第03讲 平方根（4大知识点+10大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假七升八数学衔接讲义（北师大版）

第03讲 平方根（4大知识点+10大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 求一个数的算术平方根 题型二 利用算术平方根的非负性解题 题型三 与算术平方根有关的规律探索题 题型四 算术平方根的实际应用 题型五 平方根概念理解 题型六 求一个数的平方根 题型七 求代数式的平方根 题型八 已知一个数的平方根，求这个数 题型九 利用平方根解方程 题型十 平方根的应用 知识点 1 ：平方根 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点2：平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2） 正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点3：平方根的性质 知识点4：平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【典型例题一 求一个数的算术平方根】 【例1】（23-24七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）9的算术平方根是（    ） A．3 B．81 C． D． 【例2】（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级下·山东泰安·期中）计算： ． 【例4】（23-24八年级下·甘肃平凉·期中）若，则 【例5】（23-24八年级下·广西南宁·期中）计算：． 【例6】（23-24七年级下·广西河池·阶段练习）计算下列各式并归纳结论： (1) ； ； (2) ； ； (3)根据（1），（2）的结果，请猜想：与的值是否相等？结论： （选填“”或“”）． 【典型例题二 利用算术平方根的非负性解题】 【例1】（22-23七年级下·广东肇庆·期中）若，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【例2】（22-23八年级上·河北邢台·期末）若，则a是（    ） A．实数 B．有理数 C．正实数 D．非负实数 【例3】（2024·四川南充·二模）已知实数，满足，则的值为 ． 【例4】（22-23七年级下·湖北孝感·期中）若，写出一个符合条件的的值 ． 【例5】（23-24七年级下·宁夏吴忠·阶段练习）已知，求的值． 【例6】（23-24八年级下·全国·课后作业）若与互为相反数，求的值． 【典型例题三 与算术平方根有关的规律探索题】 【例1】（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）已知，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23七年级下·湖北武汉·期中）请同学们观察下表： 已知，，则（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级上·安徽·开学考试）已知，则 ． 【例4】（23-24八年级上·山西临汾·期中）根据下面表格中的数据求得的平方根是 ． x … 15 … … 225 … 【例5】（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）如图1是一个面积为2的正方形，图2是由4个图1的正方形拼图而成，图3是由4个图2的正方形拼图而成……拼图所得图形均是正方形，根据拼图的启示解决下列问题． (1)图2正方形的面积是________，边长是________，于是得到等式________；图3正方形的面积是________，边长是________，于是得到等式________． (2)直接写出由图4可得到的等式为________． (3)利用（1）（2）的结论，计算： 【例6】（22-23八年级下·四川成都·期中）探究过程：观察下列各式及其验证过程． 验证：； (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：＝　　；＝　　； (2)通过上述探究你能猜测出：＝　　（），并验证你的结论． 【典型例题四 算术平方根的实际应用】 【例1】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）一个正方形的面积是3，则这个正方形的边长是（    ） A．3 B． C． D． 【例2】（23-24八年级下·山东潍坊·阶段练习）面积为9的正方形，其边长等于（    ） A．9的平方根 B．3的算术平方根 C．9的立方根 D．9的算术平方根 【例3】（2023·山东滨州·中考真题）一块面积为的正方形桌布，其边长为 ． 【例4】（22-23八年级下·福建厦门·期末）如图，在长为，宽为的长方形中，采用如图的方式，在这块木板上 截出2个面积为正方形木板．填（“能”或“不能”）    【例5】（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用时间（单位：与细线长度（单位：之间满足关系，当细线长度为1分米时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少？取值为    【例6】（23-24八年级上·陕西渭南·阶段练习）我国高速公路规定小型汽车行驶的速度不得超过120千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆当时行驶的速度．所用的经验公式是，其中表示车速（单位：千米/小时），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米）表示摩擦系数，经测量，米，，请你帮助判断一下，肇事汽车当时的速度是否超出了规定的速度？ 【典型例题五 平方根概念理解】 【例1】（23-24七年级下·吉林白城·期中）下列各数中，没有平方根的是（    ） A．2 B． C． D． 【例2】（23-24七年级下·江苏南通·期中）一个正数的两个平方根分别为 和 ，则 的值为（     ） A．6 B． C．3 D． 【例3】（23-24七年级下·湖北武汉·期中）写一个平方根是它本身的实数 ． 【例4】（23-24八年级上·湖南永州·阶段练习）若m、n是9的两个平方根，则 ． 【例5】（22-23七年级下·辽宁·阶段练习）已知正数的两个不同的平方根分别是和，求和的值． 【例6】（22-23七年级下·全国·课后作业）判断下列说法是否正确： （1）0的平方根是0； （2）1的平方根是1； （3）的平方根是； （4）0.01是0.1的一个平方根． 【典型例题六 求一个数的平方根】 【例1】（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）实数的平方根是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2024·江苏常州·二模）16的平方根是（    ） A． B．4 C． D． 【例3】（23-24七年级下·宁夏吴忠·阶段练习）的平方根是 ． 【例4】（23-24七年级下·湖北孝感·阶段练习）若一个数的平方是5，则这个数是 ． 【例5】（2023七年级·全国·专题练习）求的平方根． 【例6】（22-23七年级下·全国·课后作业）用计算器求下列各式的值： (1)______（精确到十分位）； (2)______（精确到个位）； (3)______（精确到0.1）； (4)______（精确到0.001）. 【典型例题七 求代数式的平方根】 【例1】（22-23八年级上·河南开封·阶段练习）在实数范围内，若，则与的积的算术平方根是（    ） A．0 B．10 C． D． 【例2】（2023·山东济宁·一模）的平方根是（    ） A． B． C． D． 【例3】（22-23九年级上·四川成都·期中）已知某一个数的平方根分别是和，则这个数为 【例4】（22-23八年级上·河北邯郸·期中）已知和是一个正数两个不相等的平方根，则 ；这个正数的平方根是 ． 【例5】（22-23七年级下·河南开封·期末）若的算术平方根是3，求的平方根． 【例6】（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知与 互为相反数，求的平方根． 【典型例题八 已知一个数的平方根，求这个数】 【例1】（23-24七年级下·全国·假期作业）一个正数的两个平方根分别是与，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【例2】（23-24七年级下·山西朔州·期中）一个正数的两个平方根分别为与，则这个正数为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【例3】（23-24七年级下·湖北鄂州·期中）已知正有理数m的两个平方根是与，则n的值是 ． 【例4】（23-24八年级上·河南洛阳·阶段练习）已知 和是一个正数的两个不同的平方根，则这个正数是 ． 【例5】（23-24七年级下·全国·假期作业）已知与是个非负数的两个平方根，求这个非负数的值． 【例6】（23-24七年级下·甘肃庆阳·期中）已知正数x的平方根分别是和，且． (1)求x的值； (2)求的算术平方根． 【典型例题九 利用平方根解方程】 【例1】（2024七年级下·全国·专题练习）若，则x的值为（　　） A．3 B． C． D．81 【例2】（23-24七年级下·河北保定·期中）现在定义一种运算，其规则为，根据此规则，如果x满足，那么x的值为（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）若实数x满足，则x的值为 ． 【例4】（23-24八年级上·河南鹤壁·期末）已知，则的值为 ． 【例5】（23-24七年级下·河南安阳·期中）求下列各式中x的值． (1)； (2)． 【例6】（23-24七年级下·全国·假期作业）求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【典型例题十 平方根的应用】 【例1】（23-24七年级下·河南周口·期中）若一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级下·宁夏吴忠·阶段练习）已知正数的两个平方根是和，则的值为（   ） A． B． C．1 D．4 【例3】（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如果与为一个非负数的两个平方根，则 ． 【例4】（23-24七年级上·浙江温州·期中）若一个正数的两个平方根为和，则 ． 【例5】（23-24七年级下·广西贺州·阶段练习）已知一个正数的两个平方根分别为和，求这个正数． 【例6】（23-24七年级下·陕西安康·期中）勤俭节约是中华民族传统美德，小轩的爸爸是能工巧匠，如图，他把两块废弃的正方形木板分割重新拼接成一张完整的正方形桌面，其面积为平方米，其中他用的一块木板的边长为米，求另一块木板的边长是多少米? 【变式训练1 求一个数的算术平方根】 1．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）的算术平方根是（    ） A． B．2 C．4 D． 2．（23-24七年级下·广东汕头·期中）若的算术平方根是5，则的算术平方根是（    ） A． B． C． D．2 3．（23-24七年级下·吉林松原·期中）的算术平方根是 ． 4．（23-24七年级下·河北邢台·期中）要说明命题“带根号的数是无理数”是假命题，请举出一个反例： ． 5．（23-24七年级下·陕西渭南·阶段练习）计算：． 6．（23-24七年级下·北京·期中）求出下列式子中x的值：． 【变式训练2 利用算术平方根的非负性解题】 1．（22-23七年级下·安徽安庆·期中）下列各式中没有算术平方根的是（    ） A． B．0 C． D． 2．（22-23七年级下·福建莆田·阶段练习）算术平方根等于它的相反数的数是（    ） A．0 B．1 C．0和1 D．0和 3．（22-23八年级上·四川宜宾·期末）实数a、b满足，则 ． 4．（22-23八年级上·陕西西安·阶段练习）若，为实数，且，则＝ ． 5．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）已知、为实数，且，求的值. 6．（23-24七年级下·吉林松原·期中）交警通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的公式，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得，求肇事汽车的车速是多少? 【变式训练3 与算术平方根有关的规律探索题】 1．（22-23七年级上·全国·课后作业）已知=7.35，则0.005403的算术平方根是（ ） A．0.735 B．0.0735 C．0.00735 D．0.000735 2．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）若，则的值（    ） A．约等于0.7273 B．等于0.023 C．约等于0.07273 D．等于0.23 3．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）若，，则 ． 4．（22-23七年级下·山东临沂·期末）根据下表估计 （精确到）． x 5．（23-24七年级上·浙江·周测）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年） (1)计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？ (2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 6．（22-23七年级下·全国·课后作业）下列各式是否有意义？为什么？ （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式训练4 算术平方根的实际应用】 1．（2024·江苏南京·一模）若，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 2．（2024·广东珠海·三模）如图，将面积为的正方形沿虚线剪开，拼成一个长方形，下列说法正确的是（   ） A．面积不变，周长变小 B．面积不变，周长变大 C．面积变小，周长不变 D．面积不变，周长不变 3．（22-23七年级下·河南漯河·阶段练习）已知：，则 ， 2． 4．（22-23七年级下·河南商丘·期末）用两块面积为的小正方形地砖拼成一块大正方形地砖，则这块大正方形地砖的长为 ． 5．（22-23七年级下·全国·课后作业）判断下列说法是否正确： （1）2是8的立方根； （2）是64的立方根； （3）是的立方根； （4）的立方根是． 6．（22-23七年级下·全国·课后作业）求下列各数的立方根： (1)－1000； (2)－343； (3)． 【变式训练5 平方根概念理解】 1．（22-23八年级上·河南周口·阶段练习）若与是同一个数两个不同的平方根，则m的值（　　） A． B．1 C．或1 D． 2．（23-24七年级下·全国·假期作业）在中，有平方根的数的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（22-23八年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知正实数的平方根是与，那么 ． 4．（22-23七年级下·上海普陀·期中）如果和是一个非零数的两个平方根，那么 ． 5．（22-23七年级下·全国·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）解方程：． 【变式训练6 求一个数的平方根】 1．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）的平方根是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）4的平方根（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根，根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：4的平方根是， 故选：C． 3．（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）的值是 ． 4．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）0.0081的平方根是 ． 故答案为：． 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）若(x－1)3＝125，则x的值为多少？ 6．（22-23七年级上·陕西延安·期中）如果把体积分别为，的两个铁块熔化，制成一个正方体铁块，那么这个正方体铁块的棱长是多少？ 【变式训练7 求代数式的平方根】 1．（22-23七年级上·全国·课后作业）下列各数中，不一定有平方根的是(　　　) A．x2＋1 B．|x|＋2 C． D．|a|－1 3．（22-23七年级下·重庆巴南·期中）若一个正数的平方根为和，则（    ） A．7 B．16 C．25 D．49 3．（22-23九年级上·四川自贡·期中）若，则= ． 4．（22-23七年级下·上海杨浦·期中）若，则= . 5．（22-23八年级上·安徽宿州·期中）“魔方”（如图）是一种立方体形状的益智元具，它由三层完全相同的小立方块组成，如果“魔方”的体积为cm3，那么组成它的每个小立方块的棱长为多少？ 6．（22-23八年级上·福建泉州·期中）计算：． 【变式训练8 已知一个数的平方根，求这个数】 1．（23-24七年级下·北京·阶段练习）某正数的平方根为和，则这个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和，则a为（　　） A．0 B． C．9 D．1 3．（23-24七年级下·山东德州·期中）如果一个数的平方根是和，则这个数为 ． 4．（23-24七年级下·河南南阳·期中）若一个正数的平方根是与，则这个正数是 ． 5．（23-24八年级上·江苏淮安·期末）已知的平方根是，的立方根是，求的值． 6．（23-24七年级下·云南昭通·期中）求x的值：． 【变式训练9 利用平方根解方程】 1．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）若，则的值是（    ） A．2 B． C．1 D． 2．（23-24九年级上·广东茂名·阶段练习）关于x的方程，则 (  ) A． B． C．6 D．12 3．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，则x的值为 ． 4．（23-24七年级下·北京·期中）在等式中，括号的数等于 ． 5．（22-23八年级上·江苏连云港·期末）解答下列问题： （1）计算； （2）求等式中x的值：. 6．（2023八年级上·全国·专题练习）求下式中x的值：． 【变式训练10 平方根的应用】 1．（22-23八年级上·全国·单元测试）如果一个正方形木板的面积为，那么该木板的边长为（ ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）一个正数的两个平方根分别是2a与，则a的值为（    ） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 3．（江苏省南通西藏民族中学等全国内地西藏班2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试题）如果一个正数的两个平方根为，，则 ． 4．（22-23七年级下·江苏南通·期中）已知m的平方根是和，则m的值是 ． 5．（2024八年级上·江苏·专题练习）求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．（22-23七年级下·安徽亳州·阶段练习）一个正方体的表面积等于，求它的体积． 1．（23-24九年级下·云南昆明·期中）25的算术平方根是（    ） A． B．5 C． D． 2．（23-24七年级下·云南文山·阶段练习）已知，则的值为（    ） A．4 B．9 C．2 D． 3．（22-23七年级下·新疆巴音郭楞·期末）已知实数满足，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·河北承德·期末）如图，把两个边长均为1的小正方形分别沿对角线剪开，将四个直角三角形拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（    ）    A．1 B．1.5 C． D． 5．（23-24七年级下·山西吕梁·期中）如图，小英的爸爸在一块边长为5米的正方形内种植玉米，为了增加产量，小英的爸爸决定扩大种植面积，若扩大后的正方形面积是现在正方形面积的3.24倍，则边长需要延长（    ）    A．3米 B．3.5米 C．4米 D．4.5米 6．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）已知a是满足是整数的最小正整数，b为满足是整数的最小正整数，则的算术平方根为 ． 7．（23-24七年级下·新疆克孜勒苏·期中）若，，则 ． 8．（23-24七年级下·广西防城港·期中）的平方根是 ． 9．（23-24七年级下·湖北襄阳·阶段练习）若，则 ． 10．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）如图所示，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形．若空白部分面积之和为4，则a的值是 ． 11．（22-23七年级下·山西阳泉·阶段练习）解方程 （1）2（x-1）2= 128 （2）(x-4)3 = -216 12．（21-22七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）王老师为班级图书角购买了四本同一型号的字典，这种字典的长与宽相等．班长将这4本字典放入一个容积为512的正方体礼盒里，恰好填满．求这一本字典的厚度． 13．（22-23七年级下·安徽六安·期中）把三个半径分别是3，4，5的铅球熔化后做一个更大的铅球，这个大铅球的半径是多少?（球的体积公式是，其中R是球的半径．） 14．（2024八年级·全国·专题练习）计算 15．（22-23七年级下·广东广州·期中）计算： 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 平方根（4大知识点+10大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 求一个数的算术平方根 题型二 利用算术平方根的非负性解题 题型三 与算术平方根有关的规律探索题 题型四 算术平方根的实际应用 题型五 平方根概念理解 题型六 求一个数的平方根 题型七 求代数式的平方根 题型八 已知一个数的平方根，求这个数 题型九 利用平方根解方程 题型十 平方根的应用 知识点 1 ：平方根 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点2：平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2） 正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点3：平方根的性质 知识点4：平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【典型例题一 求一个数的算术平方根】 【例1】（23-24七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）9的算术平方根是（    ） A．3 B．81 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，两个实数a、b若满足且a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：9的算术平方根是3， 故选：A． 【例2】（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，掌握算术平方根的概念是解题的关键． 【详解】A. ，原计算错误，此选项不符合题意； B. 没有意义，此选项不符合题意； C. ，计算正确，此选项符合题意； D. 没有意义，此选项不符合题意； 故选C． 【例3】（23-24八年级下·山东泰安·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根．直接根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【例4】（23-24八年级下·甘肃平凉·期中）若，则 【答案】5 【分析】本题考查了算术平方根，等式的性质．利用算术平方根的性质计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：5． 【例5】（23-24八年级下·广西南宁·期中）计算：． 【答案】5 【分析】本题主要考查了算术平方根及其相关运算，根据算术平方根定义，乘方运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 【例6】（23-24七年级下·广西河池·阶段练习）计算下列各式并归纳结论： (1) ； ； (2) ； ； (3)根据（1），（2）的结果，请猜想：与的值是否相等？结论： （选填“”或“”）． 【答案】(1)； (2)12； (3) 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根： （1）根据进行求解即可； （2）根据进行求解即可； （3）根据（1）（2）的计算结果即可得到结论． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：；； （2）解：； ； （3）解：由（1）（2）的结果可知，， 故答案为： 【典型例题二 利用算术平方根的非负性解题】 【例1】（22-23七年级下·广东肇庆·期中）若，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据算术平方根的性质得出且，即可得出，进而代入得出的值． 【详解】根据题意，得且， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的性质，熟练掌握相关概念是解题关键． 【例2】（22-23八年级上·河北邢台·期末）若，则a是（    ） A．实数 B．有理数 C．正实数 D．非负实数 【答案】D 【分析】根据算术平方根的定义，作出判断即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，即a是非负实数，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的非负性，熟练掌握，是解题的关键． 【例3】（2024·四川南充·二模）已知实数，满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是算术平方根的非负性，先根据非负数的性质求出x、y的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】∵有理数x、y满足， 又∵，， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：． 【例4】（22-23七年级下·湖北孝感·期中）若，写出一个符合条件的的值 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据∵得到，取一个符合条件的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时符合题意， 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术方根的性质是解题的关键． 【例5】（23-24七年级下·宁夏吴忠·阶段练习）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性，根据算术平方根的非负性求出，的值，再代入计算即可． 【详解】∵，，， ∴，， ∴，， ∴． 【例6】（23-24八年级下·全国·课后作业）若与互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性 ，掌握几个非负数的和为零，则每个非负数均为0成为解题的关键． 根据算术平方根的非负性可得，然后列出二元一次方程组解得，最后代入计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴，解得：． ∴． 【典型例题三 与算术平方根有关的规律探索题】 【例1】（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）已知，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的规律探索，根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故选：D 【例2】（22-23七年级下·湖北武汉·期中）请同学们观察下表： 已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由表格数据得出规律：被开方数每扩大为原来的倍，其算术平方根相应的扩大为原来的倍，据此求解可得． 【详解】解：由表格数据可知，被开方数每扩大为原来的倍，其算术平方根相应的扩大为原来的倍， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查计算器—数的开方和数字的变化规律，解题的关键是得出被开方数每扩大为原来的倍，其算术平方根相应的扩大为原来的倍的规律．掌握数的开方和数字的变化规律是解题的关键． 【例3】（23-24八年级上·安徽·开学考试）已知，则 ． 【答案】 【分析】根据算术平方根小数点移动的规律进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的意义及小数点移动的规律是解题的关键． 【例4】（23-24八年级上·山西临汾·期中）根据下面表格中的数据求得的平方根是 ． x … 15 … … 225 … 【答案】 【分析】此题考查了平方根，利用被开方数的小数点与其平方根的小数点之间的变化规律解答即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【例5】（23-24七年级下·山东日照·阶段练习）如图1是一个面积为2的正方形，图2是由4个图1的正方形拼图而成，图3是由4个图2的正方形拼图而成……拼图所得图形均是正方形，根据拼图的启示解决下列问题． (1)图2正方形的面积是________，边长是________，于是得到等式________；图3正方形的面积是________，边长是________，于是得到等式________． (2)直接写出由图4可得到的等式为________． (3)利用（1）（2）的结论，计算： 【答案】(1)4；2；；16；4； (2) (3) 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，与实数有关的规律探索： （1）根据正方形面积与其边长之间的关系进行求解即可； （2）图4是由4个图3组成的，写出面积与边长之间的关系即可； （3）当图1的面积为2时，其边长为，则分别表示图2，图3，图4的正方形边长，再根据图2，图3，图4的正方形与图1正方形边长之间的关系进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，图2正方形的面积是，图2正方形的边长为，则可得等式； 图3正方形的面积是，图3正方形的边长为，则可得等式； 故答案为：4；2；；16；4；； （2）图4是由4个图3组成的，则图4的面积为，其边长为8，则可得等式， 故答案为：； （3）解：当图1的面积为2时，其边长为，则图2的边长为，图3边长为，图4的边长为， ∵图2的边长是图1的2倍，图3的边长是图1的4倍，图4的变成是图1的8倍， ∴ ． 【例6】（22-23八年级下·四川成都·期中）探究过程：观察下列各式及其验证过程． 验证：； (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：＝　　；＝　　； (2)通过上述探究你能猜测出：＝　　（），并验证你的结论． 【答案】(1)， (2)，见解析 【分析】本题考查了算术平方根的规律探索，旨在考查学生的抽象概括能力． （1）根据所列等式及其验证过程即可求解； （2）根据所列等式及其验证过程即可猜想，进行验证； 【详解】（1）解：根据所列等式及其验证过程可猜想＝，＝ 故答案为：， （2）解：猜想＝，验证如下： 【典型例题四 算术平方根的实际应用】 【例1】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）一个正方形的面积是3，则这个正方形的边长是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根的应用，由正方形的面积直接表示正方形的边长即可． 【详解】解：∵一个正方形的面积是3， ∴这个正方形的边长是， 故选：C． 【例2】（23-24八年级下·山东潍坊·阶段练习）面积为9的正方形，其边长等于（    ） A．9的平方根 B．3的算术平方根 C．9的立方根 D．9的算术平方根 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的定义，一般的，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，据此作答即可． 【详解】面积为9的正方形，其边长等于， 其边长为9的算术平方根， 故选：D． 【例3】（2023·山东滨州·中考真题）一块面积为的正方形桌布，其边长为 ． 【答案】/米 【分析】 由正方形的边长是其面积的算术平方根可得答案． 【详解】解：一块面积为的正方形桌布，其边长为， 故答案为： 【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，理解题意，利用算术平方根的含义表示正方形的边长是解本题的关键． 【例4】（22-23八年级下·福建厦门·期末）如图，在长为，宽为的长方形中，采用如图的方式，在这块木板上 截出2个面积为正方形木板．填（“能”或“不能”）    【答案】能 【分析】先计算出面积为正方形木板的边长为dm，两个正方形拼成长为，宽为新的长方形，将原长方形的长、宽与分别与新长方形的长、宽比较,即可得出答案． 【详解】解：面积为的正方形边长为，将两个正方形拼成新的长方形得新长方形的长为，宽为， ，， ，， ∴原长方形木板能截出2个面积为正方形木板． 故答案为：能． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的实际应用，理解题意，熟练掌握算术平方根的大小比较方法是解题关键． 【例5】（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用时间（单位：与细线长度（单位：之间满足关系，当细线长度为1分米时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少？取值为    【答案】小重物来回摆动一次所用的时间是秒 【分析】本题考查的是算术平方根的实际应用，把代入公式计算即可． 【详解】解：分米， （秒， 答：小重物来回摆动一次所用的时间是秒 【例6】（23-24八年级上·陕西渭南·阶段练习）我国高速公路规定小型汽车行驶的速度不得超过120千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆当时行驶的速度．所用的经验公式是，其中表示车速（单位：千米/小时），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米）表示摩擦系数，经测量，米，，请你帮助判断一下，肇事汽车当时的速度是否超出了规定的速度？ 【答案】肇事汽车当时的速度超出了规定的速度 【分析】此题考查了算术平方根，熟练掌握运算法则，把d与f代入公式计算求出v的值是解本题的关键． 【详解】解：根据题意得：（千米/小时）， ∵， ∴肇事汽车当时的速度超出了规定的速度． 【典型例题五 平方根概念理解】 【例1】（23-24七年级下·吉林白城·期中）下列各数中，没有平方根的是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根，解题的关键是掌握负数没有平方根，分别判断各个选项的正负，即可解答． 【详解】解：A、有平方根，不符合题意； B、有平方根，不符合题意； C、没有平方根，符合题意； D、有平方根，不符合题意； 故选：C． 【例2】（23-24七年级下·江苏南通·期中）一个正数的两个平方根分别为 和 ，则 的值为（     ） A．6 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是平方根的含义，熟记一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 由一个正数的两个平方根分别是和，可得再解方程即可求得答案． 【详解】解：一个正数的平方根分别是和， ， ． 故选：D． 【例3】（23-24七年级下·湖北武汉·期中）写一个平方根是它本身的实数 ． 【答案】0 【分析】本题考查平方根，掌握平方根的性质是解题的关键． 根据平方根的性质进行解题即可． 【详解】解：平方根是它本身的实数是：0． 故答案为：0． 【例4】（23-24八年级上·湖南永州·阶段练习）若m、n是9的两个平方根，则 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了平方根的概念，熟知一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 【详解】解：∵m、n是9的两个平方根， ∴， 故答案为：0． 【例5】（22-23七年级下·辽宁·阶段练习）已知正数的两个不同的平方根分别是和，求和的值． 【答案】的值为，的值为 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数可以求得的值，进而得出的值． 【详解】解：正数的两个不同的平方根分别是和， ， 解得：， ． 故的值为，的值为． 【点睛】本题考查了平方根，解答本题的关键是明确平方根的定义和性质． 【例6】（22-23七年级下·全国·课后作业）判断下列说法是否正确： （1）0的平方根是0； （2）1的平方根是1； （3）的平方根是； （4）0.01是0.1的一个平方根． 【答案】（1）正确；（2）错误；（3）错误；（4）错误． 【分析】0的平方根是0，正数的平方根有两个，负数没有平方根，由此判断即可． 【详解】解：（1）的平方根是，正确； （2）的平方根是，有两个，所以原说法错误； （3）负数没有平方根，原说法错误； （4）0.1是0.01的一个平方根，原说法错误． 【点睛】本题考查平方根的概念，牢记概念是解题关键． 【典型例题六 求一个数的平方根】 【例1】（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）实数的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴实数的平方根是， 故选：C． 【例2】（2024·江苏常州·二模）16的平方根是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数是非负数；②算术平方根本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．根据平方根的定义即可得解． 【详解】解：∵， ∴16的平方根是：． 故选：C． 【例3】（23-24七年级下·宁夏吴忠·阶段练习）的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根，掌握平方根的求法是解题的关键． 根据平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：根据平方根的定义得的平方根为：， 故答案为：． 【例4】（23-24七年级下·湖北孝感·阶段练习）若一个数的平方是5，则这个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根，掌握一个正数的平方根有两根，它们互为相反数是解题的关键． 【详解】解：∵一个数的平方是5， ∴这个数是， 故答案为：． 【例5】（2023七年级·全国·专题练习）求的平方根． 【答案】 【分析】根据平方根的定义直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查平方根的定义：若一个数的平方等于，就说这个数是的平方根，记作． 【例6】（22-23七年级下·全国·课后作业）用计算器求下列各式的值： (1)______（精确到十分位）； (2)______（精确到个位）； (3)______（精确到0.1）； (4)______（精确到0.001）. 【答案】(1)94.6 (2)111 (3)－11.4 (4)0.449 【解析】略 【典型例题七 求代数式的平方根】 【例1】（22-23八年级上·河南开封·阶段练习）在实数范围内，若，则与的积的算术平方根是（    ） A．0 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】根据平方根与绝对值的非负性求得的值，再按题目问题要求代入计算即可. 【详解】由题意得， 解得， 故. 故选：B. 【点睛】本题主要考查平方根与绝对值的非负性，理解掌握两者的性质是解答关键. 【例2】（2023·山东济宁·一模）的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分析： 先将原式化简，再根据平方根的定义进行解答即可. 详解： ∵，而的平方根是， ∴的平方根是. 故选D. 点睛：求一个式子的平方根时，需先将原式化简，再求化简所得结果的平方根即可. 【例3】（22-23九年级上·四川成都·期中）已知某一个数的平方根分别是和，则这个数为 【答案】 【分析】根据平方根的性质得到，解方程求出n的值，然后代入n+1，最后根据平方根的概念即可求出这个数． 【详解】解：∵某一个数的平方根分别是和， ∴，解得：， ∴这个数=． 故答案为：． 【点睛】此题考查了平方根的性质，解题的关键是熟练掌握平方根的性质．正数的两个平方根互为相反数． 【例4】（22-23八年级上·河北邯郸·期中）已知和是一个正数两个不相等的平方根，则 ；这个正数的平方根是 ． 【答案】 ， 【分析】正数有两个平方根，它们互为相反数，从而得到，可求得的值，然后利用平方根的定义即可求得这个正数的平方根． 【详解】∵和是一个正数的两个平方根， ∴， 解得：， 当时，，． ∴的值为-2，这个正数的平方根是±1． 故答案为：-2，±1． 【点睛】本题考查了平方根，明确正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键． 【例5】（22-23七年级下·河南开封·期末）若的算术平方根是3，求的平方根． 【答案】 【分析】根据的算术平方根是3，求出的值后，代入中，再求的平方根． 【详解】解：∵的算术平方根是3， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根的应用，解题的关键是：理解算术平方根和平方根的定义，易错点是容易把负的平方根丢掉． 【例6】（23-24七年级下·河南新乡·期中）已知与 互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方根以及相反数，解一元一次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由题意得 ，求出a、b值，即可求解． 【详解】解：∵，， 则当与 互为相反数时， 只能是， 解得：， ∴， ∴其平方根为． 【典型例题八 已知一个数的平方根，求这个数】 【例1】（23-24七年级下·全国·假期作业）一个正数的两个平方根分别是与，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方根，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ∴， 解得， 故选：A． 【例2】（23-24七年级下·山西朔州·期中）一个正数的两个平方根分别为与，则这个正数为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查平方根，解一元一次方程，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 根据平方根的定义可知，解方程即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴这个正数为， 故选：D． 【例3】（23-24七年级下·湖北鄂州·期中）已知正有理数m的两个平方根是与，则n的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质，根据一个正数的平方根互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，解得：； 故答案为：． 【例4】（23-24八年级上·河南洛阳·阶段练习）已知 和是一个正数的两个不同的平方根，则这个正数是 ． 【答案】49 【分析】本题考查了平方根的含义，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．由平方根的性质列出关于m的方程，求解，从而可得这个正数． 【详解】解：根据题意知， 解得， 则，， ∴这个正数的两个平方根是， 故这个正数是49． 【例5】（23-24七年级下·全国·假期作业）已知与是个非负数的两个平方根，求这个非负数的值． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的性质，正数有2个平方根，它们互为相反数；据此进行列式计算得出，再代入，从而求出这个非负数的值，即可作答． 【详解】解：∵与是个非负数的两个平方根， ∴， 解得， 把 代入，得出， ∴这个非负数． 【例6】（23-24七年级下·甘肃庆阳·期中）已知正数x的平方根分别是和，且． (1)求x的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)49 (2)3 【分析】本题主要考查了平方根与算术平方根，熟记定义与性质是解题的关键． （1）根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，列出方程求得a的值，从而即可求得x的值； （2）根据算术平方根的定义求得b，再根据算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：， ； （2）， ， ， ， ∴9的算术平方根为3． 【典型例题九 利用平方根解方程】 【例1】（2024七年级下·全国·专题练习）若，则x的值为（　　） A．3 B． C． D．81 【答案】C 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，先把常数项移到方程右边，再根据求平方根的方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 【例2】（23-24七年级下·河北保定·期中）现在定义一种运算，其规则为，根据此规则，如果x满足，那么x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新运算，平方根的应用，理解新运算是关键；由规定的新运算得：，整理后用平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， 即， ∴； 故选：C． 【例3】（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）若实数x满足，则x的值为 ． 【答案】7或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，根据，即可变为或，解方程即可. 【详解】解：， ， 则或， 解得或， 故答案为：7或． 【例4】（23-24八年级上·河南鹤壁·期末）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是利用平方根解方程，解题关键是熟练掌握平方根的定义． 利用平方根的定义直接开平方法解方程即可得解． 【详解】解：， ． 故答案为：． 【例5】（23-24七年级下·河南安阳·期中）求下列各式中x的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方根解方程，正确掌握平方根的定义是解题的关键． （1）先方程两边同时除以2，再开平方，即可作答． （2）先移项，再开平方，即可作答． 【详解】（1）解：， ， 解得； （2）解：， ， ∴． 【例6】（23-24七年级下·全国·假期作业）求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)或 【分析】本题考查了平方根解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先系数化1，再开平方根，即可作答． （2）开平方根，然后再移项运算，即可作答． （3）先系数化1，再开平方根，即可作答． （4）先系数化1，再开平方根，移项运算，即可作答． 【详解】（1）解： 解得 （2）解： 解得或； （3）解： 解得 （4）解： 解得或． 【典型例题十 平方根的应用】 【例1】（23-24七年级下·河南周口·期中）若一个正数的两个平方根分别是和，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方根的定义，根据平方根定义，正数有两个平方根，它们是互为相反数，即可求出的值，熟知一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴，解得：， 故选：． 【例2】（23-24七年级下·宁夏吴忠·阶段练习）已知正数的两个平方根是和，则的值为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】此题主要考查了平方根，正确把握平方根的定义是解题关键． 直接利用平方根的定义得出a的值，即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴， 故选：D． 【例3】（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如果与为一个非负数的两个平方根，则 ． 【答案】1 【分析】利用平方根的定义即可求得答案；本题考查平方根，熟练掌握其性质是解题的关键． 【详解】与为一个非负数的两个平方根 ， 解得：, 故答案为：1． 【例4】（23-24七年级上·浙江温州·期中）若一个正数的两个平方根为和，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根的相关知识，正数有两个平方根，它们互为相反数，据此即可求解． 【详解】∵一个正数的两个平方根为和， ∴， 解得：， 故答案为：． 【例5】（23-24七年级下·广西贺州·阶段练习）已知一个正数的两个平方根分别为和，求这个正数． 【答案】 【分析】考查了平方根的定义，根据一个数的两个平方根互为相反数，列式解答即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为和， ∴ 解得：， ∴ ∴这个正数为． 【例6】（23-24七年级下·陕西安康·期中）勤俭节约是中华民族传统美德，小轩的爸爸是能工巧匠，如图，他把两块废弃的正方形木板分割重新拼接成一张完整的正方形桌面，其面积为平方米，其中他用的一块木板的边长为米，求另一块木板的边长是多少米? 【答案】另一块木板的边长为米 【分析】本题主要考查了平方根的应用，根据题意列出方程并用平方根的定义求解是解题的关键．设另一块木板的边长为x米，根据面积得到并解方程即可得到答案． 【详解】解：设另一块木板的边长为x米，则 ，即 ， ∵， ∴， 答：另一块木板的边长为米． 【变式训练1 求一个数的算术平方根】 1．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）的算术平方根是（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根，先求出，再求2的算术平方根即可． 【详解】解：，， 的算术平方根是， 故选：D． 2．（23-24七年级下·广东汕头·期中）若的算术平方根是5，则的算术平方根是（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的定义，解题的关键是掌握算术平方根的定义进行判断． 先根据的算术平方根是5求出，再求算术平方根即可． 【详解】解：∵的算术平方根是5， ∴， ∴， ∴， 故选D． 3．（23-24七年级下·吉林松原·期中）的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，两个非负实数a、b若满足，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：的算术平方根是， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·河北邢台·期中）要说明命题“带根号的数是无理数”是假命题，请举出一个反例： ． 【答案】 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推理、论证得到的真命题称为定理．根据命题举出使得命题不成立的例子即可． 【详解】解：依题意，是有理数； ∴说明命题“带根号的数是无理数”是假命题． 故答案为：（答案不为一）． 5．（23-24七年级下·陕西渭南·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，掌握求算术平方根的方法是解题的关键．根据算术平方根的定义计算各部分即可求解． 【详解】解： ． 6．（23-24七年级下·北京·期中）求出下列式子中x的值：． 【答案】或 【分析】本题考查利用平方根的定义解方程，两边同时开方得到两个一元一次方程，计算即可． 【详解】解： 解得，， 解得，， ∴或 【变式训练2 利用算术平方根的非负性解题】 1．（22-23七年级下·安徽安庆·期中）下列各式中没有算术平方根的是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】根据负数没有算术平方根进行判断即可． 【详解】解：负数没有算术平方根， 、， 有算术平方根， 、的算术平方根式， 有算术平方根， 、， 有算术平方根， 、， 没有算术平方根． 故选：． 【点睛】本题考查了算术平方根的性质，正数有个算术平方根，负数没有算术平方根，的算术平方根为它本身，熟练掌握算术平方根的性质是解答本题的关键． 2．（22-23七年级下·福建莆田·阶段练习）算术平方根等于它的相反数的数是（    ） A．0 B．1 C．0和1 D．0和 【答案】A 【分析】由题意可知算术平方根等于它相反数，而算术平方根只能是非负数，由此得到它是非正数，据此即可得到结果． 【详解】解：∵算术平方根等于它相反数，而算术平方根只能是非负数， ∴算术平方根等于它相反数的数是非正数， ∴算术平方根等于它相反数的数是0． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了算术平方根，利用算术平方根的非负性是解题的关键． 3．（22-23八年级上·四川宜宾·期末）实数a、b满足，则 ． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出算式求出a、b的值，计算即可． 【详解】解：由题意得，，， 解得，，， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是非负数的性质，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键． 4．（22-23八年级上·陕西西安·阶段练习）若，为实数，且，则＝ ． 【答案】 【分析】由于偶次方和二次根式的值都为非负数，它们相加和，则，分别为即可得到，的值，再将，的值相乘即可． 【详解】∵ 偶次方和二次根式的值都为非负数，它们相加和 则， ∴， 即 ， ∴ 故答案为 ． 【点睛】本题主要考查二次根式的基本概念，了解并掌握偶次方和二次根式的值都为非负数是关键． 5．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）已知、为实数，且，求的值. 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得且，得x和y的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，根据题意得到且是解题的关键． 6．（23-24七年级下·吉林松原·期中）交警通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的公式，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得，求肇事汽车的车速是多少? 【答案】肇事汽车车速大约是 【分析】本题主要考查了算术平方根在实际中的应用，正确理解题意是解题的关键．直接用题目中速度公式进行计算即可得答案． 【详解】解：将，代入中， 得． 答：肇事汽车车速大约是． 【变式训练3 与算术平方根有关的规律探索题】 1．（22-23七年级上·全国·课后作业）已知=7.35，则0.005403的算术平方根是（ ） A．0.735 B．0.0735 C．0.00735 D．0.000735 【答案】B 【详解】解：∵=7．35 ∴0．005403的算术平方根是0．0735． 故选B． 考点：算术平方根． 2．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）若，则的值（    ） A．约等于0.7273 B．等于0.023 C．约等于0.07273 D．等于0.23 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根．解题的关键是掌握如果一个数扩大100倍，它的算术平方根扩大10倍，如果一个数缩小100倍，它的算术平方根缩小10倍．根据算术平方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：， 故选A． 3．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）若，，则 ． 【答案】 【分析】被开方数200是把2的小数点向右移动2位后得到的，则的值是把的小数点向右运动1位． 【详解】解：因为，所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根的概念，关键是理解算术平方根每向左(或右)移动一位，则被开方数向相同的方向移动两位，反之被开方数每移动两位，则算术平方根每向相同的方向移动一位． 4．（22-23七年级下·山东临沂·期末）根据下表估计 （精确到）． x 【答案】 【分析】根据表格数据判断出在与之间且靠近，从而求得答案． 【详解】解：， 由表格数据可得， 很接近， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查无理数的估算，根据表格数据判断出在与之间是解题的关键． 5．（23-24七年级上·浙江·周测）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年） (1)计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？ (2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 【答案】(1)21 (2)37 【分析】本题考查了平方根的应用： （1）将代入关系式计算即可； （2）将代入关系式求解即可． 【详解】（1）解：当时， （厘米）， 答：冰川消失21年后苔藓的直径为21厘米． （2）解：当时， 即， ， 答：冰川约是在37年前消失的． 6．（22-23七年级下·全国·课后作业）下列各式是否有意义？为什么？ （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）有意义；（2）有意义；（3）有意义；（4）有意义，因为正数和负数都有立方根 【分析】根据立方根的意义得出被开方数为任何数即可得到结论． 【详解】解：下列各式（1），有意义，因为正数和负数都有立方根； （2），有意义，因为正数和负数都有立方根； （3），有意义，因为正数和负数都有立方根； （4）有意义，因为正数和负数都有立方根． 【点睛】本题考查了立方根的意义，熟记立方根的意义是解题的关键． 【变式训练4 算术平方根的实际应用】 1．（2024·江苏南京·一模）若，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的概念，根据算术平方根的概念即可求解，正确理解算术平方根的概念解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 2．（2024·广东珠海·三模）如图，将面积为的正方形沿虚线剪开，拼成一个长方形，下列说法正确的是（   ） A．面积不变，周长变小 B．面积不变，周长变大 C．面积变小，周长不变 D．面积不变，周长不变 【答案】B 【分析】本题主要考查图形的拼组、算术平方根，关键注意拼组前后周长和面积的变化． 根据题意可知，求解相应的面积和周长，进行比较即可． 【详解】解；正方形面积为，则边长为，周长为． 将其分为个全等的等腰直角三角形后，直角边为，其面积不变，而周长为，因为，所以周长变大． 故选B． 3．（22-23七年级下·河南漯河·阶段练习）已知：，则 ， 2． 【答案】 11.64 116.4 【分析】根据被开方数扩大100倍，结果扩大10倍得出答案，再根据被开方数扩大10000倍结果扩大100倍，然后平方得出答案即可． 【详解】因为， 所以． 因为， 所以， 所以． 故答案为：11.64；116.4． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的性质，掌握被开方数扩大的倍数和结果的关系是解题的关键． 4．（22-23七年级下·河南商丘·期末）用两块面积为的小正方形地砖拼成一块大正方形地砖，则这块大正方形地砖的长为 ． 【答案】 【分析】根据拼成的大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和，从而可求大正方形的边长． 【详解】解：由题意得：大正方形的面积为：5+5＝10（dm2）， 则大正方形的边长为：dm． 故答案为：dm． 【点睛】本题主要考查二次根式的应用，解答的关键是明确拼成的大正方形的面积等于个小正方形的面积之和． 5．（22-23七年级下·全国·课后作业）判断下列说法是否正确： （1）2是8的立方根； （2）是64的立方根； （3）是的立方根； （4）的立方根是． 【答案】（1）正确；（2）错误；（3）正确；（4）正确 【分析】根据立方根的定义进行判断，即可解答． 【详解】解：（1）正确； （2）是64的立方根，故错误； （3）正确； （4）正确． 【点睛】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义． 6．（22-23七年级下·全国·课后作业）求下列各数的立方根： (1)－1000； (2)－343； (3)． 【答案】(1)－10 (2)－7 (3) 【解析】略 【变式训练5 平方根概念理解】 1．（22-23八年级上·河南周口·阶段练习）若与是同一个数两个不同的平方根，则m的值（　　） A． B．1 C．或1 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程求解即可． 【详解】解：∵与是同一个数两个不同的平方根， ∴， ∴， 故选：B． 2．（23-24七年级下·全国·假期作业）在中，有平方根的数的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据非负数有平方根，判定非负数的个数即可． 本题考查了绝对值的化简，乘方，平方根的意义．熟练掌握平方根的意义是解题的关键 【详解】非负数有平方根， 而中，非负数有共3个， 故选Ａ． 3．（22-23八年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知正实数的平方根是与，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根、解一元一次方程，熟知一个正数的平方根有两个，且互为相反数是解答的关键．根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数列方程求解即可． 【详解】解：∵正实数的平方根是与， ∴， 解得：， 故答案为：． 4．（22-23七年级下·上海普陀·期中）如果和是一个非零数的两个平方根，那么 ． 【答案】1 【分析】根据一个非零数的两个平方根互为相反数，即可求解． 【详解】解：由题意知，， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平方根的知识，熟练一个非零数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 5．（22-23七年级下·全国·课后作业）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)－1 (2)7 (3)0.3 (4) 【解析】略 6．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查的是利用立方根的含义解方程，由立方根的含义可得，再解一次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 【变式训练6 求一个数的平方根】 1．（23-24八年级下·山东菏泽·期中）的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，先根据，然后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：， ， 故选：D． 2．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）4的平方根（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根，根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：4的平方根是， 故选：C． 3．（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平方根的含义，熟练的求解正数的平方根是解本题的关键，利用平方根的含义计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 4．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）0.0081的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方根的定义求一个数的平方根，根据平方根的定义正数的平方根有两个，它们互为相反数进行解答即可． 【详解】解：因为， 所以0.0081的平方根是； 故答案为：． 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）若(x－1)3＝125，则x的值为多少？ 【答案】6 【分析】由题意直接根据立方根的性质进行分析运算即可得出x的值． 【详解】解：∵53＝125， ∴x－1=5， x＝6． 【点睛】本题考查立方根，熟练掌握并运用立方根的性质求解是解答此题的关键． 6．（22-23七年级上·陕西延安·期中）如果把体积分别为，的两个铁块熔化，制成一个正方体铁块，那么这个正方体铁块的棱长是多少？ 【答案】这个正方体铁块的棱长是． 【分析】先计算出正方体铁块的体积，在根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：正方体铁块的体积是：， 这个正方体铁块的棱长：， 答：这个正方体铁块的棱长是． 【点睛】本题考查立方根的定义．掌握等量关系是体积不变是解题的关键． 【变式训练7 求代数式的平方根】 1．（22-23七年级上·全国·课后作业）下列各数中，不一定有平方根的是(　　　) A．x2＋1 B．|x|＋2 C． D．|a|－1 【答案】D 【分析】根据平方根的性质解答即可. 【详解】A、∵x2＋1>0，∴该数有平方根； B、∵|x|＋2>0，∴该数有平方根； C、>0，∴该数有平方根； D、∵，∴|a|－1不一定大于0，故该数不一定有平方根； 故选：D. 【点睛】此题考查了平方根的性质：正数有两个平方根，0有一个平方根是0，负数没有平方根，正确掌握实数的大小估算确定其为正数、负数或是0是解题的关键. 3．（22-23七年级下·重庆巴南·期中）若一个正数的平方根为和，则（    ） A．7 B．16 C．25 D．49 【答案】D 【分析】首先根据正数的两个平方根互为相反数，列的方程：（）+（）=0，解方程即可求得a的值，代入即可求得x的两个平方根，则可求得x的值． 【详解】∵一个正数x的平方根为和， ∴（）+（）=0， 解得：a=7. ∴=7，=-7， ∴x=(±7)  =49. 故选D. 【点睛】此题考查平方根，解题关键在于求出a的值. 4．（22-23九年级上·四川自贡·期中）若，则= ． 【答案】 【分析】因为，所以直接开平方求解即可，注意舍去不符合条件的解． 【详解】解：∵， ∴，或， ∵，， ∴， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查开平方的运算，一个正数的有两个平方根，互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根，本题开平方后注意是非负的形式，所以要舍去负值，此为易错点，也是解题关键． 37．（22-23七年级下·上海杨浦·期中）若，则= . 【答案】； 【分析】根据平方根的性质解答即可 【详解】∵ ∴=4 ∴x= 故答案是： 【点睛】本题考查了平方根，理解平方根的意义是关键． 5．（22-23八年级上·安徽宿州·期中）“魔方”（如图）是一种立方体形状的益智元具，它由三层完全相同的小立方块组成，如果“魔方”的体积为cm3，那么组成它的每个小立方块的棱长为多少？ 【答案】每个小立方块的棱长为2cm 【分析】设每个小立方块的棱长为xcm，则大立方体的棱长为cm，正方体体积公式建立方程并求解即可． 【详解】解：设每个小立方块的棱长为xcm，则大立方体的棱长为cm， ∵“魔方”的体积为cm3， ∴， ， ， ， 答：每个小立方块的棱长为2cm． 【点睛】本题考查了正方体体积公式、立方根的计算；掌握立方根正确求解方程是解题的关键． 6．（22-23八年级上·福建泉州·期中）计算：． 【答案】． 【分析】先计算算术平方根、立方根、化简绝对值，再计算有理数的加减法即可得． 【详解】解：原式， ． 【点睛】本题考查了算术平方根与立方根、绝对值等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键． 【变式训练8 已知一个数的平方根，求这个数】 1．（23-24七年级下·北京·阶段练习）某正数的平方根为和，则这个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了平方根的定义及解一元一次方程的知识，难度一般，解答本题的关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数．根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数即可列出关于a的方程，解方程即可解决问题． 【详解】解：由题意得：＋＝0， 解得：， 故这个正数为：． 故选：A． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）一个正数的两个不同的平方根分别是和，则a为（　　） A．0 B． C．9 D．1 【答案】B 【分析】本题考查平方根，熟练掌握其性质是解题的关键．根据平方根的性质可得，解得a的值即可． 【详解】解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是是和， ∴， 解得：， 故选：B． 3．（23-24七年级下·山东德州·期中）如果一个数的平方根是和，则这个数为 ． 【答案】81 【分析】本题考查了平方根的意义，根据正数的平方根互为相反数列出方程，是解决本题的关键．根据正数有两个平方根，它们互为相反数，先求出a的值，再求出这个数的平方． 【详解】解：由题意得：， 解得， 所以， ． 即这个数是81． 故答案为81． 4．（23-24七年级下·河南南阳·期中）若一个正数的平方根是与，则这个正数是 ． 【答案】49 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的定义得到与互为相反数，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出这个正数． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 则这个正数为， 故答案为：49． 5．（23-24八年级上·江苏淮安·期末）已知的平方根是，的立方根是，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了立方根和平方根的综合问题，根据题意可得，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴． 6．（23-24七年级下·云南昭通·期中）求x的值：． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的应用，解题的关键是熟练掌握立方根定义，根据立方根定义解方程即可． 【详解】解： 开立方得：， 解得：． 【变式训练9 利用平方根解方程】 1．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）若，则的值是（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查利用平方根解方程，掌握平方根的定义是解题关键．直接根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选B． 2．（23-24九年级上·广东茂名·阶段练习）关于x的方程，则 (  ) A． B． C．6 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的应用，解题的关键是掌握平方根的求法，注意一个正数的平方根有两个． 【详解】解：∵， ∴， 故选B． 3．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，则x的值为 ． 【答案】3或/或3 【分析】本题考查平方根的定义，根据平方根的定义可知，或，进而解得的值，理解并掌握平方根的定义是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或， 故答案为：3或． 4．（23-24七年级下·北京·期中）在等式中，括号的数等于 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平方根的性质，设括号内的数为，根据平方根的定义解方程，即可求解． 【详解】解：∵设括号内的数为， ∴ ∴， ∴解得：或 故答案为：或． 6．（22-23八年级上·江苏连云港·期末）解答下列问题： （1）计算； （2）求等式中x的值：. 【答案】（1）1；（2）. 【分析】（1）根据实数的性质即可化简求解； （2）根据立方根的定义即可求解. 【详解】（1）原式=4-3 . （2） 2x-1=2 2x=3 . 【点睛】此题主要考查平方根、立方根，解题的关键是熟知平方根、立方根的性质. 6．（2023八年级上·全国·专题练习）求下式中x的值：． 【答案】 【分析】先移项，再两边同时开立方即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了立方根．解题的关键是掌握求立方根的方法． 【变式训练10 平方根的应用】 1．（22-23八年级上·全国·单元测试）如果一个正方形木板的面积为，那么该木板的边长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设该木板边长为，根据题意可得，根据x为正数，得出x的值． 【详解】解：设该木板边长为， 根据题意可得， ∵， ∴， ∵x为正数， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平方根的实际应用，解题的关键是根据题意列出方程求解． 2．（22-23八年级上·四川成都·阶段练习）一个正数的两个平方根分别是2a与，则a的值为（    ） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【答案】D 【分析】根据正数有两个平方根，且互为相反数，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ， 解得： ． 故选：D 【点睛】本题主要考查了平方根的性质，熟练掌握正数有两个平方根，且互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根是解题的关键． 3．（江苏省南通西藏民族中学等全国内地西藏班2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试题）如果一个正数的两个平方根为，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的性质，根据正数的两个平方根有两个，互为相反数，据此即可求解，掌握平方根的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∴， 故答案为：． 4．（22-23七年级下·江苏南通·期中）已知m的平方根是和，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的概念，熟知一个数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 根据一个数的两个平方根互为相反数列式求得k的值，进而求得m的值． 【详解】解：∵m的平方根是和， ∴，解得：， ∴． 故答案为：． 5．（2024八年级上·江苏·专题练习）求下列各数的立方根： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据立方根的定义即可求解； （2）根据立方根的定义即可求解； （3）根据立方根的定义即可求解； （4）根据立方根的定义即可求解． 【详解】（1）∵， ∴的立方根是-8； （2）∵， ∴的立方根是0.2； （3）∵， ∴的立方根是； （4）∵， ∴的立方根是． 【点睛】此题主要考查立方根的求解，解题的关键是熟知立方根的定义． 6．（22-23七年级下·安徽亳州·阶段练习）一个正方体的表面积等于，求它的体积． 【答案】 【分析】设正方体的边长是，根据正方体表面积公式求出边长，边长求出后用正方体体积公式求出最后结果即可． 【详解】设正方体的边长是， 根据题意得， ， 解得：， 是正数， ， ， 正方体的体积是． 【点睛】本题考查了正方体表面积和体积的公式，以及求平方根和一个数的立方，正确求解是解题关键． 1．（23-24九年级下·云南昆明·期中）25的算术平方根是（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了算术平方根．直接利用算术平方根的定义得出答案． 【详解】解：25的算术平方根是：5． 故选：B． 2．（23-24七年级下·云南文山·阶段练习）已知，则的值为（    ） A．4 B．9 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的含义，先两边同除以一个数，然后求平方根即可，掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键． 【详解】解：∵， 两边同时除以3得：， 解得：， 故选：D． 3．（22-23七年级下·新疆巴音郭楞·期末）已知实数满足，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可． 【详解】∵， ∴x-2=0，y+1=0， ∴x=2，y=-1， ∴y-x=-1-2=-3． 故选：A． 【点睛】考查了非负数的性质，解题关键是抓住几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 4．（22-23七年级下·河北承德·期末）如图，把两个边长均为1的小正方形分别沿对角线剪开，将四个直角三角形拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（    ）    A．1 B．1.5 C． D． 【答案】C 【分析】根据小正方形面积求出大正方形面积，然后根据正方形面积公式可求解． 【详解】由题意可知， 大正方的面积等于2个小正方形的面积，小正方形的面积为1，故大正方形的面积等于2， 设大正方形的边长为，则， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根的应用，正方形的面积，根据面积相等求解是解题的关键． 5．（23-24七年级下·山西吕梁·期中）如图，小英的爸爸在一块边长为5米的正方形内种植玉米，为了增加产量，小英的爸爸决定扩大种植面积，若扩大后的正方形面积是现在正方形面积的3.24倍，则边长需要延长（    ）    A．3米 B．3.5米 C．4米 D．4.5米 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．设需要延长边长x米，则扩大后的正方形黄瓜地的边长为米，根据扩大后的正方形黄瓜地的种植面积是现在的3.24倍，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设需要延长边长x米，则扩大后的正方形黄瓜地的边长为米， 依题意得：， 即 ∴ 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴需要延长边长4米． 故选：C 6．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）已知a是满足是整数的最小正整数，b为满足是整数的最小正整数，则的算术平方根为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查算术平方根．根据a是满足是整数的最小正整数，得出，根据b为满足是整数的最小正整数，得出，代入求值即可． 【详解】解：∵a是满足是整数的最小正整数， ∴， ∵b为满足是整数的最小正整数， ∴， ∴， ∴的算术平方根为2． 故答案为：2． 7．（23-24七年级下·新疆克孜勒苏·期中）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了求算术平方根，由题意得出被开放数小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位，即可得解． 【详解】解：，， 被开放数小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位， ， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·广西防城港·期中）的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根．解题的关键在于明确一个正数有两个实平方根，它们互为相反数，负数没有平方根，0的平方根是0．先计算出，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·湖北襄阳·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方根解方程，正确计算是解题的关键．根据求一个数的平方根法求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴． 故答案为：． 10．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）如图所示，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形．若空白部分面积之和为4，则a的值是 ． 【答案】 【分析】观察图形可知，两个正方形的面积之和减去空白部分的面积等于重叠部分面积的2倍，由此列式可解． 【详解】解：由题意知， 解得或（舍去）． 故答案为：． 【点睛】本题考查平方根的应用，解理的关键是看懂重叠部分、空白部分与两个正方形面积之间的关系． 11．（22-23七年级下·山西阳泉·阶段练习）解方程 （1）2（x-1）2= 128 （2）(x-4)3 = -216 【答案】（1）x=9或x=-7; ( 2 ) x= -2. 【分析】(1)利用直接开平方法求解即可； (2)利用直接开立方法求解即可． 【详解】(1)， ， ， 或， 或； (2)， ， ． 【点睛】本题考查了直接开平方法、直接开立方法解方程，理解利用平方根的定义，通过开平方得到两个一元一次方程是解题的关键． 12．（21-22七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）王老师为班级图书角购买了四本同一型号的字典，这种字典的长与宽相等．班长将这4本字典放入一个容积为512的正方体礼盒里，恰好填满．求这一本字典的厚度． 【答案】一本字典的厚度为2． 【分析】先利用立方根的定义求得正方体礼盒的边长，据此即可求得一本字典的厚度． 【详解】解：∵正方体礼盒的容积为512， ∴正方体礼盒的边长为=8()， ∴一本字典的厚度为8÷4=2()， 答：一本字典的厚度为2． 【点睛】本题考查了立方根的应用，注意：一个正数有一个正的立方根． 13．（22-23七年级下·安徽六安·期中）把三个半径分别是3，4，5的铅球熔化后做一个更大的铅球，这个大铅球的半径是多少?（球的体积公式是，其中R是球的半径．） 【答案】大铅球的半径是6． 【分析】求出半径分别是3，4，5的铅球的体积之和，再根据立方根的定义计算出结果即可． 【详解】解：设这个大铅球的半径为r，由题意可得 ， 即， 所以r==6． 大铅球的半径是6． 【点睛】本题考查了立方根的应用，熟记立方根的定义是解答本题的关键． 14．（2024八年级·全国·专题练习）计算 【答案】7． 【分析】先计算立方根、算术平方根，再计算有理数的加减即可得． 【详解】解：原式， ， ． 【点睛】本题考查了立方根、算术平方根等知识点，熟练掌握各定义和运算法则是解题关键． 15．（22-23七年级下·广东广州·期中）计算： 【答案】9.5 【分析】原式利用平方根，立方根定义计算即可求出值． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查了平方根和立方根的计算，解题的关键是注意算术平方根是一个非负数，注意任何数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 学科网（北京）股份有限公司 $$