第22讲 随机事件的概率（知识梳理+12考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第22讲 随机事件的概率 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念： 2.会用频率估计随机事件在每次试验时发生的机会的大小： 3.理解通过大量重复试验时频率可以作为该事件发生概率的估计值： 4.用公式法/列举法/列表法/树状图法求简单事件的概率. 1. 概率的定义及计算公式 概率的定义：一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称之为随机事件A发生的概率，记为P(A). 概率的意义：一个事件发生的概率是一个确定的数,它从数值上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小. 概率公式： P(随机事件)=. 2.确定事件与随机事件 定义 事件发生的概率 确定事件 必然 事件 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件。 P(必然事件)=1 不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件。 P(不可能事件)=0 不确定事件（随机事件） 在一定条件下，许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件（又叫随机事件）。 0＜P(随机事件)＜1 2.概率的计算方法 公式法 P（A）=，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数． 列举法 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法. 【注意事项】 1）直接列举试验结果时，要有一定的顺序性，保证结果不重不漏. 2）用列举法求概率的前提有两个：①所有可能出现的结果是有限个 ②每个结果出现的可能性相等. 3）所求概率是一个准确数，一般用分数表示. 画树状图法 当事件中涉及两个以上的因素时，用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫画树状图法. 画树状图法求概率的步骤： 1) 明确试验由几个步骤组成； 2) 画树状图分步列举出试验的所有等可能结果； 3) 根据树状图求出所关注事件包含的结果数及所有等可能的结果数，再利用概率公式求解. 列表法 当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，这种方法叫列表法. 列表法求概率的步骤： 1）列表，并将所有可能结果有规律地填人表格； 2）通过表格计数，确定所有等可能的结果数n和符合条件的结果数m的值； 3）利用概率公式，计算出事件的概率． 用频率估计概率的方法 通过大量重复试验，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性. 因此可以用随机事件发生的频率来估计该事件发生的概率. 适用范围：当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 【考点一】事件的分类 1．（22-23七年级下·河南平顶山·期末）下列说法不正确的是（　　） A．“过一点可以作两条直线与已知直线垂直”是不可能事件 B．“三角形的一条中线平分三角形的面积”是必然事件 C．“以三条长度为连续正整数的线段为边可以构成三角形”是随机事件 D．“两边和一角分别相等的两个三角形全等”是必然事件 【答案】D 【分析】利用随机事件以及必然事件的定义对各选项进行判断得出答案． 【详解】解：A、“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，故此选项正确，不符合题意； B、“三角形的一条中线平分三角形的面积”正确，故此选项正确，不符合题意； C、“以三条长度为连续正整数的线段为边可以构成三角形”是随机事件，比如三条长度为3，4，5的可以构成三角形，三条长度为1，2，3不可以构成三角形，故此选项正确，不符合题意； D、“两边和一角分别相等的两个三角形全等”是随机事件，如果两边夹角，即，那么两个三角形全等，如果两边不夹角，那么两个三角形不全等，故此选项错误，符合题意， 故选：D． 【点睛】此题考查了必然事件和随机事件的定义，正确把握相关事件的定义是解题的关键． 2．（2021九年级上·全国·专题练习）指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件． ①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等； ②367人中至少有2人的生日相同； ③没有水分，种子也会发芽； ④某运动员百米赛跑的成绩是； ⑤同种电荷相互排斥； ⑥通常情况下，高铁比普通列车快； ⑦用长度分别为3 cm，5 cm，8 cm的三条线段能围成一个三角形． 【答案】必然事件：①②⑤⑥；不可能事件：③④⑦ 【分析】根据随机事件、必然事件以及不可能事件的定义即可作出判断． 【详解】解：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，是必然事件； ②367人中至少有2人的生日相同，是必然事件； ③没有水分，种子也会发芽，是不可能事件； ④某运动员百米赛跑的成绩是，是不可能事件，； ⑤同种电荷相互排斥，是必然事件； ⑥通常情况下，高铁比普通列车快，是必然事件； ⑦用长度分别为，，的三条线段能围成一个三角形，是不可能事件； ∴必然事件：①②⑤⑥； 不可能事件：③④⑦． 【点睛】此题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3．（20-21九年级上·全国·课后作业）下列问题哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ （1）太阳从西边落山； （2）a2+b2＝﹣1（其中a、b都是实数）； （3）水往低处流； （4）三个人性别各不相同； （5）一元二次方程x2+2x+3＝0无实数解； （6）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯． 【答案】（1）、（3）、（5）是必然事件；（2）、（4）是不可能事件，（6）是随机事件． 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可． 【详解】（1）太阳从西边落山；属于必然事件 （2）a2+b2＝﹣1（其中a、b都是实数）；是不可能事件 （3）水往低处流；属于必然事件 （4）三个人性别各不相同；是不可能事件 （5）一元二次方程x2+2x+3＝0无实数解；属于必然事件 （6）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯；是随机事件 故答案是：（1）、（3）、（5）是必然事件；（2）、（4）是不可能事件，（6）是随机事件． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【考点二】判断事件发生可能性的大小 4．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）投掷一枚质地均匀的硬币两次，对两次朝上一面的描述，下列说法正确的是（    ） A．都是正面的可能性较大 B．都是反面的可能性较大 C．一正一反的可能性较大 D．上述三种的可能性一样大 【答案】C 【分析】本题考查根据概率公式求概率，先求出可能出现的结果有正正、正反、反正、反反共4种，即可求解． 【详解】解：正面朝上和反面朝上的可能性相同，都是 ，掷两次硬币，可能出现的结果有正正、正反、反正、反反共4种，这4种情况是等可能的． 两次都是正面朝上的可能性是；两次都是反面朝上的可能性是；一正一反的可能性是； ∴一正一反的可能性较大 故选：C． 5．（2023九年级上·全国·专题练习）一个布袋里装有3个红球，2个黑球，4个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，则下列事件中，发生可能性最大的是（    ） A．摸出的是红球 B．摸出的是黑球 C．摸出的是绿球 D．摸出的是白球 【答案】D 【分析】 本题主要考查可能性大小，根据个数最多的就是可能性最大的进行判断即可． 【详解】 解：因为白球最多，所以被摸到的可能性最大． 故选：D． 6．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷10次都是正面朝上，则抛掷第11次（    ） A．正面朝上的可能性大 B．反面朝上的可能性大 C．正面朝上与反面朝上的可能性一样大 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了概率，大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率）．根据大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率），可得答案． 【详解】解：虽然抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷10次都是正面朝上， 但抛掷第11次正面朝上与反面朝上的可能性也一样大． 故选：C． 7．（21-22七年级下·山东·单元测试）请用“一定”、“很可能”、“可能性极小”、“可能”、“不太可能”、“不可能”等语言来描述下列事件的可能性． (1)买20注七星彩票，获特等奖500万； (2)袋中有20个球，1个红球，19个白球，从中任取一球，取到红色的球； (3)掷一枚均匀的骰子，6点朝上； (4)100件产品中有2件次品，98件正品，从中任取一件，刚好是正品； (5)早晨太阳从东方升起； (6)小丽能跳高． 【答案】(1)可能性极小 (2)不太可能 (3)可能 (4)很可能 (5)一定 (6)不可能 【分析】事件的可能性主要看事件的类型，事件的类型决定了可能性及可能性的大小，据此逐一判断即可． 【详解】（1）解：买20注七星彩票，获特等奖500万，可能性极小； （2）解：袋中有20个球，1个红球，19个白球，从中任取一球，取到红色的球，不太可能； （3）解：掷一枚均匀的骰子，6点朝上，可能； （4）解：100件产品中有2件次品，98件正品，从中任取一件，刚好是正品，很可能； （5）解：早晨太阳从东方升起，一定； （6）解：小丽能跳高，不可能． 【点睛】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间． 【考点三】根据概率公式计算概率 8．（2023·江苏苏州·模拟预测）掷一枚质地均匀的正方体骰子，前两次抛掷朝上一面点数都是3，那么第三次抛掷朝上一面的点数为3的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用简单概率公式求解概率的知识，判断出每一次投掷都是独立事件，是解答本题的关键．利用简单的概率公式计算即可． 【详解】解：根据概率公式可得P（向上一面点数是3） ．   故答案为： ． 9．（2023·浙江杭州·模拟预测）不透明袋子中装有个球，其中有个红球和个白球，它们除颜色外其余都相同，从袋子中随机摸出个球，是红球的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．根据概率公式可得用红球的个数除以球的总个数即可． 【详解】解：从袋子中随机摸出一个小球共有种等可能结果，其中摸出的小球是红球的结果有种， 摸出的小球是红球的概率为． 故答案为：． 10．（2023·辽宁丹东·模拟预测）袋中装有个黑球和个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为”，则这个袋中白球大约有 个． 【答案】 【分析】此题考查了概率公式的应用，注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 用黑球的个数除以球的总个数等于0.75列出关于n的方程，解之即可． 【详解】解：根据题意知 ， 解得， 经检验，是该分式方程的解， ∴这个袋中白球大约有3个， 故答案为：3． 11．（2023·四川巴中·模拟预测）一个袋中装有个红球、个白球和个黄球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，则：（摸到红球） ． 【答案】/ 【详解】本题考查了概率，首先根据题意，得出袋中的总球数，然后再根据概率公式计算即可． 【解答】解：∵袋中装有5个红球、3个白球和2个黄球共10个球， ∴（摸到白球）． 故答案为：． 12．（2023·江苏连云港·模拟预测）中国象棋中红方有1个“帅”、5个“兵”，“仕”、“相”、“马”、“车”、“炮”各有2个，将所有红方棋子反面朝上放在棋盘中，任意取1个，不是“兵”和“帅”的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查简单的概率计算．