精品解析：天津市河东区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023～2024学年度第二学期期末质量检测 八年级数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至8页．试卷满分100分．考试时间90分钟． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 要使二次根式有意义，则实数x取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中能与合并的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列几组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 4，5，6 C. D. 1，，2 4. 如图，四边形的对角线相交于点，且，若要证明四边形为平行四边形，不能添加的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 关于函数，下列结论正确的是（） A. 图象与直线平行 B. 点在函数图象上 C. 图象与坐标轴围成的三角形面积是1 D. 图象经过第一、二、四象限 7. 若三点，，都在函数的图象上，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形对角线交于点于点，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5 9. 如图，直线与x轴交于点，那么不等式解集为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，分别交边于点，连接，若的周长为10，则的周长为（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 11. 若直线经过第一、二、四象限，则函数的大致图象是（　　） A. B. C. D. 12. 如图，直线分别与轴、轴交于点、，点在线段上，将沿翻折，点落在边上的点处．以下结论：①；②直线的解析式为；③点；④若线段上存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形为菱形，则点的坐标是．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②④ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 计算的结果是________． 14. 将函数的图象沿轴向下平移2个单位后经过点，则的值为______． 15. 现有甲、乙两个合唱队队员的平均身高都是，方差分别为，，则这两个合唱队的队员身高比较整齐的是________队．（填写“甲”或“乙”） 16. 如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，若∠A＝130°，则∠AEB度数为____． 17. 在正方形中，点为边上一点（不与点、重合），于点，于点，若，，线段的长是______． 18. 如图，x轴上有两点和点，若点P的坐标为；则的值最小值=______此时点P的坐标为______ 三、解答题（本大题共6小题，共46分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 计算 （1）； （2）． 20. 如图，某小区有一块四边形空地，连，经过测量可得是等腰三角形，，，． （1）判断的形状； （2）求这块空地面积． 21. 某公司为了了解员工每人所创年利润情况，公司从各部抽取部分员工对每年所创年利润情况进行统计，并绘制如图1．图2统计图． （1）本次共调查了______名员工，扇形图中的值为______． （2）求这组数据的平均数，中位数，众数． 22. 如图，在平行四边形中，对角线上有两点，，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若是等边三角形，且边长为8，，求． 23. 已知小明家、街心公园、超市依次在同一直线上，街心公园与小明家相距，超市与小明家相距．小明和妈妈从家出发，匀速步行了到达街心公园：两人在公园停留后，妈妈按从家出发时相同的速度匀速步行返回家，小明则匀速步行到达超市购买文具用品、停留后，骑自行车匀速返回家，如图反映了这个过程中小明离开家的距离与离开家的时间的对应关系， 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： 离开家的时间/ 10 20 35 55 离家的距离/ （2）小明从街心公园到超市的速度为______； （3）小明的妈妈比小明提前______到家； （4）当时，请直接写出小明离开家的距离关于与离开家的时间的函数解析式，并写出的取值范围． 24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形．顶点，点和分别在正方形边，上，且，直线与直线交于点；平行于轴的直线，从轴出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向移动，与线段重合时停止，设运动时间为秒，平移过程中，直线与直线交于点、与直线交于点． （1）求直线的解析式和点的坐标． （2）当点M在点N上方时，记线段的长度为； ①如图1，求与的函数关系式，并写出此时的取值范围； ②如图2，以为直角边向右作等腰直角，当点恰好落在正方形的边上时，求值?直接写出在什么范围变化时，等腰直角与重叠部分为矩形? （3）如图3，当M在点N下方时，以为边向右作等边，等边与重叠部分的面积记为．填空：当、恰好是、中点时，的值______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023～2024学年度第二学期期末质量检测 八年级数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至8页．试卷满分100分．考试时间90分钟． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 要使二次根式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是：被开方数是非负数，据此即可求解． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：． 故选：D． 2. 下列二次根式中能与合并是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式是解题的关键．根据同类二次根式及二次根式的性质可进行求解． 【详解】解：A.与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意； B.与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意； C.与是同类二次根式，能合并，故符合题意； D.与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意； 故选：C． 3. 下列几组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 4，5，6 C. D. 1，，2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，不能组成三角形； B、，不能组成直角三角形； C、，不能组成直角三角形； D、，能组成直角三角形； 故选D． 4. 如图，四边形的对角线相交于点，且，若要证明四边形为平行四边形，不能添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵， ∴四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C、由，不能判定四边形是平行四边形，故选项C符合题意； D、∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 5. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：A 【点睛】本题考查矩形的性质．熟记相关结论即可． 6. 关于函数，下列结论正确的是（） A. 图象与直线平行 B. 点在函数图象上 C. 图象与坐标轴围成的三角形面积是1 D. 图象经过第一、二、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，掌握一次函数的增减性、与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 由的系数可判断A；令，求得对应的y值，可判断B；由系数、可判断D；根据交点坐标可求得三角形面积，可判断C． 【详解】解：∵函数中，图象经过第一、二、三象限，故D错误； 直线中，图象与直线不平行，故A错误； 令可得， 解得：， 令可得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为， ∴函数图象与坐标轴围成的三角形面积为：，故C正确． 当时，可得， ∴点不在函数图象上故B错误； 故选：C． 7. 若三点，，都在函数的图象上，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 根据正比例函数走向与系数的关系可知时，函数随的增大而减小．再根据即可求解； 【详解】解：∵， ∴函数随的增大而减小， ， ， 故选：B． 8. 如图，菱形的对角线交于点于点，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理，先根据菱形的求得边长，由勾股定理求，则，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求的长．熟练掌握菱形的性质是关键：①菱形的四边相等；②菱形的对角线互相垂直且平分． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 9. 如图，直线与x轴交于点，那么不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象，利用数形结合即可得出结论． 【详解】解：根据图象可得，一次函数在x轴下方部分对应的x的范围是， ∴关于的不等式的解集为． 故选D． 【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的取值范围是解答此题的关键． 10. 如图，在中，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，分别交边于点，连接，若的周长为10，则的周长为（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查尺规作图-垂直平分线，涉及中垂线性质、平行四边形性质等知识，根据题意，由基本尺规作图得到是线段的中垂线，结合平行四边形性质、三角形周长及平行四边形周长的表示，数形结合，代值求解即可得到答案，熟记尺规作图-垂直平分线的做法是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，是线段的中垂线， ， 的周长为10， ，则， 在中，，， 的周长为， 故选：B． 11. 若直线经过第一、二、四象限，则函数的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的图象经过第一、二、四象限，可以得到k和b的正负，然后根据一次函数的性质，即可得到一次函数图象经过哪几个象限，从而可以解答本题．本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴ ∴ ∴一次函数图象第一、二、三象限， 故选：B． 12. 如图，直线分别与轴、轴交于点、，点在线段上，将沿翻折，点落在边上的点处．以下结论：①；②直线的解析式为；③点；④若线段上存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形为菱形，则点的坐标是．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质，翻折的性质，勾股定理，菱形的性质等知识点，深入理解题意是解决问题的关键． 根据一次函数的性质和翻折的性质以及勾股定理，菱形的性质对每个结论进行分析后再作出选择． 【详解】解：令，则， ， ， 令，得， ， 在中，，故①正确； ∵沿翻折，点落在边上的点处， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ， 设直线的解析式为：， 把点和分别代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为，故②正确； 如图1，过作于， 根据三角形面积可得：， 在中，， ∴， ∴点坐标为，故③不正确； 如图2， 当以点、、、为顶点的四边形为菱形时，轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等， 把代入直线中，得， ∴点，故④正确； 综上，正确的结论有①②④， 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 计算的结果是________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法．根据平方差公式计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：5． 14. 将函数的图象沿轴向下平移2个单位后经过点，则的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象和性质，一次函数平移变化，掌握平移的规律，根据一次函数的性质确定函数值的变化是解题关键． 根据平移的规律得，把代入得． 【详解】解：函数的图象向下平移2个单位后得：， 把代入得， 解得：， 故答案为：7． 15. 现有甲、乙两个合唱队队员的平均身高都是，方差分别为，，则这两个合唱队的队员身高比较整齐的是________队．（填写“甲”或“乙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了根据方差判断稳定性，根据方差越小，数据越稳定，进行判断即可．熟练掌握方差越小，数据越稳定，是解题的关键． 【详解】解： ， 这两个合唱队的队员身高比较整齐的是乙， 故答案为：乙． 16. 如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，若∠A＝130°，则∠AEB的度数为____． 【答案】25° 【解析】 【分析】由平行四边形性质得出ADBC，由平行线的性质得出∠AEB=∠CBE，∠ABC=50°，由角平分线定义求出∠CBE=25°，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC， ∴∠AEB=∠CBE，∠ABC+∠A=180°， ∵∠A=130°， ∴∠ABC=180°-∠A=180°-130°=50°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE=25°， ∴∠AEB=25°； 故答案为：25°． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 17. 在正方形中，点为边上一点（不与点、重合），于点，于点，若，，线段的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点分别作，的垂线，分别交，于点，，求得的长度，根据求得的长度，根据勾股定理，进而求得的长度，进而可求得答案． 【详解】解：如图所示，过点分别作，的垂线，分别交，于点，． ∵在正方形中，， ∴四边形是矩形． ∵，，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴线段的长是． 故答案为：． 18. 如图，x轴上有两点和点，若点P的坐标为；则的值最小值=______此时点P的坐标为______ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意可知点在一次函数上，问题转化为直线上的动点到两定点距离的最小值，根据轴对称的性质，可求得的最小值，当取得最小值时，点在两条直线的交点处，联立解方程组即可求得点的坐标 【详解】根据题意可知点在一次函数上， 设点关于直线对称的点为， 连接交直线与点，则点满足有最小值， ∴，，即有最小值为 在直线上任取一点，连接，，，则 ∵在， ∴点满足有最小值， ∴， 解得：，即 ∴的最小值 设直线的表达式为：，由点，在直线上得： ， 解得：，即直线的表达式为：， 联立方程组， 解得：， ∴点的坐标为： 故答案为：，． 【点睛】本题考查了一次函数综合题，熟练掌握轴对称和待定系数法求一次函数解析式是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共6小题，共46分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算等知识点，主要考查学生的计算和化简能力，是一道比较容易出错的题目． （1）先把每一项化成最简根式，再合并同类二次根式即可； （2）先根式完全平方公式，平方差公式展开，再合并进行计算即可； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，某小区有一块四边形空地，连，经过测量可得是等腰三角形，，，． （1）判断的形状； （2）求这块空地的面积． 【答案】（1）直角三角形 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理和逆定理的应用： （1）根据勾股定理逆定理可判断是直角三角形； （2）过点A作于点E，得，由勾股定理得，再由三角形面积公式求出和的面积即可得出结论 【小问1详解】 解：∵ ∴， ∴是直角三角形，且； 【小问2详解】 解：过点A作于点E，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； 又， ∴这块空地的面积为 21. 某公司为了了解员工每人所创年利润情况，公司从各部抽取部分员工对每年所创年利润情况进行统计，并绘制如图1．图2统计图． （1）本次共调查了______名员工，扇形图中的值为______． （2）求这组数据的平均数，中位数，众数． 【答案】（1）50，8 （2）平均数是万元，中位数是8万元，众数是8万元 【解析】 【分析】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及加权平均数的计算公式，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）根据减去其他4个的百分比即可求出3万元的员工的百分比，再根据3万元的员工人数及3万元的百分比即可求出总人数． （2）利用定义求出中位数、众数及平均数． 【小问1详解】 解：3万元的员工的百分比为：， 故； 抽取员工总数为：(人)， 故答案为：50，8； 【小问2详解】 解：根据条形统计图可得： 每人所创年利润的众数是8万元， 每人所创年利润中位数位于第25和26个数，是8万元， 平均数是：万元， 答：平均数是万元，中位数是8万元，众数是8万元． 22. 如图，在平行四边形中，对角线上有两点，，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若是等边三角形，且边长为8，，求． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等边三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定与性质是解题的关键． （1）连接交于点，由平行四边形的性质得，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）根据是等边三角形，且边长为8，证平行四边形是菱形，得，则平行四边形是菱形，得，则，然后由勾股定理得，即可解决问题． 【小问1详解】 证明：如图，连接交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵是等边三角形，且边长为8， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴， 由（1）可知，四边形平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 23. 已知小明家、街心公园、超市依次在同一直线上，街心公园与小明家相距，超市与小明家相距．小明和妈妈从家出发，匀速步行了到达街心公园：两人在公园停留后，妈妈按从家出发时相同的速度匀速步行返回家，小明则匀速步行到达超市购买文具用品、停留后，骑自行车匀速返回家，如图反映了这个过程中小明离开家的距离与离开家的时间的对应关系， 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： 离开家的时间/ 10 20 35 55 离家的距离/ （2）小明从街心公园到超市的速度为______； （3）小明的妈妈比小明提前______到家； （4）当时，请直接写出小明离开家的距离关于与离开家的时间的函数解析式，并写出的取值范围． 【答案】（1），， （2） （3）10 （4） 【解析】 【分析】本题考查函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据图象可以算出小明从家到街心公园的速度，再结合图象即可求解； （2）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出小明从街心公园到超市的速度； （3）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出小明妈妈到家的时间，即可求解； （4）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出小明离开家的距离y(千米)与离开家的时间x(分钟)的函数解析式，并写出x的取值范围． 【小问1详解】 解：由图可得，小明从家到街心公园的速度为：， 当离开家时，离家距离， 当离开家时，离家距离， 根据图象可得，需停留，故当离开家时，离家距离， 根据图象可得，当离开家时，离家距离， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：由图可得， 小明从街心公园到超市的速度为：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由图可得，小明到家需要的时间为：， 小明的妈妈从家到街心公园的速度为：， 小明妈妈到家需要的时间为：， 故小明的妈妈比小明提前到家． 故答案为：10． 【小问4详解】 解：根据（2）得小明从街心公园到超市的速度为：， 小明从超市到家的速度为：， 当时，； 当时，； 当时，； 故． 24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形．顶点，点和分别在正方形边，上，且，直线与直线交于点；平行于轴的直线，从轴出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向移动，与线段重合时停止，设运动时间为秒，平移过程中，直线与直线交于点、与直线交于点． （1）求直线的解析式和点的坐标． （2）当点M在点N上方时，记线段的长度为； ①如图1，求与的函数关系式，并写出此时的取值范围； ②如图2，以为直角边向右作等腰直角，当点恰好落在正方形边上时，求值?直接写出在什么范围变化时，等腰直角与重叠部分为矩形? （3）如图3，当M在点N下方时，以为边向右作等边，等边与重叠部分的面积记为．填空：当、恰好是、中点时，的值______． 【答案】（1）， （2）①，，②， （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出直线的解析式为：，同理可得直线的解析式为：，联立可得； （2）①结合运动的特点，设，，，问题即可作答；②先表示出，结合可得，则有；∴点恰好落在正方形的边上时，；当点A在内部（含斜边）时，等腰直角与重叠部分为矩形，将直线向下平移7个单位时即与所在直线重合， 即有直线的解析式为：，联立可得，问题得解； （3）设交于点S，利用中点坐标公式可得，，即有，过点Q作于点T，过点M作于点R，可得， ，进而可得，则直线的解析式为：，联立可得，问题随之得解． 【小问1详解】 ∵四边形是正方形．顶点， ∴，， ∵， ∴，， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 同理可得：直线的解析式为：， 联立：， 解得：， ∴， 即：直线的解析式为：，； 【小问2详解】 ①∵轴，直线与直线交于点、与直线交于点， ∴结合运动的特点，设，，， ∵点M在点N上方， ∴，且点M在点H的右侧， ∴， 即：，； ②如图， ∵点恰好落在正方形的边上， ∴， ∵， ∴， ∵结合图形可知：在等腰直角中，，， ∴， 解得：， ∴点恰好落在正方形的边上时，； ∵轴，， ∴轴，轴，轴， ∵在等腰直角中，，， ∴， 结合正方形的性质有：， 又∵轴， ∴， ∴， ∴， 如图， ∵轴，轴，， ∴当点A在内部（含斜边）时，等腰直角与重叠部分为矩形， 即随之直线向边靠拢时，当等腰直角的斜边经过点A时，等腰直角与重叠部分开始为矩形， ∵，直线的解析式为：，，， ∴将直线向下平移7个单位时即与所在直线重合， ∴直线的解析式为：， 联立：， 解得：， ∴， ∴当时，等腰直角与重叠部分为矩形； 【小问3详解】 如图，设交于点S， ∵，，，、恰好是、中点， ∴，， ∴，即， 如下图，过点Q作于点T，过点M作于点R， 在等边中，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴按照求解解析式的方法可得直线的解析式为：， 联立：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴等边与重叠部分的面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题是一道一次函数的综合题，考查了正方形的性质，线段的平移，勾股定理，等边三角形的性质，矩形的性质，中点坐标公式以及待定系数法等知识，问题的难点在于弄清楚直线平移时的临界点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$