出购买的鹰嘴桃为多少斤时，商场的利润最大，最大利润为多少元． 【变式4-3】（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）动画片《喜羊羊与灰太狼》正在热播中．某企业获得了生产羊公仔和狼公仔的专利．为了满足市场需求，该企业现在开始生产羊和狼两种类别的公仔，每天共生产450只；两种公仔成本和售价如下表所示，设每天生产羊公仔x只，共获利y元． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)如果该企业每天投入成本不超过10000元，那么每天要获利最多，应生产羊公仔和狼公仔各多少只？ 类别 成本（元/只） 售价（元/只） 羊公仔 20 23 狼公仔 30 35 考点五：一次函数的应用——行程问题 例5. （23-24八年级下·吉林长春·期中）一列城际快车从甲地出发匀速开往乙地，一列货运慢车从乙地出发匀速开往甲地．如图是快、慢两车离乙地的路程与快车行驶时间之间的函数图象．根据图象回答下列问题： (1)甲、乙两地之间的距离为________． (2)当时，求慢车离乙地的路程y与x之间的函数关系式． (3)直接写出在慢车行驶过程中，两车相距时x的值． 【变式5-1】（2024·河南信阳·三模）共享电动车是一种新理念下的交通工具，给我们的出行提供了方便．现有两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌的收费方式对应，品牌的收费方式对应． (1)品牌共享电动车骑行分钟后，每分钟收费________元； (2)当时，写出的函数关系式为________； (3)如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱？可以省多少？ 【变式5-2】（2024·浙江金华·三模）随着“体育进公园”提档改造的不断推进，金华沿江绿道成为这座城市的一个超大型“体育场”．在笔直的绿道上，平平和安安分别从相距a千米的甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，已知平平的速度大于安安的速度，两人相遇后，一起聊天停留b分钟后，各自按原速度原方向继续前行，分别到达乙地、甲地后原地休息．两人之间的距离s（千米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图2所示． (1)根据图象信息，______，______． (2)求平平和安安的速度． (3)求线段AB所在直线的函数表达式． 【变式5-3】（2024·吉林长春·一模）小明和小红两同学分别从甲地出发，沿同一条道路骑自行车到乙地参加社会实践活动，小明同学先从甲地出发，小时后小红出发．小明和小红距甲地的距离（千米）与小明出发的时间（小时）之间的函数图象如图所示． (1)小红同学骑自行车的速度为 千米/小时； (2)当时，求小明距甲地的距离与之间的函数关系式； (3)当小红到达乙地时，求小明距乙地的距离． 考点六：一次函数的应用——几何问题 例6.（23-24八年级下·重庆·期中）在中，，，，动点从点出发沿着折线运动（含端点），运动速度为每秒2个单位，设运动时间是秒，的长度是，请解答下列问题： (1)请直接写出与的函数关系式及的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数图象，并结合函数的图象，写出该函数的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，自变量的取值范围． 【变式6-1】（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）如图1所示，正方形中，，点从点出发，沿折线运动，当它到达点时停止运动，连接，记点运动的路程为，的面积为． (1)当时，写出与之间的函数解析式______．当时，写出与之间的函数解析式______． (2)根据自变量的取值范围，在如图2所示的平面直角坐标系中画出点整个运动过程中的函数图象； (3)请根据函数的图象，写出该函数的一条性质； (4)请根据函数的图象，直接写出当时的取值范围． 【变式6-2】（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，，，，动点以每秒的速度从点出发，沿折线方向运动．动点以每秒的速度从点同时出发，沿折线方向运动．当两者相遇时停止运动．设运动时间为，点，的距离为．    (1)请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围． (2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质． (3)当点，相距时，求出的值． 【变式6-3】（23-24八年级下·海南·期中）如图，在长方形中，，、点从出发，沿路线运动，到停止；点的速度为每秒，秒时点改变速度，变为每秒，图是点出发秒后，的面积与秒的关系图象；    (1)当点在上运动时，的面积会_______，点在上运动时，的面积会______，点在上运动时，的面积会________；填“增大”或“减小”或“不变” (2)根据图提供的信息，求出、及图中的值； (3)设点离开点的路程为，请写出动点改变速度后与出发后的运动时间秒的关系式． (4)当点出发后几秒时，的面积是长方形面积的？ 一、单选题 1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x之间函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）“这么近那么美，周末到河北”，河北某文化旅游公司推出野外宿营活动，有两种优惠方案：方案一：以团队为单位办理会员卡（会员卡花费a元），所有人都按半价优惠；方案二：所有人都按六折优惠．某团队有x人参加该活动，购票总花费为y元，这两种方案中y关于x的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（    ） A． B．原票价为400元/人 C．方案二中y关于x的函数解析式为 D．若方案一比方案二更优惠，则 4．（2024·湖北宜昌·模拟预测）为了探究浮力的大小与哪些因素有关，物理实验小组进行了测浮力的实验．如图甲，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数（单位：）与铁块下降的高度（单位：）之间的关系如图乙所示．下列说法不正确的是（    ） A．铁块的高度为 B．铁块入水之前，烧杯内水的高度为 C．当铁块下降的高度为时，该铁块所受到的浮力为 D．当弹簧测力计的示数为时，此时铁块距离烧杯底 二、填空题 5．（23-24八年级下·山东滨州·期中）如图，直线与直线相交于点，则关于x的方程的解为 ． 6．（2024·山东济南·一模）中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高速公路之一，全长240km．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段表示货车离西昌距离与时间之间的函数关系，线段表示轿车离西昌距离与时间之间的函数关系，则货车出发 小时后与轿车相遇． 7．（23-24八年级下·河南南阳·期中）如图， 直线 与x轴、y轴分别交于点 A、B，点 C 是 x轴上的一个动点，将直线 沿直线 翻折，当点 A的对应点 D 恰好落在y轴上时，点 C的横坐标为 ． 8．（23-24八年级下·河南周口·期中）如图，直线与轴和轴分别交于，两点，射线于点．若是射线上的一个动点，是轴上的一个动点，且以，，为顶点的三角形与全等，则的长为 ． 三、解答题 9．（23-24八年级下·江西宜春·阶段练习）为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下： 甲：所有商品按原价8.5折出售； 乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折． 设需要购买体育用品的原价总额为元，去甲商店购买实付元去乙商店购买实付元，其函数图象如图所示． (1)分别求，关于的函数关系式； (2)请根据函数图象，选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算． 10．（2024·河北邯郸·二模）用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为（如图1）．经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图象分别如图2中的线段，．根据以上信息，回答下列问题： (1)求线段对应的函数表达式； (2)先用普通充电器充电后，感觉充电较慢，再改为快速充电器充满电，一共用时，通过计算在图2中画出电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图象． 11．（23-24八年级下·河北沧州·期末）嘉淇一家计划租用一艘船游湖，有下面两种租赁方式： 甲方式：收取固定租金a元，另外再按每小时租费20元计费（不足一小时按一小时计费）； 乙方式：无固定租金，三小时以内每小时租费b元，超过三小时，超过部分按每小时租费32元计费（不足一小时按一小时计费）． 设租用时间为x小时（x为整数），按甲方式租船所需费用为元，按乙方式租船所需费用为元，其图象如图所示． (1) ________， ________； (2)当时，分别求出，关于x的函数解析式； (3)请通过计算说明选择哪种租赁方式比较合算． 12．（2024·天津·三模）已知小明家、书店、森林公园依次在同一条直线上，书店离家，  森林公园离家．小明从家里出发，匀速骑行后到达书店，在书店停留后，匀速骑行9分钟到达森林公园：在森林公园游玩一段时间，然后返回家中．给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 小明离开家的时间 10 20 49 79 112 小明离家的距离 2.75 5 (2)填空： ① a的值为 ②小明从家出发前往书店的骑行速度为 ； ③当 时，请直接写出小明离家的距离 y 关于时间x 的函数解析式． (3)小明从森林公园出发回家时，爸爸从家开车出发匀速行驶前往森林公园，已知爸爸的速度为0.8km/min，当小明与爸爸相遇时，求小明离开家的时间．（直接写出结果） ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第18讲 一次函数的应用 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握一次函数与一元一次方程之间的关系； 2．掌握单个一次函数图象的应用及两个一次函数图象的应用； 3．能利用一次函数的图象和性质解决实际数学问题。 知识点一 一元一次方程与一次函数的关系 1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0 2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。 y=0时x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解 3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 知识点二 一次函数的实际应用 1）数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 2）正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. 注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 3）选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 考点一：已知直线与坐标轴交点求一元一次方程的解 例1．（2023春·八年级课时练习）直线过点，，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】所求方程的解，即函数图像与轴的交点横坐标，确定出解即可． 【详解】解：关于x的方程的解，即为函数图像与轴的交点横坐标， 直线过点， 方程的解为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一次函数与一元一次方程，掌握任何一元一次方程都可以转化为(，为常数，)的形式，所以解一元一次方程可以转化为，当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值.从图像上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值，是解答本题的关键． 【变式1-1】（2024·陕西·一模）已知关于的方程的解是，则一次函数（、为常数，且）的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，关键是根据方程的解其实就是当时一次函数与x轴的交点横坐标解答．根据交点坐标的含义可得答案. 【详解】解：∵关于的方程的解是， ∴一次函数的图象与x轴的交点坐标是． ∴只有选项B的图象符合题意， 故选：B 【变式1-2】（2023春·浙江台州·八年级统考期末）如图，直线与x轴交于点，则关于x的方程的解为 ．    【答案】 【分析】先根据一次函数的图象交x轴交于点可知，当x＝1时函数图象在x轴上，故可得出结论． 【详解】解：∵直线与x轴交于点， 由函数图象可知，当时函数图象在x轴上，即， ∴的解是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次方程，能利用数形结合求出方程的解是解答此题的关键． 【变式1-3】（2023秋·广东惠州·九年级校考开学考试）一次函数中，与的部分对应值，如下表：那么，一元一次方程的解是 ． 0 1 2 0 2 【答案】1 【分析】此题实际上是求当时，所对应的的值，根据表格求解即可． 【详解】解：根据表格可得： 当时，，即一元一次方程的解是， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点与一元一次方程的解的关系是解题的关键． 考点二：利用图象法解一元一次方程 例2.（2023春·河北石家庄·八年级校考期中）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图像可知，关于的方程的解是（ ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线与直线相交于点即可得出方程的解． 【详解】解：直线与直线相交于点， 关于的方程的解是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了利用图象法解一元一次方程，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键． 【变式2-1】（2023春·山东烟台·七年级统考期末）如图，直线和直线相交于点，则方程的解是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两直线的交点的横坐标即为两直线解析式所组成的方程的解． 【详解】解：和直线相交于点， 方程的解是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握一元一次方程与一次函数的关系，从图象上看，一元一次方程的解，相当于已知两条直线交点的横坐标的值． 【变式2-2】（23-24八年级下·陕西商洛·阶段练习）如图，一次函数（且为常数）与的图像相交于点，且点的纵坐标为7，则关于的方程的解是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解与一次函数图像的交点坐标，熟练掌握相关知识是解题关键．先求出点的坐标，由图像可知，当时，两个函数的函数值是相等的，即可求解． 【详解】解：根据题意得，点的纵坐标为7， 把代入， 可得，解得， ∴点的坐标为， ∵一次函数（且a为常数）与的图像相交于点， ∴关于的方程的解是． 故选：B 【变式2-3】（2023春·河南商丘·八年级统考期末）如图，直线和直线相交于点，根据图像可知，关于的方程的解是（    ）    A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解． 【详解】∵直线和直线相交于点， ∴的解是：， 故选：． 【点睛】此题考查了一次函数与一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程与一次函数的关系，从图象上看，一元一次方程的解就是已知两条直线交点的横坐标的值． 考点三：一次函数的应用——分配方案问题 例3. （2024·河南周口·三模）某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案： 方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶； 方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的付款． 某厨具店计划购进80个电饭煲和x个电热水壶．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． (1)分别写出，关于x的函数表达式． (2)当时． ①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱． ②若两种优惠方案可以同时使用（使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的商品不能再使用方案一优惠），请你设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用． 【答案】(1)， (2)①该厨具店选择方案二更省钱；②先按方案一购买80个电饭煲，再按方案二购买120个电热水壶．该方案所需费用为21760元 【分析】本题考查了用代数式表示和一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意正确列出函数表达式． （1）根据题目所给的两个方案，分别列出代数表达式即可； （2）①将分别代入（1）中得出的两个函数表达式，即可解答；②先按方案一购买80个电饭煲，再按方案二购买120个电热水壶最省钱，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， ． （2）解：①当时，，． ∵， ∴该厨具店选择方案二更省钱． ②更省钱的购买方案： 先按方案一购买80个电饭煲，再按方案二购买120个电热水壶． 该方案所需费用为（元）． 【变式3-1】（2024·陕西宝鸡·三模）“生活即教育，行为即课程”．某校将劳动教育融入立德树人全过程．学校给每个班划分一块地供学生“种菜”，某班现要购买肥料对该地施肥，该班班长与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门． 方案 运费 肥料价格 方案一 12元 3元 方案二 0元 3.6元 若该班购买千克肥料，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元． (1)请分别写出与之间的函数关系式； (2)若该班计划用180元钱购买肥料，请问该班选择哪种购买方案购买的肥料较多？ 【答案】(1)， (2)方案一 【分析】本题考查一次函数的应用，列出正确的函数关系式是解答的关键． （1）根据两种销售方案表示出销售总价即可； （2）用不同的购买方法，分别计算所用金额，比较得出答案． 【详解】（1）解： 与之间的函数关系式为， 与之间的函数关系式为． （2）解：当时，，解得， 当时，，解得， ， 该班选择方案一购买的肥料较多． 【变式3-2】（2024·安徽淮北·三模）某企业计划购进一批智能机器人，总价在20万元以上，商家推出两种分期付款购买机器人的活动：①首付款满20万元，减2万元；②首付款满15万元，分期交付的余款可享受八折优惠． (1)该企业选中的智能机器人的总价为x万元，采取哪种付款方式比较省钱？请说明理由； (2)已知购买智能机器人的总价低于50万元，除首付款之外，该企业分期付款的能力是每月2万元．若不考虑其他因素，为早日结清余款，该企业该怎样选择？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)采取第①种方式可早日结清余款，理由见解析 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确理解题意列出关系式是关键． （1）先根据题意表示出第①种，第②种应实付款，再分类讨论即可； （2）分别表示出所购智能机器人的总价x（万元）与结清余款所需的月数之间的函数关系式，相减即可求解． 【详解】（1）解：第①种应实付款， 第②种应实付款，        ， 令，解得 当智能机器人的总价万元时，采取第①种方式较省钱； 当智能机器人的总价万元时，两种方式一样； 当智能机器人的总价万元时，采取第②种方式较省钱． （2）该企业采取第①种优惠方式所购智能机器人的总价x（万元）与结清余款所需的月数之间的关系为：，即 该企业采取第②种优惠方式所购智能机器人的总价x（万元）与结清余款所需的月数之间的关系为：，即 因为，所以 ∴采取第①种方式可早日结清余款． 【变式3-3】（2024·陕西渭南·一模）古人常说：“读书可以启智，读书可以明理，读书可以医愚”，读书不但可以让人增长智慧，开拓视野，而且还能让人明事理，知荣辱．某校为营造书香校园，计划购进个某品牌书架，已知该品牌书架的单价为元个，经过与厂家协商，厂家给出两种优惠方案： 方案一：所有书架均按原价的八折销售； 方案二：若一次购买不超过个，则每个书架按原价的九折销售；若一次购买超过个，则前个打九折，超过的部分每个书架的价格在九折的基础上再降低元． (1)分别求方案一实际付款金额（元）和方案二实际付款金额（元）与之间的函数关系式； (2)当时，请分别求出两种方案的实际付款金额，并判断选择哪种方案对学校来说更省钱． 【答案】(1)，； (2)选择方案一更省钱． 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键； （）根据题意分别列出两种方案的函数关系式即可； （）将分别代入（）中两种方案的函数关系式，计算比较即可． 【详解】（1）解：由题意可得： ， 当时，， 当时，， ∴，； （2）解：当时，（元），（元）， ∴， ∴选择方案一更省钱． 考点四：一次函数的应用——最大利润问题 例4. （23-24九年级下·宁夏银川·期中）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．通过市场调研发现：购进6千克甲种水果和10千克乙种水果共需110元；乙种水果每千克的进价比甲种水果多3元． (1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？ (2)已知甲、乙两种水果的售价分别为7元/千克和11元/千克，若水果店购进这两种水果共200千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果的3倍．则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)甲种水果的进价为5元/，乙种水果进价为8元/ (2)水果店应购进甲水果，购进乙水果才能获得最大利润，最大利润是450元 【分析】（1）设甲种水果的进价为x元/，则乙种水果进价为元/，列方程 解答即可． （2）设购进甲水果m，则乙水果，利润为y元.，利用一次函数的性质解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的性质的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）设甲种水果的进价为x元/，则乙种水果进价为元/ （元） 答：甲种水果的进价为5元/，乙种水果进价为8元/. （2）设购进甲水果m，则乙水果，利润为y元. ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴y随m的增大而减小. ∴当时，y最大，最大值为450元. 【变式4-1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）“读万卷书，行万里路”，最美的风景在路上．为了让同学们在实践中增长见识、提高学习兴趣、陶冶情操，某中学组织八年级师生共600人开展研学活动，现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人辆） 45 60 租金（元/辆） 800 1200 倘若甲、乙两种客车都需要租用，每位师生都有座位且座位没有剩余，设租x辆甲型客车，租车总费用为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)请你设计一种租车方案，要求费用最省． 【答案】(1) (2)租用甲种客车12辆，乙种客车1辆，费用最省 【分析】本题考查了一次函数的应用，综合性强，解决问题的关键在于找到的取值范围，才能确定方案．本题较为灵活，计算量略微有些大，考查了学生的推理能力、计算能力． （1）设租用甲种客车辆，则乙种客车是辆，利用公式：总租金甲的总租金乙的总租金，即可列出与之间的函数关系式； （2）求出x的取值范围，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）依题意得：（为整数） （2）依题意得： ， 解之，得， 为整数，且为整数， 中，，y随x的增大而减小， 的值为12时，y有最小值，为，此时， 租用甲种客车12辆，乙种客车1辆，费用最省． 【变式4-2】（2024·河南南阳·二模）为扎实推进“百县千镇万村高质量发展工程”，某镇已将区域内特色农产品：水晶梨和鹰嘴桃发展成品牌农业，形成“专业合作+基地+农户”产销一条龙服务的产业经营模式，促进农民增收．甲商场从该镇购买500斤水晶梨和300斤鹰嘴桃共用了4300元，已知水晶梨的单价比鹰嘴桃的单价少1元． (1)水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是多少元？ (2)若该商场一次性购买这两种水果1200斤，并且在一天内分别以水晶梨每斤8元，鹰嘴桃每斤10元的价格全部售出，经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600斤，若商场购买鹰嘴桃的数量为n斤，总利润为w元，求w关于n的函数关系式，并求出购买的鹰嘴桃为多少斤时，商场的利润最大，最大利润为多少元． 【答案】(1)水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是5元，6元 (2)；购买的鹰嘴桃为600斤时，商场的利润最大，登大利润为4200元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一次函数的实际应用： （1）设鹰嘴桃的单价为x元，则水晶梨的单价为元，根据购买500斤水晶梨和300斤鹰嘴桃共用了4300元列出方程求解即可； （2）根据题意可得购买水晶梨的数量为斤，则可求出，据此利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设鹰嘴桃的单价为x元，则水晶梨的单价为元， 依题意，得， 解得，则（元）， 答：水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是5元，6元； （2）解：∵商场购买鹰嘴桃的数量为n斤， 购买水晶梨的数量为斤， 依题意，得， ∵， ∴w随着n的增大而增大， 经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600斤， ， ∴当时．w有最大值，最大值为， 购买的鹰嘴桃为600斤时，商场的利润最大，登大利润为4200元． 【变式4-3】（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）动画片《喜羊羊与灰太狼》正在热播中．某企业获得了生产羊公仔和狼公仔的专利．为了满足市场需求，该企业现在开始生产羊和狼两种类别的公仔，每天共生产450只；两种公仔成本和售价如下表所示，设每天生产羊公仔x只，共获利y元． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)如果该企业每天投入成本不超过10000元，那么每天要获利最多，应生产羊公仔和狼公仔各多少只？ 类别 成本（元/只） 售价（元/只） 羊公仔 20 23 狼公仔 30 35 【答案】(1) (2)应生产羊公仔350 ，狼公仔100只 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出数量关系， （1）设每天生产羊公仔x只，则每天生产狼公仔只，根据总利润=羊公仔利润+狼公仔利润，即可得出函数关系式； （2）根据题意，列出不等式，求出x的取值范围，再结合一次函数的增减性，即可解答． 【详解】（1）解：设每天生产羊公仔x只，则每天生产狼公仔只， 根据题意可得：， 即y与x之间的函数关系式为：； （2）解：根据题意可得：， 解得：， ∵，， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值， ∴（只）， 答：应生产羊公仔350 ，狼公仔100只． 考点五：一次函数的应用——行程问题 例5. （23-24八年级下·吉林长春·期中）一列城际快车从甲地出发匀速开往乙地，一列货运慢车从乙地出发匀速开往甲地．如图是快、慢两车离乙地的路程与快车行驶时间之间的函数图象．根据图象回答下列问题： (1)甲、乙两地之间的距离为________． (2)当时，求慢车离乙地的路程y与x之间的函数关系式． (3)直接写出在慢车行驶过程中，两车相距时x的值． 【答案】(1)600； (2)； (3)或 【分析】本题主要考查一次函数的应用，待定系数法求函数解析式是基础，结合题意理解图形是解题的关键． （1）由图象直接得出结论； （2）由图象可知图象经过，，利用待定系数法分别求得； （3）同（2）求出快车离乙地的路程与之间的函数关系式，令，解方程即可． 【详解】（1）解：由图象可知，甲、乙两地之间的距离为， 故答案为：600； （2）当时，设慢车离乙地的路程与之间的函数关系式为 把，代入解析式得：， 解得， ∴慢车离乙地的路程与之间的函数关系式为； （3）设快车离乙地的路程与之间的函数关系式为， 把，代入解析式得：，解得， ∴快车离乙地的路程与之间的函数关系式为， 当两车相距50时，， 解得或， ∴当或时，两车相距． 【变式5-1】（2024·河南信阳·三模）共享电动车是一种新理念下的交通工具，给我们的出行提供了方便．现有两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌的收费方式对应，品牌的收费方式对应． (1)品牌共享电动车骑行分钟后，每分钟收费________元； (2)当时，写出的函数关系式为________； (3)如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱？可以省多少？ 【答案】(1) (2) (3)小明选择品牌共享电动车更省钱，可以省元 【分析】本题主要考查一次函数的实际运用，理解一次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）根据一次函数图象可得骑行10分钟后的路程和费用，由此即可求解； （2）根据的图象，运用待定系数法即可求解； （3）分别算出两种品牌的费用进行比较即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，（元），（）， ∴（元/）， 故答案为； （2）解：设时，，且函数图象过， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：； （3）解：， ∴， 设品牌的费用为，且图象过， ∴， 解得，， ∴， ∴当时，品牌的费用为（元）， 品牌的费用为（元）， ∵，且（元）， ∴小明选择品牌的共享电动车更省钱，可以省元． 【变式5-2】（2024·浙江金华·三模）随着“体育进公园”提档改造的不断推进，金华沿江绿道成为这座城市的一个超大型“体育场”．在笔直的绿道上，平平和安安分别从相距a千米的甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，已知平平的速度大于安安的速度，两人相遇后，一起聊天停留b分钟后，各自按原速度原方向继续前行，分别到达乙地、甲地后原地休息．两人之间的距离s（千米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图2所示． (1)根据图象信息，______，______． (2)求平平和安安的速度． (3)求线段AB所在直线的函数表达式． 【答案】(1)15，10 (2)平平的速度为0.3千米分钟，安安的速度为0.2千米分钟； (3)线段所在直线的函数表达式为． 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度、路程之间的数量关系和待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）根据题意直接写出、的值即可； （2）当时平平到达乙地，根据“速度路程时间”计算平平的速度；设安安的速度为千米分钟，根据二人相遇时两人路程之和为甲、乙两地之间的距离列方程并求解即可； （3）根据“路程速度时间”求出时安安离乙地的距离，从而求出点的坐标；设分钟时安安到达甲地，根据“路程速度时间”列方程并求解，从而求得点的坐标；利用待定系数法求出线段所在直线的函数表达式即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，． 故答案为：15，10； （2）解：平平的速度为（千米分钟）； 设安安的速度为千米分钟，当二人相遇时，得，解得， 平平的速度为0.3千米分钟，安安的速度为0.2千米分钟； （3）解：当时，平平到达乙地，此时安安离乙地的距离为（千米）， ． 设分钟时安安到达甲地． 根据“路程速度时间”，得，解得， ． 设线段所在直线的函数表达式为、为常数，且． 将点和分别代入， 得， 解得， 线段所在直线的函数表达式为． 【变式5-3】（2024·吉林长春·一模）小明和小红两同学分别从甲地出发，沿同一条道路骑自行车到乙地参加社会实践活动，小明同学先从甲地出发，小时后小红出发．小明和小红距甲地的距离（千米）与小明出发的时间（小时）之间的函数图象如图所示． (1)小红同学骑自行车的速度为 千米/小时； (2)当时，求小明距甲地的距离与之间的函数关系式； (3)当小红到达乙地时，求小明距乙地的距离． 【答案】(1) (2) (3)千米 【分析】本题考查一次函数的应用，理解函数图象，掌握待定系数法求解函数解析式时解题的关键． （1）根据：速度=路程/时间，计算即可． （2）利用待定系数法求解即可． （3）根据：速度=路程/时间，解出小红距甲地距离与之间的函数关系式，当小红到达乙地时，，代入求出相对应的值，将的值代入，可得，即为小明距离甲地的距离，在根据：小明距离乙地的距离＝甲乙两地的距离－小明距离甲地的距离，计算即可． 【详解】（1）由图象可知，小红同学在小时内骑了千米， 故其骑自行车的速度为（千米/小时）， 故答案为． （2）当时，设小明距离甲地的距离与之间的函数关系式为（、为常数，且）， 点和在直线上，代入到中， 可得， 解得， ∴当时，小明距离甲地的距离与之间的函数关系式为． （3）设小红距离甲地的距离与之间的函数关系式为（、为常数，且）， 小红同学骑自行车的速度为千米/小时，且点在直线上， ∴， 故小红距离甲地的距离与之间的函数关系式为：， 当小红到达乙地时，，代入解得：， 解得：， 将带入到中， 解得：， 故（千米）， ∴当小红到达乙地时，小明距乙地的距离为千米． 考点六：一次函数的应用——几何问题 例6.（23-24八年级下·重庆·期中）在中，，，，动点从点出发沿着折线运动（含端点），运动速度为每秒2个单位，设运动时间是秒，的长度是，请解答下列问题： (1)请直接写出与的函数关系式及的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数图象，并结合函数的图象，写出该函数的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)作图见解析，当时，y随x的增大而减小； (3)或 【分析】本题考查一次函数的几何应用，作函数图象，根据函数图象求自变量的取值范围等． （1）运动路程为，结合图形即可求解； （2）先作出函数图象，根据图象即可解答； （3）先求出时x的值，结合图象即可作答． 【详解】（1）解：由题意可得：当时，， 当时，， ∴； （2）如图所示， 当时，y随x的增大而减小； （3）解，令，则或， ∴当时，自变量的取值范围为：或． 【变式6-1】（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）如图1所示，正方形中，，点从点出发，沿折线运动，当它到达点时停止运动，连接，记点运动的路程为，的面积为． (1)当时，写出与之间的函数解析式______．当时，写出与之间的函数解析式______． (2)根据自变量的取值范围，在如图2所示的平面直角坐标系中画出点整个运动过程中的函数图象； (3)请根据函数的图象，写出该函数的一条性质； (4)请根据函数的图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了一次函数的应用、从函数图象中获取信息、画函数图象，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）当时，点在上，由题意得，，，再由三角形面积公式即可得解；当时，点在上，则，再由三角形面积公式即可得解； （2）当时，点在上，此时，再根据函数解析式画出函数图象即可； （3）由函数图象即可得出答案； （4）由函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，点在上， ， 由题意得：，，， ∴； 当时，点在上， ， 则， ∴； （2）解：当时，点在上， ， 此时， ∴， 画出函数图象如图所示： ； （3）解：由图象可得：当时，随的增大而增大； （4）解：由图象可得：当时的取值范围为：． 【变式6-2】（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，，，，动点以每秒的速度从点出发，沿折线方向运动．动点以每秒的速度从点同时出发，沿折线方向运动．当两者相遇时停止运动．设运动时间为，点，的距离为．    (1)请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围． (2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质． (3)当点，相距时，求出的值． 【答案】(1) (2)作图见解析，当时，随的增大而增大（答案不唯一） (3)或 【分析】本题考查函数解析式的求法，勾股定理，函数图象的作法及运用； （1）分以及分别求解即可得出答案； （2）根据函数解析式直接作图，根据图象可写出一条性质； （3）根据函数图象可得出答案． 【详解】（1）解：在中，，，， ． 如图1，当点，分别在，上运动时，运动后，，．    当时，点恰好运动到点处，点恰好运动到点处． ，由勾股定理可得， 当时，关于的函数解析式为． 当，两点都在上运动时，， 令，解得， 当时，关于的函数解析式为， 关于的函数解析式为． （2）由（1）中得到的函数解析式可知， 当时，； 当时，； 当时，． 如图2，分别描出对应点然后顺次连线． 该函数的一个性质：当时，随的增大而增大（答案不唯一）． （3）当时，分别代入函数，中， 得或， 解得或． 【变式6-3】（23-24八年级下·海南·期中）如图，在长方形中，，、点从出发，沿路线运动，到停止；点的速度为每秒，秒时点改变速度，变为每秒，图是点出发秒后，的面积与秒的关系图象；    (1)当点在上运动时，的面积会_______，点在上运动时，的面积会______，点在上运动时，的面积会________；填“增大”或“减小”或“不变” (2)根据图提供的信息，求出、及图中的值； (3)设点离开点的路程为，请写出动点改变速度后与出发后的运动时间秒的关系式． (4)当点出发后几秒时，的面积是长方形面积的？ 【答案】(1)增大；不变；减小； (2)； (3)； (4)当点出发5秒或14.5秒时，的面积是长方形面积的． 【分析】此题为一动点运动分析问题，解题时从动点的运动形式上找出规律，分析不同分段区间时的运动性质，找出等式关系列出方程组解出方程解析式． （1）根据函数图象及动点运动即可得出结果； （2）根据三角形的面积公式可求a、b及图②中c的值； （3）确定y与x的等量关系后列出关系式即可； （4）结合题意，分四种情况确定相应的函数解析式，然后计算的面积，然后将计算出来的数值代入所求函数的不同分段，解出对应的x的值，若解出的x值在对应的分段区间内，则x的值即为所求的解，反之则不是． 【详解】（1）解：当点在上运动时，增大，的面积会增大；点在上运动时，的面积会不变；点在上运动时，的面积会减小； 故答案为：增大；不变；减小； （2）∵长方形中，，， ∴， 当点P在上时， 得： ， ∴， ， ； （3）∵， ∴动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式为：； （4）①当时 ， ； ②当时 ， ； ③当x运动到C点时 解得： 即：时 ； ④当时 ， ； 综上： ； ∵， ①时，，符合题意； ②时，，不符合题意，舍去； ③时，，不符合题意，舍去； ④，，符合题意； 所以点P出发后5秒或秒，的面积是长方形面积的． 一、单选题 1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程解的定义，一次函数的性质，先把代入方程中得到，进而得到当时，，据此可得答案． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴当时，，即直线一定经过点， 故选：A． 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x之间函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得即，结合三角形的存在性质，，转化得，得到，画图象解答即可． 本题考查了一次函数的图象，三角形三边关系定理，熟练掌握一次函数图象是解题的关键． 【详解】根据题意，得即， 根据三角形的存在性质，，即， 解得， 故选D． 3．（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）“这么近那么美，周末到河北”，河北某文化旅游公司推出野外宿营活动，有两种优惠方案：方案一：以团队为单位办理会员卡（会员卡花费a元），所有人都按半价优惠；方案二：所有人都按六折优惠．某团队有x人参加该活动，购票总花费为y元，这两种方案中y关于x的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（    ） A． B．原票价为400元/人 C．方案二中y关于x的函数解析式为 D．若方案一比方案二更优惠，则 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，求出两种方案的解析式，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：会员卡的费用为400元， ∴；故选项A正确； 方案二：2人花费480元， ∴单人票价为240元， ∴原票价为：元，方案二的解析式为：；故选项B，C正确； 由题意，得：方案一的解析式为：， 当，即：时，方案一比方案二更优惠；故选项D错误； 故选D． 4．（2024·湖北宜昌·模拟预测）为了探究浮力的大小与哪些因素有关，物理实验小组进行了测浮力的实验．如图甲，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数（单位：）与铁块下降的高度（单位：）之间的关系如图乙所示．下列说法不正确的是（    ） A．铁块的高度为 B．铁块入水之前，烧杯内水的高度为 C．当铁块下降的高度为时，该铁块所受到的浮力为 D．当弹簧测力计的示数为时，此时铁块距离烧杯底 【答案】C 【分析】本题考查函数图象．关键是得到图象中关键点表示的意义．用到的知识点为：浮力重力拉力．图2中点表示铁块未移动时，拉力为，那么铁块的重力为，此时铁块下表面与烧杯上端平齐；因为水平面保持不变．那么段铁块移动的距离即为铁块的高度，为，可判断A正确，不符合题意；表示铁块向下移动时，拉力为，此时铁块下表面与水面平齐；铁块继续向下移动，水向外流出，水平面保持不变．表示铁块上表面刚好浸入水中，拉力为．烧杯高度为，铁块从烧杯口到下表面接触水时移动了，所以烧杯内水的高度为，可判断B正确，不符合题意；当铁块下降高度为时，由于出水口的存在，由图2可知，铁块的一半刚好浸入水中，拉力的大小为，那么所受到的浮力重力拉力为，故C错误，符合题意；设，代入，得，将代入，得，，故D正确，不符合题意；． 【详解】解：∵烧杯有出水口， ∴水平面在铁块下移过程中保持不变． ∴铁块的高度为段铁块移动的距离为，故A正确，不符合题意； ∵烧杯高度为，铁块从烧杯口到下表面接触水时移动了， ∴烧杯内水的高度为，故B正确，不符合题意； ∵当铁块下降高度为时，铁块的一半刚好浸入水中， ∴拉力的大小为， ∵铁块的重力为， ∴铁块所受到的浮力为，故C错误，符合题意． 设，代入，得，将代入，得，，故D正确，不符合题意 故选：C． 二、填空题 5．（23-24八年级下·山东滨州·期中）如图，直线与直线相交于点，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，首先利用函数解析式求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程的解可得答案． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴关于x的方程的解是， 故答案为：． 6．（2024·山东济南·一模）中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速是连接雅安和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高速公路之一，全长240km．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段表示货车离西昌距离与时间之间的函数关系，线段表示轿车离西昌距离与时间之间的函数关系，则货车出发 小时后与轿车相遇． 【答案】// 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求出两个函数解析式成为解题的关键． 先根据函数图像以及待定系数法求得两函数解析式，然后联立求解即可． 【详解】解：由待定系数法可得：货车离西昌距离与时间之间的函数关系；轿车离西昌距离与时间之间的函数关系为， 联立和，解得：． 所以货车出发后与轿车相遇． 故答案为． 7．（23-24八年级下·河南南阳·期中）如图， 直线 与x轴、y轴分别交于点 A、B，点 C 是 x轴上的一个动点，将直线 沿直线 翻折，当点 A的对应点 D 恰好落在y轴上时，点 C的横坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，折叠，以及勾股定理．熟练掌握折叠的性质，利用勾股定理解三角形，是解题的关键．分两种情况讨论：先求出，两点的坐标，根据折叠，得到，，进而求出的长度，在中，利用勾股定理进行求解，得到的长，即可得解． 【详解】解：， 当时，；当时，； ，， ，， 将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上正半轴点D处，如图，连接， ， ，， 在中，，即：， ， 点在轴的负半轴上， ． 将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上负半轴点D处，如图，连接， 同理可得：，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 综上：或． 故答案为：或． 8．