精品解析：天津市南开区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度第二学期阶段性质量监测 八年级 数学 本监测分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，监测满分100分．时间100分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列的取值中，可以使有意义的是（ ） A. 13 B. 10 C. 7 D. 4 2. 下列长度的线段中，能构成直角三角形的一组是（ ） A. 5，12，13 B. 6，8，12 C. 3，4，6 D. 8，15，16 3. 直线y=－x－2不经过（　 ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 5. 一个四边形的四边长依次为，，，，且，则这个四边形一定为（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 6. 某共享单车前公里1元，超过公里的，每公里2元，若要使用该共享单车的人只花1元钱，应该要取什么数（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 7. 将直线向上平移3个单位长度，得到新的直线解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（单位：个）如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. 乙的最好成绩比甲高 B. 甲的成绩的平均数比乙大 C. 乙的成绩比甲稳定 D. 甲的成绩的中位数比乙大 9. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，．则图中阴影部分的面积为（ ） A. 14 B. C. 7 D. 10. 如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，点落在同一平面内，落点记为，与交于点，若，，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 11. 如图，直线与轴、轴分别交于点，．按照如下尺规作图步骤进行操作： ①以点为圆心，以为半径画弧，交轴负半轴于点．连接； ②分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点； ③连接并延长，交轴于点． 则下列结论中错误的是（ ） A. 点的坐标为 B. 点的坐标为 C. 点的坐标为 D. 点的坐标为 12. 如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴正半轴上，点在轴负半轴上，直线，的解析式分别为和（其中，，均为常数），有下列结论： ①点的坐标为； ②方程组的解为； ③不等式的解集为； ④若点，点分别在直线和上．则． 其中，正确的结论个数是（ ） A. 1 B. C. 3 D. 4 第Ⅱ卷（非选择题 共64分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸中对应的横线上） 13. 直线过点，则的值为______． 14. 计算的结果为______． 15. 在中，若，则为______（度）． 16. 如图，边长为1的正方形的边落在数轴上，点表示的数为1，点表示的数为，以点为圆心，长为半径画弧与数轴交于点，则点表示的数为______． 17. 如图，正方形的边长为4，点在边上，点在边的延长线上，且．点，分别在边，上，与交于点，且，则的长为______． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．平行四边形的顶点，均在格点上，，的在网格线上． （1）线段的长为______； （2）在直线上找一点，连接，使得平分．请用无刻度的直尺在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）______． 三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19 计算 （1）； （2）． 20. 某部门为了解工人的生产能力情况，进行了抽样调查，随机抽取了名工人每天每人加工零件的个数（单位：个），绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为______，图①中的值为______； （2）求统计的名工人每天每人加工零件数据的平均数、众数和中位数． 21. 如图，正方形中，点为的中点，点为上一点，且，设的长为． （1）用含有的式子表示和； （2）求的大小． 22. 菱形对角线，相交于点，取中点，连接并延长，使得，连接，． （1）如图1，求证：四边形为矩形； （2）如图2，若，，连接．求：的面积和菱形的面积． 23. 已知甲、乙、丙三地依次在一条直线上，丙地距离甲地，乙地距离甲地．张师傅驾车从甲地出发匀速行驶了到达乙地，在乙地休整了，然后继续以原来的速度匀速行驶到达丙地．当张师傅从甲地出发时，王师傅驾车从丙地出发匀速行驶到达甲地后，立即以原速返回丙地，结果他比张师傅提前到达丙地．给出的图象反映了这个过程中两位师傅离甲地的距离（单位：）与他们行驶的时间（单位：）之间的对应关系．请结合相关信息，解答下列问题： （1）填表： 张师傅行驶的时间（单位：） 1 5 6 ______ 张师傅离甲地的距离（单位：） 300 300 480 （2）请直接写出王师傅离甲地的距离（单位：）与他行驶的时间（单位：）之间的函数解析式； （3）填空： ①在王师傅返回丙地的过程中，他与张师傅相遇时距离乙地______； ②两位师傅从出发到张师傅到达丙地的整个过程中，他们相距时，为______（）． 24. 在平面直角坐标系中，为原点，平行四边形的顶点，，，矩形的顶点． （1）如图1，与，交于点，． ①直接写出直线解析式和点的坐标； ②求证：四边形为菱形； （2）如图2，将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形．点，，，的对应点分别为，，，．设，矩形与平行四边形重合部分图形的周长为． ①在平移过程中，当矩形与平行四边形重合部分为四边形时，直接用含有式子表示，并直接写出的取值范围； ②如图3，若的中点为，矩形对角线的交点为，连接，．在平移过程中，当最小时，直接写出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期阶段性质量监测 八年级 数学 本监测分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，监测满分100分．时间100分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列的取值中，可以使有意义的是（ ） A. 13 B. 10 C. 7 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，理解有意义的条件为是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ， 选项中符合条件的数是； 故选：D． 2. 下列长度的线段中，能构成直角三角形的一组是（ ） A. 5，12，13 B. 6，8，12 C. 3，4，6 D. 8，15，16 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，掌握“三角形的三边为，，，若，则三角形是直角三角形．”是解题的关键． 【详解】解：A.，能构成直角三角形，故符合题意； B.，不能构成直角三角形，故不符合题意； C.，不能构成直角三角形，故不符合题意； D.，不能构成直角三角形，故不符合题意； 故选：A． 3. 直线y=－x－2不经过（　 ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵直线y=﹣x﹣2中，k=﹣1＜0，b=﹣2＜0， ∴此函数的图象在二、三、四象限 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系． 4. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的性质，二次根式化简，由倒数的定义得的倒数为，进行化简，即可求解；理解定义“乘积为的两个数互为倒数”是解题的关键． 【详解】解：的倒数为， 故选：B． 5. 一个四边形的四边长依次为，，，，且，则这个四边形一定为（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，非负数和为零；由非负数和为零的意义得，，由平行四边形的判定方法即可求解；理解非负数和为零的意义，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：， ，， ，， 四边形一定是平行四边形． 故选：A． 6. 某共享单车前公里1元，超过公里的，每公里2元，若要使用该共享单车的人只花1元钱，应该要取什么数（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数的定义，其值总是将所有数据按从小到大依次排列后，处于最中间的那个数（或中间两个数的平均数），做出判断即可． 【详解】解：∵要使用该共享单车的人只花1元钱 ∴a取中位数时才能满足条件， 故选：B． 【点睛】本题考查了数据分析和中位数的定义，掌握知识点是解题关键． 7. 将直线向上平移3个单位长度，得到新的直线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移，掌握对于直线上下平移规律为“上加下减”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：B． 8. 甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（单位：个）如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. 乙的最好成绩比甲高 B. 甲的成绩的平均数比乙大 C. 乙的成绩比甲稳定 D. 甲的成绩的中位数比乙大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均数的离散程度越小，稳定性越好.也考查了中位数，平均数，分别计算出两人成绩的平均数、中位数、方差并进行判断，即可得出答案． 【详解】解：由图知乙的最好成绩比甲低，A项错误，不符合题意； 甲的成绩的平均数（个）， 乙的成绩的平均数（个）， 甲的成绩的平均数等于乙，B项错误，不符合题意； 甲的成绩的方差， 乙的成绩的方差， ， 乙的成绩比甲稳定，C项正确，符合题意； 甲的成绩的中位数，乙的成绩的中位数， 甲的成绩的中位数等于乙，D项错误，不符合题意； 故选：C． 9. 如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，．则图中阴影部分的面积为（ ） A 14 B. C. 7 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，由正方形的面积得，，由勾股定理得，即可求解；能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， ， ； 故选：C． 10. 如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，点落在同一平面内，落点记为，与交于点，若，，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了矩形的折叠．熟练掌握矩形的性质及折叠的性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键． 根据矩形的性质及折叠的性质推出，得到，再根据勾股定理列得，求出的长． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， 解得，． 故选：C． 11. 如图，直线与轴、轴分别交于点，．按照如下尺规作图的步骤进行操作： ①以点为圆心，以为半径画弧，交轴负半轴于点．连接； ②分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点； ③连接并延长，交轴于点． 则下列结论中错误的是（ ） A. 点的坐标为 B. 点的坐标为 C. 点的坐标为 D. 点的坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法，线段垂直平分线的性质，三角形中位线定理等； A.当时，求出，即可判断； B当时，求出，即可判断； C.由勾股定理得，可求出，即可判断； D.取的中点，的中点，连接、，由三角形中位线定理得 ，， 由待定系数法可求直线的解析式为，即可判断； 掌握待定系数法，一次函数与坐标轴交点坐标的求法，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：由①得：， 由②得：垂直平分， A.当时，，解得，，结论正确，不符合题意； B.当时，，，结论正确，不符合题意； C.由选项A、B得：，，，，，结论正确，不符合题意； D.取的中点，的中点，连接、， 是的中点， ， ， ， ， ， 同理可求：， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 当时， ， ， 故结论错误，符合题意； 故选：D． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴正半轴上，点在轴负半轴上，直线，的解析式分别为和（其中，，均为常数），有下列结论： ①点的坐标为； ②方程组的解为； ③不等式解集为； ④若点，点分别直线和上．则． 其中，正确的结论个数是（ ） A. 1 B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，一次函数图象解方程组及一元一次不等式等；①将代入，即可判断；②利用两直线交点坐标，即可判断；③由图象即可判断；④将代入得，将点，点分别代入直线和上，进行化简求解，即可判断； 会利用一次函数图象解对应的方程组及一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：①将代入得， ， ， 当时， ， 解得：， ， 故①正确； ②方程组可化为， 与的交点是， 原方程组的解为， 故②错误； ③由图象得：不等式的解集为， 故③错误； ④在直线上， ， ， 点，点分别在直线和上， ， ， ， 故④正确； 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题 共64分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸中对应的横线上） 13. 直线过点，则的值为______． 【答案】##-0.5 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵直线过点， ∴把代入得出 解得 故答案为： 14. 计算的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式运算，利用平方差公式展开后，由二次根式的性质即可求解；掌握，（）是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 故答案：． 15. 在中，若，则为______（度）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质得，即可求解；掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 故答案：． 16. 如图，边长为1的正方形的边落在数轴上，点表示的数为1，点表示的数为，以点为圆心，长为半径画弧与数轴交于点，则点表示的数为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴上的点，勾股定理；由勾股定理得，由线段和差得，即可求解；能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ，， ， ， ， ； 故答案：． 17. 如图，正方形的边长为4，点在边上，点在边的延长线上，且．点，分别在边，上，与交于点，且，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理及其逆定理等；连接、，由勾股定理得 ，，，由勾股定理逆定理得，是等腰直角三角形，由平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可求解；掌握相关性质及判定方法，根据题意构建出等腰直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、， 四边形是正方形， ∴，，， ， ， ， 同理可求：， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故答案：． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．平行四边形的顶点，均在格点上，，的在网格线上． （1）线段的长为______； （2）在直线上找一点，连接，使得平分．请用无刻度的直尺在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 ①. ②. 连接交于点，在的延长线上取格点，使得，连接并延长，交延长线于点，连接，点为所求点的位置 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，掌握平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由勾股定理即可求解； （2）如图所示，连接交于点，在的延长线上取格点，使得，连接并延长，交延长线于点，连接，可证，，是等腰三角形，，由，，由此即可求解． 【详解】解：（1） ； 故答案：； （2）如图所示，连接交于点，在的延长线上取格点，使得，连接并延长，交延长线于点，连接， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴平分， ∴点为所求点的位置． 故答案：连接交于点，在的延长线上取格点，使得，连接并延长，交延长线于点，连接，点为所求点的位置． 三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，以及完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简后，再利用二次根式的加减混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式性质和完全平方公式化简后，再利用二次根式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 20. 某部门为了解工人的生产能力情况，进行了抽样调查，随机抽取了名工人每天每人加工零件的个数（单位：个），绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为______，图①中的值为______； （2）求统计的名工人每天每人加工零件数据的平均数、众数和中位数． 【答案】（1）， （2）每天每人加工零件数据的平均数、众数和中位数分别为：个，个，个 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，中位数，众数，平均数，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）根据样本容量频数所占百分数，即可得到的值，根据所占百分数频数样本容量，即可得到的值； （2）利用平均数、众数和中位数的定义计算即可． 【小问1详解】 解：由题知，（人），即， ，即， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由图中数据可得，每天每人加工零件数据的平均数为（个）， 众数为：25个， 中位数为顺次排列后的第位和第位的平均数，即个， 答：每天每人加工零件数据的平均数、众数和中位数分别为：个，个，个． 21. 如图，正方形中，点为的中点，点为上一点，且，设的长为． （1）用含有的式子表示和； （2）求的大小． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理及其逆定理； （1）由正方形的性质得，，由勾股定理得，，即可求解； （2），连接，由勾股定理得 ，可得，即可求解； 掌握正方形的性质，勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ， 四边形是正方形， ，， 是的中点， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：如图，连接 四边形是正方形， ， 由（1）得， ， ， 由（1）得：，， ， 是直角三角形， ． 22. 菱形的对角线，相交于点，取中点，连接并延长，使得，连接，． （1）如图1，求证：四边形为矩形； （2）如图2，若，，连接．求：的面积和菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）的面积为，菱形的面积为 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，含度角的直角三角形的性质； （1）根据菱形的性质可得，证明得出，即可得出，，即可证明四边形是平行四边形，进而根据，即可得证； （2）过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而根据三角形的面积公式求得的面积，根据（1）的结论可得矩形的面积等于的面积，进而可得菱形的面积，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵是的中点，则 又∵，， ∴ ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵ ∴四边形为矩形； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴菱形的面积， ∴的面积为，菱形的面积为． 23. 已知甲、乙、丙三地依次在一条直线上，丙地距离甲地，乙地距离甲地．张师傅驾车从甲地出发匀速行驶了到达乙地，在乙地休整了，然后继续以原来的速度匀速行驶到达丙地．当张师傅从甲地出发时，王师傅驾车从丙地出发匀速行驶到达甲地后，立即以原速返回丙地，结果他比张师傅提前到达丙地．给出的图象反映了这个过程中两位师傅离甲地的距离（单位：）与他们行驶的时间（单位：）之间的对应关系．请结合相关信息，解答下列问题： （1）填表： 张师傅行驶的时间（单位：） 1 5 6 ______ 张师傅离甲地的距离（单位：） 300 300 480 （2）请直接写出王师傅离甲地的距离（单位：）与他行驶的时间（单位：）之间的函数解析式； （3）填空： ①在王师傅返回丙地的过程中，他与张师傅相遇时距离乙地______； ②两位师傅从出发到张师傅到达丙地的整个过程中，他们相距时，为______（）． 【答案】（1）， （2） （3）①②或或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，一元一次方程的应用，分式方程的应用，待定系数法等 （1）由图象可得张师傅驾车的速度为()，即可求解； （2）设王师傅驾车的速度为，由等量关系式：张师傅所用的时间王师傅所用的时间，可求出王师傅的速度，分段：当时，当时，列出函数关系式，即可求解； （3）①由待定系数法可求王师傅回来时的直线关系式为，张师傅休整后行驶的图象直线的解析式为，联立即可求解；②分阶段讨论：当时，当时，当时，当时，即可求解； 理解、的实际意义，能按时间进行分段讨论是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得 张师傅驾车的速度为：()， 当时， ()， ()； 故答案：，； 【小问2详解】 解：设王师傅驾车的速度为，则有 ， 解得：， 经检验：是所列方程的解，且符合实际意义； ()， ()， 当时， ， 当时， ， ， ； 【小问3详解】 解：①设王师傅回来时的直线关系式为，经过，，则有 ， 解得：， ， 同理可求：张师傅休整后行驶的图象直线的解析式为， 联立得， 解得， ； 故答案：； ②， 解得：， 当时， ， 解得：； 当时， ， 解得：； 当时， ， 解得：； 当时， 若， 则， 表明王师傅追上了张师傅，当时， ， 解得：； 此时不符合题意； 当时， ， 解得：， 而，矛盾， 此时也不符合题意； 综上所述：为或或； 故答案：或或． 24. 在平面直角坐标系中，为原点，平行四边形的顶点，，，矩形的顶点． （1）如图1，与，交于点，． ①直接写出直线的解析式和点的坐标； ②求证：四边形为菱形； （2）如图2，将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形．点，，，的对应点分别为，，，．设，矩形与平行四边形重合部分图形的周长为． ①在平移过程中，当矩形与平行四边形重合部分为四边形时，直接用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②如图3，若的中点为，矩形对角线的交点为，连接，．在平移过程中，当最小时，直接写出此时的值． 【答案】（1）①；②见解析 （2）①当时，重叠部分是菱形，此时； 当时，此时； ② 【解析】 【分析】（1）①根据，，计算；结合平行四边形，得到，结合，得到点C与点D的纵坐标相同即，设直线的解析式为，代入解答即可；根据，得到点，代入解析式解答即可． ②过点H作于点Q，根据平行四边形，得到，根据矩形得到，得证四边形为平行四边形．根据坐标，得到，据勾股定理，得，结合，得到，得证四边形为菱形； （2）①设直线的解析式为，确定解析式，过点G作于点P， 则，当时，重叠部分是菱形，此时；过点H作于点N，当时，重叠部分是四边形，此时； ②过点N作，交于点Q，则四边形是平行四边形，，当E，N，Q三点共线时，取得最小值，解答即可． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴； ∵平行四边形，得到， ， ∴点C与点D的纵坐标相同即， 设直线的解析式为， 解得， 故的解析式为． ∵矩形的顶点， 设点，代入解析式，得， 解得， 故点． ②过点H作于点Q， ∵平行四边形， ∴， ∵矩形 ∴， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴，据勾股定理，得， ∵， ∴, ∴四边形为菱形． 【小问2详解】 ①∵，， 设直线的解析式为， 解得， 故的解析式为． ∵矩形的顶点， 设点，代入解析式，得， 解得， 故点． 过点G作于点P， 则， 当时，重叠部分是菱形，此时； 过点H作于点N， ∵，， 当时，重叠部分是四边形，此时，， ；此时； ②根据题意，得的中点为，矩形对角线的交点为，则直线是矩形的对称轴， ∴， ∵， ∴； ∴； ∴，， 过点N作，交于点Q， 则四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴当E，N，Q三点共线时，取得最小值， 设与的交点为R， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 过点H作于点P， 则四边形是矩形， ∴；， ∵，， ∴， ∴， ∴， 此时的值为：． 【点睛】本题考查了待定系数法，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形不等式的应用，等腰直角三角形的判定和性质，菱形的判定，三角形中位线定理的判定和性质，熟练掌握待定系数法，三角形不等式的应用，等腰直角三角形的判定和性质，菱形的判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$