精品解析：河南省信阳市平桥区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

八年级数学期末质量调研试卷 （满分120分， 考试时间100分钟） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ） A. 1：2：3：4 B. 1：2：2：1 C. 1：2：1：2 D. 1：1：2：2 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙、丁四位同学五次100米跑成绩统计如下表.如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加县运动会，那么应选（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数（秒） 16 15 15 16 方差 30 30 35 42 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 中，，，，表示其三边，以下条件不能构成直角三角形的选项是（ ） A. B. C. D. 6. 正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y=kx﹣k的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，一轮船以3海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以4海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ） A 25海里 B. 10海里 C. 35海里 D. 40海里 8. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，，则矩形对角线的长为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 9. 关于x的方程kx+b=3的解为x=7，则直线y=kx+b的图象一定过点（　　） A. （3，0） B. （7，0） C. （3，7） D. （7，3） 10. 2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京开幕，政府工作报告中一个新关键词引发热议“人工智能＋”．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给相距450厘米的客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为x（秒），聪聪和慧慧行走的路程分别为（厘米）、（厘米），、与x之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） ①慧慧比聪聪晚出发15秒 ②慧慧提速后的速度为30厘米/秒 ③ ④从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为140厘米 A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 函数y=中，自变量x的取值范围是___________. 12. 在上学期数学测试中，李伟期中、期末成绩分别为90分和100分（各项成绩均按百分制），如果数学学期综合评分中“平时作业及学习情况”占，期中成绩占，期末成绩占，要使数学综合评分不低于95分，那么他的“平时作业及学习情况”至少得了______分． 13. 将直线沿轴向上平移个单位，可得直线的解析式________________． 14. 如图，为斜边上的中线，为的中点．若，，则________． 15. 如图，在矩形中，是的中点，将沿折叠，点的对应点为点．当点在矩形内部时，延长交边于点．当点分边的比为时，若矩形的边长，则的边长为________． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. （1）； （2）． 17. 如图，菱形的对角线，交于点，且，，连接，交于点． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求四边形的周长． 18. 2023年4月24日是我国第八个“中国航天日”，今年航天日的主题是“格物致知，叩问苍穹”．设立“中国航天日”，就是要铭记历史、传承精神，激发全民尤其是青少年崇尚科学、探索未知、敢于创新的热情．某校开展了一次航天知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩，经过收集数据、整理数据，得到以下信息： a：50名学生竞赛成绩的频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（数据分成5组：，，，，）， ：第三组的成绩（单位：分）为：71，72，73，73，74，74，75，75，75，78，79，79． 根据以上信息解答下列问题： （1）补全频数分布直方图（直接在图中补全）； （2）第三组竞赛成绩的众数是__________分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是__________分； （3）若该校共有1000名学生参赛，估计该校参赛学生成绩不低于80分人数． 19. 近年来，随着全民健身国家战略深入实施，锻炼健身逐渐成为了一新风尚．浉河沿岸环河公园（如图1）是一个风景秀美的开放型“体育场”， 在蓝天碧水、绿树成荫中享受骑行魅力．城市骑行，不仅可以锻炼身体，享受户外，还可以发现更多城市美好，周末甲、乙两人相约从沿河绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是，乙骑行的路程与骑行的时间之间的关系如图2所示． （1）当和时，乙骑行的速度分别是 和 ； （2）当和时，求与之间的函数表达式； （3）通过计算说明，何时甲骑行在乙的前面？ 20. 为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地． （1）当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为，，时，一边的小明很快给出这块试验基地的面积．你求出的面积为______． （2）八（2）班的劳动实践基地的三边长分别为，，如图），你能帮助他们求出面积吗？ 21. 【教材呈现】人教八年级下册数学教材第59页的部分内容． 如图1，把一张矩形纸片按如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？ （1）【问题解决】如图1，已知矩形纸片，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在上． 求证：四边形是正方形．（请完成以下填空） 证明：四边形是矩形， ， 折叠，， 四边形是矩形（）． 折叠，， 四边形是正方形（） （2）【问题拓展】如图2，已知平行四边形纸片，将平行四边形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在边上． ①求证：四边形是菱形． ②连结，若，，求菱形的面积． 22. 数形结合是一种重要的数学思想方法，我们可以借助函数的图象求某些较为复杂不等式的解集．比如，求不等式的解集，可以先构造两个函数和，再在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象（如图1所示），通过观察所画函数的图象可知：它们交于、两点，当或时，y1＞y2，由此得到不等式的解集为或x＞2． 根据上述说明，解答下列问题： （1）要求不等式x2＋3x＞x＋3的解集，可先构造出函数y1＝x2＋3x和函数y2＝　　； （2）图2中已作出了函数y1＝x2＋3x的图象，请在其中作出函数y2的图象； （3）观察所作函数的图象，求出不等式x2＋3x＞x＋3的解集． 23. 在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中． （1）若，分别是，中点，则四边形一定是怎样四边形(、相遇时除外)？ 答： ； （2）在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值； （3）在（1）条件下，若向点运动，向点运动，且与点，以相同速度同时出发，若四边形为菱形，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学期末质量调研试卷 （满分120分， 考试时间100分钟） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义“被开方数中不含字母或开得尽方的整数或整式，这样的二次根式即为最简二次根式”依次进行判断即可得，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意； B、，不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意； C、，不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意； D、是最简二次根式，选项说法正确，符合题意； 故选：D． 2. 在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ） A. 1：2：3：4 B. 1：2：2：1 C. 1：2：1：2 D. 1：1：2：2 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角相等，容易得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C，∠B=∠D， ∴C正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的对角相等的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D，选项正确，符合题意； 故选：D 【点睛】此题考查了二次根式的四则运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的四则运算法则． 4. 甲、乙、丙、丁四位同学五次100米跑成绩统计如下表.如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加县运动会，那么应选（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数（秒） 16 15 15 16 方差 30 30 35 42 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【详解】∵乙同学的平均用时最短，方差最小，最稳定， ∴应选乙同学. 故选B. 【点睛】此题考查方差，算术平均数，解题关键在于掌握方差的定义. 5. 中，，，，表示其三边，以下条件不能构成直角三角形的选项是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、当，由，可得，故能判定是直角三角形， B、当，可得，故能判定是直角三角形， C、当，可得最大角：，故不能判定是直角三角形， D、设，则，，可得，，即，故能判定是直角三角形， 故选：C． 6. 正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y=kx﹣k的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由于正比例函数y=kx（k≠0）函数值随x的增大而减小，可得k＜0，-k＞0，然后，判断一次函数y=kx-k的图象经过象限即可． 【详解】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）函数值随x的增大而减小， ∴k＜0， ∴-k＞0， ∴一次函数y=kx-k的图象经过一、二、四象限； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，掌握一次函数y=kx+b,当k＞0，b＞0时，图象过一、二、三象限；当k＞0，b＜0时，图象过一、三、四象限；k＜0，b＞0时，图象过一、二、四象限；k＜0，b＜0时，图象过二、三、四象限． 7. 如图所示，一轮船以3海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以4海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ） A. 25海里 B. 10海里 C. 35海里 D. 40海里 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程速度时间，得两条船分别走了6海里，8海里．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：如图，设轮船向东北方向航行到B，向东南方向航行到C， 由题意得，海里，海里，， ∴海里， ∴离开港口2小时后，则两船相距10海里， 故选：B． 8. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，，则矩形对角线的长为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质首先证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定等知识，解题的关键是发现是等边三角形，属于基础题． 9. 关于x的方程kx+b=3的解为x=7，则直线y=kx+b的图象一定过点（　　） A. （3，0） B. （7，0） C. （3，7） D. （7，3） 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意先确定b与k的关系，然后代入一次函数解析式中，最后根据各选项进行逐项分析即可． 【详解】解：∵关于x的方程kx+b=3的解为x=7， ∴7k+b=3， ∴b=3-7k； 把b=3-7k代入y=kx+b得：y=kx+3-7k， A.当x=3时，y=3k+3-7k=3-4k，所以此时直线y=kx+b不一定过点（3，0）； B.当x=7时，y=7k+3-7k=3，所以此时直线y=kx+b一定不过点（7，0）； C.当x=3时，y=3k+3-7k=3-4k，所以此时直线y=kx+b不一定过点（3，7）； D.当x=7时，y=7k+3-7k=3，所以此时直线y=kx+b一定过点（7，3）； 故选：D． 【点睛】本题考查方程的解，以及一次函数图象上点坐标的特征，理解方程的解的定义，掌握一次函数图象上点坐标的特征是解题关键． 10. 2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京开幕，政府工作报告中一个新关键词引发热议“人工智能＋”．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给相距450厘米的客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为x（秒），聪聪和慧慧行走的路程分别为（厘米）、（厘米），、与x之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） ①慧慧比聪聪晚出发15秒 ②慧慧提速后的速度为30厘米/秒 ③ ④从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为140厘米 A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的数量关系是解题的关键． ①根据图象直接判断即可；②根据“速度路程时间”求出慧慧提速前的速度，从而求出提速后的速度；③根据“速度时间路程”求出的值，根据“速度路程时间”求出聪聪的速度，再根据“时间路程速度”求出的值即可；④当时，聪聪和慧慧之间距离先减小后增大，当时两者距离达到最大，根据“路程速度时间”求出此时的最大值；当时，聪聪和慧慧之间距离先减小后增大，当时两者距离达到最大，求出此时的最大值；当时，聪聪和慧慧之间距离逐渐减小到0，比较这两个最大值并选择较大的一个即可． 【详解】解：由图象可知，慧慧比聪聪晚出发15秒， ①正确； 慧慧提速前的速度为(厘米/秒)，则提速后的速度为(厘米/秒)， ②正确； 根据“速度时间路程”，得，解得， 根据“速度路程时间”，得聪聪的速度为(厘米/秒)， 根据“时间路程速度”，得聪聪到达客人的时间为秒， ， ③正确； 由图象可知，当时，聪聪和慧慧之间距离逐渐增大，当时两者距离达到最大，最大值为厘米， 当时，聪聪和慧慧之间距离先减小后增大，当时两者距离达到最大，最大值为厘米， 当时，聪聪和慧慧之间距离逐渐减小到0， ， 聪聪和慧慧之间距离的最大值为厘米， ④不正确． 故正确的是①②③， 故选：B． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 函数y=中，自变量x的取值范围是___________. 【答案】x≥－2且x≠3 【解析】 【详解】分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数≥0，分母≠0，可以求出x的范围． 解答：解：根据题意得：x+2≥0且x-3≠0， 解得：x≥-2且x≠3． 12. 在上学期数学测试中，李伟期中、期末成绩分别为90分和100分（各项成绩均按百分制），如果数学学期综合评分中“平时作业及学习情况”占，期中成绩占，期末成绩占，要使数学综合评分不低于95分，那么他的“平时作业及学习情况”至少得了______分． 【答案】90 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，加权平均数，设他的“平时作业及学习情况”得了x分，根据加权平均数的求解方法结合数学综合评分不低于95分列出不等式求解即可． 【详解】解：设他的“平时作业及学习情况”得了x分， 由题意得，， 解得， ∴他的“平时作业及学习情况”至少得了90分， 故答案：90． 13. 将直线沿轴向上平移个单位，可得直线的解析式________________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据“上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：将直线向上平移5个单位长度后，所得直线解析式，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解题的关键． 14. 如图，为斜边上的中线，为的中点．若，，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，三角形中位线定理．根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形中位线定理即可得到结论． 【详解】解：为斜边上的中线，， ， ，， ， 为的中点， ， 是的中位线， ， 故答案为：3． 15. 如图，在矩形中，是的中点，将沿折叠，点的对应点为点．当点在矩形内部时，延长交边于点．当点分边的比为时，若矩形的边长，则的边长为________． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识点．根据证，得出，又，即可得出，分和两种情况，利用勾股定理分别得出和的关系即可． 【详解】解：如图，连接， 由图形的翻折可知，，，， ， 点是的中点， ， ， 又， ， ， ，即； 当时， 设，则， ，， 在中，， ； 当时， 设，则， ，， 在中，， ， 综上，当点分边的比为时，的边长为2或． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）先算乘法，再化简算加减法； （2）先算乘除法，再算加减法，可以利用平方差公式简化运算． 【详解】（1） （2） ． 17. 如图，菱形的对角线，交于点，且，，连接，交于点． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1）矩形，理由见解析 （2）36 【解析】 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，由菱形的性质可证明，从而可证明四边形是矩形； （2）首先依据勾股定理求得；推导出四边形是平行四边形，从而得到，然后求得周长即可． 【小问1详解】 解：四边形是矩形． 理由：，， 四边形是平行四边形， 又菱形对角线交于点， ， 即， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是菱形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长为． 【点睛】本题主要考查的是菱形的性质、矩形的性质和判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 18. 2023年4月24日是我国第八个“中国航天日”，今年航天日的主题是“格物致知，叩问苍穹”．设立“中国航天日”，就是要铭记历史、传承精神，激发全民尤其是青少年崇尚科学、探索未知、敢于创新的热情．某校开展了一次航天知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩，经过收集数据、整理数据，得到以下信息： a：50名学生竞赛成绩的频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（数据分成5组：，，，，）， ：第三组的成绩（单位：分）为：71，72，73，73，74，74，75，75，75，78，79，79． 根据以上信息解答下列问题： （1）补全频数分布直方图（直接在图中补全）； （2）第三组竞赛成绩的众数是__________分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是__________分； （3）若该校共有1000名学生参赛，估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数． 【答案】（1）见解析 （2）75，79 （3）估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数约为480人． 【解析】 【分析】（1）计算出第2组的人数，即可补全频数分布直方图； （2）根据中位数、众数的意义，分别求出第3组的众数，样本中位数； （3）利用样本估计总体，即可求解． 【小问1详解】 解：第2组的人数为：（人）， 补全频数分布直方图如图所示： 【小问2详解】 解：第3组数据出现次数最多的是75，共出现3次，因此众数是75； 抽取的50人的成绩从小到大排列处在第25、26位的两个数即79、79， 则样本中位数为（分），因此中位数79， 故答案为：75，79； 【小问3详解】 解：（人）， 估计该校参赛学生成绩不低于80分的人数约为480人． 【点睛】本题考查频数分布直方图、中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的意义是求出答案的前提，理解频数分布直方图的意义是解决问题的关键． 19. 近年来，随着全民健身国家战略的深入实施，锻炼健身逐渐成为了一新风尚．浉河沿岸环河公园（如图1）是一个风景秀美的开放型“体育场”， 在蓝天碧水、绿树成荫中享受骑行魅力．城市骑行，不仅可以锻炼身体，享受户外，还可以发现更多城市美好，周末甲、乙两人相约从沿河绿道某地出发同向骑行，甲骑行的速度是，乙骑行的路程与骑行的时间之间的关系如图2所示． （1）当和时，乙骑行的速度分别是 和 ； （2）当和时，求与之间的函数表达式； （3）通过计算说明，何时甲骑行在乙的前面？ 【答案】（1）； （2） （3）分钟后甲骑行在乙的前面． 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数应用，利用待定系数法求解函数关系式是解题的关键． （1）由图象利用速度路程时间可求解； （2）利用待定系数法可求解； （3）可利用甲，乙两人骑行的路程相等列不等式，计算可求解． 【小问1详解】 解：当时，乙的骑行速度是：， 当时，乙骑行的速度是：， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，设， 将，代入上式， ， 解得， ； 【小问3详解】 解：由题意得， 解得． 答：分钟后甲骑行在乙的前面． 20. 为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策，帮助同学们更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质，学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地． （1）当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为，，时，一边的小明很快给出这块试验基地的面积．你求出的面积为______． （2）八（2）班的劳动实践基地的三边长分别为，，如图），你能帮助他们求出面积吗？ 【答案】（1）30 （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键． （1）利用勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，进而求解即可； （2）过A作交于点D．设，则，利用勾股定理分别求得、、即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴该三角形为直角三角形，其中13为斜边， ∴这块试验基地的面积为， 故答案为：30； 【小问2详解】 解：过A作交于点D． 设，则． 在和 由勾股定理得 ， 解得， 在中，由勾股定理得, ∴． 21. 【教材呈现】人教八年级下册数学教材第59页的部分内容． 如图1，把一张矩形纸片按如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？ （1）【问题解决】如图1，已知矩形纸片，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在上． 求证：四边形是正方形．（请完成以下填空） 证明：四边形是矩形， ， 折叠，， 四边形是矩形（）． 折叠，， 四边形是正方形（） （2）【问题拓展】如图2，已知平行四边形纸片，将平行四边形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在边上． ①求证：四边形是菱形． ②连结，若，，求菱形的面积． 【答案】（1）有三个角是直角的四边形为矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形 （2）①见详解；②25 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得，再由折叠的性质得：，则四边形是矩形，然后由，即可得出结论； （2）①由平行四边形的性质得，则，再证，则，得四边形是平行四边形，然后由即可得出结论； ②由菱形面积公式得，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， 由折叠的性质得：， ∴四边形是矩形（有三个角是直角的四边形为矩形）， 由折叠的性质得：， ∴四边形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）， 故答案为：有三个角是直角的四边形为矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形； 【小问2详解】 ①证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴四边形平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； ②解：如图2，∵四边形是菱形，， ∴， 故答案为：25． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、正方形的判定、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、折叠的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握折叠的性质、矩形的判定与性质是解题的关键． 22. 数形结合是一种重要的数学思想方法，我们可以借助函数的图象求某些较为复杂不等式的解集．比如，求不等式的解集，可以先构造两个函数和，再在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象（如图1所示），通过观察所画函数的图象可知：它们交于、两点，当或时，y1＞y2，由此得到不等式的解集为或x＞2． 根据上述说明，解答下列问题： （1）要求不等式x2＋3x＞x＋3的解集，可先构造出函数y1＝x2＋3x和函数y2＝　　； （2）图2中已作出了函数y1＝x2＋3x的图象，请在其中作出函数y2的图象； （3）观察所作函数的图象，求出不等式x2＋3x＞x＋3的解集． 【答案】（1）x＋3；（2）见解析；（3）或 【解析】 【分析】（1）由题干材料中的方法可得答案； （2）根据y2＝x＋3过点（﹣3，0）和（1，4），利用两点确定一条直线画出函数的图象即可； （3）根据（2）中图象即可得出答案. 【详解】解：（1）根据题意可得y2＝x＋3； 故答案为：x＋3； （2）作出函数y2的图象如下： （3）∵由图可知：函数y1和y2的图象交于（1，4）和（﹣3，0）两点，当x＜﹣3或x＞1时，y1＞y2， ∴不等式x2＋3x＞x＋3的解集为x＜﹣3或x＞1. 【点睛】本题考查一次函数及其应用、二次函数图象及其性质，要运用数形结合的思想，从函数的观点理解方程（组）或不等式. 23. 在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中． （1）若，分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形(、相遇时除外)？ 答： ； （2）在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值； （3）在（1）条件下，若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，直接写出的值． 【答案】（1）四边形是平行四边形 （2）四边形为矩形时或； （3）当时，四边形为菱形． 【解析】 【分析】（1）利用三角形全等可得，，则，即可证明； （2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解； （3）根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形为菱形，再利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形，理由如下： 由题意得：， 四边形是矩形， ∴，， ， ，分别是，中点， ，， ， ， ，， ， ∴， 四边形是平行四边形； 故答案为：四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：如图1，连接， 由（1）得，，， 四边形是矩形， ， ①如图1，当四边形是矩形时， ， ， ， ； ②如图2，当四边形是矩形时， ，， ， ； 综上，四边形为矩形时或； 【小问3详解】 解：如图3，和分别是和的中点，连接，，，与交于， 四边形为菱形， ，，， ，， 四边形为菱形， ， 设，则， 由勾股定理可得：， 即：， 解得：， ，即， 当时，四边形为菱形． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$