第05讲 有理数的乘方(5个知识点+12个考点+1个易错诊断）【暑假自学课】-2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（沪科版2024）

第05讲 有理数的乘方 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解有理数的乘方的意义，并能进行乘方运算 2.掌握有理数的混合运算顺序,并能熟练、正确地进行计算 3.借助生活进一步感受较大的数,并能用科学记数法表示绝对值大于10的数 知识点一 有理数乘方的意义 1. 乘方的定义 求个相同因数的积的运算,叫做乘方. 一般地，，记作，读作“的次方”． 当 看作的次方的结果时,也可读作“的次幂” 2. 乘方的意义 乘方的结果叫做幂，在中，叫做底数，叫做指数,是指因数的个数. (1) 一个数可以看作这个数本身的一次方.例如就是,就是,指数1通常省略不写,指数是2时读作平方,指数是3时读作立方. (2) 乘方与幂不同,乘方是一种运算,幂是乘方的结果，乘方与幂的关系就如同乘法与积的关系. 注意：底数是负数或分数时要加括号 【例1】的底数是 ，指数是 ，写成积的形式是 ． 解：的底数是，指数是，写成积的形式是． 故答案为：，，． 知识点二 有理数乘方运算的符号规律 (1)正数的任何次幂都是正数 (2)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数 (3)0的任何正整数次幂都是0 在进行乘方运算时,应将乘方运算转化为乘法运算来完成,先确定幂的符号,再计算幂的绝对值 归纳 (1) 任何数的偶次幂都是非负数，即. (2) 1的任何次幂都是 1. (3) -1的偶次幂是1，即;-1的奇次幂是-1,即. (4) (1)互为相反数的两个数的奇次幂仍然互为相反数，即若 a+b=0,则; (5) (2)互为相反数的两个数的偶次幂相等，即若a+b=0,则 【例2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 解：（1）； （2）； （3）； （4） （5）． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练运用运算法则是解本题的关键． 知识点三 有理数的混合运算 有理数混合运算的顺序 (1)先乘方,再乘除,最后加减; (2)同级运算，从左到右进行; (3)如有括号先做括号内的运算按小括号中括号大括号依次进行. 【例4】（1）； （2）． 解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查有理数的四则混合运算以及乘方，熟练掌握有理数的四则混合运算法则是解题的关键． 知识点四 科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式(其中大于或等于1且小于10,是正整数),使用的是科学记数法.对于小于-10 的数也可以类似表示.例如 注意： (1)用科学记数法表示绝对值较大的负数时，不要漏掉“—”号. (2)用科学记数法表示的数只改变数的形式，而没有改变数的大小 (3)带单位的数要先转化为原数,再用科学记数法来表示 【例4】（1）用科学记数法表示下列各数：①2021；②576万；③0.027×104；④-70890． （2）把下列用科学记数法表示的数还原成原数：①3.5×106；②1.20×105；③-9.3×104；④-2.34×108． （3）下列的数各是几位数？①6×108；②1.4×107；③1019；④5.2×10n． 解：（1）用科学记数法表示各数分别为： ①2.021×103；②5.76×106；③2.7×102；④-7.089×104； （2）把科学记数法表示的数还原成原数为： ①3500000；②120000；③-93000；④-234000000； （3）①还原成原数是600000000，是9位数； ②还原成原数是14000000，是8位数； ③还原成原数是10000000000000000000，是20位数； ④还原成原数是5200…0[有(n-1)个0]，是(n+1)位数． 【点睛】此题考查了科学记数法表示数的方法和还原原数．解题的关键是明确科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 知识点五 用科学记数法表示一个绝对值较大的数 (1) 把小数点向左移动,得到整数位数只有一位的数(非零数),就是. (2) 小数点向左移动的位数就是.也可以用原数的整数位数减 1确定.如2356.25,将小数点向左移动3位可得a＝2.356 25,10的指数为3;也可以利用原数的整数位数 4减去1得到 10的指数为3. (3) 写成的形式 【例5】用科学记数法表示下列各数： （1）地球的体积约为1080000000000立方千米． （2）太平洋面积约为17970万平方千米． （3）银河系中约有恒星一千六百亿个． （4）预计到二十一世纪中叶，世界人口总数将达到九十亿人． 解：(1)1080000000000=1.08×1012； (2)17970万=179700000=1.797×108； (3)一千六百亿=160000000000=1.6×1011； (4)九十亿=9000000000=9×109． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值． 考点一：有理数幂的概念理解 例1．（22-23七年级上·安徽宿州·期中）在中，底数 ，指数是 ． 【变式1-1】（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）表示（    ） A．3个相乘 B．3个5相乘的相反数 C．5个相乘 D．5个3相乘的相反数 【变式1-2】（23-24七年级上·安徽安庆·期末）下列说法正确的是（　　） A．的底数是 B．表示5个2相加 C．与意义相同 D．的底数是2 【变式1-3】（23-24七年级上·安徽宿州·期中）表示（    ） A．的相反数 B．与3的积 C．3个的和 D．3个的积 考点二：有理数的乘方运算 例2．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）若字母各表示一个有理数，则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2-1】（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）如下图是有理数在数轴上的位置，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【变式2-2】（23-24七年级上·安徽安庆·期中）下列各组数中，数值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2-3】（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）计算： ． 【变式2-4】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知，则 ． 考点三：有理数乘方逆运算 例3．（22-23七年级上·安徽芜湖·期末）若是负数，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（22-23七年级上·湖北武汉·期中）已知，若，则的值（    ） A．86.2 B． C． D． 【变式3-2】（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作：，若，则，我们叫为“雅对”．根据上述规定， ． 【变式3-3】（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）阅读下列各式：，，，…解答下列问题： (1)猜想：_____． (2)计算：． 考点四：乘方运算的符号规律 例4．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）若，则的值为 ． 【变式4-1】（23-24七年级上·广东揭阳·期末）计算： 【变式4-2】（23-24七年级上·广东韶关·阶段练习）若，则 ， ． 【变式4-3】（23-24七年级上·安徽池州·期中）如图，A，B，C三个点在数轴上表示的数分别为a，b，c，且．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动．    (1)求a，b，c的值： (2)点P运动到点C前，若点P到点A距离是到点C距离的3倍，求点P运动的时间； (3)若点P运动的同时，点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向点C运动，点Q到达点C后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A，在点P开始运动后，P，Q两点之间的距离能否为2个单位长度？如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由． 考点五：乘方的应用 例5．（22-23七年级上·安徽亳州·期末）一条长的钢丝，第一次剪的去钢丝的，第二次剪去剩下钢丝的，如此剪下去，第次剪完后剩下钢丝的长度是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24七年级下·广东清远·期中）某种细菌每分钟分裂成3个，一个细菌经过3分钟分裂，再继续分裂t分钟后共分裂成（    ）个． A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）为有理数，下列说法中正确的是（　　） A．是正数 B．是正数 C．是负数 D．的值不小于 【变式5-3】（23-24七年级上·安徽黄山·期中）观察算式：，，，，，，，，…，通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是 ． 【变式5-4】（22-23七年级上·安徽宿州·期中）【阅读理解】 求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如：，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“5的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般的，把记作，读作的圈次方”． （1）直接写出计算结果：_______； 【类比探究】 （2）有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试，将下列运算结果直接写成幂的形式： _______（且为正整数）； ______（且为正整数）； 【实践应用】 （3）计算： ①； ②（其中）． 【变式5-5】阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，个相同的因数相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． 问题： (1)计算以下各对数的值：　 　；　 　；　 　． (2)通过观察（1），请直接写出、、之间满足的等量关系是　 　． (3)请你求出的值： 考点六：有理数四则混合运算 例6．（23-24七年级上·四川南充·期末）计算： (1) (2)． 【变式6-1】（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）【阅读思考】 根据绝对值的运算性质可知一个正数的绝对值是其本身，一个负数的绝对值是其相反数，0的绝时值是0，由此可知求一个算式整体的绝对值，可先判断数的正负性，再求它的绝对值，再化简． 例如：，． 【牛刀小试】 （1）根据上面的规律，把下列各式去掉绝对值符号，不要算出最后结果． ①_________； ②_________； ③_________； ④_________． 【拓展延伸】 （2）①； ②． 【变式6-2】（23-24七年级上·安徽安庆·期末）计算： (1)； (2)． 【变式6-3】（23-24七年级上·安徽亳州·期末）计算： (1)； (2)． 考点七：有理数四则混合运算的实际应用 例7．（23-24七年级上·安徽宣城·开学考试）张阿姨准备把万元存入银行，存期两年，年利率为．到期时，张阿姨一共可以取回 元． 【变式7-1】（17-18七年级·安徽宣城·期中）某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产自行车100辆，由于各种原因，实际每天生产量与计划每天生产量相比有出入．下表是某周的自行车生产情况（超过计划生产量为正，不足计划生产量为负，单位：辆）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产自行车__________辆． (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产________辆． (3)若该厂实行按生产的自行车数量的多少计工资，即计件工资制．如果每生产一辆自行车就可以得到人民币60元．一周超额完成任务，每超一辆可多得15元；不足计划数的，每少生产一辆扣20元．那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【变式7-2】（23-24七年级上·安徽宣城·开学考试）一辆汽车以每小时千米的速度从甲地驶往乙地，行了全程的后，又行了小时，这时未行的路程与已行的路程比是，甲、乙两地相距多少千米？ 【变式7-3】（22-23七年级上·江西赣州·期中）一架飞机进行特技表演，起飞后的高度变化如下表： 高度变化 上升 下降 上升 下降 上升 记作 (1)求此时飞机比起飞点高了多少千米？ (2)若飞机平均上升1千米需消耗6升燃油，平均下降1千米需消耗4升燃油，那么这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？ 考点八：程序流程图与有理数计算 例8．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，某同学设计了一种计算流程图，即按照图中顺序计算，完成下列任务 （1）若输入的数是，则输出的数是 ； （2）若输入的数是1923，则输出的数是 ． 【变式8-1】（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为，则第次输出的结果为 ． 【变式8-2】（23-24七年级上·湖北宜昌·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图，若开始输入x的值是5，可发现第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是4，……．请你探索第2023次输出的结果是 ．    【变式8-3】（23-24七年级上·安徽合肥·期中）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图．若开始输入的值为，则最后输出的结果是 ．    考点九：算“24”点 例9．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）《辞海》注释：“幻方亦称魔方”即纵横图（注：南北曰纵，东西曰横），到现在仍是很流行的数学游戏，如图所示，将数字1．2，3，…，9填入的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15，便得到一个3阶幻方；一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数字的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方．记n阶幻方的一条对角线上的数字之和为（如），则的值是（    ） A．100 B．500 C．505 D．510 【变式9-1】（22-23七年级上·安徽滁州·阶段练习）小刚与小明在玩数字游戏，现有5张写着不同数字的卡片(如图)，小刚请小明按要求抽出卡片，完成下列问题： 3 0 (1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小？如何抽取？最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，如何抽取？写出运算式子．（一种即可） 【变式9-2】（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）有一次小明在做24点游戏时抽到的四张牌分别是5、8、1、2，每张牌只能用一次，可以用加、减、乘、除等运算，请写出一个成功的算式： ． 【变式9-3】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）“24点”的游戏规则是：任抽四个数，用加、减、乘、除四则运算列一个算式，使得计算结果为24．小明抽到的四个数是3，4，5，，请列出符合要求的算式： ． 【变式9-4】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________ (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________ (3)从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为24（注：每个数字只能用一次，请写出两种符合要求的运算式子： ________________________________    ________________________________ 考点十：含乘方的有理数混合运算 例10．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）计算： ． 【变式10-1】（23-24七年级上·安徽六安·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【变式10-2】（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【变式10-3】（23-24七年级上·安徽六安·阶段练习）计算：． 考点十一：用科学记数法表示绝对值大于1的数 例11．（23-24七年级上·安徽六安·阶段练习）据报道，截至2021年底，我国综合交通网总里程突破600万公里，我国建成了全球最大的高速铁路网、全球最大的高速公路网和世界级港口群，航空航海通达全球．数据“600万”用科学记数法可以表示为（　　） A． B． C． D． 【变式11-1】（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）2023年5月30日上午，我国载人航天飞船“神舟十六号”发射圆满成功，与此同时，中国载人航天办公室也宣布计划在2030年前实现中国人首次登陆距地球平均距离为万千米的月球．将384000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）2023年上半年，全省脱贫地区共投入农业特色产业发展财政资金83.9亿元，其中数据亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）中国第三艘航母“福建舰”满载排水量约达80000吨，则80000用科学记数法表示为 ． 考点十二：将用科学记数法表示的数变回原数 例12．（23-24七年级下·河北承德·期中）嫦娥五号返回器携带月球样品安全着陆，标志着中国航天业向前又迈出了一大步．嫦娥五号返回器在接近大气层时，飞行大约需要．数据用科学记数法表示为，则被遮住的0的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式12-1】（2024·广东珠海·一模）“学习强国”平台上线的某天，全国大约有人在此平台上学习，用科学记数法表示的数的原数为（    ） A．126300000 B．12630000 C．1263000000 D．1263000 【变式12-2】（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）《红楼梦》是我国古代四大名著之一，全书约有个字，用科学记数法表示的数的原数是 ． 【变式12-3】（22-23七年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）36 000 000用科学记数法表示应为 ；的原数是 【例1】计算： 易错攻克 在进行有理数的混合运算时，应先观察题目中是否含有括号.如果有，先做括号内的运算;如果没有，按照先乘方，再乘除，最后加减的运算顺序进行计算,同时利用运算律简便计算时，应仔细观察题目，熟悉运算律的使用方法. 1．（2024·安徽合肥·三模）2023年，我国国内生产总值超过126万亿元．其中数据“126万亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽滁州·三模）等于（    ） A． B．1 C． D． 3．（23-24七年级上·山东临沂·期末）下列各数中是正数的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）若三个数在数轴上的位置如图：则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）定义一种新的运算：当时，；当时，，则的值为（    ） A．17 B．13 C． D． 6．（23-24七年级上·安徽六安·阶段练习）用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数和，．例如： ，则的值为（　　） A． B．1 C．4 D． 7．（22-23七年级下·安徽宿州·期中） ． 8．（22-23七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算： ． 9．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，按下面的程序计算，当输入时，最后输出的的值是 ．    10． （23-24七年级上·安徽安庆·期末）计算： 11．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）计算： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 有理数的乘方 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解有理数的乘方的意义，并能进行乘方运算 2.掌握有理数的混合运算顺序,并能熟练、正确地进行计算 3.借助生活进一步感受较大的数,并能用科学记数法表示绝对值大于10的数 知识点一 有理数乘方的意义 1. 乘方的定义 求个相同因数的积的运算,叫做乘方. 一般地，，记作，读作“的次方”． 当 看作的次方的结果时,也可读作“的次幂” 2. 乘方的意义 乘方的结果叫做幂，在中，叫做底数，叫做指数,是指因数的个数. (1) 一个数可以看作这个数本身的一次方.例如就是,就是,指数1通常省略不写,指数是2时读作平方,指数是3时读作立方. (2) 乘方与幂不同,乘方是一种运算,幂是乘方的结果，乘方与幂的关系就如同乘法与积的关系. 注意：底数是负数或分数时要加括号 【例1】的底数是 ，指数是 ，写成积的形式是 ． 解：的底数是，指数是，写成积的形式是． 故答案为：，，． 知识点二 有理数乘方运算的符号规律 (1)正数的任何次幂都是正数 (2)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数 (3)0的任何正整数次幂都是0 在进行乘方运算时,应将乘方运算转化为乘法运算来完成,先确定幂的符号,再计算幂的绝对值 归纳 (1) 任何数的偶次幂都是非负数，即. (2) 1的任何次幂都是 1. (3) -1的偶次幂是1，即;-1的奇次幂是-1,即. (4) (1)互为相反数的两个数的奇次幂仍然互为相反数，即若 a+b=0,则; (5) (2)互为相反数的两个数的偶次幂相等，即若a+b=0,则 【例2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 解：（1）； （2）； （3）； （4） （5）． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练运用运算法则是解本题的关键． 知识点三 有理数的混合运算 有理数混合运算的顺序 (1)先乘方,再乘除,最后加减; (2)同级运算，从左到右进行; (3)如有括号先做括号内的运算按小括号中括号大括号依次进行. 【例4】（1）； （2）． 解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查有理数的四则混合运算以及乘方，熟练掌握有理数的四则混合运算法则是解题的关键． 知识点四 科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式(其中大于或等于1且小于10,是正整数),使用的是科学记数法.对于小于-10 的数也可以类似表示.例如 注意： (1)用科学记数法表示绝对值较大的负数时，不要漏掉“—”号. (2)用科学记数法表示的数只改变数的形式，而没有改变数的大小 (3)带单位的数要先转化为原数,再用科学记数法来表示 【例4】（1）用科学记数法表示下列各数：①2021；②576万；③0.027×104；④-70890． （2）把下列用科学记数法表示的数还原成原数：①3.5×106；②1.20×105；③-9.3×104；④-2.34×108． （3）下列的数各是几位数？①6×108；②1.4×107；③1019；④5.2×10n． 解：（1）用科学记数法表示各数分别为： ①2.021×103；②5.76×106；③2.7×102；④-7.089×104； （2）把科学记数法表示的数还原成原数为： ①3500000；②120000；③-93000；④-234000000； （3）①还原成原数是600000000，是9位数； ②还原成原数是14000000，是8位数； ③还原成原数是10000000000000000000，是20位数； ④还原成原数是5200…0[有(n-1)个0]，是(n+1)位数． 【点睛】此题考查了科学记数法表示数的方法和还原原数．解题的关键是明确科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 知识点五 用科学记数法表示一个绝对值较大的数 (1) 把小数点向左移动,得到整数位数只有一位的数(非零数),就是. (2) 小数点向左移动的位数就是.也可以用原数的整数位数减 1确定.如2356.25,将小数点向左移动3位可得a＝2.356 25,10的指数为3;也可以利用原数的整数位数 4减去1得到 10的指数为3. (3) 写成的形式 【例5】用科学记数法表示下列各数： （1）地球的体积约为1080000000000立方千米． （2）太平洋面积约为17970万平方千米． （3）银河系中约有恒星一千六百亿个． （4）预计到二十一世纪中叶，世界人口总数将达到九十亿人． 解：(1)1080000000000=1.08×1012； (2)17970万=179700000=1.797×108； (3)一千六百亿=160000000000=1.6×1011； (4)九十亿=9000000000=9×109． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值． 考点一：有理数幂的概念理解 例1．（22-23七年级上·安徽宿州·期中）在中，底数 ，指数是 ． 【答案】 7 4 【分析】根据有理数的乘方的定义：中a叫做底数，n叫做指数，即可得答案． 【详解】解：中，底数是7，指数是4， 故答案为：①7，②4． 【点睛】本题考查了有理数的乘方的概念，解题的关键是掌握中a，n的叫法． 【变式1-1】（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）表示（    ） A．3个相乘 B．3个5相乘的相反数 C．5个相乘 D．5个3相乘的相反数 【答案】B 【分析】本题考查有理数幂的概念理解，掌握表示个相乘，进行判断即可． 【详解】解：表示3个5相乘的相反数； 故选B． 【变式1-2】（23-24七年级上·安徽安庆·期末）下列说法正确的是（　　） A．的底数是 B．表示5个2相加 C．与意义相同 D．的底数是2 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方．根据乘方的意义，进行判断即可． 【详解】解：A、的底数是2，∴此选项的说法错误，故不符合题意； B、表示5个2相乘，∴此选项的说法错误，故不符合题意； C、表示3个相乘，表示3个3相乘的相反数，∴它们表示的意义不同，故不符合题意； D、的底数是2，∴此选项的说法正确，故此选项符合题意， 故选：D． 【变式1-3】（23-24七年级上·安徽宿州·期中）表示（    ） A．的相反数 B．与3的积 C．3个的和 D．3个的积 【答案】A 【分析】本题考查了有理数幂的概念理解和相反数的概念，根据有理数幂的概念理解和相反数的概念逐项判断即可．解决此题的关键是熟悉有理数幂的概念．相反数：只有符号不同的两个数互为相反数． 【详解】表示的相反数． 故选：A． 考点二：有理数的乘方运算 例2．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）若字母各表示一个有理数，则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值、非负数的性质等知识点，掌握几个非负数的和为零，则每个非负数均为零成为解题的关键． 根据绝对值、非负数的非负数的性质逐项判断即可解答． 【详解】解：A.由，，则，故该选项正确，不符合题意； B. 由，，则，故该选项正确，不符合题意； C. 由，，则，故该选项正确，不符合题意； C. 当且互为相反数时，故该选项错误，符合题意． 故选：D． 【变式2-1】（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）如下图是有理数在数轴上的位置，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据各点在数轴上的位置判断出a，b的符号及绝对值的大小，再对各小题进行逐一分析即可． 【详解】解：∵由图可知，，， ∴，故①正确； ，故②正确； ，故③正确； ，故④错误； 其中正确的是①②③， 故选：B． 【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴的特点是解答此题的关键． 【变式2-2】（23-24七年级上·安徽安庆·期中）下列各组数中，数值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，相反数定义，绝对值意义，理解有理数乘方的意义，是解题的关键．先计算，再判断即可． 【详解】解：A、，，故数值相等，符合题意； B、，，故数值不相等，不合题意； C、，，故数值不相等，不合题意；     D、，，故数值不相等，不合题意． 故选：A． 【变式2-3】（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）计算： ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，掌握有理数乘方运算的符号法则是解题的关键． 先算乘方，然后再进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：2． 【变式2-4】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质,根据非负数的性质，列方程求得和的值，进而求得代数式的值． 【详解】解：根据题意得：，， 解得：，， 则， 故答案为． 考点三：有理数乘方逆运算 例3．（22-23七年级上·安徽芜湖·期末）若是负数，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据乘方的定义即可依次判断． 【详解】解：A、是负数，则，不符合题意； B、是负数，则，不符合题意； C、是负数，则，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方，解题的关键是熟知乘方的运算法则． 【变式3-1】（22-23七年级上·湖北武汉·期中）已知，若，则的值（    ） A．86.2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两式结果相差2位小数点，利用乘方的意义即可求出x的值． 【详解】解：∵，， ∴， 则． 故选C． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解题的关键． 【变式3-2】（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作：，若，则，我们叫为“雅对”．根据上述规定， ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，理解新运算是解题的关键．根据，再由新运算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：2． 【变式3-3】（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）阅读下列各式：，，，…解答下列问题： (1)猜想：_____． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题干阅读部分信息，再总结可得答案； （2）利用（1）中规律结合乘方的含义把原式化为，再计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，… 归纳可得：； （2） ； 【点睛】本题考查的是新定义运算的含义，乘方的含义，理解题意，总结规律再运用规律解题是关键． 考点四：乘方运算的符号规律 例4．（23-24七年级上·河南驻马店·期末）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了偶次方以及绝对值的性质，根据偶次方以及绝对值具有非负性来解即可． 【详解】且 解得： 故答案为：． 【变式4-1】（23-24七年级上·广东揭阳·期末）计算： 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的乘方，根据有理数的乘方找到规律，计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：0． 【变式4-2】（23-24七年级上·广东韶关·阶段练习）若，则 ， ． 【答案】 / 【分析】本题考查了绝对值的非负性及乘方运算的符号规律，根据绝对值的非负性及乘方的非负性即可求解，熟练掌握绝对值的非负性及乘方运算的符号规律是解题的关键． 【详解】解：依题意得：，即：， ，即：， 故答案为：，2． 【变式4-3】（23-24七年级上·安徽池州·期中）如图，A，B，C三个点在数轴上表示的数分别为a，b，c，且．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动．    (1)求a，b，c的值： (2)点P运动到点C前，若点P到点A距离是到点C距离的3倍，求点P运动的时间； (3)若点P运动的同时，点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向点C运动，点Q到达点C后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A，在点P开始运动后，P，Q两点之间的距离能否为2个单位长度？如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)8秒 (3)或0或3或4 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题、绝对值的非负性、乘方运算的符号规律： （1）利用绝对值的非负性及乘方运算的符号规律即可求解； （2）利用数轴上两点之间的距离公式及数量关系列出算式即可求得点P表示的数为2，进而可求得 ，再根据速度、时间及路程之间的关系即可求解； （3）分类讨论：①点P在点Q右侧，两点同向而行，②当点P在点Q左侧，两点同向而行，③当点P在点Q左侧，两点背向而行，④当点P在点Q右侧，两点背向而行，进而可求解； 熟练掌握数轴上两点之间的距离公式及分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：， ，，， ，，． （2）由（1）可知，， 因为点P在之间，且点P到点A的距离是到点C距离的3倍， 所以， 因为点C表示的数为8，点P在点C的左边， 所以点P表示的数为：， 所以， 因为点P以每秒1个单位长度的速度运动， 所以当点P的运动时间为：（秒）时，点P到点A距离是到点C距离的3倍． （3）能，理由如下： 点P从点B运动到点C需要秒，而点Q从点A运动到点C需要秒，点Q到达点C时，此时点P表示的数为2， 所以当点P从点B运动到点C的过程中，点Q从点A运动到点C，又从点C返回，因此可分为四种情况讨论： 点Q到达点C之前： ①点P在点Q右侧，两点同向而行， 运动时间为秒，所以此时点P表示的数为； ②当点P在点Q左侧，两点同向而行， 运动时间为秒，所以此时点P表示的数为； 点Q从点C返回后： ③当点P在点Q左侧，两点背向而行， 运动时间为秒，所以此时点P表示的数为； ④当点P在点Q右侧，两点背向而行， 运动时间为秒，所以此时点P表示的数为. 综上所述，点P表示的数为或0或3或4． 考点五：乘方的应用 例5．（22-23七年级上·安徽亳州·期末）一条长的钢丝，第一次剪的去钢丝的，第二次剪去剩下钢丝的，如此剪下去，第次剪完后剩下钢丝的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的乘方运算法则即可求出答案． 【详解】解：第一次剪去钢丝的，剩下是， 第二次剪去剩下钢丝的，剩下是， 第次剪完后剩下钢丝的长度是． 故答案为：C． 【点睛】本题考查有理数的乘方，解题的关键是正确找出题中的规律． 【变式5-1】（23-24七年级下·广东清远·期中）某种细菌每分钟分裂成3个，一个细菌经过3分钟分裂，再继续分裂t分钟后共分裂成（    ）个． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了乘方的意义．掌握乘方的意义是解决本题的关键．根据每分钟分裂成3个，共分裂分钟，根据乘方的意义得结论． 【详解】解：根据题意得：某种细菌经过3分钟分裂，再继续分裂t分钟后共分裂成个， 故选：D． 【变式5-2】（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）为有理数，下列说法中正确的是（　　） A．是正数 B．是正数 C．是负数 D．的值不小于 【答案】B 【分析】此题考查非负数的性质，正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，，解题的关键是掌握偶次方的非负性． 【详解】 解：、当时，，此选项说法错误，不符合题意； 、∵， ∴，即是正数，此选项说法正确，符合题意； 、当时，，此选项说法错误，不符合题意； 、∵，则， ∴，的值不大于，此选项说法错误，不符合题意； 故选：． 【变式5-3】（23-24七年级上·安徽黄山·期中）观察算式：，，，，，，，，…，通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是 ． 【答案】7 【分析】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．通过观察得出3的乘方的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环是解决问题的关键． 从运算的结果可以看出尾数以3、9、7、1四个数字一循环，用2023除以4，余数是几就和第几个数字相同，由此解决问题即可． 【详解】解：已知，末位数字为3， ，末位数字为9， ，末位数字为7， ，末位数字为1， ，末位数字为3， ，末位数字为9， ，末位数字为7， ，末位数字为1， … 由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环， 又， 所以的末位数字与的末位数字相同是7． 故答案为：7． 【变式5-4】（22-23七年级上·安徽宿州·期中）【阅读理解】 求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如：，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“5的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般的，把记作，读作的圈次方”． （1）直接写出计算结果：_______； 【类比探究】 （2）有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试，将下列运算结果直接写成幂的形式： _______（且为正整数）； ______（且为正整数）； 【实践应用】 （3）计算： ①； ②（其中）． 【答案】（1）；（2） ，；（3）①；②． 【分析】（1）根据除方的定义求解即可； （2）根据除方的定义即可解答； （3）①先根据（2）的结论计算乘除，再计算加减； ②先根据（2）的结论计算，再设，进而可得，再两式相减计算即可． 【详解】（1）． 故答案为． （2）， ． 故答案为；． （3）① ． ②原式． 设， 则． 因为， 所以，所以， 所以． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，正确理解除方的定义、熟练掌握有理数混合运算的法则是解题的关键． 【变式5-5】阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，个相同的因数相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． 问题： (1)计算以下各对数的值：　 　；　 　；　 　． (2)通过观察（1），请直接写出、、之间满足的等量关系是　 　． (3)请你求出的值： 【答案】(1)2，4，6 (2) (3)5 【分析】此题考查定义新运算，掌握运算的方法，找出计算的规律解决问题． （1）根据对数的定义求解； （2）认真观察，不难找到规律：，； （3）利用（2）得出结论：，进一步计算得出答案即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：∵，，，； ∴； （3）解：； ， ． ∴． 考点六：有理数四则混合运算 例6．（23-24七年级上·四川南充·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1)4； (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）先算乘除法，再算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算； （2）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果括号，要先做括号内的运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式6-1】（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）【阅读思考】 根据绝对值的运算性质可知一个正数的绝对值是其本身，一个负数的绝对值是其相反数，0的绝时值是0，由此可知求一个算式整体的绝对值，可先判断数的正负性，再求它的绝对值，再化简． 例如：，． 【牛刀小试】 （1）根据上面的规律，把下列各式去掉绝对值符号，不要算出最后结果． ①_________； ②_________； ③_________； ④_________． 【拓展延伸】 （2）①； ②． 【答案】（1）①；②；③；④ （2）①；② 【分析】本题考查化简绝对值，有理数的运算，掌握绝对值的意义，是解题的关键． （1）根据绝对值的意义，化简各式即可； （2）先化简绝对值，再进行加法运算即可． 【详解】解：（1）①； ②； ③； ④； 故答案为：①；②；③；④ （2）①原式； ②原式 ． 【变式6-2】（23-24七年级上·安徽安庆·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，乘法运算律，掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用乘法分配律展开，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式6-3】（23-24七年级上·安徽亳州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则与顺序是解题的关键． （1）先计算乘方和按括号指明的运算顺序计算即可； （2）解法一：按有理数混合运算法则与运算顺序计算即可； 解法二：先求出原式的倒数，再根据倒数求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解法一：原式 ． 解法二：原式的倒数为： ， 原式． 考点七：有理数四则混合运算的实际应用 例7．（23-24七年级上·安徽宣城·开学考试）张阿姨准备把万元存入银行，存期两年，年利率为．到期时，张阿姨一共可以取回 元． 【答案】 【分析】根据本息和＝本金＋本金×利率×存期，代入数据解答即可． 【详解】解： （元）， ∴到期时，张阿姨一共可以取回元． 故答案为：． 【点睛】本题考查存款利息相关问题，公式：本息和＝本金＋本金×利率×存期．也考查了有理数的混合运算． 【变式7-1】（17-18七年级·安徽宣城·期中）某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产自行车100辆，由于各种原因，实际每天生产量与计划每天生产量相比有出入．下表是某周的自行车生产情况（超过计划生产量为正，不足计划生产量为负，单位：辆）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产自行车__________辆． (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产________辆． (3)若该厂实行按生产的自行车数量的多少计工资，即计件工资制．如果每生产一辆自行车就可以得到人民币60元．一周超额完成任务，每超一辆可多得15元；不足计划数的，每少生产一辆扣20元．那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)303 (2)27 (3)42675元 【分析】本题考查的是有理数的混合运算的实际应用及正数和负数的实际应用，解题的关键是读懂题意，正确的列出算式． （1）利用表格中前三个的数据和加上，进行求解即可； （2）表格中的最大数据减去最小数据，即可得到答案； （3）计算出生产自行车的总额，根据工资规则，进行计算即可． 【详解】（1）解： （辆）， ∴前三天共生产自行车303辆； 故答案为：303； （2）解：（辆）； ∴产量最多的一天比产量最少的一天多生产27辆； （3）解： 辆， （元）． 答：该厂工人这一周的工资总额是元． 【变式7-2】（23-24七年级上·安徽宣城·开学考试）一辆汽车以每小时千米的速度从甲地驶往乙地，行了全程的后，又行了小时，这时未行的路程与已行的路程比是，甲、乙两地相距多少千米？ 【答案】甲、乙两地相距千米 【分析】把全程看成单位“”，根据题意，行了全程的后，又行了小时，这时，已行的路程与未行的路程比是，这是已行的路程占全程的，那么小时走的路程为，然后用“速度×时间＝路程”的公式算出小时汽车走的具体路程，最后用“对应量÷对应分率”算出单位“”的量即可． 【详解】解： （千米） 答：甲、乙两地相距千米． 【点睛】本题考查比的应用．掌握比的应用及及行程问题的基本公式并能熟练的运用是解题的关键．也考查了有理数的混合运算． 【变式7-3】（22-23七年级上·江西赣州·期中）一架飞机进行特技表演，起飞后的高度变化如下表： 高度变化 上升 下降 上升 下降 上升 记作 (1)求此时飞机比起飞点高了多少千米？ (2)若飞机平均上升1千米需消耗6升燃油，平均下降1千米需消耗4升燃油，那么这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？ 【答案】(1)千米 (2)升燃油 【分析】（1）求得各数的和，根据结果的符号和绝对值即可判断位置； （2）由路程乘以耗油量再列式计算即可． 【详解】（1）解：（千米）． 答：此时飞机比起飞点高了千米； （2） （升）． 答：一共消耗升燃油． 【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际． 考点八：程序流程图与有理数计算 例8．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，某同学设计了一种计算流程图，即按照图中顺序计算，完成下列任务 （1）若输入的数是，则输出的数是 ； （2）若输入的数是1923，则输出的数是 ． 【答案】 2100 2023 【分析】本题考查流程图与有理数的计算，根据流程图，列出算式进行计算，是解题的关键． （1）根据流程图，列出算式进行计算即可； （2）根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）， 输出的数是2100． 故答案为：2100 （2）把1923代入，得，把代入，得， 输出结果为． 故答案为：2023 【变式8-1】（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为，则第次输出的结果为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了流程图、有理数计算、探究规律等知识点，归纳输出结果的规律是解题的关键． 由于，根据图形可得，第1次的输出结果应为，依次得出第2次、第3次、第4次……的输出结果；然后归纳所得的输出结果的规律，最后根据规律即可解答． 【详解】解：第1次的输出结果为； 第2次的输出结果为； 第3次的输出结果为； 第4次的输出结果为； 第5次的输出结果为； 第6次的输出结果为； … 所以从第3次开始，偶数次运算输出的结果是1，奇数次运算输出的结果是3， 由于是偶数，故第次输出的结果为1． 故答案为：1． 【变式8-2】（23-24七年级上·湖北宜昌·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图，若开始输入x的值是5，可发现第一次输出的结果是8，第二次输出的结果是4，……．请你探索第2023次输出的结果是 ．    【答案】1 【分析】本题考查数字的变化类，流程图，有理数的混合运算，根据题意，可以写出前几个输出结果，从而可以发现输出结果的变化特点，从而可以求得第2023次输出的结果． 【详解】解：第一次输出：， 第二次输出：， 第三次输出：， 第四次输出：， 第五次输出：， 第六次输出：， …… 从第二次开始，每3次为一循环，按照4，2，1的顺序进行循环， ∵， ∴第2023次输出的结果是第674组的第3个数， ∴第2023次输出的结果是1， 故答案为：1． 【变式8-3】（23-24七年级上·安徽合肥·期中）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图．若开始输入的值为，则最后输出的结果是 ．    【答案】8 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据题目所给运算程序，将代入进行计算． 【详解】解：第一次：， 第二次：， 故答案为：8． 考点九：算“24”点 例9．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）《辞海》注释：“幻方亦称魔方”即纵横图（注：南北曰纵，东西曰横），到现在仍是很流行的数学游戏，如图所示，将数字1．2，3，…，9填入的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15，便得到一个3阶幻方；一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数字的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方．记n阶幻方的一条对角线上的数字之和为（如），则的值是（    ） A．100 B．500 C．505 D．510 【答案】C 【分析】本题考查有理数混合运算的应用．根据题意，计算10阶幻方中，所有数字的和，再分析10阶幻方的特点、性质，计算可得答案． 【详解】解：根据题意，时，需要将100个正整数1，2，3，，100，填入的方格内， 全部数字的和为， 而幻方中，每一行的数字的和相等，则每一行数字之和为， 又由幻方中，每行、每列、每条对角线上的数字的和相等，故． 故选：C． 【变式9-1】（22-23七年级上·安徽滁州·阶段练习）小刚与小明在玩数字游戏，现有5张写着不同数字的卡片(如图)，小刚请小明按要求抽出卡片，完成下列问题： 3 0 (1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小？如何抽取？最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，如何抽取？写出运算式子．（一种即可） 【答案】(1)抽取和，最大值是 (2)抽取3和，最小值是 (3)（答案不唯一） 【分析】（1）根据题意和给出的五张卡片可以解答本题； （2）根据题意和给出的五张卡片可以解答本题； （3）根据题意可以写出相应的算式，本题答案不唯一． 【详解】（1）解：由题意可得， 从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，抽取和， 最大值是； （2）解：由题意可得， 从中抽取2张卡片，使这两张卡片数相除的商最小，抽取3和， 最小值是； （3）解：由题意可得， （答案不唯一）． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 【变式9-2】（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）有一次小明在做24点游戏时抽到的四张牌分别是5、8、1、2，每张牌只能用一次，可以用加、减、乘、除等运算，请写出一个成功的算式： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算， 根据计算和为24选择合适的运算符号和括号计算得出算式即可． 【详解】解：根据计算和为24可列算式：． 故答案为：． 【变式9-3】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）“24点”的游戏规则是：任抽四个数，用加、减、乘、除四则运算列一个算式，使得计算结果为24．小明抽到的四个数是3，4，5，，请列出符合要求的算式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据有理数的混合运算法则列式即可． 【详解】解：． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式9-4】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________ (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________ (3)从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为24（注：每个数字只能用一次，请写出两种符合要求的运算式子： ________________________________    ________________________________ 【答案】(1)6 (2) (3)； 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． ()根据题意列出算式，找出积最大值即可； ()根据题意列出算式，找出商最小值即可； ()利用“点”游戏规则列出算式即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 故最大值为； （2）解：， 故最小值为； （3）解：根据题意得：；， 即符合题意的式子为：；． 考点十：含乘方的有理数混合运算 例10．（23-24七年级下·安徽宿州·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】 本题主要考查有理数的混合运算，原式先计算乘方、负整数指数幂以及零指数幂，再计算乘法和除法，最后计算加减法即可． 【详解】 解： ． 【变式10-1】（23-24七年级上·安徽六安·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)7 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （2）先计算乘方，再计算括号内，然后计算乘除法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式10-2】（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则，正确的计算，是解题的关键。 （1）去绝对值，再进行减法运算即可； （2）先乘方运算，再从左到右依次运算即可。 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． 【变式10-3】（23-24七年级上·安徽六安·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号内的运算顺序求解即可． 【详解】解： ． 考点十一：用科学记数法表示绝对值大于1的数 例11．（23-24七年级上·安徽六安·阶段练习）据报道，截至2021年底，我国综合交通网总里程突破600万公里，我国建成了全球最大的高速铁路网、全球最大的高速公路网和世界级港口群，航空航海通达全球．数据“600万”用科学记数法可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：600万， 故选：B． 【变式11-1】（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）2023年5月30日上午，我国载人航天飞船“神舟十六号”发射圆满成功，与此同时，中国载人航天办公室也宣布计划在2030年前实现中国人首次登陆距地球平均距离为万千米的月球．将384000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，根据科学记数法的表示方法求解即可，解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】， 故选：B． 【变式11-2】（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）2023年上半年，全省脱贫地区共投入农业特色产业发展财政资金83.9亿元，其中数据亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定a、n的值是解题的关键． 亿写成，然后再写成（其中，n为整数）的形式即可． 【详解】解：亿． 故选：D． 【变式11-3】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）中国第三艘航母“福建舰”满载排水量约达80000吨，则80000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：80000用科学记数法表示为． 故答案为：． 考点十二：将用科学记数法表示的数变回原数 例12．（23-24七年级下·河北承德·期中）嫦娥五号返回器携带月球样品安全着陆，标志着中国航天业向前又迈出了一大步．嫦娥五号返回器在接近大气层时，飞行大约需要．数据用科学记数法表示为，则被遮住的0的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了用科学记数法表示的数还原成原数．把数据写成原数，就是把8的小数点向右移动5位． 【详解】解：把数据中8后的小数点向左移动5位就可以得到，原数中小数点后“0”的个数为4，其中有1个数未被遮住． 所以，被遮住的0的个数为（个） 故选：C． 【变式12-1】（2024·广东珠海·一模）“学习强国”平台上线的某天，全国大约有人在此平台上学习，用科学记数法表示的数的原数为（    ） A．126300000 B．12630000 C．1263000000 D．1263000 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法，将还原成即可求解；掌握表示一个的数的方法：“从右往左数到最后一个非“”数字，小数点移动的位数为就是．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：A． 【变式12-2】（23-24七年级上·贵州毕节·阶段练习）《红楼梦》是我国古代四大名著之一，全书约有个字，用科学记数法表示的数的原数是 ． 【答案】 【分析】 本题考查科学记数法数字还原，根据指数是几，小数点向右移即为求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：． 【变式12-3】（22-23七年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）36 000 000用科学记数法表示应为 ；的原数是 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，以及将用科学记数法表示的数变回原数，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，为整数（确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位）． 【详解】解：36 000 000用科学记数法表示应为， 的原数是， 故答案为：，． 【例1】计算： 【分析】按照有理数混合运算的顺序，先乘方后乘除最后算加减，有括号的先算括号里面的． 【解答】解：原式， ， ， ． 【点评】此题要注意正确掌握运算顺序以及符号的处理． 易错攻克 在进行有理数的混合运算时，应先观察题目中是否含有括号.如果有，先做括号内的运算;如果没有，按照先乘方，再乘除，最后加减的运算顺序进行计算,同时利用运算律简便计算时，应仔细观察题目，熟悉运算律的使用方法. 1．（2024·安徽合肥·三模）2023年，我国国内生产总值超过126万亿元．其中数据“126万亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：∵126万亿， 故选：B． 2．（2024·安徽滁州·三模）等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，根据有理数的乘方计算法则进行计算即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 3．（23-24七年级上·山东临沂·期末）下列各数中是正数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正数和负数、幂的运算及化简绝对值，先根据幂的定义、绝对值的应用化简，再根据正数的定义即可求得答案． 【详解】解：A.，是负数，故选项A不符合题意； B. ，是负数，故选项B不符合题意； C. ，是正数，故选项C符合题意； D. ，是负数，故选项D不符合题意； 故选：C． 4．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）若三个数在数轴上的位置如图：则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴、有理数的运算，由数轴可得：，，再通过有理数的加法、乘法、乘方的意义逐项判断即可，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由数轴可得：，， ，故A错误，不符合题意； ，故B正确，符合题意； ，故C错误，不符合题意； ，故D错误，不符合题意； 故选：B． 5．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）定义一种新的运算：当时，；当时，，则的值为（    ） A．17 B．13 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，理解新定义的含义是解答本题的关键． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴ ． 故选A． 6．（23-24七年级上·安徽六安·阶段练习）用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数和，．例如： ，则的值为（　　） A． B．1 C．4 D． 【答案】A 【分析】根据题目所给新运算的运算顺序和运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是正确理解题目所给新运算的运算顺序和运算法则． 7．（22-23七年级下·安徽宿州·期中） ． 【答案】 【分析】先计算乘方，再进行乘法运算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为： 【点睛】本题考查了乘方与乘法运算，掌握乘方与乘法的运算法则是关键． 8．（22-23七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算： ． 【答案】 【详解】 ， 故答案为． 【点睛】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键．混合运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算．如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行．有时也可以根据运算定律改变运算的顺序． 9．（23-24七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，按下面的程序计算，当输入时，最后输出的的值是 ．    【答案】 【分析】根据下面的程序计算，列式为，输入时，即可计算出的值． 【详解】解：依题意，程序计算为：， 当时，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了程序流程图与有理数计算，涉及有理数的乘法与加法法则，正确理解程序计算为是解题的关键． 10．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）计算： 【答案】 【分析】题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．根据有理数的乘方、有理数的乘除法和减法可以解答本题． 【详解】原式 11．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则以及运算顺序进行计算即可求解． 【详解】解： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$