精品解析：上海市上海财经大学附属北郊高级中学2023-2024学年高一下学期期末数学试卷

2023-2024学年上海市上海财经大学附属北郊高级中学 高一年级下学期期末数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分42分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得3分，7-12题每个空格填对得4分，否则一律得0分． 1. 已知复数（其中为虚数单位），则______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据虚部的定义直接求解即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：2 2. 若与a的等差中项为18，则实数a的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据等差中项的定义计算即可. 【详解】由已知得， 得. 故答案为：. 3. 在平面直角坐标系内，已知点，向量，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据及平面向量线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】因，则，又， 所以. 故答案为： 4. 已知复数，（i是虚数单位），则______． 【答案】 【解析】 【分析】直接计算可得答案. 【详解】. 故答案：. 5. 已知等差数列，，，…， 若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得数列首项为，公差为，根据等差数列求和公式得到方程，即可解出. 【详解】依题意，等差数列的首项为，公差为， 由前项和，解得或（舍去）. 故答案为： 6. 已知复数与在复平面内用向量和表示（其中是虚数单位，为坐标原点），则与夹角为__________. 【答案】45°（或） 【解析】 【分析】根据复数的几何意义、向量夹角公式运算得解. 【详解】根据题意，，， ，又， 所以向量与的夹角为. 故答案为：（或）. 7. 设公比为2的等比数列的前项和为，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式及前n项和的概念计算即可得解. 【详解】因为， 所以，故. 故答案为：4 8. 已知等比数列是严格减数列，其前n项和为，，若，，成等差数列，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】由等差中项的性质可得，再由等比数列的性质化简可求出，求出等比数列的前项和，最后判断极限. 【详解】因为，，成等差数列，所以， 所以，即，且数列严格递减， 解得或（舍），则. 故答案为：3. 9. 在数列中，已知，且，则______． 【答案】 【解析】 分析】由累加法和裂项相消法求通项即可得出答案. 【详解】由可得： ， ． 故答案为：. 10. 如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量平行四边形法则及线性运算得，再利用平面向量基本定理建立方程即可求得参数. 【详解】由题意可知，因为点F在BE上， 所以， 所以，所以，所以. 故答案为： 11. 设和是关于x的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，则实数________. 【答案】13 【解析】 【分析】设，则，结合韦达定理可得，根据题意可知，结合向量的坐标运算求解. 【详解】设，由实系数一元二次方程虚根成对定理可得， 由根与系数的关系可得， 整理得， 设、、在复平面上对应的点分别为、、， 则， 可知A，B关于x轴对称， 若复平面上、、对应点构成直角三角形，则， 即，解得， 所以. 故答案为：13. 12. 如图，已知点P为所在平面内一点，，，定义点集，若存在点，使得对任意，有恒成立，那么当的面积取得最大值12时，______． 【答案】3 【解析】 【分析】延长到满足，取的靠近的三等分点，连接，由向量共线定理得三点共线，从而表示的边上的高，利用正弦定理求得的面积的最大值，从而可得结论． 【详解】延长AB到M满足，取AC的靠近A的三等分点N，连接MN，如图， ，则P，M，N三点共线， 又存在点，使得对任意，满足恒成立， 则的长表示A到直线MN的距离，即的边MN上的高，设， 由，得，则，， 在中，设，由正弦定理得， 于是，，， 则 ， 若不是钝角，则， 由，得，即， 则，设， 则，，它是减函数，当时，，不满足题意， 若是钝角，则 ，设，则，， 令，，显然，即， ，两边平方整理得， 依题意，方程有非负实根，必有， 解得，此时二次函数图象与x轴有公共点，且对称轴在轴右侧， 因此方程有正实根，即， 此时，，符合题意，， 所以当的面积取得最大值12时，. 故答案为：3 【点睛】方法点睛：根据向量共线定理得出与点M，N在一条直线上，问题转化为求三角形高的最大值，从而求三角形面积的最大值即可. 二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13、14题每题3分，第15、16题每题4分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 设、为复数，下列命题一定成立的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，是正实数，那么 D. 如果，那么为实数 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值判断A、B，根据复数的模判断C，根据共轭复数及复数相等的充要条件判断D. 【详解】设， 对于A：∵， 则 ， 可得，不能得到， 例如，满足，但显然，故A错误. 对于B：若，，则，显然且，故B错误； 对于C：∵，则， 且只有实数才能比较大小，对于虚数无法比较大小，故C错误； 对于D：令，则，因为，所以， 所以，则，所以为实数，故D正确； 故选：D 14. 用数学归纳法证明等式的过程中，从到时，等式左边所需添加的项是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】时,最后两项为时,最后两项为,由此可得由变到时,左边增加的项. 【详解】当时，等式左边， 当时， 等式左边， 所以从到时，等式左边所需添加的项是, 故选D. 【点睛】本题考查运用数学归纳法时的从“”的这一关键的步骤，关键在于将分别代换成和,明确理解解析式的具体含义，属于中档题. 15. 如图，复数对应的向量为，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据复数的几何意义设出复数，再根据复数模的公式，即可求解，再代入向量的投影公式，即可求解. 【详解】由题图可知，，则， 解得（舍去）， 所以，，则向量在向量上的投影向量为， 所以其坐标为． 故选：D 16. 定义：如果一个向量列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量，那么这个向量列叫做等差向量列，这个常向量叫做等差向量列的公差.已知向量列是以为首项，公差的等差向量列.若向量与非零向量）垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等差数列通项公式得向量，再根据向量垂直得递推关系，最后根据累乘法求结果. 【详解】由题意得， 因为向量与非零向量）垂直， 所以 因此 故选：D 【点睛】本题考查等差数列通项公式、向量垂直坐标表示以及累乘法，考查综合分析求解能力，属中档题. 三、解答题（本大题满分44分）本大题共有4题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 已知向量， （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行满足的坐标关系即可求解， （2）根据向量垂直满足的坐标关系可得，由模长公式即可求解. 【小问1详解】 由题意知 【小问2详解】 ，， 18. 已知复数，（，i是虚数单位） （1）若在复平面内对应的点落在第二象限，求实数a的取值范围； （2）若是实系数一元二次方程的根，且是实数，记，求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先利用复数减法运算化简复数，再结合复数对应的点所在象限列不等式即可求解； （2）根据韦达定理求得，然后利用复数运算法则化简得，利用该复数为实数列方程得，从而代入化简得，最后利用复数模的运算求解即可. 【小问1详解】 因为复数，，所以， 其对应的点为，由题意，解得， 即实数a的取值范围为； 【小问2详解】 当时，1是方程的根，则， 若为实数，则，此时,不合题意； 当时，由题意知的两根为，， 所以，所以，所以， 因为为实数， 所以，即， 所以， 所以. 19. 已知某企业今年（2024年）第一季度的营业额为1.1亿元，以后每个季度的营业额比上个季度增加0.05亿元，该企业第一季度的利润为0.16亿，以后每季度比前一季度增长4%． （1）求2024年起前20季度营业额的总和； （2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%？ 【答案】（1）31.5 （2）今年起第27个季度 【解析】 【分析】（1）前20季度营业额构成首项为1.1，公差为0.05的等差数列，则总和为，计算即可. （2）因为第n季度的营业额为：，第n季度的利润为：，解不等式即可. 【小问1详解】 依题意：营业额是首项为1.1，公差为0.05的等差数列， 前20季度营业额之和为：（亿）. 【小问2详解】 设2024年起第n季度（）满足条件，依题意， 第n季度的营业额为：， 第n季度的利润为：， 依题意：，解得：. 即今年起第27个季度利润首次超过该季度营业额的18%. 20. 如果有穷数列（m为正整数）满足条件，，，即，我们称其为“对称数列”.例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列” （1）若是项数为7的“对称数列”，其中是等差数列，且，，依次写出的每一项； （2）若是49项的“对称数列”，其中是首项为1，公比为2的等比数列，求各项的和S； （3）设的前n项和为，且满足，其中是项数为100的“对称数列”的前50项，求的前n项和. 【答案】（1）2，5，8，11，8，5，2； （2）67108861； （3） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式可得，即可得到结果； （2）由等比数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由递推公式可得，然后结合等比数列的求和公式，代入计算，即可求解. 小问1详解】 设数列的公差为d，则，解得， 则数列为2，5，8，11，8，5，2. 【小问2详解】 【小问3详解】 ，，， 当时，，， ， 当时，， 当时，， . . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年上海市上海财经大学附属北郊高级中学 高一年级下学期期末数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分42分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得3分，7-12题每个空格填对得4分，否则一律得0分． 1. 已知复数（其中为虚数单位），则______. 2. 若与a的等差中项为18，则实数a的值为__________． 3. 在平面直角坐标系内，已知点，向量，则______． 4. 已知复数，（i是虚数单位），则______． 5. 已知等差数列，，，…， 若，则___________. 6. 已知复数与在复平面内用向量和表示（其中虚数单位，为坐标原点），则与夹角为__________. 7. 设公比为2的等比数列的前项和为，若，则___________． 8. 已知等比数列是严格减数列，其前n项和为，，若，，成等差数列，则______． 9. 在数列中，已知，且，则______． 10. 如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则______. 11. 设和是关于x的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，则实数________. 12. 如图，已知点P为所在平面内一点，，，定义点集，若存在点，使得对任意，有恒成立，那么当的面积取得最大值12时，______． 二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13、14题每题3分，第15、16题每题4分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 设、为复数，下列命题一定成立的是（ ） A 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，是正实数，那么 D. 如果，那么实数 14. 用数学归纳法证明等式的过程中，从到时，等式左边所需添加的项是（ ） A. B. C. D. 15. 如图，复数对应的向量为，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 16. 定义：如果一个向量列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量，那么这个向量列叫做等差向量列，这个常向量叫做等差向量列的公差.已知向量列是以为首项，公差的等差向量列.若向量与非零向量）垂直，则（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题满分44分）本大题共有4题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 已知向量， （1）若，求的值； （2）若，求的值. 18. 已知复数，（，i是虚数单位） （1）若在复平面内对应的点落在第二象限，求实数a的取值范围； （2）若是实系数一元二次方程的根，且是实数，记，求的值. 19. 已知某企业今年（2024年）第一季度营业额为1.1亿元，以后每个季度的营业额比上个季度增加0.05亿元，该企业第一季度的利润为0.16亿，以后每季度比前一季度增长4%． （1）求2024年起前20季度营业额的总和； （2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%？ 20. 如果有穷数列（m为正整数）满足条件，，，即，我们称其为“对称数列”.例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列” （1）若是项数为7“对称数列”，其中是等差数列，且，，依次写出的每一项； （2）若是49项的“对称数列”，其中是首项为1，公比为2的等比数列，求各项的和S； （3）设的前n项和为，且满足，其中是项数为100的“对称数列”的前50项，求的前n项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $