第01讲 正数与负数(5个知识点+7个考点+2个易错诊断）【暑假自学课】-2024年新七年级数学暑假提升精品讲义（沪科版2024）

第01讲 正数与负数 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.了解正数和负数是从实际需要中产生的. 2.理解正数、负数及0的意义，掌握正数、负数的表示方法. 3.会用正数、负数表示具有相反意义的量.（重点、难点） 4.理解正数、负数及0的意义. 5.会用正数、负数表示具有相反意义的量. 知识点一 正数、负数的定义 1. 正数 像2%，4，3.5这样大于0的数叫做正数.有时，为了明确表达意义，在正数的前面加上符号“+”（正）.如+2，+0.7，，…. 【注意】“+”一般有略不写，如2，0.7，，…，都是正数，“+”读作“正”. 2. 负数 像-3，-2.7%，-4.5这样在正数前加上符号“-”（负）的数叫做负数. 【注意】负数前面的“-”号不能省略，读作“负”.负数是小于0的数. “+”“-”的双重意义 （1）作为运算符号是加、减号，如3+2-1; （2）作为数的性质符号是正、负号，如+7，-5. 3. 0的特性 0既不是正数，也不是负数.0是正数与负数的分界. 例1. 下列各数中，正数有哪些？负数有哪些？ ，，，，，，，． 【答案】正数： ，，，；负数：，，． 【分析】根据正数和负数的定义判断即可． 【详解】解：正数有： ，，，；负数有：，，． 【点睛】本题考查对正数和负数定义的理解和运用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，熟练掌握实数分类及先关概念是解决问题的关键． 方法技巧点拨 如何判断一个数是正数还是负数？ 答：判断一个数是正数还是负数，不能简单地理解为带“+”号的数就是正数，带“-”号的数就是负数，如-（）不是负数，因为它是在负数前面加了“-”号得到的数，不符合负数的定义. 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/21 13:11:52；用户：15801716282；邮箱：15801716282；学号：31290231 知识点二 具有相反意义的量 1. 具有相反意义的量的含义 如果两个量意义相反，且是同一类对象，那么这两个量就叫做具有相反意义的量. 【注意】两个量所表示的属性相同. 2. 日常生活中，表示相反意义的常用词语 收入 盈利 上升 零上 增加 向东(南) 前进 … 支出 亏损 下降 零下 减少 向西(北) 后退 … 3. 具有相反意义的量的表示 我们可以用正数和负数分别表示具有相反意义的量，若规定其中的一种量为正（可任意选择），则它的相反意义的量为负.习惯上把“前进、上升、收入、零上、盈利”等规定为正，把“后退、下降、支出、零下、亏损”等规定为负. 温馨提示： （1）具有相反意义的量的正负性是相对的，没有硬性规定，是可以任意选择的.例如:若规定收入1000元记作+1000元，则支出500元记作-500元;若规定上升1.5m记作+1.5m，则下降0.8m记作-0.8m. （2）具有相反意义的量中的两个量表示的意义相反，且必须是同类量.如节约3t汽油与浪费1t水就不是具有相反意义的量. （3）具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不是具有相反意义的量. （4）用正数、负数表示具有相反意义的量时，选择的基准不同，表示的结果也不同.如据调查显示，2020年中国18~44岁女性的平均身高为158cm，以158cm为基准，小红的身高为160cm，记为+2cm，但是在2015年，中国18~44岁女性的平均身高为157.2cm，若以此为基准，小红的身高应记为+2.8cm. 具有相反意义的量必须是同类量吗？ 答：具有相反意义的量必须是同类量，只要求意义相反，不要求数量相等.如盈利5000元与亏损4000元是具有相反意义的量. 例2. （1） 在天气预报中，零上12度用表示，那么零下5度表示为 ． （2） 如果盈利300元用元表示，那么亏损300元表示为 元． （3）水位升高时水位变化记作m，那么水位下降记作 ． 【答案】（1）（2） （3） 特别提醒 用正、负数表示具有相反意义的量时常犯的错误 （1）对负数表示的意义理解不清.具有相反意义的两个量，若一个量规定为正，用正数表示，则另一个量就为负，用负数表示. （2）用正、负数表示具有相反意义的量时忽略了量的单位.把一个量去掉它后面的单位名称后，它就是一个数，而不再是一个量了.本题往往易因漏掉后面的单位而出错. 【变式2-1】 某超市2021年上半年的营业额与2020年同月营业额相比的增长率如下表所示．请根据表格信息回答下列问题： 月  份 1 2 3 4 5 6 比上年同月增长% 1.8 0 0.2 1.5 0.3 0.4 (1)该超市2021年上半年的营业额与2020年同月营业额相比，哪几个月是增长的？ (2)2021年1月和4月比上年同月增长率是负数表示什么意思？ (3)2021年上半年与2020年上半年同月相比，营业额没有增长的是哪几个月？ 【答案】(1)3月，5月，6月是增长的(2)负数表示降低，营业额下降(3)没有增长的是1月，2月，4月. 【分析】（1）根据正数表示增长，可得负数表示降低；（2）根据正数表示增长，可得负数表示降低；（3）根据正数表示增长，可得负数表示降低，0表示不变． 【详解】（1）由正数表示增长，该超市2021年上半年的营业额与2020年同月营业额相比，3月、5月、6月是增长的；（2）由负数表示降低，可得2021年1月和4月比上年同月增长率是负数，表示降低，营业额下降；（3）2021年上半年与2020年上半年同月相比，营业额没有增长即比上年同月增长%为0的有2月、1月、4月． 【点睛】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示． 知识点三 对数“0”的再认识 1. 表示没有 例如，0个西瓜，意思是没有西瓜. 2. 表示数时起到占位的作用 如20204中的两个0，从右到左分别占的是十位和千位. 3. 表示某种量的基准 例如，0℃不是表示没有温度，而是表示在标准大气压下，水开始结冰的温度. 4. 表示某些数量的分界 0既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界. 5. 表示起点 例如，在米尺上，刻度的起点为“0”. 例3. 下列说法正确的是（　　） A．0既是正数又是负数 B．0是最小的正数 C．0既不是正数也不是负数 D．0是最大的负数 【答案】C 【分析】根据有理数的分类判断即可． 【详解】∵0既不是正数也不是负数，故选C． 【点睛】本题考查了零的属性，熟练掌握0既不是正数也不是负数是解题的关键． 知识点四 有理数的有关概念 1. 整数 正整数、0、负整数统称为整数，如-3，-2，0，1，2，3等. 2. 分数 正分数、负分数统称为分数，如，0.18，-1.35，等. 分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式，也就是说，有限小数和无限循环小数可以用分数表示. 【注意】无限不循环小数不能用分数的形式表示。 为什么说有限小数和无限循环小数都属于分数？ 答：如，，，无限循环小数可以用方程进行转换，所以有限小数和无限循环小数都属于分数。 温馨提示： 小数与分数 小数可分为有限小数和无限小数.无限小数又分为无限循环小数和无限不循环小数. 分数把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫做分数.分数都可以写成（p，q为整数，q≠0）的形式. 3. 有理数 整数和分数统称为有理数. 4. 几个常用数学名词的含义 （1）正整数:既是正数，又是整数的数. （2）负整数:既是负数，又是整数的数. （3）正分数:既是正数，又是分数的数. （4）负分数:既是负数，又是分数的数. （5）非负数:正数和0. （6）非正数:负数和0. （7）非负整数（也叫自然数）:在整数范围内的非负的数，即正整数和0. （8）非正整数:在整数范围内的非正的数，即负整数和0. （9）正有理数:正整数和正分数. （10）负有理数:负整数和负分数. （11）非正有理数:0、负整数和负分数. （12）非负有理数:0、正整数和正分数. （13）奇数、偶数:引入负数后，小学学的奇数、偶数的范围也相应扩大了，奇数和偶数也可以有负数，如-1，-3，-5，…都是奇数，-2，-4，-6，…都是偶数. 例4. 在，，0.25，0，1.23，1.01001000100001…，中，非负有理数的数有 ． 【答案】，，，． 【分析】根据有理数的定义及分类：整数与分数统称为有理数，逐个判定即可得到结论． 【详解】解根据有理数的定义及分类可知，符合题意；是负数，不合题意；符合题意；0符合题意；1.23符合题意；1.01001000100001…是无理数，不合题意；是无理数，不合题意；故答案为：，，，． 【反思】(1)虽然有分数线有分数线，但分子“π”是无限不循环小数，所以不是分 数,也不是有理数，更不可能是非负有理数.(2)1.01001000100001...(每两个1之间0的个数逐次增加 1)虽然是无限小数,但它不循环,所以它不是有理数. 知识点五 有理数的分类 1. 按有理数的定义分类 2. 按有理数的性质符号分类 3. 集合 把满足一定条件的所有数放在一起，就组成了一个集合，简称数集.如所有的整数组成整数集. 1. 要做到标准一致,不重不漏.你在分类时,请不要忽略0,0是整数，不是分数,0既不是正数,也不是负数. 2. 不要把非负整数理解成正整数,非负整数包括正整数和0;也不要把非正整数理解成负整数,非正整数包括负整数和 0. 例5. 把下列各数填入相应的大括号里： -3，3.14，-0.1，80，-25%，0， 正数集合：{ }； 整数集合：{ }； 负数集合：{ }； 正分数集合：{ }． 【答案】 3.14，80， -3，80，0 -3，-0.1，-25% 3.14， 【分析】根据正数、负数、整数、正分数的意义逐个进行判断. 【详解】正数有：3.14，80，，…… 整数有：-3，80，0，…… 负数有：-3，-0.1，-25%，…… 正分数有：3.14，，…… 【点睛】本题考查有理数的分类，理解有理数的分类方法是正确判断的前提. 考点一：正负数的意义 例1．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）下列说法正确的是（    ） A． 在一个数前面加“－”号就得到负数 B．0既不是正数也不是负数 B． C．正数和负数统称为负数 D．非负数就是正数 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的概念，根据正数和负数的定义即可得出答案，熟练掌握0既不是正数也不是负数，非负数包括正数和0等性质是解决此题的关键． 【详解】A、错误，在一个正数前面加“－”号可以得到负数，不符合题意； B、正确，符合题意； C、错误，正数大于0，负数小于0，不能说正数和负数统称为负数，不符合题意； D、错误，非负数包括正数和0，不符合题意． 故选：B． 【变式1-1】（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入6元记作元，那么支出4元记作（  ） A．元 B．0元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】根据正负数的意义可进行求解． 【详解】解：∵收入6元记作元， ∴支出4元记作元， 故选：A． 【点睛】本题主要考查正负数的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 【变式1-2】（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）在，，0，，，这5个数中，负数有几个（        ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据负数的定义即可解答，即小于0的数叫作负数． 【详解】解：根据负数的定义可得： 负数有，，，，共4个数， 故选：D． 【点睛】此题考查了负数的定义，熟练掌握负数的定义是解题关键． 【变式1-3】（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）如果规定汽车向东行驶5千米记作千米，那么向西行驶10千米记作（        ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】D 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：如果规定汽车向东行驶5千米记作千米， 那么向西行驶10千米记作千米． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 考点二：相反意义的量 例2. （23-24七年级上·安徽合肥·期中）如果规定汽车向东行驶 千米记作 千米，那么向西行驶 千米记作（    ） A．千米 B．米 C．千米 D．千米 【答案】D 【分析】本题考查了相反意义的量，熟练掌握正负数的意义是解答本题的关键．在一对具有相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个就用负表示．据此求解即可． 【详解】解：∵向东行驶 千米记作 千米， ∴向西行驶 千米记作千米． 故选：D． 【变式2-1】（23-24七年级上·安徽亳州·期中）中国是世界上最早提出和采用“正负数表示相反意义的量”的国家，关于正负数的记载最早见于公元一世纪的中国数学著作《九章算术》中，比欧洲早一千余年．如果将“向东走40米”记作“米”，那么“向西走30米”记作（    ） A．米 B．米 C．米 D．10米 【答案】A 【分析】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，根据向东走记为正，则向西走就记为负，直接得出结论即可． 【详解】解：∵向东走40米记作米， ∴向西走30米可记作米， 故选A． 【变式2-2】（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）如果前进4千米，记作千米，那么后退3千米记作 ． 【答案】千米/ 【分析】“前进”记作正，则“后退”记作负，由此可得答案． 【详解】解：如果前进4千米，记作千米，那么后退3千米记作千米． 故答案为：千米． 【点睛】本题考查正负数的应用，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性． 【变式2-3】（23-24七年级上·安徽合肥·期中）如果向北走，记作，那么向南走记作 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反意义的量．根据相反意义的量，即可求解． 【详解】解：∵向北走，记作， ∴向南走记作． 故答案为： 考点三：正负数的实际应用 例3.（23-24七年级上·安徽黄山·期中）如果向东走5米，记作米，那么向西走2米，记作（    ） A．2米 B．米 C．7米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查数轴和正负数，熟练掌握正负数的定义和数轴的实际应用是解题的关键，根据向东走5米，记作米，可得向东为正方向，则向西为反方向，即可解答此题． 【详解】解：∵向东走5米，记作米， ∴向西走2米，记作米， 故选：B． 【变式3-1】（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）椰树牌椰子汁外包装标明：净含量为表明了这瓶椰子汁的净含量x的范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正负数的意义可得答案． 【详解】解：，， 所以净含量为表明了这瓶椰子汁的净含量x的范围是， 故选：C． 【点睛】本题考查了正负数的实际意义，正确理解的含义是解题的关键． 【变式3-2】（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）若规定向东为正，则向东走记作 m，向西走记作 m． 【答案】 【分析】根据相反意义的量的定义去计算即可． 【详解】∵规定向东为正，则向西走为负， ∴向东走记，向西走记作， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了相反意义的量，熟练掌握相反意义的量表示方法：方向＋数量＋单位是解题的关键． 【变式3-3】（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）伦敦与我们北京的时差是小时（负数表示比北京时间迟的小时数），我们今天开始考试，则我们开始考试时，伦敦的时间为今天 【答案】 【分析】伦敦与我们北京时间的时差是小时，即伦敦的时间比北京的时间迟7小时． 【详解】解：北京时间是，伦敦时间再加上7个小时是今天． 则伦敦时间为今天， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际． 考点四：有理数的概念 例4.（23-24七年级上·安徽合肥·期中）在数3，0，，，，中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的概念：整数与分数的统称，其中分数是指有限小数与无限循环小数；根据此概念进行判断即可． 【详解】解：除了、外，其余4个数都是有理数； 故选：D． 【变式4-1】（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）在、、、0、、（每两个1之间0的个数逐次增加1）中，有理数的个数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据有理数的定义直接逐个求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 、、、0是有理数， 故选：D； 【点睛】本题考查有理数定义：整数及分数统称有理数． 【变式4-2】（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，两个圈分别表示正数集和整数集，请你从，9，0，，3.14，，1300这些数中，选择适当的数填入图中相应的位置． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类．正数集合与整数集合的交集是正整数集合．注意数字0，它不属于正数和负数，是整数．根据正数及整数的概念进行区分判断，两个集合里都含有的数就是符合条件的数． 【详解】解：，9，0，，，，1300中， 属于正数的有：9，3.14，，1300； 属于整数的有：，9，0，1300． 所以既是正数也是整数的是9，1300． 填入数字如下图所示： 【变式4-3】（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）把下列各数分别填在表示它所属的横线上：①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦2000；⑧．（填写序号） （1）正数：___________； （2）负数：___________； （3）整数：___________； （4）分数___________． 【答案】（1）②⑥⑦ （2）①③⑤⑧ （3）②④⑤⑦ （4）①③⑥⑧ 【分析】本题考查有理数的分类及定义，掌握有理数的分类及相关定义是解题的关键； 根据有理数的分类及定义进行分类即可． 【详解】解：（1）正数：②⑥⑦； （2）负数：①③⑤⑧； （3）整数：②④⑤⑦； （4）分数：①③⑥⑧． 故答案为：②⑥⑦，①③⑤⑧，②④⑤⑦，①③⑥⑧． 考点五：0的意义 例5.（23-24七年级上·山东青岛·期中）下列说法正确的是（　） A．有理数可分为正数，负数 B．正数没有最大的数，有最小的数 C．零既不是正数也不是负数 D．带“号”和带“”号的数互为相反数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数，注意带负号的数不一定是负数；根据有理数的性质，正数，零的意义，以及小于零的数是负数进行判断即可． 【详解】解：A、有理数分为正数、零、负数，故错误，不符合题意； B、正数没有最大的，也没有最小的，故错误，不符合题意； C、零既不是正数也不是负数，故正确，符合题意； D、大于零的数是正数，小于零的数是负数，故错误，不符合题意； 故选：C． 【变式5-1】（23-24七年级上·江苏南通·期中）下列有关“”的叙述中，错误的是( ) A．不是正数，也不是负数 B．不是有理数，是整数 C．是整数，也是有理数 D．不是负数，是有理数 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字“0”的意义，0既不是正数，也不是负数，0是整数，也是有理数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、0不是正数，也不是负数，原说法正确，不符合题意； B、0是有理数，是整数，原说法错误，符合题意； C、0是整数，也是有理数，原说法正确，不符合题意； D、0不是负数，是有理数，原说法正确，不符合题意； 故选B． 【变式5-2】（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）下列说法正确的是(   ) A．0是最小的有理数 B．整数和分数统称有理数 C．所有的整数都是正数 D．零既可以是正整数，也可以是负整数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数，根据有理数的分类解答即可，掌握有理数的分类是解答本题的关键． 【详解】解：A、0不是最小的有理数，是最小的非负数，原说法错误，故本项错误； B、整数和分数统称为有理数，原说法正确，故本项正确； C、正整数、0、负分数统称为整数，原说法错误，故本项错误； D、零既不是正整数，也不是负整数，原说法错误，故本项错误； 故选：B． 【变式5-3】（23-24七年级上·四川德阳·期中）下列说法错误的是（    ） A．0既不是正数也不是负数 B．0是自然数，也是整数，也是有理数 C．若一个有理数不是正数，则它一定是负数 D．如果仓库运进货物记作，那么运出货物记作 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的定义和分类，解题的关键是： 【详解】解：A、0既不是正数也不是负数，故正确，不合题意； B、0是自然数，也是整数，也是有理数，故正确，不合题意； C、若一个有理数不是正数，则有可能为0或负数，故错误，符合题意； D、如果仓库运进货物记作，那么运出货物记作，故正确，不合题意； 故选：C． 考点六：有理数的分类 例6.（23-24七年级上·安徽亳州·期末）下列各数中，既是分数，又是负数的是（    ） A．2 B． C．−6 D． 【答案】D 【分析】本题考查分数负数定义．根据题意利用分数和负数定义即可得到本题答案． 【详解】解：∵分数是一个整数和一个正整数b的不等于整数的比为分数，比0小的数为负数， ∴，符合负数和分数定义， 故选：D． 【变式6-1】（23-24七年级上·安徽淮北·期末）在数，，，，，，，中，属于分数的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查有理数：整数和分数统称为有理数．根据有理数的分类即可解决问题．解题的关键是掌握有理数的分类：按定义分类分为整数和分数、按符号分为正有理数数、负有理数和零． 【详解】解：属于分数的有，，，，共个． 故选：C． 【变式6-2】（23-24七年级上·安徽马鞍山·期中）把下列各数填在相应的横线上：0，1，，8.9，，，，1008，，28，，，3.010010001． 正分数 ；非负数 ． 【答案】 8.9，，3.010010001 0，1，8.9，，1008，28，，3.010010001 【分析】本题考查了有理数的分类，正分数和非负数的概念，逐个判断即可得到答案，熟练掌握正分数和非负数的概念是解此题的关键． 【详解】解：正分数有：8.9，，3.010010001； 非负数有：0，1，8.9，，1008，28，，3.010010001； 故答案为：8.9，，3.010010001；0，1，8.9，，1008，28，，3.010010001． 【变式6-3】（23-24七年级上·安徽淮北·期中）将下列各数填入相应的大括号内：5，，，，0，π，5.7，，102，． 非负整数集合：{______…}；负分数集合：{______…}． 【答案】见解析 【分析】本题考查有理数的分类．根据非负整数：0和正整数，负分数：小于0的分数，进行作答即可． 【详解】解：非负整数集合：{0，5，102…} 负分数集合：{，…}． 考点七：带“非”字的有理数 例7.（22-23七年级上·安徽马鞍山·期中）下列说法中，错误的是（    ） A．有理数可分为正数和负数两类 B．有理数可分为整数和分数两类 C．0是有理数 D．非负整数就是自然数 【答案】A 【分析】根据有理数的分类方法进行逐一判断即可． 【详解】解：A、有理数可分为正数，0和负数三类，原说法错误，符合题意； B、有理数可分为整数和分数两类，原说法正确，不符合题意； C、0是有理数，原说法正确，不符合题意； D、非负整数就是自然数，原说法正确，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键：有理数分为正数，0和负数，有理数又可以分为整数和分数，有理数还可以分为正有理数，负有理数和0． 【变式7-1】（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）把下列各数填在相应的集合里： (1)正整数集合： ； (2)整数集合： ； (3)正分数集合： ； (4)非负有理数集合： ； 【答案】(1)4， (2)4，，0，， (3)，， (4)， ，，，， 【分析】（1）先去绝对值符号，化简多重符号，然后根据正整数的定义解答即可； （2）根据整数的定义解答即可； （3）根据正分数的定义解答即可； （4）根据非负有理数的定义解答即可． 【详解】（1）解：，， 则正整数有：4，； （2）解：整数有：4，，0，，； （3）解：正负数有：，，； （4）解：非负有理数有：， ，，，，． 【点睛】本题考查的是有理数，熟知有理数的分类是解题的关键． 【变式7-2】（23-24七年级上·安徽六安·阶段练习）把下列各数分别填入相应的括号内： (1)正整数：{___________……}； (2)正分数：{___________……}； (3)负分数：{___________……}； (4)非负数：{___________……}． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据有理数的分类方法解答即可； （2）根据有理数的分类方法解答即可； （3）根据有理数的分类方法解答即可； （4）根据有理数的分类方法解答即可． 【详解】（1）解：正整数：； （2）解：∵； ∴正分数：； （3）解：负分数：； （4）解： 【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的两种分类方式是解答本题的关键． 有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数． 【变式7-3】（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）给出下列各数：，，0，，，2，，，，．把这些数分别填入相应的大括号内． (1)整数：{                        }． (2)分数：{                        }． (3)负数：{                        }． (4)非负整数：{                        }． 【答案】(1)0，，2，，； (2)，，，，； (3)，，，； (4)0，2． 【分析】根据有理数的分类即可求得答案． 【详解】（1）解：整数：0，，2，，； （2）解：分数：，，，，； （3）解：负数：，，，； （4）解：非负整数：0，2． 【点睛】本题考查有理数的分类，熟练掌握相关定义是解题的关键． 【例1】下列语句中正确的有　　个． ①不带“”号的数都是正数；②如果是正数，那么一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】根据正数与负数的性质及意义可求解． 【解答】解：①0不带“”号但不是正数，故原说法错误； ②如果是正数，那么一定是负数，故正确； ③0既不是正数，也不是负数的数，故原说法错误； ④表示温度为0度，故原说法错误． 故正确的有1个． 故选：． 【点评】本题主要考查正数与负数，正确记忆正数与负数相关知识点是解题关键． 易错攻克 1.不能只凭“十”号和“-”号的有无来判断正数和负数 2.在判断正数和负数时，要充分考虑是否为0的情况. 【例2】下列各组量中，互为相反意义的量是　　 A．篮球比赛胜5场与负5场 B．上升与减小 C．增产粮食与减产粮食 D．向东走与向南走 【答案】 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【解答】解：、篮球比赛胜5场与负5场，是相反的量，故本选项符合题意； 、上升与下降才是相反的量，故本选项不合题意； 、减产吨，就是增产10吨，故本选项不合题意； 、向东与向西才是相反的量，故本选项不合题意． 故选：． 【点评】本题考查正数和负数，解题的关键是明确什么是相反意义的量． 易错攻克 解决此题的关键是要理解“正”和“负”的相对性,在理解“增产10t粮食与减产-10 t粮食”这一选项时，难点就是理解“一”就是减产的意思, 1．（23-24七年级上·安徽宿州·阶段练习）下列数中，是正整数的是（   ） A． B．0 C．2023 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整数的概念：整数包括正整数、0、负整数；正整数的概念：正整数为大于0的整数；有理数的概念：有理数是整数和分数的统称，即可求得结果． 【详解】解：．，为负整数，故本选项不符合题意； ．0既不是正整数也不是负整数，故本选项不符合题意； ．2023为正整数，故本选项符合题意； ．是分数，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级上·安徽淮南·阶段练习）下列各数中，既是分数又是正数的是（        ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的分类，根据正数和分数定义求解即可． 【详解】解：A、1是整数，不是分数，不符合题意； B、不是分数，不符合题意； C、是负数，不是正数，不符合题意； D、既是分数又是正数，符合题意， 故选：D． 3．（22-23七年级上·安徽淮北·阶段练习）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“收入元”记作“元”，那么“支出元”记作（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：将“收入元”记作“元”，那么“支出元”记作： ， 故选：B． 4．（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）下列各数中，是负整数的是（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据负整数的定义判断即可． 【详解】解：A．是正整数，故本选项不合题意； B．是负整数，故本选项符合题意； C．是负分数，故本选项不合题意； D．0既不是正整数，也不是负整数，故本选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的分类，掌握负整数的定义是解题的关键． 5．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）在，，，，，中，分数有 个． 【答案】4 【分析】根据分数的定义即可解答． 【详解】解：，，，是分数，共4个， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了有理数的分类，解题的关键是掌握分数的定义，注意分数是有理数． 6．（22-23七年级上·安徽亳州·期末）某商店出售的一种袋装大米，在包装上标有：，这袋大米最轻的重量是 kg． 【答案】 【分析】根据正负数的意义计算即可． 【详解】∵包装上标有：， ∴这袋大米最轻的重量是． 故答案为: ． 【点睛】本题考查了正负数的意义,正确理解是解题的关键． 7．（23-24七年级上·广东惠州·期末）有理数0，6，，，9中整数有 ；负数有 ． 【答案】 0，6，，9 ， 【分析】本题主要考查有理数的分类，整数和负数，根据整数和负数的定义一一判断即可． 【详解】解：整数有0，6，，9 负数有， 故答案为：0，6，，9；，． 8．（23-24七年级上·湖北黄石·期中）在中，非负整数的个数为 ． 【答案】3 【分析】本题考查有理数的分类，根据非负整数包括：正整数和0，进行判断即可． 【详解】解：在中，非负整数有，共3个； 故答案为：3． 9．（23-24七年级上·山东济南·期末）请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里． 1，0.0708，，，0，3.14，，． 正有理数集合：{           …}， 负整数集合：{             …}， 正分数集合：{            …}， 非负整数集合：{          …}． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了有理数的知识，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．根据有理数的分类填写即可． 【详解】解：正有理数集合：，0.0708，3.14，，， 负整数集合：，， 正分数集合：，3.14，，， 非负整数集合：，0，． 故答案为：1，0.0708，3.14，；；0.0708，3.14，；1，0． 10．（23-24七年级上·广西桂林·期末）将有理数分别填在相应的大括号里． 整数：{    …}； 负数：{    …}； 正分数：{    …} 【答案】0，2023；，；，． 【分析】本题考查了有理数的概念及分类，根据有理数的概念分类即可． 【详解】解：整数：0，2023； 负数：，； 正分数：，． 故答案为：0，2023；，；，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 正数与负数 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.了解正数和负数是从实际需要中产生的. 2.理解正数、负数及0的意义，掌握正数、负数的表示方法. 3.会用正数、负数表示具有相反意义的量.（重点、难点） 4.理解正数、负数及0的意义. 5.会用正数、负数表示具有相反意义的量. 知识点一 正数、负数的定义 1. 正数 像2%，4，3.5这样大于0的数叫做正数.有时，为了明确表达意义，在正数的前面加上符号“+”（正）.如+2，+0.7，，…. 【注意】“+”一般有略不写，如2，0.7，，…，都是正数，“+”读作“正”. 2. 负数 像-3，-2.7%，-4.5这样在正数前加上符号“-”（负）的数叫做负数. 【注意】负数前面的“-”号不能省略，读作“负”.负数是小于0的数. 特别提醒 “+”“-”的双重意义 （1）作为运算符号是加、减号，如3+2-1; （2）作为数的性质符号是正、负号，如+7，-5. 3. 0的特性 0既不是正数，也不是负数.0是正数与负数的分界. 例1. 下列各数中，正数有哪些？负数有哪些？ ，，，，，，，． 【答案】正数： ，，，；负数：，，． 【分析】根据正数和负数的定义判断即可． 【详解】解：正数有： ，，，；负数有：，，． 【点睛】本题考查对正数和负数定义的理解和运用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，熟练掌握实数分类及先关概念是解决问题的关键． 方法技巧点拨 如何判断一个数是正数还是负数？ 答：判断一个数是正数还是负数，不能简单地理解为带“+”号的数就是正数，带“-”号的数就是负数，如-（）不是负数，因为它是在负数前面加了“-”号得到的数，不符合负数的定义. 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/21 13:11:52；用户：15801716282；邮箱：15801716282；学号：31290231 知识点二 具有相反意义的量 1. 具有相反意义的量的含义 如果两个量意义相反，且是同一类对象，那么这两个量就叫做具有相反意义的量. 【注意】两个量所表示的属性相同. 2. 日常生活中，表示相反意义的常用词语 收入 盈利 上升 零上 增加 向东(南) 前进 … 支出 亏损 下降 零下 减少 向西(北) 后退 … 3. 具有相反意义的量的表示 我们可以用正数和负数分别表示具有相反意义的量，若规定其中的一种量为正（可任意选择），则它的相反意义的量为负.习惯上把“前进、上升、收入、零上、盈利”等规定为正，把“后退、下降、支出、零下、亏损”等规定为负. 温馨提示： （1）具有相反意义的量的正负性是相对的，没有硬性规定，是可以任意选择的.例如:若规定收入1000元记作+1000元，则支出500元记作-500元;若规定上升1.5m记作+1.5m，则下降0.8m记作-0.8m. （2）具有相反意义的量中的两个量表示的意义相反，且必须是同类量.如节约3t汽油与浪费1t水就不是具有相反意义的量. （3）具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不是具有相反意义的量. （4）用正数、负数表示具有相反意义的量时，选择的基准不同，表示的结果也不同.如据调查显示，2020年中国18~44岁女性的平均身高为158cm，以158cm为基准，小红的身高为160cm，记为+2cm，但是在2015年，中国18~44岁女性的平均身高为157.2cm，若以此为基准，小红的身高应记为+2.8cm. 易错警示 具有相反意义的量必须是同类量吗？ 答：具有相反意义的量必须是同类量，只要求意义相反，不要求数量相等.如盈利5000元与亏损4000元是具有相反意义的量. 例2. （1） 在天气预报中，零上12度用表示，那么零下5度表示为 ． （2） 如果盈利300元用元表示，那么亏损300元表示为 元． （3）水位升高时水位变化记作m，那么水位下降记作 ． 【答案】（1）（2） （3） 特别提醒 用正、负数表示具有相反意义的量时常犯的错误 （1）对负数表示的意义理解不清.具有相反意义的两个量，若一个量规定为正，用正数表示，则另一个量就为负，用负数表示. （2）用正、负数表示具有相反意义的量时忽略了量的单位.把一个量去掉它后面的单位名称后，它就是一个数，而不再是一个量了.本题往往易因漏掉后面的单位而出错. 【变式2-1】 某超市2021年上半年的营业额与2020年同月营业额相比的增长率如下表所示．请根据表格信息回答下列问题： 月  份 1 2 3 4 5 6 比上年同月增长% 1.8 0 0.2 1.5 0.3 0.4 (1)该超市2021年上半年的营业额与2020年同月营业额相比，哪几个月是增长的？ (2)2021年1月和4月比上年同月增长率是负数表示什么意思？ (3)2021年上半年与2020年上半年同月相比，营业额没有增长的是哪几个月？ 知识点三 对数“0”的再认识 1. 表示没有 例如，0个西瓜，意思是没有西瓜. 2. 表示数时起到占位的作用 如20204中的两个0，从右到左分别占的是十位和千位. 3. 表示某种量的基准 例如，0℃不是表示没有温度，而是表示在标准大气压下，水开始结冰的温度. 4. 表示某些数量的分界 0既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界. 5. 表示起点 例如，在米尺上，刻度的起点为“0”. 例3. 下列说法正确的是（　　） A．0既是正数又是负数 B．0是最小的正数 C．0既不是正数也不是负数 D．0是最大的负数 【答案】C 【分析】根据有理数的分类判断即可． 【详解】∵0既不是正数也不是负数，故选C． 【点睛】本题考查了零的属性，熟练掌握0既不是正数也不是负数是解题的关键． 知识点四 有理数的有关概念 1. 整数 正整数、0、负整数统称为整数，如-3，-2，0，1，2，3等. 2. 分数 正分数、负分数统称为分数，如，0.18，-1.35，等. 分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式，也就是说，有限小数和无限循环小数可以用分数表示. 【注意】无限不循环小数不能用分数的形式表示。 易错警示 为什么说有限小数和无限循环小数都属于分数？ 答：如，，，无限循环小数可以用方程进行转换，所以有限小数和无限循环小数都属于分数。 注意： 小数与分数 小数可分为有限小数和无限小数.无限小数又分为无限循环小数和无限不循环小数. 分数把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫做分数.分数都可以写成（p，q为整数，q≠0）的形式. 3. 有理数 整数和分数统称为有理数. 4. 几个常用数学名词的含义 （1）正整数:既是正数，又是整数的数. （2）负整数:既是负数，又是整数的数. （3）正分数:既是正数，又是分数的数. （4）负分数:既是负数，又是分数的数. （5）非负数:正数和0. （6）非正数:负数和0. （7）非负整数（也叫自然数）:在整数范围内的非负的数，即正整数和0. （8）非正整数:在整数范围内的非正的数，即负整数和0. （9）正有理数:正整数和正分数. （10）负有理数:负整数和负分数. （11）非正有理数:0、负整数和负分数. （12）非负有理数:0、正整数和正分数. （13）奇数、偶数:引入负数后，小学学的奇数、偶数的范围也相应扩大了，奇数和偶数也可以有负数，如-1，-3，-5，…都是奇数，-2，-4，-6，…都是偶数. 例4. 在，，0.25，0，1.23，1.01001000100001…，中，非负有理数的数有 ． 【答案】，，，． 【分析】根据有理数的定义及分类：整数与分数统称为有理数，逐个判定即可得到结论． 【详解】解根据有理数的定义及分类可知，符合题意；是负数，不合题意；符合题意；0符合题意；1.23符合题意；1.01001000100001…是无理数，不合题意；是无理数，不合题意；故答案为：，，，． 【反思】(1)虽然有分数线有分数线，但分子“π”是无限不循环小数，所以不是分 数,也不是有理数，更不可能是非负有理数.(2)1.01001000100001...(每两个1之间0的个数逐次增加 1)虽然是无限小数,但它不循环,所以它不是有理数. 知识点五 有理数的分类 1. 按有理数的定义分类 2. 按有理数的性质符号分类 3. 集合 把满足一定条件的所有数放在一起，就组成了一个集合，简称数集.如所有的整数组成整数集. 1. 要做到标准一致,不重不漏.你在分类时,请不要忽略0,0是整数，不是分数,0既不是正数,也不是负数. 2. 不要把非负整数理解成正整数,非负整数包括正整数和0;也不要把非正整数理解成负整数,非正整数包括负整数和 0. 例5. 把下列各数填入相应的大括号里： -3，3.14，-0.1，80，-25%，0， 正数集合：{ }； 整数集合：{ }； 负数集合：{ }； 正分数集合：{ }． 【答案】 3.14，80， -3，80，0 -3，-0.1，-25% 3.14， 【分析】根据正数、负数、整数、正分数的意义逐个进行判断. 【详解】正数有：3.14，80，，…… 整数有：-3，80，0，…… 负数有：-3，-0.1，-25%，…… 正分数有：3.14，，…… 【点睛】本题考查有理数的分类，理解有理数的分类方法是正确判断的前提. 考点一：正负数的意义 例1．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）下列说法正确的是（    ） A． 在一个数前面加“－”号就得到负数 B．0既不是正数也不是负数 B． C．正数和负数统称为负数 D．非负数就是正数 【变式1-1】（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入6元记作元，那么支出4元记作（  ） A．元 B．0元 C．元 D．元 【变式1-2】（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）在，，0，，，这5个数中，负数有几个（        ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）如果规定汽车向东行驶5千米记作千米，那么向西行驶10千米记作（        ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 考点二：相反意义的量 例2. （23-24七年级上·安徽合肥·期中）如果规定汽车向东行驶 千米记作 千米，那么向西行驶 千米记作（    ） A．千米 B．米 C．千米 D．千米 【变式2-1】（23-24七年级上·安徽亳州·期中）中国是世界上最早提出和采用“正负数表示相反意义的量”的国家，关于正负数的记载最早见于公元一世纪的中国数学著作《九章算术》中，比欧洲早一千余年．如果将“向东走40米”记作“米”，那么“向西走30米”记作（    ） A．米 B．米 C．米 D．10米 【变式2-2】（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）如果前进4千米，记作千米，那么后退3千米记作 ． 【变式2-3】（23-24七年级上·安徽合肥·期中）如果向北走，记作，那么向南走记作 ． 考点三：正负数的实际应用 例3.（23-24七年级上·安徽黄山·期中）如果向东走5米，记作米，那么向西走2米，记作（    ） A．2米 B．米 C．7米 D．米 【变式3-1】（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）椰树牌椰子汁外包装标明：净含量为表明了这瓶椰子汁的净含量x的范围是（        ） A． B． C． D． 【变式3-2】（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）若规定向东为正，则向东走记作 m，向西走记作 m． 【变式3-3】（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）伦敦与我们北京的时差是小时（负数表示比北京时间迟的小时数），我们今天开始考试，则我们开始考试时，伦敦的时间为今天 考点四：有理数的概念 例4.（23-24七年级上·安徽合肥·期中）在数3，0，，，，中，有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-1】（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）在、、、0、、（每两个1之间0的个数逐次增加1）中，有理数的个数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-2】（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，两个圈分别表示正数集和整数集，请你从，9，0，，3.14，，1300这些数中，选择适当的数填入图中相应的位置． 