精品解析：山西省/临汾市侯马市 2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

山西省2023~2024学年第二学期八年级期末质量监测 数学试卷（华师大版） 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 下列式子中是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 国际单位制中的长度单位“米”起源于法国，1米的长度最初定义为通过巴黎的子午线上，从地球赤道到北极点距离的千万分之一．随着认识的加深，年国际度量衡大会重新制定米的定义：“光在真空中行进秒的距离”为一标准米．已知，数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 将一次函数的图象向下平移5个单位，所得的函数表达式为（ ） A B. C. D. 4. 中华优秀传统文化支撑着中华民族历经五千余年生生不息．某校八年级以端午节为契机开展关于中华优秀传统文化的知识竞赛，八年级（一）班计划从甲、乙、丙、丁四名同学中推选一名同学代表本班参赛，现将四名同学的五次班内测试成绩（单位：分）制作成如图所示的折线统计图．若要选择一名测试成绩较好且发挥稳定的同学代表本班参赛，根据折线统计图可知，应选择的是（ ） A. 甲同学 B. 乙同学 C. 丙同学 D. 丁同学 5. 将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放，使点，，在同一条直线上，点在边上，连结，，．若，，则的面积为（ ） A. 13 B. 26 C. D. 6. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．当时，的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 1941年，中共中央确定将1921年7月1日作为中国共产党建党日（即建党节），此后每年的7月1日，全党都要热烈庆祝党的诞生纪念日．在建党节来临之际，某班举行了“红日千秋照，乾坤万代红”朗诵比赛，有7名同学参加了比赛，比赛成绩分别为9分、7分、7分、9分、6分、6分、8分．这7名同学比赛成绩的中位数为（ ） A. 6分 B. 7分 C. 8分 D. 9分 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，点，在对角线上，连结，，，．添加下列一个条件能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在五边形中，，，，，连结，．若，则的面积为（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置） 11. 若分式有意义，则满足的条件是______． 12. 我国古代科举制度始于隋，成于唐，兴于明．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取．若某年会试录取人数为，则北卷录取的人数为______． 13. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图所示的中国结可近似地看为一个菱形，菱形的周长为，对角线的长为，则对角线的长为______． 14. 生活中做拉面的过程渗透着数学知识，一定体积的面团做成拉面，面条总长度与面条粗细（横截面面积）存在一定的函数关系；项目化学习小组的同学用一块面团进行了试验，并将数据整理如下： 面条粗细 … 0.4 0.3 02 0.1 … 面条总长度 … 33 44 66 132 … 根据以上数据可知，当面条总长度为220cm时，面条粗细为__________． 15. 如图，在四边形中，，，E是边上一点，连接，过点E作于点F，且．若，，则的长为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在四边形中，，分别是，边上的点，且，连结，交对角线于点，且与互相平分．求证：四边形是平行四边形． 18. 为了响应习总书记“绿水青山就是金山银山”的号召，某山区积极推进增绿、补绿、复绿工程，计划对面积为的荒地进行绿化．经过招标，决定由甲、乙两个工程队共同完成，乙工程队每天完成绿化的面积是甲工程队每天完成绿化面积的1.5倍．已知完成面积为的绿化工程时，甲工程队比乙工程队多用3天．求甲、乙两工程队每天完成绿化的面积． 19. 某校对学生开展了关于学校餐厅饭菜品质和餐厅服务质量的满意度问卷调查，学生满意度以分数（满分为5分）呈现，从低到高依次为1分、2分、3分、4分、5分．该校规定，若学生所评餐厅饭菜品质满意度和餐厅服务质量满意度的平均数或中位数低于3.5分，则不合格，需要对不合格项目进行整改．王老师从收回的有效问卷中随机抽取了20份，并把这20份问卷中学生对餐厅饭菜品质和餐厅服务质量的所评分数绘制成下列图表： 餐厅服务质量满意度统计表 分数/分 1 2 3 4 5 份数/份 2 3 5 8 2 根据以上信息，解答下列问题： （1）餐厅饭菜品质满意度的中位数是______分，餐厅服务质量满意度的平均数是______分． （2）请你根据统计结果判断该校餐厅饭菜品质和餐厅服务质量是否需要整改，并说明理由． 20. 项目式学习 项目主题：重视水龙头滴水的浪费现象． 项目背景：日常生活中，经常存在由于水龙头阀门损坏，从而出现水龙头不断向外滴水的情况，造成水资源浪费．某校学习小组以“重视水龙头滴水的浪费现象”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究水龙头滴水量与时间的关系． 研究步骤： （1）准备好量筒和计时器． （2）确定因损坏而滴水的水龙头． （3）在控制影响水龙头滴水量的其他变量（如刮风等）的情况下，将量筒放在所选水龙头正下方接水，每隔一分钟记录量筒中的总水量．但由于操作延误，开始计时时量筒中已经接了少量的水，因而得到如下表所示的一组数据． （4）分析数据，形成结论． 试验数据： 时间 1 2 3 4 5 … 总水量 7 12 17 22 27 … 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务： （1）①根据上表中的数据，判断量筒中的总水量与时间是______（填“正比例”“一次”或“反比例”）函数关系； ②求与之间的函数关系式． （2）已知所用量筒的量程是，求当计时多少分钟时，量筒内的水刚好到达量程的最大刻度处． （3）若一个人一天大约饮用的水，求这个水龙头10天的滴水量可供一个人饮用多少天． 21. 阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 小明在学习了平行四边形的相关知识后，查阅相关资料，发现平行四边形还有如下的性质：平行四边形的四条边的边长的平方和等于对角线长的平方和，即：如图1，在中，． 小明在老师的提示下，对该性质进行了证明． 证明：如图1，过点，作垂线，分别与交于点，与的延长线交于点． 四边形平行四边形， （依据），，． 设，，，则． ． 在中，，即． 在中，． …… 任务： （1）证明过程中“依据”是指：______． （2）请你补全小明的证明过程． （3）如图2，在中，，，，则的周长为______． 22. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，将点A先向右平移2个单位，再向下平移一定距离得到点，点恰好落在反比例函数的图象上，过A，两点的直线与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标． （2）在轴上有一点，连结，，求的面积． （3）在平面直角坐标系中存在点M，使以A，B，E，M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标． 23. 综合与实践 问题情境： 如图，四边形为正方形，点为对角线上的一动点，连接，过点作，交直线于点，以为邻边作矩形，连接 . 猜想证明： （1）求证：四边形是正方形． 解决问题： （2）求的度数． （3）已知，请直接写出CG的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山西省2023~2024学年第二学期八年级期末质量监测 数学试卷（华师大版） 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 下列式子中是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简分式的定义，分式的化简过程，平方差公式的运用，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、不是分式，不符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，符合题意， 故选：D． 2. 国际单位制中的长度单位“米”起源于法国，1米的长度最初定义为通过巴黎的子午线上，从地球赤道到北极点距离的千万分之一．随着认识的加深，年国际度量衡大会重新制定米的定义：“光在真空中行进秒的距离”为一标准米．已知，数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数．熟练掌握绝对值小于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为第一个不为0的数的前面0的个数是解题的关键． 根据用科学记数法表示绝对值小于1的数，进行作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：B． 3. 将一次函数的图象向下平移5个单位，所得的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据平移性质：上加下减，进行作答即可． 【详解】解：∵一次函数的图象向下平移5个单位， ∴所得的函数表达式为，即． 故选：A 4. 中华优秀传统文化支撑着中华民族历经五千余年生生不息．某校八年级以端午节为契机开展关于中华优秀传统文化的知识竞赛，八年级（一）班计划从甲、乙、丙、丁四名同学中推选一名同学代表本班参赛，现将四名同学的五次班内测试成绩（单位：分）制作成如图所示的折线统计图．若要选择一名测试成绩较好且发挥稳定的同学代表本班参赛，根据折线统计图可知，应选择的是（ ） A. 甲同学 B. 乙同学 C. 丙同学 D. 丁同学 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了折线统计图， 根据折线统计图中4位同学成绩的变化情况求解即可． 【详解】∵丁同学的整体成绩都比较高，且都稳定在8分和9分之间， ∴应选择的是丁同学． 故选：D． 5. 将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放，使点，，在同一条直线上，点在边上，连结，，．若，，则的面积为（ ） A. 13 B. 26 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据矩形的性质和勾股定理求出，然后得到，然后利用三角形面积公式求解即可． 此题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 【详解】∵将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴的面积为． 故选：D． 6. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．当时，的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，找到一次函数图象在反比例函数图象上方的部分即可求解． 【详解】解：由图可知：一次函数与反比例函数的交点坐标为， 当时，即一次函数图象在反比例函数图象上方 此时或 故选：C． 7. 1941年，中共中央确定将1921年7月1日作为中国共产党建党日（即建党节），此后每年的7月1日，全党都要热烈庆祝党的诞生纪念日．在建党节来临之际，某班举行了“红日千秋照，乾坤万代红”朗诵比赛，有7名同学参加了比赛，比赛成绩分别为9分、7分、7分、9分、6分、6分、8分．这7名同学比赛成绩的中位数为（ ） A. 6分 B. 7分 C. 8分 D. 9分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个数来确定中位数．如果数据有奇数个，中间的数字即为所求；如果是偶数个时，则找中间两位数的平均数． 根据中位数的概念求解即可． 【详解】解：按从小到大顺序排列为6，6，7，7，8，9，9，最中间的数是7． ∴这7名同学比赛成绩的中位数为7． 故选：B． 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解答本题的关键． 根据，图象在第一、三象限，且每一个象限内y随x的增大而减小进行判断． 【详解】解： ∴该反比例函数的图象在第一、三象限，且每一个象限内y随x的增大而减小， ， ． 故选：C 9. 如图，在中，点，在对角线上，连结，，，．添加下列一个条件能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质． 连接，交于点O，根据平行四边形对角线的性质和判定方法即可解答． 【详解】解：连接，交于点O， ∵四边形平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． ∴B选项符合题意，添加ACD选项的条件都不能证明四边形是平行四边形． 故选：B 10. 如图，在五边形中，，，，，连结，．若，则的面积为（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质和判定，解题的关键是证明出四边形是正方形． 延长，交于点F，首先证明出四边形是正方形，得到，，求出，，然后利用的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，延长，交于点F， ∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴， ∵，， ∴， ∴的面积 ． 故选：A． 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置） 11. 若分式有意义，则满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据分式有意义的条件进行计算即可． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键． 12. 我国古代科举制度始于隋，成于唐，兴于明．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取．若某年会试录取人数为，则北卷录取的人数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数四则运算的应用，由南卷、北卷、中卷的比例关系即可求出中卷录取的人数． 【详解】解：由题意得：北卷录取的人数为（人） 故答案为：． 13. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图所示的中国结可近似地看为一个菱形，菱形的周长为，对角线的长为，则对角线的长为______． 【答案】32 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理． 根据菱形的对角线互相垂直平分可得，，又由菱形的周长可得，从而根据勾股定理求得，又根据菱形对角线的性质即可求得的长． 【详解】解：如图，设菱形的对角线，相交于点O， ∴，， ∵， ， ∴， ∵， ∴在中，， ∴在菱形中，． 故答案为：32 14. 生活中做拉面的过程渗透着数学知识，一定体积的面团做成拉面，面条总长度与面条粗细（横截面面积）存在一定的函数关系；项目化学习小组的同学用一块面团进行了试验，并将数据整理如下： 面条粗细 … 0.4 03 0.2 0.1 … 面条总长度 … 33 44 66 132 … 根据以上数据可知，当面条总长度为220cm时，面条粗细为__________． 【答案】0.06 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式是关键． 根据数据判断是反比例函数，再用待定系数法求出反比例函数解析式，将代入解析式计算即可． 【详解】解：根据表格中的数据，，判断该函数为反比例函数， 设反比例函数解析式为， 当时，， ， 反比例函数解析式为， 当时，， 故答案为：0.06． 15. 如图，在四边形中，，，E是边上一点，连接，过点E作于点F，且．若，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，角平分线的判定，先证明，再由角平分线的判定定理得到，进而证明四边形是平行四边形得到；利用勾股定理求出，进而利用等面积法求出的长，进而利用勾股定理求出的长． 【详解】解：， ， ， ∵，，， 是的平分线， ， ， 四边形是平行四边形， ． ，，， ， ， ，即， 解得， ， ∴ 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，涉及零指数幂，负整数指数幂，平方差公式的运用等知识，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）根据零指数幂，负整数指数幂计算各项，再计算即可； （2）先将括号里的式子通分，再将除法变为乘法约分计算，再将代入求值即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时，原式． 17. 如图，在四边形中，，分别是，边上的点，且，连结，交对角线于点，且与互相平分．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质． 连接，，根据与互相平分得到四边形是平行四边形，从而，，进而得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证． 【详解】解：连接，， ∵与互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，即， ∴四边形是平行四边形． 18. 为了响应习总书记“绿水青山就是金山银山”的号召，某山区积极推进增绿、补绿、复绿工程，计划对面积为的荒地进行绿化．经过招标，决定由甲、乙两个工程队共同完成，乙工程队每天完成绿化的面积是甲工程队每天完成绿化面积的1.5倍．已知完成面积为的绿化工程时，甲工程队比乙工程队多用3天．求甲、乙两工程队每天完成绿化的面积． 【答案】甲工程队每天能完成绿化的面积为，乙工程队每天能完成绿化的面积为 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲工程队每天能完成绿化的面积为，则乙工程队每天能完成绿化的面积为，得出关于x的分式方程，解之并检验后，即可得出结论． 【详解】解：设甲工程队每天能完成绿化的面积为，则乙工程队每天能完成绿化的面积为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ． 答：甲工程队每天能完成绿化的面积为，乙工程队每天能完成绿化的面积为． 19. 某校对学生开展了关于学校餐厅饭菜品质和餐厅服务质量的满意度问卷调查，学生满意度以分数（满分为5分）呈现，从低到高依次为1分、2分、3分、4分、5分．该校规定，若学生所评餐厅饭菜品质满意度和餐厅服务质量满意度的平均数或中位数低于3.5分，则不合格，需要对不合格项目进行整改．王老师从收回的有效问卷中随机抽取了20份，并把这20份问卷中学生对餐厅饭菜品质和餐厅服务质量的所评分数绘制成下列图表： 餐厅服务质量满意度统计表 分数/分 1 2 3 4 5 份数/份 2 3 5 8 2 根据以上信息，解答下列问题： （1）餐厅饭菜品质满意度的中位数是______分，餐厅服务质量满意度的平均数是______分． （2）请你根据统计结果判断该校餐厅饭菜品质和餐厅服务质量是否需要整改，并说明理由． 【答案】（1）4， （2）该校餐厅饭菜品质不需要整改，而餐厅服务质量需要整改． 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数、平均数的定义，熟记各定义是解题关键． （1）根据中位数、平均数的定义即可得； （2）比较餐厅饭菜品质满意度和餐厅服务质量满意度的平均数或中位数是否低于3.5分，即可求解． 【小问1详解】 解：由中位数的定义，将餐厅饭菜品质满意度这组数据按从小到大（或从大到小）进行排列第10和11位的为4和4， 则中位数是， 由平均数的计算公式得：餐厅服务质量满意度的平均数是， 故答案为：4，； 【小问2详解】 解：由于餐厅服务质量满意度的平均数， 餐厅饭菜品质的平均数为， ， 而餐厅饭菜品质的中位数是， 所以该校餐厅饭菜品质不需要整改，而餐厅服务质量需要整改． 20. 项目式学习 项目主题：重视水龙头滴水的浪费现象． 项目背景：日常生活中，经常存在由于水龙头阀门损坏，从而出现水龙头不断向外滴水的情况，造成水资源浪费．某校学习小组以“重视水龙头滴水的浪费现象”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究水龙头滴水量与时间的关系． 研究步骤： （1）准备好量筒和计时器． （2）确定因损坏而滴水的水龙头． （3）在控制影响水龙头滴水量的其他变量（如刮风等）的情况下，将量筒放在所选水龙头正下方接水，每隔一分钟记录量筒中的总水量．但由于操作延误，开始计时时量筒中已经接了少量的水，因而得到如下表所示的一组数据． （4）分析数据，形成结论． 试验数据： 时间 1 2 3 4 5 … 总水量 7 12 17 22 27 … 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务： （1）①根据上表中的数据，判断量筒中的总水量与时间是______（填“正比例”“一次”或“反比例”）函数关系； ②求与之间的函数关系式． （2）已知所用量筒的量程是，求当计时多少分钟时，量筒内的水刚好到达量程的最大刻度处． （3）若一个人一天大约饮用的水，求这个水龙头10天的滴水量可供一个人饮用多少天． 