精品解析：上海市大同中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题

**基本信息** 高一数学期末卷涵盖集合、不等式、函数等核心知识，以Logistic模型（流行病学）、轮船燃料费最值等问题设计，体现数学眼光、思维与语言，适配高一综合能力考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |填空题|20题|集合运算、不等式解法、函数性质|基础巩固，梯度分布| |选择题|4题|Logistic模型应用、函数比较|情境时代性，关联现实| |解答题|5题|集合综合、燃料费最值、不等式恒成立|突出推理运算，模型应用|

2023学年第二学期期末考试试卷 高一数学 90分钟满分100分 一､填空题 1. 设全集，2，3，4，5，6，7，，集合，3，，集合，，则__． 【答案】 【解析】 【分析】由已知得可以求得和，再由交集运算即可解决. 【详解】∵全集，2，3，4，5，6，7，，集合，3，，集合，， ∴，， ∴. 故答案为：. 2. 设集合，，且，则实数的取值范围是_________ 【答案】 【解析】 【分析】 由题意可得，从而可求出实数的取值范围 【详解】解：因为集合，，且，， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 3. 不等式的解集是 __． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用不等式组的解法的应用求解即可. 【详解】不等式整理得，解得， 则不等式的解集是. 故答案为：. 4. 不等式的解集是 __． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式的两边同时平方，然后求解即可. 【详解】不等式可以变形为， 解得，即， ∴不等式的解集为. 故答案为：. 5. 已知集合，集合，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】应用集合的交运算求结果. 【详解】由题设. 故答案为： 6. 若是一元二次方程的两个实数根，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意得，，即可求解． 【详解】解：依题意得，， 则． 故答案为： 7. 已知，则实数___________. 【答案】 【解析】 【分析】讨论、，结合集合的性质求参数a即可. 【详解】由题设，当时，则，此时，不符合互异性； 当时，由上不符合，而时，此时集合为. 综上，. 故答案为： 8. 对数表达式中的的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的定义可得，解不等式组即可求解. 【详解】由题意可得，解得且， 所以的取值范围是. 故答案为： 【点睛】本题考查了对数式的定义，对数的底数大于零且不等于 、真数大于零，属于基础题. 9. 已知集合，集合，若，则实数的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】由,画出数轴,表示出集合,即可求解 【详解】因为,则画出数轴,并表示出集合,如下: 可得, 故答案为: 【点睛】本题考查已知交集结果求参数范围,属于基础题 10. 设，“”是“”的一个__________条件（充分非必要､必要非充分､充要､既非充分又非必要） 【答案】充分非必要 【解析】 【分析】根据不等式的性质证明充分性成立，根据分式不等式的解法证明必要性不成立. 【详解】当时，， 所以“”是“”的充分条件； 当时，，即，解得或， 所以“”是“”的不必要条件， 故“”是“”的充分非必要条件. 故答案为：充分非必要 11. 已知，，则 ____ 【答案】 【解析】 【分析】将对数式转化为指数式，再通过指数运算公式即可求出结果. 【详解】因为，所以， 所以， 故答案为： 12. 关于的不等式有解，则实数的取值范围是 __． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为求解，利用三角不等式求解即可. 【详解】关于的不等式有解，则， ∵，当且仅当时取等号， ∴， 即，解得， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知，用的代数式表示_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用换底公式将已知的等式进行变形，得到，再利用换底公式化简即可． 【详解】，故， 所以． 故答案为：． 14. 已知正实数满足，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，根据基本不等式中“1”的用法计算即可求解. 【详解】由题意知，，， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 15. 已知非零实数、满足，则的取值范围是 __． 【答案】[1,3)∪(3,9] 【解析】 【分析】利用基本不等式结合已知条件求出的取值范围，再由结合不等式的基本性质可求得结果. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立. 所以，. 若，则，可得，此时； 若，则，可得，此时. 综上，且. 所以，. 故答案为：. 16. 若正实数，满足，则的最小值为___________. 【答案】16 【解析】 【分析】应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意取值条件. 