精品解析：山东省 聊城市 东昌府区聊城文轩初级中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题

初二下学期第一次阶段性测试数学试题 时间：90分钟 分数120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 根据平行四边形的判定定理对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：、无法得到四边形是平行四边形，不符合题意； 、无法得到四边形是平行四边形，不符合题意； 、，，两组对边分别相等的四边形为平行四边形，可得四边形是平行四边形，符合题意； 、无法得到四边形是平行四边形，不符合题意． 故选：． 2. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用算术平方根的性质和立方根的性质依次分析即可． 【详解】A选项正确； B选项的计算结果为4，所以错误； C选项，所以错误； D选项的计算结果为2，所以错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了算术平方根的性质和立方根的性质，解题关键是牢记概念． 3. 已知中，a、b、c分别是、、的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，熟知勾股定理的逆定理及三角形内角和定理是解题的关键． 依次判断出四个选项中三角形的形状即可． 【详解】当时， ， ． 是直角三角形． 故A选项不符合题意； ， ， 即． 是直角三角形． 故B选项不符合题意； ， ． 又， ， 则， 是钝角三角形． 故C选项符合题意； ， 则令， ， 即， 是直角三角形． 故D选项不符合题意． 故选：C． 4. 如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得AB＝AE＝，结合A点所表示的数及AE间距离可得点E所表示的数． 【详解】解：∵正方形ABCD的面积为5，且AB＝AE， ∴AB＝AE＝， ∵点A表示的数是1，且点E在点A右侧， ∴点E表示的数为：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键． 5. 如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，过点作轴的垂线交于点，连接．根据矩形的性质，的长度即为的长度，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线交于点，连接． 点的坐标是， ， ， 矩形， ∴， 故选：C． 6. 如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定可得，进而可得，再根据三角形的中位线解答即可. 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是中点， ∴； 故选：A. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理等知识，熟练掌握相关图形的判定与性质是解题的关键. 7. 在数学活动课上，老师和同学判断教室中的瓷砖是否为菱形，下面是某小组拟定的4种方案，其中不正确的是（ ） A. 测量两条对角线是否分别平分两组内角 B. 测量四个内角是否相等 C. 测量两条对角线是否互相垂直且平分 D. 测量四条边是否相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的判定定理分别进行判定即可得到答案． 【详解】解：A、两条对角线是否分别平分两组内角可以判定四边形是不是菱形，故不符合题意； B、四个内角是否相等不能判定四边形是不是菱形，故符合题意； C、两条对角线是否互相垂直且平分可以判定四边形是不是菱形，故不符合题意； D、四条边是否相等可以判定四边形是不是菱形，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的判定定理：①邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形的四边形是菱形．熟记菱形的判定定理是解题的关键． 8. 如图，D、E、F分别是各边中点，则以下说法错误的是（ ） A. 和的面积相等 B. 四边形是平行四边形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若，则四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位线的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形、菱形、矩形的判定定理逐一判断各个选项，即可得到答案． 【详解】解： ∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点， ∴DE、DF为△ABC得中位线， ∴ED∥AC，且ED＝AC＝AF；同理DF∥AB，且DF＝AB＝AE， ∴四边形AEDF一定是平行四边形，故B正确； ∴， ∴， ， ∴和的面积相等，故A正确； ∵， ∴DF＝AB=AE， ∴四边形不一定是菱形，故C错误； ∵∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形，故D正确； 故选：C． 【点睛】本题考查三角形中位线性质定理和平行四边形、矩形、菱形的判定定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握上述性质定理和判定定理是解题的关键． 9. 如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则DE的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，再根据折叠的性质得AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝4，则CF＝BC﹣BF＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+12＝（3﹣x）2，解方程即可得到DE的长． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3， ∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处， ∴AF＝AD＝5，EF＝DE， 在Rt△ABF中，BF＝＝＝4， ∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1， 设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x， 在Rt△ECF中，CE2+FC2＝EF2， ∴x2+12＝（3﹣x）2， 解得x＝， ∴DE＝3﹣x＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，属于常考题型，灵活运用这些性质进行推理与计算是解题的关键． 10. 如图，的对角线、交于点平分交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④；⑤；其中成立的个数是( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，由角平分线定义得是等边三角形，进而得E为中点，则可得，则可判定①；易得，则可判定②；由直角三角形中斜边最长则可判定③；由是等腰三角形及O为中点可判定⑤；由含角直角三角形性质可判定④，最后可确定答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ∴，， ∴，； ∵平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴点E为中点， ∴， ∴ ∴； ∵， ∴， 故①正确； ∵， ∴； 故②正确； ∵， ∴直角三角形中斜边最长，即， 故③错误； ∵， ∴平分，， ∴； 故⑤正确； 在中，， ∴； ∵， ∴ 故④正确； 故正确的有4个； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含角直角三角形性质，灵活运用这些性质是关键． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 若实数m，n满足，则的平方根是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了非负数，以及平方根，熟练掌握几个非负数的和为0，这几个非负数同时为0，是解决此类为题的关键．两个非负数的和为0，须两个非负数同为0，须被平方的式子与被开方的式子都为0，求得m、n的值，进而得到的平方根． 【详解】解：， 且， 解得，， ， 的平方根是； 故答案为：． 12. 如图，矩形中，，两条对角线、所夹的钝角为，则对角线的长为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据矩形的性质推出，，，求出，求出等边三角形，推出，即可求出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，矩形的性质，关键是掌握矩形的对角线互相平分且相等． 13. 如图，在正方形的外侧作等边，则______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等边对等角等等，根据正方形的性质和等边三角形的性质推出，进而得到，则． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在Rt△ABC中，AB＝12，AC＝5，∠BAC＝90°，D、E分别为AB、AC的中点，P为DE上一点，且满足∠EAP＝∠ABP，则PE＝_______． 【答案】0.5## 【解析】 【详解】根据勾股定理求出BC，根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出PD，计算即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝12，AC＝5， 由勾股定理得：BC＝， ∵D，E分别为AB，AC的中点， ∴DE＝BC＝， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAP+∠EAP＝90°， ∵∠EAP＝∠ABP， ∴∠BAP+∠ABP＝90°， ∴∠APB＝90°， ∵D为AB的中点， ∴PD＝AB＝6， ∴PE＝DE﹣DP＝0.5， 故答案为：0.5． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 15. 如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F．若，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质，可证四边形是矩形，如图所示，连接，则，当时，的值最小，即的值最小，再根据等面积法求高即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， 在中，， 如图所示： ∵于点E，于点F， ∴四边形是矩形，则， 当时，的值最小，即的值最小， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理及垂线段最短，掌握菱形，矩形的性质，等面积法求三角形的高的计算方法是解题的关键． 16. 如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且，OC与EF交于点G．下列结论中：①是等腰直角三角形；②四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；③；④．正确的有_______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用正方形的性质证明，根据全等三角形的性质结合勾股定理对各选项逐一分析判断即可得出正确答案． 【详解】解：①在正方形中，，，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，故①正确； ②∵， ∴四边形的面积与面积相等， 四边形的面积为正方形面积的，故②正确； ③当四边形是矩形时，，故③不一定正确； ④， ， 四边形为正方形， ， 在中，， ，故④正确； 综上所述，正确的是①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是证出． 三、解答题（共66分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根、立方根的定义以及实数的性质是解题的关键． （1）根据算术平方根、立方根的定义进行计算即可； （2）根据算术平方根、立方根的定义以及实数的法则进行运算即可． 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式 18. 已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，∠B=∠D， 又∵BE=DF， ∴△ABE≌△CDF， ∴AE=CF. （其他证法也可） 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和已知条件证明△ABE≌△CDF，再利用全等三角形的性质：即可得到AE=CF． 【详解】略 19. 如图，在四边形ABCD中，AB=13，BC=5，CD=15，AD=9，对角线AC⊥BC． （1）求AC的长； （2）求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）12；（2）84． 【解析】 【分析】（1）在中，利用勾股定理即可得； （2）先根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再根据四边形ABCD的面积等于的面积与的面积之和即可得． 【详解】（1）， 是直角三角形， ， ； （2）， ， 是直角三角形， 则四边形ABCD的面积为， ， ， 即四边形ABCD的面积为84． 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 20. 如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得，根据平行线的性质，得，；再根据为线段的中点，全等三角形的判定，则，根据矩形的判定，即可； （2）过点作于点，根据勾股定理，求出的长，再根据四边形的面积等于，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积等于， ∵，， ∵点是对角线的中心， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 【点睛】本题考查矩形，平行四边形，全等三角形的知识，解题的关键是矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． 21. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键； （1）先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ， ， 在中，， ， ， ， ． 22. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上点，过点D作交直线与E，垂足为F，连接，． （1）求证：； （2）当D在中点时，当再满足什么条件时，四边形是正方形（说明理由）． 【答案】（1）见解析 （2）当再满足等腰直角三角形，四边形是正方形，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质以及正方形的判定．熟练掌握平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质以及正方形的判定方法是解题的关键． （1）证明，，则可得四边形是平行四边形，由此可得． （2）先证四边形是平行四边形，又由，可得四边形是菱形， 再证，则可得四边形是正方形． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ； 【小问2详解】 解：当理由如下： 为中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又∵， 四边形是菱形， ∵四边形是平行四边形， ， 又， ， 四边形是正方形． 23. （1）如图a，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP=OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由． （2）如图b，如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由． （3）如图c，如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由． 【答案】（1）四边形CODP是菱形，理由见解析；（2）四边形CODP是矩形，理由见解析；（3）四边形CODP是正方形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先证明四边形CODP是平行四边形，再由矩形的性质可得OD=OC，即可证明平行四边形OCDP是菱形； （2）先证明四边形CODP是平行四边形，再由菱形的性质可得∠DOC=90°，即可证明平行四边形OCDP是矩形； （3）先证明四边形CODP是平行四边形，再由正方形的性质可得BD⊥AC，DO=OC，即可证明平行四边形OCDP是正方形； 【详解】解：（1）四边形CODP是菱形，理由如下： ∵DP∥OC，且DP=OC， ∴四边形CODP是平行四边形， 又∵四边形ABCD是矩形， ∴OD=OC， ∴平行四边形OCDP是菱形； （2）四边形CODP是矩形，理由如下： ∵DP∥OC，且DP=OC， ∴四边形CODP是平行四边形， 又∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC， ∴∠DOC=90°， ∴平行四边形OCDP是矩形； （3）四边形CODP是正方形，理由如下： ∵DP∥OC，且DP=OC， ∴四边形CODP是平行四边形， 又∵四边形ABCD是正方形， ∴BD⊥AC，DO=OC， ∴∠DOC=90°，平行四边形CODP是菱形， ∴菱形OCDP是正方形． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，菱形的性质与判定，正方形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握特殊平行四边形的性质与判定条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二下学期第一次阶段性测试数学试题 时间：90分钟 分数120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 3. 已知中，a、b、c分别是、、的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 在数学活动课上，老师和同学判断教室中的瓷砖是否为菱形，下面是某小组拟定的4种方案，其中不正确的是（ ） A. 测量两条对角线是否分别平分两组内角 B. 测量四个内角是否相等 C. 测量两条对角线是否互相垂直且平分 D. 测量四条边是否相等 8. 如图，D、E、F分别是各边中点，则以下说法错误的是（ ） A. 和的面积相等 B. 四边形是平行四边形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若，则四边形是矩形 9. 如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则DE的长为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，的对角线、交于点平分交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④；⑤；其中成立的个数是( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 若实数m，n满足，则的平方根是_______． 12. 如图，矩形中，，两条对角线、所夹的钝角为，则对角线的长为_______． 13. 如图，在正方形的外侧作等边，则______度． 14. 如图，在Rt△ABC中，AB＝12，AC＝5，∠BAC＝90°，D、E分别为AB、AC的中点，P为DE上一点，且满足∠EAP＝∠ABP，则PE＝_______． 15. 如图，菱形的对角线，相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F．若，，则的最小值为______． 16. 如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且，OC与EF交于点G．下列结论中：①是等腰直角三角形；②四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；③；④．正确的有_______． 三、解答题（共66分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF 19. 如图，在四边形ABCD中，AB=13，BC=5，CD=15，AD=9，对角线AC⊥BC． （1）求AC的长； （2）求四边形ABCD的面积． 20. 如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 21. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 22. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上点，过点D作交直线与E，垂足为F，连接，． （1）求证：； （2）当D在中点时，当再满足什么条件时，四边形是正方形（说明理由）． 23. （1）如图a，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP=OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由． （2）如图b，如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由． （3）如图c，如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $