精品解析：陕西省西安市碑林区西北工业大学附属中学2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023-2024学年度第二学期期末考试 七年级数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 64的平方根是（ ） A. 4 B. C. 8 D. 2. 如图，，平分，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，的对边分别是，，．下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. ，， 5. 下列说法正确的是（ ） A. 1的平方根是1 B. 是最简二次根式 C. D. 的算术平方根是4 6. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ） A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 7. 不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，除颜色外，这5个小球无其他差别．随机从袋子中摸出3个球，下列事件中是必然事件的是（ ） A. 3个球都是白球 B. 至少有1个黑球 C. 3个球都是黑球 D. 有1个白球2个黑球 8. 如图，在中，平分，交于点，，，，则点到的距离为（ ） A. 3 B. 2.4 C. 4 D. 5 9. 如图，长方体的长为12，宽为8，高为30，是的中点，一只蚂蚁如果要沿长方体的表面从点爬到点，则爬行的最短距离是（ ） A. B. C. 25 D. 27 10. 如图，在中，于点于点和交于点，若，则的长为（ ） A. 1 B. 12 C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 11. 某种病毒的直径约为米，将用科学记数法表示为_________________． 12. 已知等腰的两边，满足，则的周长为_________________． 13. 若，则的值为_________． 14. 如图，将长方形纸片沿折叠，使点落在点处，交于点，若，，则的长为_________________． 15. 若，，则的值为_________________． 16. 如图，在中，，，是边上一点，且，为射线上一动点，则的最大值为_________________． 三、解答题（共7小题，计52分，解答应写出过程） 17. 计算题 （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 如图，在中，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得的周长等于．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 先化简，后求值：，其中，． 20. 如图，在中，，过点作，且，求证：． 21. 如图，有一个转盘被分成6等份，分别标有，，2，3，，六个数字，指针的位置固定，转动转盘任其自由停止（指针指向分界线时重新转动）． （1）转动转盘一次，指针指向无理数的概率是 ； （2）转动转盘一次，求指针指向的数小于的概率． 22. 甲、乙两个工程组同时挖掘某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的关系如图所示． （1）甲组比乙组多挖掘了 天，甲组挖掘的总长度是 ； （2）求乙组停工后关于的关系式． 23. 问题发现 （1）初一数学兴趣小组的同学在研究等边三角形时，发现了含有角的直角三角形的性质．如图1，在等边中，于点，则，若设，则， ，与的数量关系为 ． 接着同学们还证明了：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于． 问题探究 （2）如图2，在等腰中，，是边上一点，以为边在右侧作等腰，，连接．若，，求的面积． 问题解决 （3）如图3，长方形是植物园中一个郁金香种植区的平面示意图．米，米，点，分别在，边上，米，，内部为白色郁金香种植区．点是的中点，点在上，下方的等边内部为黄色郁金香种植区，和的内部分别为红色和粉色郁金香种植区．请探究和的面积之和是否为定值？如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期期末考试 七年级数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 64的平方根是（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方根，根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴64的平方根是， 故选：D． 2. 如图，，平分，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质等知识点，掌握两直线平行线、同位角线段成为解题的关键． 根据平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可得，最后根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故选D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式、积的乘方、多项式除以单项式、完全平方公式，根据公式和法则计算后，即可得到答案． 【详解】解：A．，故选项正确，符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：A． 4. 在中，，，的对边分别是，，．下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理． 【详解】解：A、，，故是直角三角形，不符合题意； B、∵，∴， ，故是直角三角形，不符合题意； C、，，故是直角三角形，不符合题意． D、，，故不是直角三角形，符合题意； 故选：D． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 1的平方根是1 B. 是最简二次根式 C. D. 的算术平方根是4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、最简二次根式等内容，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、1的平方根是，故原说法是错误的，不符合题意； B、是最简二次根式，故原说法是正确的，符合题意； C、，故原说法是错误的，不符合题意； D、，4的算术平方根是2，故原说法是错误的，不符合题意； 故选：B 6. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ） A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 【答案】D 【解析】 【详解】A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意． 故选D． 7. 不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，除颜色外，这5个小球无其他差别．随机从袋子中摸出3个球，下列事件中是必然事件的是（ ） A. 3个球都是白球 B. 至少有1个黑球 C. 3个球都是黑球 D. 有1个白球2个黑球 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查必然事件，涉及事件的分类与概念，熟记事件分类及相应概念是解决问题的关键． 【详解】解：不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，除颜色外，这5个小球无其他差别．随机从袋子中摸出3个球，则 A、“3个球都是白球”是不可能事件，不符合题意； B、“至少有1个黑球”是必然事件，符合题意； C、“3个球都是黑球”是随机事件，不符合题意； D、“有1个白球2个黑球”是随机事件，不符合题意； 故选：B． 8. 如图，在中，平分，交于点，，，，则点到的距离为（ ） A. 3 B. 2.4 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理以及角平分线的性质，先得出，则，因为平分，所以角平分线上的点到角的两边距离相等，即点到的距离， 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵平分， ∴点到的距离， 故选：A． 9. 如图，长方体的长为12，宽为8，高为30，是的中点，一只蚂蚁如果要沿长方体的表面从点爬到点，则爬行的最短距离是（ ） A. B. C. 25 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、最短路径：两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．分别作图,再结合图形运用勾股定理解三角形，比较即可作答． 【详解】解：依题意，高为30，是的中点 ∴ 如图所示： 此时； 或者如图所示： 此时． 或者如图所示： 此时． ∵ ∴则爬行的最短距离是25 故选：C 10. 如图，在中，于点于点和交于点，若，则的长为（ ） A. 1 B. 12 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，证明，得到，则，则，，，根据得到，即可得答案． 【详解】解：∵于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 故选D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 11. 某种病毒的直径约为米，将用科学记数法表示为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故答案为． 12. 已知等腰的两边，满足，则的周长为_________________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根以及绝对值的非负性、等腰三角形的定义，三角形的三边关系，先根据，得出，则结合三角形的三边关系进行得出腰长是6，底边长是3，据此进行计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵，是等腰的两边 ∴当腰长是6，底边长是3，则满足三边关系， ∴ 故的周长为； ∴当腰长是3，底边长是6，此时，不满足三边关系； ∴的周长为； 故答案为：15 13. 若，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用立方根的定义解方程，先将系数化为1，再利用立方根的定义解方程即可，熟练掌握立方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 14. 如图，将长方形纸片沿折叠，使点落在点处，交于点，若，，则的长为_________________． 【答案】或#### 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，根据折叠前后的图形全等得到相关条件是解答本题的关键． 先证明可得，设，则，在中，由勾股定理得，然后代入相关数据计算即可． 【详解】解：∵在矩形中， ∴，，， ∵由折叠的性质可知：，， ∴，， ∵在和中，， ∴， ∴， 设，则， ∵在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴． 故答案为：． 15. 若，，则的值为_________________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式成为解题的关键． 根据完全平方公式，然后代入相关数据计算即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：． 故答案为：6． 16. 如图，在中，，，是边上一点，且，为射线上一动点，则的最大值为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理，作点C关于射线的对称点，连接．则，证明是等腰直角三角形，求出，在中，，当在同一直线上时，取最大值，即可得到答案． 【详解】解：如图． 作点C关于射线的对称点，连接． 则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴当在同一直线上时，取最大值，即为． ∴的最大值是． 故答案为：． 三、解答题（共7小题，计52分，解答应写出过程） 17. 计算题 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、实数的混合运算、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先根据幂的乘方、积的乘方化简，然后再合并同类项即可； （2）先根据零次幂、绝对值、负整数次幂化简，然后再计算即可； （3）先根据二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可； （4）直接运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解： ． 18. 如图，在中，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得的周长等于．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点即为所求， 【解析】 【分析】此题考查了垂直平分线的崔嵬作图，垂直平分线的性质，根据垂直平分线的尺规作图步骤作的垂直平分线即可． 【详解】略 19. 先化简，后求值：，其中，． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则，完全平方公式和平方差公式． 先根据整式混合运算的运算顺序和运算法则进行化简，再将x和y的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 20. 如图，在中，，过点作，且，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质、平行线的性质求出，利用证明，根据“全等三角形的对应边相等”即可得证． 【详解】略 21. 如图，有一个转盘被分成6等份，分别标有，，2，3，，六个数字，指针的位置固定，转动转盘任其自由停止（指针指向分界线时重新转动）． （1）转动转盘一次，指针指向无理数的概率是 ； （2）转动转盘一次，求指针指向的数小于的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单事件的概率，掌握概率公式成为解题的关键． （1）先确定所有等可能结果数和无理数的结果数，然后运用概率公式计算即可； （2）先确定所有等可能结果数和小于的结果数，然后运用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：由图可得：共有6种结果数，其中无理数有、 、有3种结果，则指针指向无理数的概率． 故答案为：． 【小问2详解】 解：由图可得：共有6种结果数，其中小于的有2、 有2种结果，则指针指向无理数的概率． 22. 甲、乙两个工程组同时挖掘某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间（天）之间的关系如图所示． （1）甲组比乙组多挖掘了 天，甲组挖掘的总长度是 ； （2）求乙组停工后关于的关系式． 【答案】（1）30． （2） 【解析】 【分析】（1）读图直接写出甲组比乙组多挖掘了天，再求出甲组的工作效率，然后乘上工作时间，即可作答．； （2）利用已知两点的坐标，待定系数求出、值，写出关系式，根据图上条件标出自变量取值范围； 本题考查函数图象，一次函数的图象性质，待定系数法求一次函数解析式，读懂题意是解决本题的关键． 【小问1详解】 解：由图象可知，甲乙合作共挖掘了30天，甲单独挖掘了30天，即甲组比乙组多挖掘了30天． 则 ∴甲组的工作效率是每天挖米 则 ∴甲组挖掘的总长度是； 故答案为：30． 【小问2详解】 解：设乙组停工后关于的函数解析式为：，点，，在图象上， ，解得． 函数关系式为：． 23. 问题发现 （1）初一数学兴趣小组的同学在研究等边三角形时，发现了含有角的直角三角形的性质．如图1，在等边中，于点，则，若设，则， ，与的数量关系为 ． 接着同学们还证明了：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于． 问题探究 （2）如图2，在等腰中，，是边上一点，以为边在右侧作等腰，，连接．若，，求的面积． 问题解决 （3）如图3，长方形是植物园中一个郁金香种植区的平面示意图．米，米，点，分别在，边上，米，，内部为白色郁金香种植区．点是的中点，点在上，下方的等边内部为黄色郁金香种植区，和的内部分别为红色和粉色郁金香种植区．请探究和的面积之和是否为定值？如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）是定值，（米） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，含有角的直角三角形三边关系，全等三角形判定及性质，等边三角形性质，平行线之间的距离处处相等知识内容． （1）根据题意利用勾股定理即可得到本题答案； （2）根据题意证明，继而得到，再利用三角形面积公式即可得到本题答案； （3）先证明，再得，分别求出，以及再相加即可作答． 【详解】解：（1）∵等边，，， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）∵等腰和等腰， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴的面积：； （3）∵以为边作等边三角形，连接，，， ∵，是等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴， ∴和的面积之和等于和的面积之和 即 过点D作，过点E作 ∵是的中点 ∴（米） ∵是等边三角形 ∴ ∴ ∵ ∴（米） ∴（米） ∵ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴（米） ∴（米） ∵ ∴平行线之间的距离处处相等 即（米） ∴（米） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $