精品解析：安徽省六安市金寨县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

金寨县2023—2024学年度第二学期期末质量监测 七年级数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 在下列各数中，是无理数的是（ ） A. ﹣2 B. π C. 3.1415 D. 【答案】B 【解析】 【分析】用无理数的概念逐一检查，符合无理数概念的就是正确选项． 【详解】解：A.为有理数，不符合题意； B.为无理数，符合题意； C. 3.1415为有理数，不符合题意； D. 为有理数，不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义．无限不循环小数为无理数，包括带根号开不尽方的数（如）及π，0.7070070007…（每两个7之间依次多1个0）等形式． 2. 清·袁枚的一首诗《苔》中写道“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：数据“”用科学记数法表示为， 故选：B． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，解题的关键是掌握一般形式为，其中， 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3. 下面的计算正确的是（ ） A. x3•x3＝2x3 B. （x3）2＝x5 C. （6xy）2＝12x2y2 D. （﹣x）4÷（﹣x）2＝x2 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A. x3•x3＝x6，原选项不正确，不符合题意； B. （x3）2＝x6，原选项不正确，不符合题意； C. （6xy）2＝36x2y2，原选项不正确，不符合题意； D. （﹣x）4÷（﹣x）2＝x2，原选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了幂的运算，解题关键是熟记幂的运算法则，准确进行计算． 4. 如图，四个图形中的∠1和∠2，不是同位角的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】要想成为同位角，两个角必须有一对边在同一条直线上，依据这一条件分析判断即可． 【详解】A、∠1、∠2有一条边在一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角； C、∠1、∠2有一条边在一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角； D、∠1、∠2有一条边在一条直线上，另一条边在被截线的同一方，是同位角； D、∠1、∠2的两条边都不在一条直线上，不是同位角； 故选：D 【点睛】本题考查同位角的定义，解题的关键是熟悉三线八角的位置关系． 5. 估计的值在（ ） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根及无理数估算即可得到答案． 【详解】解：， ， ，即， 的值在6和7之间， 故选：B． 【点睛】本题考查算术平方根与无理数估算，熟练掌握无理数估算的方法是解决问题的关键． 6. 下列不等式变形正确的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由， ，得 D. 由 ，得 【答案】C 【解析】 【分析】依据不等式的基本性质进行分析，即可得到正确结论． 【详解】解：A．由，当 时，得 ；当时，得 ，故此选项不符合题意； B．由，得 或 ，故此选项不符合题意； C．由， ，得，故此选项符合题意； D．由 ，得或，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查不等式的基本性质，在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于 进行分类讨论．掌握不等式的基本性质是解题的关键． 7. 若与的乘积中不含 的一次项，则 的值为（ ） A. B. 3 C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式的法则，注意不含某一项就让某一项的系数等于0是解题的关键． 先根据多项式乘多项式的法则进行计算，找出所有含有x的一次项，合并同类项，令含有x的一次项的系数等于0，即可求出结果． 【详解】解：， ∵乘积中不含 的一次项， ∴， 解得， 故选：A． 8. 如图，将含有30°角的直角三角尺的直角顶点与一张长方形纸片的顶点重合，其中一个锐角顶点在一边上．若，则 的度数是（ ） A. 15° B. 25° C. 30° D. 35° 【答案】B 【解析】 【分析】根据平角可以求出的度数，再根据平行线的性质得到，然后根据角的和差求出即可解题． 【详解】如图，则，， ∴， 又∵ ， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查平行线的性质和角的和差，掌握平行线的性质是解题的关键． 9. 若关于 的分式方程有增根，则 的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先求解分式方程的增根，再把分式方程去分母，把增根代入去分母后的整式方程求解参数的值即可． 【详解】解：∵关于 的分式方程有增根， ∴增根为： ∵， 去分母得： 解得：， 故选：D 【点睛】本题考查的是分式方程的增根问题，理解分式方程增根产生的原因是解本题的关键． 10. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（，，即8，16均为“和谐数”），在不超过2023的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　） A. 255054 B. 255064 C. 250554 D. 255024 【答案】D 【解析】 【分析】由，解得，可得在不超过2023的正整数中，“和谐数”共有252个，依此列式计算即可求解． 【详解】解：由， 解得：，n为正整数， 则在不超过2023的正整数中， 所有的“和谐数”之和为． 故选D． 【点睛】本题考查了平方差公式，一元一次不等式的应用，弄清题中“和谐数”的定义是解答本题的关键． 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 如图，将三角形 沿 方向平移得到三角形 ，若三角形 的周长为 ，则四边形 的周长为______ ． 【答案】28 【解析】 【分析】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．根据平移的性质可得，然后求出四边形 的周长等于 的周长与的和，再代入数据计算即可得解． 【详解】解：∵将 沿 方向平移得到 ， ∴， ∵三角形 的周长为 ， ∴， ∴四边形 的周长为：． 故答案为：28． 13. 已知，，则的值是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法即可得出，从而可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法．熟练掌握运算法则是解题关键． 14. 在实数范围内定义运算“※”：．请解决下列问题： （1）______； （2）若，则_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据定义的运算代入计算； （2）根据定义运算得到等式，运用分式的运算法则化简求值． 【详解】解：（1）； （2） ∴ ∴则． 【点睛】本题考查分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15. 计算： 【答案】8 【解析】 【分析】由算术平方根性质解得，由解得，据此解题． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根、零指数幂、负整数指数幂等，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 16. 解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】 ，见解析 【解析】 【分析】根据不等式去分母，去括号，移项合并，将系数化为1，即可求出解． 【详解】解：去分母得： 去括号得： 移项得：， 合并同类项得： 系数化为1得： 不等式的解集在数轴上表示： 【点睛】此题考查了解一元一次不等式，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将系数化为1，求出解． 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键． 18. 某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元． （1）第一批饮料进货单价多少元？ （2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？ 【答案】（1）第一批饮料进货单价为8元． （2）销售单价至少为11元． 【解析】 【分析】（1）设第一批饮料进货单价为 元，根据等量关系第二批饮料的数量是第一批的3倍，列方程进行求解即可； （2）设销售单价为 元，根据两批全部售完后，获利不少于1200元，列不等式进行求解即可得． 【详解】（1）设第一批饮料进货单价为 元，则： 解得： 经检验：是分式方程的解 答：第一批饮料进货单价为8元． （2）设销售单价为 元，则： ， 化简得：， 解得： ， 答：销售单价至少为11元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系与不等关系是关键． 五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形 的三个顶点都在网格线的交点处，现将三角形 平移得到三角形 ，使点 的对应点为点 ，点 的对应点为点 ． （1）请画出平移后的三角形 ； （2）若连接 ， ，则这两条线段之间的关系是______； （3）直接写出三角形 的面积______． 【答案】（1）见解析 （2） ， （3）7 【解析】 【分析】本题考查平移作图，平移性质，利用网格求面积等． （1）利用平移定义即可作出平移后的图形； （2）根据平移的性质即可得到本题答案； （3）利用补全法，将三角形补全为一个 方格的矩形，再减去周围三角形面积即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：∵点 的对应点为点 ， ∴点 是由点 向右平移4个单位长度，再向下平移一个单位长度得到， ∴如图所示，三角形 即为所作： ； 【小问2详解】 解：由平移的性质可得 ，， 故答案为： ，； 【小问3详解】 解：， 故答案为：7． 20. 如图，直线 分别交射线 、 于点 、 ，连接 和 ，， ， 平分． （1）证明： ； （2） 是否平分？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）平分，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据邻补角以及“同位角相等，两直线平行”即可证明； （2）先证明，再根据平行线的性质与角平分线的定义，即可求证． 【小问1详解】 解： ∵，， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：平分．理由如下： ∵ 平分， ∴， ∵ ， ∴， ∵ ， ∴ ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ 平分． 六、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 21. 观察以下等式： 第1个等式：， 第2－个等式： ， 第3个等式：， 第4个等式： ， …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：__________________； （2）写出你猜想的第 个等式（用含 的等式表示），并证明． 【答案】（1） （2）， 证明：左边 右边 ∴左边 右边． 【解析】 【分析】（1）根据前4个等式得出第五个等式即可； （2）通过观察减号后面的数字规律，再结合每个式子找到规律，最后写出即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查数字类变化规律，仔细观察每个式子中对应位置的数字，并找到相关系数关系是解题的关键． 22. 图①是一个长为 ，宽为（ ）的长方形，用剪刀沿图中虚线剪开，把它平均分成形状和大小都一样的四个小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形． （1）观察图②，可得：______； （2）若， ，求的值； （3）当时，求的值． 【答案】（1）4mn （2）73 （3）68 【解析】 【分析】（1）根据图形得出，大正方形的面积减去中间小正方形的面积为四个长方形的面积即可； （2）由（1）得：，然后代入求解即可； （3）将2x-30变形为（x-10）-（20-x），然后利用（1）中结论代入求解即可． 【小问1详解】 解：根据图形可得： ， 故答案为：4mn； 【小问2详解】 由（1）得：， 当m-n=7，mn=6时， ； 【小问3详解】 解：2x-30=（x-10）-（20-x）， ． 【点睛】题目主要考查完全平方公式的变形计算，熟练掌握运用两个完全平方公式之间的关系是解题关键． 七、（本题满分14分） 23. 同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图1， ，E为AB、CD之间一点，连接AE、CE．若∠A＝42°，∠C＝28°．则∠AEC＝　 　． （2）如图2， ，线段AD与线段BC交于点E，∠A＝36°，∠C＝54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度数． （3）如图3． ，线段AD与线段BC相交于点G，∠BCD＝56°，∠GDE＝20°，过点D作交直线AB于点F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度数． 【答案】（1）70° （2）45° （3）129° 【解析】 【分析】（1）延长CE交AB于点F，利用平行线的性质可得∠AFC=28°，然后再利用三角形的外角可得∠AEC=∠A+∠C，进行计算即可解答； （2）利用猪蹄模型可得：∠AEC=∠A+∠C=90°，再利用对顶角相等可得∠BED=90°，然后利用角平分线的定义进行计算即可解答； （3）利用平行线的性质可求出∠CDF的度数，从而利用角平分线的定义求出∠CDG的度数，进而利用平行线的性质可求出∠BAD的度数，然后根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，再利用平角定义求出∠EDH的度数，最后根据猪蹄模型可得∠AED=∠BAE+∠EDH，进行计算即可解答． 【小问1详解】 延长CE交AB于点F， ∵ ， ∴∠AFC＝∠C＝28°， ∵∠AEC是△AEF的一个外角， ∴∠AEC＝∠A+∠AFC＝∠A+∠C＝70°， 故答案为：70°； 【小问2详解】 利用（1）的结论可得： ∠AEC＝∠A+∠C＝36°+54°＝90°， ∴∠AEC＝∠BED＝90°， ∵EF平分∠BED， ∴∠BEF＝∠BED＝45°， ∴∠BEF的度数为45°； 【小问3详解】 ∵ ， ∴∠CDF＝180°﹣∠BCD＝124°， ∵DG平分∠CDF， ∴∠CDG＝∠CDF＝62°， ∵ ， ∴∠BAG＝∠CDG＝62°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠BAD＝31°， ∵∠GDE＝20°， ∴∠EDH＝180°﹣∠CDG﹣∠GDE＝98°， 利用（1）的结论可得： ∠AED＝∠BAE+∠EDH＝31°+98°＝129°， ∴∠AED的度数为129°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，角平分线的性质，熟练掌握猪蹄模型的原理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金寨县2023—2024学年度第二学期期末质量监测 七年级数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 在下列各数中，是无理数的是（ ） A. ﹣2 B. π C. 3.1415 D. 2. 清·袁枚的一首诗《苔》中写道“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下面的计算正确的是（ ） A. x3•x3＝2x3 B. （x3）2＝x5 C. （6xy）2＝12x2y2 D. （﹣x）4÷（﹣x）2＝x2 4. 如图，四个图形中的∠1和∠2，不是同位角的是( ) A. B. C. D. 5. 估计的值在（ ） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 6. 下列不等式变形正确的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由， ，得 D. 由 ，得 7. 若与的乘积中不含 的一次项，则 的值为（ ） A. B. 3 C. 0 D. 1 8. 如图，将含有30°角的直角三角尺的直角顶点与一张长方形纸片的顶点重合，其中一个锐角顶点在一边上．若，则 的度数是（ ） A. 15° B. 25° C. 30° D. 35° 9. 若关于 的分式方程有增根，则 的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 4 10. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（，，即8，16均为“和谐数”），在不超过2023的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　） A. 255054 B. 255064 C. 250554 D. 255024 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 因式分解：______． 12. 如图，将三角形 沿 方向平移得到三角形 ，若三角形 的周长为 ，则四边形 的周长为______ ． 13. 已知，，则的值是__________． 14. 在实数范围内定义运算“※”：．请解决下列问题： （1）______； （2）若，则_____． 三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15. 计算： 16. 解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元． （1）第一批饮料进货单价多少元？ （2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？ 五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形 的三个顶点都在网格线的交点处，现将三角形 平移得到三角形 ，使点 的对应点为点 ，点 的对应点为点 ． （1）请画出平移后的三角形 ； （2）若连接 ， ，则这两条线段之间的关系是______； （3）直接写出三角形 的面积______． 20. 如图，直线 分别交射线 、 于点 、 ，连接 和 ，， ， 平分． （1）证明： ； （2） 是否平分？请说明理由． 六、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 21. 观察以下等式： 第1个等式：， 第2－个等式： ， 第3个等式：， 第4个等式： ， …… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：__________________； （2）写出你猜想的第 个等式（用含 的等式表示），并证明． 22. 图①是一个长为 ，宽为（ ）的长方形，用剪刀沿图中虚线剪开，把它平均分成形状和大小都一样的四个小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形． （1）观察图②，可得：______； （2）若， ，求的值； （3）当时，求的值． 七、（本题满分14分） 23. 同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图1， ，E为AB、CD之间一点，连接AE、CE．若∠A＝42°，∠C＝28°．则∠AEC＝　 　． （2）如图2， ，线段AD与线段BC交于点E，∠A＝36°，∠C＝54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度数． （3）如图3． ，线段AD与线段BC相交于点G，∠BCD＝56°，∠GDE＝20°，过点D作交直线AB于点F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $