第11讲 平行线分线段成比例（10考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第11讲 平行线分线段成比例 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.了解平行线分线段成比例定理的证明，掌握定理的内容； 2.能应用定理内容证明线段成比例等问题，并会进行有关计算. 平行线分线段成比例定理: 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. ①已知l3∥l4∥l5, 直线l1、l2分别与l3，l4，l5交于点A、B、C和点D、E、F则有： 等 ②把平行线分线段成比例的定理运用到三角形中，会出现下面的两种情况： 推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例． 【考点一 由平行线分线段成比例判断比例式正误】 例1．（21-22九年级上·广西梧州·期中）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1-1．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）如图，已知，那么下列结论成立的是（　　） A． B． C． D． 变式1-2．（23-24九年级上·山东青岛·期末）已知线段m，n，p，q，则下列图形中线段的数量关系能得到的是（    ） A．B．C． D． 变式1-3．（2021·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在ABC中，点D在AB边上，点E在BC边上，过点D作DGBC，交AC于点G，过点E作EHAB，交AC于点H，DG的延长线与EH的延长线交于点F，则下列式子一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点二 平行线分线段成比例“A”字型求值】 例2．（2023·河南商丘·模拟预测）如图，在中，点，分别在，边上，，若，则（   ） A． B． C． D． 变式2-1．（2023·江苏常州·模拟预测）如图，中，点D、E分别在线段上，，，若，则的长是（    ） A．6 B． C． D．8 变式2-2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 变式2-3．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，王林用带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点在数轴上表示的数是2，则点在数轴上表示的数是（    ） A． B．3 C．4 D．5 变式2-4．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，D、E、F分别是AB、BC上的点，且，，，，求EF和FC的长． 【考点三 平行线分线段成比例“X”字型求值】 例3．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点，，和，，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 变式3-1．（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，已知，交、、于点A、B、C，交、、于点D、E、F，，，则（    ） A．12 B．18 C．24 D．26 变式3-2．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点和，已知，若，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．5 D．6 变式3-3．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知：如图，，，，，，求，的长． 【考点四 平行线分线段成比例“8”字型求值】 例4．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，已知两条直线被三条平行线所截，，，，则的值为（　 　） A． B． C． D． 变式4-1．（23-24九年级上·河南郑州·期中）已知线段，求作线段，使，则下列作图中作法正确的是（    ） A． B． C． D． 变式4-2．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，珍珍在横格作业纸（横线等距）上画了个“”，与横格线交于，，，，五点，若线段，则线段（    ） A． B． C． D． 变式4-3．（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）如图，在平行四边形中E为的中点，F为上一点，与交于点H， ，则的长为（    ） A． B． C． D． 变式4-4．（23-24九年级上·广西崇左·期中）如图，已知，它们依次交直线、、于点A、B、C和点D、E、F和点Q、H、P，与相交于的中点G，若． (1)如果，求的长； (2)在（1）的条件下，如果，求的长． 【考点五 平行线分线段成比例“#”字型求值 】 例5．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，直线，直线m，n与a，b，c分别交于点A，B，C，D，E，F，若，则的值是（　　） A． B． C． D． 变式5-1．（2023·四川成都·三模）如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（　　） A． B． C．5 D．9 变式5-2．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）如图，，如果，，，那么的长是 ． 变式5-3．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，若直线，它们依次交直线于点和点． (1)如果，求的长； (2)如果，求的长． 【考点六 平行线分线段成比例与三角形中位线的综合】 例6．（22-23九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，是的中位线，点F在线段上，，连接交于点E，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 变式6-1．（22-23九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知梯形中，，对角线与中位线交于点，如果，，那么 ． 变式6-2．（2020·四川南充·三模）如图， 是的中位线， 是的中点，射线与交于点，与的延长线交于点．下列结论：①；②； ③；④，正确的有 ．(填序号．) 变式6-3．（2023·山西运城·二模）请阅读下列材料，非完成相应的任务． 利用辅助平行线求线段的比 三角形的中位线定理是三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．平行线分线段成比例定理是两条平行线被两条直线所截，截得的线段对应成比例．有些几何题，若题中出现了平行线，我们可以直接利用这两个定理求出两线段的比值，而有些几何题，题中没有平行线这样的条件，那么我们可以通过作辅助平行线，然后再利用这两个定理加以解决． 举例：如图1，是的中线，，的延长线交于点F． 求的值． 下面是该题的部分解题过程： 解：如图2，过点D作交于点H． ∵是的中线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， …      任务： (1)请补充材料中剩余部分的解答过程． (2)上述解题过程主要用的数学思想是______．（单选） A．方程思想    B．转化思想    C．分类思想    D．整体思想 (3)请你换一种思路求的值，直接写出辅助线的作法即可． 【考点七 多次利用平分线分线段成比例求值】 例7．（21-22九年级上·上海·期中）如图，在中，是中线，是重心，过点作，分别交、于点、，若，则 ． 变式7-1．（2021·上海虹口·一模）如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为 ．    变式7-2．（21-22九年级上·上海·期中）如图，在中，是边上的中线，G是重心，，交于点E，则 ．    变式7-3．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）如图，点G是的重心，DE过点G，，，那么BF：CF= ． 【考点八 平行线分线段成比例与三角形的重心的综合】 例8．（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）如图，，于点D，M是的中点，交于点P，．若，求的长．    变式8-1．（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在和中，D、E、F分别在线段上，连接，，求的长．    变式8-2（21-22九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，在中，点为边上一点，连接，点为中点，延长交边于点，求证：． 变式8-3．（20-21九年级上·河南郑州·期中）如图，点D是边上一点，连接，过上点E作，交于点F，过点F作交BC于点G，已知，． (1)求的长； (2)若，在上述条件和结论下，求的长． 【考点九 平行线分线段成比例的常用辅助线之作平行线】 例9．（21-22八年级下·广东深圳·期末）如图，AD是△ABC的中线，点E为AD的中点，连接BE并延长，交AC于点F，AF＝AC．求证：． 变式9-1．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，M是的中点，的延长线交于N．求证：．    变式9-2．如图，是的中线． (1)若为的中点，射线交于点，求； (2)若为上的一点，且，射线交于点，求 ． 变式9-3．（23-24九年级上·广东深圳·期中）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图1，如果一条直线与的三边或它们的延长线交于三点，那么一定有． 下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程： 证明：如图2，过点作，交的延长线于点，则有，， ∴， ． 请用上述定理的证明方法解决以下问题：       （1）如图3，三边的延长线分别交直线于三点，证明：． 请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题： （2）如图4，等边的边长为3，点为的中点，点在上，且与交于点，试求的长． （3）如图5，的面积为4，F为中点，延长至，使，连接交于，求四边形的面积． 变式9-4．（2023·江苏盐城·二模）【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 【初步体验】 （1）.如图1，在中，点D在上，．若，，，则 ， ； （2）.已知，如图1，在中，且． 求证：． 证明：过点E作的平行线交于点F． ……………… 请依据相似三角形的定义（如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似）和上面的基本事实，补充上面的证明过程； 【深入探究】 （3）.如图2，如果一条直线与的三边或其延长线交于D、F、E点，那是否为定值？若是；若不是，请说明理由； （4）.如图3，在中，D为的中点，，则 ． 【考点十 平行线分线段成比例的常用辅助线之作垂线】 例10．（2024·江苏扬州·二模）如图，在中，，点M在边上，线段沿着过M的直线折叠，点C恰巧落在边上的点N处．如果，，那么a与b满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 变式10-1．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，，，，的平分线交于点，与的垂线相交于点，则为（    ） A． B． C． D． 变式10-2．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期末）（1）数学张老师在数学活动课上出示了一道探究题： 如图，在和中，，，B，C，E三点在同一直线上，A，D两点在同侧，若，求证：． 张老师分别从问题的条件和结论出发分析这道探究题： ①如图1，从条件出发：过A作交于M，过D作交于N，依据等腰三角形的性质“三线合一”分析与之间的关系，可证得结论； ②如图2，从结论出发：过D作交于P，依据三角形全等的判定，证明，可证得结论； 请你运用其中一种方法，解决上述问题． （2）小明同学经过对探究题及张老师分析方法的思考，提出以下问题： 如图3，在中，，在中，，B，C，E三点在同一直线上，A，D两点在同侧，且A，D，E三点在同一直线上，若，，的面积为7，求的长． （3）在小明同学的问题得到解决后，张老师针对之前的解题思路提出了下面问题： 如图4，在四边形中，，，点E为中点，连接，若，，，求的长． 变式10-3．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，M为的中点，点D在上，以点A为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接． (1)比较与的大小；用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (2)过点M作的垂线，交于点N，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 一、单选题 1．（2024·辽宁阜新·三模）如图，中，，，，，则的长度为（    ） A．2 B．6 C．3 D．4 2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连接并延长交的延长线于点F，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·广东深圳·期末）一段加固后的护栏如图所示，该护栏竖直部分是由等距（任意相邻两根木条之间的距离相等）且平行的木条构成．已知，则的长度为（　　） A． B． C． D． 4．（2023·贵州遵义·模拟预测）如图，中，是中点，是的平分线，交于．若，，则的长为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 5．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，直线，直线交，，于点，，；直线交，，于点，，，若，，则的长为(  ) A．2 B．4 C．5 D．10 6．（23-24九年级上·山西晋中·期末）如图，已知直线，直线，与直线，，分别相交于点，，，，，，且，，，则的长为（   ）    A．6 B． C． D． 7．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，直线，直线分别交，，于点A，，，直线分别交，，于点，，，与相交于点，则下列式子不正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，点为的重心，，，连接并延长交于点，作于点，过点作交于点，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 9．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，，，，则的长为（　　） A．