（23-24八年级下·河南周口·期中）如图，直线与轴和轴分别交于，两点，射线于点．若是射线上的一个动点，是轴上的一个动点，且以，，为顶点的三角形与全等，则的长为 ． 【答案】或4 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形全等的性质，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点是解题的关键．构造一线三直角模型全等一次，为斜边全等一次，得到两个答案即可． 【详解】解：∵直线与x轴和y轴分别交于A、B两点， 当时，，当时，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 如图，当时， ∴， ∴， 如图，当时， ∴， ∴； 故答案为：4或． 三、解答题 9．（23-24八年级下·江西宜春·阶段练习）为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下： 甲：所有商品按原价8.5折出售； 乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折． 设需要购买体育用品的原价总额为元，去甲商店购买实付元去乙商店购买实付元，其函数图象如图所示． (1)分别求，关于的函数关系式； (2)请根据函数图象，选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算． 【答案】(1)；与的函数关系式为； (2)当时，选择甲商店更合算；当时，两家商店所需费用相同；当时，选择乙商店更合算. 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的 性质解答． （1）根据题意，可以分别写出甲、乙两家商店与的函数关系式； （2）由点的意义并结合图象解答即可. 【详解】（1）由题意可得，； 乙商店：当时，与的函数关系式为； 当时， 由上可得，与的函数关系式为； （2）由点的意义，当买的体育商品标价为600元时，甲、乙商店优惠后所需费用相同，都是510元，结合图象可知， 当时，选择甲商店更合算； 当时，两家商店所需费用相同； 当时，选择乙商店更合算. 10．（2024·河北邯郸·二模）用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为（如图1）．经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图象分别如图2中的线段，．根据以上信息，回答下列问题： (1)求线段对应的函数表达式； (2)先用普通充电器充电后，感觉充电较慢，再改为快速充电器充满电，一共用时，通过计算在图2中画出电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图象． 【答案】(1) (2)函数图象见下 【分析】本题考查一次函数的知识，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求出函数解析式，画函数图象． （1）设线段对应的函数表达式为：，则，解出，，即可． （2）由函数图象可知，快充的速度为：；慢充的速度为：，则，求出，根据题意，画出函数图象，即可． 【详解】（1）设线段对应的函数表达式为：， ∴， 解得：， ∴线段对应的函数表达式为：． （2）由函数图象可知，快充的速度为：；慢充的速度为：， ∴， 解得：， ∴此时， ∴点， ∵小时电充满， ∴点， 连接，折线即为所求． 11．（23-24八年级下·河北沧州·期末）嘉淇一家计划租用一艘船游湖，有下面两种租赁方式： 甲方式：收取固定租金a元，另外再按每小时租费20元计费（不足一小时按一小时计费）； 乙方式：无固定租金，三小时以内每小时租费b元，超过三小时，超过部分按每小时租费32元计费（不足一小时按一小时计费）． 设租用时间为x小时（x为整数），按甲方式租船所需费用为元，按乙方式租船所需费用为元，其图象如图所示． (1) ________， ________； (2)当时，分别求出，关于x的函数解析式； (3)请通过计算说明选择哪种租赁方式比较合算． 【答案】(1)72；40； (2)，； (3)当租船时间为4小时，甲、乙两种租赁方式所需费用一样；当租船时间小于4小时，选择乙方式合算；当租船时间大于4小时，选择甲方式合算． 【分析】本题考查了由函数图象获取信息，以及一次函数的应用，数形结合是解答本题的关键． （1）根据图象中的数据求解即可； （2）根据另外再按每小时租费20元计费可求出甲方式的函数解析式；根据超过三小时，超过部分按每小时租费32元计费可求出乙方式的解析式； （3）求出两种收费相等时x的值，然后结合图象解答即可． 【详解】（1）由图象可知，甲方式收取固定租金72元，即； ∵乙方式3小时收费120元， ∴元． 故答案为：72；40； （2）根据题意，， 当时，； （3）令，即， 解得， ∴当租船时间为4小时，甲、乙两种租赁方式所需费用一样；当租船时间小于4小时，选择乙方式合算；当租船时间大于4小时，选择甲方式合算． 12．（2024·天津·三模）已知小明家、书店、森林公园依次在同一条直线上，书店离家，  森林公园离家．小明从家里出发，匀速骑行后到达书店，在书店停留后，匀速骑行9分钟到达森林公园：在森林公园游玩一段时间，然后返回家中．给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 小明离开家的时间 10 20 49 79 112 小明离家的距离 2.75 5 (2)填空： ① a的值为 ②小明从家出发前往书店的骑行速度为 ； ③当 时，请直接写出小明离家的距离 y 关于时间x 的函数解析式． (3)小明从森林公园出发回家时，爸爸从家开车出发匀速行驶前往森林公园，已知爸爸的速度为0.8km/min，当小明与爸爸相遇时，求小明离开家的时间．（直接写出结果） 【答案】(1)2.75；5；4.4 (2)①40；②0.275；③ (3) 【分析】本题考查函数图象，一次函数的应用．从图象获取信息是解题的关键． （1）根据图象求解即可； （2）①根据图象求解即可；②根据速度等于路程除以时间，计算即可；③分两种情况：当时，当时，分别 求解即可； （3）先求出小明从森林公园出发回家的速度为，再设小明离开家的时间为，则爸爸开车的时间为，根据速度和乘以时间等于总路程，列方程求解即可． 【详解】（1）解：填表如下： 小明离开家的时间 10 20 49 79 112 小明离家的距离 2.75 2.75 5 5 4.4 （2）解：①由图可得：， ②小明从家出发前往书店的骑行速度为， ③当时，； 当时，设距离 y 关于时间x 的函数解析式为， 把，分别 代入，得 ，解得：， ∴ 综上，当 时小明离家的距离 y 关于时间x 的函数解析式为． （3）解：小明从森林公园出发回家的速度为， 设小明离开家的时间为，则爸爸开车的时间为，根据题意，得 解得： 答：小明离开家的时间为． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$