第12讲 相似三角形的性质与判定（基础篇）（10考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第12讲 相似三角形的性质与判定（基础篇） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.探索并确认相似图形的性质，并能运用其性质解决简单问题. 2.理解并掌握相似三角形的有关概念； 3.掌握判定两个三角形相似的方法. 一、相似形 定义：形状相同的图形. 【补充说明】 1. 至少有两个图形，图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同； 2. 全等形是一种特殊的相似形； 3. 相似形与图形的大小、位置无关，与角度和方向也无关. 二、相似多边形 定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形. 相似多边形的对应边的比叫做相似比. 表示方法：两个相似多边形可以用符号“∽”表示，读作“相似于”. 【补充说明】 1. 相似多边形的三个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例； 2. 全等多边形得相似比是1，相似比是1的相似多边形是全等多边形； 3. 当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置. 三、相似三角形的性质与判定 相似三角形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似用符号“∽”，读作“相似于”. 相似三角形的判定方法： 1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2）两个三角形相似的判定定理： ①三边成比例的两个三角形相似； ②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ③两角分别相等的两个三角形相似． ④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似. 相似三角形的性质： 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3）相似三角形周长的比等于相似比. 4）相似三角形面积比等于相似比的平方. 判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求： 1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形； 2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例； 3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例； 4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或两边成比例． 【考点一 判断相似图形】 例1．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）下列图形中，不是相似图形的一组是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据相似图形的定义，形状相同但大小不同的图形，是相似图形，依次判断，即可求解，本题考查了相似图形的识别，解题的关键是：明确相似图形的定义． 【详解】解： 、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意， 、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意， 、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意， 、不具有相同的形状，不是相似图形，符合题意， 故选：． 变式1-1．（23-24九年级上·安徽六安·期末）下列多边形一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个平行四边形 C．两个正五边形 D．两个六边形 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，掌握相似形的定义（如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形相似）是解题的关键． 根据相似三角形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、两个等边三角形相似，但是两个等腰三角形并不一定相似，三个角度没有确定，故A不正确； B、两个平行四边形对应角度及对应边都不一定成比例，所以不一定相似，故B不正确； C、两个正五边形角度相等，放大缩小后可以完全重合，两图形相似，故C正确； D、两个正六边形相似，但是两个六边形并不一定相似，故D不正确． 故选C． 变式1-2．（23-24九年级上·山西晋中·期中）如图是杭州第19届亚运会的吉祥物“琮琮”，代表的是世界遗产良渚古城遗址，名字来源于文物玉琮．琮琮全身以黄色调为主，头部刻有“饕餮纹”，展示给人们一种不屈不挠、坚强刚毅的精神．文旅部门将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的（    ） A．图形的平移 B．图形的轴对称 C．图形的相似 D．图形的旋转 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的相似，根据把图形进行放大或缩小可判断出是图形的相似即可. 【详解】解：将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的图形的相似. 故选：C. 变式1-3．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．矩形都是相似图形 B．等边三角形都是相似三角形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．边长相等的菱形都相似 【答案】B 【分析】根据相似图形的定义逐个进行判断即可． 【详解】解：A、对应边成比例的矩形都是相似图形，故A不正确，不符合题意； B、等边三角形都是相似三角形，故B正确，符合题意； C、各边对应成比例，各角相等的多边形是相似多边形，故C不正确，不符合题意； D、边长成比例，各角相等的菱形都相似，故D不正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似图形的定义，解题的关键是掌握各边对应成比例，各角相等的多边形是相似多边形． 【考点二 利用相似多边形的性质求解】 例2．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，矩形的对称轴分别交于点，交于点．已知矩形与矩形相似，若，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，相似多边形的性质，轴对称的性质．根据相似多边形的对应边成比例进行计算即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形的对称轴分别交于点，交于点， ∴， ∵矩形与矩形相似， ，即， ， ， 故选：B． 变式2-1．（23-24九年级上·福建漳州·期末）美美在手工课上，按足球的标准比例做一个“迷你足球模型”．如图，足球的表面是由正五边形和正六边形组成，“迷你足球模型”表面的正六边形与实际足球表面的正六边形相比，其中不会发生变化的量是（    ）    A．正六边形的边长 B．正六边形的周长 C．正六边形的面积 D．正六边形各个内角的度数 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，解题关键是熟练掌握相似多边形的内角相等．根据“迷你足球模型”表面的正六边形与实际足球表面的正六边形相似进行解答即可． 【详解】解：∵“迷你足球模型”表面的正六边形与实际足球表面的正六边形相似， ∴“迷你足球模型”表面的正六边形各个内角与实际足球表面的正六边形的内角都相等，而边长、周长还有面积不相等， ∴不会发生变化的量是正六边形各个内角的度数， 故选：D． 变式2-2．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）.已知矩形相似于矩形，且相似比为2，若，，那么矩形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．根据相似多边形周长的比等于相似比可求． 【详解】解：∵矩形矩形， ∴相似多边形的周长之比相似比， 又∵矩形的周长为， ∴矩形的周长为． 故答案为：． 变式2-3．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm，宽为8dm，上下边框的宽度都为xdm，左右边框的宽度都为ydm；若内边框矩形和外边框矩形相似，则x，y应符合的条件是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似多边形的性质．直接根据相似多边形的性质列式求解即可． 【详解】解：如图， ∵矩形中，， ∴， 又∵矩形中，，， ∴， 又∵矩形矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2-4．（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图，四边形四边形．若，，，，，，求线段的长和的大小． 【答案】27，． 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据四边形内角和得出，根据对应边成比例得出的长． 【详解】解：∵四边形四边形 ， ∴，，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【考点三 选择或补充条件使两个三角形相似】 例3．（23-24九年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，已知，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．本题先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答． 【详解】解：∵， ∴， 添加，其夹角不一定相等，不能判定，故选项A符合题意； 添加，可用两边及其夹角法判定，故选项B不符合题意； 添加，可用两角法判定，故选项C不符合题意； 添加，可用两角法判定，故选项D不符合题意； 故选：A． 变式3-1．（23-24九年级上·上海·期中）在中，点、分别在边、上，如果，，那么下列条件中能够判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线的判定等，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出，根据相似推出，根据平行线的判定得出即可． 【详解】如图： 故A选项符合题意． 其它选项都不能判断出即不能判断出． 故选：A． 变式3-2．（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）已知在和中，，则不能使两直角三角形相似的条件为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形相似的判定定理，根据题中条件，由各个选项中添加的条件，利用两个直角三角形相似的判定定理验证即可得到答案，熟记直角三角形相似的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：A、由，加上，利用两个三角形相似的判定定理：两个角对应相等的两个三角形相似确定和相似，不符合题意； B、由，加上，利用两个三角形相似的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似确定和相似，不符合题意； C、在和中，由，确定、为两个直角三角形的斜边，利用两个直角三角形相似的判定定理：直角边及斜边对应成比例的两个直角三角形相似确定和相似，不符合题意； D、根据两个直角三角形相似的判定定理，添加，无法确定和相似，符合题意； 故选：D． 变式3-3．（2023·宁夏银川·模拟预测）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，，若使，则还需添加一个条件是 ．（只需填一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定，属于中考常考题型． 根据两角对应相等两三角形相似判断即可． 【详解】解：若添加：． 又∵， ∴， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 变式3-4．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，能判定的有 ． ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，已知有公共角，①②可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定，③可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定，④对应边成比例但无法得到其夹角相等，即无法判断两个三角形相似， 熟练掌握相似三角形的几种判定方法是解题的关键． 【详解】解：由图可得：， ， ， ①∵， ∴， ∴， 故①能判定； ②∵， ∴， ∴， 故②能判定； ③∵， ∴， 即两组对应边的比相等且相应的夹角相等， ∴， 故③能判定； ④， 对应边成比例但无法得到其夹角相等， 故④不能判定； 故答案为：①②③． 【考点四 根据图形数据判断两个三角形相似】 例4．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：设各个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为1，，， A、因为三边分别为：，，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似； B、因为三边分别为：2，，，三边与已知三角形的各边对应成比例，，故两三角形相似； C、因为三边分别为：1，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似； D、因为三边分另为：2，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似， 故选：B． 变式4-1．（23-24九年级上·辽宁大连·阶段练习）数学课上，老师提出下面的问题：如图，在中，，请用直尺和圆规在上确定点D，使与相似．下面是四个学生的不同作法，根据作图痕迹可以判断，作法正确的是（    ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图、相似三角形的判定． 根据作图痕迹判断即可． 【详解】若使与相似， 则， 即是的垂线， 故选：C． 变式4-2．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在纸片中，，，将纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（　　） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．③④ 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：图①中，∵， ∴相似； 图②中，，不符合相似三角形的判定，不能推出和相似； 图③中，， ∴； 图④中，，不符合相似三角形的判定， 不能推出和相似； 综上所述，阴影三角形与原三角形相似的有①③，故A正确． 故选：A． 变式4-3．（22-23九年级上·山西阳泉·期末）如图是老师画出的，己标出三边的长度．下面四位同学画出的三角形与老师画出的不一定相似的是（    ）    A．  B．  C．  D   【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：A、由两组角相等的两个三角形相似可得画出来的三角形和相似，故选项不符合题意； B、因为，且，则可得画出来的三角形和相似，故选项不符合题意； C、因为，则可得画出来的三角形和相似，故选项不符合题意； D、知道两边和邻角，画出来的三角形不一定和相似，故选项符合题意； 故选：D． 变式4-4．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）下列条件中，不能判定与相似的是（　　） A．，，； B．，，，，； C．，； D．， 【答案】D 【分析】本题考查的是直角三角形相似的判定，根据相似三角形的判定方法逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：如图，    ∵，，， ∴， ∴，故A不符合题意； ∵，，，，， ∴， ∴， ∴；故B不符合题意； 如图，    ∵，， ∴， ∴即， ∴；故C不符合题意； ∵，，有一组角相等但是两边不是对应成比例，故两个三角形不相似． 故选D． 【考点五 相似三角形的证明】 例5．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在 中，，，垂足为，为上一点，连接 ，作 交 于 ．求证：．    【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，由，得到，求出，根据相似三角形的判定得到结论即可，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 变式5-1．（23-24九年级上·上海·期中）如图，已知：在中，点、分别在边、上，且．    (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两三角形相似的判定方法是解题的关键． （1）首先证明出，得到，然后结合，即可证明出； （2）由，得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 变式5-2．（23-24九年级上·广西·期中）在矩形中，E为边上一点，把沿翻折，使点D恰好落在边上的点F处． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定： （1）根据四边形是矩形，得出，由翻折可得：，可以得出，即可证出结论； （2）由翻折可得：，根据勾股定理得出，利用得出，求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 由翻折的性质得：， ∴，， ∴， ∴； （2）解：由翻折的性质得：， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由（1）， ∴，即， ∴． 变式5-3．（2023九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，为延长线上一点，，，过作，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】()根据两个角对应相等即可证明； () 根据得到，由，对应线段成比例可得，再结合() ，对应边成比例即可求出的长度； 本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（）知， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 答：的长度为． 【考点六 确定相似三角形的对数】 例6．（21-22九年级上·陕西汉中·期中）如图，、分别是的边、上的高，那么图中相似三角形的对数为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据两角对应相等，两三角形相似得出相似三角形的对数，注意做到不重不漏． 【详解】解：∵、分别是的边、上的高， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上：图中相似三角形的对数为6； 故选D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键． 变式6-1．（21-22九年级上·河南洛阳·期末）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥CB，两两相似的三角形对数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由垂线的定义得出∠ADC＝∠BDA＝90°，由∠BAC＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，得出△ADC∽△BAC，同理：△ADB∽△CAB，即可得出△ADC∽△BAC∽△BDA； 【详解】解：∵AD⊥CB， ∴∠ADC＝∠BDA＝90°， ∴∠BAC＝∠ADC＝90° 又∵∠C＝∠C， ∴△ADC∽△BAC， 同理：△ADB∽△CAB， ∴△ADC∽△BAC∽△BDA， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定,熟练掌握相似三角形的判定定理，并能进行推理论证是解决问题的关键． 变式6-2．（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，的高、相交于，连结，则图中相似三角形的对数是（    ） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，圆的有关知识，用相似三角形的判定方法可判定．，，即可求解 【详解】解：∵的高、相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴． 同理可得， ∴共6对， ∵， ∴点B，点C，点D，点E四点共圆∶ ∴， ， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴ 故选D． 变式6-3．（22-23九年级上·安徽滁州·期中）如图，已知等边，点分别是边上的动点，，则图中相似的三角形的对数是(　　) A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】D 【分析】依据等边三角形的性质，结合条件，证明，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”，即可找到相似三角形． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴且， 又∵， ∴； ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴且， 又∵， ∴， ∵， ∴， 综上所述，图中相似的三角形的对数是6对． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及等边三角形的性质的运用，关键是掌握有两组角对应相等的两个三角形相似． 【考点七 找格点中的相似三角形】 例7．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图是由8个小正方形组成的网格，则在，，，中，与相似的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】 本题考查了勾股定理与网格问题，相似三角形的判定；根据勾股定理求得各边长，根据三边对应成比例的两个三角形相似，即可求解． 【详解】解：依题意，, ， ， ∴，， ∴， 而，，与不相似， 故选：B． 变式7-1．（2023·上海杨浦·三模）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】取的中点，再取网格点M、N，连接格点，结合中位线的性质可证明，，，再根据，，，，可得，结合，有，即可获得答案． 【详解】解：如图，取的中点，再取网格点M、N，连接格点，    则，且， ∴，， ∴． 同理可证：，． ∵，，，， ∴， ∴，， ∴， 综上，满足条件的三角形有4个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了中位线的性质、相似三角形的判定等知识，熟练掌握相似三角形的判定条件是解答本题的关键． 变式7-2．（23-24九年级上·河北保定·期中）如图是由40个边长为1的等边三角形组成的网格图，的三个顶点和线段的两个端点都在等边三角形的顶点上，若点F也在等边三角形的顶点上，能使与相似的点F有（    ）个．    A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．分类讨论是解题的关键． 由题意知，中，，，，，，，，与相似，分，，，6种情况求解即可． 【详解】解：由题意知，中，，，，，，， ∴， 与相似，分，，，6种情况求解： ①当时，，即，解得，，不符合点F也在等边三角形的顶点，舍去； ②当时，，即，解得，，此时存在一个点F也在等边三角形的顶点，如图；    ③当时，，即，解得，，不符合点F也在等边三角形的顶点，舍去； ④当时，，即，解得，，此时存在一个点F也在等边三角形的顶点，如图； ⑤当时，，即，解得，，此时存在一个点F也在等边三角形的顶点，如图； ⑥当时，，即，解得，，此时存在一个点F也在等边三角形的顶点，如图； 综上所述，共有4个点F； 故选：C． 变式7-3．（20-21八年级下·江苏苏州·阶段练习）下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的△ABC相似的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴该三角形为直角三角形，且两直角边的比为， 第1个图形中，有两边为2，4，且为直角三角三角形，则两直角边的比为2，故第1个图形中三角形与△ABC相似； 第2个图形中，三边长分别为，，， ∵， 则该三角形是直角三角形，两直角边的比为1，故第2个图形中三角形不与△ABC相似； 第3个图形中，三边长分别为，，， ∵， 则该三角形不是直角三角形，故第3个图形中三角形不与△ABC相似； 第4个图形中，三边长分别为，，， ∵， 则该三角形是直角三角形，两直角边的比为2，故第4个图形中三角形与△ABC相似； 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键． 变式7-4．（23-24九年级上·上海长宁·期中）在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与相似的格点三角形中，最大的三角形面积是 ．    【答案】4 【分析】本题考查相似三角形的性质．根据相似三角形的性质，相似三角形中，最大的三角形的长边等于，画出这个相似三角形即可解决问题． 【详解】图中所有与相似的格点三角形中，最大的如图所示：    ． 故答案为：4． 【考点八 利用相似三角形的性质求解】 例8．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形（多边形）的高的比等于相似比是解答此题的关键．根据相似三角形的性质可直接得出结论． 【详解】解：∵和分别是和的高，若， ∴其相似比为， ∴与的面积的比为． 故选：A． 变式8-1．（2024·云南玉溪·三模）如果，与的面积分別是25和16，其中的最短边的长度是5，那么的最短边的长度是（    ） A．16 B．25 C．5 D．4 【答案】D 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行计算即可解答．本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：，与的面积分別是25和16 与的相似比为：， 的最短边的长度是5， 的最短边的长度是4， 故选：D． 变式8-2．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）若三角形三边的长度之比为4：4：7，与它相似的三角形的最长边为，则最短边为 ． 【答案】12 【分析】本题考查相似三角形的性质，关键是设出与它相似的三角形的三边，利用最长边构造方程． 根据相似三角形的性质，依题意设这个三角形三边为，确定，即可得出最短边长． 【详解】解：∵三角形三边之比为4：4：7， ∴与他相似的三角形的三边之比也为4：4：7， 设这个三角形三边为， ∵与它相似的三角形的最长边为， ∴， 则， 最短边长为， 故答案为：12． 变式8-3．（2024·福建福州·模拟预测）已知，它们的面积比为，是的角平分线，是的角平分线． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关概念是解题关键． （1）根据，得到，再根据是的角平分线，是的角平分线，得到，即可证明； （2）根据相似三角形性质先求出相似比，然后进一步即可得出对应角平分线之比； 【详解】（1）证明：如图，是的角平分线，是的角平分线， 则是的角平分线，是的角平分线， ， ， ， ， ； （2）解：，且， ， ， ． 变式8-4．（23-24九年级上·湖南益阳·期末）如图，中，，，D为边上一点，． (1)求证：； (2)如果，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质， （1）根据对应边成比例且夹角相等判定相似； （2）利用相似三角形的性质即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴ ∴， ∵， ∴． 变式8-5．（23-24九年级下·北京·阶段练习）如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上的点D处（不与B、C重合），折痕为． (1)求证：； (2)若，，直接写出，的周长； (3)在（2）的条件下，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)14，10 (3) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）由等边三角形的性质、折叠的性质以及三角形外角的性质可得、即可证明结论； （2）有已知条件可得，由等边三角形的性质可得，再由折叠的性质可得，，最后根据三角形周长的定义即可解答； （3）根据相似三角形的性质列式求解即可． 【详解】（1）证明：∵等边三角形 ∴ ∵三角形折叠，使点A落在边上的点D处 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴． （2）∵， ∴ ∵等边三角形 ∴ ∵三角形折叠，使点A落在边上的点D处 ∴， ∴的周长为： 的周长为：． （3）∵． 又∵的周长为：14，的周长为：10 ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点九 证明三角形对应线段成比例】 例9．（2023·上海松江·一模）如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由可证，得到，再由得到，即可证明； （2）由得到，得到，进而得到，即可得到． 【详解】（1）∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴； （2）∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形判定方法是解题的关键． 变式9-1．（2023九年级·全国·专题练习）如图，在中，点为边的中点，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】过点作的平行线，根据同位角相等，内错角相等，公共角得出，进而得出，由为中点，得出，然后由对顶角得出，得出对应边，由于，，得出，根据得出即可得出结论． 【详解】证明：过点作，交于点， ∴， 又∵为公共角， ∴， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即, ∵， ∴，即， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用，全等三角形的判定，找准对边作平行线构造相似三角形是解题的关键． 变式9-2．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点E在边上，与交于点O． (1)求证：； (2)若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，判定两三角形相似是解题关键， （1）证出，结合对顶角相等即可证明结论； （2）根据相似三角形性质证出即可证出结论． 【详解】（1）证明：在四边形中，， ， 恰好平分， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ，， ， ， ． 变式9-3．（23-24九年级上·河南周口·期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．    (1)如图 1，在 中， 直线 l 经过点A，BD⊥直线 l，CE⊥直线l，垂足分别为 D、E．求证： (2)组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢? 如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 中， D、A、E 三点都在直线l 上，并且有 ，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗? 若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)成立，证明见解析 【分析】（1）根据题意证明即可求解； （2）同理证明即可求解． 此题主要考查考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据两角相等得到三角形相似． 【详解】解：（1）证明：∵直线l，直线l， ∴． ∵，∴． 又∵，∴． 在和中，， ∴，∴． （2）成立． 证明：∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 【考点十 利用相似求坐标】 例10．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断． 【详解】解：在中，，，则是等腰直角三角形， ， ①、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ②、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ③、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ④、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； 故选：D．    变式10-1．（18-19八年级下·江苏苏州·期末）如图，已知点A（1，0），点B（b，0）（b＞1），点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的P点个数是（　　）    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用相似三角形的对应边成比例，分①△PAO≌△PAB，②△PAO∽△BAP两种情况分别求解即可. 【详解】∵点P的纵坐标为， ∴点P在直线y＝上， ①当△PAO≌△PAB时，AB＝b﹣1＝OA＝1，∴b＝2，则P(1，)； ②∵当△PAO∽△BAP时，PA：AB＝OA：PA， ∴PA2＝AB•OA， ∴＝b﹣1， ∴(b﹣8)2＝48， 解得 b＝8±4， ∴P(1，2+)或(1，2﹣)， 综上所述，符合条件的点P有3个， 故选D．    【点睛】本题考查了相似三角形的性质，正确地分类讨论是解题的关键. 变式10-2．（2021·黑龙江佳木斯·三模）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，已知点，，，是线段上一点，连接，若与相似，则的长为 ． 【答案】2或4 【分析】是一个直角三角形，若与相似，必须证明是直角三角形，再用相似三角形的性质即可求出点M的坐标． 【详解】如图， ∵A(1,4) ， C(3,0) ， D(0,3) ， ∴ ，，， ； ∴是直角三角形 ∵点M在x轴上，设点M的坐标是（x，0）， ∽ ∴ ∴=1 ∴ 当时，CM=2；当时CM=4， 故答案为：2或4． 【点睛】此题考查相似三角形的性质，熟悉掌握相似三角形的性质是解题的关键． 变式10-3．（20-21九年级上·全国·课后作业）如图，平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0）和B点（0，3），点C是AB的中点，点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是 ．    【答案】（2，0）或（，0） 【分析】设P（x，0），可表示出AP的长，分△APC∽△AOB和△ACP∽△AOB，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得P点的坐标． 【详解】解：∵A（4，0）和B点（0，3）， ∴OA=4，OB=3， ∴AB=5， ∵C是AB的中点， ∴AC=2.5， 设P（x，0）， 由题意可知点P在点A的左侧， ∴AP=4﹣x， ∵以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似， ∴有△APC∽△AOB和△ACP∽△AOB两种情况， 当△APC∽△AOB时，则，即，解得x=2， ∴P（2，0）； 当△ACP∽△AOB时，则，即，解得x=， ∴P（，0）； 综上可知P点坐标为（2，0）或（，0）． 故答案为：（2，0）或（，0）． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意分类讨论． 变式10-4．（22-23九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)2，3 (2) 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得； （2）先求出的长，再根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， 解得或， 的值是关于的一元二次方程的两个根，且， ， 故答案为：2，3． （2）解：由（1）可知，， ， ， ，， ， 解得， 又，且点在轴上， ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、相似三角形的性质、点坐标，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 一、单选题 1．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在中，点分别是上的点，连接，，，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．2 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．根据已知条件证明，利用相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，在中，，是边上一点，过作交边于点，交的延长线于点，连接．如果，，，那么的值是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明，由相似三角形的性质得出，再由三角形面积公式计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C． 3．（2023·贵州·模拟预测）如图，在的正方形网格中，和的顶点都在正方形的格点处，则与的周长之比是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，相似三角形的判定；根据勾股定理求得各边长，根据三边对应成比例的两个三角形相似，即可求解． 【详解】解：设每个正方形网格的边长都为1， 则在中， ， ， ， 在中， ， ， ， ，，， ∴， ∴， 与的周长之比为：， 故选：． 4．（23-24九年级下·湖南永州·开学考试）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据可得，再根据相似三角形的判定方法解答． 【详解】解：， ， ， A，添加后，满足两组对角相等，可判定，不合题意； B，添加后，满足两组对角相等，可判定，不合题意； C，添加后，可用两边及其夹角法判定，不合题意； D，添加后，不能判定，符合题意； 故选D． 5．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，点是等边三角形的重心，，是边上一点，当时，则的长为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形的重心性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形三线合一的性质和三角形的重心性质是解题的关键． 先由等边三角形的性质和三角形重心定义得，，是等边三角形的中线且，得出，再利用相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：∵点是等边三角形的重心，， ∴， ∵，是等边三角形的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6．（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）如图所示，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，E，F五个点均在格点上，， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 7．（2023·四川巴中·模拟预测）如图，在中，点，分别在边，上，且，则下列各式中一定正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由，，证明，根据性质即可求解，熟练掌握判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， 故选：． 8．（2023·贵州贵阳·模拟预测）如图，在如图所示的正方形网格中，和的顶点都在正方形的格点处，则和的面积比为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质．由勾股定理求得，，，的长度，从而可判定，利用相似三角形的性质即可求解． 法二：直接利用网格求面积即可． 【详解】解：法一：， ， ， ， ，，， ， ， ． 法二：由图可知：， ∴， 故选：D． 9．（2023·山东青岛·模拟预测）如图，在中，，将以点A为中心逆时针旋转得到，点D在边上，交于点F．下列结论不正确的是（    ） A． B．平分 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握旋转的性质，等边对等角等知识是解题的关键． 由旋转的性质得出，，，，进而得出，得出，得出平分，即可得出答案． 【详解】解：以点为中心顺时针旋转得到， ，，，， ， ， 平分， 故选项B正确；不符合题意； ， ， ， ∵， ∴， ， 故选项A错误；不符合题意； ， ， 、不符合题意； 故选：A． 10．（2023·云南大理·模拟预测）如图，在中两条中线、相交于点，记的面积为，的面积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 根据三角形的中位线得出，，根据平行线的性质得出三角形相似，根据相似三角形的性质求出即可． 【详解】解：和是的中线， ，， ，， ， 故选：A． 二、填空题 11．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）已知的三条边分别为、、，若的最短边为3，则最长边为 ． 【答案】5 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：设最长边为x， 的三条边分别为、、，最短边为3， ， 解得， 即最长边为5， 故答案为：5． 12．（23-24九年级上·天津·期末）如图，已知矩形的顶点分别落在x轴，y轴上，，则点C的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线是解题的关键．过作轴于，根据矩形的性质得到，根据余角的性质得到，根据相似三角形的性质得到，，即可求解． 【详解】解：过作轴于， 四边形是矩形． 故答案为：． 13．（2023·北京海淀·模拟预测）如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，利用矩形的性质和勾股定理可得，进而得，再由得到，即可得，进而可求出的长，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴，，， ∵是边的中点， ∴， 在中，，， ∴ 在中，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（23-24九年级上·广东清远·期中）若，且面积之比为，则相似比为 ． 【答案】/ 【分析】考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：，且面积之比为，则相似比为， 故答案为：． 15．（23-24九年级上·河南南阳·期中）  如图，中，，，，点、分别为、上的动点，将沿折叠，使点们对应点恰好落在边上，当与相似时，的长为 ．    【答案】或 【分析】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定，折叠的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键，注意与相似要分情况讨论．根据直角三角形的性质可得，当与相似时，设，则，分两种情况：①，②，分别列方程求解即可． 【详解】解：中，，，， ， 当与相似时， 点始终在边上， 根据折叠， 设，则， 分两种情况： ①， 此时， ，即， 解得， ， ②， 此时， ，即， 解得， ， 综上，的长为或， 故答案为：或． 三、解答题 16．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，点D在边上，连接，，交边于点E，交延长线于点F，且 (1)求证： ； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，等角对等边，熟练掌握运用相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）先根据“两边对应成比例且夹角相等”得，可得，再得出，然后根据“两角相等的两个三角形相似”得出答案； （2）根据相似三角形的对应边成比例得，再结合，可得，然后根据相似三角形的对应角相等得，即可得出，再代换后得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴. ∵， ∴， ∴. 又∵， ∴， 即， ∴； （2）证明：∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．（23-24九年级上·上海·期中）如图，已知：点、在边上，点边上，且，．    (1)求证：； (2)如果，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质和判定， （1）根据平行线分线段成比例得到，然后结合即可得到，进而求解即可； （2）首先证明，然后结合得到，求出，作，垂足为点，然后得到，然后利用平行线分线段成比例得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵//， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 作，垂足为点， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，矩形中，，P点从A点出发沿边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒，连接交于点Q． (1)求证：； (2)求当t为何值时，． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，关键是掌握有两个角对应相等的三角形相似，相似三角形对应边成比例． （1）根据矩形的性质可得，根据平行线的性质可得，，进而可得判定； （2）首先证明，结合相似三角形的性质即可得到的值． 【详解】（1）证明∶四边形是矩形， （2）当时，； 解得∶， 即当时，． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 相似三角形的性质与判定（基础篇） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.探索并确认相似图形的性质，并能运用其性质解决简单问题. 2.理解并掌握相似三角形的有关概念； 3.掌握判定两个三角形相似的方法. 一、相似形 定义：形状相同的图形. 【补充说明】 1. 至少有两个图形，图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同； 2. 全等形是一种特殊的相似形； 3. 相似形与图形的大小、位置无关，与角度和方向也无关. 二、相似多边形 定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形. 相似多边形的对应边的比叫做相似比. 表示方法：两个相似多边形可以用符号“∽”表示，读作“相似于”. 【补充说明】 1. 相似多边形的三个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例； 2. 全等多边形得相似比是1，相似比是1的相似多边形是全等多边形； 3. 当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置. 三、相似三角形的性质与判定 相似三角形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似用符号“∽”，读作“相似于”. 相似三角形的判定方法： 1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2）两个三角形相似的判定定理： ①三边成比例的两个三角形相似； ②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ③两角分别相等的两个三角形相似． ④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似. 相似三角形的性质： 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3）相似三角形周长的比等于相似比. 4）相似三角形面积比等于相似比的平方. 判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求： 1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形； 2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例； 3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例； 4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或两边成比例． 【考点一 判断相似图形】 例1．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）下列图形中，不是相似图形的一组是（    ） A．  B．  C．  D．   变式1-1．（23-24九年级上·安徽六安·期末）下列多边形一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个平行四边形 C．两个正五边形 D．两个六边形 变式1-2．（23-24九年级上·山西晋中·期中）如图是杭州第19届亚运会的吉祥物“琮琮”，代表的是世界遗产良渚古城遗址，名字来源于文物玉琮．琮琮全身以黄色调为主，头部刻有“饕餮纹”，展示给人们一种不屈不挠、坚强刚毅的精神．文旅部门将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的（    ） A．图形的平移 B．图形的轴对称 C．图形的相似 D．图形的旋转 变式1-3．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．矩形都是相似图形 B．等边三角形都是相似三角形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．边长相等的菱形都相似 【考点二 利用相似多边形的性质求解】 例2．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，矩形的对称轴分别交于点，交于点．已知矩形与矩形相似，若，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D．1 变式2-1．（23-24九年级上·福建漳州·期末）美美在手工课上，按足球的标准比例做一个“迷你足球模型”．如图，足球的表面是由正五边形和正六边形组成，“迷你足球模型”表面的正六边形与实际足球表面的正六边形相比，其中不会发生变化的量是（    ）    A．正六边形的边长 B．正六边形的周长 C．正六边形的面积 D．正六边形各个内角的度数 变式2-2．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）.已知矩形相似于矩形，且相似比为2，若，，那么矩形的周长是 ． 变式2-3．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm，宽为8dm，上下边框的宽度都为xdm，左右边框的宽度都为ydm；若内边框矩形和外边框矩形相似，则x，y应符合的条件是 ． 变式2-4．（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图，四边形四边形．若，，，，，，求线段的长和的大小． 【考点三 选择或补充条件使两个三角形相似】 例3．（23-24九年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，已知，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（    ） A． B． C． D． 变式3-1．（23-24九年级上·上海·期中）在中，点、分别在边、上，如果，，那么下列条件中能够判断的是（     ） A． B． C． D． 变式3-2．（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）已知在和中，，则不能使两直角三角形相似的条件为（　　） A． B． C． D． 变式3-3．（2023·宁夏银川·模拟预测）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，，若使，则还需添加一个条件是 ．（只需填一个） 变式3-4．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，能判定的有 ． ①；②；③；④． 【考点四 根据图形数据判断两个三角形相似】 例4．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（    ） A． B． C． D． 变式4-1．（23-24九年级上·辽宁大连·阶段练习）数学课上，老师提出下面的问题：如图，在中，，请用直尺和圆规在上确定点D，使与相似．下面是四个学生的不同作法，根据作图痕迹可以判断，作法正确的是（    ） A．B． C．D． 变式4-2．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在纸片中，，，将纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（　　） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．③④ 变式4-3．（22-23九年级上·山西阳泉·期末）如图是老师画出的，己标出三边的长度．下面四位同学画出的三角形与老师画出的不一定相似的是（    ）   A．  B．  C．     变式4-4．（23-24九年级上·上海嘉定·期中）下列条件中，不能判定与相似的是（　　） A．，，；B．，，，，； C．，；D．， 【考点五 相似三角形的证明】 例5．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在 中，，，垂足为，为上一点，连接 ，作 交 于 ．求证：．    变式5-1．（23-24九年级上·上海·期中）如图，已知：在中，点、分别在边、上，且．    (1)求证：； (2)如果，求证：． 变式5-2．（23-24九年级上·广西·期中）在矩形中，E为边上一点，把沿翻折，使点D恰好落在边上的点F处． (1)求证：； (2)若，，求的长． 变式5-3．（2023九年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，为延长线上一点，，，过作，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求长度． 【考点六 确定相似三角形的对数】 例6．（21-22九年级上·陕西汉中·期中）如图，、分别是的边、上的高，那么图中相似三角形的对数为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 变式6-1．（21-22九年级上·河南洛阳·期末）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥CB，两两相似的三角形对数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 变式6-2．（21-22九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，的高、相交于，连结，则图中相似三角形的对数是（    ） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 变式6-3．（22-23九年级上·安徽滁州·期中）如图，已知等边，点分别是边上的动点，，则图中相似的三角形的对数是(　　) A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【考点七 找格点中的相似三角形】 例7．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图是由8个小正方形组成的网格，则在，，，中，与相似的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式7-1．（2023·上海杨浦·三模）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 变式7-2．（23-24九年级上·河北保定·期中）如图是由40个边长为1的等边三角形组成的网格图，的三个顶点和线段的两个端点都在等边三角形的顶点上，若点F也在等边三角形的顶点上，能使与相似的点F有（    ）个．    A．2 B．3 C．4 D．6 变式7-3．（20-21八年级下·江苏苏州·阶段练习）下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的△ABC相似的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式7-4．（23-24九年级上·上海长宁·期中）在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与相似的格点三角形中，最大的三角形面积是 ．    【考点八 利用相似三角形的性质求解】 例8．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（　　） A． B． C． D． 变式8-1．（2024·云南玉溪·三模）如果，与的面积分別是25和16，其中的最短边的长度是5，那么的最短边的长度是（    ） A．16 B．25 C．5 D．4 变式8-2．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）若三角形三边的长度之比为4：4：7，与它相似的三角形的最长边为，则最短边为 ． 变式8-3．（2024·福建福州·模拟预测）已知，它们的面积比为，是的角平分线，是的角平分线． (1)求证：； (2)求的值． 变式8-4．（23-24九年级上·湖南益阳·期末）如图，中，，，D为边上一点，． (1)求证：； (2)如果，求的长． 变式8-5．（23-24九年级下·北京·阶段练习）如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上的点D处（不与B、C重合），折痕为． (1)求证：； (2)若，，直接写出，的周长； (3)在（2）的条件下，求的长． 【考点九 证明三角形对应线段成比例】 例9．（2023·上海松江·一模）如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： (1)； (2)． 变式9-1．（2023九年级·全国·专题练习）如图，在中，点为边的中点，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点．求证：． 变式9-2．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点E在边上，与交于点O． (1)求证：； (2)若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 变式9-3．（23-24九年级上·河南周口·期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．    (1)如图 1，在 中， 直线 l 经过点A，BD⊥直线 l，CE⊥直线l，垂足分别为 D、E．求证： (2)组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢? 如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 中， D、A、E 三点都在直线l 上，并且有 ，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗? 若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【考点十 利用相似求坐标】 例10．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 变式10-1．（18-19八年级下·江苏苏州·期末）如图，已知点A（1，0），点B（b，0）（b＞1），点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的P点个数是（　　）    A．0 B．1 C．2 D．3 变式10-2．（2021·黑龙江佳木斯·三模）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，已知点，，，是线段上一点，连接，若与相似，则的长为 ． 变式10-3．（20-21九年级上·全国·课后作业）如图，平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0）和B点（0，3），点C是AB的中点，点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是 ．    变式10-4．（22-23九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 一、单选题 1．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在中，点分别是上的点，连接，，，若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．2 2．（23-24八年级下·上海青浦·期末）如图，在中，，是边上一点，过作交边于点，交的延长线于点，连接．如果，，，那么的值是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 3．（2023·贵州·模拟预测）如图，在的正方形网格中，和的顶点都在正方形的格点处，则与的周长之比是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24九年级下·湖南永州·开学考试）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，点是等边三角形的重心，，是边上一点，当时，则的长为（    ） A．1 B． C． D．2 6．（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）如图所示，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，E，F五个点均在格点上，， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·四川巴中·模拟预测）如图，在中，点，分别在边，上，且，则下列各式中一定正确的是（  ） A． B． C． D． 8．（2023·贵州贵阳·模拟预测）如图，在如图所示的正方形网格中，和的顶点都在正方形的格点处，则和的面积比为（    ）    A． B． C． D． 9．（2023·山东青岛·模拟预测）如图，在中，，将以点A为中心逆时针旋转得到，点D在边上，交于点F．下列结论不正确的是（    ） A． B．平分 C． D． 10．（2023·云南大理·模拟预测）如图，在中两条中线、相交于点，记的面积为，的面积为，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）已知的三条边分别为、、，若的最短边为3，则最长边为 ． 12．（23-24九年级上·天津·期末）如图，已知矩形的顶点分别落在x轴，y轴上，，则点C的坐标是 ． 13．（2023·北京海淀·模拟预测）如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为 ． 14．（23-24九年级上·广东清远·期中）若，且面积之比为，则相似比为 ． 15．（23-24九年级上·河南南阳·期中）  如图，中，，，，点、分别为、上的动点，将沿折叠，使点们对应点恰好落在边上，当与相似时，的长为 ．    三、解答题 16．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，点D在边上，连接，，交边于点E，交延长线于点F，且 (1)求证： ； (2)求证：． 17．（23-24九年级上·上海·期中）如图，已知：点、在边上，点边上，且，．    (1)求证：； (2)如果，，求的值． 18．（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，矩形中，，P点从A点出发沿边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒，连接交于点Q． (1)求证：； (2)求当t为何值时，． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$