精品解析：江苏省南京市鼓楼区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

七年级 (下)期末试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分100分：考试时间为100分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 1. 甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能大致用平移来分析其形成过程的是（ ） A. B. C. D. 2. 的值是（ ） A B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的最小整数解是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. “抖空竹”是国家级非物质文化遗产，也是大家钟爱的运动之一．在公园里，小聪看到小女孩在抖空竹(图1)，抽象得到图2，在同一平面内，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 在矩形中将边长分别为和的两张正方形纸片()按图1和图2两种方式放置(两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1、图2中阴影部分的面积分别为，．当 时，的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上) 7. 用不等式表示“的一半与的和不小于”是_______． 8. 我国某品牌手机以其创新的5nm工艺领先世界，其中．用科学记数法表示是_______． 9. 已知 是方程 (为常数) 的解，则的值为_______． 10. 已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则 ________ ． (填“>” “<”或“=”) 11. 如图，在同一平面内，，，则_______． 12. 若整式 可以写成一个多项式的平方，则常数k的值为_______． 13. 若某一多边形的所有外角都为，则该多边形的内角和为_______． 14. “方程”二字最早见于我国数学经典著作《九章算术》，该书的第八章名为“方程”．如从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程，则将中两个方程联立成方程组可表示为________． 15. 有一个两位数，它的个位上的数为a，十位上的数为b，如果交换它个位和十位上的数，使得到的两位数比原来的两位数大18，那么a，b的数量关系为________． 16. 如图，点D，E，F分别在的各边上，，．将沿翻折， 使得点B落在 处，沿翻折，使得点C 落在处．若，则________°． 三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算∶ （1） （2） 18 分解因式∶ （1） （2） 19. 解二元一次方程组： （1） （2） 20. 解不等式组 并在数轴上表示该不等式组的解集． 21. 如图，在中，点D，E分别在边 ，上，，． （1）求的度数； （2）若，求证：． 22. 如图，点C在的边OB上，过C作，平分于C． （1）若，求； （2）过O作，交于点 H，求证：平分． 23. 某超市准备购进，两种商品，进件，件需要元；进件，件需要元；该超市将种商品每件的售价定为元，种商品每件的售价定为元． （1）种商品每件的进价和种商品每件的进价各是多少元？ （2）计划用不超过2400元的资金购进，两种商品共件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，有几种进货方案？ 24. 一个正方形边长为 (a为常数，)，记它的面积为．将这个正方形的一组邻边长分别增加2 和减少2，得到一个长方形，记该长方形的面积为． （1）求 (用含a代数式表示)． （2）小丽说无论a为何值，与的差都不变，你同意她的观点吗？为什么？ （3）将原正方形一组邻边分别增加4 和减少3，得到一个长方形，记该长方形的面积为，比较与的大小． 25. 如图1，正方形甲、乙、丙边长分别为、、． （1）如图2，将正方形甲、乙拼接在一起，沿着外边框可以画出一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积为 或 ，从而可以得到一个乘法公式为 ； （2）如图3，将正方形甲、乙、丙拼接在一起，沿着外边框可以画出一个大正方形，类比（1）的思路进行思考，直接写出所得到的等式； （3）用正方形甲、乙、丙构造恰当的图形，说明． 26. 在几何软件中，将和按图所示的方式摆放，其中，，，点在同一条直线上，在的正上方，且． （1）如图，将绕点顺时针旋转，当第一次与平行时， °； （2）将图中的绕点逆时针旋转一定角度使点落在边上，过作，直线平分，直线平分交直线于点．在图中按以上叙述补全图形(无需尺规作图)，并直接写出的度数． （3）如图，将图中的绕点逆时针旋转． ①当时，连接，则= °； ②若与角平分线所在直线相交于点，，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年级 (下)期末试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分100分：考试时间为100分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 1. 甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能大致用平移来分析其形成过程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，平移只改变位置，不改变大小，方向和形状，据此求解即可． 【详解】解：由平移的不变性可知，四个图形中只有C选项中的图形是经过平移得到的， 故选：C． 2. 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，解题的关键是掌握负整数指数幂的定义．根据负整数指数幂的定义求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、除法运算，积的乘方等知识．熟练掌握同底数幂的乘法、除法运算，积的乘方是解题的关键． 根据同底数幂的乘法、除法运算，积的乘方对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A、，错误，故不符合要求； B、，错误，故不符合要求； C、，错误，故不符合要求； D、，正确，故符合要求； 故选：D． 4. 不等式的最小整数解是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，在解答此类题目是要注意，不等式的两边同时除以一个负数时不等号的符号要改变，这是此类题目的易错点．先移项得出不等式的解集，在此范围内确定不等式的最小整数解可得． 【详解】解：∵， ， 则不等式的最小整数解为0， 故选：B． 5. “抖空竹”是国家级非物质文化遗产，也是大家钟爱的运动之一．在公园里，小聪看到小女孩在抖空竹(图1)，抽象得到图2，在同一平面内，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 延长交于点F，利用平行线的性质和三角形外角性质计算即可． 【详解】如图，延长交于点F， ， ，，， ∴，， 故选：C． 6. 在矩形中将边长分别为和的两张正方形纸片()按图1和图2两种方式放置(两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1、图2中阴影部分的面积分别为，．当 时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，理解题意并用代数式表示出面积是解题的关键．根据题意设，则，根据面积公式分别用含、、的式子表示出和即可得到的值． 【详解】解： 设，则， 故选：B． 二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上) 7. 用不等式表示“的一半与的和不小于”是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式的应用，解答此题的关键就是根据题中的条件用不等式表示出数量关系．根据题意列出不等式即可． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 8. 我国某品牌手机以其创新的5nm工艺领先世界，其中．用科学记数法表示是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】用科学记数法表示是． 故答案为：． 9. 已知 是方程 (为常数) 的解，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解：满足二元一次方程的未知数的值叫二元一次方程的解．根据题意得到关于的一元一次方程即可求解． 【详解】解： 是方程 (为常数) 的解， ， 解得：， 故答案为：． 10. 已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则 ________ ． (填“>” “<”或“=”) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了通过数轴判断实数的大小，不等式的性质，通过数轴得出，再结合不等式的性质即可得出结果． 【详解】解：由此图可知，， ， 故答案为：． 11. 如图，在同一平面内，，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、邻补角，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．根据题意可证明，进而得到，最后根据邻补角即可求解． 【详解】解：如图 ， ， ， ， 故答案为：． 12. 若整式 可以写成一个多项式的平方，则常数k的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值． 【详解】解：∵整式 可以写成一个多项式的平方， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 若某一多边形的所有外角都为，则该多边形的内角和为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和及外角和定理，任何多边形外角和是．先根据多边形外角和定理，即任意多边形外角和为，可求出此正多边形边数为，然后再根据三角形的内角和定理求出它的内角和． 【详解】解：此正多边形每一个外角都为， 此正多边形的边数为， 则这个多边形的内角和为． 故答案为：． 14. “方程”二字最早见于我国数学经典著作《九章算术》，该书的第八章名为“方程”．如从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程，则将中两个方程联立成方程组可表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据示例所列方程进行解答即可． 本题考查了根据实际问题列方程组，熟练掌握方程的内涵是解题的关键． 详解】解：由题意，可得． 故答案为：． 15. 有一个两位数，它的个位上的数为a，十位上的数为b，如果交换它个位和十位上的数，使得到的两位数比原来的两位数大18，那么a，b的数量关系为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，解题的关键是根据题意列出代数式．根据这个两位数个位上的数为，十位上的数为，列出代数式；根据交换它个位和十位上的数，得到的两位数比原来的两位数大18，得出，整理得出答案即可． 【详解】解：∵这个两位数个位上的数为，十位上的数为， ∴这个两位数是， 将它个位和十位上的数对调后，可以表示为， ∵得到的两位数比原来的两位数大18， ∴， 整式得：． 故答案为：． 16. 如图，点D，E，F分别在的各边上，，．将沿翻折， 使得点B落在 处，沿翻折，使得点C 落在处．若，则________°． 【答案】70 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理的应用，设，再结合轴对称的性质与平行线的性质表示，，再结合三角形的内角和定理与平行线的性质可得答案． 【详解】解：设， ∵将沿翻折， 使得点B落在 处， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵沿翻折，使得点C 落在处． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算∶ （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据积的乘方，同底数幂的除法，整式的加减，解答即可． （2）根据题意，，构造平方差公式解答即可． 本题考查了积的乘方，同底数幂的除法，平方差公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式． 小问2详解】 解： ． 18. 分解因式∶ （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法． （1）根据提公因式法和完全平方公式因式分解即可； （2）根据提公因式法和平方差公式因式分解即可． 小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 19. 解二元一次方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握解法步骤是解本题的关键； （1）由得：，再代入①求解即可； （2）把方程组整理为，再利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解： 得：； 解得：， 将代入①， 得， 解此一元一次方程得，， 故原方程组的解为 ； 【小问2详解】 解：， 整理得：， 得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为：． 20. 解不等式组 并在数轴上表示该不等式组的解集． 【答案】；数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，然后在数轴上表示，再求出其公共解集． 【详解】解∶ 解不等式①，得， ∴； 解不等式②，得， ∴； 在数轴上表示该不等式组得解集为 故原不等式组得解集为． 21. 如图，在中，点D，E分别在边 ，上，，． （1）求的度数； （2）若，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定，三角形的内角和定理的应用； （1）由三角形的内角和定理可得； （2）由三角形的内角和定理可得，可得，从而可得结论． 【小问1详解】 解： 在中， ， ∵ ， ， ∴； 【小问2详解】 解：在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； 22. 如图，点C在的边OB上，过C作，平分于C． （1）若，求； （2）过O作，交于点 H，求证：平分． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，解题的关键是利用平行线和角平分线得到各对相等的角． （1）根据垂线的定义得到，求出，根据角平分线的定义可得，从而得到，再根据平行线的性质可得； （2）根据平行线的性质得到，，，推出，根据角平分线的定义可得，从而推出，即可证明． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 如图，即为所求； ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即是的平分线． 23. 某超市准备购进，两种商品，进件，件需要元；进件，件需要元；该超市将种商品每件的售价定为元，种商品每件的售价定为元． （1）种商品每件的进价和种商品每件的进价各是多少元？ （2）计划用不超过2400元的资金购进，两种商品共件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，有几种进货方案？ 【答案】（1）元；元 （2）四种 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程和一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，正确找出数量关系． （1）设种商品每件进价为元，种商品每件进价为元，根据题意列出方程组即可求解； （2）设购进种商品件，则购进种商品件，根据题意列出不等式组即可求解． 【小问1详解】 解：设种商品每件进价为元，种商品每件进价为元． 由题意得：， 解得：， 种商品每件进价元，种商品每件进价元； 【小问2详解】 设购进种商品件，则购进种商品件， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 取，，，． 共有四种进货方案． 24. 一个正方形边长为 (a为常数，)，记它的面积为．将这个正方形的一组邻边长分别增加2 和减少2，得到一个长方形，记该长方形的面积为． （1）求 (用含a的代数式表示)． （2）小丽说无论a为何值，与的差都不变，你同意她的观点吗？为什么？ （3）将原正方形一组邻边分别增加4 和减少3，得到一个长方形，记该长方形的面积为，比较与的大小． 【答案】（1） （2）同意；理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用和整式加减的应用，解题的关键是根据题意列出代数式，熟练掌握整式乘法运算法则． （1）根据题意得出长方形的两条边长，求出长方形的面积即可； （2）求出，然后进行判断即可； （3）表示出，然后再作差，比较大小即可． 【小问1详解】 解：得到的长方形的两边长分别为，， ∴； 【小问2详解】 解：同意；理由如下： ， ∴与的差都不变． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知：． 25. 如图1，正方形甲、乙、丙的边长分别为、、． （1）如图2，将正方形甲、乙拼接在一起，沿着外边框可以画出一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积为 或 ，从而可以得到一个乘法公式为 ； （2）如图3，将正方形甲、乙、丙拼接在一起，沿着外边框可以画出一个大正方形，类比（1）的思路进行思考，直接写出所得到的等式； （3）用正方形甲、乙、丙构造恰当的图形，说明． 【答案】（1），； （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）方法一：求出这个大正方形的边长，利用正方形的面积公式求解即可得；方法二：根据这个大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和即可得；由此即可得出乘法公式； （2）利用两种方法求出大正方形的面积，由此即可得出等式； （3）利用正方形甲、乙、丙构造图形，根据图形中的面积关系即可得． 【小问1详解】 解：方法一：这个大正方形的边长为， 则这个大正方形的面积为； 方法二：因为这个大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和， 所以这个大正方形的面积为； 从而可以得到一个乘法公式为， 故答案为：，；． 【小问2详解】 解：方法一：这个大正方形的边长为， 则这个大正方形的面积为； 方法二：因为这个大正方形的面积等于3个小正方形的面积与6个小长方形的面积之和， 所以这个大正方形的面积为； 则所得到等式为． 【小问3详解】 解：构造图形如下：其中，图形是边长为的正方形， 则图形的面积为，阴影部分的面积为， 所以． 26. 在几何软件中，将和按图所示方式摆放，其中，，，点在同一条直线上，在的正上方，且． （1）如图，将绕点顺时针旋转，当第一次与平行时， °； （2）将图中的绕点逆时针旋转一定角度使点落在边上，过作，直线平分，直线平分交直线于点．在图中按以上叙述补全图形(无需尺规作图)，并直接写出的度数． （3）如图，将图中的绕点逆时针旋转． ①当时，连接，则= °； ②若与的角平分线所在直线相交于点，，直接写出的度数． 【答案】（1） （2） （3）①或 ②或或或 【解析】 【分析】（1）将绕点顺时针旋转至第一次，延长交于点，根据平行线的性质和三角形内角和，以及对顶角相等即可求出结果． （2）补全图形，且过点作，设，，则，根据平行线性质可得，，根据角平分线性质可得，，，所以，根据平行线的性质可得，代入即可得． （3）①绕点逆时针旋转时，会出现两次，分情况讨论即可． ②当在两条角平分线左下侧时，当绕点逆时针旋转会有两种情况；当在两条角平分线右上侧时，当绕点逆时针旋转也会有两种情况，四种情况分情况讨论即可． 【小问1详解】 解：将绕点顺时针旋转至第一次，延长交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：补全图形如下： 过点作，设，， 则， ∵， ∴， ∴，， ∵为的平分线，为的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 【小问3详解】 解：①当绕点逆时针旋转第一次时，由题意可得同一条直线上，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和， ∴． 当绕点逆时针旋转第二次时，如图所示，由题意可得同一条直线上， ∵，， ∴， ∵， ∴， 根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和， ∴， 故答案为或． ②当在两条角平分线左下侧时，当绕点逆时针旋转会有两种情况，如图所示， ∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， 同理可得． 当在两条角平分线右上侧时，当绕点逆时针旋转会有两种情况，如图所示， ∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， 同理可得， 综上可得的度数为或或或． 【点睛】此题主要考查了图形的旋转及性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和及外角的应用，解答此题关键是准确识图，熟练掌握图形的旋转变换，理解两直线平行的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$