精品解析：湖南省花垣县华鑫教育集团2023-2024学年八年级下学期月考数学试题

启封※绝密 2024年春五月份华鑫教育集团联考试卷 八年级数学 考试注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、座号、学校、准考证号填写清楚，并认真核对； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　） A 2，3，4 B. 4，5，6 C. 1，，3 D. 1，2， 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法不正确的是（ ）． A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 B. 一组邻边相等的菱形是正方形 C. 有三个角是直角的四边形是矩形 D. 对角线相等菱形是正方形 5. 在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的( ) A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 6. 一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 一组数据2，3，2，3，5的方差是（ ） A. 6 B. 3 C. 1.2 D. 2 8. 如图，平行四边形ABCD的周长为80，△BOC的周长比△AOB的周长多20，则BC长为（　　） A. 40 B. 10 C. 20 D. 30 9. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框使其不变形．若米，米，则木条（ ）．（结果保留根号） A 米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 如图，若一次函数为常数，且的图象经过点，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8个小题，每个小题3分，共24分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_______． 12. 若点（1，3）在正比例函数y=kx的图象上，则此函数的解析式为________． 13. 如图，要使矩形成为正方形，需添加一个条件为______． 14. 某校规定学生的体育成绩由三部分组成，早晨锻炼及体育课外活动表现占成绩的，体育理论测证占，体育技能测试占，小明的上述三项成绩依次是分，分，分，则小明这学期的体育成绩是______分． 15. 学习完《勾股定理》后，尹老师要求数学兴趣小组的同学测量学校旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面并多出了一段，但这条绳子的长度未知．如图，经测量，绳子多出的部分长度为1米，将绳子沿地面拉直，绳子底端距离旗杆底端4米，则旗杆的高度为______米． 16. 如图，点B、C分别在直线和直线（，为常数）上，A、D是轴上两点，已知四边形是正方形，则的值为______． 17. 如图，已知正方形的边长为，点是边的中点，点是对角线上的动点，则的最小值是_______． 18. 在平行四边形中，对角线、相交于点，是边上的一个动点（不与、重合），连接并延长，交于点，连接，，下列四个结论中： ①对于动点，四边形始终是平行四边形； ②若，则至少存在一个点，使得四边形是矩形； ③若，则至少存在一个点，使得四边形是菱形； ④若，，则至少存在一个点，使得四边形是正方形． 以上所有正确说法的序号是______． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算． 20. 已知，求的值． 21. 已知一次函数．当时，；当时，． （1）求该一次函数的表达式； （2）画出该函数的图象； （3）求该函数图象与坐标轴所围成的图形面积； （4）若自变量的取值范围是，则函数值的取值范围是______． 22. 网上学习越来越受到学生的喜爱．某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况，从该校七年级随机抽取20名学生，进行了每周网上学习时间的调查，数据如下（单位：时）： 3 2.5 0.6 1.5 1 2 2 3.3 2.5 1.8 2.5 2.2 3.5 4 1.5 2.5 3.1 2.8 3.3 2.4 整理上面的数据，得到表格如下： 网上学习时间（时） 人数 2 5 8 5 样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 统计量 平均数 中位数 众数 数值 2.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）上表中的中位数的值为 ，众数的值为 ； （2）用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间； （3）已知该校七年级有400名学生，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数． 23. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，是中点，连接过点作CF∥BD，交延长线于点，连接． （1）求证：≌； （2）求证：四边形是矩形； （3）当，时，求的面积． 24. 一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 25. 有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题： （1）； （2）． 26. 如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F， （1）证明：PC=PE； （2）求∠CPE的度数； （3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 启封※绝密 2024年春五月份华鑫教育集团联考试卷 八年级数学 考试注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、座号、学校、准考证号填写清楚，并认真核对； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　） A. 2，3，4 B. 4，5，6 C. 1，，3 D. 1，2， 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可． 【详解】A：22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B：42+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C：12+（ ）2≠32，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D：12+（）2＝22，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加法法则可判断A和B；根据二次根式的除法法则可判断C；根据二次根式的乘法法则可判断D； 【详解】和不是同类二次根式，不能合并，故A计算错误，不符合题意； 和2不是同类二次根式，不能合并，故B计算错误，不符合题意； ，故C计算错误，不符合题意； ，故D计算正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查二次根式的加法、除法和乘法计算．掌握各运算法则是解题关键． 3. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，满足被开方数不含有分母，被开方数不含有开得尽方的因数或因式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、不是二次根式，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 4. 下列说法不正确的是（ ）． A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 B. 一组邻边相等的菱形是正方形 C. 有三个角是直角的四边形是矩形 D. 对角线相等的菱形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形、正方形的判定定理判断即可得出答案． 【详解】解：A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形，不符合题意； B. 一组邻边相等的菱形不一定是正方形，符合题意； C. 有三个角是直角四边形是矩形，不符合题意； D. 对角线相等的菱形是正方形，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形、矩形的判定方法，理解记住判定定理是关键． 5. 在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的( ) A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】由于比赛取前5名参加决赛，共有11名选手参加，根据中位数的意义分析即可． 【详解】11个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有5个数， 故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了． 故选B． 【点睛】本题考查了中位数意义．解题的关键是正确的求出这组数据的中位数． 6. 一次函数的图象不经过的象限是（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的解析式，利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数的图象经过第一、二、四象限，此题得解． 【详解】解：∵k=-2＜0，b=1＞0， ∴一次函数y=-2x+1的图象经过第一、二、四象限， ∴一次函数y=-2x+1的图象不经过第三象限． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限”是解题的关键． 7. 一组数据2，3，2，3，5的方差是（ ） A. 6 B. 3 C. 1.2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先求得这组数据的平均数，再根据方差公式求解即可. 【详解】这组数据的平均数 = （2+3+2+3+5）=3， 方差S2 = [（2-3）2 +（2-3）2 +（3-3）2 +（3-3）2 +（5-3）2 ]=1.2. 故选C． 【点睛】本题考查了方差的求法，熟练运用方差公式求方差是解决本题的关键. 8. 如图，平行四边形ABCD的周长为80，△BOC的周长比△AOB的周长多20，则BC长为（　　） A. 40 B. 10 C. 20 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】由于平行四边形的对角线互相平分，那么△AOB、△BOC的周长差实际是AB、BC的差，再根据平行四边形的周长即可得到AB、BC的和，进而得出BC的长． 【详解】解：∵△BOC的周长比△AOB的周长多20， ∴BC﹣AB＝20，① ∵平行四边形ABCD的周长为80， ∴BC+AB＝40，② 由①+②，可得2BC＝60， ∴BC＝30． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质应用，准确计算是解题的关键． 9. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框使其不变形．若米，米，则木条（ ）．（结果保留根号） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方． 详解】解：米， 故选B． 10. 如图，若一次函数为常数，且的图象经过点，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图像可直接得出答案． 【详解】解：由函数图像得：不等式的解集为：． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握数形结合思想的应用是解题关键． 二、填空题（本大题共8个小题，每个小题3分，共24分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】自变量的取值范围即使得式子有意义的的取值范围． 【详解】解：， ， 解得． 函数的自变量的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数的自变量，熟知函数自变量取值范围的求法是解题的关键． 12. 若点（1，3）在正比例函数y=kx的图象上，则此函数的解析式为________． 【答案】y=3x 【解析】 【分析】根据正比例函数的图象上坐标的特征，将点（1，3）代入函数解析式，利用待定系数法求正比例函数的解析式即可． 【详解】∵正比例函数y=kx的图象经过(1,3)， ∴点(1,3)满足比例函数的解析式y=kx， ∴3=k，即k=3； 故本函数的解析式为：y=3x； 故答案为y=3x. 【点睛】本题考查求正比例函数的解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法. 13. 如图，要使矩形成为正方形，需添加一个条件为______． 【答案】（答案不唯一）． 【解析】 【分析】根据正方形的判定添加条件即可． 【详解】解：添加的条件可以是AB=BC．理由如下： ∵四边形ABCD是矩形，AB=BC， ∴四边形ABCD是正方形． 故答案为：AB=BC（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键，注意：有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形．此题是一道开放型的题目，答案不唯一，也可以添加AC⊥BD． 14. 某校规定学生的体育成绩由三部分组成，早晨锻炼及体育课外活动表现占成绩的，体育理论测证占，体育技能测试占，小明的上述三项成绩依次是分，分，分，则小明这学期的体育成绩是______分． 【答案】94 【解析】 【分析】因为早晨锻炼及体育课外活动表现占成绩的，体育理论测试占，体育技能测试占，利用加权平均数的公式即可求出答案． 【详解】解：由题意知，小明的体育成绩（分）． 故小明的体育成绩是分． 故答案为：． 【点睛】本题考查了加权平均数的计算．熟练掌握运算法则是解题关键． 15. 学习完《勾股定理》后，尹老师要求数学兴趣小组的同学测量学校旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面并多出了一段，但这条绳子的长度未知．如图，经测量，绳子多出的部分长度为1米，将绳子沿地面拉直，绳子底端距离旗杆底端4米，则旗杆的高度为______米． 【答案】7.5； 【解析】 【分析】旗杆、拉直的绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答． 【详解】 解：如图，设旗杆的长度为xm，则绳子的长度为：（x+1）m， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+42=（x+1）2， 解得：x=7.5， ∴旗杆的高度为7.5m， 故答案为7.5． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键． 16. 如图，点B、C分别在直线和直线（，为常数）上，A、D是轴上两点，已知四边形是正方形，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设正方形的边长为，根据正方形的性质分别表示出，两点的坐标，再将的坐标代入函数中从而可求得的值． 【详解】解：设正方形的边长为，则的纵坐标是， 把代入，得 ∴， 点B的坐标为，则点的坐标为， 把点的坐标代入中得，， 解得， 故答案 ：． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 17. 如图，已知正方形的边长为，点是边的中点，点是对角线上的动点，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】动点问题,找到对称轴作对称点,相连即可算出答案,连接CE即为AP+PE的最小值． 【详解】 连接CE, 因为A、C关于BD对称． CE即为AP+PE的最小值． ∵正方形边长为4,E是AB中点, ∴BC=4,BE=2． 故答案为: . 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键． 18. 在平行四边形中，对角线、相交于点，是边上的一个动点（不与、重合），连接并延长，交于点，连接，，下列四个结论中： ①对于动点，四边形始终是平行四边形； ②若，则至少存在一个点，使得四边形是矩形； ③若，则至少存在一个点，使得四边形是菱形； ④若，，则至少存在一个点，使得四边形正方形． 以上所有正确说法的序号是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形以及几种特殊平行四边形的判定．熟悉平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法是解答此题的关键． 由于经过平行四边形的中心，故四边形一定也是平行四边形，这可以通过证明与相等来说明．然后只要让平行四边形再满足适当的特殊条件就可以变成对应的特殊平行四边形，逐一进行判断即可． 【详解】解：如图1， ∵四边形为平行四边形，对角线与交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又：∵， ∴四边形为平行四边形， 即在上任意位置(不与、重合)时，四边形形为平行四边形，故①正确； 如图2， 当时，点不在边上，故②错误． 如图3， 当时，四边形为菱形，故③正确． 由丙知，若，则至少存在一个点，使得四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴若，则至少存在一个点，使得四边形是正方形，故④正确． 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算． 【答案】 【解析】 【分析】据此解题． 【详解】 【点睛】本题考查立方根、算术平方根、绝对值等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 20. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据分母有理化得出，然后根据分式的加减运算以及二次根式的性质化简，最后将，代入进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，二次根式的性质，二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键． 21. 已知一次函数．当时，；当时，． （1）求该一次函数的表达式； （2）画出该函数的图象； （3）求该函数图象与坐标轴所围成的图形面积； （4）若自变量的取值范围是，则函数值的取值范围是______． 【答案】（1） （2）见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了求解一次函数解析式，一次函数的与坐标轴的交点坐标以及一次函数性质等知识， （1）利用待定系数法即可求解； （2）依据题干信息，描点作图即可； （3）先求出直线与坐标轴的交点坐标，问题即可得解； （4）先求出当时，，时，，结合图象即可作答． 【小问1详解】 根据题意得， 解得， 一次函数解析式为； 小问2详解】 函数图象经过点，，作图如下， 【小问3详解】 当时，，则直线与轴的交点坐标为， 当时，，解得，则直线与轴的交点坐标为， 该函数图象与坐标轴所围成的图形面积； 【小问4详解】 当时，， 时，， 结合图象，当时，函数值的取值范围是． 故答案为：． 22. 网上学习越来越受到学生的喜爱．某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况，从该校七年级随机抽取20名学生，进行了每周网上学习时间的调查，数据如下（单位：时）： 3 2.5 0.6 1.5 1 2 2 3.3 2.5 1.8 2.5 2.2 3.5 4 1.5 2.5 3.1 2.8 3.3 2.4 整理上面的数据，得到表格如下： 网上学习时间（时） 人数 2 5 8 5 样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 统计量 平均数 中位数 众数 数值 2.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）上表中的中位数的值为 ，众数的值为 ； （2）用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间； （3）已知该校七年级有400名学生，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数． 【答案】（1）2.5，2.5；（2）43.2；（3）260 【解析】 【分析】（1）把20个数据从小到大排列，即可求出中位数；出现次数最多的数据即为众数； （2）由平均数乘以18即可； （3）用总人数乘以每周网上学习时间超过2小时的学生人数所占的比例即可． 【详解】（1）从小到大排列为：0.6，1，1.5，1.5，1.8，2，2，2.2，2.4，2.5，2.5，2.5，2.5，2.8，3，3.1，3.3，3.3，3.5，4， ∴中位数的值为，众数为2.5； 故答案为2.5，2.5； （2）（小时）， 答：估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间为43.2小时． （3）（人）， 答：该校七年级学生有400名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数为260人． 【点睛】本题主要考查了中位数，平均数，众数，理解定义和公式是关键． 23. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，是中点，连接过点作CF∥BD，交的延长线于点，连接． （1）求证：≌； （2）求证：四边形是矩形； （3）当，时，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）12 【解析】 【分析】（1）由ASA证明△ODE≌△FCE即可； （2）由全等三角形的性质得OD=FC，再证四边形OCFD是平行四边形，然后由菱形的性质得AC⊥BD，则∠COD=90°，即可得出结论； （3）由菱形的性质得AC⊥BD，AO=OC=AC=6，OD=BO，再由勾股定理得BO=OD=8，然后由矩形的性质，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：， ， 是中点， ， 在和中， ， ≌； 【小问2详解】 证明：≌， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 平行四边形是矩形； 【小问3详解】 解：四边形是菱形， ，，， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 24. 一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【答案】（1）梯子顶端距离地面的高度为24米 （2）梯子的底端在水平方向滑动了8米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理在解直角三角形中的应用，熟练掌握并正确计算是解题的关键． （1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度； （2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出梯子的底端在水平方向滑动的距离． 【小问1详解】 解：根据勾股定理： 梯子顶端距离地面的高度为：； 【小问2详解】 梯子下滑了4米， 即梯子顶端距离地面的高度为：米， 根据勾股定理得：米， ． 即梯子的底端在水平方向滑动了8米． 25. 有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简、运算， （1）结合题干思路方法作答即可； （2）结合题干思路方法作答即可． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：， ． 26. 如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F， （1）证明：PC=PE； （2）求∠CPE的度数； （3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）90°；（3）AP=CE，理由见解析 【解析】 【分析】(1)根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB得出△ABP ≌△CBP，从而得出结论； (2)根据全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据PA=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案； (3)首先证明△ABP和△CBP全等，然后得出PA=PC，∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠DEP，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC是等边三角形，从而得出AP=CE． 【详解】(1)证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°， 又∵ PB=PB， ∴△ABP ≌△CBP（SAS）， ∴PA=PC， ∵PA=PE， ∴PC=PE； (2)解：由（1）知，△ABP≌△CBP， ∴∠BAP=∠BCP， ∴∠DAP=∠DCP， ∵PA=PE， ∴∠DAP=∠E， ∴∠DCP=∠E， ∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等）， ∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°； (3)AP＝CE 理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP， 在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB， ∴△ABP≌△CBP（SAS）， ∴PA=PC，∠BAP=∠BCP， ∵PA=PE， ∴PC=PE， ∴∠DAP=∠DCP， ∵PA=PE， ∴∠DAP=∠DEP， ∴∠DCP=∠DEP， ∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等）， ∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠DEP， 即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°， ∴△EPC是等边三角形， ∴PC=CE， ∴AP=CE． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$