6 B．8 C．9 D．10 10．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点在的边上，．则下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 11．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，与相交于点，且，如果，，，那么 ．    12．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，交于点，，，，当 时，可与平行． 13．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）已知，如图，点、和、分别在的边、上，且，若，则 ． 14．（23-24九年级上·浙江·期末）作业本中有一道题：“如图，在中，点D为的中点，点E在上，且，，交于点F，求的值”，小明解决时碰到了困难，哥哥提示他过点E作，交于点G．最后小明求解正确，则的值为 ． 15．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，．则线段 ． 三、解答题 16．（23-24九年级上·广东梅州·期中）已知：如图，点D、F是的边上的两点，满足，连接，过点F作，交边于E，连接．求证：． 17．（2023·河北石家庄·模拟预测）阅读材料： 角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则． 下面是这个定理的部分证明过程： 证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E．…… 解决问题： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余过程； (2)如图3，在中，是角平分线，，，，求的长． 18．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，是的中线，为上任意一点，连接并延长，交于点，连接并延长，交于点，连接．求证：． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 平行线分线段成比例 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.了解平行线分线段成比例定理的证明，掌握定理的内容； 2.能应用定理内容证明线段成比例等问题，并会进行有关计算. 平行线分线段成比例定理: 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. ①已知l3∥l4∥l5, 直线l1、l2分别与l3，l4，l5交于点A、B、C和点D、E、F则有： 等 ②把平行线分线段成比例的定理运用到三角形中，会出现下面的两种情况： 推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例． 【考点一 由平行线分线段成比例判断比例式正误】 例1．（21-22九年级上·广西梧州·期中）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理，在两组平行线里面，通过，，逐项判断，得出结论． 【详解】∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴. 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题，解题的关键是找准对应线段，准确列出比例式，推理论证． 变式1-1．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）如图，已知，那么下列结论成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题关键．根据平行线分线段成比例即可解答． 【详解】解：， ， 故A，C，D不正确， 故选：B． 变式1-2．（23-24九年级上·山东青岛·期末）已知线段m，n，p，q，则下列图形中线段的数量关系能得到的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定，平行线分线段成比例的应用，根据平行线分线段成比例列出比例式，再化为等积式即可判断． 【详解】解：A选项： 由同位角相等可得平行线， ∴，则，故A不符合题意； B选项： 由同位角相等可得平行线， ∴，则，故B不符合题意； C选项： 由内错角相等可得平行线， ∴，则，故C不符合题意； D选项： 由内错角相等可得平行线， ∴，则，故D符合题意； 故选D 变式1-3．（2021·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在ABC中，点D在AB边上，点E在BC边上，过点D作DGBC，交AC于点G，过点E作EHAB，交AC于点H，DG的延长线与EH的延长线交于点F，则下列式子一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例的性质进行逐一判断即可． 【详解】解：∵DGBC， ∴，故A选项错误； ∵DGBC， ∴，故B选项错误； ∵EHAB， ∴，故C选项正确； ∵EHAB， ∴，故D选项错误． 故选：C． 【点睛】此题主要考查线段的比，解题的关键是熟知平行线分线段成比例的性质． 【考点二 平行线分线段成比例“A”字型求值】 例2．（2023·河南商丘·模拟预测）如图，在中，点，分别在，边上，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理得到，然后根据比例的性质求的值． 【详解】解：∵， ， ． 故选：B． 变式2-1．（2023·江苏常州·模拟预测）如图，中，点D、E分别在线段上，，，若，则的长是（    ） A．6 B． C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是理解． 【详解】解：， ，即 ， ， ， ， ， 故选：C． 变式2-2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例进行求解即可． 【详解】解：五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成， ， 即， 解得：， 故选：C． 变式2-3．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，王林用带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点在数轴上表示的数是2，则点在数轴上表示的数是（    ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，以及数轴上两点之间的距离，根据平行线分线段成比例定理建立等式并进行计算即可． 【详解】解：由图可知，点在直尺的0刻度上，点在直尺的刻度上，直尺的3刻度表示的数为8，图中的虚线相互平行， 点在数轴上表示的数是2， 设点在数轴上表示的数为， ，即， 解得：， 即点在数轴上表示的数为5， 故选：D． 变式2-4．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，D、E、F分别是AB、BC上的点，且，，，，求EF和FC的长． 【答案】；． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例定理，由得，可计算出，则，然后再由得到，可计算出，所以． 【详解】解：∵， ，即， ， ， ∵， ，即， ， ． 【考点三 平行线分线段成比例“X”字型求值】 例3．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点，，和，，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入计算即可，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 变式3-1．（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，已知，交、、于点A、B、C，交、、于点D、E、F，，，则（    ） A．12 B．18 C．24 D．26 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，根据，可得，从而即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴． 故选：C． 变式3-2．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点和，已知，若，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，根据题意可得，设，则，由此即可求解，掌握平行线的分线段成比例，比例的性质，解方程的方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，，设，则， ∴， 解得，， ∴的长为， 故选：． 变式3-3．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知：如图，，，，，，求，的长． 【答案】，． 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理即可解决问题，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【考点四 平行线分线段成比例“8”字型求值】 例4．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，已知两条直线被三条平行线所截，，，，则的值为（　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例，解题关键是写出对应的比例关系式．根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例得到，代入数据即可得解． 【详解】 解：， ，即， ． 故选：A． 变式4-1．（23-24九年级上·河南郑州·期中）已知线段，求作线段，使，则下列作图中作法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例，由平行线分线段成比例，数形结合即可得到答案，熟记平行线分线段成比例是解决问题的关键． 【详解】解：A、由，在图中，即，不满足题意； B、由，在图中，即，满足题意； C、由，在图中，即，不满足题意； D、由，在图中，即，不满足题意； 故选：B． 变式4-2．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，珍珍在横格作业纸（横线等距）上画了个“”，与横格线交于，，，，五点，若线段，则线段（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例，过点作于点，延长交于点，根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点， ∴， ∵作业纸中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴ 故选：C． 变式4-3．（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）如图，在平行四边形中E为的中点，F为上一点，与交于点H， ，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，延长交的延长线于点G．证明，得出，求出，根据平行线分线段成比例定理，得出，代入求出结果即可． 【详解】解：延长交的延长线于点G，如图所示：    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得：，经检验符合题意． 故选：C． 变式4-4．（23-24九年级上·广西崇左·期中）如图，已知，它们依次交直线、、于点A、B、C和点D、E、F和点Q、H、P，与相交于的中点G，若． (1)如果，求的长； (2)在（1）的条件下，如果，求的长． 【答案】(1)4，14 (2)15 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出是解决问题的关键． （1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出，即可求出的长，得出的长； （2）由平行线分线段成比例定理，得出，由平行线分线段成比例定理得出，再代入求得结果． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴； （2）∵点G是的中点，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 【考点五 平行线分线段成比例“#”字型求值 】 例5．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，直线，直线m，n与a，b，c分别交于点A，B，C，D，E，F，若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，根据得到，由即可进一步得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 变式5-1．（2023·四川成都·三模）如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（　　） A． B． C．5 D．9 【答案】A 【分析】 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】 解：， ， ，，， ， ， 解得：， 故选：A． 变式5-2．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）如图，，如果，，，那么的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由得到，即可求出，进而得到的长，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式5-3．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，若直线，它们依次交直线于点和点． (1)如果，求的长； (2)如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理； （1）由平行线分线段成比例定理得到：：，代入有关数据，即可； （2）由平行线分线段成比例定理推出：：：，得到：：，即可求出长，得到的长． 【详解】（1）解：， ：：， ，，， ：：， ； （2）∵， ：：， ：：， ：：， ， ， ． 【考点六 平行线分线段成比例与三角形中位线的综合】 例6．（22-23九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，是的中位线，点F在线段上，，连接交于点E，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A．根据中位线性质得出，根据平行线分线段成比例定理，即可判断A正确； B．根据中位线的性质得出，，根据，得出，即可判断B正确； C．根据，，即可判断C错误； D．根据，，即可判断D正确． 【详解】解：A．∵是的中位线， ∴，，， ∴，故A正确，不符合题意； B．∵， ∴点E为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； C．∵M为的中点， ∴， ∵， ∴，故C错误，符合题意； D．∵，， ∴，故D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中位线的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 变式6-1．（22-23九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知梯形中，，对角线与中位线交于点，如果，，那么 ． 【答案】/3.5 【分析】根据梯形中位线的性质得到，因为，，则，在根据平行线分线段成比例得到是的中点，从而利用三角形中位线的性质即可得到即可确定答案． 【详解】解：梯形中，，梯形的中位线为， ，， ，， ， ，是的中点， 由平行线分线段成比例得到， ， 为的中位线，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查求线段长，涉及梯形中位线的性质、平行线分线段成比例、三角形中位线的判定与性质，熟练掌握中位线的性质及平行线分线段成比例是解决问题的关键． 变式6-2．（2020·四川南充·三模）如图， 是的中位线， 是的中点，射线与交于点，与的延长线交于点．下列结论：①；②； ③；④，正确的有 ．(填序号．) 【答案】②③ 【分析】由题意可知，，根据平行截线求相关线段的长或比值可判断①；由题意得出与联立可得，由此可判断②；由平行截线求相关线段的长或比值及等量代换可判断③；连接．设，根据面积可判断④． 【详解】解：是的中位线， 是的中点， 又 , ① ， ∴． ∴①错误 ② 又， 由两式相减，得 ∴． ∴． ∴②正确 ③ ∴ ∴③正确 ④连接．设，可得其他三角形面积如图 ∴，∴④错误 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了平行截线求相关线段的长或比值、全等三角形的判定及性质、三角形中位线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 变式6-3．（2023·山西运城·二模）请阅读下列材料，非完成相应的任务． 利用辅助平行线求线段的比 三角形的中位线定理是三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．平行线分线段成比例定理是两条平行线被两条直线所截，截得的线段对应成比例．有些几何题，若题中出现了平行线，我们可以直接利用这两个定理求出两线段的比值，而有些几何题，题中没有平行线这样的条件，那么我们可以通过作辅助平行线，然后再利用这两个定理加以解决． 举例：如图1，是的中线，，的延长线交于点F． 求的值． 下面是该题的部分解题过程： 解：如图2，过点D作交于点H． ∵是的中线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， …      任务： (1)请补充材料中剩余部分的解答过程． (2)上述解题过程主要用的数学思想是______．（单选） A．方程思想    B．转化思想    C．分类思想    D．整体思想 (3)请你换一种思路求的值，直接写出辅助线的作法即可． 【答案】(1)见解析 (2)B (3)见解析 【分析】（1）通过过点D作交于点H．根据的中线的定义即可得到，根据平行线分线段成比例即可得到与，根据即可得到，进一步即可求出答案；Ｄ （2）由上述解题过程即可得到求的值转化为了求与的值，通过转化即可求出答案，即可判断出答案； （3）通过过点D作交于点M，根据的中线的定义即可得到，进一步得到，根据平行线分线段成比例即可得到与，根据，即可得到，进一步即可求出答案． 【详解】（1）∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）上述解题过程主要用的数学思想是转化思想 故选B （3）解：如图，过点作交于点． ∵是的中线， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴    【点睛】本题考查利用辅助平行线求线段的比，作出辅助线，利用平行线分线段成比例进行转化是解题关键． 【考点七 多次利用平分线分线段成比例求值】 例7．（21-22九年级上·上海·期中）如图，在中，是中线，是重心，过点作，分别交、于点、，若，则 ． 【答案】12 【分析】如图，运用平行线分线段成比例定理列出比例式：，根据AC=18，求出AF即可解决问题． 【详解】解：∵G是△ABC的重心， ∴AG=2DG，AD=3DG； ∵EF∥BC， ∴， ∵AC=18， ∴AF=12． 故答案为12． 【点睛】该题主要考查了三角形重心的性质、平行线分线段成比例定理等几何知识点及其应用问题；牢固掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 变式7-1．（2021·上海虹口·一模）如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为 ．    【答案】8 【分析】连接BG并延长交AC于H，根据重心的性质可得2，根据平行四边形的定义,可证四边形DECF是平行四边形，然后根据平行四边形的性质可得CE＝DF＝4，利用平行线分线段成比例定理列出比例式,即可求出BE. 【详解】解：连接BG并延长交AC于H，    ∵G为ABC的重心， ∴2， ∵DE∥AC，DF∥BC， ∴四边形DECF是平行四边形， ∴CE＝DF＝4， ∵GE∥CH， ∴2， ∴BE＝8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了三角形重心的性质，平行四边形的判定及性质,平行线分线段成比例定理，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键． 变式7-2．（21-22九年级上·上海·期中）如图，在中，是边上的中线，G是重心，，交于点E，则 ．    【答案】2 【分析】根据重心的概念得到，根据平行线分线段成比例定理解答． 【详解】解：是重心， ， ， ， 故答案为：2．      【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 变式7-3．（22-23九年级上·上海奉贤·期中）如图，点G是的重心，DE过点G，，，那么BF：CF= ． 【答案】 【分析】连接并延长，交于H，先根据重心的性质，得出，再由平行线分线段成比例定理，得出，． 【详解】 如图，连接并延长，交于H， ∵点G是的重心， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了重心的概念和性质以及平行线分线段成比例定理，难度中等，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 【考点八 平行线分线段成比例与三角形的重心的综合】 例8．（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）如图，，于点D，M是的中点，交于点P，．若，求的长．    【答案】 【分析】证明，结合，可得，，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点M是线段的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的中位线的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例的应用，熟记平行线分线段成比例并灵活运用是解本题的关键． 变式8-1．（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在和中，D、E、F分别在线段上，连接，，求的长．    