根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】∵共有1个“帅”、5个“兵”，“仕”、“相”、“马”、“车”、“炮”各有2个 ∴棋子总个数为16个， 又∵不是“兵”和“帅”的棋子共有10个， ∴不是“兵”和“帅”的概率是， 故答案为：． 【考点四】几何概率 13．（2023·浙江台州·模拟预测）如图，一个可以自由转动的圆形转盘，转盘分成8个大小相同的扇形，上面分别标有数字1、2、3、4，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．转动转盘一次，当转盘停止转动时，则指针指向标有“3”所在区域的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率模型，涉及简单概率公式等知识，根据题意，得到当转盘停止转动时指针指向标有“3”所在区域的扇形数，利用简单概率公式代值求解即可得到答案，熟练掌握几何概率模型的求解方法是解决问题的关键． 【详解】解：转盘分成8个大小相同的扇形，上面标有数字“3”的扇形有3个， 转动转盘一次，当转盘停止转动时，则指针指向标有“3”所在区域的概率为， 故答案为：． 14．（2023·山东济南·模拟预测）如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中空白部分的概率为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了几何概型的概率求法，利用面积求概率是解题的关键．由两个小正方形面积可推出最大正方形的边长及面积，再求出空白部分的面积，根据米粒落在图中空白部分的概率为空白部分与大正方形面积比即可得到答案． 【详解】解：由图可知大正方形中的两个小正方形边长分别为、． 大正方形的边长为， 则大正方形的面积为， 空白部分的面积为， 则米粒落在图中空白部分的概率为． 故答案为：． 15．（2023·广西玉林·模拟预测）如图由九个相同的小正方形组成，在图中随机撒一粒黄豆，则黄豆落在阴影部分的概率 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．根据几何概率的求法：黄豆落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值，设小正方形的边长为1，则大正方形的面积为9，阴影的面积为4，利用概率公式计算即可． 【详解】解：令小正方形的边长为1， 则每个正方形的面积都为1，总面积为， 其中阴影部分面积为， 黄豆落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 16．（2023·四川成都·模拟预测）如图所示，圆是大正方形的内切圆，同时又是小正方形的外接圆，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小球，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为 ． 【答案】/0.5 【分析】此题考查了几何概率的求法，正方形多边形与圆，解答此题除了熟悉几何概率的定义外，还要熟悉圆内接正方形和圆外切正方形的关系． 首先分别求出小正方形与大正方形的面积，再求出小正方形面积与大正方形面积的比即为小球落在小正方形内部区域阴影部分的概率． 【详解】设小正方形的边长为a，则其面积为. ∵圆的直径正好是大正方形边长， ∴根据勾股定理,其小正方形对角线为, 即圆的直径为， ∴大正方形的边长为， 则大正方形的面积为, 则小球停在小正方形内部(阴影)区域的概率为； 故答案为：． 【考点五】游戏的公平性 17．（2023·山东青岛·模拟预测）为庆祝中国共产党成立100周年，某地开展“永远跟党走”群众性主题宣传教育活动，现要选一名志慝服务人员，甲、乙两人都想参加，于是他们决定采用摸球的办法决定胜负，获胜者参加，游戏规则如下：在一个不透明的袋子中装有编号为1，2，3的三个小球（除编号外都相同）．从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字，若两次数字之和为奇数，则甲获胜，若两次数字之和为偶数，则乙获胜． (1)请用列表或画树状图的方法表示摸球所有可能出现的结果 ； (2)这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由． 【答案】(1)，，，，，，，， (2)这个游戏对甲、乙双方不公平，理由见解析 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等． （1）根据题意画出树状图即可得出答案； （2）根据画出树状图，然后求出甲、乙获胜的概率，进行判断即可． 【详解】（1）解：根据题意画图如下：    共有9种等可能的情况数，分别是，，，，，，，，． （2）解：∵共有9种等可能的情况数，其中两次数字之和为奇数的有4种，两次数字之和为偶数的有5种， ∴甲获胜的概率是，乙获胜的概率是， ∵， ∴这个游戏对甲、乙双方不公平． 18．（23-24九年级上·吉林长春·期末）小明和小亮用如图所示的同一个转盘进行“配紫色”游戏．游戏规则如下：连续转动两次转盘，如果两次转盘转出的颜色相同或配成紫色（若其中一次转盘转出蓝色，另一次转出红色，则可配成紫色），则小明得1分，否则小亮得1分．你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由．若不公平，请你修改规则使游戏对双方公平． 【答案】游戏不公平，如若两次转出颜色相同或配成紫色．则小明得4分．否则小亮得5分 【分析】本题考查的是概率，熟记概率等于所求情况数与总情况数之比是解题关键．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平﹒游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等． 【详解】列表如下： 第一次 第二次 红 黄 蓝 红 （红，红） （红，黄） （红，蓝） 黄 （黄，红） （黄，黄） （黄．蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝．黄） （蓝，蓝） 由表知，P（小明获胜），P（小亮获胜）． 小明的得分为；小亮的得分为． ， ∴游戏不公平．如若两次转出颜色相同或配成紫色．则小明得4分．否则小亮得5分． 19．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）有A，B两组卡片共五张，A组的三张卡片上分别写有数字2、4、6，B组的两张卡片上分别写有数字3、5，这些卡片除颜色外其余完全相同． (1)从A组中随机抽取一张，抽到数字为2的概率是________； (2)分别从A组，B组中随机地各抽取一张，现制定这样一个游戏规则：若所抽取的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请利用列表或画树状图的方法说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】(1) (2)不公平 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，游戏的公平性，画树状图法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键． （1）利用概率公式计算即可； （2）根据题意列出图表，分别求出甲、乙获胜的概率，再比较大小即可得出答案． 【详解】（1）解：∵A组的三张分别写有数字2，4，6， ∴随机从A组抽取一张，求抽到数字为2的概率为， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，甲获胜的情况有4种，故甲获胜的概率， 则乙获胜的概率， ∵， ∴这样的游戏规则对甲乙双方不公平． 20．（2023·广东广州·中考真题）甲、乙两位同学相约打乒乓球． (1)有款式完全相同的4个乒乓球拍（分别记为A，B，C，D），若甲先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C的概率； (2)双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球．这个约定是否公平？为什么？ 【答案】(1) (2)公平．理由见解析 【分析】（1）用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，再用乙选中球拍C的结果数除以总的结果数即可； （2）分别求出甲先发球和乙先发球的概率，再比较大小，如果概率相同则公平，否则不公平． 【详解】（1）解：画树状图如下： 一共有12种等可能的结果，其中乙选中球拍C有3种可能的结果， ∴乙选中球拍C的概率； （2）解：公平．理由如下： 画树状图如下： 一共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有2种可能的结果， ∴甲先发球的概率， 乙先发球的概率， ∵， ∴这个约定公平． 【点睛】本题考查列表法或画树状图法求等可能事件的概率，游戏的公平性，掌握列表法或画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键． 21．（22-23九年级上·江西吉安·期中）一个不透明的布袋里装有16个只有颜色不同的球，其中红球有个，白球有个，其他均为黄球，现甲同学从布袋中随机摸出1个球，若是红球，则甲同学获胜，甲同学把摸出的球放回并搅匀，由乙同学随机摸出1个球，若为黄球，则乙同学获胜． (1)当时，谁获胜的可能性大？ (2)当为何值时，游戏对双方是公平的？ 【答案】(1)当时，B同学获胜可能性大； (2)当时，游戏对双方是公平的． 【分析】（1）比较A、B两位同学的概率解答即可； （2）根据游戏的公平性，则A、B两位同学获胜的概率相同，由此列出方程求解即可． 【详解】（1）A同学获胜可能性为，B同学获胜可能性为， 因为， 当时，B同学获胜可能性大； （2）A同学获胜的可能性为，B同学获胜的可能性为 若游戏对双方公平，则必须有：， 解得：， 答：当时，游戏对双方是公平的． 【点睛】此题考查游戏的公平性问题，关键是根据A、B两位同学的概率解答． 【考点六】概率在比赛中的应用 22．（23-24九年级上·山东济宁·期末）为弘扬中华传统文化，某校举办了学生“国学经典大赛”比赛项目为：A．唐诗：B．宋词：C．论语：D．三字经． (1)小丽参加比赛，她从中随机抽取一个比赛项目，则恰好抽中“宋词”的概率是______； (2)小红和小娜两人都报名比赛，则两人恰好抽到同一比赛项目的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明． 【答案】(1) (2)，树状图见解析 【分析】此题考查了概率公式、用树状图或列表法求概率，熟练掌握用树状图或列表法求概率是解题的关键. （1）直接利用概率公式计算； （2）先画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出两人恰好抽到同一比赛项目的结果数，然后根据概率公式计算. 【详解】（1）解：小丽恰好抽中“宋词”的概率； 故答案为：； （2）画树状图为： 共有16种等可能的结果，两人恰好抽到同一比赛项目的结果数为4种， 所以两人恰好抽到同一比赛项目的概率. 23．（2023·江苏徐州·模拟预测）某校举行辩论赛，现初三（1）班要从3名男生、2名女生中选送学生参加比赛． (1)若选送1名学生参赛，则男生被选中的概率为 ； (2)若选送2名学生参赛，求选出的恰好是1位男生、1位女生的概率（请用“画树状图”或“列表”或“列举”等方法给出分析过程）． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查列表法或画树状图法求概率，能够通过列表或画树状图列出所有等可能的结果是解题的关键． （1）根据概率公式可直接得出答案； （2）利用画树状图法列出所有等可能的结果，再从中找出1男1女的情况数，最后利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：∵初三（1）班要从3名男生、2名女生中选送学生参加比赛， ∴男生被选中的概率为． 故答案为：． （2）解：作出树状图如图所示： 共有20种等可能的情况数，其中选出的恰好是1位男生、1位女生的有12种， 则选出的恰好是1位男生、1位女生的概率是． 24．（23-24九年级上·山西朔州·阶段练习）“学习强国”学习平台是以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的二十大“坚持以中国式现代化推进中华民族伟大复兴”精神为主要内容的优质平台，这个平台功能强大，其中有个学习项目是“四人赛”，参与比赛的四人都可以完成两局．其积分规则如下：首局第一名积3分，第二、三名各积2分，第四名积1分；第二局第一名积2分，其余名次各积1分；每日仅前两局得分． (1)若李老师只完成了首局比赛，他获得的积分是几分的概率最大？ (2)若李老师完成了前两局比赛，求他前两局积分之和恰好是4分的概率． 