精品解析：辽宁省沈阳市虹桥中学2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题

沈阳市虹桥中学八年级（下）限时训练（二） 数学学科 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 在回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 下面四个多项式中，能进行因式分解的是(　　) A. x2+y2 B. x2﹣y C. x2﹣1 D. x2+x+1 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义对各选项分析后利用排除法求解． 【详解】A、x2+y2不能进行因式分解，故本选项错误； B、x2-y不能进行因式分解，故本选项错误； C、x2-1能利用平方差公式进行因式分解，故本选项正确； D、x2+x+1不能进行因式分解，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查了因式分解定义，因式分解就是把一个多项式写成几个整式积的形式，是基础题，比较简单． 3. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】A、由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；B、由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；C、由ABCD可得出∠BAO=∠DCO、∠ABO=∠CDO，结合OA=OC可证出△ABO≌△CDO（AAS），根据全等三角形的性质可得出AB=CD，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；D、由ABCD、AD=BC无法证出四边形ABCD是平行四边形．此题得解． 【详解】解：A、∵ABCD、AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形； B、∵ABCD、ADBC，∴四边形ABCD是平行四边形； C、∵ABCD，∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO．在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（AAS），∴AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形； D、由ABCD、AD=BC，则四边形ABCD可能是平行四边形，也可能是等腰梯形． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，逐一分析四个选项给定条件能否证明四边形ABCD是平行四边形是解题的关键． 4. 如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是（ ） A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 【答案】B 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式列式计算即可解答． 【详解】解：设这个多边形是n边形， 由题意得：，解得． 所以这个多边形是五边形． 故选B． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角问题，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 5. 如果不等式组的解集是，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，再根据不等式组的解集为进行求解即可． 【详解】解：解不等式得，， ∵不等式组的解集为， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，正确求出不等式的解集是解题的关键． 6. 如图，是正方形内位于对角线下方的一点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：A． 7. 如图，在矩形ABCD中，点E是AD中点，且AE＝2，BE 的垂直平分线MN恰好过点C，则矩形的一边AB的长度为（　　　） A. 2 B. 2 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】连接CE，根据线段中点的定义求出DE、AD，根据矩形的对边相等可得BC＝AD，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得CE＝BC，再利用勾股定理列式求出CD，然后根据矩形的对边相等可得AB＝CD． 【详解】解：如图，连接CE， ∵点E是AD中点， ∴DE＝AE＝2，AD＝2AE＝2×2＝4， ∴BC＝AD＝4， ∵BE 的垂直平分线MN 恰好过点C， ∴CE＝BC＝4， 在Rt△CDE中，由勾股定理得，, ∴AB＝CD＝, 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，难点在于作辅助线构造出直角三角形． 8. 数形结合是解决数学问题常用的的思想方法.如图，一次函数与一次函数的图象交于点，根据图象可知，关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数图像的交点直接判断即可． 【详解】解：根据图像可得当时，，即， 故选：C． 【点睛】题主要考查一次函数与不等式的关系，明确函数图像上各交点坐标代表的意义是解决本题的关键 9. 如图，矩形中，连接，分别以B、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线，分别与、交于点M、N，连接、．若，．则四边形的周长为（ ） A. 24 B. 20 C. 16 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】先根据矩形的性质可得，，再根据线段垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，根据平行线的判定可得，然后根据菱形的判定可得四边形是菱形，设，则，在中，利用勾股定理可得的值，最后根据菱形的周长公式即可得． 【详解】解：四边形是矩形， ∴，， ， 由作图过程可知，垂直平分， ， ， ， ∴， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 则四边形的周长为，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题注意考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． 10. 如图，在四边形中，，由尺规作图可以确定边上一点，取的中点，连接，则的长可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】连接，取的中点，连接、，可证是的中位线，是的中位线，由，即可求解． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接、， 由题意可知，点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， 是的中位线， ， ， ， ， 即， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形三边关系，掌握中位线定理及三边关系是解题的关键． 二、填空题．（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，，则的值为_________． 【答案】-12 【解析】 【分析】将a2b+ab2分解因式，得ab(a+b)，再代入计算即可． 【详解】解：∵a+b=3，ab=-4， ∴a2b+ab2= ab(a+b)=3×(-4)=-12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查代数式求值，因式分解应用，将所求代数式分解因式，整体思想的运用是解题的关键． 12. 如图由内角分别相等的四边形、五边形、六边形组合而成的图形中，，则的度数为______度． 【答案】102 【解析】 【分析】根据正多边形内角和公式（且n为整数）分别求出内角即可求解． 【详解】解：∵四边形、五边形、六边形的各内角相等， ∴四边形的每个内角是，五边形的每个内角是，六边形的每个内角是， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：102． 【点睛】本题考查多边形的内角和公式和三角形的内角和，求出正多边形的内角是解题的关键． 13. 如图，四边形ABCD是个活动框架，对角线AC、BD是两根皮筋．如果扭动这个框架（BC位置不变），当扭动到∠A'BC=90°时四边形A'BCD'是个矩形，A'C和BD'相交于点O．如果四边形OD'DC为菱形，则∠A'CB=_______° 【答案】30 【解析】 【分析】先证明是等边三角形，得到，再由四边形是矩形，得到，则． 【详解】解：∵四边形OD'DC为菱形， ∴， ∵在扭动过程中，CD的长度是不会发生变化的， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：30． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，熟知菱形的性质和矩形的性质是解题的关键． 14. 在等边中，为边的中线，将此三角形沿剪开成两个三角形，然后把这两个三角形拼成一个平行四边形．如果，那么在所有能拼成的平行四边形中，对角线长度的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查图形的拼接，平行四边形的性质和勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 分三种情况作出图形，分别利用勾股定理计算出对角线的长度即可． 【详解】解：∵在等边中，为边的中线， ∴， ∴， 如图，有三种情况． 在图1中，对角线； 在图2中，过点作交的延长线于E， 在中，， ∴； 在图3中，过点B作交的延长线于F， 在中，， ∴， ∵， ∴对角线长度的最大值是， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，点P在边上运动，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕(点E，F为折痕与矩形边的交点)，再将纸片还原，请写出使四边形为菱形的的取值范围________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，菱形的判定与性质，熟记性质并判断出点E、F的位置是关键；根据菱形的对角相等判断出点E在边上，点F在边上，此时可证明四边形是菱形，再根据长度判断出的最大值与最小值，即可写出的取值范围． 【详解】解：由于菱形的对角相等，则点E只能在边上，点F只能在边上； 由折叠知，垂直平分， 则， ； 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 即四边形是菱形； ∵点E只能在边上，点F只能在边上 ∴最大时为， 此时点E与点A重合，； 当时，只能点E在边上，点F在边上， 此时， ； 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．） 16. （1）利用因式分解进行简便运算：﹒ （2）因式分解 【答案】（1）40000；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式，分解因式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用完全平方公式进行运算即可； （2）利用提公因式法进行分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，即可解答． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 所以，不等式组的解集为． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，牢记解题口诀是解题的关键． 18. 智慧组成员为了完成一项校园规划设计任务，解决过程中遇到的问题转化为：如图，在平面直角坐标系中，一个三角板的三个顶点分别是，，． （1）操作与实践：步骤一：将三角板以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；步骤二：平移三角板，点的对应点的坐标为，画出平移后对应的． （要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）应用与求解： ①智慧组成员将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标________． ②在轴上有一点，智慧组成员要求使得的值最小，请直接写出点的坐标________． 【答案】（1）图见解析 （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质画出即可；根据平移的性质画出即可； （2）①根据中心对称的性质，连接，，，交点即为旋转中心，即可得出答案；②作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求的点，利用待定系数法求出直线的解析式，进而可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：画出和如图所示． 【小问2详解】 由图可知，旋转中心点． 故答案为：． ②如图，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求的点． 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 将点，代入，得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，得， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图—旋转变换、平移变换，轴对称—最短路线问题，用待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数图像与轴的交点坐标．熟练掌握平移、旋转、对称的性质是解答本题的关键． 19. 人教版初中数学教科书八年级下册第53页设置了如下一个“思考”栏目： 思考 如图，矩形的对角线，相交于点O．我们观察，在中，是斜边上的中线，与有什么关系？ 经过思考与探究，从而得到了直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 现在，我们一起来探究这条性质的证明过程： 如图1：在中，，是斜边上的中线． 求证：． 证明：延长至点E，使，连接，． …… （1）请你根据以上提示，结合图形，写出完整的证明过程． （2）定理应用： 如图2，中，，D为边上一点，于点E，连接，M为的中点，的延长线交于点F，连接，． ①与的数量关系是______． ②若是的平分线，且，则______°． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②140 【解析】 【分析】（1）先根据对角线互相平分的四边形为平行四边形，得到四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，得到平行四边形是矩形，即可得证； （2）①根据斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到；②根据三角形内角和以及角平分线的定义，求出的度数，再根据等边对等角得到，再根据三角形的内角和定理进行求解即可． 【小问1详解】 证明：延长到点E，使，连接． ∴， ∵是斜边AB上的中线， ∴ ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∵M为的中点， ∴， 同理可得：， ∴； 故答案为：； ②∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：140． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，斜边上的中线定理，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 20. 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是________________； （2）该因式分解的最后结果应该是________________； （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】（1）公式法或完全平方公式法 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据，因式分解的方法，即可； （2）根据，对继续进行因式分解，即可； （3）设，根据上述运算方法，进行因式分解，即可． 【小问1详解】 解：∵运用因式分解的公式法或完全平方法， 故答案为：公式法或完全平方法． 【小问2详解】 解： ， 故答案为：． 【小问3详解】 解：对于， 设， ∴ ． 【点睛】本题考查因式分解的知识，解题的关键是掌握因式分解的方法：公式法（完全平方公式）． 21. 2021年是建党100周年，各种红色书籍在网上热销．某网店购进了相同数量的甲、乙两种红色书籍，其中甲种书籍共用了1600元，乙种书籍共用了2000元，已知乙种书籍每本进价比甲种书籍贵4元． （1）甲、乙两种书籍每本进价各是多少元? （2）这批商品上市后很快销售一空．该网店计划按原进价再次购进这两种商品共100件，将新购进的商品按照表格中的售价销售．设新购进甲种书籍数量不低于乙种书籍的数量（不计其他成本）． 种类 甲 乙 售价（元/件） 24 30 问：网店怎样安排进货方案，才能使销售完这批商品获得的利润最大?最大利润是多少？ 【答案】（1）甲种商品每件进价是16元，则乙种商品每件进价为20元 （2）购进甲种商品50件，乙种商品50件，利润最大，最大利润为900元 【解析】 【分析】（1）设甲种商品每件进价是x元，则乙种商品每件进价元，找出等量关系，根据题意列出分式方程即可求解； （2）设新购甲种商品m件，则乙种商品为件，根据题意即可得到y与x之间的函数关系式；再根据m的取值与一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 设甲种商品每件进价是x元，则乙种商品每件进价元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，当时，． 答：甲种商品每件进价是16元，则乙种商品每件进价为20元． 【小问2详解】 设新购甲种商品m件，则乙种商品为件， 由题意可得：，解得 ∴ ． ∴y随m得增大而减小，且， ∴当时，，此时． 答：购进甲种商品50件，乙种商品50件，利润最大，最大利润为900元． 【点睛】本题主要考查了列分式方程解决实际问题、一次函数的应用，解题的关键是找到数量关系列出方程或函数关系式． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，直线经过y轴负半轴上的点C，且． （1）求直线的函数表达式； （2）直线向上平移9个单位，平移后的直线与直线交于点D，连结，求面积； （3）在（2）的条件下，平移后的直线与x轴交于点E，点M为x轴上的一点，直线上是否存在点N（不与点D重合），使以点E，M，N为顶点的三角形与全等，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）由点B的坐标可求得m的值，然后根据直线的解析式可以求得A的坐标，再结合得到C的坐标，然后用待定系数法求出直线的解析式； （2）根据直线的平移规律得到直线的解析式，从而求得D的坐标，然后根据即可求解； （3）先根据直线的解析式求出点E，根据勾股定理以及平行四边形的性质，分三种情况可得到点N的坐标． 【小问1详解】 解：将点代入直线， 得到， ∴直线， 令，得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 小问2详解】 解：∵直线向上平移9个单位， ∴直线的解析式为， ∵平移后的直线与直线交于点D， ∴，解得， ∴， ∵，， ∴， ∴ = =； 【小问3详解】 解：∵直线：与x轴交于点E， ∴点， ∴， 当时，过点N作x轴的垂线交x轴于一点F，如图所示： 设， 则，， 在中，， 即， 解得， ∴或； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∴点E为中点， ∵，， ∴， 综上，存在，此时点N的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的图像、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图像的平移、平面直角坐标系中求图形的面积、求两直线交点坐标，分类讨论，数形结合是解答本题的关键． 23. [问题情境] （1）王老师给爱好学习的小明和小颖提出这样一个问题：如图①，在中，，P为边上的任一点，过点P作，垂足分别为D，E，过点C作，垂足为F．求证：． 小明的证明思路是：如图①，连接，由与面积之和等于的面积可以证得：． 小颖的证明思路是：如图②，过点P作，垂足为G，可以证得：，则． 请你选择小明、小颖两种证明思路中的任意一种，写出详细的证明过程． [变式探究] （2）如图③，当点Р在延长线上时，问题情境中，其余条件不变，则之间的数量关系是______． [结论运用] （3）如图④，将矩形沿折叠，使点D落在点B上，点C落在点处，点P为折痕上的任一点，过点Р作，垂足分别为G，H，若，求的值． [迁移拓展] （4）图⑤是一个机器模型的截面示意图，在四边形中，E为边上的一点，，垂足分别为D，C，且，M、N分别为的中点，连接，请直接写出与的周长之和___________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】（1）根据小明的证明思路：连接，根据三角形的面积公式结合题意即可证明；根据小颖的证明思路：过点作，垂足为，根据矩形的判定和性质可得，，根据平行线的判定和性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，即可证明． （2）根据小明的证明思路：连接，根据三角形的面积公式结合题意即可证明；根据小颖的证明思路：过点作，垂足为，根据矩形的判定和性质可得，，根据平行线的判定和性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，即可证明． （3）过点作，垂足为，根据矩形的性质可得，，，，推得，根据折叠的性质可得，，根据平行线的性质可得，推得，根据等角对等边可得，推得，根据勾股定理求得，推得，根据矩形的判定和性质可得，由问题情景中的结论即可求得：． （4）延长，交于点，过点作，垂足为，根据题意可得，，根据相似三角形的判定和性质可得，根据等角对等边可得，由问题情景中的结论可得：，设，则，根据勾股定理可得，即可求得，，根据直角三角形斜边上中线的性质可得，，根据三角形的周长公式即可求得与的周长之和． 【详解】（1）证明： 小明的证明： 连接，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 小颖的证明： 过点作，垂足为，如图， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）证明： 小明的证明： 连接，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 小颖的证明： 过点作，垂足为，如图， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为： （3）解：过点作，垂足为，如图， ∵四边形是矩形， ∴，，，， 又∵， ∴， 由折叠有，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， 由问题情景中的结论可得：， ∴． ∴的值为． （4）解：延长，交于点，过点作，垂足为，如图⑤， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由问题情景中的结论可得：， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：∴， ∴， ∴， ∴， ∵，、分别为，的中点， ∴，， ∴与的周长之和为 ， ∴与的周长之和． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，等角对等边，勾股定理，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上中线的性质，三角形的周长公式，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 沈阳市虹桥中学八年级（下）限时训练（二） 数学学科 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 在回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面四个多项式中，能进行因式分解的是(　　) A. x2+y2 B. x2﹣y C. x2﹣1 D. x2+x+1 3. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果一个多边形的每一个内角都是，那么这个多边形是（ ） A 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 5. 如果不等式组的解集是，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是正方形内位于对角线下方的一点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形ABCD中，点E是AD中点，且AE＝2，BE 垂直平分线MN恰好过点C，则矩形的一边AB的长度为（　　　） A. 2 B. 2 C. 2 D. 4 8. 数形结合是解决数学问题常用的的思想方法.如图，一次函数与一次函数的图象交于点，根据图象可知，关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形中，连接，分别以B、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线，分别与、交于点M、N，连接、．若，．则四边形的周长为（ ） A. 24 B. 20 C. 16 D. 12 10. 如图，在四边形中，，由尺规作图可以确定边上一点，取的中点，连接，则的长可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 二、填空题．（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，，则的值为_________． 12. 如图由内角分别相等的四边形、五边形、六边形组合而成的图形中，，则的度数为______度． 13. 如图，四边形ABCD是个活动框架，对角线AC、BD是两根皮筋．如果扭动这个框架（BC位置不变），当扭动到∠A'BC=90°时四边形A'BCD'是个矩形，A'C和BD'相交于点O．如果四边形OD'DC为菱形，则∠A'CB=_______° 14. 在等边中，为边的中线，将此三角形沿剪开成两个三角形，然后把这两个三角形拼成一个平行四边形．如果，那么在所有能拼成的平行四边形中，对角线长度的最大值是______． 15. 如图，在矩形中，，点P在边上运动，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕(点E，F为折痕与矩形边的交点)，再将纸片还原，请写出使四边形为菱形的的取值范围________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．） 16 （1）利用因式分解进行简便运算：﹒ （2）因式分解 17. 解不等式组 18. 智慧组成员为了完成一项校园规划设计任务，解决过程中遇到的问题转化为：如图，在平面直角坐标系中，一个三角板的三个顶点分别是，，． （1）操作与实践：步骤一：将三角板以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应；步骤二：平移三角板，点的对应点的坐标为，画出平移后对应的． （要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）应用与求解： ①智慧组成员将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标________． ②在轴上有一点，智慧组成员要求使得的值最小，请直接写出点的坐标________． 19. 人教版初中数学教科书八年级下册第53页设置了如下一个“思考”栏目： 思考 如图，矩形的对角线，相交于点O．我们观察，在中，是斜边上的中线，与有什么关系？ 经过思考与探究，从而得到了直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 现在，我们一起来探究这条性质的证明过程： 如图1：在中，，是斜边上的中线． 求证：． 证明：延长至点E，使，连接，． …… （1）请你根据以上提示，结合图形，写出完整的证明过程． （2）定理应用： 如图2，中，，D为边上一点，于点E，连接，M为的中点，的延长线交于点F，连接，． ①与的数量关系是______． ②若是的平分线，且，则______°． 20. 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是________________； （2）该因式分解的最后结果应该是________________； （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 21. 2021年是建党100周年，各种红色书籍在网上热销．某网店购进了相同数量的甲、乙两种红色书籍，其中甲种书籍共用了1600元，乙种书籍共用了2000元，已知乙种书籍每本进价比甲种书籍贵4元． （1）甲、乙两种书籍每本进价各是多少元? （2）这批商品上市后很快销售一空．该网店计划按原进价再次购进这两种商品共100件，将新购进的商品按照表格中的售价销售．设新购进甲种书籍数量不低于乙种书籍的数量（不计其他成本）． 种类 甲 乙 售价（元/件） 24 30 问：网店怎样安排进货方案，才能使销售完这批商品获得的利润最大?最大利润是多少？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点，直线经过y轴负半轴上点C，且． （1）求直线的函数表达式； （2）直线向上平移9个单位，平移后的直线与直线交于点D，连结，求面积； （3）在（2）的条件下，平移后的直线与x轴交于点E，点M为x轴上的一点，直线上是否存在点N（不与点D重合），使以点E，M，N为顶点的三角形与全等，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 23. [问题情境] （1）王老师给爱好学习的小明和小颖提出这样一个问题：如图①，在中，，P为边上的任一点，过点P作，垂足分别为D，E，过点C作，垂足为F．求证：． 小明的证明思路是：如图①，连接，由与面积之和等于的面积可以证得：． 小颖的证明思路是：如图②，过点P作，垂足为G，可以证得：，则． 请你选择小明、小颖两种证明思路中的任意一种，写出详细的证明过程． [变式探究] （2）如图③，当点Р在延长线上时，问题情境中，其余条件不变，则之间的数量关系是______． [结论运用] （3）如图④，将矩形沿折叠，使点D落在点B上，点C落在点处，点P为折痕上的任一点，过点Р作，垂足分别为G，H，若，求的值． [迁移拓展] （4）图⑤是一个机器模型的截面示意图，在四边形中，E为边上的一点，，垂足分别为D，C，且，M、N分别为的中点，连接，请直接写出与的周长之和___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$