【答案】（1）①一次；②；（2）19.6分钟；（3）可供一个人饮用48天 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，求一次函数代数式，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）观察表格可知，与t符合一次函数关系，用待定系数法可得函数解析式； （2）当时，可求出此时的时间； （3）列式计算可得这个水龙头10天的漏水量可供一人饮用48天． 【详解】解：（1）①观察表格可知，与是一次函数关系， 故答案为：一次； ②设函数关系式为：，把代入得： ，解得：， ； （2）当时，， ， 当计时19.6分钟时，量筒内的水刚好到达量程的最大刻度处； （3）由（1）可知，这个水龙头每分钟漏水， 天漏水， 天， 这个水龙头10天的滴水量可供一个人饮用48天． 21. 阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 小明在学习了平行四边形的相关知识后，查阅相关资料，发现平行四边形还有如下的性质：平行四边形的四条边的边长的平方和等于对角线长的平方和，即：如图1，在中，． 小明在老师的提示下，对该性质进行了证明． 证明：如图1，过点，作的垂线，分别与交于点，与的延长线交于点． 四边形是平行四边形， （依据），，． 设，，，则． ． 在中，，即． 在中，． …… 任务： （1）证明过程中的“依据”是指：______． （2）请你补全小明的证明过程． （3）如图2，在中，，，，则的周长为______． 【答案】（1）平行四边形对边相等 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据平行四边形的性质求解即可； （2）首先证明出，得到，，然后利用勾股定理求出，进而求解即可； （3）根据题意设，，根据列方程求解即可． 【小问1详解】 ∵四边形是平行四边形， ∴依据是平行四边形的对边相等； 【小问2详解】 补全证明如下： ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴在中， ∴ ∴； 【小问3详解】 ∵ ∴设，， ∵ ∴ ∴ ∴，， ∴的周长为． 22. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，将点A先向右平移2个单位，再向下平移一定距离得到点，点恰好落在反比例函数的图象上，过A，两点的直线与轴交于点． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标． （2）在轴上有一点，连结，，求面积． （3）在平面直角坐标系中存在点M，使以A，B，E，M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1）， （2）6 （3）M的坐标为或， 【解析】 【分析】（1）由反比例函数的图象经过点，即可求出k的值，得到反比例函数的解析式；根据平移的坐标变化可得点B的横坐标为，再根据点B在反比例函数图象上即可得到点B的坐标，运用待定系数法求出直线的解析式，令，即可得到点D的坐标． （2）根据，，可得轴，，进而根据三角形的面积公式即可解答； （3）分情况讨论，根据平行四边形的对边平行且相等，运用平移的坐标变化即可求解． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为； ∵将点先向右平移2个单位，再向下平移一定距离得到点， ∴点B的横坐标为， ∵点B恰好落在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴轴，， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：①若是的对角线，则，， 由平移可得； ②若是的对角线，则，， 由平移可得； ③若是的对角线，则，， 由平移可得； 综上所述，使以A，B，E，M为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标为或，． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，函数图象与坐标轴的交点，点的平移的坐标变换，三角形的面积，平行四边形的性质，平移的性质，综合运用相关知识是解题的关键． 23. 综合与实践 问题情境： 如图，四边形为正方形，点为对角线上的一动点，连接，过点作，交直线于点，以为邻边作矩形，连接 . 猜想证明： （1）求证：四边形是正方形． 解决问题： （2）求的度数． （3）已知，请直接写出CG的长． 【答案】（1）见解析（2）（3） 【解析】 【分析】（1）连接辅助线，由，得到，即可求解， （2）由，得到，即可求解， （3）由正方形，正方形，得到，由，得到，依次求出，，，,的长，由，得到，即可求解， 本题考查正方形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，解题关键是：连接辅助线构造全等三角形． 【详解】解：（1）过作于点，过作于点， 正方形， ， ，且， 四边形为正方形， 四边形是矩形， ， ， 又， 在和中，， ， ， 矩形为正方形， （2）矩形为正方形， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， （3）∵正方形，正方形， ∴，， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴,, ∵， ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$