【答案】(1)李老师获得的积分是2分的概率最大 (2) 【分析】本题考查了用树状图法求概率、概率公式等知识． （1）由概率公式分别求出得3分，2分和1分的概率即可得出结论； （2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中李老师前两局积分之和恰好是4分的结果有5种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）李老师获得的积分是3分的概率为， 李老师获得的积分是1分的概率为， 李老师获得的积分是2分的概率为， 因为， 所以，李老师获得的积分是2分的概率最大； （2）画树状图如下：    共有16种等可能的结果，其中李老师前两局积分之和恰好是4分的结果有5种， ∴李老师前两局积分之和恰好是4分的概率为． 25．（23-24九年级上·辽宁营口·阶段练习）某体育馆有A，B两个入口，每个入口有3个通道可同时通行，C，D，E三个出口，其中C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，每个通道在规定时间内可通行100人，规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开．甲、乙、丙三名观众分别从两个入口中随机选择一个入口进入． (1)求甲从A口进入，C口离开的概率； (2)求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率． (3)学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，七年级80人，八年级150人，九年级160人，比赛结束后，为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开，请你合理安排七、八、九三个年级的学生从C、D、E三个出口（每个年级的学生走同一个出口）离开（安排一种即可），并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)七年级走E出口，八九年级走C、D出口，理由见解析 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．（1）画树状图，共有6种等可能的结果，其中甲从A口进入，C口离开的结果有1种，再由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的结果有2种，再由概率公式求解即可；（3）满足题意的方案即可． 【详解】（1）解：（1）画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中甲从A口进入，C口离开的结果有1种，    ∴甲从A口进入，C口离开的概率为； （2）画树状图如下：共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的结果有2种，    ∴甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率为． （3）七年级走E出口，八九年级走C、D出口． 理由：因为七年级80人，八年级150人，九年级160人，又因为C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，且每个通道在规定时间内可通行100人，所以按七年级走E出口，八九年级走C、D出口方案，能够在规定时间内使所有同学都能有序离开． 【考点七】概率在电路问题中的应用 26．（2023·河南南阳·模拟预测）如图，随机闭合开关中的两个，灯泡不能够发光的概率是​ ． 【答案】 【分析】本题主要考查列表法与画树状图法求概率，熟练掌握画树形图法和列表法求概率的应用情境是解题的关键，列表法是当一个事件涉及三个或三个以下元素时，列举出所有可能的结果，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树形图法列出所有情况，根据题意利用列表法列出不能让灯泡发光的情况利用概率公式进行计算即可求解． 【详解】解：根据题意列表如下： 　 　S1 　S2 　S3 　S1 　 　S1，S2 　S1，S3 　S2 　S2，S1 　 　S2，S3 　S3 　S3，S1 　S3，S2 　 共有6种等可能的情况数，其中灯泡不发光的有2种， ∴能让灯泡发光的概率是． 故答案为：． 27．（2023·山东泰安·模拟预测）如图，若随机闭合开关中的两个，则只能让一个灯泡发光的概率为 ． 【答案】 【分析】考查用树状图或列表法求等可能事件的概率，利用树状图列举出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率． 【详解】用树状图表示所有可能出现的结果有： 由图可知一共有6种等可能性的结果数，其中只能让一个灯泡发光的结果数有2种， ∴只能让一个灯泡发光的概率为． 故答案为：． 28．（2023·安徽·模拟预测）如图是物理实验操作课上某学生连接的电路图，线路连接正常且所有元件都是完好的，目前开关，，都处于断开状态． (1)随机闭合一个开关，求有一盏灯发光的概率； (2)随机闭合两个开关，求两盏灯都发光的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根据题意列表或画树状图求概率，正确列表或画出树状图是解题关键． （1）根据概率公式求解即可． （2）利用列举法求概率． 【详解】（1）解：三个开关随机闭合一个共有3种等可能的结果，其中闭合或都形成断路，没有灯泡发光，而闭合可以使灯泡发光， ∴随机闭合一个开关，有一盏灯发光的概率 （2）解：三个开关随机闭合两个，有共3种等可能的结果， 其中闭合两盏灯发光， ∴随机闭合两个开关，两盏灯都发光的概率． 29．（22-23九年级下·江西景德镇·阶段练习）如图，电路图上有1个电源、4个开关和1个完好的小灯泡． (1)若随机闭合个开关，小灯泡发光是___事件（填“随机”“必然”或“不可能”）； (2)若随机闭合2个开关，求小灯泡发光的概率． 【答案】(1)不可能 (2) 【分析】（1）只闭合个开关，小灯泡不能发光，由此可解； （2）通过列表法列出所有等可能的情况，再从中找出小灯泡发光的情况数，利用概率公式计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，只闭合个开关，小灯泡不能发光， 因此随机闭合个开关，小灯泡发光是不可能事件． 故答案为：不可能； （2）解：根据题意，列表如下． （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） 由上表可知，共有12种等可能的情况，其中随机闭合2个开关能使小灯泡发光的情况有8种， 故所求概率为． 【点睛】本题主要考查列表法或画树状图法求概率，解题的关键是通过列表或画树状图表示出所有等可能的情况，做到不重复、不遗漏． 【考点八】概率在转盘抽奖中的应用 30．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图（1）所示的是一个可以自由转动的转盘，转盘分成4个大小相同的扇形，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指位置(指针指向两扇形的交线时，当作指向右边的扇形)．如图（2）所示的是一个不透明的口袋．其中装有3个完全相同的小球，分别标着数字，2，3． (1)请你在转盘的四个扇形中分别填入一个适当的实数，使得转动的转盘停止后，指针指向负数的概率为； (2)在（1）的情况下，转动的转盘停止后，指针指向的数记为m；从口袋中随机摸出一个小球，将标着的数记为n．求点落在第四象限的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （2）由于扇形被平均分成四份，所以所填四个数中有2个负数即可满足要求； （2）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解： 如图所示，转动的转盘停止后，指针指向负数的概率为（答案不唯一）， ； （2）解：画树状图如图所示， 共有12种等可能的结果，其中点落在第四象限的结果数为2， ∴点落在第四象限的概率为． 31．（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（两个转盘除表面数字不同外，其它完全相同），转盘甲上的数字分别是，，8，转盘乙上的数字分别是，5，7（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）． (1)转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是________；转盘乙指针指向正数的概率是________． (2)若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为，转盘乙指针所指的数字记为，请用列表法或树状图法求满足的概率． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查根据概率公式求概率，列表法或画树状图求概率． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）∵转盘甲中共有3个数字，其中正数有1个， ∴转盘甲指针指向正数的概率是． ∵转盘乙中共有3个数字，其中正数有2个， ∴转盘乙指针指向正数的概率是． 故答案为：； （2）列表： b        a 8 5 7 由表可知，的值共有9种等可能结果，其中满足的有6种结果， ∴． 答：满足的概率是． 32．（23-24九年级上·全国·期末）如图，一个均匀的转盘被平均分成8等份，分别标有“1，2，3，4，5，6，7，8”这8个数字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：甲、乙两个人参与游戏，甲转动转盘，乙猜数，若猜的数与转盘转出的数相符，则乙获胜；若结果不相符，则甲获胜．（若指针恰好指在分割线上，那么重转一次）． (1)如果乙猜是“数9”，则乙获胜的概率为　 　； (2)如果乙猜是“3的倍数”，则甲获胜的概率是　 　； (3)如果乙猜是“偶数”，这个游戏对双方公平吗？请说明理由； (4)如果你是乙，请设计一种猜数方法，使自己获胜的可能性较大． 【答案】(1)0 (2) (3)公平 (4)乙猜不是3的倍数 【分析】本题主要考查游戏的公平性，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）由于这8个数中，没有数字9，据此可得答案； （2）根据概率公式先求得乙获胜的概率，继而可得甲获胜的概率； （3）在这8个数中，偶数有4个，根据概率公式求解可得甲、乙获胜的概率即可得； （4）乙猜不是3的倍数，根据概率公式求解可得． 【详解】（1）解：如果乙猜是“数9”，则乙获胜的概率为0， 故答案为：0； （2）解：如果乙猜是“3的倍数”，则乙获胜的概率是， 则甲获胜的概率为， 故答案为：； （3）解：在这8个数中，偶数有4个， 则乙获胜的概率为，甲获胜的概率为， ∴这个游戏对双方公平； （4）解：乙猜不是3的倍数， ∵在这个8个数中，不是3的倍数的有1、2、4、5、7、8这6个， ∴乙获胜的概率为． 【考点九】概率在摸球试验中的应用 33．（22-23七年级下·陕西西安·期末）在一个不透明的袋子中装有5个红球和10个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球． (1)求出摸出的球是黄球的概率； (2)为了使摸出两种球的概率相同，再放进去9个同样的红球或黄球，那么这9个球中，红球和黄球的数量分别应是多少？ 【答案】(1) (2)这9个球中红球有7个，则黄球为2个． 【分析】本题主要考查了概率公式的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握概率的计算公式． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）设这9个球中红球有x个，则黄球为个，根据摸出两种球的概率相同，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵袋子中装有5个红球和10个黄球， ∴将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球，摸出的球是黄球的概率为． （2）解：设这9个球中红球有x个，则黄球为个，根据题意得： ， 解得：， 黄球个数为：（个）， 答：这9个球中红球有7个，则黄球为2个． 34．（18-19八年级下·江苏无锡·期中）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)上表中的________，________； (2)“摸到白球的”的概率的估计值是________（精确到）； (3)如果袋中有个白球，那么袋中除了白球外，还有________个其它颜色的球． 【答案】(1)， (2) (3)除白球外，还有大约个其它颜色的小球 【分析】本题主要考查调查与统计的相关知识，掌握频率的计算方法，根据频率计算总体数量是解题的关键． （1）根据表格中频率的计算方法即可求解； （2）根据频率估算，结合表格信息即可求解； （3）根据频率估算总体数量的方法即可求解． 【详解】（1）解：，， ∴， 故答案为：，； （2）解：根据题意，概率的估计值为， 故答案为：； （3）解：摸到白球的概率为，设除白球外，还有个其它颜色的小球， ∴， 解得，， ∴除白球外，还有大约个其它颜色的小球． 35．（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）现有一个不透明的口袋装有分别标有汉字“最”、“美”、“前”、郭”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． (1)若小刚同学从中任取一个球，取出的球上的汉字是“美”的概率为 ； (2)小明同学从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用画树状图或列表的方法，求小明取出两个球上的汉字能组成“前郭”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键． （1）直接利用概率公式进行计算即可得； （2）先画出树状图，从而可得小明取出两个球上的汉字的所有等可能的结果，再找出小明取出两个球上的汉字恰能组成“前郭”的结果，然后利用概率公式求解即可得． 【详解】（1） 解：由题意，从中任取一个球共有4种结果， 则从中任取一个球，取出的球上的汉字是“美”的概率为， 故答案为：； （2）解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，小明取出两个球上的汉字的所有等可能的结果共有12种，其中，小明取出两个球上的汉字恰能组成“前郭”的结果有2种， 则小明取出两个球上的汉字恰能组成“前郭”的概率为， 答：小明取出两个球上的汉字恰能组成“前郭”的概率为． 36．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)填空：______；当很大时，摸到黑球的频率将会趋近______（精确到0.1）； (2)某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用列表或树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了频率估计概率，列表法求概率； （1）根据频率的概念及表中频率稳定的数值求解即可； （2）根据列表法，得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1），当很大时，摸到黑球的频率将会趋近， 故答案为：； （2）列表如下： 黑 白 白 白 黑 （白，黑） （白，黑） （白，黑） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 由表知，共有12种等可能结果，其中随机摸出的两个球颜色不同的有6种结果， 所以随机摸出的两个球颜色不同的概率为 【考点十】概率中的其它应用 37．（20-21九年级上·河南新乡·期中）小明看到路边有人设排玩“有奖掷币”游戏，规则是：交二元钱就可以玩一次游戏．每次同时掷三枚硬币，如果出现三枚硬币均正面或均反面朝上，奖金5元；如果是其他情况，没有奖金(硬币落地只有正面朝上和反面朝上两种情况)．小明拿不定主意去玩还是不玩，请你帮助他解决下列问题； (1)请用“画树状图”或“列表”的方法求出中奖的概率； (2)如果有100个人，每人玩一次这种游戏，则约有________人中奖，奖金共________元，设摊者获利________元； (3)你会给小明什么合理化的建议？ 【答案】(1) (2)25，125，75 (3)谨慎参加类似游戏 【分析】（1）画树状图进行求解即可； （2）利用概率求人数，再用人数×奖金得到奖金数，再用交的总费用减去中奖费用即可得到获利多少； （3）谨慎参加类似游戏． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有：正正正、正正反、正反正、正反正、反正正、反正反、反反正、反反反，8种情况，其中正正正、反反反，共2种情况， ∴； （2），故约有25人中奖． 奖金共：（元）； 设摊者获利：（元）； 故答案为：25，125，75； （3）中奖概率太低，谨慎参加类似游戏． 【点睛】本题考查树状图法求概率．熟练掌握利用树状图法求概率是解题的关键． 38．（21-22七年级下·全国·期末）一工厂生产某种型号的节能灯的质量抽检结果如表： 抽检个数 50 100 200 300 400 500 次品个数 1 3 5 6 7 9 (1)根据表格中的数据求任抽1件是次品的概率； (2)厂家承诺：顾客买到次品包换．如果卖出这批节能灯800个，那么要准备多少个兑换的节能灯？ 【答案】(1)0.02 (2)16 【分析】（1）根据概率的求法，找准两点：1、符合条件的情况数目；2、全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率； （2）需要准备兑换的节能灯数＝销售的节能灯×次品的概率，依此计算即可． 【详解】（1）抽查总体数m＝50+100+200+300+400+500＝1550， 次品件数n＝1+3+5+6+7+9＝31， 这批节能灯中任抽1个是次品的概率为0.02； （2）根据（1）的结论：这批节能灯中任抽1件是次品的概率为0.02， 则800×0.02＝16（个）． 答：准备16个兑换的节能灯． 【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）． 39．（2022·福建三明·二模）某商场举行促销活动，消费满一定金额的顾客可以通过参与摸球活动获得奖励．具体方法如下：从一个装有2个红球、3个黄球（仅颜色不同）的袋中摸出2个球，根据摸到的红球数确定奖励金额，具体金额设置如下表：现有两种摸球方案： 摸到的红球数 0 1 2 奖励（单位：元） 5 10 20 方案一：随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球； 方案二：随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球． (1)求方案一中，两次都摸到红球的的概率； (2)请你从平均收益的角度帮助顾客分析，选择哪种摸球方案更有利? 【答案】(1) (2)从平均收益的角度看，顾客选择方案二更有利 【分析】（1）通过列表的形式表示出所有等可能的结果，再用概率公式求解即可． （2）分别计算方案一和方案二的平均收益，再进行比较后选择即可． 【详解】（1）解：对于方案一，列表如下． 由上表可知，共有20种等可能的结果，两次都摸到红球的结果数是2． 故采用方案一摸球，两次都摸到红球的概率为． （2）解：由（1）中表可知，采用方案一，两次都摸到红球的概率为，摸到一次红球的概率为，没有摸到红球的概率为． 平均收益为元． 对于方案二，列表如下． 由上表可知，共有25种等可能的结果，两次摸到红球的结果数是4，摸到一次红球的结果数是12，没有摸到红球的结果数是9． 所以两次都摸到红球的概率为，摸到一次红球的概率为，没有摸到红球的概率为． 平均收益为元． ∵， ∴从平均收益的角度看，顾客选择方案二更有利． 【点睛】本题考查列表法求概率，概率的实际应用，熟练掌握这些知识点是解题关键． 【考点十一】概率与统计的综合 40．（2024·广东深圳·三模）我国古代曾以“六艺”（礼、乐、射、御、书、数）教授学生，其中“乐”和“书”主要是用音乐和书画来进行审美教育某校计划在课后服务中开设美育相关课程，并在全校范围内随机抽取了部分学生进行调查，要求学生从．书法、．国画、．合唱、．水彩画四个课程中选择一个自己最喜爱的．将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： (1)本次被调查的学生有 人； (2)在扇形统计图中，所对应的圆心角度数为 ，请补全条形统计图； (3)该校共有名学生，请你估计选择“．书法”课程的学生有多少人； (4)小明和小华打算从四个课程中各自选择一个作为美育课程，请用列表或画树状图的方法求出小明和小华所选的课程恰好相同的概率． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)约人 (4) 【分析】（1）根据最喜爱国画的人数和人数占比即可求出本次被调查的学生人数； （2）用度乘以合唱的人数占比即可求出合唱所对应的圆心角度数；根据（）所求，求出水彩画的人数即可补全统计图； （3）用乘以书法所占样本的比即可得解； （4）先列表到所有的等可能性的结果数，再找到小明和小华所选的课程恰好相同的结果数，最后依据概率计算公式求解即可 【详解】（1）解：人， ∴本次被调查的学生人数为人， 故答案为：； （2）解：， ∴合唱所对应的圆心角的度数为； 水彩画学生人数为人， 补全统计图如下： （3）解：书法的人数为：（人）； （4）解：列表如下： 由表格可知，共有种等可能的情况，其中小明和小华所选的课程恰好相同的结果数种， ∴小明和小华所选的课程恰好相同的的概率是． 【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，树状图或列表法求解概率，正确读懂统计图掌握树状图或列表法求解概率是解题的关键． 41．（2024·宁夏银川·二模）为弘扬中国地域文化，某校七、八年级开展了“知中国爱中国兴中国”知识竞赛，竞赛后，随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩(百分制)，学生的成绩用x来表示，分四个等级∶，，，，并绘制了如下统计图表． 信息1∶抽样调查的20名八年级学生成绩的频数分布直方图∶ 信息2∶抽样调查的20名八年级学生的成绩在C组中的数据是∶ 80　81　82　82　85　86　86　88　89　89　89 信息3∶七、八年级抽取的学生竞赛成绩相关统计结果 年级 七年级 八年级 平均数 85.85 86.25 中位数 84.5 a 众数 84 89 方差 71.43 54.09 根据以上信息，解答下列问题∶ (1)______． (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对中国地域文化知识掌握较好？请说明理由．（一条理由即可） (3)两个年级成绩在95分以上的6名同学中有男生3名，女生3名，学校准备从中任意抽取2名同学交流活动感受，求抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，列表见解析 【分析】本题主要考查调查统计中相关概念，列表法或树状图法求概率的综合． （1）根据中位数的概念，计算方法即可求解； （2）根据平均数，中位数，众数，方差表示的意义进行阐述即可； （3）运用列表法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：八年级有名同学，是第10，11位同学的分数平均数，组、组共有3人，故中位数是落在组， ∴中位数是，即， 故答案为：． （2）解：我认为八年级学生对中国地域文化知识掌握较好．因为八年级学生竞赛成绩的平均数比七年级的高，而且方差比七年级的小．（答案不唯一，只要合理即可） （3）解：将3名男生分别记为男1，男2，男3，3名女生分别记为女1，女2，女3，然后列表如下：      一 二 男 男 男 女 女 女 男 男 男 女 女 女 总共有种等可能的结果，而恰好是一名男生和一名女生的结果数有种，所以，一名男生一名女生的概率为． 42．（2024·宁夏吴忠·一模）垫球是排球队常规训练的重要项目之一，下列图表中的数据是甲，乙，丙三人每人10次垫球测试的成绩，测试成绩规则为每次连续接球10个，每垫球到位一个记1分，收集整理数据如下： 运动员丙测试成绩统计表 测试序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩（分） 7 6 8 7 7 5 8 7 8 7 (1)根据图表可得：______，______，______； 统计量 平均数 众数 中位数 方差 甲 6.3 6 0.81 乙 7 7 0.4 丙 7 7 0.8 (2)若在三名队员中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的同学作为某场排球比赛的自由人，你认为选谁更合适？请用你所学过的知识加以分析说明； (3)训练期间甲，乙、丙三人之间进行随机传球游戏，先由甲传出球，经过三次传球，球回到甲手中的概率是多少？请利用树状图或列表法分析作答． 【答案】(1)7；7；6 (2)乙，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的意义求解即可； （2）根据平均数，众数，中位数，方差的意义判断即可； （3）画出树状图，然后根据概率公式列式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：， 由统计图知：乙的测试成绩中7分出现了5次，次数最多，故， 甲的中位数为， 故答案为：7；7；6； （2）解：从平均数、众数、中位数上看，乙和丙都较高，从方差上看，乙的方差小于丙的方差，则乙的成绩比较稳定， 故选乙； （3）解：根据题意画出树状图如下： 一共有8种可能，最后球传回到甲手中的情况有2种可能， ∴第二轮结束时球到甲手中的概率． 【考点十二】用频率估计概率 43．（23-24七年级下·河南郑州·期末）在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共只，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七（1）班的数学学习小组做了摸球试验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到表中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到红球的次数 摸到红球的频率 (1)补全表格中的数据：______，______． (2)请估计：当次数足够大时，摸到红球频率将会接近______．（精确到） (3)小明、小亮做游戏，游戏规则是：从盒子中任意摸出一个球，摸到红球小明胜，摸到黑球小亮胜．你认为这个游戏公平吗？若公平，说明理由：若不公平，怎样调整，使得游戏公平． 【答案】(1)， (2) (3)这个游戏不公平，调整见解析 【分析】考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率． （1）根据频率、频数与总数之间的关系即可求解； （2）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到红球的概率逐渐靠近于，即可求解； （3）根据摸到摸到红球和黑球的概率相等则游戏公平求解即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）当次数足够大时，摸到红球频率将会接近， 故答案为：； （3）你认为这个游戏不公平， 调整：应该在盒子里分别装上个红球和黑球，这样摸到红球和黑球的概率相等都是，从而使得游戏公平． 44．（23-24七年级下·福建漳州·期末）在5件同型号的产品中，有2件不合格品和3件合格品． (1)从这5件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率； (2)在这5件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验．通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.75，求x的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要考查频率与概率及分式方程的应用，熟练掌握频率与概率及分式方程的应用是解题的关键． （1）根据从这5件产品中随机抽取1件进行检测，有5种等可能的结果，其中抽到不合格品的情况有2种，利用概率公式求解即可； （2）根据通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.75，可得抽到合格品的概率等于0.75，然后根据题意可列方程为，进而求解即可． 【详解】（1）解： 从这5件产品中随机抽取1件进行检测，有5种等可能的结果，其中抽到不合格品的情况有2种，   抽到的是不合格品的概率． 答：抽到的是不合格品的概率． （2）解：  加入x件合格品后，共有件产品，其中2件不合格品，件合格品，随机抽取1件进行检测，有种等可能的结果，其中抽到合格品的情况有种，由于通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.75， 抽到合格品的概率为， 解得， 经检验，是所列方程的根． 答：x的值是3． 45．（23-24九年级下·江苏盐城·期中）主题为“安全骑行，从头盔开始”的安全教育活动在本市全面开展．为了解市民骑电动自行车出行自觉佩戴头盔的情况，某数学实践探究小组在某路口进行调查，经过连续6天的同一时段的调查统计，得到数据并整理如下表： 经过路口的电动自行车数量/辆 180 230 280 260 240 300 自觉佩戴头盔人数/人 171 216 266 250 228 285 自觉佩戴头盔的频率 0.95 0.94 0.95 0.96 0.95 m (1)表格中______； (2)由此数据可估计，经过该路口的电动自行车骑行者佩戴了头盔的概率为 （结果精确到0.01） (3)若该小组某天调查到经过该路口的电动自行车共有1000辆，请问其中佩戴了头盔的骑行者大约有多少人？ 【答案】(1)0.95 (2)0.95 (3)950人 【分析】本题考查利用频率估计概率，利用概率求数量： （1）直接利用频数除以总数进行计算即可； （2）利用频率估算概率即可； （3）总数乘以概率即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：0.95； （2）由表格可知：经过该路口的电动自行车骑行者佩戴了头盔的概率为0.95； 故答案为：0.95； （3）（人）． 46．（23-24七年级下·山东泰安·期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，它们除颜色不同外完全相同，小亮进行摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出1个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于0.25． (1)估计摸一次，摸到白球的概率为__________； (2)估计盒子里白球，黑球分别有多少个； (3)如果要使摸到白球的概率为，那么需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】(1)0.25； (2)盒子里白球有5个，黑球有15个 (3)需要往盒子里再放入5个白球 【分析】本题主要考查了概率，熟练掌握用频率估计概率，概率的定义及计算公式，用概率还原事件，是解决问题的关键， （1）用频率稳定于，估计概率就是； （2）用20乘，再进一步计算即得答案； （3）设需要往盒子里再放入x个白球；根据摸到白球的概率为建立方程，解方程检验， 【详解】（1）解：∵大量重复摸球实验，摸到白球的频率稳定于， ∴摸到白球的概率接近； （2）（个）， ∴盒子里白球有5个；黑球有个； （3）设需要往盒子里再放入x个白球； 根据题意得：， 解得：， 经检验得：为所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：需要往盒子里再放入5个白球． 47．（21-22八年级下·江苏常州·期中）在一个不透明的盒子里装有红、白两种颜色的球共10个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球实验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 65 124 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到0.1） (2)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值为 ； (3)小亮用转盘来代替摸球做实验．下面是一个可以自由转动的转盘，请你将转盘分为2个扇形区域，分别涂上红、白两种颜色，使得转动转盘，当转盘停止后，指针落在白色区域的概率与摸球试验中摸到白球的概率相同．（友情提醒：在转盘上用文字“红色”或“白色”注明颜色，并标出白色区域的扇形的圆心角的度数）    【答案】(1) (2) (3)见解析， 【分析】本题主要考查了如何利用频率估计概率，在解题时要注意频率和概率之间的关系． （1）根据表中的数据，估计得出摸到白球的频率； （2）由表中数据即可得； （3）根据摸到白球的频率即可得到转盘中白色区域的扇形的圆心角的度数． 【详解】（1）解：∵摸到白球的频率约为， ∴当n很大时，摸到白球的频率约为， 故答案为：； （2）解：∵摸到白球的频率约为， ∴从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值是， 故答案为：； （3）解：∵摸到白球的频率约为， ∴转盘中白色区域的扇形的圆心角的度数为， 如图所示：   ． 1．（2023·湖北孝感·一模）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．一个不透明的袋子中只装有2个黑球，搅匀后从中随机摸出一个球，结果是红球 B．抛掷一枚质地均匀且6个面上分别标上数字1∼6的骰子，朝上一面的数字小于7 C．从车间刚生产的产品中任意抽取一个是次品 D．打开电视，正在播放广告 【答案】B 【分析】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件、必然事件、不可能事件的特点是解题的关键． 根据随机事件、必然事件、不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：由题意知，一个不透明的袋子中只装有2个黑球，搅匀后从中随机摸出一个球，结果是红球，是不可能事件，故A不符合题意； 抛掷一枚质地均匀且6个面上分别标上数字1∼6的骰子，朝上一面的数字小于7，是必然事件，故B符合题意； 从车间刚生产的产品中任意抽取一个是次品，是随机事件，故C不符合题意； 打开电视，正在播放广告，是随机事件，故C不符合题意； 故选：B． 2．（2023·广西·模拟预测）如图为四张背面完全相同，正面画有常见生活现象的卡片．现将所有卡片背面朝上放在桌面上洗匀，从中随机抽取两张，则抽到的生活现象均为物理现象的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：“冰雪消融”，“食物发霉”，“火柴燃烧”和“灯泡发光”分别用a、b、c、d表示，画树状图如下： 共有12种得可能的结果，抽到的两张卡片恰好是“冰雪消融”和“灯泡发光”的结果有2种， 则恰好抽到的生活现象均为化学反应的概率是． 故选：A． 3．（2023·贵州安顺·模拟预测）一个不透明的盒子里装有13个球，这些球除颜色外其他均相同，其中红球有8个，黄球有4个，黑球有1个．从中任意摸出一个球，下面说法正确的是（　　） A．一定是红球 B．摸出红球的可能性最大 C．不可能是黑球 D．摸出黄球的可能性最小 【答案】B 【分析】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握可能性大小的概念．根据可能性的大小的概念求解即可． 【详解】解：从装有8个红球、4个黄球、1个黑球的盒子中，任意摸出一个球，三种颜色的球均有可能，是红球的可能性最大，黑球的可能性最小， 故选：B． 4．（2023·贵州贵阳·模拟预测）如图，在的网格中，其中有个小正方形被涂成了黑色，一个小球在此网格内自由滚动并随机地停留在某个小正方形上，它最终停留在黑色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键； 首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率，根据概率公式化简即可． 【详解】解：观察这个图可知：黑色区域块的面积占总面积块的， 则它最终停留在黑色方砖上的概率是； 故选：C． 5．（2022·河南平顶山·二模）掷一枚质地均匀的硬币，硬币落地后，会出现如图1的两种情况． 图2是计算机模拟抛掷一枚硬币试验的折线图．下面判断正确的是（    ） A．当抛掷的次数为300次时，正面朝上的次数大于200次 B．当抛掷的次数为500次时，记录数据为0.48，所以随机掷一枚硬币“正面朝上”的概率为0.48 C．当抛掷的次数在2000次以上时，“正面朝上”的频率总在0.5附近摆动，显示出频率的稳定性，由此可估计随机掷一枚硬币“正面朝上”的概率为0.5 D．当抛掷次数大于3000次时，随机掷一枚硬币“正面朝上”的频率一定为0.5 【答案】C 【分析】根据由频率估计概率的意义逐项判断即可． 【详解】根据图象可知当抛掷的次数为300次时，正面朝上的频率为0.5， A.∴此次试验正面朝上的次数为300×0.5=150（次）<200次，故A错误； B.随机掷一枚硬币“正面朝上”的概率与抛掷的次数无关，故B错误； C.根据在同样条件下，大量重复试验时，一个随机事件发生的频率逐渐稳定到一个稳定值时，这个稳定的频率的值可以作为这个事件发生的概率，故C正确； D.随机掷一枚硬币“正面朝上”的概率与抛掷的次数无关，故D错误； 故选C． 【点睛】本题考查由频率估计概率．掌握在同样条件下，大量重复试验时，一个随机事件发生的频率逐渐稳定到一个稳定值时，这个稳定的频率的值可以作为这个事件发生的概率是解题关键． 6．（2023·广西·模拟预测）生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据符号信息．九年级学生王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式．