第04讲 有理数的乘除法(7个知识点+10个考点+1个易错诊断）【暑假自学课】-2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（沪科版2024）

第04讲 有理数的乘除法 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.了解有理数乘除法的意义,掌握并会运算有理数的乘除法. 2.理解有理数的乘法运算律,并会运用运算律简化运算 3.理解有理数的倒数的意义，会求一个有理数的倒数 4.能利用有理数的乘除法解决实际问题. 知识点一 有理数的乘法法则 1. 有理数的乘法法则 (1) 两数相乘，同号得正，异号得负,并把绝对值相乘; (2) 任何数与0相乘,都得0. 2. 有理数乘法的运算步骤 (1)确定积的符号;(2)确定积的绝对值 注意： 确定积的符号是乘法运算中至关重要的一步,法则中的“同号得正,异号得负”是指两数相乘,不要与有理数的加法法则混淆. 【例1】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查多个有理数的乘法运算，正确计算是解题的关键． 解题技巧 (1)两负数相乘,第一个负因数可以不带括号,但后面的负因数必须带括号,例如不能写成 (2)在进行乘法运算时,带分数要化成假分数，以便于约分.分数与小数相乘时,要根据两个数的特点，统一成分数或小数. (3)乘法运算的最后结果一定是最简分数或整数. 知识点二 倒数的概念 1. 倒数 乘积是的两个数互为倒数. 当时,与互为倒数; 当,时,与互为倒数. 注意：倒数是它本身的数只有1和-1. 2. 倒数与相反数的区别 倒数 相反数 定义 乘积是1的两个数互为倒数 只有符号不同的两个数互为相反数 表示 的倒数是 的相反数是 性质 若,互为倒数,则 若,互为相反数,则 判定 若,则,互为倒数 若，则,互为相反数 相同点 都成对出现 不同点 正数的倒数是正数,负数的倒数是负数，0没有倒数 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数,0的相反数是0 【例2】求下列各数的倒数：（1）；（2）；（3）-1.25；（4）5. 【分析】因为两个数相乘之积为1,则这两个数互为倒数,根据倒数的定义即可求解. 【详解】解：（1）的倒数是, （2）的倒数是, （3）﹣1.25==，故﹣1.25的倒数是, （4）5的倒数是． 【点睛】本题主要考查倒数的概念,解决本题的关键是要熟练掌握倒数的概念. 解题技巧 求倒数的方法(1)一个不为0的整数的倒数就是这个数分之一;(2)求一个真分数的倒数就是把这个分数的分子和分母交换位置;(3)求一个带分数的倒数，要先把带分数化成假分数，然后交换分子、分母的位置;(4)求一个小数的倒数要先把小数化成分数,再求其倒数. 知识点三 多个有理数相乘 1.几个不是0的数相乘的法则 积的符号由负因数的个数决定.当负因数的个数是偶数时,积是正数;当负因数的个数是奇数时,积是负数.确定符号后,再把这几个有理数的绝对值相乘.简记为“偶正奇负，绝对值相乘” 2.有因数0的几个数相乘的法则 几个数相乘，如果其中有因数为0,那么积等于0.同样,若积为零则至少有一个因数为零. 注意：多个有理数相乘三步骤： 第1步,看因数中有没有0; 第2步,判断积的符号(根据负因数的个数); 第3步,计算积的绝对值 【例3】计【例3】算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数的乘法法运算，按从左到右的顺序进行计算即可求解. （2）根据有理数的乘法法运算，按从左到右的顺序进行计算即可求解. 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘法运算，同级运算，应按从左到右的顺序进行计算． 解题技巧 在乘法运算中,一般先把式子中所有的小数化为分数,带分数化为假分数，然后再确定符号，并把绝对值相乘. 知识点四 有理数的乘法运算律 运算律 文字表达 符号语言 乘法交换律 两个数相乘,交换因数的位置,积相等 乘法结合律 三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘，积相等 乘法分配律 一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加 有理数的乘法交换律或乘法结合律一般不单独用,交换的目的是为了更好地结合. 【例4】简便运算 (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）利用有理数乘法运算律计算，即可求解； （2）利用有理数乘法运算律计算，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：                     【点睛】本题主要考查了有理数的乘法运算律，熟练掌握有理数的乘法运算律是解题的关键． 【变式4-1】用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据乘法的分配率计算即可； （2）先拆项，再根据乘法的分配率计算． 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的计算，熟练掌握乘法分配率是解答本题的关键． 知识点五 有理数除法法则 法则1： 除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.用公式表示为（除数一定不能为0哦!） 法则2： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数都得0. 提示 (1) 有理数除法没有交换律、结合律,更没有分配律. (2) 两个数相除,若商是 1,则这两个数相等;若商是 -1,则这两个数互为相反数. (3) 任何数除以1都得原数;任何数除以-1都得原数的相反数;除以一个非0数等于这个数的倒数. 技巧点拨 有理数除法的两个法则的如何选用？ 如果被除数和除数都是整数，且能整除，一般选用法则(2)进行计算,先确定商的符号,再将两数的绝对值相除.否则，一般选用法则(1)进行计算,法则(1)是把除法转化为乘法 【例5】计算： 解题技巧 在进行有理数除法运算时,首先确定商的符号,然后将其绝对值相除或者将除法转化为乘法进行计算 【变式5-1】化简下列分数： （1） ；       （2）；    （3）； （4） （5）； （6）； （7）； （8）． 【答案】（1）；；（2）；（3）20；（4）-3；（5）-；（6）3 （7）–；（8）– 【分析】根据有理数的除法法则，即可求解． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）=-3； （5）=-； （6）==3 （7）==–； （8）==–． 【点睛】本题主要考查了有理数的除法法则，熟练掌握除以一个不为0的数等于乘以这个数的倒数，还要注意两数相除，同号得正，异号得负是解题的关键． 解题技巧 化简分数要遵循“同号得正，异号得负”的符号法则,分子、分母、分数线前,若有一个或两个负号,则负号可以移到三个位置的任何一个,而分数的值不变. 知识点六 有理数乘除的同级运算 有理数乘除同级运算通常是先将除法转化成乘法，然后按照乘法法则,确定积的符号，最后求出结果 注意： 1. 除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算； 2. 有理数的乘除运算是同级运算,如果没简便计算情况下，一般要按照从左到右的顺序进行. 【例6】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【点睛】本题主要考查了乘除的混合运算，解题的关键是熟记混合运算顺序与乘除运算法则． 知识点七 有理数的混合运算 1.有理数的加减乘除混合运算 （1）混合运算中，按照“先算乘除一级,再算加减一级”的顺序进行； （2）有括号时，应先算括号里面的. 2.计算器的使用 不同品牌的计算器操作方法可能有所不同，具体操作方法应参考计算器的使用说明,熟悉各功能键. 另外,还要注意以下几点: (1)计算器要平稳放置，以免按键时发生晃动和滑动； (2)计算开始时,要先按开启键;停止使用时要注意按关闭键； (3)确定按键顺序后，按照算式从到右的顺序直接输入； (4)在输入数据和算式时,每次按键都要注意显示器上是否显示出了相应的数字或运算符号，以免因漏按或按不实而出现错误； (5)每次运算时,要按一下清零键； (6)注意负数的输入方式. 【例7】计算：． 解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【变式7-1】计算： 【答案】 【分析】利用分配律先计算乘法，同步计算除法运算，再算加法即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查的是有理数的四则混合运算，熟记运算顺序是解本题的关键． 考点一：两个有理数的乘法运算 例1．（2023·安徽淮北·二模）计算的结果是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数的乘法进行计算即可求解． 【详解】解： 故选：D． 【变式1-1】（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）若则a与b的积（    ） A．一定大于0 B．一定小于0 C．一定不为0 D．不确定 【答案】D 【分析】根据有理数的加法与乘法运算法则进行判断即可； 【详解】解：∵ 与同为正数或与异号，且正数的绝对值较大或与中有一个数为0， ∴与的积可能大于0，也可能小于0，也可能等于0， 故选：D． 【点睛】该题主要考查了有理数的加法运算以及乘法运算，解题的关键是判断与的符号． 【变式1-2】（2024·广东深圳·三模）计算的结果为（    ） A．2024 B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则． 根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】． 故选：A． 【变式1-3】（2024·天津滨海新·二模）计算的结果等于（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法．根据有理数的乘法法则计算即可求解． 【详解】解：． 故选：D． 考点二：多个有理数的乘法运算 例2．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，奇数个负数的乘积为负数，偶数个负数的乘积为正数． （1）根据有理数的乘法计算法则求解即可； （2）根据有理数的乘法计算法则求解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-1】（2024六年级下·上海·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查多个有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法运算律． （1）首先确定乘积的符号，再根据乘法结合律计算即可； （2）首先确定乘积的符号，再计算； （3）首先确定乘积的符号，再计算； （4）首先确定乘积的符号，再利用乘方交换律，结合律计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式2-2】（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）下列计算结果最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法运算，比较有理数的大小．先根据乘法法则，判断出积的符号，根据正数大于0，0大于负数，进行判断即可． 【详解】解：根据乘法法则可知：A选项中的积为正数，B，C选项中的积为负数，D选项的积为0， ∴计算结果最大的是选项A． 故选A． 【变式2-3】（22-23七年级上·安徽马鞍山·期中）观联下列等式，，…． 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)猜想并写出：_____________． (2)直接写出下列各式的计算结果：_____________． (3)探究并计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干所给方法可直接进行求解； （2）根据题干所给方法及（1）中的结论可进行求解； （3）根据（1）中所给结论可进行求解． 【详解】（1）解：； 故答案为； （2）解：原式= = =； 故答案为； （3）解：原式= = = =． 【点睛】本题主要考查有理数的乘法运算及加减运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键． 考点三：有理数乘法的实际应用 例3．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）某出租车司机小李某天下午的营运全是在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程如下（单位：千米）：，，，，． (1)将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出发点的距离是多少千米？此时在出发点的东边还是西边？ (2)若汽车耗油量为升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)此时在出发点的西边4千米处； (2)这天下午汽车共耗油6升． 【分析】本题考查的是有理数的加减运算的实际应用，混合运算的实际应用，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键； （1）把记录的数据相加，再根据结果可得答案； （2）先求解路程和，再乘以单位耗油量即可得到答案． 【详解】（1）解：， 答：此时在出发点的西边4千米处； （2）（千米）， （升）， 答：这天下午汽车共耗油6升； 【变式3-1】（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：． (1)请你帮忙确定地相对于地的方位？ (2)救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有多远？ (3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 【答案】(1)B地在A地的东边20千米 (2)救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有千米 (3)冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充9升油 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加减法的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）将所给的路程记录相加，如果结果为正则B地在A地的东边，如果结果为负则B地在A地的西边，如果结果为0则B地与A地重合； （2）分别算出每次航行后离出发点的位置即可得到答案； （3）先求出总路程，再求出总油耗即可得到答案． 【详解】（1）解： （千米）， ∴B地在A地的东边20千米； （2）解：第一次航行后距离A地千米； 第二次航行后距离A地（千米）； 第三次航行后距离A地（千米）； 第四次航行后距离A地（千米）； 第五次航行后距离A地（千米）； 第六次航行后距离A地（千米）； 第七次航行后距离A地（千米）； 第八次航行后距离A地（千米）； ∴救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有千米； （3）解： （升）， （升）． ∴冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充9升油． 【变式3-2】（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）某果农把自家果园的柑橘包装后放到网上销售．原计划每天卖10箱，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某个星期的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：箱）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知前五天共卖出多少箱？ (2)本周实际销售总量有没有达到计划数量？请通过计算说明． 【答案】(1)根据记录的数据可知前五天共卖出45箱； (2)本周实际销售总量达到了计划数量 【分析】此题考查正数和负数的问题．理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键； （1）将前五天的销售量相加即得结论； （2）将表格中记录的数据相加得出结果，结果的符号表示达到或不足，结果的绝对值表示达到或不足的数量． 【详解】（1）解：（箱， 答：根据记录的数据可知前五天共卖出45箱； （2）解：， 答：本周实际销售总量达到了计划数量． 【变式3-3】（23-24七年级上·安徽宿州·期中）某检修小组乘汽车检修公路，向东记为正，向西记为负．某天他们自A地出发，所走路程（单位：千米）为． (1)他们最后是否回到出发点？若没有，在A地的什么地方？距离A地多远？ (2)若汽车每千米耗油0.08升，这一天共耗油多少升？ 【答案】(1)不能回到出发点，在A地东边6千米处 (2)这一天共耗油6.4升 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算以及乘法的应用． （1）求出各有理数的和，即可得出离地的距离以及方向； （2）求出各有理数的绝对值的和与的积，即可． 【详解】（1）解： ， 答：不能回到出发点，在A地东边6千米处； （2）解： （千米）， （升）． 答：这一天共耗油6.4升． 考点四：倒数 例4．（2018九年级·河南·专题练习）的倒数是（　　） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】此题主要考查了倒数的定义．直接利用倒数的定义“两个数乘积是1的数互为倒数”得出答案． 【详解】解：的倒数为． 故选：B． 【变式4-1】（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）的负倒数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的负倒数，熟知乘积为的两个数互为负倒数是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的负倒数是， 故答案为：． 【变式4-2】（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，，求的值． 【答案】3或 【分析】根据相反数的定义出，根据倒数的定义得出，根据绝对值的意义得出或，即可求解． 【详解】解：∵a，b互为相反数， ∴， ∵c，d互为倒数， ∴， ∵， ∴或， 当时，， 当时，． 【点睛】本题主要考查了相反数，倒数，绝对值，解题的关键是掌握相反数相加得0，乘积为1的两个数互为倒数，绝对值表示数轴上的点到原点的距离． 【变式4-3】（22-23七年级上·安徽六安·阶段练习）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，e为数轴上一点，到0的距离为1，求的值． 【答案】0或 【分析】由题意可得，再代入所求的式子运算即可． 【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，e为数轴上一点，到0的距离为1， ∴，，． 当时，原式； 当时，原式． ∴的值为0或． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【变式4-4】（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，已知数轴上的点，，分别表示实数，，．    (1)化简：； (2)若，，且满足与互为相反数，，互为倒数，试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点在数轴上的位置确定的大小，进而可以对绝对值进行化简； （2）根据与互为相反数可得互为倒数可得，即可求出的值，再代入代数式求值即可； 【详解】（1）解：由数轴，知 ∴ （2）解：由题意，知，， ∴，， 所以． 【点睛】本题考查数轴与有理数，化简绝对值，倒数和相反数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，只有符号不同的两个数互为相反数． 考点五：有理数乘法运算律 例5．（21-22七年级上·浙江金华·期末）利用分配律计算时，正确的方案可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把带分数化成假分数即可得到答案． 【详解】解：， 故选B． 【点睛】本题主要考查了有理数乘法分配律，正确把带分数化成假分数是解题的关键． 【变式5-1】（23-24七年级上·江苏连云港·开学考试）观察下图，它的计算过程可以解释（　　）这一运算规律          A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律 【答案】D 【分析】根据图形，可以写出相应的算式，然后即可发现用的运算律． 【详解】解：由图可知，， 由上可得，上面的式子用的是乘法分配律， 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算律是解答本题的关键． 【变式5-2】（21-22七年级上·安徽淮北·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】运用乘法分配律简便计算． 【详解】解：原式＝， 故填：14． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练应用乘法分配律是关键． 【变式5-3】（23-24七年级上·安徽宿州·期末）计算 (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，混合运算． （1）根据有理数加法运算法则计算即可． （2）逆用分配律计算即可． 【详解】（1） ． （2） ． 【变式5-4】（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)29 【分析】本题主要查了有理数的混合运算： （1）从左往右计算，即可求解； （2）利用有理数的乘法分配律计算，即可求解 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式         考点六：有理数的除法运算 例6．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）计算：； 【答案】50 【分析】本题考查有理数计算．根据题意先整理算式，再利用乘法分配律运算即可得到本题答案． 【详解】解：． 【变式6-1】（23-24七年级上·安徽安庆·期中）若两个数的商为，下列说法错误的是（    ） A．这两个数一定异号 B．这两个数一定互为相反数 C．这两个数的绝对值一定相等 D．这两个数可能相等 【答案】D 【分析】本题考查相反数、绝对值、有理数的除法等知识，根据“两个数的商为”逐项判断即可． 【详解】解：A．∵两个数的商为，∴这两个数一定异号，故正确； B．∵两个数的商为，∴这两个数一定互为相反数，故正确； C．∵两个数的商为，∴这两个数一定互为相反数，∴这两个数的绝对值一定相等，故正确； D．∵两个数的商为，∴这两个数一定异号，∴这两个数不可能相等，故不正确． 故选D． 【变式6-2】（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数乘法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数除法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数乘除运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘法和除法运算法则，准确计算． 【变式6-3】（20-21七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据有理数的加减混合运算进行计算； （2）根据有理数的加减混合运算进行计算； （3）根据有理数的除法法则进行计算； （4）根据有理数的乘法，运用乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【变式6-4】（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）阳阳同学做一道计算题的解答过程如下： 解：原式    ①     ②     ③    ④ 根据阳阳同学的计算过程，回答下列问题： (1)她的计算过程是否正确？______（填写“正确”或“错误”）； (2)若有错误，她在第______步开始出错了（只填序号）； (3)请写出本题正确的解答过程． 【答案】(1)错误 (2)① (3)见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算．熟练掌握先算括号里的，然后进行乘除运算，最后进行加减运算是解题的关键． （1）根据运算法则进行判断作答即可； （2）根据运算法则进行判断作答即可； （3）先算括号里的，然后进行乘除运算，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）解：由题意知，计算过程错误， 故答案为：错误； （2）解：由题意知，第①步计算除法时出现错误， 故答案为：①； （3）解：原式 ． 【变式6-5】（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）阅读下列材料：计算． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的． (2)请你选择一种合适的解法解答下列问题：计算：． 【答案】(1)没有除法分配律，故解法一错误； (2)过程见解析，． 【分析】（1）根据有理数的的运算法则进行判断，可得答案； （2）根据有理数的运算顺序，计算原式的倒数，即可得出答案． 【详解】（1）解：没有除法分配律，故解法一错误； （2）原式的倒数为： ， 所以原式 【点睛】本题考查了有理数的除法，熟练掌握有理数的运算法则是解决本题的关键． 考点七：有理数除法的应用 例7．（22-23七年级上·安徽淮南·开学考试）李华小时走了千米，他走1千米要多少小时？正确列式是（　　） A． B． C． 【答案】C 【分析】走1千米所需时间＝总时间÷总路程，即可求解． 【详解】解：∵走1千米所需时间＝总时间÷总路程， ∴正确列式为： 故选：C 【点睛】本题考查有理数的除法运算的实际应用．抓住速度＝路程÷时间即可． 【变式7-1】（22-23七年级上·安徽芜湖·期中）如图，A，B两点在数轴上的位置表示的数分别为a，b．有下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ） A．①④ B．①② C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】先根据a、b在数轴上的位置判断出a、b的取值范围，再比较出各数的大小即可． 【详解】解①∵， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③∵， ∴，， ∴，故③错误； ④∵， ∴， ∴，故④错误； 正确的结论是①②， 故选：B 【点睛】本题考查的是比较大小，根据字母的取值判断式子的正负是解题的关键． 【变式7-2】（23-24七年级上·安徽亳州·期中）某公司去年1～3月份平均每月亏损1.6万元，4～6月份平均每月盈利2万元，7～10月份平均每月盈利1.7万元，11～12月份平均每月亏损2.2万元（假设盈利为正，亏损为负） (1)试说明去年该公司是盈利的还是亏损的． (2)求去年该公司平均每月盈利（或亏损）多少万元， 【答案】(1)盈利的 (2)盈利0.3万元 【分析】本题考查有理数运算的实际应用． （1）用平均数的定义求出去年的经营总额，根据和的情况进行判断即可； （2）用（1）中的结果除以12即可得出结果． 读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意，得：万元； ∴去年该公司是盈利的； （2）万元； 答：去年该公司平均每月盈利0.3万元． 【变式7-3】一只小虫从某点出发，在一条直线上来回爬行，假定把向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，则爬行各段路程（单位：厘米）依次为： ，，，，，， (1)通过计算说明小虫是否回到起点； (2)如果小虫爬行的速度为0.5厘米/秒，那么小虫共爬行了多长时间． 【答案】(1)小虫回到起点 (2)小虫共爬行了108秒 【分析】本题考查正负数的应用．有理数运算的应用． （1）将所有数据相加，根据和的情况进行判断即可； （2）将所有数据的绝对值相加后，除以速度，即可． 读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键． 【详解】（1）解： （厘米） 答：小虫回到起点． （2）（秒）； 答：小虫共爬行了108秒． 【变式7-4】（22-23七年级上·安徽亳州·阶段练习）神舟十三号飞船在太空中绕地球飞行，地球半径约为6400千米，神舟十三号飞船飞行时离地面高度约400千米． (1)神州十三号绕地球飞行一圈飞行约多少千米？（取） (2)如果神州十三号的飞行速度为每秒钟约飞行千米，求飞船绕地球飞行一周大约需要多少小时．（结果保留两位小数） 【答案】(1)神州十三号绕地球飞行一圈飞行约42704千米 (2)飞船绕地球飞行一周大约需要小时 【分析】（1）根据圆的周长计算公式进行计算即可； （2）根据速度、路程、时间列式计算即可． 【详解】（1）解：， 答：神州十三号绕地球飞行一圈飞行约42704千米． （2）解：（小时）， 答：飞船绕地球飞行一周大约需要小时． 【点睛】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算． 考点八：有理数乘除混合运算 例8．（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）计算的结果是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的乘除运算，求解即可． 【详解】解：， 故选：C 【点睛】此题考查了有理数的乘除运算，解题的关键是掌握有理数的乘除运算法则． 【变式8-1】（22-23七年级上·安徽合肥·阶段练习）直接写出计算结果： ． 【答案】 【分析】根据有理数的乘除运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘除运算，掌握有理数的乘除运算法则是解答本题的关键． 【变式8-2】（22-23七年级上·吉林松原·期中）阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第______________步，错误原因是______________； 第二处是第______________步，错误原因是______________； (2)请写出正确的结果______________． 【答案】(1)二；没有按同级运算从左至右运算；三；符号弄错 (2) 【分析】本题考查了有理数乘除混合运算，乘除同时出现时，按照从左到右顺序依次计算不能乱了顺序． （1）从运算的顺序，运算符号，运算结果三个方面去分析求解即可． （2）按照正确的运算顺序，规范解答即可． 【详解】（1）根据题意，得： 第一处是第2步，错误原因是没有按同级运算从左至右运算； 第二处是第3步，错误原因是符号弄错，同号得正， 故答案为：二；没有按同级运算从左至右运算；三；符号弄错． （2） ． 【变式8-3】（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)-1 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 【点睛】本题考查有理数的运算．熟练掌握有理数的运算法则，正确的计算，是解题的关键． 【变式8-4】（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）计算题： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 考点九：有理数四则混合运算 例9．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）计算：． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的混合运算．先算乘法，后算加减，有括号先算括号里，即可解答． 【详解】解： ． 【变式9-1】（23-24七年级上·安徽宿州·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了有理数的混合运算， （1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）先计算括号内，然后计算除法，最后计算加减求解即可； 解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式9-2】（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，准确计算． 【变式9-3】（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）计算题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘法与除法运算，再计算加减运算即可； （2）直接利用乘法的分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； 【点睛】本题考查的是有理数的乘法分配律的应用，有理数四则混合运算，掌握有理数的混合运算的运算顺序是解本题的关键． 【变式9-4】（23-24七年级上·安徽铜陵·期中）问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式： ，，，， 【独立思考】（1）在等式中寻找规律，并利用规律计算： 【实践探究】（2）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为2．并提出新的问题：，请你计算； 【问题拓展】（3）求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查有理数的混合运算．掌握等式的规律，利用裂项法，进行求解，是解题的关键． （1）利用规律，将转化为进行计算即可； （2）利用规律，将转化为进行计算即可； （3）将转化为，再利用规律解题即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ． 考点十：有理数四则混合运算的实际应用 例10．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）体育课上，对七（1）班的学生进行了跳绳的测试，以能跳180个为标准，超过次数用正数来表示，不足的次数用负数来表示，其中10名男同学成绩如下： 5，，，8，0，10，0，12，，． (1)课上规定不低于180个算达标，则这10名同学的达标率为多少？ (2)求它们共跳绳多少个？ 【答案】(1) (2)他们共跳绳1819个 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出对应的算式求解是解题的关键． （1）跳绳次数不低于180的算达标，则记录中为非负数的位达标，据此求出达标人数，然后用达标人数除以总人数即可求出达标率； （2）把10名同学的跳绳记录相加，再加上即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，达标的人数有6人， ∴达标率为：； （2）（个）， 答：他们共跳绳1819个． 【变式10-1】（23-24七年级上·安徽淮南·阶段练习）某自行车厂计划每天生产200辆自行车，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车 辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车 辆； (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得30元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖20元；少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)212 (2)26 (3)42500元 【分析】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，有理数的混合运算的应用，关键是理解正负数的实际意义以及有理数混合运算法则． （1）根据题意和表格可以求得该厂星期四生产多少辆； （2）根据题意和表格可以求得该厂产量最多的一天的产量和产量最少一天的产量，从而可以解答本题； （3）根据规定列出算式，然后根据有理数的混合运算方法进行计算即可求解． 【详解】（1）解：辆， 故答案为：； （2）解：产量最多的是星期六，最少的是星期五， ∴多生产自行车的辆数为辆， 故答案为：； （3）解：辆， 元， 答：该厂工人这一周的工资总额是42500元． 【变式10-2】（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）一只瓢虫从点P出发，在一根树枝上来回爬行，假定将向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，则爬行各段路程（单位：厘米）依次为． (1)通过计算说明瓢虫是否回到起点P． (2)如果瓢虫爬行的速度为厘米/秒，那么瓢虫共爬行了多长时间？ 【答案】(1)瓢虫回到起点P． (2)瓢虫共爬行了108秒 【分析】（1）将所记录数据相加，若结果等于0，则回到起点，否则没有回到起点； （2）将所记录数据的绝对值相加，得到瓢虫爬行路程，再根据时间=路程÷速度，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴瓢虫回到起点P． （2）解：（米）， （秒）， 答：瓢虫共爬行了108秒． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出算式计算． 【变式10-3】（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）章明同学上周晨跑记录（单位：分钟）如下表所示． 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 12 11 14 10 （以30分钟为基准，超过30分钟的部分记为“＋”，不足30分钟的部分记为“－”） (1)他晨跑时间最长的一天比最短的一天多跑几分钟？ (2)若他晨跑的平均速度为每分钟千米，这七天他共跑了多少千米？ 【答案】(1)章明同学晨跑时间最长的一天比最短的一天多跑22分钟； (2)这七天他共跑了24千米． 【分析】（1）根据时间差标准差的最大值标准差的最小值即可解答； （2）先计算出一周的总运动时间，利用路程，速度，时间的关系计算即可． 【详解】（1）解：（分钟）， 答：章明同学晨跑时间最长的一天比最短的一天多跑22分钟； （2）解：（分钟）， （千米）， 答：这七天他共跑了24千米． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，根据题意列出算式是解题的关键． 【例1】计算：． 【分析】将带分数变为假分数，除法变为乘法，再约分计算即可求解． 【解答】解： ． 【点评】考查了有理数的乘除法，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算． 易错攻克 多个非0因数相乘,乘积的符号由负因数的个数决定. 【例2】用简便方法计算： ①； ②． 【分析】①利用乘法分配律计算即可； ②利用乘法分配律计算即可． 【解答】解：①原式 ． ②原式 ． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的乘法的分配律是解答本题的关键． 易错攻克 在运用分配律时，既要做到不重复使用算式中的符号，也不能忽略算式中的符号. 1．（2024·江苏扬州·中考真题）实数2的倒数是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数的定义，根据倒数的定义：“乘积为1的两个数互为倒数”即可求解，掌握倒数的概念是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的倒数为， 故选：D ． 2．（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）现有以下四个结论：①若两个数互为相反数，则它们相除的商等于；②任何一个有理数都可以在数轴上表示；③两个数的和为正数，则这两个数可能异号；④几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，其中正确的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据数轴、相反数、有理数的乘法的法则分别对每一项进行分析即可； 【详解】解：①若两个数（非0）互为相反数，则它们相除的商等于，故原命题错误； ②任何一个有理数都可以在数轴上表示，故原命题正确； ③两个数的和为正数，则这两个数可能异号；故原命题正确； ④几个非零的有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，故原命题错误； 故选：C． 【点睛】此题考查了数轴、相反数、有理数的乘法的法则等知识点的运用，属于基础题，注意概念的掌握，及特殊例子的记忆． 3．（2024·四川宜宾·中考真题）如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（    ） A．8 B．18 C．28 D．32 【答案】C 【分析】本题考查新定义，解题的关键是正确读懂新定义．根据新定义逐个判断即可得到答案． 【详解】解∶∵，， ∴8不是完美数，故选项A不符合题意； ∵，， ∴18不是完美数，故选项B不符合题意； ∵，， ∴28是完美数，故选项C符合题意； ∵，， ∴32不是完美数，故选项D不符合题意； 故选：C 4．（2024·山东烟台·中考真题）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？ A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化规律，由题意可知每天减少的量一样，由数的规律求和即可，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，第一天织布尺，第天织布尺， ∴一共织布（尺）， 故选：． 5．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）如图，有理数、在数轴上的对应点如图所示，则下列式子中正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，绝对值的含义，有理数的加减乘除运算的运算符号的确定问题，本题先判断，，再结合运算法则逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，，，， ∴A，B，D不符合题意；C符合题意； 故选C 6．（2022·广西玉林·中考真题）计算： ． 【答案】-1 【分析】根据有理数的除法运算可进行求解． 【详解】解：原式=； 故答案为-1． 【点睛】本题主要考查有理数的除法，熟练掌握有理数的除法运算是解题的关键． 7．（2022·湖北随州·中考真题）计算： ． 【答案】0 【分析】根据有理数乘法运算、绝对值运算和有理数加法运算法则分别计算后求解即可 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的运算，涉及到加法运算、乘法运算及绝对值运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． 8．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）如图所示，下面的数轴被墨迹盖住了一部分，墨迹端点处的数值已标出，请你解答下列问题．    （1）被墨迹盖住的整数共有 个； （2）被墨迹盖住的所有整数之和为 ． 【答案】 208 5050 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，有理数加减运算： （1）根据题意可得在与之间的最小整数是，最大整数是；在与之间的最小整数是，最大整数是，即可求解； （2）把被墨迹盖住的所有整数相加，即可求解． 【详解】解：（1）在与之间的最小整数是，最大整数是；在与之间的最小整数是，最大整数是 所以被墨迹盖住的整数共有； 故答案为：208 （2）被墨迹盖住的所有整数之和为 ． 故答案为：5050 9．（23-24七年级上·山西朔州·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据有理数混合运算进行计算即可，先乘除，再加减； （2）利用乘法分配律进行计算即可； （3）先去括号，再利用有理数加减运算进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算以及乘法分配律的运用，灵活运用有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 10．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）已知，，根据下列条件，求代数式的值． (1)当，时，求的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2)14或 (3)的值为或 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的加减法等知识，根据“，”得出，，再根据不同的条件求出、的值，然后代入求值即可，求出、的值是解题的关键． （1）利用“，”求出、的值，从而得解； （2）利用“”，即a与b异号，求出、的值，从而得解； （3）利用“”得出，求出、的值，从而得解； 【详解】（1）∵，， ∴，． ∵，， ∴，． ∴； （2）∵， ∴a与b异号． 当，时，， 当，时，． ∴的值为14或． （3）∵， ∴， ∴，． 当，时，， 当，时，． ∴的值为或． 11．（23-24七年级上·安徽铜陵·期中）某空军大队举行特技飞行表演，其中一架飞机起飞后完成4个表演动作，飞机的高度变化如下表所示． 动作 高度变化 记作 动作1 上升 动作2 下降 动作3 上升 动作4 下降 (1)补全上表； (2)飞机完成上述4个表演动作后，高度是多少千米？ (3)如果飞机每上升平均消耗燃油，每下降平均消耗燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？ 【答案】(1)，， (2)飞机完成上述四个表演动作后，飞机高度是 (3)这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了燃油 【分析】本题主要考查了正数和负数的意义及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据题意和表格中的数据可以将表格补充完整； （2）根据表格中的数据可以求得飞机完成上述四个表演动作后，飞机高度； （3）根据表格中的数据和题意，分别求得飞机上升和下降动作的所消耗的燃油，即可计算共消耗了多少升燃油． 【详解】（1）解：由表格中的数据可得， 下降，记作， 上升，记作， 下降，记作． 故答案为：，，； （2）， 答：飞机完成上述四个表演动作后，飞机高度是； （3）， 答：这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了燃油． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 有理数的乘除法 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.了解有理数乘除法的意义,掌握并会运算有理数的乘除法. 2.理解有理数的乘法运算律,并会运用运算律简化运算 3.理解有理数的倒数的意义，会求一个有理数的倒数 4.能利用有理数的乘除法解决实际问题. 知识点一 有理数的乘法法则 1. 有理数的乘法法则 (1) 两数相乘，同号得正，异号得负,并把绝对值相乘; (2) 任何数与0相乘,都得0. 2. 有理数乘法的运算步骤 (1)确定积的符号;(2)确定积的绝对值 注意： 确定积的符号是乘法运算中至关重要的一步,法则中的“同号得正,异号得负”是指两数相乘,不要与有理数的加法法则混淆. 【例1】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查多个有理数的乘法运算，正确计算是解题的关键． 解题技巧 (1)两负数相乘,第一个负因数可以不带括号,但后面的负因数必须带括号,例如不能写成 (2)在进行乘法运算时,带分数要化成假分数，以便于约分.分数与小数相乘时,要根据两个数的特点，统一成分数或小数. (3)乘法运算的最后结果一定是最简分数或整数. 知识点二 倒数的概念 1. 倒数 乘积是的两个数互为倒数. 当时,与互为倒数; 当,时,与互为倒数. 注意：倒数是它本身的数只有1和-1. 2. 倒数与相反数的区别 倒数 相反数 定义 乘积是1的两个数互为倒数 只有符号不同的两个数互为相反数 表示 的倒数是 的相反数是 性质 若,互为倒数,则 若,互为相反数,则 判定 若,则,互为倒数 若，则,互为相反数 相同点 都成对出现 不同点 正数的倒数是正数,负数的倒数是负数，0没有倒数 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数,0的相反数是0 【例2】求下列各数的倒数：（1）；（2）；（3）-1.25；（4）5. 【分析】因为两个数相乘之积为1,则这两个数互为倒数,根据倒数的定义即可求解. 【详解】解：（1）的倒数是, （2）的倒数是, （3）﹣1.25==，故﹣1.25的倒数是, （4）5的倒数是． 【点睛】本题主要考查倒数的概念,解决本题的关键是要熟练掌握倒数的概念. 解题技巧 求倒数的方法(1)一个不为0的整数的倒数就是这个数分之一;(2)求一个真分数的倒数就是把这个分数的分子和分母交换位置;(3)求一个带分数的倒数，要先把带分数化成假分数，然后交换分子、分母的位置;(4)求一个小数的倒数要先把小数化成分数,再求其倒数. 知识点三 多个有理数相乘 1.几个不是0的数相乘的法则 积的符号由负因数的个数决定.当负因数的个数是偶数时,积是正数;当负因数的个数是奇数时,积是负数.确定符号后,再把这几个有理数的绝对值相乘.简记为“偶正奇负，绝对值相乘” 2.有因数0的几个数相乘的法则 几个数相乘，如果其中有因数为0,那么积等于0.同样,若积为零则至少有一个因数为零. 注意：多个有理数相乘三步骤： 第1步,看因数中有没有0; 第2步,判断积的符号(根据负因数的个数); 第3步,计算积的绝对值 【例3】计【例3】算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数的乘法法运算，按从左到右的顺序进行计算即可求解. （2）根据有理数的乘法法运算，按从左到右的顺序进行计算即可求解. 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘法运算，同级运算，应按从左到右的顺序进行计算． 解题技巧 在乘法运算中,一般先把式子中所有的小数化为分数,带分数化为假分数，然后再确定符号，并把绝对值相乘. 知识点四 有理数的乘法运算律 运算律 文字表达 符号语言 乘法交换律 两个数相乘,交换因数的位置,积相等 乘法结合律 三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘，积相等 乘法分配律 一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加 有理数的乘法交换律或乘法结合律一般不单独用,交换的目的是为了更好地结合. 【例4】简便运算 (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）利用有理数乘法运算律计算，即可求解； （2）利用有理数乘法运算律计算，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：                     【点睛】本题主要考查了有理数的乘法运算律，熟练掌握有理数的乘法运算律是解题的关键． 【变式4-1】用简便方法计算： (1)； (2)． 知识点五 有理数除法法则 法则1： 除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.用公式表示为（除数一定不能为0哦!） 法则2： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数都得0. 提示 (1) 有理数除法没有交换律、结合律,更没有分配律. (2) 两个数相除,若商是 1,则这两个数相等;若商是 -1,则这两个数互为相反数. (3) 任何数除以1都得原数;任何数除以-1都得原数的相反数;除以一个非0数等于这个数的倒数. 技巧点拨 有理数除法的两个法则的如何选用？ 如果被除数和除数都是整数，且能整除，一般选用法则(2)进行计算,先确定商的符号,再将两数的绝对值相除.否则，一般选用法则(1)进行计算,法则(1)是把除法转化为乘法 【例5】计算： 解题技巧 在进行有理数除法运算时,首先确定商的符号,然后将其绝对值相除或者将除法转化为乘法进行计算 【变式5-1】化简下列分数： （1） ；       （2）；    （3）； （4） （5）； （6）； （7）； （8）． 解题技巧 化简分数要遵循“同号得正，异号得负”的符号法则,分子、分母、分数线前,若有一个或两个负号,则负号可以移到三个位置的任何一个,而分数的值不变. 知识点六 有理数乘除的同级运算 有理数乘除同级运算通常是先将除法转化成乘法，然后按照乘法法则,确定积的符号，最后求出结果 注意： 1. 除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算； 2. 有理数的乘除运算是同级运算,如果没简便计算情况下，一般要按照从左到右的顺序进行. 【例6】计算： (1)． (2)． (3)． (4)．【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【点睛】本题主要考查了乘除的混合运算，解题的关键是熟记混合运算顺序与乘除运算法则． 知识点七 有理数的混合运算 1.有理数的加减乘除混合运算 （1）混合运算中，按照“先算乘除一级,再算加减一级”的顺序进行； （2）有括号时，应先算括号里面的. 2.计算器的使用 不同品牌的计算器操作方法可能有所不同，具体操作方法应参考计算器的使用说明,熟悉各功能键. 另外,还要注意以下几点: (1)计算器要平稳放置，以免按键时发生晃动和滑动； (2)计算开始时,要先按开启键;停止使用时要注意按关闭键； (3)确定按键顺序后，按照算式从到右的顺序直接输入； (4)在输入数据和算式时,每次按键都要注意显示器上是否显示出了相应的数字或运算符号，以免因漏按或按不实而出现错误； (5)每次运算时,要按一下清零键； (6)注意负数的输入方式. 【例7】计算：． 解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【变式7-1】计算： 考点一：两个有理数的乘法运算 例1．（2023·安徽淮北·二模）计算的结果是(   ) A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）若则a与b的积（    ） A．一定大于0 B．一定小于0 C．一定不为0 D．不确定 【变式1-2】（2024·广东深圳·三模）计算的结果为（    ） A．2024 B． C． D． 【变式1-3】（2024·天津滨海新·二模）计算的结果等于（    ） A． B． C． D．2 考点二：多个有理数的乘法运算 例2．计算：(1)； (2)； 【变式2-1】计算：(1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-2】（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）下列计算结果最大的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（22-23七年级上·安徽马鞍山·期中）观联下列等式，，…． 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)猜想并写出：_____________． (2)直接写出下列各式的计算结果：_____________． (3)探究并计算：． 考点三：有理数乘法的实际应用 例3．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）某出租车司机小李某天下午的营运全是在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程如下（单位：千米）：，，，，． (1)将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出发点的距离是多少千米？此时在出发点的东边还是西边？ (2)若汽车耗油量为升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？ 【变式3-1】（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：． (1)请你帮忙确定地相对于地的方位？ (2)救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有多远？ (3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 【变式3-2】（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）某果农把自家果园的柑橘包装后放到网上销售．原计划每天卖10箱，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某个星期的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：箱）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知前五天共卖出多少箱？ (2)本周实际销售总量有没有达到计划数量？请通过计算说明． 【变式3-3】（23-24七年级上·安徽宿州·期中）某检修小组乘汽车检修公路，向东记为正，向西记为负．某天他们自A地出发，所走路程（单位：千米）为． (1)他们最后是否回到出发点？若没有，在A地的什么地方？距离A地多远？ (2)若汽车每千米耗油0.08升，这一天共耗油多少升？ 考点四：倒数 例4．的倒数是（　　） A． B． C． D．5 【变式4-1】（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）的负倒数是 ． 【变式4-2】（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，，求的值． 【变式4-3】（22-23七年级上·安徽六安·阶段练习）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，e为数轴上一点，到0的距离为1，求的值． 【变式4-4】（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，已知数轴上的点，，分别表示实数，，．    (1)化简：； (2)若，，且满足与互为相反数，，互为倒数，试求的值． 考点五：有理数乘法运算律 例5．（21-22七年级上·浙江金华·期末）利用分配律计算时，正确的方案可以是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24七年级上·江苏连云港·开学考试）观察下图，它的计算过程可以解释（　　）这一运算规律          A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律 【变式5-2】（21-22七年级上·安徽淮北·阶段练习）计算： ． 【变式5-3】（23-24七年级上·安徽宿州·期末）计算 (1)； (2). 【变式5-4】（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）计算： (1)； (2)． 考点六：有理数的除法运算 例6．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）计算：； 【变式6-1】（23-24七年级上·安徽安庆·期中）若两个数的商为，下列说法错误的是（    ） A．这两个数一定异号 B．这两个数一定互为相反数 C．这两个数的绝对值一定相等 D．这两个数可能相等 【变式6-2】（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）计算 (1) (2) 【变式6-3】（20-21七年级上·安徽马鞍山·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【变式6-4】（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）阳阳同学做一道计算题的解答过程如下： 解：原式    ①     ②     ③    ④ 根据阳阳同学的计算过程，回答下列问题： (1)她的计算过程是否正确？______（填写“正确”或“错误”）； (2)若有错误，她在第______步开始出错了（只填序号）； (3)请写出本题正确的解答过程． 【变式6-5】（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）阅读下列材料：计算． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为 ． 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的． (2)请你选择一种合适的解法解答下列问题：计算：． 考点七：有理数除法的应用 例7．（22-23七年级上·安徽淮南·开学考试）李华小时走了千米，他走1千米要多少小时？正确列式是（　　） A． B． C． 【变式7-1】（22-23七年级上·安徽芜湖·期中）如图，A，B两点在数轴上的位置表示的数分别为a，b．有下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ） A．①④ B．①② C．②③ D．②④ 【变式7-2】（23-24七年级上·安徽亳州·期中）某公司去年1～3月份平均每月亏损1.6万元，4～6月份平均每月盈利2万元，7～10月份平均每月盈利1.7万元，11～12月份平均每月亏损2.2万元（假设盈利为正，亏损为负） (1)试说明去年该公司是盈利的还是亏损的． (2)求去年该公司平均每月盈利（或亏损）多少万元， 【变式7-3】一只小虫从某点出发，在一条直线上来回爬行，假定把向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，则爬行各段路程（单位：厘米）依次为： ，，，，，， (1)通过计算说明小虫是否回到起点； (2)如果小虫爬行的速度为0.5厘米/秒，那么小虫共爬行了多长时间． 【变式7-4】（22-23七年级上·安徽亳州·阶段练习）神舟十三号飞船在太空中绕地球飞行，地球半径约为6400千米，神舟十三号飞船飞行时离地面高度约400千米． (1)神州十三号绕地球飞行一圈飞行约多少千米？（取） (2)如果神州十三号的飞行速度为每秒钟约飞行千米，求飞船绕地球飞行一周大约需要多少小时．（结果保留两位小数） 考点八：有理数乘除混合运算 例8．（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）计算的结果是（　　） A． B．2 C． D． 【变式8-1】（22-23七年级上·安徽合肥·阶段练习）直接写出计算结果： ． 【变式8-2】（22-23七年级上·吉林松原·期中）阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第______________步，错误原因是______________； 第二处是第______________步，错误原因是______________； (2)请写出正确的结果______________． 【变式8-3】（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算 (1) (2) 【变式8-4】（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）计算题： (1)； (2)； 考点九：有理数四则混合运算 例9．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）计算：． 【变式9-1】（23-24七年级上·安徽宿州·期中）计算 (1) (2) 【变式9-2】（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）计算：(1)； (2)． 【变式9-3】（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）计算题： (1)； (2)． 【变式9-4】（23-24七年级上·安徽铜陵·期中）问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式： ，，，， 【独立思考】（1）在等式中寻找规律，并利用规律计算： 【实践探究】（2）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为2．并提出新的问题：，请你计算； 【问题拓展】（3）求的值． 考点十：有理数四则混合运算的实际应用 例10．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）体育课上，对七（1）班的学生进行了跳绳的测试，以能跳180个为标准，超过次数用正数来表示，不足的次数用负数来表示，其中10名男同学成绩如下： 5，，，8，0，10，0，12，，． (1)课上规定不低于180个算达标，则这10名同学的达标率为多少？ (2)求它们共跳绳多少个？ 【变式10-1】（23-24七年级上·安徽淮南·阶段练习）某自行车厂计划每天生产200辆自行车，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车 辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车 辆； (3)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得30元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖20元；少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【变式10-2】（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）一只瓢虫从点P出发，在一根树枝上来回爬行，假定将向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，则爬行各段路程（单位：厘米）依次为． (1)通过计算说明瓢虫是否回到起点P． (2)如果瓢虫爬行的速度为厘米/秒，那么瓢虫共爬行了多长时间？ 【变式10-3】（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）章明同学上周晨跑记录（单位：分钟）如下表所示． 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 12 11 14 10 （以30分钟为基准，超过30分钟的部分记为“＋”，不足30分钟的部分记为“－”） (1)他晨跑时间最长的一天比最短的一天多跑几分钟？ (2)若他晨跑的平均速度为每分钟千米，这七天他共跑了多少千米？ 【例1】计算：． 易错攻克 多个非0因数相乘,乘积的符号由负因数的个数决定. 【例2】用简便方法计算： ①； ②． 易错攻克 在运用分配律时，既要做到不重复使用算式中的符号，也不能忽略算式中的符号. 1．（2024·江苏扬州·中考真题）实数2的倒数是（    ） A． B．2 C． D． 2．（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）现有以下四个结论：①若两个数互为相反数，则它们相除的商等于；②任何一个有理数都可以在数轴上表示；③两个数的和为正数，则这两个数可能异号；④几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，其中正确的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（2024·四川宜宾·中考真题）如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（    ） A．8 B．18 C．28 D．32 4．（2024·山东烟台·中考真题）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？ A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 5．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）如图，有理数、在数轴上的对应点如图所示，则下列式子中正确的是(   ) A． B． C． D． 6．（2022·广西玉林·中考真题）计算： ． 7．（2022·湖北随州·中考真题）计算： ． 8．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）如图所示，下面的数轴被墨迹盖住了一部分，墨迹端点处的数值已标出，请你解答下列问题．    （1）被墨迹盖住的整数共有 个； （2）被墨迹盖住的所有整数之和为 ． 9．（23-24七年级上·山西朔州·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 10．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）已知，，根据下列条件，求代数式的值． (1)当，时，求的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的值． 11．（23-24七年级上·安徽铜陵·期中）某空军大队举行特技飞行表演，其中一架飞机起飞后完成4个表演动作，飞机的高度变化如下表所示． 动作 高度变化 记作 动作1 上升 动作2 下降 动作3 上升 动作4 下降 (1)补全上表； (2)飞机完成上述4个表演动作后，高度是多少千米？ (3)如果飞机每上升平均消耗燃油，每下降平均消耗燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$