【变式4-3】（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）把下列各数分别填在表示它所属的横线上：①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦2000；⑧．（填写序号） （1）正数：___________； （2）负数：___________； （3）整数：___________； （4）分数___________． 考点五：0的意义 例5.（23-24七年级上·山东青岛·期中）下列说法正确的是（　） A．有理数可分为正数，负数 B．正数没有最大的数，有最小的数 C．零既不是正数也不是负数 D．带“号”和带“”号的数互为相反数 【变式5-1】（23-24七年级上·江苏南通·期中）下列有关“”的叙述中，错误的是( ) A．不是正数，也不是负数 B．不是有理数，是整数 C．是整数，也是有理数 D．不是负数，是有理数 【变式5-2】（23-24七年级上·吉林长春·阶段练习）下列说法正确的是(   ) A．0是最小的有理数 B．整数和分数统称有理数 C．所有的整数都是正数 D．零既可以是正整数，也可以是负整数 【变式5-3】（23-24七年级上·四川德阳·期中）下列说法错误的是（    ） A．0既不是正数也不是负数 B．0是自然数，也是整数，也是有理数 C．若一个有理数不是正数，则它一定是负数 D．如果仓库运进货物记作，那么运出货物记作 考点六：有理数的分类 例6.（23-24七年级上·安徽亳州·期末）下列各数中，既是分数，又是负数的是（    ） A．2 B． C．−6 D． 【变式6-1】（23-24七年级上·安徽淮北·期末）在数，，，，，，，中，属于分数的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式6-2】（23-24七年级上·安徽马鞍山·期中）把下列各数填在相应的横线上：0，1，，8.9，，，，1008，，28，，，3.010010001． 正分数 ；非负数 ． 【变式6-3】（23-24七年级上·安徽淮北·期中）将下列各数填入相应的大括号内：5，，，，0，π，5.7，，102，． 非负整数集合：{______…}；负分数集合：{______…}． 考点七：带“非”字的有理数 例7.（22-23七年级上·安徽马鞍山·期中）下列说法中，错误的是（    ） A．有理数可分为正数和负数两类 B．有理数可分为整数和分数两类 C．0是有理数 D．非负整数就是自然数 【变式7-1】（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）把下列各数填在相应的集合里： (1)正整数集合： ； (2)整数集合： ； (3)正分数集合： ； (4)非负有理数集合： ； 【变式7-2】（23-24七年级上·安徽六安·阶段练习）把下列各数分别填入相应的括号内： (1)正整数：{____________________……}； (2)正分数：{____________________……}； (3)负分数：{____________________……}； (4)非负数：{____________________……}． 【变式7-3】（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）给出下列各数：，，0，，，2，，，，．把这些数分别填入相应的大括号内． (1)整数：{                        }． (2)分数：{                        }． (3)负数：{                        }． (4)非负整数：{                        }． 【例1】下列语句中正确的有　　 个． ①不带“”号的数都是正数；②如果是正数，那么一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 易错攻克 1.不能只凭“十”号和“-”号的有无来判断正数和负数 2.在判断正数和负数时，要充分考虑是否为0的情况. 【例2】下列各组量中，互为相反意义的量是　　 A．篮球比赛胜5场与负5场 B．上升与减小 C．增产粮食与减产粮食 D．向东走与向南走 易错攻克 解决此题的关键是要理解“正”和“负”的相对性,在理解“增产10t粮食与减产-10 t粮食”这一选项时，难点就是理解“一”就是减产的意思, 1．（23-24七年级上·安徽宿州·阶段练习）下列数中，是正整数的是（    ） A． B．0 C．2023 D． 2．（23-24七年级上·安徽淮南·阶段练习）下列各数中，既是分数又是正数的是（        ） A．1 B． C． D． 3．（22-23七年级上·安徽淮北·阶段练习）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“收入元”记作“元”，那么“支出元”记作（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 4．（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）下列各数中，是负整数的是（    ） A． B． C． D．0 5．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）在，，，，，中，分数有 个． 6．（22-23七年级上·安徽亳州·期末）某商店出售的一种袋装大米，在包装上标有：，这袋大米最轻的重量是 kg． 7．（23-24七年级上·广东惠州·期末）有理数0，6，，，9中整数有 ；负数有 ． 8．（23-24七年级上·湖北黄石·期中）在中，非负整数的个数为 ． 9．（23-24七年级上·山东济南·期末）请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里． 1，0.0708，，，0，3.14，，． 正有理数集合：{            …}， 负整数集合：{              …}， 正分数集合：{             …}， 非负整数集合：{           …}． 10．（23-24七年级上·广西桂林·期末）将有理数分别填在相应的大括号里． 整数：{     …}； 负数：{     …}； 正分数：{     …} 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$