用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右 则 ∴点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右， 据此可以估计黑色部分的面积为 故选：C． 7．（2024·贵州黔南·一模）某天气预报软件显示“贵阳市明天的降水概率为”，对这条信息的下列说法中，正确的是（    ） A．贵阳市明天将有的时间下雨 B．贵阳市明天将有的地区下雨 C．贵阳市明天下雨的可能性较大 D．贵阳市明天下雨的可能性较小 【答案】C 【分析】本题考查了概率的意义及应用，根据概率反映随机事件出现的可能性大小，即可进行解答，熟练掌握概率的意义是解题的关键． 【详解】解：“贵阳市明天的降水概率为”，表示明天下雨的可能性较大， 故选：C． 8．（2023·河南新乡·一模）如图，A，B，C，D是电路图中的四个接线柱，闭合开关后，灯泡不发光．小明同学用一根完好导线的两端随机触连A，B，C，D中的两个接线柱，若电流表有示数或灯泡发光，说明两个接线柱之间的电路元件存在故障．已知灯泡存在断路故障，其他元件完好，则小明触连一次找到故障（用导线触连接线柱）的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：根据题意列出表格如下： A B C D A B C D 由表可知，一共有12种情况，小明触连一次找到故障的有2种情况， ∴小明触连一次找到故障的概率， 故选：D． 9．（2023·宁夏银川·模拟预测）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形其中的一个锐角为，则飞镖落在阴影区域的概率为 ．​ 【答案】 【分析】此题主要考查了几何概率计算，含30度角的直角三角形、勾股定理等知识，正确表示出大正方形和阴影部分的面积是解题关键．设直角三角形的三边分别为，设角对的直角边，则斜边即大正方形的边长，小正方形边长为，然后分别表示出大正方形和阴影部分的面积，然后根据几何概率计算公式求解即可． 【详解】解：如下图，设直角三角形的三边分别为， 设角对的直角边，则斜边即大正方形的边长， ∴ ∴小正方形边长为， ∴，， ∴， ∴飞镖落在阴影区域的概率． 故答案为：． 10．（23-24九年级上·广东江门·期中）“抛掷图钉实验”的结果如下： 抛掷次数 针尖不着地的频数 针尖不着地的频数 由表可知，“针尖不着地的”的概率的估计值是 （精确到0.1） 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率；由表中数据可判断频率在左右摆动，于是利于频率估计概率即可判断． 【详解】解：由表可知，随着抛掷次数的增加，频率逐渐稳定在附近， 故“针尖不着地的”的概率的估计值是， 故答案为：． 11．（2024·江西·一模）“抚州是个有梦有戏的好地方”这是江西抚州文旅的宣传标语，小强、小红准备采用抽签的方式，各自随机选取江西抚州四个景点（A．文昌里；B．三翁花园；C．名人雕塑园；D．仙盖山）中的一个景点游玩，四支签分别标有A，B，C，D． (1)小强抽一次签，他恰好抽到A景区是______事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） (2)若规定其中一人抽完签后，放回，下一个人再抽，请用列表或树状图的方法，求小强、小红抽到同一景点的概率． 【答案】(1)随机 (2) 【分析】本题考查了事件的分类以及画树状图或列表法求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据随机事件的定义：发生的概率在之间的事件为随机事件，进行作答即可． （2）依题意，画树状图，得出一共有16种等可能的情况，恰好抽到同一景点的情况有4种，再代入概率公式进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，小强抽一次签，他恰好抽到A景区是随机事件， 故答案为：随机． （2）解：画树状图如下所示． 一共有16种等可能的情况，恰好抽到同一景点的情况有4种， 小强、小红恰好抽到同一景点的概率为 12．（2023·江苏常州·模拟预测）近来流行微信群抢红包游戏，欢欢与乐乐是双胞胎，他们同在一个微信群中，这天，有人发了一次拼手气红包，红包个数为5个，且每人抢到的红包的金额均不相同，欢欢与乐乐都各抢到了一个红包． (1)他们俩抢到的红包有一个是手气最佳的概率是多少？请用树状图说明． (2)他们俩抢到的红包有一个手气最佳、另一个手气第二佳的概率是多少？请用树状图说明． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． （1）先根据题意画出树状图，再根据概率公式计算； （2）根据（1）中画出的树状图求解即可． 【详解】（1）解：把5个红包从大到小依次记为：1、2、3、4、5，画树状图如下：    由树状图可知，一共有20种等可能结果，其中他俩抢到的红包有一个是手气最佳的有8种结果， 所以他们俩抢到的红包有一个是手气最佳的概率是：； （2）解：由（1）中树状图可知，他们俩抢到的红包有一个手气最佳、另一个手气第二佳的结果有2种， 所以他们俩抢到的红包有一个手气最佳、另一个手气第二佳的概率为：． 13．（2023·吉林长春·模拟预测）某班同学分组做概率试验，试验要求：在一个不透明的口袋中装有n个红球和1个白球，每个小球除颜色不同外其余均相同，记下颜色后将其放回袋中并搅匀，不断重复摸球并记录． 下表是统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表： 摸球的次数 500 1000 1500 2000 2500 3000 摸到白球的频数 139 318 525 658 829 998 摸到白球的频率 0.278 0.318 0.35 0.329 0.332 0.333 (1)根据试验所得的摸到白球的频率，得到n的值为 ． (2)在试验要求的条件下，用画树状图（或列表）的方法，求连续两次摸到红球的概率． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用频率估计概率，可得从口袋中摸出一个白球的概率为，利用概率公式，即可求解， （2）画树状图展示所有9种可能的结果，再找出两次都是红球的结果数，根据概率公式，即可求解， 本题考查了，列表法树状图法求概率，用频率估计概率，解题的关键是：熟练掌握相关知识点． 【详解】（1）解：根据表格可知，摸到白球的频率在0.333左右摆动， 所以根据以上数据估计，摸到白球的概率约为， ∴，解得：． 故答案为：2， （2）解：用A表示红球，用B表示白球，根据题意画树状图为： 由树状图可知：共有9种等可能的结果数，其中连续两次摸到红球的结果数为4， ∴其概率为， 故答案为：． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第22讲 随机事件的概率 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念： 2.会用频率估计随机事件在每次试验时发生的机会的大小： 3.理解通过大量重复试验时频率可以作为该事件发生概率的估计值： 4.用公式法/列举法/列表法/树状图法求简单事件的概率. 1. 概率的定义及计算公式 概率的定义：一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称之为随机事件A发生的概率，记为P(A). 概率的意义：一个事件发生的概率是一个确定的数,它从数值上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小. 概率公式： P(随机事件)=. 2.确定事件与随机事件 定义 事件发生的概率 确定事件 必然 事件 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件。 P(必然事件)=1 不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件。 P(不可能事件)=0 不确定事件（随机事件） 在一定条件下，许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件（又叫随机事件）。 0＜P(随机事件)＜1 2.概率的计算方法 公式法 P（A）=，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数． 列举法 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法. 【注意事项】 1）直接列举试验结果时，要有一定的顺序性，保证结果不重不漏. 2）用列举法求概率的前提有两个：①所有可能出现的结果是有限个 ②每个结果出现的可能性相等. 3）所求概率是一个准确数，一般用分数表示. 画树状图法 当事件中涉及两个以上的因素时，用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫画树状图法. 画树状图法求概率的步骤： 1) 明确试验由几个步骤组成； 2) 画树状图分步列举出试验的所有等可能结果； 3) 根据树状图求出所关注事件包含的结果数及所有等可能的结果数，再利用概率公式求解. 列表法 当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，这种方法叫列表法. 列表法求概率的步骤： 1）列表，并将所有可能结果有规律地填人表格； 2）通过表格计数，确定所有等可能的结果数n和符合条件的结果数m的值； 3）利用概率公式，计算出事件的概率． 用频率估计概率的方法 通过大量重复试验，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性. 因此可以用随机事件发生的频率来估计该事件发生的概率. 适用范围：当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 【考点一】事件的分类 1．（22-23七年级下·河南平顶山·期末）下列说法不正确的是（　　） A．“过一点可以作两条直线与已知直线垂直”是不可能事件 B．“三角形的一条中线平分三角形的面积”是必然事件 C．“以三条长度为连续正整数的线段为边可以构成三角形”是随机事件 D．“两边和一角分别相等的两个三角形全等”是必然事件 2．（2021九年级上·全国·专题练习）指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件． ①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等； ②367人中至少有2人的生日相同； ③没有水分，种子也会发芽； ④某运动员百米赛跑的成绩是； ⑤同种电荷相互排斥； ⑥通常情况下，高铁比普通列车快； ⑦用长度分别为3 cm，5 cm，8 cm的三条线段能围成一个三角形． 3．（20-21九年级上·全国·课后作业）下列问题哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ （1）太阳从西边落山； （2）a2+b2＝﹣1（其中a、b都是实数）； （3）水往低处流； （4）三个人性别各不相同； （5）一元二次方程x2+2x+3＝0无实数解； （6）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯． 【考点二】判断事件发生可能性的大小 4．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）投掷一枚质地均匀的硬币两次，对两次朝上一面的描述，下列说法正确的是（    ） A．都是正面的可能性较大 B．都是反面的可能性较大 C．一正一反的可能性较大 D．上述三种的可能性一样大 5．（2023九年级上·全国·专题练习）一个布袋里装有3个红球，2个黑球，4个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，则下列事件中，发生可能性最大的是（    ） A．摸出的是红球 B．摸出的是黑球 C．摸出的是绿球 D．摸出的是白球 6．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷10次都是正面朝上，则抛掷第11次（    ） A．正面朝上的可能性大 B．反面朝上的可能性大 C．正面朝上与反面朝上的可能性一样大 D．无法确定 7．（21-22七年级下·山东·单元测试）请用“一定”、“很可能”、“可能性极小”、“可能”、“不太可能”、“不可能”等语言来描述下列事件的可能性． (1)买20注七星彩票，获特等奖500万； (2)袋中有20个球，1个红球，19个白球，从中任取一球，取到红色的球； (3)掷一枚均匀的骰子，6点朝上； (4)100件产品中有2件次品，98件正品，从中任取一件，刚好是正品； (5)早晨太阳从东方升起； (6)小丽能跳高． 【考点三】根据概率公式计算概率 8．（2023·江苏苏州·模拟预测）掷一枚质地均匀的正方体骰子，前两次抛掷朝上一面点数都是3，那么第三次抛掷朝上一面的点数为3的概率是 ． 9．（2023·浙江杭州·模拟预测）不透明袋子中装有个球，其中有个红球和个白球，它们除颜色外其余都相同，从袋子中随机摸出个球，是红球的概率为 ． 10．（2023·辽宁丹东·模拟预测）袋中装有个黑球和个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为”，则这个袋中白球大约有 个． 11．（2023·四川巴中·模拟预测）一个袋中装有个红球、个白球和个黄球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，则：（摸到红球） ． 12．（2023·江苏连云港·模拟预测）中国象棋中红方有1个“帅”、5个“兵”，“仕”、“相”、“马”、“车”、“炮”各有2个，将所有红方棋子反面朝上放在棋盘中，任意取1个，不是“兵”和“帅”的概率是 ． 【考点四】几何概率 13．（2023·浙江台州·模拟预测）如图，一个可以自由转动的圆形转盘，转盘分成8个大小相同的扇形，上面分别标有数字1、2、3、4，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．转动转盘一次，当转盘停止转动时，则指针指向标有“3”所在区域的概率为 ． 14．（2023·山东济南·模拟预测）如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中空白部分的概率为 ． 15．（2023·广西玉林·模拟预测）如图由九个相同的小正方形组成，在图中随机撒一粒黄豆，则黄豆落在阴影部分的概率 ． 16．（2023·四川成都·模拟预测）如图所示，圆是大正方形的内切圆，同时又是小正方形的外接圆，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小球，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为 ． 【考点五】游戏的公平性 17．（2023·山东青岛·模拟预测）为庆祝中国共产党成立100周年，某地开展“永远跟党走”群众性主题宣传教育活动，现要选一名志慝服务人员，甲、乙两人都想参加，于是他们决定采用摸球的办法决定胜负，获胜者参加，游戏规则如下：在一个不透明的袋子中装有编号为1，2，3的三个小球（除编号外都相同）．从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字，若两次数字之和为奇数，则甲获胜，若两次数字之和为偶数，则乙获胜． (1)请用列表或画树状图的方法表示摸球所有可能出现的结果 ； (2)这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由．   18．（23-24九年级上·吉林长春·期末）小明和小亮用如图所示的同一个转盘进行“配紫色”游戏．游戏规则如下：连续转动两次转盘，如果两次转盘转出的颜色相同或配成紫色（若其中一次转盘转出蓝色，另一次转出红色，则可配成紫色），则小明得1分，否则小亮得1分．你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由．若不公平，请你修改规则使游戏对双方公平． 19．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）有A，B两组卡片共五张，A组的三张卡片上分别写有数字2、4、6，B组的两张卡片上分别写有数字3、5，这些卡片除颜色外其余完全相同． (1)从A组中随机抽取一张，抽到数字为2的概率是________； (2)分别从A组，B组中随机地各抽取一张，现制定这样一个游戏规则：若所抽取的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请利用列表或画树状图的方法说明这个游戏对双方是否公平． 20．（2023·广东广州·中考真题）甲、乙两位同学相约打乒乓球． (1)有款式完全相同的4个乒乓球拍（分别记为A，B，C，D），若甲先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C的概率； (2)双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球．这个约定是否公平？为什么？ 21．（22-23九年级上·江西吉安·期中）一个不透明的布袋里装有16个只有颜色不同的球，其中红球有个，白球有个，其他均为黄球，现甲同学从布袋中随机摸出1个球，若是红球，则甲同学获胜，甲同学把摸出的球放回并搅匀，由乙同学随机摸出1个球，若为黄球，则乙同学获胜． (1)当时，谁获胜的可能性大？ (2)当为何值时，游戏对双方是公平的？ 【考点六】概率在比赛中的应用 22．（23-24九年级上·山东济宁·期末）为弘扬中华传统文化，某校举办了学生“国学经典大赛”比赛项目为：A．唐诗：B．宋词：C．论语：D．三字经． (1)小丽参加比赛，她从中随机抽取一个比赛项目，则恰好抽中“宋词”的概率是______； (2)小红和小娜两人都报名比赛，则两人恰好抽到同一比赛项目的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明． 23．（2023·江苏徐州·模拟预测）某校举行辩论赛，现初三（1）班要从3名男生、2名女生中选送学生参加比赛． (1)若选送1名学生参赛，则男生被选中的概率为 ； (2)若选送2名学生参赛，求选出的恰好是1位男生、1位女生的概率（请用“画树状图”或“列表”或“列举”等方法给出分析过程）． 24．（23-24九年级上·山西朔州·阶段练习）“学习强国”学习平台是以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的二十大“坚持以中国式现代化推进中华民族伟大复兴”精神为主要内容的优质平台，这个平台功能强大，其中有个学习项目是“四人赛”，参与比赛的四人都可以完成两局．其积分规则如下：首局第一名积3分，第二、三名各积2分，第四名积1分；第二局第一名积2分，其余名次各积1分；每日仅前两局得分． (1)若李老师只完成了首局比赛，他获得的积分是几分的概率最大？ (2)若李老师完成了前两局比赛，求他前两局积分之和恰好是4分的概率． 25．（23-24九年级上·辽宁营口·阶段练习）某体育馆有A，B两个入口，每个入口有3个通道可同时通行，C，D，E三个出口，其中C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，每个通道在规定时间内可通行100人，规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开．甲、乙、丙三名观众分别从两个入口中随机选择一个入口进入． (1)求甲从A口进入，C口离开的概率； (2)求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率． (3)学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，七年级80人，八年级150人，九年级160人，比赛结束后，为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开，请你合理安排七、八、九三个年级的学生从C、D、E三个出口（每个年级的学生走同一个出口）离开（安排一种即可），并说明理由．   【考点七】概率在电路问题中的应用 26．（2023·河南南阳·模拟预测）如图，随机闭合开关中的两个，灯泡不能够发光的概率是​ ． 27．（2023·山东泰安·模拟预测）如图，若随机闭合开关中的两个，则只能让一个灯泡发光的概率为 ． 28．（2023·安徽·模拟预测）如图是物理实验操作课上某学生连接的电路图，线路连接正常且所有元件都是完好的，目前开关，，都处于断开状态． (1)随机闭合一个开关，求有一盏灯发光的概率； (2)随机闭合两个开关，求两盏灯都发光的概率． 29．（22-23九年级下·江西景德镇·阶段练习）如图，电路图上有1个电源、4个开关和1个完好的小灯泡． (1)若随机闭合个开关，小灯泡发光是___事件（填“随机”“必然”或“不可能”）； (2)若随机闭合2个开关，求小灯泡发光的概率． 【考点八】概率在转盘抽奖中的应用 30．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图（1）所示的是一个可以自由转动的转盘，转盘分成4个大小相同的扇形，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指位置(指针指向两扇形的交线时，当作指向右边的扇形)．如图（2）所示的是一个不透明的口袋．其中装有3个完全相同的小球，分别标着数字，2，3． (1)请你在转盘的四个扇形中分别填入一个适当的实数，使得转动的转盘停止后，指针指向负数的概率为； (2)在（1）的情况下，转动的转盘停止后，指针指向的数记为m；从口袋中随机摸出一个小球，将标着的数记为n．求点落在第四象限的概率． 31．（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（两个转盘除表面数字不同外，其它完全相同），转盘甲上的数字分别是，，8，转盘乙上的数字分别是，5，7（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）． (1)转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是________；转盘乙指针指向正数的概率是________． (2)若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为，转盘乙指针所指的数字记为，请用列表法或树状图法求满足的概率． 32．（23-24九年级上·全国·期末）如图，一个均匀的转盘被平均分成8等份，分别标有“1，2，3，4，5，6，7，8”这8个数字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：甲、乙两个人参与游戏，甲转动转盘，乙猜数，若猜的数与转盘转出的数相符，则乙获胜；若结果不相符，则甲获胜．（若指针恰好指在分割线上，那么重转一次）． (1)如果乙猜是“数9”，则乙获胜的概率为　 　； (2)如果乙猜是“3的倍数”，则甲获胜的概率是　 　； (3)如果乙猜是“偶数”，这个游戏对双方公平吗？请说明理由； (4)如果你是乙，请设计一种猜数方法，使自己获胜的可能性较大． 【考点九】概率在摸球试验中的应用 33．（22-23七年级下·陕西西安·期末）在一个不透明的袋子中装有5个红球和10个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球． (1)求出摸出的球是黄球的概率； (2)为了使摸出两种球的概率相同，再放进去9个同样的红球或黄球，那么这9个球中，红球和黄球的数量分别应是多少？ 34．（18-19八年级下·江苏无锡·期中）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)上表中的________，________； (2)“摸到白球的”的概率的估计值是________（精确到）； (3)如果袋中有个白球，那么袋中除了白球外，还有________个其它颜色的球． 35．（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）现有一个不透明的口袋装有分别标有汉字“最”、“美”、“前”、郭”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． (1)若小刚同学从中任取一个球，取出的球上的汉字是“美”的概率为 ； (2)小明同学从中任取一个球，不放回，再从中任取一个球，请用画树状图或列表的方法，求小明取出两个球上的汉字能组成“前郭”的概率． 36．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)填空：______；当很大时，摸到黑球的频率将会趋近______（精确到0.1）； (2)某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用列表或树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率． 【考点十】概率中的其它应用 37．（20-21九年级上·河南新乡·期中）小明看到路边有人设排玩“有奖掷币”游戏，规则是：交二元钱就可以玩一次游戏．每次同时掷三枚硬币，如果出现三枚硬币均正面或均反面朝上，奖金5元；如果是其他情况，没有奖金(硬币落地只有正面朝上和反面朝上两种情况)．小明拿不定主意去玩还是不玩，请你帮助他解决下列问题； (1)请用“画树状图”或“列表”的方法求出中奖的概率； (2)如果有100个人，每人玩一次这种游戏，则约有________人中奖，奖金共________元，设摊者获利________元； (3)你会给小明什么合理化的建议？ 38．（21-22七年级下·全国·期末）一工厂生产某种型号的节能灯的质量抽检结果如表： 抽检个数 50 100 200 300 400 500 次品个数 1 3 5 6 7 9 (1)根据表格中的数据求任抽1件是次品的概率； (2)厂家承诺：顾客买到次品包换．如果卖出这批节能灯800个，那么要准备多少个兑换的节能灯？ 39．（2022·福建三明·二模）某商场举行促销活动，消费满一定金额的顾客可以通过参与摸球活动获得奖励．具体方法如下：从一个装有2个红球、3个黄球（仅颜色不同）的袋中摸出2个球，根据摸到的红球数确定奖励金额，具体金额设置如下表：现有两种摸球方案： 摸到的红球数 0 1 2 奖励（单位：元） 5 10 20 方案一：随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球； 方案二：随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球． (1)求方案一中，两次都摸到红球的的概率； (2)请你从平均收益的角度帮助顾客分析，选择哪种摸球方案更有利? 【考点十一】概率与统计的综合 40．（2024·广东深圳·三模）我国古代曾以“六艺”（礼、乐、射、御、书、数）教授学生，其中“乐”和“书”主要是用音乐和书画来进行审美教育某校计划在课后服务中开设美育相关课程，并在全校范围内随机抽取了部分学生进行调查，要求学生从．书法、．国画、．合唱、．水彩画四个课程中选择一个自己最喜爱的．将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： (1)本次被调查的学生有 人； (2)在扇形统计图中，所对应的圆心角度数为 ，请补全条形统计图； (3)该校共有名学生，请你估计选择“．书法”课程的学生有多少人； (4)小明和小华打算从四个课程中各自选择一个作为美育课程，请用列表或画树状图的方法求出小明和小华所选的课程恰好相同的概率． 41．（2024·宁夏银川·二模）为弘扬中国地域文化，某校七、八年级开展了“知中国爱中国兴中国”知识竞赛，竞赛后，随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩(百分制)，学生的成绩用x来表示，分四个等级∶，，，，并绘制了如下统计图表． 信息1∶抽样调查的20名八年级学生成绩的频数分布直方图∶ 信息2∶抽样调查的20名八年级学生的成绩在C组中的数据是∶ 80　81　82　82　85　86　86　88　89　89　89 信息3∶七、八年级抽取的学生竞赛成绩相关统计结果 年级 七年级 八年级 平均数 85.85 86.25 中位数 84.5 a 众数 84 89 方差 71.43 54.09 根据以上信息，解答下列问题∶ (1)______． (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对中国地域文化知识掌握较好？请说明理由．（一条理由即可） (3)两个年级成绩在95分以上的6名同学中有男生3名，女生3名，学校准备从中任意抽取2名同学交流活动感受，求抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 42．（2024·宁夏吴忠·一模）垫球是排球队常规训练的重要项目之一，下列图表中的数据是甲，乙，丙三人每人10次垫球测试的成绩，测试成绩规则为每次连续接球10个，每垫球到位一个记1分，收集整理数据如下： 运动员丙测试成绩统计表 测试序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩（分） 7 6 8 7 7 5 8 7 8 7 (1)根据图表可得：______，______，______； 统计量 平均数 众数 中位数 方差 甲 6.3 6 0.81 乙 7 7 0.4 丙 7 7 0.8 (2)若在三名队员中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的同学作为某场排球比赛的自由人，你认为选谁更合适？请用你所学过的知识加以分析说明； (3)训练期间甲，乙、丙三人之间进行随机传球游戏，先由甲传出球，经过三次传球，球回到甲手中的概率是多少？请利用树状图或列表法分析作答． 【考点十二】用频率估计概率 43．（23-24七年级下·河南郑州·期末）在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共只，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七（1）班的数学学习小组做了摸球试验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到表中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到红球的次数 摸到红球的频率 (1)补全表格中的数据：______，______． (2)请估计：当次数足够大时，摸到红球频率将会接近______．（精确到） (3)小明、小亮做游戏，游戏规则是：从盒子中任意摸出一个球，摸到红球小明胜，摸到黑球小亮胜．你认为这个游戏公平吗？若公平，说明理由：若不公平，怎样调整，使得游戏公平． 44．（23-24七年级下·福建漳州·期末）在5件同型号的产品中，有2件不合格品和3件合格品． (1)从这5件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率； (2)在这5件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验．通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.75，求x的值． 45．（23-24九年级下·江苏盐城·期中）主题为“安全骑行，从头盔开始”的安全教育活动在本市全面开展．为了解市民骑电动自行车出行自觉佩戴头盔的情况，某数学实践探究小组在某路口进行调查，经过连续6天的同一时段的调查统计，得到数据并整理如下表： 经过路口的电动自行车数量/辆 180 230 280 260 240 300 自觉佩戴头盔人数/人 171 216 266 250 228 285 自觉佩戴头盔的频率 0.95 0.94 0.95 0.96 0.95 m (1)表格中______； (2)由此数据可估计，经过该路口的电动自行车骑行者佩戴了头盔的概率为 （结果精确到0.01） (3)若该小组某天调查到经过该路口的电动自行车共有1000辆，请问其中佩戴了头盔的骑行者大约有多少人？ 46．（23-24七年级下·山东泰安·期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，它们除颜色不同外完全相同，小亮进行摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出1个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于0.25． (1)估计摸一次，摸到白球的概率为__________； (2)估计盒子里白球，黑球分别有多少个； (3)如果要使摸到白球的概率为，那么需要往盒子里再放入多少个白球？ 47．（21-22八年级下·江苏常州·期中）在一个不透明的盒子里装有红、白两种颜色的球共10个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球实验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 65 124 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到0.1） (2)若从盒子里随机摸出一个球，则摸到白球的概率的估计值为 ； (3)小亮用转盘来代替摸球做实验．下面是一个可以自由转动的转盘，请你将转盘分为2个扇形区域，分别涂上红、白两种颜色，使得转动转盘，当转盘停止后，指针落在白色区域的概率与摸球试验中摸到白球的概率相同．（友情提醒：在转盘上用文字“红色”或“白色”注明颜色，并标出白色区域的扇形的圆心角的度数）    1．（2023·湖北孝感·一模）下列事件中，是必然事件的是（    ） A．一个不透明的袋子中只装有2个黑球，搅匀后从中随机摸出一个球，结果是红球 B．抛掷一枚质地均匀且6个面上分别标上数字1∼6的骰子，朝上一面的数字小于7 C．从车间刚生产的产品中任意抽取一个是次品 D．打开电视，正在播放广告 2．（2023·广西·模拟预测）如图为四张背面完全相同，正面画有常见生活现象的卡片．现将所有卡片背面朝上放在桌面上洗匀，从中随机抽取两张，则抽到的生活现象均为物理现象的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·贵州安顺·模拟预测）一个不透明的盒子里装有13个球，这些球除颜色外其他均相同，其中红球有8个，黄球有4个，黑球有1个．从中任意摸出一个球，下面说法正确的是（　　） A．一定是红球 B．摸出红球的可能性最大 C．不可能是黑球 D．摸出黄球的可能性最小 4．（2023·贵州贵阳·模拟预测）如图，在的网格中，其中有个小正方形被涂成了黑色，一个小球在此网格内自由滚动并随机地停留在某个小正方形上，它最终停留在黑色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 5．（2022·河南平顶山·二模）掷一枚质地均匀的硬币，硬币落地后，会出现如图1的两种情况． 图2是计算机模拟抛掷一枚硬币试验的折线图．下面判断正确的是（    ） A．当抛掷的次数为300次时，正面朝上的次数大于200次 B．当抛掷的次数为500次时，记录数据为0.48，所以随机掷一枚硬币“正面朝上”的概率为0.48 C．当抛掷的次数在2000次以上时，“正面朝上”的频率总在0.5附近摆动，显示出频率的稳定性，由此可估计随机掷一枚硬币“正面朝上”的概率为0.5 D．当抛掷次数大于3000次时，随机掷一枚硬币“正面朝上”的频率一定为0.5 6．（2023·广西·模拟预测）生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据符号信息．九年级学生王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·贵州黔南·一模）某天气预报软件显示“贵阳市明天的降水概率为”，对这条信息的下列说法中，正确的是（    ） A．贵阳市明天将有的时间下雨 B．贵阳市明天将有的地区下雨 C．贵阳市明天下雨的可能性较大 D．贵阳市明天下雨的可能性较小 8．（2023·河南新乡·一模）如图，A，B，C，D是电路图中的四个接线柱，闭合开关后，灯泡不发光．小明同学用一根完好导线的两端随机触连A，B，C，D中的两个接线柱，若电流表有示数或灯泡发光，说明两个接线柱之间的电路元件存在故障．已知灯泡存在断路故障，其他元件完好，则小明触连一次找到故障（用导线触连接线柱）的概率为（    ） A． B． C． D． 9．（2023·宁夏银川·模拟预测）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形其中的一个锐角为，则飞镖落在阴影区域的概率为 ．​ 10．（23-24九年级上·广东江门·期中）“抛掷图钉实验”的结果如下： 抛掷次数 针尖不着地的频数 针尖不着地的频数 由表可知，“针尖不着地的”的概率的估计值是 （精确到0.1） 11．（2024·江西·一模）“抚州是个有梦有戏的好地方”这是江西抚州文旅的宣传标语，小强、小红准备采用抽签的方式，各自随机选取江西抚州四个景点（A．文昌里；B．三翁花园；C．名人雕塑园；D．仙盖山）中的一个景点游玩，四支签分别标有A，B，C，D． (1)小强抽一次签，他恰好抽到A景区是______事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） (2)若规定其中一人抽完签后，放回，下一个人再抽，请用列表或树状图的方法，求小强、小红抽到同一景点的概率． 12．（2023·江苏常州·模拟预测）近来流行微信群抢红包游戏，欢欢与乐乐是双胞胎，他们同在一个微信群中，这天，有人发了一次拼手气红包，红包个数为5个，且每人抢到的红包的金额均不相同，欢欢与乐乐都各抢到了一个红包． (1)他们俩抢到的红包有一个是手气最佳的概率是多少？请用树状图说明． (2)他们俩抢到的红包有一个手气最佳、另一个手气第二佳的概率是多少？请用树状图说明． 13．（2023·吉林长春·模拟预测）某班同学分组做概率试验，试验要求：在一个不透明的口袋中装有n个红球和1个白球，每个小球除颜色不同外其余均相同，记下颜色后将其放回袋中并搅匀，不断重复摸球并记录． 下表是统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表： 摸球的次数 500 1000 1500 2000 2500 3000 摸到白球的频数 139 318 525 658 829 998 摸到白球的频率 0.278 0.318 0.35 0.329 0.332 0.333 (1)根据试验所得的摸到白球的频率，得到n的值为 ． (2)在试验要求的条件下，用画树状图（或列表）的方法，求连续两次摸到红球的概率． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$