【详解】由题设，， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为16. 故答案为：16 17. 若对一切恒成立，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用绝对值三角不等式求不等式左侧的最小值，根据恒成立即可得参数范围. 【详解】由，要使对一切恒成立， 所以. 故答案为： 18. 已知，，则_____（用，表示） 【答案】 【解析】 【分析】先得到，利用换底公式、对数运算等知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以， ， 所以. 故答案为： 19. 已知不等式的解集是，则不等式的解集是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的解集是，求得的值，从而求解不等式的解集，得到答案. 【详解】由题意，因为不等式的解集是， 可得，解得， 所以不等式为， 即，解得， 即不等式的解集为. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中根据三个二次式之间的关键，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 20. 若集合中有且只有3个元素，且这3个元素恰为直角三角形的三边，则________. 【答案】 【解析】 【分析】 先得或，根据判别式，以及集合中元素个数，确定方程有两个根，方程有一个根；求出，以及三个元素，再由三个元素恰为直角三角形的三边，求出，得出，即可得出结果. 【详解】由得或， 方程的判别式为， 方程的判别式为， 显然， 又集合中有且只有3个元素， 所以方程和共三个根， 且只能方程有两个根，方程有一个根； 即，即； 所以方程可化为，解得或， 方程可化为，解得， 则， 又这三个元素恰为直角三角形的三边，所以， 解得， 则，因此. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查由集合中元素个数求参数的问题，属于常考题型. 二､选择题 21. 设且，则下列说法正确的是（ ） A. ，则 B. ，则 C. ，则 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数定义及其运算性质，依次判断四个选项即可. 【详解】对于A，当时，和均无意义，则选项A错误； 对于B，当时，和均无意义，则选项B错误； 对于C，若，则，则选项C正确； 对于D，若时，无意义，则选项D错误； 故选：. 22. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3） A. 60 B. 63 C. 66 D. 69 【答案】C 【解析】 【分析】将代入函数结合求得即可得解. 【详解】，所以，则， 所以，，解得. 故选：C. 【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 23. 若，，，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质和反例即可判断. 【详解】对于AB：取，满足，显然，不成立，错误； 对于C：因为，所以，正确； 对于D：取，显然不成立，错误， 故选：C 24. 已知函数，.若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析、的性质，将问题化为与（）有4个交点，进而只需保证与（）相交求参数范围即可. 【详解】由开口向上且对称轴为，而恒过点， 所以的图象只需将函数值为负的部分翻折到x轴上方， 对应关于对称，当时图象在x轴上方，当时图象为x轴，当时图象在x轴下方， 所以要使与有4个交点，则. 综上，与的示意图象如下图： 当左侧与在上相交有4个交点，或在两侧与各有2个交点， 由图知：只需保证与（）相交即可， 令，则，故， 所以或. 故选：C 三､解答题 25. 设、是不全为零的实数，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】，理由如下： ， 若，则，可得， 但、是不全为零的实数，矛盾，故， 因此，. 【解析】 【分析】将与作差、配方，然后判断差值符号，即可得出结论. 【详解】略 26. 已知集合，，若，求实数的值及． 【答案】；. 【解析】 【分析】根据给定条件可得，再分类求解并验证作答. 【详解】因，则，在集合中，， 于是得或，解得或， 当时，，，而与已知矛盾，即不成立， 当时，，，有，则，，. 所以，. 27. 已知，，． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）[1,4]； （2）. 【解析】 【分析】(1)根据分式不等式和一元二次不等式的解法求出集合A、B，由交集的概念和运算即可得出答案； (2)将问题转化为，分类讨论当的情况，当时，根据一元二次方程根的分布列出不等式组，解之即可. 【小问1详解】 由，即，得， 所以，即； 由，得， 即，解得，所以， 所以； 【小问2详解】 由(1)，得，所以，则， 当时，，解得； 当时，，解得， 由根的分布，得，解得， 综上，a的取值范围为：. 28. 某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为．轮船的最大速度为15海里/小时当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何)总计是每小时150元．假定运行过程中轮船以速度匀速航行. （1）求的值； （2）求该轮船航行100海里的总费用（燃料费+航行运作费用）的最小值． 【答案】值为，该轮船航行100海里的总费用W的最小值为0元 【解析】 【分析】根据题意，设比例系数为k，得燃料费为，将时代入即可算出k的值； 算出航行100海里的时间为小时，可燃料费为96v，其余航行运作费用为元，由此可得航行100海里的总费用为，再运用基本不等式求最值即可． 【详解】由题意，设燃料费为， 当船速为10海里小时，它的燃料费是每小时96元， 当时，，可得，解之得． 其余航行运作费用不论速度如何总计是每小时150元． 航行100海里的时间为小时，可得其余航行运作费用为元 因此，航行100海里的总费用为 ， 当且仅当时，即时， 航行100海里的总费用最小，且这个最小值为2400元． 答：值为，该轮船航行100海里的总费用W的最小值为元． 【点睛】本题考查函数应用题，求航行所需费用的最小值，着重考查应用题的转化能力、运用基本不等式求最值和基本不等式取等号的条件等知识，属于中档题． 29. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求a的值； （2）在（1）的条件下，若存在，使，求t的取值范围． 【答案】（1）2；（2）. 【解析】 【分析】（1）求得不等式f（x）＜6的解集为a﹣3≤x≤3，再根据不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3），可得a﹣3＝﹣1，由此求得a的范围； （2）令g（x）＝f（x）+f（﹣x）＝|2x﹣2|+|2x+2|+4，求出g（x）的最小值，可得t的范围． 【详解】（1）∵函数f（x）＝|2x﹣a|+a， 不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3）， ∴|2x﹣a|＜6﹣a 的解集为（﹣1，3）， 由|2x﹣a|＜6﹣a，可得a﹣6＜2x+a＜6﹣a，求得a﹣3≤x≤3， 故有a﹣3＝﹣1，a＝2． （2）在（1）的条件下，f（x）＝|2x﹣2|+2， 令g（x）＝f（x）+f（﹣x）＝|2x﹣2|+|2x+2|+4＝ 故g（x）的最小值为8， 故使f（x）≤t﹣f（﹣x）有解的实数t的范围为[8，+∞）． 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，分段函数的应用，求函数的最小值，函数的能成立问题，属于中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年第二学期期末考试试卷 高一数学 90分钟满分100分 一､填空题 1. 设全集，2，3，4，5，6，7，，集合，3，，集合，，则__． 2. 设集合，，且，则实数的取值范围是_________ 3. 不等式的解集是 __． 4. 不等式的解集是 __． 5. 已知集合，集合，则___________. 6. 若是一元二次方程的两个实数根，则__________. 7. 已知，则实数___________. 8. 对数表达式中的的取值范围是________ 9. 已知集合，集合，若，则实数的取值范围是________ 10. 设，“”是“”的一个__________条件（充分非必要､必要非充分､充要､既非充分又非必要） 11. 已知，，则 ____ 12. 关于的不等式有解，则实数的取值范围是 __． 13. 已知，用的代数式表示_______． 14. 已知正实数满足，则的最小值是__________. 15. 已知非零实数、满足，则的取值范围是 __． 16. 若正实数，满足，则的最小值为___________. 17. 若对一切恒成立，则实数的取值范围为___________. 18. 已知，，则_____（用，表示） 19. 已知不等式的解集是，则不等式的解集是_________. 20. 若集合中有且只有3个元素，且这3个元素恰为直角三角形的三边，则________. 二､选择题 21. 设且，则下列说法正确的是（ ） A. ，则 B. ，则 C. ，则 D. 22. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3） A. 60 B. 63 C. 66 D. 69 23. 若，，，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 24. 已知函数，.若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 三､解答题 25. 设、是不全为零的实数，试比较与的大小，并说明理由． 26. 已知集合，，若，求实数的值及． 27. 已知，，． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 28. 某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为．轮船的最大速度为15海里/小时当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何)总计是每小时150元．假定运行过程中轮船以速度匀速航行. （1）求的值； （2）求该轮船航行100海里的总费用（燃料费+航行运作费用）的最小值． 29. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求a的值； （2）在（1）的条件下，若存在，使，求t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $