第10讲 函数（1大知识点+8大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假七升八数学衔接讲义（北师大版）

第10讲 函数（1大知识点+8大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 函数的概念 题型二 函数解析式 题型三 求自变量的取值范围 题型四 求自变量的值或函数值 题型五 函数图象识别 题型六 从函数的图象获取信息 题型七 动点问题的函数图象 题型八 函数的三种表示方法 知识点01 函数及相关概念 （1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做 变量. （2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量． （3）函数的表示方法：列表法、图像法、解析法. （4）自变量的取值范围： 整式函数的自变量取值范围是全体实数； 分式函数自变量的取值范围是使分母不为零的实数； 二次根式函数的自变量取值范围是使被开方数为非负数的实数. 易错警示：函数解析式同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例：函数中自变量的取值范围是. （5）函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图象就是这个函数的图象. （6）画图象的步骤：取值、描点、连线. 【典型例题一 函数的概念】 1．（22-23八年级下·河南周口·期末）底边为10的三角形的面积与其高的关系式为，在此式中（    ） A．是变量，5、是常量 B．、是变量，5是常量 C．是变量，5、是常量 D．5是变量，、是常量 2．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，下列各图象中表示y是x的函数的是（    ） A． B．   C．   D．   3．（22-23八年级下·湖北宜昌·期末）若改变正方形的边长x，则正方形面积y随之改变．在这个问题中， 是自变量． 4．（22-23八年级下·甘肃武威·期末）李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是 ． 5．（2023·湖北宜昌·一模）某位同学在野营时误入一沼泽地，该同学的体重为500，其每只鞋的鞋底表面积约为0.02，而该沼泽地能承受的最大压强为10000Pa（1 Pa =1N / m2）．他若双脚站立，整个身体会陷入该沼泽地吗？ ______ （填“会”或“不会”）为什么？_______.如果你认为会陷入，那他在等待救援前该怎么做？_________；如果你认为不会陷入，请跳过此问. 6．（22-23七年级下·陕西西安·阶段练习）下表是某商行某商品的销售情况，该商品原价为600元，随着不同幅度的降价（单位：元），日销量（单位：件）发生相应变化如下： 降价（元） 5 10 15 20 25 30 35 日销量（件） 780 810 840 870 900 930 960 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量，哪个是因变量？ (2)每降价5元，日销量增加多少件？降价之前的日销量是多少？ (3)如果售价为540元时，日销量为多少？ 【典型例题二 函数解析式】 1．（22-23八年级下·全国·课后作业）小明以的速度匀速前进，则他行走的路程与时间之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·北京密云·期末）如图，一个矩形的长比宽多3cm，矩形的面积是Scm2．设矩形的宽为xcm，当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是（     ） A．S=4x+6 B．S=4x-6 C．S=x2+3x D．S=x2-3x 3．（22-23七年级下·江西九江·期末）在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下降，已知某登山大本营所在的位置的气温是，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高千米时，所在位置的气温是，那么与的关系式是 ． 4．（22-23七年级下·陕西西安·期中）如图，已知正方形ABCD、正方形CEFG的边长分别为10和5，且点B、C、E在同一条直线上，点P是边EF上一动点，连接PB．若PE＝x，则阴影部分的面积y与x之间的关系式为 5．（23-24八年级上·四川成都·开学考试）父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低，”并给小明出示了表格． 距离地面高度（千米） 温度（） 根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答； (1)如果用表示距离地面的高度，用表示温度，写出与的关系式； (2)你能计算出距离地面千米的高空温度是多少吗？ 6．（22-23七年级下·广东惠州·期中）已知点及动点，且，设三角形的面积为． (1)当时，点坐标是__________． (2)是否存在第一象限的点，使得．若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【典型例题三 求自变量的取值范围】 1．（22-23八年级下·吉林·期末）函数的自变量x的取值范围是（　　） A．x≠6 B．x≠0 C．x＞6 D．x≥0 2．（22-23八年级下·河北邯郸·期中）函数自变量x的取值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（22-23九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是 ． 4．（2023九年级下·四川巴中·学业考试）函数中，自变量x的取值范围是 ． 5．（22-23八年级上·广西梧州·阶段练习）已知函数y=2x－1． (1)当x=－2时，求y的值； (2)当y=5时，求x的值； (3)当－3<y<0时，求x的取值范围． 6．（22-23八年级·全国·单元测试）用解析式表示下列函数，并指明自变量的取值范围. （1）某食堂有白菜1500千克，求这些菜能吃的天数与这食堂每天平均吃菜的千克数之间的关系式； （2）某种钢笔5元一支，求买钢笔的钱数（元）与买钢笔支数之间的关系式. 【典型例题四 求自变量的值或函数值】 1．（22-23八年级下·广东广州·期末）在函数中，当自变量时，函数值等于（    ） A．1 B．4 C．7 D．13 2．（22-23八年级上·河南郑州·期中）在如图所示的数值转换机中，当输入时，输出的值是（  ） A． B． C． D． 3．（22-23六年级下·山东青岛·期末）变量y与x之间的关系式为，当自变量时，因变量y的值为 ． 4．（22-23八年级·全国·假期作业）同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数关系是，如果某一温度的摄氏度数是40℃，那么它的华氏度数是 ℉． 5．（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）大自然中的大部分物质具有热胀冷缩现象，而水则具有反膨胀现象，如图所示是当温度在时，水的密度（单位：）随着温度（单位：）的变化关系图象，根据图象回答问题． (1)图中的自变量是什么？因变量是什么？ (2)图中点表示的意义是什么？ (3)当温度在变化时，随着温度增大，水的密度是如何变化的？ (4)在范围内，当温度为多少度时，水的密度为． 6．（23-24八年级下·全国·课后作业）画出函数的图象． (1)列表： x … 0 1 … y … … (2)描点并连线； (3)判断点，，是否在函数的图象上； (4)若点在函数的图象上，求出m的值． 【典型例题五 函数图象识别】 1．（22-23八年级下·河北沧州·阶段练习）下列曲线中，表示y是x函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（22-23七年级下·辽宁阜新·阶段练习）小华爸爸驱车从沈阳回阜新，途中一直匀速行驶．下面哪幅图大致刻画了小明爸爸距阜新的路程和行驶时间的图象，你选择的是（    ） A．       B．     C．     D．     3．（22-23九年级上·重庆·期中）函数图象上的点一定在第 象限. 4．（2022·浙江绍兴·中考真题）小明的父母出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速度返回家，父亲在报亭看了10分钟报纸后，用15分钟返回家，则表示父亲、母亲离家距离与时间之间的关系是 （只需填序号） 5．（22-23八年级下·全国·课后作业）“漏壶”是一种古代计时器．在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度．下页哪个图象适合表示y与x的对应关系？（不考虑水量变化对压力的影响．） 6．（22-23九年级下·全国·单元测试）找出能反映下列各情景中两个变量间关系的图象，并将代号填在相应的横线上. (1)一辆匀速行驶的汽车，其速度与时间的关系对应的图象是______. (2)正方形的面积与边长之间的关系.对应的图象是______. (3)用一定长度的铁丝围成一个长方形，长方形的面积与其中一边的长之间的关系对应的图象是______. (4)在220V电压下，电流强度与电阻之间的关系.对应的图象是______. A．   B．    C．   D． 【典型例题六 从函数的图象获取信息】 1．（22-23八年级下·广东广州·期末）甲、乙两同学从A地出发，沿同一条路到B地，乙先出发，他们离出发地的距离s（千米）与行驶时间t（小时）之间的函数关系图象如图所示，下列说法中不符合图象描述的是（    ）．    A．他们都行驶了20千米 B．乙在途中停留了1小时 C．甲、乙两人同时到达目的地 D．乙出发2小时后，两人相遇 2．（22-23八年级下·重庆铜梁·期末）如图所示的是一台自动测温记录仪记录的图象，它反映了重庆5月某天一段时间的气温T（℃）随时间t变化的情况，观察图象得到的下列信息，其中错误的是（　　）    A．该段时间内最低气温为19℃ B．从6时至15时气温随着时间的推移而上升 C．该段时间内15时气温最高 D． 从12时至20时，气温随着时间的推移而下降 3．（22-23九年级上·北京海淀·开学考试）小明骑自行车从学校回家，中途在十字路口等红灯用了1分钟，然后继续骑车回家．若小明骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小明离家的距离s（单位：米）与时间t（单位：分钟）之间的对应关系如图所示，则小明骑自行车的速度是 米/分．    4．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）在同一直线上，甲骑自行车，乙步行，分别由A，B两地同时向右匀速出发，当甲追上乙时，两人同时停止行驶．如图表示两人之间的距离与所经过的时间之间的函数关系图象，观察图象，出发后 甲追上乙；若乙的速度为，则经过甲行驶的路程为 ．    5．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）萌萌沿着一条笔直的公路骑自行车去博物馆．当她骑了一段路时，想起要买面包，于是又折回到刚经过的商店，买完面包后继续骑行，最后到达了博物馆．萌萌离家的距离与本次去博物馆所用时间的关系的图象如图所示，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)萌萌家离商店的距离是多少？ (2)萌萌在商店停留了多少分钟？ (3)本次去博物馆途中，萌萌一共骑行了多少米？ 6．（23-24七年级下·陕西榆林·期中）某日笑笑乘车去书店买书，在书店选好图书返回时由于堵车绕远路返回家中，如图是笑笑出发到返回家过程中与家的距离s（千米）和出发时间t（分）的关系．请根据图中信息回答下列问题： (1)笑笑从家出发到书店用时______分钟，在书店选书用时______分钟； (2)书店与笑笑家的距离是______千米，返回过程中由于堵车笑笑绕远了______千米； (3)笑笑从书店返回家中共用时______分钟． 【典型例题七 动点问题的函数图象】 1．（2023·湖北十堰·中考真题）如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，当蚂蚁运动的时间为t时，蚂蚁与O点的距离为s，则s关于t的函数图像大致是(　　) A． B． C． D． 2．（22-23九年级·江苏南通·阶段练习）正方形ABCD的边长与等腰直角三角形PMN的腰长均为4cm，且AB与MN都在直线上，开始时点B与点M重合.让正方形沿直线向右平移，直到A点与N点重合为止，设正方形与三角形重叠部分的面积为y(cm2)，MB的长度为x(cm)，则y与x之间的函数关系的图象大致是（ ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·山西运城·期中）如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿方向匀速运动至点A停止，已知点P的运动速度为，设点P的运动时间为，的面积为，若关于的图像如图2所示，则长方形ABCD的面积为 ． 4．（22-23八年级下·广西贵港·期末）如图，长方形中，动点R从点N出发，速度为1cm/s，沿方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为xcm，的面积为ycm2，如果y关于x的函数图象如图所示，则四边形的面积为 cm2． 5．（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）如图，若矩形ABCD的长为AB=6，宽BC=2，P为DC上一个动点，M为AB上一个动点，设DP=， (1)求△MPD的面积与的函数关系式． (2)在如图所示的坐标系中画出函数图像． 6．（22-23七年级下·四川达州·期中）已知动点P以每秒2cm的速度沿图甲的边框按B⇒C⇒D⇒E⇒F⇒A的路径移动，相应的三角形ABP的面积S（）与时间t（秒）之间的关系用图乙中的图象表示，若AB=6cm，试回答下列问题： (1)图甲中的BC长是多少？ (2)图乙中的是多少？ 【典型例题八 函数的三种表示方法】 1．（22-23八年级·上海静安·课后作业）某次物理实验中，测得变量和的对应数据如下表，则这两个变量之间的关系最接近下列函数中的（     ） 1 2 3 4 5 6 2.41 4.9 10.33 17.21 25.93 37.02 A． B． C． D．． 2．（22-23八年级下·河北·期中）王涵准备测量食用油的沸点（液体沸腾时的温度），已知食食用油的沸点温度高于水的沸点温度(100℃），王涵家只有刻度不超过100度的温度计；她的方法是在锅中导入一些食用油，用媒气灶均匀加热，并每隔10s，测量一下锅中的油温，测量得到的数据如表所示，王涵发现，加热110s时，油沸腾了，则下列判断不正确的是（   ） 时间t/s 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 A．没有加热时，油的温度是 B．每加热10s．油的温度升富 C．如热50s时，油的温度是 D．这种食用油的沸点温度是 3．（22-23七年级下·山西太原·期中）声音在空气中传播的速度（简称音速）与气温之间的关系如下表： 气温 0 5 10 15 20 音速（米/秒） 331 334 337 340 343 在气温为的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟0.2秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令枪的地点有 ． 4．（22-23七年级下·辽宁锦州·期末）某剧院的观众席的座位按下列方式设置： 排数 ••• 座位数 ••• 根据表格中两个变量之间的关系，则当时， ． 5．（22-23七年级下·四川成都·期中）在某地，人们发现在一定温度下某种蟋蟀叫的次数与温度之间有如下的近似关系： 当地温度 ··· 蟋蟀叫的次数（次） ··· （1）求出这种蟋蟀叫的次数（次）与当地温度之间的关系． （2）当这种蟋蟀叫的次数时，求当时该地的温度． 6．（22-23八年级下·河北邯郸·期末）研究发现，学生对概念的接受能力与提出概念所用的时间（分钟）之间有如下关系： 提出概念所用的时间（分钟） 对概念的接受能力 根据以上信息，回答下列问题： （1）当提出概念所用的时间为分钟时，学生的接受能力约是多少？ （2）当提出概念所用的时间为多少分钟时，学生的接受能力最强？ （3）当时，学生的接受能力随提出概念的时间增加而怎么样发生变化？当时，学生的接受能力随提出概念的时间增加而怎么样发生变化？ 【变式训练1 函数的概念】 1．（23-24七年级下·广东梅州·期中）在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中自变量是（    ） A．太阳光强弱 B．水的温度 C．所晒时间 D．热水器 2．（23-24七年级下·河南郑州·期中）清明假期小华一家驾车出游，爸爸开车到加油站加油，小华发现加油机上某一时刻的数据显示牌如图所示，则下列判断正确的是（    ） A．单价、数量、金额是变量 B．单价是自变量 C．金额是因变量 D．178.00和8.90是常量 3．（22-23八年级下·广东广州·期中）变量x，y有如下关系；①；②；③；④．其中y是x的函数的是 ． 4．（23-24七年级下·宁夏银川·期中）对于关系式，下列说法：①x是自变量，y是因变量；②x的数值可以任意选择；③y是变量，它的值与x无关；④这个关系式表示的变量之间的关系不能用图象表示；⑤y与x的关系还可以用表格和图象表示，其中正确的是 ． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）根据经验，跳远的距离（v是助跑的速度，米/秒），其中变量s随着哪一个量的变化而变化？ 6．（22-23八年级上·全国·单元测试）指出下列变化过程中，哪个变量随着另一个变量的变化而变化？ （1）一辆汽车以的速度匀速行驶，行驶的路程与行驶时间． （2）圆的半径和圆面积满足：． （3）银行的存款利率与存期． 【变式训练2 函数解析式】 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）有一个长为10，宽为5的长方形，若将这个长方形的宽增加x，长不变，所得新长方形的面积y与x之间的关系式为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·广东茂名·期中）下表列出了一次实验的统计数据，表示皮球从高处落下时，弹跳高度b与下落高度d的关系，下列关系式中能表示这种关系的是（　　） 50 80 100 150 … 25 40 50 75 … A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）小丽给新办的饭卡充值元，学校餐厅每顿午饭均为元，则饭卡余额（元）与购买午饭的次数（次）之间的关系是 ． 4．（23-24七年级下·山西晋中·期中）在科学上，热气球推动了大气学、气象学和航空学的发展，人们通过高空观察，获取了大量先前无法获得的数据，推动了科学的进步．某次用热气球探测高空气象时，热气球从海拔处的某地升空（如图），在一段时间内，它以的速度匀速上升，它上升过程中到达的海拔高度与上升时间的关系式为 ． 5．（22-23八年级下·全国·课后作业）购买一些铅笔，单价为0.2元/支，总价y元随铅笔支数x变化．指出其中的常量与变量，自变量与函数，并写出表示函数与自变量关系的式子． 6．（22-23八年级下·广西南宁·期末）已知等腰三角形的周长为cm，底边长为cm，一腰长为cm． （1）求与之间的函数关系式； （2）指出其中的变量和常量． 【变式训练3 求自变量的取值范围】 1．（2024·云南昭通·二模）函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广东深圳·期中）1796年，19岁的高斯证明了可以尺规作正十七边形，他被誉为世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉．用他名字命名的高斯函数也称为取整函数，即表示不超过的最大整数．例如：当时，，其函数图象如图所示，当时，的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·西藏拉萨·一模）函数的自变量的取值范围是 ． 4．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 5．（22-23九年级上·湖南郴州·阶段练习）已知 ，与成反比例，与 成正比例，且当时，，． (1)求关于的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)求当时的函数值． 6．（22-23八年级下·全国·单元测试）求出下列函数中自变量x的取值范围． ①y= ②y= ． 【变式训练4 求自变量的值或函数值】 1．（23-24八年级下·广东珠海·期中）当时，的函数值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 2．（23-24八年级下·福建泉州·期中）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是8和1时，输出的y值相等，则b等于（    ） A．5 B． C．7 D．3和4 3．（2024八年级下·上海·专题练习）已知函数，那么 ． 4．（23-24七年级下·宁夏银川·期中）在一定范围内，弹簧的长度与它所挂物体的质量之间的关系是，如果该弹簧最长可以拉伸到，那么它所挂物体的最大质量是 ． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）求下列函数当时的函数值： (1)． (2)． 6．（22-23八年级上·浙江丽水·期末）在国内投寄平信应付邮资如表： 信件质量x（克） 0＜x≤20 20＜x≤40 40＜x≤60 邮资y（元/封） 1.20 2.40 3.60 （1）根据函数的定义，y是关于x的函数吗？ （2）结合表格解答： ①求出当x=48时的函数值，并说明实际意义． ②当寄一封信件的邮资是2.40元时，信件的质量大约是多少克？ 【变式训练5 函数图象识别】 1．（2024·山西忻州·二模）茶文化是中国对茶认识的一种具体表现，其内涵与茶具设计之间存在着密不可分的联系，如图，是一款上下细中间粗的茶杯，向该茶杯中匀速注水，下列图象中能大致反映茶杯中水面的高度与注水时间关系是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·北京通州·期中）如图所示的图象分别给出了与的对应关系，其中能表示是的函数的是(    ) A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）经过点且垂直于轴的直线可以表示为 4．（22-23八年级下·上海·课后作业）如果表示一条直线，那么k的取值范围是 ． 5．（22-23七年级下·辽宁锦州·期中）下列各情景分别可以用哪幅图来近似地刻画？ (1)一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系）； (2)一面冉冉上升的旗子（高度与时间的关系）； (3)足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系）； (4)匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）． 6．（22-23六年级上·北京·期末）小明家、食堂、图书馆在同一条直线上．小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．小明离家的距离与时间之间的对应关系如图所示． 根据上图回答下列问题： (1)食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？ (2)小明吃早餐用了多少时间？在图书馆停留了多少时间？ (3)图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？ 【变式训练6 从函数的图象获取信息】 1．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）小君去游览翠华山，他先坐缆车至中转点，休息一会儿后步行登山至山顶.设所用的时间为x，离山脚的高度为y，如图能反映整个过程中变量y与x之间关系的大致图象是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河北保定·期中）如图1是两个圆柱形连通器（连通处体积忽略不计），向甲容器匀速注水，甲容器的水面高度随时间变化的图象大致为（    ）     图1 A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·广东清远·期中）如记录了某地一月份某天的温度随时间变化的情况，根据图象可知，在这一天中，时和 的温度是．    4．（23-24八年级上·甘肃武威·开学考试）小明沿街心公园的环形跑道从起点出发按逆时针方向跑步，他用软件记录了跑步的轨迹，他每跑1km软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前5 km 的记录如图所示.已知该环形跑道一圈的周长大于1km.小明恰好跑3圈时，路程 5km?(填“超过”或“不超过”)    5（23-24七年级下·陕西榆林·期中）适当强度的运动有益身体健康，小圣为了保持身体健康，坚持每天适当运动．某次运动中，小圣的心率P与运动时间t之间的变化关系如图所示，根据图象回答问题： (1)图中点M表示的实际意义是小圣运动时间在第40分钟时，心率为_____次/分． (2)小圣通过查阅资料了解到：对于青少年，心率控制在120次/分～175次/分之间能达到最佳的运动效果．问：本次运动中达到最佳运动效果的时间约持续了多久？ 6．（22-23七年级下·广东深圳·期末）如图是某市一天的气温变化图，在这一天中，气温随着时间变化而变化，请观察图象，回答下列问题： (1)在这一天中（凌晨0时到深夜24时均在内），气温在 时达到最低，最低气温是 ℃，气温在 时达到最高； (2)上午8时的气温是 ℃，下午14时的气温是 ℃； (3)在什么范围内这天的气温在下降的？这天从2时到14时气温上升了多少？ 【变式训练7 动点问题的函数图象】 1．（2022·浙江台州·中考真题）吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m．他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校，设吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·浙江温州·阶段练习）如图1，动点P从点A出发，在网格平面内运动，设点P经过的路程为s，点P到直线l的距离为d．已知d与s的关系如图2所示．则下列选项中，可能是点P的运动路线的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·青海西宁·一模）如图①，在中， ，动点P以每秒2个单位长度的速度从A点出发，沿折线运动(到C点停止)，的长y随运动时间t(s)变化的函数图象如图②所示，则的长是 ． 4．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知动点从点出发，以每秒的速度在图①的边（相邻两边互相垂直）上按的路线移动，相应的的面积与点的运动时间的图象如图②所示，且．当时， 秒． 5．（23-24七年级下·河北张家口·期中）如图①，正方形的边长为，F为边上一点，动点P以的速度沿的路径向终点A运动．设运动时间为，的面积为，S与t的关系图象如图②所示． (1)求线段的长及a的值； (2)的面积S为时，直接写出t的值． 6．（23-24七年级下·陕西西安·期中）已知动点 以每秒的速度沿如图所示的边框按从 的路径移动，相应的的面积关于时间t的函数图象如图所示，若 试回答下列问题． (1)此题的自变量是 ，因变量是 ； (2)如图甲， 的长是 ； (3)如图乙，图中的是 ，是 ． 【变式训练8 函数的三种表示方法】 1．（22-23八年级·全国·假期作业）下面关于函数的三种表示方法叙述错误的是(     ) A．用图象法表示函数关系，可以直观地看出因变量如何随着自变量而变化 B．用列表法表示函数关系，可以很清楚地看出自变量取的值与因变量的对应值 C．用解析式法表示函数关系，可以方便地计算函数值 D．任何函数关系都可以用上述三种方法来表示 2．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）在高海拔（1500～3500m为高海拔，3500～5500m为超高海拔，5500m以上为极高海拔）地区的人有缺氧的感觉，下面是有关海拔高度与空气含氧量之间的一组数据： 海拔高度/m 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 空气含氧量/（g/m3） 299.3 265.5 234.8 209.63 182.08 159.71 141.69 123.16 在海拔高度3000m的地方空气含氧量是（　　）g/m3． A．299.3 B．209.63 C．182.08 D．159.71 3．（22-23八年级上·全国·课前预习）变量间关系的表示方法： ； ； 4．（22-23七年级下·山东菏泽·期中）对于关系式，下列说法：①是自变量，是因变量；②的数值可以任意选择；③是变量，它的值与无关；④这个关系式表示的变量之间的关系不能用图象表示；⑤与的关系还可以用表格和图象表示，其中正确的是 ．（只需填写序号） 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）在高处让一物体由静止开始落下，它下落的路程s与时间t之间的关系如下表： 时间t(秒) 1 2 3 4 5 落下路程s(米) 4.9×1 4.9×4 4.9×9 4.9×16 4.9×25 （1）请根据表格中的数据写出时间t与物体落下的路程s之间的关系； （2）算出当t=4.5秒时，物体落下的路程. 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）一辆汽车正常行驶时每小时耗8升，油箱现有52升汽油. （1）如果汽车行驶时间为t（时），那么油箱中所存油量Q（升）与t（时）的关系式是什么？ （2）油箱中的油总共可供汽车行驶多少小时？ （3）当t的值分别为1，2，3时，Q相应的值是多少？ 1．（22-23八年级下·福建福州·期末）如图，下列图象能表示y是x的函数关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）把一个长为5，宽为2的长方形的长减少x (0≤x<5)， 宽不变，所得长方形的面积y关于x的函数表达式为(     ) A．y=10－x B．y=5x C．y=2x D．y=－2x+ 10 3．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）变量x与y之间的关系是y＝2x+1，当y＝5时，自变量x的值是（　　） A．13 B．5 C．2 D．3.5 4．（22-23七年级下·广东韶关·期中）二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，如图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．在下列选项中白昼时长超过14小时的节气是（　　）      A．惊蛰 B．立夏 C．夏至 D．大寒 5．（23-24八年级下·云南昆明·阶段练习）匀速地向如图所示的容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间的变化规律可能是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级上·全国·课前预习）对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a的 ． 7．（22-23九年级上·天津河西·期中）若正方形的边长为x，面积为y，则y与x之间的关系式为 （）． 8．（22-23七年级下·四川达州·期中）洲际弹道导弹的速度会随着时间的变化而变化，某种型号的洲际弹道导弹的速度v(km/h)与时间t(h)的关系是v=1000＋50t，若导弹发出0.5h即将击中目标，则此时该导弹的速度应为 km/h． 9．（22-23八年级上·陕西西安·期中）如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图像如图2所示.如果将正方体铁块取出，又经过 秒恰好将水槽注满. 10．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）如图（1），矩形的两条对角线相交于点，，cm，一动点以均匀的速度沿折线运动，设点的运动时间为，点、、围成的三角形的面积为，若与之间的函数图象如图（2），那么点运动的速度为 ． 11．（22-23八年级下·全国·课后作业）一个三角形的底边长为5，高h可以任意伸缩．写出面积S随h变化的解析式，并指出其中的常量与变量，自变量与函数，以及自变量的取值范围． 12．（22-23七年级下·全国·课后作业）多边形的内角和随着边数的变化而变化．设多边形的边数为n，内角和为N，则变量N与n之间的关系可以表示为N＝(n-2)·180°． (1)在这个关系式中，自变量、因变量各是什么？ (2)在这个关系式中，n能取什么样的值？ (3)利用这个关系式计算六边形的内角和． (4)当边数每增加1时，多边形的内角和如何变化？ 13．（22-23八年级下·河北石家庄·期中）小王周末骑电动车从家里出发去商场买东西，当他骑了一段路时，想起要买一本书，于是原路返回到刚经过的新华书店，买到书后继续前往商场，如图是他离家的距离（米）与时间（分钟）之间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题： (1)在此变化过程中，自变量是 ，函数是 ； (2)小王在新华书店停留了多长时间？ (3)买到书后，小王从新华书店到商场的骑车速度是多少？ 14．（22-23八年级下·河北石家庄·期中）如图，正方形ABCD边长，点E在边AD上，且，点N从点A出发，以5cm/s的速度在A、B之间往返匀速运动，同时，点M从点E出发，以2cm/s的速度沿路径E→D→C匀速运动，当点M运动到点C时，两点都停止运动，设运动时间为t（单位：s）．在运动过程中的面积S（单位：cm2）随运动时间的变化而变化． (1)当点N运动到点B时，求t值及此时的面积． (2)在整个运动过程中，求S与t的关系式． 15．（22-23八年级下·河北石家庄·单元测试）下面的图象记录了某地一月份某天的温度随时间变化的情况，请你仔细观察图象回答下面的问题： ⑴　20时的温度是_________℃，温度是0℃的时刻是________时，最暖和的时刻 是________时，温度在－3℃以下的持续时间为______小时. ⑵　你从图象中还能获取哪些信息（写出3～4条即可）？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 函数（1大知识点+8大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 函数的概念 题型二 函数解析式 题型三 求自变量的取值范围 题型四 求自变量的值或函数值 题型五 函数图象识别 题型六 从函数的图象获取信息 题型七 动点问题的函数图象 题型八 函数的三种表示方法 知识点01 函数及相关概念 （1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做 变量. （2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量． （3）函数的表示方法：列表法、图像法、解析法. （4）自变量的取值范围： 整式函数的自变量取值范围是全体实数； 分式函数自变量的取值范围是使分母不为零的实数； 二次根式函数的自变量取值范围是使被开方数为非负数的实数. 易错警示：函数解析式同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例：函数中自变量的取值范围是. （5）函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图象就是这个函数的图象. （6）画图象的步骤：取值、描点、连线. 【典型例题一 函数的概念】 1．（22-23八年级下·河南周口·期末）底边为10的三角形的面积与其高的关系式为，在此式中（    ） A．是变量，5、是常量 B．、是变量，5是常量 C．是变量，5、是常量 D．5是变量，、是常量 【答案】B 【分析】根据常量、变量定义判断即可． 【详解】解：、是变量，5是常量， 故选B． 【点睛】本题考查变量和常量，熟记在一个变化过程中，发生变化的量叫变量，不发生改变的量叫常量是解题的关键． 2．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，下列各图象中表示y是x的函数的是（    ） A． B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据函数的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、对于自变量x的每一个值，y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故A不符合题意； B、对于自变量x的每一个值，y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故B不符合题意； C、对于自变量x的每一个值，y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故C不符合题意； D、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数的概念，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，则y是x的函数． 3．（22-23八年级下·湖北宜昌·期末）若改变正方形的边长x，则正方形面积y随之改变．在这个问题中， 是自变量． 【答案】 【分析】函数：在一个变化过程中，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与之对应，就说是的函数，其中是自变量，是x的函数，根据函数的定义可得答案. 【详解】解： 改变正方形的边长x，则正方形面积y随之改变． 是自变量，是x的函数， 故答案为： 【点睛】本题考查的是函数的定义，掌握函数的定义是解题的关键. 4．（22-23八年级下·甘肃武威·期末）李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是 ． 【答案】单价 【分析】根据常量与变量的定义即可判断． 【详解】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量， 单价6.48是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化， ∴常量是：单价． 故答案为：单价． 【点睛】本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量，本题属于基础题型． 5．（2023·湖北宜昌·一模）某位同学在野营时误入一沼泽地，该同学的体重为500，其每只鞋的鞋底表面积约为0.02，而该沼泽地能承受的最大压强为10000Pa（1 Pa =1N / m2）．他若双脚站立，整个身体会陷入该沼泽地吗？ ______ （填“会”或“不会”）为什么？_______.如果你认为会陷入，那他在等待救援前该怎么做？_________；如果你认为不会陷入，请跳过此问. 【答案】会. 因为按照压强计算需与地面接触0.05，大于两只脚的表面积0.04.坐下（或其它能增大与地面接触面积的姿势）. 【分析】根据压强公式P= ，可得S= 代入数值计算比较即可.因为增大受力面积可减小压强，故他可以坐下（或其它能增大与地面接触面积的姿势）. 【详解】会陷入.理由是： ∵> 0.04 故会陷入，因为增大受力面积可减小压强，故他可以坐下（或其它能增大与地面接触面积的姿势） 【点睛】本题考查的是函数的初步认识，掌握压强公式是关键. 6．（22-23七年级下·陕西西安·阶段练习）下表是某商行某商品的销售情况，该商品原价为600元，随着不同幅度的降价（单位：元），日销量（单位：件）发生相应变化如下： 降价（元） 5 10 15 20 25 30 35 日销量（件） 780 810 840 870 900 930 960 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量，哪个是因变量？ (2)每降价5元，日销量增加多少件？降价之前的日销量是多少？ (3)如果售价为540元时，日销量为多少？ 【答案】(1)降价和日销量，降价是自变量，日销量是因变量 (2)30件，750件 (3)1110件 【分析】（1）根据变量，自变量和因变量的意义回答； （2）根据表中的数据变化解答即可； （3）根据日销量原价-售价计算即可． 【详解】（1）解：上表反映了降价和日销量之间的关系， 降价是自变量，日销量是因变量； （2）从表中可以看出每降价5元，日销量增加件． 降价之前的日销量是件； （3）从表中可以看出：日销量与降价之间的关系为： 日销量原价-售价； ∴售价为540元时，日销量为件． 【点睛】本题考查函数的性质，解题关键点：根据表中分析信息，找到数据的变化规律． 【典型例题二 函数解析式】 1．（22-23八年级下·全国·课后作业）小明以的速度匀速前进，则他行走的路程与时间之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】路程等于速度乘以时间；根据公式直接列函数关系式即可. 【详解】解：小明以的速度匀速前进， 则他行走的路程与时间之间的函数关系式是： 故选： 【点睛】本题考查的是列函数关系式，掌握利用路程等于速度乘以时间列函数关系式是解题的关键. 2．（22-23九年级上·北京密云·期末）如图，一个矩形的长比宽多3cm，矩形的面积是Scm2．设矩形的宽为xcm，当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是（     ） A．S=4x+6 B．S=4x-6 C．S=x2+3x D．S=x2-3x 【答案】C 【分析】先用x表示出矩形的长，然后根据矩形的面积公式即可解答. 【详解】解：设矩形的宽为xcm，则长为（x+3）cm 由题意得：S=x（x+3）=x2+3x. 故选C. 【点睛】本题主要考查了列函数解析式，用x表示出矩形的长以及掌握矩形的面积公式成为解答本题的关键. 3．（22-23七年级下·江西九江·期末）在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下降，已知某登山大本营所在的位置的气温是，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高千米时，所在位置的气温是，那么与的关系式是 ． 【答案】/y=-6x-2 【分析】根据登山队大本营所在地的气温为-2℃，海拔每升高1km气温下降6℃，可求出y与x的关系式． 【详解】解：由题意得y与x之间的函数关系式为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查根据实际问题列一次函数式，关键知道气温随着高度变化，某处的气温等于当地地面的气温-降低的气温． 4．（22-23七年级下·陕西西安·期中）如图，已知正方形ABCD、正方形CEFG的边长分别为10和5，且点B、C、E在同一条直线上，点P是边EF上一动点，连接PB．若PE＝x，则阴影部分的面积y与x之间的关系式为 【答案】 【分析】利用正方形面积与三角形的面积列出等式即可． 【详解】解：由题意得： y＝S正方形ABCD+S正方形CEFG﹣S△PBE ＝100+25﹣（10+5）x ＝125﹣x， ∴y与x之间的关系式为y＝125﹣x， 故答案为：y＝125﹣x． 【点睛】本题主要考查了函数的解析式，利用几何图形的面积关系列出等式是解题的关键． 5．（23-24八年级上·四川成都·开学考试）父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低，”并给小明出示了表格． 距离地面高度（千米） 温度（） 根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答； (1)如果用表示距离地面的高度，用表示温度，写出与的关系式； (2)你能计算出距离地面千米的高空温度是多少吗？ 【答案】(1) (2)距离地面千米的高空温度是 【分析】结合表格数据即可求得与的关系式； 将代入中所求关系式求得的值即可． 【详解】（1）解：由表格数据可得，高度每增加千米，温度就下降， 则； （2）当时，， 即距离地面千米的高空温度是． 【点睛】本题考查函数关系式，结合表格数据求得函数关系式是解题的关键． 6．（22-23七年级下·广东惠州·期中）已知点及动点，且，设三角形的面积为． (1)当时，点坐标是__________． (2)是否存在第一象限的点，使得．若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)不存在．理由见解析 【分析】（1）把代入求出y的值，从而可得点P坐标； （2）若存在点P在第一象限，作轴，垂足为Q，则根据三角形的面积公式可求出点P的坐标为，与题意不符，从而不存在点P在第一象限． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， ∴P坐标是； 故答案为：； （2）解：不存在．理由如下： 如图，∵点P在第一象限， 作轴，垂足为Q，则，    ∴， 又， ∴，即， 解得x=， 此时点P的坐标为， 点P不在第一象限． 【点睛】本题考查了函数图像上的点与函数解析式的关系，坐标平面内点的坐标特征，图形与坐标，熟练掌握坐标平面内点的坐标特征及三角形的面积公式是解答本题的关键． 【典型例题三 求自变量的取值范围】 1．（22-23八年级下·吉林·期末）函数的自变量x的取值范围是（　　） A．x≠6 B．x≠0 C．x＞6 D．x≥0 【答案】A 【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 2．（22-23八年级下·河北邯郸·期中）函数自变量x的取值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】依据二次根式中的被开方数为非负数，即可得到结论． 【详解】解：中，1-x≥0， ∴x≤1， ∴x可以取1， 故选A． 【点睛】本题主要考查了函数自变量的取值范围，当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零；当函数的表达式是二次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． 3．（22-23九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分式的意义，分母不等于0，可以求出x的范围． 【详解】解：函数中， 3x-6≠0， 解得x≠2， 故答案为：. 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 4．（2023九年级下·四川巴中·学业考试）函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】x≥﹣2且x≠﹣1 【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数与分母不能为0进行求解． 【详解】由题意得，x+2≥0，x+1≠0， 解得，x≥﹣2，x≠﹣1， ∴自变量x的取值范围是x≥﹣2且x≠﹣1， 故答案为：x≥﹣2且x≠﹣1． 【点睛】本题考查函数自变量的取值范围，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义，①当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；②当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 5．（22-23八年级上·广西梧州·阶段练习）已知函数y=2x－1． (1)当x=－2时，求y的值； (2)当y=5时，求x的值； (3)当－3<y<0时，求x的取值范围． 【答案】(1)-5 (2)3 (3)－1<x< 【分析】（1）将x＝−2代入函数关系式求解即可； （2）将y＝5代入函数关系式求解即可； （3）当－3<y<0时，可得－3<2x－1<0，解之可得x的取值范围． 【详解】（1）解：当x=－2时， 则． （2）解：当y=5时， 由题意得，2x－1=5，解得x=3． （3）解：当－3<y<0时， 由题意得，－3<2x－1<0， 解得－1<x< 【点睛】本题考查了求函数值或自变量的取值及求自变量的取值范围，读懂题意是解题的关键　． 6．（22-23八年级·全国·单元测试）用解析式表示下列函数，并指明自变量的取值范围. （1）某食堂有白菜1500千克，求这些菜能吃的天数与这食堂每天平均吃菜的千克数之间的关系式； （2）某种钢笔5元一支，求买钢笔的钱数（元）与买钢笔支数之间的关系式. 【答案】（1）；（2）（是正整数） 【分析】（1）白菜总量一定，这些菜能吃的天数与每天平均吃菜的数量成反比例关系，据此解答即可； （2）总钱数=单价×购买钢笔的数量，据此解答即可，注意购买钢笔的数量为正整数. 【详解】解：（1）这些菜能吃的天数与这食堂每天平均吃菜的千克数之间的关系式是：； （2）买钢笔的钱数（元）与买钢笔支数之间的关系式是：（是正整数）. 【点睛】本题考查了列出实际生活中的函数关系式，正确理解题意、弄清两个变量之间的关系是解答的关键. 【典型例题四 求自变量的值或函数值】 1．（22-23八年级下·广东广州·期末）在函数中，当自变量时，函数值等于（    ） A．1 B．4 C．7 D．13 【答案】C 【分析】把x=5代入求解即可． 【详解】解：把x=5代入得 y=2×5-3=7， 故选：C． 【点睛】本题考查求函数值，属基础题目，难度不大． 2．（22-23八年级上·河南郑州·期中）在如图所示的数值转换机中，当输入时，输出的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入x＜0时的函数解析式进行计算即可． 【详解】解：当时，， 故选：B． 【点睛】本题考查了求函数值，把自变量的值代入相应的函数解析式是解题关键． 3．（22-23六年级下·山东青岛·期末）变量y与x之间的关系式为，当自变量时，因变量y的值为 ． 【答案】17 【分析】把x= 6代入y= 2x + 5进行计算即可． 【详解】解：把x=6代入y=2x+5得，y=2×6＋5= 17， 故答案为：17． 【点睛】本题考查函数值，理解函数值的意义，把x= 6代入y= 2x + 5进行计算是解决问题的关键． 4．（22-23八年级·全国·假期作业）同一温度的华氏度数y（℉）与摄氏度数x（℃）之间的函数关系是，如果某一温度的摄氏度数是40℃，那么它的华氏度数是 ℉． 【答案】42 【分析】把x的值代入函数关系式计算求出y值即可． 【详解】解：根据题意，当x＝40时，y＝×40+18＝42， 所以它的华氏度数是42℉， 故答案为：42． 【点睛】本题考查的是求函数值，理解函数值的概念并正确代入准确计算是解题的关键． 5．（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）大自然中的大部分物质具有热胀冷缩现象，而水则具有反膨胀现象，如图所示是当温度在时，水的密度（单位：）随着温度（单位：）的变化关系图象，根据图象回答问题． (1)图中的自变量是什么？因变量是什么？ (2)图中点表示的意义是什么？ (3)当温度在变化时，随着温度增大，水的密度是如何变化的？ (4)在范围内，当温度为多少度时，水的密度为． 【答案】(1)自变量是温度t，因变量是水的密度ρ． (2)当温度为时，水的最大密度为． (3)由图可知，当温度在时，水的密度逐渐增大；当温度在时，水的密度逐渐减小． (4)当温度为1度或7度时，水的密度ρ为． 【分析】 本题考查函数图象． （1）横坐标为自变量，纵坐标为因变量，作答即可； （2）根据点的含义作答即可； （3）根据图象进行作答即可． （4）根据图象进行作答即可． 从图象中有效的获取信息，是解题的关键． 【详解】（1） 解：有图可知，自变量是温度t，因变量是水的密度ρ． （2） 当时，水的最大密度为． （3）由图可知，当温度在时，水的密度逐渐增大；当温度在时，水的密度逐渐减小． （4）当温度为1度或7度时，水的密度ρ为． 6．（23-24八年级下·全国·课后作业）画出函数的图象． (1)列表： x … 0 1 … y … … (2)描点并连线； (3)判断点，，是否在函数的图象上； (4)若点在函数的图象上，求出m的值． 【答案】(1)3，1，-1 (2)见解析 (3)点A、B不在函数的图象上，点C在其图象上 (4)-4 【分析】本题考查了画函数的图象，函数图象上的点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标特征是解题的关键 （1）分别把的值代入函数的解析式，计算求出的值； （2）在平面直角坐标系中描出点、和，再连线即可； （3）分别把点的横坐标代入函数的解析式，计算求出点的纵坐标，再判定即可； （4）把点的坐标代入函数的解析式建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：3，1，； （2）解：如图： （3）解：∵当时，； 当时，； 当时，， ∴点不在函数的图象上，点C在其图象上． （4）解：∵点在函数的图象上， ∴，解得． 【典型例题五 函数图象识别】 1．（22-23八年级下·河北沧州·阶段练习）下列曲线中，表示y是x函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据函数的定义进行判断即可． 【详解】解：在某一变化过程中，有两个变量x、y，一个量x变化，另一个量y随之变化，当x每取一个值，另一个量y就有唯一值与之相对应，这时，我们把x叫做自变量，y是x的函数，只有选项B中图象所表示的符合函数的意义， 故选：B． 【点睛】本题考查函数的定义，理解函数的定义，理解自变量与函数值的对应关系是正确判断的前提． 2．（22-23七年级下·辽宁阜新·阶段练习）小华爸爸驱车从沈阳回阜新，途中一直匀速行驶．下面哪幅图大致刻画了小明爸爸距阜新的路程和行驶时间的图象，你选择的是（    ） A．       B．     C．     D．     【答案】D 【分析】根据小华爸爸驱车从沈阳回阜新，途中一直匀速行驶即可作出判断． 【详解】解：∵小华爸爸驱车从沈阳回阜新，途中一直匀速行驶． ∴小明爸爸距阜新的路程随着行驶时间的增大而减小， 故选：D 【点睛】此题考查了函数图象，读懂题意是解题的关键． 3．（22-23九年级上·重庆·期中）函数图象上的点一定在第 象限. 【答案】二 【分析】根据二次根式有意义的条件得到解得得到 即可判断. 【详解】利用函数图象上的点P(x,y)，可得x<0，y>0， 故P点一定在第二象限， 故答案为二. 【点睛】考查函数的图象与性质，根据二次根式有意义的条件得到x<0，进而得到y>0是解题的关键. 4．（2022·浙江绍兴·中考真题）小明的父母出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速度返回家，父亲在报亭看了10分钟报纸后，用15分钟返回家，则表示父亲、母亲离家距离与时间之间的关系是 （只需填序号） 【答案】④② 【详解】∵小明的父母出去散步，从家走了20分到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速返回， ∴表示母亲离家的时间与距离之间的关系的图象是②； ∵父亲看了10分报纸后，用了15分返回家， ∴表示父亲离家的时间与距离之间的关系的图象是④ 5．（22-23八年级下·全国·课后作业）“漏壶”是一种古代计时器．在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度．下页哪个图象适合表示y与x的对应关系？（不考虑水量变化对压力的影响．） 【答案】图（2） 【分析】根据题意，可知y随x的增大而减小，符合一次函数图象，从而可以解答本题． 【详解】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度， ∴y随x的增大而匀速的减小，符合一次函数图象， ∴图象（2）适合表示y与x的对应关系． 【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 6．（22-23九年级下·全国·单元测试）找出能反映下列各情景中两个变量间关系的图象，并将代号填在相应的横线上. (1)一辆匀速行驶的汽车，其速度与时间的关系对应的图象是______. (2)正方形的面积与边长之间的关系.对应的图象是______. (3)用一定长度的铁丝围成一个长方形，长方形的面积与其中一边的长之间的关系对应的图象是______. (4)在220V电压下，电流强度与电阻之间的关系.对应的图象是______. A．   B．    C．   D． 【答案】(1) A；(2)D； (3)C； (4)B 【分析】根据题意列出函数解析式，再根据解析式来确定函数图象． 【详解】（1）匀速时速度和时间之间关系不变，故选A； （2）正方形的面积与边长之间的关系是二次函数关系，故选D； （3）用一定长度的铁丝围成一个长方形，长方形的面积与其中一边的长之间的关系是二次函数的关系，且有最大值，故选C； （4）在220 V电压下，电流强度与电阻之间的关系是反比例关系，故选B． 【点睛】本题考查了函数图象的读图能力，解题关键是要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 【典型例题六 从函数的图象获取信息】 1．（22-23八年级下·广东广州·期末）甲、乙两同学从A地出发，沿同一条路到B地，乙先出发，他们离出发地的距离s（千米）与行驶时间t（小时）之间的函数关系图象如图所示，下列说法中不符合图象描述的是（    ）．    A．他们都行驶了20千米 B．乙在途中停留了1小时 C．甲、乙两人同时到达目的地 D．乙出发2小时后，两人相遇 【答案】C 【分析】直接根据图象逐一进行判断即可． 【详解】根据图象可知他们都行驶了20千米，故A正确； 乙出发后小时直线是水平的，所以甲在途中停留了1小时，故B正确； 直接由图象可知乙比甲晚到1小时，故C错误； 乙出发2小时后，两人相遇，故D正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查函数图象，能够从图象上获取信息是关键． 2．（22-23八年级下·重庆铜梁·期末）如图所示的是一台自动测温记录仪记录的图象，它反映了重庆5月某天一段时间的气温T（℃）随时间t变化的情况，观察图象得到的下列信息，其中错误的是（　　）    A．该段时间内最低气温为19℃ B．从6时至15时气温随着时间的推移而上升 C．该段时间内15时气温最高 D． 从12时至20时，气温随着时间的推移而下降 【答案】D 【分析】观察图像可知从0时到6时，温度逐渐下降，最低温度时19℃，从6时到15时，温度逐渐上升，最高温度是28℃，从15时到20时，温度逐渐下降，然后逐项判断可得答案． 【详解】观察图像可知从0时到6时，温度逐渐下降，最低温度时19℃，可知A不符合题意； 从6时到15时，温度逐渐上升，15时气温最高温度是28℃，可知B，C不符合题意； 从15时到20时，温度逐渐下降，可知D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了函数图像的识别，从图象中获取信息是解题的关键． 3．（22-23九年级上·北京海淀·开学考试）小明骑自行车从学校回家，中途在十字路口等红灯用了1分钟，然后继续骑车回家．若小明骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小明离家的距离s（单位：米）与时间t（单位：分钟）之间的对应关系如图所示，则小明骑自行车的速度是 米/分．    【答案】300 【分析】根据题意可知小张骑车5分钟所走路程为1500米，据此即可求出小张骑车的速度． 【详解】解：由题意可知，小张骑车的速度为： （米/分钟）． 故答案为：300． 【点睛】本题考查了函数图象，观察函数图象获得有效信息是解题关键，利用了路程、速度、时间之间的关系． 4．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）在同一直线上，甲骑自行车，乙步行，分别由A，B两地同时向右匀速出发，当甲追上乙时，两人同时停止行驶．如图表示两人之间的距离与所经过的时间之间的函数关系图象，观察图象，出发后 甲追上乙；若乙的速度为，则经过甲行驶的路程为 ．    【答案】 2 【分析】先根据图象知，出发后甲追上乙，，两地相距，再设甲的速度为，根据甲、乙两人的路程关系列出方程求出，再求值即可． 【详解】解：由图象可知，出发后甲追上乙，，两地相距， 设甲的速度为， 根据题意得：， 解得， ， 经过甲行驶的路程为， 故答案为：2，． 【点睛】本题考查了函数图象的实际运用，解题的关键是把函数图象与实际相结合，同学们应注重培养对图象的认识理解能力． 5．（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）萌萌沿着一条笔直的公路骑自行车去博物馆．当她骑了一段路时，想起要买面包，于是又折回到刚经过的商店，买完面包后继续骑行，最后到达了博物馆．萌萌离家的距离与本次去博物馆所用时间的关系的图象如图所示，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)萌萌家离商店的距离是多少？ (2)萌萌在商店停留了多少分钟？ (3)本次去博物馆途中，萌萌一共骑行了多少米？ 【答案】(1)1200米 (2)3分钟 (3)2400米 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息： （1）根据函数图象进行求解即可； （2）根据函数图象可知第9到12分钟萌萌在商店停留，据此求解即可； （3）根据函数图象进行求解即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知，萌萌家离商店的距离是1200米； （2）解：由函数图象可知，萌萌在商店停留了分钟； （3）解：米， ∴本次去博物馆途中，萌萌一共骑行了2400米． 6．（23-24七年级下·陕西榆林·期中）某日笑笑乘车去书店买书，在书店选好图书返回时由于堵车绕远路返回家中，如图是笑笑出发到返回家过程中与家的距离s（千米）和出发时间t（分）的关系．请根据图中信息回答下列问题： (1)笑笑从家出发到书店用时______分钟，在书店选书用时______分钟； (2)书店与笑笑家的距离是______千米，返回过程中由于堵车笑笑绕远了______千米； (3)笑笑从书店返回家中共用时______分钟． 【答案】(1)20，40 (2)3；2 (3)60 【分析】本题考查函数图象的应用，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键． （1）从图象可知，点对应的时间即为笑笑到达书店所用时间，段为笑笑在书店所呆的时间，作答即可； （2）点对应的距离即为书店与笑笑家的距离，段为绕远时的图象，用点对应的距离减去点对应的距离求解即可； （3）求出从点到所用的时间即可． 【详解】（1）解：由图象可知，笑笑从家出发到书店用时20分钟，在书店选书用时分钟； 故答案为：20，40； （2）由图象可知：书店与笑笑家的距离是3千米，返回过程中由于堵车笑笑绕远了千米； 故答案为：3；2； （3）由图象可知：笑笑从书店返回家中共用时分钟； 故答案为：60． 【典型例题七 动点问题的函数图象】 1．（2023·湖北十堰·中考真题）如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，当蚂蚁运动的时间为t时，蚂蚁与O点的距离为s，则s关于t的函数图像大致是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行，在开始时经过半径OA这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间t的增大而增大；到弧AB这一段，蚂蚁到O点的距离S不变，图象是与x轴平行的线段；走另一条半径OB时，S随t的增大而减小；故选B． 考点：1．动点问题的函数图象；2．分段函数． 2．（22-23九年级·江苏南通·阶段练习）正方形ABCD的边长与等腰直角三角形PMN的腰长均为4cm，且AB与MN都在直线上，开始时点B与点M重合.让正方形沿直线向右平移，直到A点与N点重合为止，设正方形与三角形重叠部分的面积为y(cm2)，MB的长度为x(cm)，则y与x之间的函数关系的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：根据题意分析可得：正方形与三角形重叠部分的面积先越来越快的增大；当MB的长度为4时，面积为8，取得最大值；随后，越来越快的减小，最后为0． 故选D． 考点：动点问题的函数图象． 3．（22-23七年级下·山西运城·期中）如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿方向匀速运动至点A停止，已知点P的运动速度为，设点P的运动时间为，的面积为，若关于的图像如图2所示，则长方形ABCD的面积为 ． 【答案】 【分析】根据的面积变化找到P点的速度与长方形的边长之间的关系，当三角形面积不变时，P点位于DC上，由此即可解答． 【详解】由图像结合三角形面积变化，在3s~7s间，三角形面积不变， 则点P点位于DC上， （cm） 从7s后三角形面积开始变化， （cm） 长方形ABCD的面积为：S=68= 故答案为: 【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，根据函数图像的变化规律求出矩形边长是关键． 4．（22-23八年级下·广西贵港·期末）如图，长方形中，动点R从点N出发，速度为1cm/s，沿方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为xcm，的面积为ycm2，如果y关于x的函数图象如图所示，则四边形的面积为 cm2． 【答案】20 【分析】根据函数图象求得PN=4，根据在PQ段，的面积不变，求得PQ=5，即可求解． 【详解】解：由图象知，PN=4，PQ=9-4=5， 所以MNPQ的面积=4×5=20（cm2）． 故答案为：20． 【点睛】本题以动态的形式考查了分类讨论的思想，主要考可函数图象知，从函数图象上获取信息是解答关键． 5．（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）如图，若矩形ABCD的长为AB=6，宽BC=2，P为DC上一个动点，M为AB上一个动点，设DP=， (1)求△MPD的面积与的函数关系式． (2)在如图所示的坐标系中画出函数图像． 【答案】(1)y=x（0≤x≤6） (2)见解析 【分析】（1）利用三角形面积公式计算即可； （2）根据函数表达式描点画图即可，注意自变量取值范围． 【详解】（1）解：△MPD的面积=（0≤x≤6）； （2）如图所示： 【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，解题的关键是正确列出函数表达式，同时注意自变量取值范围． 6．（22-23七年级下·四川达州·期中）已知动点P以每秒2cm的速度沿图甲的边框按B⇒C⇒D⇒E⇒F⇒A的路径移动，相应的三角形ABP的面积S（）与时间t（秒）之间的关系用图乙中的图象表示，若AB=6cm，试回答下列问题： (1)图甲中的BC长是多少？ (2)图乙中的是多少？ 【答案】(1)图甲中的BC长是8cm； (2)图乙中的a是24． 【分析】（1）根据题意得：动点P在BC上运动的时间是4秒，由动点的速度，可得BC的长； （2）由（1）可得BC的长，又由AB=6cm，可以计算出△ABP的面积，计算可得a的值． 【详解】（1）解：动点P在BC上运动时，对应的时间为0到4秒， ∴BC=2×4=8(cm)； 故图甲中的BC长是8cm； （2）解：由（1）可得，BC=8cm， 则：a=×BC×AB=24（）； 图乙中的a是24． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是读懂图意，明确横轴与纵轴的意义． 【典型例题八 函数的三种表示方法】 1．（22-23八年级·上海静安·课后作业）某次物理实验中，测得变量和的对应数据如下表，则这两个变量之间的关系最接近下列函数中的（     ） 1 2 3 4 5 6 2.41 4.9 10.33 17.21 25.93 37.02 A． B． C． D．． 【答案】A 【分析】观察这几组数据，找到其中的规律，然后再答案中找出与之相近的关系式． 【详解】解：有四组数据可找出规律，2.41-1=1.41，接近12； 4.9-1=3.9，接近22； 10.33-1=9.33，接近32； 17.21-1=16.21，接近42； 25.931=24.93，接近52； 37.021=36.02，接近62； 故m与v之间的关系最接近于v=m2+1． 故选：A． 【点睛】本题是开放性题目，需要找出题目中的两未知数的律，然后再答案中找出与之相近的关系式． 2．（22-23八年级下·河北·期中）王涵准备测量食用油的沸点（液体沸腾时的温度），已知食食用油的沸点温度高于水的沸点温度(100℃），王涵家只有刻度不超过100度的温度计；她的方法是在锅中导入一些食用油，用媒气灶均匀加热，并每隔10s，测量一下锅中的油温，测量得到的数据如表所示，王涵发现，加热110s时，油沸腾了，则下列判断不正确的是（   ） 时间t/s 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 A．没有加热时，油的温度是 B．每加热10s．油的温度升富 C．如热50s时，油的温度是 D．这种食用油的沸点温度是 【答案】C 【分析】根据表格中提供的数据可知，：t=0时，y=10，即没有加热时，油的温度为10℃；每增加10秒，温度上升20℃，据此解答即可． 【详解】A.从表格可知：t=0时，y=10，即没有加热时，油的温度为10℃，正确，不符合题意； B. 从表格可知：每增加10秒，温度上升20℃，正确，不符合题意； C.∵每增加10秒，温度上升20℃，∴t=50时，油温度y＝50÷10×20+10=110，不正确，符合题意； D.110÷10×20+10=230，即t=110秒时，温度y=230，正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查函数的表示方法；能够通过表格确定自变量与因变量的变化关系是解题的关键． 3．（22-23七年级下·山西太原·期中）声音在空气中传播的速度（简称音速）与气温之间的关系如下表： 气温 0 5 10 15 20 音速（米/秒） 331 334 337 340 343 在气温为的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟0.2秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令枪的地点有 ． 【答案】68 【分析】根据表中数据可列出音速与时间的关系式，进而求出答案． 【详解】当气温为时，音速为340米/秒，而该人是看到发令枪的烟0.2秒后，听到了枪声． 则由此可知，这个人距发令地点米， 故答案为：68． 【点睛】本题考查了函数的表示方法.能够利用表格的数据计算距离是解题的关键． 4．（22-23七年级下·辽宁锦州·期末）某剧院的观众席的座位按下列方式设置： 排数 ••• 座位数 ••• 根据表格中两个变量之间的关系，则当时， ． 【答案】 【分析】分析表格中的数据可发现x每增加1，y增加3，由此关系可得出时y的值. 【详解】解：由表格中的数据可知x每增加1，y增加3， 即， 当时，. 故答案为：51 【点睛】本题考查了变量间的关系，分析表格中的数据，找准两个变量的变化规律是解题的关键.y 5．（22-23七年级下·四川成都·期中）在某地，人们发现在一定温度下某种蟋蟀叫的次数与温度之间有如下的近似关系： 当地温度 ··· 蟋蟀叫的次数（次） ··· （1）求出这种蟋蟀叫的次数（次）与当地温度之间的关系． （2）当这种蟋蟀叫的次数时，求当时该地的温度． 【答案】（1）；（2） 【分析】根据数量关系，写出表达式即可． 将代入关系式，便可求出当地温度． 【详解】由题可知温度每增加，蟋蟀叫的次数就增加次， ， 关系式为：． 将代入可得， j 解得． 答：当蟋蟀叫的次数时，该地温度为． 【点睛】本题考查函数的表达式，利用数量关系进行书写，关键在于对题目的正确理解． 6．（22-23八年级下·河北邯郸·期末）研究发现，学生对概念的接受能力与提出概念所用的时间（分钟）之间有如下关系： 提出概念所用的时间（分钟） 对概念的接受能力 根据以上信息，回答下列问题： （1）当提出概念所用的时间为分钟时，学生的接受能力约是多少？ （2）当提出概念所用的时间为多少分钟时，学生的接受能力最强？ （3）当时，学生的接受能力随提出概念的时间增加而怎么样发生变化？当时，学生的接受能力随提出概念的时间增加而怎么样发生变化？ 【答案】（1）59；（2）13分钟；（3）当2＜x＜13时，学生的接受能力随提出概念的时间增加而增大；当13＜x＜20时，学生的接受能力随提出概念的时间增加而减小． 【分析】（1）根据图表信息解题； （2）观察图表数据，对概念的接受能力最强的时间是13，据此解题； （3）观察图表数据信息，在或中，根据数据的增减性解题． 【详解】解：（1）当x=10时，y=59，所以时间是10分钟时，学生的接受能力是59． （2）当x=13时，y的值最大是59.9，所以提出概念13分钟时，学生的接受能力最强． （3）当2＜x＜13时，学生的接受能力随提出概念的时间增加而增大； 当13＜x＜20时，学生的接受能力随提出概念的时间增加而减小． 【点睛】本题考查函数的图象表示法之列表法，其中涉及图表数据分析，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是是解题关键． 【变式训练1 函数的概念】 1．（23-24七年级下·广东梅州·期中）在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中自变量是（    ） A．太阳光强弱 B．水的温度 C．所晒时间 D．热水器 【答案】C 【分析】本题主要考查了因变量与自变量的定义．自变量是指由研究者主动操纵，而引起因变量发生变化的因素或条件．因此自变量被看作是因变量的原因．或者说，自变量是能引起因变量变化的变量，据此求解即可． 【详解】解：∵热水器里的水温随所晒时间的长短而变化， ∴自变量是所晒时间，因变量是水的温度， 故选：C． 2．（23-24七年级下·河南郑州·期中）清明假期小华一家驾车出游，爸爸开车到加油站加油，小华发现加油机上某一时刻的数据显示牌如图所示，则下列判断正确的是（    ） A．单价、数量、金额是变量 B．单价是自变量 C．金额是因变量 D．178.00和8.90是常量 【答案】C 【分析】本题考查了常量与变量，函数的定义理解常量与变量的定义是正确判断的前提；根据函数的定义依次判断. 【详解】解：单价是常量，金额和数量是变量金额是数量的函数， 故选项C符合题意， 故选：C． 3．（22-23八年级下·广东广州·期中）变量x，y有如下关系；①；②；③；④．其中y是x的函数的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了函数的概念，设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，掌握函数的概念是解题的关键．根据函数的定义判断即可． 【详解】解：①，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，符合函数的定义； ②给一个任意不是0的数x，y都有唯一的值与它对应，符合函数的定义； ③，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，符合函数的定义； ④，任意给一个正数x，y都有两个值与x对应，不符合函数的定义； 故答案为：①②③． 4．（23-24七年级下·宁夏银川·期中）对于关系式，下列说法：①x是自变量，y是因变量；②x的数值可以任意选择；③y是变量，它的值与x无关；④这个关系式表示的变量之间的关系不能用图象表示；⑤y与x的关系还可以用表格和图象表示，其中正确的是 ． 【答案】①②⑤ 【分析】本题主要考查了函数的概念，x为自变量，y为函数，也叫因变量；x取全体实数；y随x的变化而变化；可以用三种形式来表示函数：解析法、列表法和图象法． 【详解】解：①x是自变量，y是因变量；故正确； ②x的数值可以任意选择；故正确； ③y是变量，它的值与x有关； y随x的变化而变化，故错误； ④用关系式表示的可以用图象表示，故错误； ⑤y与x的关系还可以用图象表示，故正确． 故答案为：①②⑤． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）根据经验，跳远的距离（v是助跑的速度，米/秒），其中变量s随着哪一个量的变化而变化？ 【答案】变量s随着v的变化而变化． 【分析】根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可直接得到答案． 【详解】解：中，常量是，变量是s、v， 其中变量s随着v的变化而变化． 【点睛】此题主要考查了常量和变量，关键是掌握定义． 6．（22-23八年级上·全国·单元测试）指出下列变化过程中，哪个变量随着另一个变量的变化而变化？ （1）一辆汽车以的速度匀速行驶，行驶的路程与行驶时间． （2）圆的半径和圆面积满足：． （3）银行的存款利率与存期． 【答案】见解析 【分析】根据函数的概念，因变量随着自变量的变化而变化，据此逐一判断可得． 【详解】解：（1），随着的变化而变化； （2）圆的半径和圆面积关系式，其中随着的变化而变化； （3）银行的存款利率随着存期的变化而变化． 【点睛】本题主要考查函数的定义，理解和掌握函数的定义是解题的关键． 【变式训练2 函数解析式】 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）有一个长为10，宽为5的长方形，若将这个长方形的宽增加x，长不变，所得新长方形的面积y与x之间的关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了长方形的面积，一次函数的解析式，利用长方形的面积列出等式是解题的关键． 利用长方形的面积公式解答即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：D． 2．（23-24八年级上·广东茂名·期中）下表列出了一次实验的统计数据，表示皮球从高处落下时，弹跳高度b与下落高度d的关系，下列关系式中能表示这种关系的是（　　） 50 80 100 150 … 25 40 50 75 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列一次函数的关系式，关键是读懂题意，掌握函数关系的三种表示方法，并能准确找到图表中上下数据的对应关系． 【详解】解：由表中上下对应的统计数据可知：b是d的倍， 即：， 故选：C． 3．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）小丽给新办的饭卡充值元，学校餐厅每顿午饭均为元，则饭卡余额（元）与购买午饭的次数（次）之间的关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，理解题意列出关系式是解题的关键．用减去次的消费，即可确定函数关系式． 【详解】解：依题意，饭卡余额（元）与购买午饭的次数（次）之间的关系为，故答案为：． 4．（23-24七年级下·山西晋中·期中）在科学上，热气球推动了大气学、气象学和航空学的发展，人们通过高空观察，获取了大量先前无法获得的数据，推动了科学的进步．某次用热气球探测高空气象时，热气球从海拔处的某地升空（如图），在一段时间内，它以的速度匀速上升，它上升过程中到达的海拔高度与上升时间的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，根据数量关系列出函数关系式即可． 【详解】解：∵热气球从海拔处的某地升空，在一段时间内，它以的速度匀速上升， ∴它上升过程中到达的海拔高度与上升时间的关系式为， 故答案为： 5．（22-23八年级下·全国·课后作业）购买一些铅笔，单价为0.2元/支，总价y元随铅笔支数x变化．指出其中的常量与变量，自变量与函数，并写出表示函数与自变量关系的式子． 【答案】常量0.2，变量x，y，自变量x，函数y，． 【分析】根据总价＝单价×数量，可得函数关系式．再根据函数的有关定义解答即可． 【详解】解：由题意得：（x是正整数），y是x的函数， ∴常量0.2，变量x，y，自变量x，函数y． 【点睛】主要考查了常量与变量．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 6．（22-23八年级下·广西南宁·期末）已知等腰三角形的周长为cm，底边长为cm，一腰长为cm． （1）求与之间的函数关系式； （2）指出其中的变量和常量． 【答案】（1）；（2），是变量；是常量． 【分析】（1）根据三角形的周长公式可得，化简即可； （2）根据常量和变量的概念，即可求解． 【详解】解：（1）根据三角形的周长公式可得：，即 与之间的函数关系式为： （2）根据常量和变量的有关概念，可得： ，是变量；是常量 【点睛】此题考查了函数的解析式，常量与变量的概念，解题的关键是熟练掌握函数的解析式以及常量与变量的概念． 【变式训练3 求自变量的取值范围】 1．（2024·云南昭通·二模）函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据分式的分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选：C． 2．（23-24八年级下·广东深圳·期中）1796年，19岁的高斯证明了可以尺规作正十七边形，他被誉为世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉．用他名字命名的高斯函数也称为取整函数，即表示不超过的最大整数．例如：当时，，其函数图象如图所示，当时，的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是理解题意，根据得出x的范围即可． 【详解】解：∵表示不超过的最大整数， ∴当时，的取值范围为， 故选：C． 3．（2024·西藏拉萨·一模）函数的自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件是解题的关键，根据分式分母不为列式计算即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定．根据分式有意义，分母不为零列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 5．（22-23九年级上·湖南郴州·阶段练习）已知 ，与成反比例，与 成正比例，且当时，，． (1)求关于的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)求当时的函数值． 【答案】(1)（x≠−1） (2)−1 【分析】（1）根据题意设，，得到，把，和，分别代入得求得，，并写出自变量x的取值范围即可； （2）把代入关于的函数解析式即可． 【详解】（1）解：设，， 把，和，分别代入得 ， 解得， 关于的函数解析式为， 其中x的取值范围是； （2）当时，． 【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式、求函数值等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 6．（22-23八年级下·全国·单元测试）求出下列函数中自变量x的取值范围． ①y= ②y= ． 【答案】(1)x≠2  （2）x≥﹣2 【详解】分析：（1）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案； （2）根据二次根式的被开方数是非负数，可得答案． 详解： （1）由y=有意义，得x﹣2≠0， 解得x≠2； （2）由y=有意义，得 x+2≥0， 解得x≥﹣2．   点睛：考查了函数自变量的范围，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 【变式训练4 求自变量的值或函数值】 1．（23-24八年级下·广东珠海·期中）当时，的函数值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】本题考查了函数值，利用自变量与函数值的对应关系是解题关键． 根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【详解】解：当时，， 故选：A． 2．（23-24八年级下·福建泉州·期中）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是8和1时，输出的y值相等，则b等于（    ） A．5 B． C．7 D．3和4 【答案】B 【分析】本题考查了函数值，解题的关键是先求出时y的值，再将、代入计算即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴， 解得：， 故选：B． 3．（2024八年级下·上海·专题练习）已知函数，那么 ． 【答案】4 【分析】将自变量代入函数关系式进行计算，即可求解， 此题考查了函数值，准确计算是解题的关键． 【详解】解：由于， 所以， 故答案为：4． 4．（23-24七年级下·宁夏银川·期中）在一定范围内，弹簧的长度与它所挂物体的质量之间的关系是，如果该弹簧最长可以拉伸到，那么它所挂物体的最大质量是 ． 【答案】/15千克 【分析】本题考查的是函数解析的应用，已知函数值求解自变量的值，把代入即可得到答案． 【详解】解：当时，得， 解得， ∴它所挂物体的最大质量是． 故答案为：． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）求下列函数当时的函数值： (1)． (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）把代入函数解析式进行计算即可得解； （2）把代入函数解析式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：当时，． 【点睛】本题考查了函数值的求解，是基础题，准确计算是解题的关键． 6．（22-23八年级上·浙江丽水·期末）在国内投寄平信应付邮资如表： 信件质量x（克） 0＜x≤20 20＜x≤40 40＜x≤60 邮资y（元/封） 1.20 2.40 3.60 （1）根据函数的定义，y是关于x的函数吗？ （2）结合表格解答： ①求出当x=48时的函数值，并说明实际意义． ②当寄一封信件的邮资是2.40元时，信件的质量大约是多少克？ 【答案】（1）y是x的函数；（2）①3.60，实际意义见解析；②大于20克，且不超过40克 【分析】（1）根据函数的定义判断即可． （2）①②利用表格求出对应的函数值即可． 【详解】解：（1）y是x的函数， 理由是：对于x的一个值，函数y有唯一的值和它对应； （2）①当x=48时，y=3.60， 实际意义：信件质量为48克时，邮资为3.60元； ②邮资为2.40元，信件质量大约为大于20克，且不超过40克． 【点睛】本题考查了函数的概念，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式训练5 函数图象识别】 1．（2024·山西忻州·二模）茶文化是中国对茶认识的一种具体表现，其内涵与茶具设计之间存在着密不可分的联系，如图，是一款上下细中间粗的茶杯，向该茶杯中匀速注水，下列图象中能大致反映茶杯中水面的高度与注水时间关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象的识别，根据茶杯的形状可以推断水面高度上升的速度，据此即可求解． 【详解】解：∵茶杯上下细中间粗， ∴水面高度在茶杯中间位置上升速度较慢，A选项符合题意， 故选：A ． 2．（23-24八年级下·北京通州·期中）如图所示的图象分别给出了与的对应关系，其中能表示是的函数的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数的概念与图象，根据函数的定义判断即可． 【详解】解：∵C图象中对于每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，符合函数的定义；而A、B、D图象中对于每一个的值，并非都有唯一确定的值与之对应，不符合函数的定义； ∴C符合题意，A、B、D不符合题意． 故选：C． 3．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）经过点且垂直于轴的直线可以表示为 【答案】直线 【分析】根据垂直于坐标轴的直线解析式的形式解答． 【详解】解：∵经过点且垂直于x轴， ∴直线的解析式是x=2． 故答案为：x=2． 【点睛】本题考查了垂直于x轴的直线的形式，垂直于x轴的直线的形式是x=a（a是常数）． 4．（22-23八年级下·上海·课后作业）如果表示一条直线，那么k的取值范围是 ． 【答案】任意实数 【分析】根据一次函数与常值函数的图象均为一条直线分情况讨论即可得解. 【详解】解：当k=0时，y=4，其表示为一条直线； 当k≠0时，y=kx+4，是一次函数，其表示为一条直线， 则当k取任意实数时，表示一条直线. 故答案为任意实数. 【点睛】本题主要考查函数的图象，解此题的关键在于熟练掌握一次函数与常值函数的图象. 5．（22-23七年级下·辽宁锦州·期中）下列各情景分别可以用哪幅图来近似地刻画？ (1)一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系）； (2)一面冉冉上升的旗子（高度与时间的关系）； (3)足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系）； (4)匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）． 【答案】(1)C (2)D (3)A (4)B 【分析】确定两个变量之间的变化情况，逐次分析即可求解． 【详解】（1）一杯越晾越凉的水(水温与时间的关系)，温度逐步减小到环境温度，故可以用图象C刻画； （2）一面冉冉上升的旗子(高度与时间的关系)，旗帜的高度逐步增加到一定的高度，故可以用D刻画； （3）足球守门员大脚开出去的球(高度与时间的关系)，球的高度逐步增加然后落地，故可以用A来刻画； （4）匀速行驶的汽车(速度与时间的关系)，汽车的速度不变，故可以用B来刻画． 【点睛】主要考查了函数图象的读图能力，弄清楚变量之间变化关系是解题的关键． 6．（22-23六年级上·北京·期末）小明家、食堂、图书馆在同一条直线上．小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．小明离家的距离与时间之间的对应关系如图所示． 根据上图回答下列问题： (1)食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？ (2)小明吃早餐用了多少时间？在图书馆停留了多少时间？ (3)图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？ 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）根据图像可知食堂离小明家∶，小明从家到食堂用了∶． （2）由图可知小明吃早餐用了∶， 在图书馆停留了∶． （3）根据路程除以时间计算即可． 【详解】（1）由图可知： 食堂离小明家∶， 小明从家到食堂用了∶． （2）由图可知： 小明吃早餐用了∶， 在图书馆停留了∶ ． （3）图书馆离小明家∶ ， 小明从图书馆回家的平均速度∶ ． 【点睛】此题考查了距离与时间图像问题，解题的关键是读懂图像信息． 【变式训练6 从函数的图象获取信息】 1．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）小君去游览翠华山，他先坐缆车至中转点，休息一会儿后步行登山至山顶.设所用的时间为x，离山脚的高度为y，如图能反映整个过程中变量y与x之间关系的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数图象．根据一开始是坐缆车上山，休息一段时间后是步行登山至华山山顶，因此休息前的路程变化比休息后的路程变化快，由此判定即可． 【详解】解：由题意可得， 刚开始，小君是坐缆车上山，变化趋势比较快， 休息一段时间，步行登山至华山山顶，变化趋势比较平缓， 故选：B． 2．（23-24七年级下·河北保定·期中）如图1是两个圆柱形连通器（连通处体积忽略不计），向甲容器匀速注水，甲容器的水面高度随时间变化的图象大致为（    ）     图1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是函数图象的识别，根据两个圆柱形容器的中间连通，得到前面第一段的图象上升较快，中间一段图象的水面高度不变，后一段的图象上升较慢，结合图象即可进行判断． 【详解】解：两个圆柱形容器的中间连通， 甲容器的水面高度会有保持不变的情况； 前面第一段的图象上升较快，中间一段图象的水面高度不变，后一段的图象上升较慢， 故选：A． 3．（23-24七年级下·广东清远·期中）如记录了某地一月份某天的温度随时间变化的情况，根据图象可知，在这一天中，时和 的温度是．    【答案】 【分析】本题考查了函数图象．理解函数图象的横轴和纵轴表示的量，读懂图意是解题的关键． 根据横轴表示时间，纵轴表示温度．由此可找具体的时刻相对应的时间和温度，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，时和的温度是， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·甘肃武威·开学考试）小明沿街心公园的环形跑道从起点出发按逆时针方向跑步，他用软件记录了跑步的轨迹，他每跑1km软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前5 km 的记录如图所示.已知该环形跑道一圈的周长大于1km.小明恰好跑3圈时，路程 5km?(填“超过”或“不超过”)    【答案】不超过 【分析】由题意可知，小明恰好跑3圈时，路程超过了4km，但没有达到5km． 【详解】解：由题意可知，标注2km的位置位于标注1km的前面，故小明跑完第一圈的路程的路程大于1km，小于2千米； 同理可得，小明跑完第二圈的路程的路程大于2km，小于3千米； 小明跑完第三圈的路程的路程大于4km，小于5千米； 所以小明恰好跑3圈时，路程没有超过了5km， 故答案为：不超过． 【点睛】本题考查了函数的图象，理清题意，利用数形结合的方法是解答本题的关键． 5（23-24七年级下·陕西榆林·期中）适当强度的运动有益身体健康，小圣为了保持身体健康，坚持每天适当运动．某次运动中，小圣的心率P与运动时间t之间的变化关系如图所示，根据图象回答问题： (1)图中点M表示的实际意义是小圣运动时间在第40分钟时，心率为_____次/分． (2)小圣通过查阅资料了解到：对于青少年，心率控制在120次/分～175次/分之间能达到最佳的运动效果．问：本次运动中达到最佳运动效果的时间约持续了多久？ 【答案】(1)160 (2)本次运动中达到最佳运动效果的时间约持续了40分钟 【分析】本题考查了从函数图像获取信息等知识点，正确从函数图像获取信息是解答本题的关键． （1）根据图象点M坐标求解即可； （2）根据图象找出心率达120次/分开始和结束时间点，即可求解． 【详解】（1）图中点M表示的实际意义是当运动时间为40分时，心率为160次/分； （2）∵心率控制在120次/分～175次/分之间能达到最佳的运动效果 ∴由图象可得，当运动10分钟时，心率达到120次/分； 当第50分钟后时，当心率低于120次/分； ∴分钟 ∴本次运动中达到最佳运动效果的时间约持续40分钟． 6．（22-23七年级下·广东深圳·期末）如图是某市一天的气温变化图，在这一天中，气温随着时间变化而变化，请观察图象，回答下列问题： (1)在这一天中（凌晨0时到深夜24时均在内），气温在 时达到最低，最低气温是 ℃，气温在 时达到最高； (2)上午8时的气温是 ℃，下午14时的气温是 ℃； (3)在什么范围内这天的气温在下降的？这天从2时到14时气温上升了多少？ 【答案】(1)2，8，14 (2)14，24 (3)0时至2时，气温下降，14时至24时，气温下降；2时至14时气温上升了16℃ 【分析】根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：由函数图象可知，气温在2时达到最低，最低气温是8℃，气温在14时达到最高． （2）解：由函数图象可知，上午8时的气温是14℃，下午14时的气温是24℃． （3）解：由函数图象可知，0时至2时，气温下降，14时至24时，气温下降；2时至14时气温上升了16℃． 【点睛】本题考查从函数图象获取信息．难度不大，重要的是观察细致． 【变式训练7 动点问题的函数图象】 1．（2022·浙江台州·中考真题）吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m．他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校，设吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据吴老师离公园的距离以及所用时间可判断． 【详解】解：吴老师家出发匀速步行8min到公园，表示从(0，400)运动到(8，0)； 在公园，停留4min，然后匀速步行6min到学校，表示从(12，0)运动到(18，600)； 故选：C． 【点睛】本题考查函数的图象，解题的关键是正确理解函数图象表示的意义，明白各个过程对应的函数图象． 2．（22-23八年级上·浙江温州·阶段练习）如图1，动点P从点A出发，在网格平面内运动，设点P经过的路程为s，点P到直线l的距离为d．已知d与s的关系如图2所示．则下列选项中，可能是点P的运动路线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析函数图象即可得出答案 【详解】解：s（0-1）：点P到直线l的距离为1， s（1-2）：点P到直线l的距离逐渐增加变为2， s（2-3）：点P到直线l的距离逐渐增加变为3， s（3-4）：点P到直线l的距离为4， s（4-5）：点P到直线l的距离为逐渐减少变为2， 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，分析函数图象是解题的关键． 3．（2024·青海西宁·一模）如图①，在中， ，动点P以每秒2个单位长度的速度从A点出发，沿折线运动(到C点停止)，的长y随运动时间t(s)变化的函数图象如图②所示，则的长是 ． 【答案】8 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图象可知，，点运动的总时间为，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】解：由图可知：，点运动的总时间为， ∴， ∴； 故答案为：8． 4．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知动点从点出发，以每秒的速度在图①的边（相邻两边互相垂直）上按的路线移动，相应的的面积与点的运动时间的图象如图②所示，且．当时， 秒． 【答案】3或14/14或3 【分析】本题考查动点问题的函数图象．根据题意得：动点P在上运动的时间是4秒，又由动点P的速度，可得的长；再根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：动点P在上运动时，对应的时间为0到4秒， ∴； 动点P在上运动时，对应的时间为4到6秒， ∴； 动点P在上运动时，对应的时间为6到9秒， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点P与点C重合时，， ∴当时，点在上或运动， ∴或， 解得：或14． 故答案为：3或14． 5．（23-24七年级下·河北张家口·期中）如图①，正方形的边长为，F为边上一点，动点P以的速度沿的路径向终点A运动．设运动时间为，的面积为，S与t的关系图象如图②所示． (1)求线段的长及a的值； (2)的面积S为时，直接写出t的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查利用函数图象解决实际问题．建立实际问题与函数图象的对应关系是解题关键． （1）当点P运动到点C时，的面积为12；当点P运动后，的面积为6；据此即可求解； （2）由图2可得，当点在段或段时，的面积都可能是10，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：当点P运动到点C时，结合图②可得：， 即：， ， 由图②可得：点P运动后，， 即：， ， 解得：； （2）或时，的面积S为．理由如下： ①当点P在段时： ， ， 解得：； ②当点P在段时：， ， 解得：， 综上所述：或时，的面积S为10． 6．（23-24七年级下·陕西西安·期中）已知动点 以每秒的速度沿如图所示的边框按从 的路径移动，相应的的面积关于时间t的函数图象如图所示，若 试回答下列问题． (1)此题的自变量是 ，因变量是 ； (2)如图甲， 的长是 ； (3)如图乙，图中的是 ，是 ． 【答案】(1)时间；面积 (2)； (3)； 【分析】此题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积，能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． （1）根据函数的定义可得自变量与因变量分别为时间和面积； （2）根据函数图象可判断出、的长度，进一步计算即可求解； （3）根据三角形的面积计算公式，进行求解． 【详解】（1）解：根据函数的定义可得自变量与因变量分别为时间和的面积； 故答案为：时间；面积； （2）解：已知当在上时，以为底的三角形的高在不断增大，到达点时，开始不变，由第二个图得， 在上移动了4秒， ． 在上移动了2秒， ， 在上移动了3秒， ， ， ， ∴图甲图形面积是 故答案为：4；15； （3）解：由图得，是点运行4秒时的面积， ， 为点走完全程的时间：， ，． 故答案为：；17． 【变式训练8 函数的三种表示方法】 1．（22-23八年级·全国·假期作业）下面关于函数的三种表示方法叙述错误的是(     ) A．用图象法表示函数关系，可以直观地看出因变量如何随着自变量而变化 B．用列表法表示函数关系，可以很清楚地看出自变量取的值与因变量的对应值 C．用解析式法表示函数关系，可以方便地计算函数值 D．任何函数关系都可以用上述三种方法来表示 【答案】D 【分析】根据函数三种表示方法的特点即可作出判断． 【详解】前三个选项的叙述均正确，只有选项D的叙述是错误的，例如一天中的气温随时间的变化是一个函数关系，但此函数关系是无法用函数解析式表示的． 故选：D 【点睛】本题考查了函数的三种表示方法，知道三种表示方法的特点是本题的关键． 2．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）在高海拔（1500～3500m为高海拔，3500～5500m为超高海拔，5500m以上为极高海拔）地区的人有缺氧的感觉，下面是有关海拔高度与空气含氧量之间的一组数据： 海拔高度/m 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 空气含氧量/（g/m3） 299.3 265.5 234.8 209.63 182.08 159.71 141.69 123.16 在海拔高度3000m的地方空气含氧量是（　　）g/m3． A．299.3 B．209.63 C．182.08 D．159.71 【答案】B 【分析】根据“用表格表示变量之间的关系”的方法，结合表格中的数据可得答案． 【详解】解：根据表格中，海拔高度与空气含氧量的对应值可得， 当海拔高度为3000m时，对应的空气含氧量为209.63g/m3， 故选：B． 【点睛】本题考查了用表格表示变量之间的关系，理解表格中两个变量的对应值的意义是正确判断的前提． 3．（22-23八年级上·全国·课前预习）变量间关系的表示方法： ； ； 【答案】 列表法 关系式法 图象法 【解析】略 4．（22-23七年级下·山东菏泽·期中）对于关系式，下列说法：①是自变量，是因变量；②的数值可以任意选择；③是变量，它的值与无关；④这个关系式表示的变量之间的关系不能用图象表示；⑤与的关系还可以用表格和图象表示，其中正确的是 ．（只需填写序号） 【答案】①②⑤ 【分析】根据一次函数的定义可知，x为自变量，y为函数，也叫因变量；x取全体实数；y随x的变化而变化；可以用三种形式来表示函数：解析法、列表法和图象法． 【详解】解：①x是自变量，y是因变量；故正确； ②x的数值可以任意选择；故正确； ③y是变量，它的值与x有关； y随x的变化而变化，故错误； ④用关系式表示的可以用图象表示，故错误； ⑤y与x的关系还可以表格和图象表示，故正确. 故答案为：①②⑤. 【点睛】本题考查了一次函数的定义，是基础知识，比较简单． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）在高处让一物体由静止开始落下，它下落的路程s与时间t之间的关系如下表： 时间t(秒) 1 2 3 4 5 落下路程s(米) 4.9×1 4.9×4 4.9×9 4.9×16 4.9×25 （1）请根据表格中的数据写出时间t与物体落下的路程s之间的关系； （2）算出当t=4.5秒时，物体落下的路程. 【答案】（1） ；（2）99.225米. 【分析】（1）利用表格中的数据可得落下路程s是时间t平方的4.9倍，然后用t的代数式表示s即可； （2）当t=4.5代入（1）中的关系式中求代数式的值即可． 【详解】解：（1）t=1时，s=4.9×12， t=2时，s=4.9×22， t=3时，s=4.9×32， t=4时，s=4.9×42， t=5时，s=4.9×52， 所以s=4.9t2； （2）当t=4.5时，s=4.9×4.52=99.225（米）． 【点睛】本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式，本题的关键是找到t与s的数量关系． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）一辆汽车正常行驶时每小时耗8升，油箱现有52升汽油. （1）如果汽车行驶时间为t（时），那么油箱中所存油量Q（升）与t（时）的关系式是什么？ （2）油箱中的油总共可供汽车行驶多少小时？ （3）当t的值分别为1，2，3时，Q相应的值是多少？ 【答案】（1）Q=52-8t；（2）可供汽车行驶6.5小时；（3）相应的Q=44，36，28. 【分析】（1）存油量=现有油量（52）-消耗的油量，把相关数值代入即可． （2）把Q=0代入（1）的关系式中求出t即可解； （3）把t=1，2，3代入（）1）的关系式中求出Q即可解. 【详解】解：（1）∵每小时耗油8升， ∴当时间为t时，耗油8t， ∴油箱中所存油量Q（升）与t（时）的关系式为 Q=52-8t； （2）当Q=0时，52-8t=0，解得t=6.5， 即油箱中的油总共可供汽车行驶6.5小时； （3）t=1，2，3，相应的Q=44，36，28. 【点睛】此题主要考查了一次函数关系式；得到某一时刻存油量的表示方法是解决本题的关键． 1．（22-23八年级下·福建福州·期末）如图，下列图象能表示y是x的函数关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，据此即可确定是否为函数． 【详解】解：A、对每一个x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象，不符合题意； B、对每一个x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象，不符合题意； C、对每一个x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象，不符合题意； D、对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查函数的定义．解题关键在于掌握函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 2．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）把一个长为5，宽为2的长方形的长减少x (0≤x<5)， 宽不变，所得长方形的面积y关于x的函数表达式为(     ) A．y=10－x B．y=5x C．y=2x D．y=－2x+ 10 【答案】D 【分析】直接表示出长方形的长，利用长方形面积求法得出答案． 【详解】解：由题意可得：y=2（5-x）=-2x+10． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了函数关系式，正确利用长方形面积求法分析是解题关键． 3．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）变量x与y之间的关系是y＝2x+1，当y＝5时，自变量x的值是（　　） A．13 B．5 C．2 D．3.5 【答案】C 【分析】直接把y＝5代入y＝2x+1，解方程即可． 【详解】解：当y＝5时，5＝2x+1， 解得：x＝2， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了函数值，关键是掌握已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程． 4．（22-23七年级下·广东韶关·期中）二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，如图是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．在下列选项中白昼时长超过14小时的节气是（　　）      A．惊蛰 B．立夏 C．夏至 D．大寒 【答案】C 【分析】观察横轴上哪个节气对应的白昼时长超过14小时即可． 【详解】解：根据图象可知，白昼时长超过14小时的节气由小满和夏至． 故选C． 【点睛】本题考查从函数图象获取信息，解题的关键是看懂所给图象． 5．（23-24八年级下·云南昆明·阶段练习）匀速地向如图所示的容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间的变化规律可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题首先要弄清横、纵坐标所代表的意义，然后要考虑到上中下三个圆柱的底面积不同，所以水面升高的速度也不同；可依据上面的两点来判断各项的对错． 主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 【详解】解：由题意知：纵坐标表示的是水面的高度，横坐标表示的时间；整个注水过程大致可分为三个阶段：①向容器最下面的圆柱体中注水时，由于注水速度不变，水面逐渐升高，且此段函数是一次函数，排除A和B； ②向容器中间的圆柱体中注水时，由于大圆柱体的底面积大于中间圆柱体的底面积，因此水位上升的幅度会增大，可排除B； ③向容器最上面的小圆柱体中注水时，由于最小圆柱体的底面积小于中间圆柱体的底面积，因此水面上升的幅度会加大， 综上可知，D符合题意． 故选：D． 6．（22-23八年级上·全国·课前预习）对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a的 ． 【答案】函数值 【解析】略 7．（22-23九年级上·天津河西·期中）若正方形的边长为x，面积为y，则y与x之间的关系式为 （）． 【答案】 【分析】根据正方形的面积公式列出函数关系式即可; 【详解】y=x2 【点睛】本题考查列函数关系式，掌握正方形的面积公式是得出函数关系式的前提． 8．（22-23七年级下·四川达州·期中）洲际弹道导弹的速度会随着时间的变化而变化，某种型号的洲际弹道导弹的速度v(km/h)与时间t(h)的关系是v=1000＋50t，若导弹发出0.5h即将击中目标，则此时该导弹的速度应为 km/h． 【答案】1025 【分析】直接将t=0.5代入v=1000＋50t，计算即可求得该导弹的速度． 【详解】解：∵导弹的速度v(km/h)与时间t(h)的关系是v=1000＋50t， ∴当t=0.5时，v=1000＋50×0.5=1025(km/h)， 故答案为：1025． 【点睛】本题考查了函数值求解，把自变量的值代入关系式进行计算即可，比较简单． 9．（22-23八年级上·陕西西安·期中）如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图像如图2所示.如果将正方体铁块取出，又经过 秒恰好将水槽注满. 【答案】4 【分析】根据函数图像可得正方体的棱长为10cm，同时可得水面上升从10cm到20cm,所用的时间为16秒，结合前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒可得答案. 【详解】解：由题意可得:12秒时,水槽内水面的高度为10cm,12秒后水槽内水面高度变化趋势改变，正方体的棱长为10cm； 没有立方体时,水面上升从10cm到20cm,所用的时间为:28-12=16秒 前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒 将正方体铁块取出, 又经过4秒恰好将此水槽注满. 故答案：4 【点睛】本题主要考查一次函数的图像及应用，根据函数图像读懂信息是解题的关键. 10．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）如图（1），矩形的两条对角线相交于点，，cm，一动点以均匀的速度沿折线运动，设点的运动时间为，点、、围成的三角形的面积为，若与之间的函数图象如图（2），那么点运动的速度为 ． 【答案】1cm/s． 【分析】根据题意得出OB=AB=3cm，x=6，得出OB+AB=6，即可得出P点运动的速度． 【详解】解：根据题意得：OB=AB=3 cm，x=6， ∴OB+AB=6 cm， ∴P点运动的速度为6÷6=1cm/s； 故答案为：1cm/s． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象以及速度的计算；根据图象获取相关信息是解决问题的关键． 11．（22-23八年级下·全国·课后作业）一个三角形的底边长为5，高h可以任意伸缩．写出面积S随h变化的解析式，并指出其中的常量与变量，自变量与函数，以及自变量的取值范围． 【答案】常量，变量h，S，自变量，函数S，． 【分析】根据三角形的面积公式，可得函数关系式． 【详解】解：由三角形的面积公式，得：， 常量是，变量h，S，自变量，函数S． 【点睛】本题考查了函数关系式，利用三角形的面积公式得出函数解析式是解题关键． 12．（22-23七年级下·全国·课后作业）多边形的内角和随着边数的变化而变化．设多边形的边数为n，内角和为N，则变量N与n之间的关系可以表示为N＝(n-2)·180°． (1)在这个关系式中，自变量、因变量各是什么？ (2)在这个关系式中，n能取什么样的值？ (3)利用这个关系式计算六边形的内角和． (4)当边数每增加1时，多边形的内角和如何变化？ 【答案】(1)n是自变量，N是因变量．(2)大于2的整数．(3)720°．(4)增加180° 【分析】（1）自变量是n，因变量是N； （2）多边形的边数最少为3，所以n能取大于2的整数； （3）将n=6代入关系式中，计算出N的值即可； （4）设多边形原来边数为n，此时多边形的内角和为（n－2）×180度，多边形边数增加1后边数为n+1，此时多边形的内角和为（n+1－2）×180度，所以内角和增加了（n+1－2）×180－（n－2）×180=180度． 【详解】（1）自变量是n，因变量是N； （2）多边形的边数最少为3，所以n能取大于2的整数； （3）当n=6时，N=（6－2）×180=720°； （4）设原多边形边数为n，则边数增加1以后变为n+1， （n+1－2）×180－（n－2）×180=180°， 所以当边数每增加1时，多边形的内角和增加180°． 【点睛】掌握自变量、因变量的概念以及对关系式的运用． 13．（22-23八年级下·河北石家庄·期中）小王周末骑电动车从家里出发去商场买东西，当他骑了一段路时，想起要买一本书，于是原路返回到刚经过的新华书店，买到书后继续前往商场，如图是他离家的距离（米）与时间（分钟）之间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题： (1)在此变化过程中，自变量是 ，函数是 ； (2)小王在新华书店停留了多长时间？ (3)买到书后，小王从新华书店到商场的骑车速度是多少？ 【答案】(1)离家的时间；离家的距离 (2)10分钟 (3)450米/分钟 【分析】（1）根据图象作答即可； （2）由函数图象可知，20～30分钟的路程没变，所以小王在新华书店停留了10分钟； （3）小王从新华书店到商场的路程为6250-4000=2250米，所用时间为35-30=5分钟，根据速度=路程÷时间，即可解答． 【详解】（1）解：在此变化过程中，自变量是离家的时间，因变量是离家的距离． 故答案为：离家的时间，离家的距离； （2）解：30-20=10（分钟）． 所以小王在新华书店停留了10分钟； （3）解：小王从新华书店到商场的路程为6250-4000=2250米，所用时间为35-30=5分钟， 小王从新华书店到商场的骑车速度是：2250÷5=450（米/分钟）． 【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力，要理解横纵坐标表示的含义以及小王的运动过程是解题的关键． 14．（22-23八年级下·河北石家庄·期中）如图，正方形ABCD边长，点E在边AD上，且，点N从点A出发，以5cm/s的速度在A、B之间往返匀速运动，同时，点M从点E出发，以2cm/s的速度沿路径E→D→C匀速运动，当点M运动到点C时，两点都停止运动，设运动时间为t（单位：s）．在运动过程中的面积S（单位：cm2）随运动时间的变化而变化． (1)当点N运动到点B时，求t值及此时的面积． (2)在整个运动过程中，求S与t的关系式． 【答案】(1)t=2s时，面积为40；当t=6s时，面积为50 (2) 【分析】（1）分类讨论，当N点第一次抵达B点时，当N点第二次抵达B时两种情况讨论即可求解； （2）分类讨论，分0≤t≤2、2＜t≤3、3＜t≤4、4＜t≤6、6＜t≤8五个区间讨论即可． 【详解】（1）（1）， ∴， ∵当点运动第一次到点时，cm，点的速度为5cm/s， ∴， ∵点的速度为2cm/s， ∴， ∴AM=AE+EM=4+4=8， 连接MN，如图， ∴的面积=． 当点运动第二次到点B时，t=6s，如图， ∵点的速度为2cm/s， 则M点共计移动了12cm， ∴DM=12-ED=12-6=6cm， ∴的面积． 当N点第三次到达需要耗时10s，此时10＞8，故不存在， 即N最多两次抵达B点． 综上：t=2s时，面积为40；当t=6s时，面积为50； （2）∵当点运动到点时，两点都停止运动， ∴， 依据N点的速度可知，N点从A点到B点需要2s， ①当0≤t≤2时，，， 的面积=； ②当2＜t≤3时，，， 的面积=； ③当3＜t≤4时，， ∵， ∴的高为10cm， 的面积=； ④当4＜t≤6时，，同理的高为10cm， 的面积=； ⑤当6＜t≤8时，，同理的高为10cm， 的面积=； 综上所述：． 【点睛】本题考查了函数在点的运动问题中的应用，注重分类讨论的思想是解答本题的概念． 15．（22-23八年级下·河北石家庄·单元测试）下面的图象记录了某地一月份某天的温度随时间变化的情况，请你仔细观察图象回答下面的问题： ⑴　20时的温度是_________℃，温度是0℃的时刻是________时，最暖和的时刻 是________时，温度在－3℃以下的持续时间为______小时. ⑵　你从图象中还能获取哪些信息（写出3～4条即可）？ 【答案】（1）-1；12，18；14；8; （2）（1）这天10时的气温是-1℃；（2）这天的最高气温为2℃；（3）这天的最低气温是-4.8℃；（4）这一天中，从凌晨4时到14时气温在逐渐升高． 【分析】（1）根据函数图像即可直接写出即可； （2）根据函数图像可写出一些信息. 【详解】（1）20时的温度是-1℃，温度是0℃的时刻是12,18时，最暖和的时刻 是14时，温度在－3℃以下的持续时间为8小时. （2）例如：（1）这天10时的气温是-1℃；（2）这天的最高气温为2℃；（3）这天的最低气温是-4.8℃；（4）这一天中，从凌晨4时到14时气温在逐渐升高． 学科网（北京）股份有限公司 $$