【答案】9 【分析】由可得从而可得再由可得结果． 【详解】解:∵, ∴ ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 变式8-2（21-22九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，在中，点为边上一点，连接，点为中点，延长交边于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】过点D作DF∥BE交AC于F，利用平行线分线段成比例定理推理即可． 【详解】过点D作DF∥BE交AC于F， ∵点为中点， ∴AH=HD， ∵DF∥BE， ∴， ∴AE=EF， ∵DF∥BE， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是恰当作平行线，熟练运用平行线分线段成比例定理进行推理证明． 变式8-3．（20-21九年级上·河南郑州·期中）如图，点D是边上一点，连接，过上点E作，交于点F，过点F作交BC于点G，已知，． (1)求的长； (2)若，在上述条件和结论下，求的长． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）由，推出，由，推出，可得结论． （2）由，推出，可得结论． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握这个定理是关键． 【考点九 平行线分线段成比例的常用辅助线之作平行线】 例9．（21-22八年级下·广东深圳·期末）如图，AD是△ABC的中线，点E为AD的中点，连接BE并延长，交AC于点F，AF＝AC．求证：． 【答案】见解析 【分析】作EH∥AC交BC于H，根据三角形的中位线定理得到DH＝HC，即BH＝3HC，根据平行线分线段成比例定理证明结论． 【详解】证明：作EH∥AC交BC于H， ∵点E为AD的中点， ∴DH＝HC， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝DC，又DH＝HC， ∴BH＝3HC， ∵EH∥AC， ∴， ∴EF＝BF． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理和平行线分线段成比例定理，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半、正确作出辅助线是解题的关键． 变式9-1．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，M是的中点，的延长线交于N．求证：．    【答案】见解析 【分析】过D作交于N，证明，，即可证明结论． 【详解】证明：过D作交于N，如图所示：    ，， ∵M为的中点， ， ， 是边上的中线， ， ， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，正确作出辅助线是解题关键． 变式9-2．如图，是的中线． (1)若为的中点，射线交于点，求； (2)若为上的一点，且，射线交于点，求 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作，交于点．由得出，结合是的中线得出，由得出，结合为的中点得出，即可得解； （2）过点作，交于点．由得出结合得出，由（1）知，从而得出，进而得出，即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点． ，， ， 又是的中线， ， ． ， ， 又为的中点， ， ， ； （2）解：如图，过点作，交于点． ，， ， ， ，即， 由（1）知， ， ， ． 变式9-3．（23-24九年级上·广东深圳·期中）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图1，如果一条直线与的三边或它们的延长线交于三点，那么一定有． 下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程： 证明：如图2，过点作，交的延长线于点，则有，， ∴， ． 请用上述定理的证明方法解决以下问题：       （1）如图3，三边的延长线分别交直线于三点，证明：． 请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题： （2）如图4，等边的边长为3，点为的中点，点在上，且与交于点，试求的长． （3）如图5，的面积为4，F为中点，延长至，使，连接交于，求四边形的面积． 【答案】 （1）详见解析；（2）；（3） 【分析】(1) 过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理列出比例，化简计算即可． (2) 根据定理，勾股定理，等边三角形的性质解答即可． (3) 根据定理，计算比值，后解答即可． 【详解】（1）证明：如图，过点作交于点， 则． 故：．    （2）解：如图，根据梅涅劳斯定理得：． 又， ∴， ． 在等边中，，点为的中点， ． 由勾股定理知： ．    （3）解：线段是的梅氏线， 由梅涅劳斯定理得，， 即，则． 如图，连接，    ， 于是 ． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，等边三角形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握定理是解题的关键． 变式9-4．（2023·江苏盐城·二模）【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 【初步体验】 （1）.如图1，在中，点D在上，．若，，，则 ， ； （2）.已知，如图1，在中，且． 求证：． 证明：过点E作的平行线交于点F． ……………… 请依据相似三角形的定义（如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似）和上面的基本事实，补充上面的证明过程； 【深入探究】 （3）.如图2，如果一条直线与的三边或其延长线交于D、F、E点，那是否为定值？若是；若不是，请说明理由； （4）.如图3，在中，D为的中点，，则 ． 【答案】（1）3，；（2）见解析（3）是，定值为1；（4） 【分析】（1）根据平行线分线段成比例，直接代入即可； （2）过点E作的平行线交于点F，利用平行线的性质得，，，再证明四边形是平行四边形，即可证明结论； （3）作，交于G，利用平行线分线段成比例定理得，，代入计算即可； （4）过点D作，交于Q，交于P，首先得出，再根据点D为的中点，，得，，分别表示出，与的关系即可．本题是相似形综合题，主要考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，作平行线利用平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】(1)∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3，； (2)过点E作的平行线交于点F， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； (3)为定值， 作，交于G， ∴，， ∴， ∴为定值； (4)过点D作，交于Q，交于点P， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点D为的中点，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点十 平行线分线段成比例的常用辅助线之作垂线】 例10．（2024·江苏扬州·二模）如图，在中，，点M在边上，线段沿着过M的直线折叠，点C恰巧落在边上的点N处．如果，，那么a与b满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线分线段成比例定理，过点M作于D，由折叠的性质可得，则，，证明，再证明，得到，即可得到． 【详解】解：如图所示，过点M作于D， 由折叠的性质可得， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 变式10-1．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，，，，的平分线交于点，与的垂线相交于点，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，由勾股定理得，再由角平分线的性质得，进而由面积法求出，则，然后由勾股定理得，则，最后由平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【详解】解：过点作于点， ∵，，， ∴，， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理，角平分线的性质，三角形面积，平行线的判定及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握勾股定理、角平分线的性质及平行线分线段成比例定理是解题的关键． 变式10-2．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期末）（1）数学张老师在数学活动课上出示了一道探究题： 如图，在和中，，，B，C，E三点在同一直线上，A，D两点在同侧，若，求证：． 张老师分别从问题的条件和结论出发分析这道探究题： ①如图1，从条件出发：过A作交于M，过D作交于N，依据等腰三角形的性质“三线合一”分析与之间的关系，可证得结论； ②如图2，从结论出发：过D作交于P，依据三角形全等的判定，证明，可证得结论； 请你运用其中一种方法，解决上述问题． （2）小明同学经过对探究题及张老师分析方法的思考，提出以下问题： 如图3，在中，，在中，，B，C，E三点在同一直线上，A，D两点在同侧，且A，D，E三点在同一直线上，若，，的面积为7，求的长． （3）在小明同学的问题得到解决后，张老师针对之前的解题思路提出了下面问题： 如图4，在四边形中，，，点E为中点，连接，若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【分析】（1）解法1：证明四边形为矩形，根据矩形的性质即可得出结论；解法2：证明四边形为平行四边形，得出，，再证明得出，即可得出结论． （2）过A作交于M，过D作交于N，过D作交于P，由等腰三角形的性质得出，，从而得出，再证明是等直角三角形，由勾股定理求得，然后证明四边形为矩形，求得，设，则，，由三角形面积公式得，求解得出，即可求解． （3）延长与延长线交于点F，过A作交于G，过B作交于H，根据等腰三角形的与性质得出，，再根据，从而可证得，设，则，利用平行线分线段成比例求得，，，然后用勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：（1）解法1：∵，， 又∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 解法2：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）过A作交于M，过D作交于N，过D作交于P，如图， ∵，， 又∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解，得：，不合题意，舍去， ∴， ∴． （3）延长与延长线交于点F，过A作交于G，过B作交于H，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∵点E为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理．此题属三角形与四边形综合题目，综合性较强，正确作出辅助线构造特殊四边形是解题的关键． 变式10-3．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，M为的中点，点D在上，以点A为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接． (1)比较与的大小；用等式表示线段之间的数量关系，并证明； (2)过点M作的垂线，交于点N，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】对于（1），证明，得到，即可得到结论； 对于（2），过点E作，交于点H，可证，再证，得到，即可得到． 【详解】（1）解：由旋转得，，， ∴. 又∵， ∴， ∴. ∵， ∴； （2），理由如下： 过点E作，交于点H， ∵， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. ∵，， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，根据三角形全等得出对应边相等是解题的关键． 一、单选题 1．（2024·辽宁阜新·三模）如图，中，，，，，则的长度为（    ） A．2 B．6 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 运用平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：， , 又，，， ， ， ∴， 故选：B． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连接并延长交的延长线于点F，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，先由平行四边形的性质得到，，根据，得出，根据平行线分线段成比例定理得出，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：在平行四边形中， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，故A、D不符合题意； ∴，故C符合题意； ∵，， ∴，故D不符合题意． 故选：C． 3．（23-24九年级下·广东深圳·期末）一段加固后的护栏如图所示，该护栏竖直部分是由等距（任意相邻两根木条之间的距离相等）且平行的木条构成．已知，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，解决本题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例并灵活运用．由平行线分线段成比例可得出答案． 【详解】解：过点作交于点，交于点， ， ， ， ． 故选：C 4．（2023·贵州遵义·模拟预测）如图，中，是中点，是的平分线，交于．若，，则的长为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】过点作交的延长线于点，则为等腰三角形，由点为线段的中点可得出为的中位线，进而可得出，代入即可得出结论．本题考查了角平分线的性质、线段的中点以及平行线的性质，根据角平分线的性质结合线段的中点，找出是解题的关键． 【详解】解：过点作交的延长线于点，如图1所示． ，是的平分线， ， ． 是中点，， ∴ ∴点F是的中点， 为的中位线， ． 故选：C． 5．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，直线，直线交，，于点，，；直线交，，于点，，，若，，则的长为(  ) A．2 B．4 C．5 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理即可求得的长． 【详解】解：， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 6．（23-24九年级上·山西晋中·期末）如图，已知直线，直线，与直线，，分别相交于点，，，，，，且，，，则的长为（   ）    A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比列式解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ， 故选：C． 7．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，直线，直线分别交，，于点A，，，直线分别交，，于点，，，与相交于点，则下列式子不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 根据平行线分线段成比例定理得到或，然后利用比例性质得到，于是可对各选项进行判断． 【详解】解：∵直线， ∴，故A正确，不符合题意； ，故B正确，不符合题意； ，故C正确，不符合题意； ，， ∴，故D错误，符合题意． 故选：D． 8．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，点为的重心，，，连接并延长交于点，作于点，过点作交于点，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据30度所对的直角边等于斜边的一半得出．设，则．再根据重心的定义与性质以及直角三角形的性质得出，，然后利用平行线分线段成比例定理得出，进而求出．本题考查了三角形重心的定义与性质，三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，也考查了直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，难度适中． 【详解】解：∵，， ∴． 设，则． ∵点为的重心，， 连接并延长交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 9．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，，，，则的长为（　　） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例进行计算．由平行线分线段成比例，得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选：A． 10．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点在的边上，．则下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质与判定，根据可推出，，则，再由可得，即可推出，则，，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 根据现有条件无法证明，， ∴四个选项中，只有D选项中的结论正确， 故选D． 二、填空题 11．（23-24九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，与相交于点，且，如果，，，那么 ．    【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例、比例的性质；由平行线分线段成比例定理得出比例式是解决问题的关键．根据平行线分线段成比例、比例的基本性质求得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为． 12．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，交于点，，，，当 时，可与平行． 【答案】 【分析】本题考查平行线截线段对应成比例，根据平行线截线段对应成比例求解即可得到答案； 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 13．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）已知，如图，点、和、分别在的边、上，且，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，解答本题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理得到，于是得到，即可得到结论． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 14．（23-24九年级上·浙江·期末）作业本中有一道题：“如图，在中，点D为的中点，点E在上，且，，交于点F，求的值”，小明解决时碰到了困难，哥哥提示他过点E作，交于点G．最后小明求解正确，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据可得，结合，可得，根据点D为的中点即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 点D为的中点， ， ， ， 故答案为：． 15．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，．则线段 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．过点作于点，交于点，根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等， ∴， 即， ∴． 故答案为：6． 三、解答题 16．（23-24九年级上·广东梅州·期中）已知：如图，点D、F是的边上的两点，满足，连接，过点F作，交边于E，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】 本题考查了平行分线段成比例定理及其逆定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键． 首先已知得到，根据平行线分线段成比例定理得到，从而得到，再根据平行线分线段成比例定理的逆定理证明平行． 【详解】 证明：， ， ， ， ∴． ． 17．（2023·河北石家庄·模拟预测）阅读材料： 角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则． 下面是这个定理的部分证明过程： 证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E．…… 解决问题： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余过程； (2)如图3，在中，是角平分线，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． （1）过点作，交的延长线于点，由，可求证，，，可得，即可求解； （2）根据（1）中的结论即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，，． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵是角平分线， ∴． ∵，，， ∴，解得，经检验符合题意． 故的长为． 18．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，是的中线，为上任意一点，连接并延长，交于点，连接并延长，交于点，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线分线段成比例的推论，过点作，交于点，中，根据，可得，得出．中，根据，可得，等量代换可得． 【详解】证明：如图，过点作，交于点． ∵是的中线， ∴， ∵中，， ∴， ∴． ∵中，， ∴， 即， ∴． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$