精品解析：湖北省荆门市钟祥市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

荆门市2023−2024学年度下学期期末质量检测 八年级数学试题 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸黑和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若有意义，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是 （ ） A. 4，5，6 B. 1．5，2，2．5 C. 2，3，4 D. 1，2，3 4. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分对角 7. 已知一次函数的图象经过点，且随的增大而增大，则点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高度，则下列能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的时间x（单位：s）之间的函数关系的大致图象是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，，，点E，F，G，H分别是、、、的中点，连接，，，，当从锐角逐渐增大到钝角的过程中，四边形的形状的变化依次为（ ） A. 平行四边形→菱形→平行四边形 B. 平行四边形→菱形→矩形→平行四边形 C 平行四边形→矩形→平行四边形 D. 平行四边形→菱形→正方形→平行四边形 10. 如图1，正方形边长为为边上一点，连接，点从点出发，沿以的速度匀速运动到点．图2是的面积（单位：）随时间（单位：）的变化而变化的图象，其中，则的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 二、填空题（本大题共5题，每小题3分，共15分） 11. 计算：____． 12. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，其中记载了一道“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？译为：如图中，，与的和为10尺，为3尺，求的长，______尺． 13. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______________，使平行四边形是矩形．． 14. 下表中记录了一次试验中时间和温度的数据．若温度的变化是均匀的，则24分钟时的温度是______． 时间/分钟 0 5 10 15 20 25 温度 10 25 40 55 70 85 15. 如图，在正方形中，，对角线上的有一动点P（点P不与点C、点A重合），以为边作正方形．若E是的中点，连接，则的最小值为__________． 三、解答题（本大题共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： 17. 已知：，求下列各式的值． （1）； （2）； 18. 小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为5米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降7米，则他应该往回收线多少米？（精确到个位，） 19. 2024年3月5日，《政府工作报告》提出了开展“人工智能”行动，涵盖众多行业和领域，其中大型语言模型是最近热门话题．某实践小组开展了对A，B两款聊天机器人的使用满意度调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，结果分为四个等级：不满意：，比较满意：，满意：，非常满意：）．下面给出了部分信息： 抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所点百分比 A 88 b 96 B 88 87.5 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中， ， ， ； （2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）． 20. 如图，直线与过点直线交于点，与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）直接写出不等式的解集； （3）点在直线上，轴，交直线于点，若，求点的坐标． 21. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD． (1)求证：四边形OCED是菱形； (2)若∠BAC=30°，AC=4，求菱形OCED的面积． 22. 某商店销售十台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和十台B型的电脑利润为3500元． （1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中，B型电脑的进货量不超过A型电脑的两倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售利润为y元， ①求y关于x的函数关系式； ②该商店购进A型，B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ 23. 问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽． （1）如图1，小组将矩形纸片折叠，点落在边上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展平，得到四边形．求证：四边形是正方形； （2）如图2，小组将矩形纸片对折使与重合，展平后得到折痕，再次过点折叠使点落在折痕上的点处，得到折痕，连结，展平后得到四边形，求四边形的面积； 24. 如图1，平面直角坐标系中．直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转90°得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E （1）求证：； （2）如图2，将沿x轴正方向平移得，当直线经过点D时；求点D的坐标及平移的距离 （3）若点P在y轴上，点Q在直线上．是否存在以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 荆门市2023−2024学年度下学期期末质量检测 八年级数学试题 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸黑和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若有意义，则值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：，则的值可以是 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的加减乘除运算，掌握二次根式运算法则是解题的关键． 根据二次根式的加减乘除运算法则验证算式的正误即可． 【详解】解：A．，故不符合题意； B．，故不符合题意； C．，故符合题意； D．，故不符合题意； 故选：C． 3. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是 （ ） A. 4，5，6 B. 1．5，2，2．5 C. 2，3，4 D. 1，2，3 【答案】B 【解析】 【详解】A、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意； B、1.52+22=2.52，能构成直角三角形，符合题意； C、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意； D、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意． 故选B． 4. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定及性质定理判断即可； 【详解】解：平行四边形对角相等，故A错误； 一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误； 三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C错误； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键． 5. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据方差判断稳定性，方差越小，成绩越稳定，由此可解． 【详解】解：∵甲、乙、丙、丁成绩的平均数相同，而， ∴成绩最稳定的同学是甲． 故选：A 6. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分对角 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形、菱形、正方形关于对角线的性质，理解矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线都平分一组内角；正方形的对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线都平分一组内角． 利用矩形、菱形、正方形关于对角线的性质逐项判断即可． 【详解】解：A，矩形、正方形具有对角线相等的性质，而菱形不具有，不符合题意； B，矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分，符合题意； C，菱形、正方形具有对角线互相垂直，而矩形不具有，不符合题意； D，菱形、正方形具有对角线平分对角，而矩形不具有，不符合题意． 故选：B． 7. 已知一次函数的图象经过点，且随的增大而增大，则点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值是解题的关键．由点A的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值，结合y随x的增大而增大即可确定结论． 【详解】解：A、当点A的坐标为时，， 解得：， ∴y随x的增大而减小，选项A不符合题意； B、当点A的坐标为时，， 解得：， ∴选项B不符合题意； C、当点A的坐标为时，， 解得：， ∴y随x的增大而增大，选项C符合题意； D、当点A的坐标为时，， 解得：， ∴y随x的增大而减小，选项D不符合题意； 故选：C． 8. 如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高度，则下列能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的时间x（单位：s）之间的函数关系的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，根据浮力的知识，铁块露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变． 【详解】根据浮力的知识可知，当铁块露出水面之前，， 此过程浮力不变，铁块的重力不变，故拉力不变，即弹簧测力计的读数y不变； 当铁块逐渐露出水面的过程中，， 此过程浮力逐渐减小，铁块重力不变，故拉力逐渐增大，即弹簧测力计的读数y逐渐增大； 当铁块完全露出水面之后，， 此过程拉力等于铁块重力，即弹簧测力计的读数y不变． 综上，弹簧测力计的读数y先不变，再逐渐增大，最后不变． 观察四个选项可知，只有选项A符合题意． 故选：A 9. 如图，在平行四边形中，，，点E，F，G，H分别是、、、的中点，连接，，，，当从锐角逐渐增大到钝角的过程中，四边形的形状的变化依次为（ ） A. 平行四边形→菱形→平行四边形 B. 平行四边形→菱形→矩形→平行四边形 C. 平行四边形→矩形→平行四边形 D. 平行四边形→菱形→正方形→平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形中位线，得到，，，进而得到四边形是平行四边形，当时，平行四边形是矩形，，进而得到，此时平行四边形是菱形，由，， ，得到，平行四边形不可能是矩形或正方形，即可求解， 本题考查了，三角形的中位线，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，矩形的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握先关判定定理． 【详解】解：连接、、、， ∵点E，F，G，H分别是、、、的中点， ∴，，，，，，，， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， 当时，平行四边形是矩形，， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵，， ， ∴， ∴平行四边形不可能是矩形或正方形， 故选：． 10. 如图1，正方形的边长为为边上一点，连接，点从点出发，沿以的速度匀速运动到点．图2是的面积（单位：）随时间（单位：）的变化而变化的图象，其中，则的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，勾股定理，理解图中的点的实际意义是解本题的关键． 由图象得：当时，面积为，此时点与点重合，由三角形面积公式求得，从而得到，由勾股定理得出，再求出的长，从而即可得到答案． 【详解】解：由图象得：当时，面积为，此时点与点重合， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 二、填空题（本大题共5题，每小题3分，共15分） 11. 计算：____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式的除法法则计算即可求解． 【详解】解：． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次根式的除法运算，熟知二次根式的除法法则是解题关键． 12. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，其中记载了一道“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？译为：如图中，，与的和为10尺，为3尺，求的长，______尺． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设尺，则尺，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设尺，则尺， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴尺， 故答案为：． 13. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______________，使平行四边形是矩形．． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴当时，四边形ABCD为矩形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定，熟记矩形的判定方法是解题的关键． 14. 下表中记录了一次试验中时间和温度的数据．若温度的变化是均匀的，则24分钟时的温度是______． 时间/分钟 0 5 10 15 20 25 温度 10 25 40 55 70 85 【答案】82 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是分析表格得出温度与时间的关系式． 根据表格中数据可知温度随时间的增加而上升，且每分钟上升，写出函数关系式，进而把代入计算即可． 【详解】解：根据表格中的数据可知温度随时间的增加而上升，且每分钟上升， 则关系式为：， 当时，． 故24分钟时的温度是． 故答案为：82． 15. 如图，在正方形中，，对角线上的有一动点P（点P不与点C、点A重合），以为边作正方形．若E是的中点，连接，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点N，连接，首先求出，然后证明出，得到，当时，有最小值，即此时有最小值，然后利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，取的中点N，连接， ∵点N是的中点，是的中点，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点P是对角线上的一动点， ∴当时，有最小值，即此时有最小值， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理和等腰直角三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 三、解答题（本大题共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减和乘法运算和二次根式的性质， 先化简二次根式和乘法，最后算加减． 【详解】 ． ． 17. 已知：，求下列各式的值． （1）； （2）； 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的乘方和加减运算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先求出，然后利用完全平方公式代数求解即可； （2）首先得到，结合（1）的，然后利用平方差公式代数求解即可． 【小问1详解】 ∵ ∴ ∴ ； 【小问2详解】 ∵ ∴ ∴ ． 18. 小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为5米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降7米，则他应该往回收线多少米？（精确到个位，） 【答案】（1）米 （2）他应该往回收线6米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意可知：米，米， 在中，由勾股定理得，， ∴（负值已舍去)， 米， 答：风筝的垂直高度为米； 【小问2详解】 ∵风筝沿方向下降7米，保持不变，如图， ∴此时(米)， 即此时在中，米，有(米)， 相比下降之前，缩短长度为(米)， ∴他应该往回收线6米． 19. 2024年3月5日，《政府工作报告》提出了开展“人工智能”行动，涵盖众多行业和领域，其中大型语言模型是最近的热门话题．某实践小组开展了对A，B两款聊天机器人的使用满意度调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，结果分为四个等级：不满意：，比较满意：，满意：，非常满意：）．下面给出了部分信息： 抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所点百分比 A 88 b 96 B 88 87.5 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中， ， ， ； （2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】（1）15，88.5，98 （2）A款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：因为对两款机器人的评的平均数相同，但A款评的中位数比B款的高，所以A款聊天机器人更受用户喜爱．（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数等知识， （1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值； （2）通过比较，款的评分统计表的数据解答即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 即， 款的评分非常满意有（个，“满意”的数据为84、86、86、87、88、89， 把款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89， 中位数， 在款的评分数据中，98出现的次数最多， 众数； 【小问2详解】 款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 理由如下：因为对两款机器人的评的平均数相同，但A款评的中位数比B款的高，所以A款聊天机器人更受用户喜爱． 款聊天机器人更受用户喜爱（答案不唯一）． 20. 如图，直线与过点的直线交于点，与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）直接写出不等式的解集； （3）点在直线上，轴，交直线于点，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把点C的坐标代入，求出m的值，然后利用待定系数法求出直线的解析式； （2）根据函数图象进行解答即可； （3）求出点的坐标为，得到，设，由轴，得，得到，解得或，即可得到M的坐标． 本题考查了一次函数的图象性质，待定系数法求解析式以及由一次函数的交点求不等式的解集，熟练掌握一次函数的相关知识是解题关键． 【小问1详解】 解：把代入直线得到，解得， ∴点， 设直线的解析式为， 把A和C的坐标代入 ∴， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 由图象可知，当时，即， 当时，，即， ∴当时，， 即不等式的解集为； 【小问3详解】 当时，，解得， ∴点的坐标为 ， 设，由轴，得， ， 解得或， ∴或． 21. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD． (1)求证：四边形OCED是菱形； (2)若∠BAC=30°，AC=4，求菱形OCED的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的判定得出四边形OCED是平行四边形，根据矩形的性质求出OC=OD，根据菱形的判定得出即可． （2）解直角三角形求出BC=2，AB=DC=2，连接OE，交CD于点F，根据菱形的性质得出F为CD中点，求出OF=BC=1，求出OE=2OF=2，求出菱形的面积即可． 【详解】（1）证明：，， 四边形OCED是平行四边形， 矩形ABCD， ，，， ， 平行四边形OCED是菱形； （2）在矩形ABCD中，，，， ， ， 连接OE，交CD于点F， 四边形OCED为菱形， ∴F为CD中点， 为BD中点， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和菱形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：菱形的面积等于对角线积的一半． 22. 某商店销售十台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和十台B型的电脑利润为3500元． （1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中，B型电脑的进货量不超过A型电脑的两倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售利润为y元， ①求y关于x的函数关系式； ②该商店购进A型，B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）每台型电脑销售利润为100元，每台型电脑的销售利润为150元 （2）①；②购进34台型电脑和66台型电脑的销售利润最大，最大利润是13300元 【解析】 【分析】（1）设每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元；然后根据销售10台型和20台型电脑的利润为4000元，销售20台型和10台型电脑的利润为3500元列出方程组，然后求解即可； （2）①根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解；②根据型电脑的进货量不超过型电脑的2倍列不等式求出的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可． 【小问1详解】 解：设每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元； 根据题意得，解得． 答：每台型电脑销售利润为100元，每台型电脑的销售利润为150元； 【小问2详解】 ①根据题意得，， 即； ②根据题意得，， 解得， ， 随的增大而减小， 为正整数， 当时，取最大值，则， 此时最大利润是． 即商店购进34台型电脑和66台型电脑的销售利润最大，最大利润是13300元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息，准确找出等量关系列出方程组是解题的关键，利用一次函数的增减性求最值是常用的方法，需熟练掌握． 23. 问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽． （1）如图1，小组将矩形纸片折叠，点落在边上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展平，得到四边形．求证：四边形是正方形； （2）如图2，小组将矩形纸片对折使与重合，展平后得到折痕，再次过点折叠使点落在折痕上的点处，得到折痕，连结，展平后得到四边形，求四边形的面积； 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证，得四边形是菱形，再由，即可得出结论； （2）连接，由折叠的性质可得是等边三角形，，求出，由三角形面积公式可求出． 【小问1详解】 四边形是正方形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由第一步折叠可知：， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形； 【小问2详解】 连接， 由折叠得， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴ 设则， 由勾股定理得， ∴ 解得，（负值舍去） ∴ 由折叠得，， ∴． 【点睛】本题考查四边形综合题，考查了折叠的性质，正方形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 24. 如图1，在平面直角坐标系中．直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转90°得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E （1）求证：； （2）如图2，将沿x轴正方向平移得，当直线经过点D时；求点D的坐标及平移的距离 （3）若点P在y轴上，点Q在直线上．是否存在以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）平移的距离是个单位， （3）满足条件的点Q的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）由题意根据全等三角形的判定即可证明； （2）根据题意首先求出点D的坐标，再求出直线的解析式，求出点C′的坐标即可解决问题； （3）由题意作交y轴于P，作交于Q，则四边形是平行四边形，求出直线的解析式，可得点P坐标，点C向左平移1个单位，向上平移个单位得到P，推出点D向左平移1个单位，向上平移个单位得到Q，再根据对称性可得的坐标； 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴设， ∴， 把代入，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，把代入得, ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴平移的距离是个单位． 【小问3详解】 解：如图3中，作交y轴于P，作交于Q，则四边形是平行四边形， 易知直线的解析式为， ∴， ∵点C向左平移1个单位，向上平移个单位得到P， ∴点D向左平移1个单位，向上平移个单位得到Q， ∴， 当为对角线时，四边形是平行四边形可得， 当四边形为平行四边形时，可得Q′， 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数综合题、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用平移、对称等性质解决问题，属于压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$