精品解析：山东省滨州市沾化区下河乡实验学校2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题

2023—2024学年度第二学期核心素养评价一 八年级数学试题 （时间：120分钟 分值：120分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各组数中是勾股数的是（ ） A. ，， B. 1，2，3 C. ，， D. 9，40，41 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 且 5. 如图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形．若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 6. 如图，长方形中，，，在数轴上，若以点A为圆心，AC长为半径画弧交数轴于点M，则点M表示的数为（ ）． A. B. C. D. 7. 将根号外的因式移到根号内，得（　　） A B. C. D. 8. 如图，已知四边形中，，，，则点到的距离为（ ） A B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若与最简二次根式可以合并，则______． 10. 若一个三角形的三边长为，则使此三角形是直角三角形的的值是______． 11. 已知x、y是实数，且满足，则的值为_______． 12. 如图，有两棵树，一棵高为米，另一棵高为米，两树相距米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，那么小鸟至少飞行________米． 13. 如图，长方形E的长是宽的2倍，图中所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为5、23、10，则正方形D的面积为______． 14. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______． 15. 如图，高速公路上有A，B两点相距，C，D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则的长是 ________． 16. 在中，，，，则的长为______． 三、解答题（本大题共6个小题，共72分，解答题写出必要的解题过程） 17. 计算： （1）； （2）． （3）． 18. 图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定为90°的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 19. （1）已知：，．求代数式． （2）若，求代数式的值． 20. 如图，学校高的教学楼上有一块高的校训宣传牌，为美化环境，对校训牌进行维护．一辆高的工程车在教学楼前点M处，伸长的云梯（云梯最长）刚好接触到的底部点A处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长的云梯刚好接触到的顶部点C处？ 21. 观察下列等式，然后解答问题： ， ， ， ， ． （1）计算： ①__________； ②； （2）计算： ①； ②． 22. 用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题： （1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理． （2）如图2，在中，是边上的高，，求的长度； （3）如图1，若大正方形面积是13，小正方形的面积是1，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期核心素养评价一 八年级数学试题 （时间：120分钟 分值：120分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义“被开方数中不含字母或开得尽方的整数或整式，这样的二次根式即为最简二次根式”依次进行判断即可得，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意； B、，不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意； C、，不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意； D、是最简二次根式，选项说法正确，符合题意； 故选：D． 2. 下列各组数中是勾股数的是（ ） A. ，， B. 1，2，3 C. ，， D. 9，40，41 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，熟练掌握能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．根据能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即可求解． 【详解】解：A、不是正整数，则，，不是勾股数，故本选项不符合题意； B、，则1，2，3不是勾股数，故本选项不符合题意； C、不是正整数，则不是勾股数，故本选项不符合题意； D、，则是勾股数，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则运算判断． 【详解】解：A、 ，不能合并，原计算错误，本选项不合题意； B、 ，原计算错误，本选项不合题意； C、 ，计算正确，本选项符合题意； D、，注意运算顺序，原计算错误，本选项不合题意； 故选：C 【点睛】本题考查二次根式的运算，乘法公式；注意掌握运算法则是解题的关键． 4. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得到不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得且， 故选：D 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键． 5. 如图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形．若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理和含30°角的直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：，，， ，， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 6. 如图，长方形中，，，在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径画弧交数轴于点M，则点M表示的数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和无理数，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．根据长方形的性质得出，再根据勾股定理得出，再根据两点之间距离的表示方法，即可解答． 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴， ∴， ∵点A表示的数为， ∴点M表示的数为， 故选：D． 7. 将根号外的因式移到根号内，得（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简．根据题意先判断，再利用二次根式性质进行化简即可． 【详解】解：∵，即， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，已知四边形中，，，，则点到距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，垂直平分线的判定及性质，连接交于，作交于，可知垂直平分，由勾股定理可得，则，，再结合，即可求解，熟练掌握垂直平分线的判定及性质是解决问题的关键． 【详解】解：连接交于，作交于， ∵，， ∴垂直平分，则， ∵， ∴，则， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 若与最简二次根式可以合并，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式的性质得出，根据同类二次根式的定义得出，再求出即可． 【详解】解∶， 与最简二次根式可以合并， ， 解得：． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了最简二次根式和同类二次根式，能得出方程是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式． 10. 若一个三角形的三边长为，则使此三角形是直角三角形的的值是______． 【答案】或4 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，解题的关键是根据勾股定理分类讨论进行解答即可． 【详解】解：一个三角形的三边长为， ∵此三角形是直角三角形， ∴当x是斜边时，，则； 当5是斜边时，，解得（负值舍去）， 综上，x的值是或4， 故答案：或4． 11. 已知x、y是实数，且满足，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式计算等．根据题意可得，再代入中，利用二次根式计算即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，有两棵树，一棵高为米，另一棵高为米，两树相距米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，那么小鸟至少飞行________米． 【答案】26 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与实际问题，根据题意构建模型，过点B作，交于点A，由题意可得，，，根据题意可证明四边形是矩形，，，可得，在中，，根据勾股定理得，即可得，掌握两点之间线段最短，矩形的判定，勾股定理，根据题意构建出模型是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点B作，交于点A， 由题意可得，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，，根据勾股定理得， ， 即一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，那么小鸟至少飞行， 故答案为：． 13. 如图，长方形E长是宽的2倍，图中所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为5、23、10，则正方形D的面积为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，解答本题的关键是掌握利用勾股定理求线段长的思路与方法．设正方形的面积为，首先根据长方形的长是宽的2倍，得出长方形的长的平方是长方形的宽的平方的4倍，长方形的宽的平方为，然后结合图形，利用勾股定理得到关于的一元一次方程，解这个方程求出的值，即可求解． 【详解】解：设正方形的面积为， 长方形的长是宽的2倍， 长方形的长的平方是长方形的宽的平方的4倍， 正方形、、、的面积依次为5、23、10、， 根据图形得：， 解得：， 正方形的面积为3， 故答案为：3 14. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用数轴可得出，进而化简求出答案． 【详解】解：由数轴可得：， 则 ∴ = = = =2． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的取值范围是解题关键． 15. 如图，高速公路上有A，B两点相距，C，D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则的长是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理应用，根据于A，于B，，列式，解出的值，即可作答． 【详解】解：由题意知，，，， 设，则， 因为于A，于B， 所以在与中， 由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 16. 在中，，，，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，含角的直角三角形的性质．正确作出辅助线并利用分类讨论的思想是解题关键．分别画出图形，过点作于点D，再结合勾股定理和含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图1，过点作于点D， ∵， ∴， ∴， ， ∴； 如图2，过点作于点D， ∵， ∴， ∴， ， ∴． 综上可知的长为或． 三、解答题（本大题共6个小题，共72分，解答题写出必要的解题过程） 17. 计算： （1）； （2）． （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算， （1）先化简各项和计算绝对值，再依次进行计算即可得； （2）运用完全平方公式和平方差公式进行计算即可得； （3）先计算二次根式的除法，除法，再合并同类项，即可得； 掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ． 18. 图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定为90°的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】符合，理由见解析 【解析】 【分析】先在中利用勾股定理求出,然后由以及勾股定理的逆定理得即可得答案． 【详解】解：在中，，dm，dm， 由勾股定理，得 因为dm，dm， 所以， 所以， 所以，即， 所以该婴儿车符合安全标准 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，解题关键是正确运用逆定理． 19. （1）已知：，．求代数式． （2）若，求代数式的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式， （1）根据题意可得，，根据完全平方公式得，进行计算即可得； （2）根据题意得，，将代入进行计算即可得； 掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ， ∴ ； （2）根据题意得，， ∵， ∴原式 ． 20. 如图，学校高的教学楼上有一块高的校训宣传牌，为美化环境，对校训牌进行维护．一辆高的工程车在教学楼前点M处，伸长的云梯（云梯最长）刚好接触到的底部点A处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长的云梯刚好接触到的顶部点C处？ 【答案】工程车再向教学楼方向行驶5米． 【解析】 【分析】过点作交于点，在根据勾股定理求出的长，设，则，在中根据勾股定理列方程求出x即可． 本题主要考查了根据勾股定理解决实际问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】过点作交于点， 由题意得， 在中， ， 设，则， 在中， ， ∴， 解得， 工程车再向教学楼方向行驶5米，云梯刚好接触到的顶部点处． 21. 观察下列等式，然后解答问题： ， ， ， ， ． （1）计算： ①__________； ②； （2）计算： ①； ②． 【答案】（1）①②2022 （2）①② 【解析】 【分析】（1）①观察题目中的等式，即可求得答案；②将原式整理为，进而可得，然后利用平方差公式进行求解即可； （2）①利用积的乘方的逆运算，将原式整理为，然后利用平方差公式进行求解即可；②将原式整理为，然后利用平方差公式和完全平方公式求解即可． 【小问1详解】 解：①； 故答案为：； ②原式 ； 【小问2详解】 ①原式 ； ②原式 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式运算、运用平方差公式和完全平方公式进行运算、积的乘方的逆运算等知识，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键． 22. 用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题： （1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理． （2）如图2，在中，是边上的高，，求的长度； （3）如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）25 【解析】 【分析】（1）如图1所示，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，用代数式表示出各部分面积按要求列等式化简即可得证； （2）利用勾股定理得到，根据等面积法列式求解即可得到； （3）由（1）的结论，结合完全平方公式变形，代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图1所示： 大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和， ；；； ，即； 【小问2详解】 解：如图2所示： 中，，， ∴由勾股定理可得， 是边上的高， 由等面积法可得， ，， ∴； 【小问3详解】 解：∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，，如图1所示： ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴，即的值为25． 【点睛】本题考查等面积法解决问题，涉及勾股定理证明、等面积法求线段长、以及完全平方公式与勾股定理综合，熟练掌握等面积法求解是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$