精品解析：山东省青岛市胶州市李哥庄中学2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题

2023-2024学年度第二学期第一次阶段性检测试题九年级数学 （考试时间：90分钟，满分120分） 所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 如图所示的是空心花盆的示意图，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各图中，四边形是正方形，其中阴影部分两个三角形成中心对称的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，直线分别与，相交于，两点，的平分线交于点．如果，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 微纳制造技术是“科学绣花针”，可制造与处理那些大小处于微米到纳米级别物体的高新技术．利用该技术制造的某零件直径为米，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 某中学篮球队12名队员年龄情况如下表，关于这12名队员的年龄，下列说法中正确的是（ ） 年龄/岁 12 13 14 15 16 人数 1 3 4 2 2 A. 众数为14 B. 极差为3 C. 中位数为13 D. 平均数为14 7. 如图，线段放在边长为个单位的小正方形网格中，点均落在格点上，先将线段绕点逆时针旋转得到线段，再将线段向下平移个单位得到线段，则坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是直径，D，C是上的点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象的一部分如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线．则下列结论正确是（ ） ①； ②； ③； ④若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为． A. ①②③④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 的倒数等于_______． 12. 计算：______． 13. 一个不透明的口袋中装有若干个红球，小明又放入10个黑球，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程后发现，摸到黑球的频率稳定在0.4左右，则估计口袋中红球的数量为________个． 14. “爱劳动，劳动美”，甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家和的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前到达基地．求甲、乙的速度．设甲的速度为每小时，依题意可列方程为_____________． 15. 如图，点是反比例函数图象上的一点，垂直于轴，垂足为，的面积是，若点也在此函数图象上，则_____． 16. 如图，扇形中，，以点 A为圆心，长为半径作弧，交于点C，若，则阴影部分的周长为_______． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，，与是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为，则点C的坐标为______． 18. 如图，在正方形中，边长为的等边三角形的顶点分别在上．下列结论正确的有：______．（填写序号）①；②；③；④． 三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 19. 某展览馆（点P）到荣成路与香港路的距离相等，且到中山公园（点B）的距离最短，请你在图中作出点P的位置． 四、解答题（本大题共6题，共62分） 20. （1）化简：； （2）解不等式组：． 21. 某校计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图． （1）请把图1中缺失数据，图形补充完整； （2）请计算图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数； （3）若该校共有1200名学生，请估计最喜欢去D地研学的学生人数． 22. 中国古代的“四大名著”是指《红楼梦》《三国演义》《西游记》《水浒传》，“四大名著”是中国文学史中的经典作品，是世界宝贵的文化遗产．某校举行文化节讲名著活动，现将四大名著制作为卡片，《红楼梦》《三国演义》《西游记》《水浒传》分别对应的编号为，，，（除编号外，卡片其余完全相同），将它们背面朝上，洗匀后放在桌面上． （1）琳琳随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为的概率为______． （2）若琳琳从这四张卡片中随机抽取一张，明明接着从余下的3张卡片中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法求琳琳、明明两人中恰好有一人抽中《红楼梦》（即卡片）的概率． 23. 太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一，老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC如图2所示，BC=10米，∠ABC=∠ACB=36°，改建后顶点D在BA延长线上，且∠BDC=90°，求改建后南屋面边沿增加部分AD的长．（结果精确到0.1米） （参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95．tan18°≈0.32，sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73） 24. 如图，在中，O是中点，过A作平行线，交延长线于D，点E，F分别是的中点，连接和． （1）求证：； （2）请从以下两个问题中选择其中一个进行解答，（若多选，则按第一个解答计分）． ①当满足什么条件时，四边形是菱形？请加以证明； ②当满足什么条件时，四边形是矩形？请加以证明． 25. 某地蔬菜市场为指导某种蔬菜的生产和销售，对往年的市场行情和生产情况进行了调查，得到如图所示的信息．其中，这种蔬菜每千克成本元/千克与销售月份之间满足二次函数关系，每千克售价元/千克与销售月份之间满足一次函数关系． （1）分别求，关于的函数关系式； （2）按照往年的行情，在哪个月份销售这种蔬菜的收益最大？ （3）该蔬菜市场管理部门为了稳定蔬菜销售，提高销售商户经营的积极性，决定给商户每千克补贴4元，那么，一年中有几个月份商户销售这种蔬菜不会出现亏损？ 26. 如图，已知：，，，，是边上的中点．过点作的垂线，过点作的平行线，交于点，点从点出发沿方向往点匀速运动，速度为，同时点从点出发沿方向往点匀速运动，速度为，连接，过点作于点，连接，是线段的中点．设运动时间为，解答下列问题： （1）当四边形为平行四边形时，求t的值； （2）设的面积为S，求出S与t的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使A，Q，F三点在同一条直线？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期第一次阶段性检测试题九年级数学 （考试时间：90分钟，满分120分） 所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（共30分） 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 如图所示的是空心花盆的示意图，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可． 【详解】解：本题的几何体是类似于一个圆台，它的俯视图是两个同心圆（都是实线）． 故选B． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟知俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键． 2. 下列各图中，四边形是正方形，其中阴影部分两个三角形成中心对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据成中心对称的定义进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知， 中阴影部分两个三角形成中心对称， 故选：A． 【点睛】本题考查了成中心对称．解题的关键在于熟练掌握：如果把一个图形绕某一点旋转后能与另一个图形重合，这两个图形成中心对称． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方、合并同类项、同底数幂相乘、相除法则，先根据相关知识内容的性质进行逐项分析计算，再比较，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是错误的； B、不是同类项，不能合并，故该选项是错误的； C、，故该选项是错误； D、，故该选项是正确的； 故选：D 4. 如图，已知，直线分别与，相交于，两点，的平分线交于点．如果，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义，由，根据两直线平行，同旁内角互补，可得的度数，又由的平分线交于，即可求解，熟练掌握平行线的性质与角平分线的定义及应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：． 5. 微纳制造技术是“科学绣花针”，可制造与处理那些大小处于微米到纳米级别物体的高新技术．利用该技术制造的某零件直径为米，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 6. 某中学篮球队12名队员的年龄情况如下表，关于这12名队员的年龄，下列说法中正确的是（ ） 年龄/岁 12 13 14 15 16 人数 1 3 4 2 2 A. 众数为14 B. 极差为3 C. 中位数为13 D. 平均数为14 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查众数，极差，中位数，平均数．根据相关定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、14岁的人数最多，故众数为14，选项正确； B、极差为：，选项错误； C、第6个和第7个数据均为14，故中位数为14，选项错误； D、平均数为，选项错误； 故选A． 7. 如图，线段放在边长为个单位的小正方形网格中，点均落在格点上，先将线段绕点逆时针旋转得到线段，再将线段向下平移个单位得到线段，则坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转和平移，坐标与图形，根据题意，画出变换后的图形即可求解，掌握旋转和平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意作图如下： 由图可得，点坐标为， 故选：． 8. 如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查圆的性质，涉及到圆内接四边形对角互补和直径所对圆周角等于90度，熟记知识点是关键． 9. 如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明再求解利用轴对称可得答案． 【详解】解：由对折可得： 矩形， BC=8 由对折得： 故选C． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，轴对称的性质，掌握以上知识是解题的关键． 10. 二次函数的图象的一部分如图所示，已知图象经过点，其对称轴为直线．则下列结论正确是（ ） ①； ②； ③； ④若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为． A. ①②③④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，根据图象可判断的符号，可判断结论①，由图象与轴的交点个数可判断②，由对称轴及时的函数值即可判断③，由和对称轴即可判断④． 【详解】解：图象开口向下， ， 对称轴为直线， ， ， 图象与轴的交点在轴的上方， ， ， ①正确， 由图象可知抛物线与轴有两个交点， ， ②不正确， 由图象可知，图像在时位于x轴下方， 则当时，， ， ③正确， 由题意可知是的一个根， 对称轴是直线， 另一个根为， ④正确， 正确的有①③④， 故选：C． 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 的倒数等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了倒数．根据倒数的定义“乘积为1的两个数互为倒数”，即可求解． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故答案为：． 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质和运算法则进行计算即可求解，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 一个不透明的口袋中装有若干个红球，小明又放入10个黑球，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程后发现，摸到黑球的频率稳定在0.4左右，则估计口袋中红球的数量为________个． 【答案】15 【解析】 【分析】设口袋中红球有x个，用黑球个数除以球的总个数等于摸到黑球的频率，据此列出关于x的方程，解之可得答案． 【详解】设口袋中红球有x个， 根据题意，得：， 解得x=15， 经检验：x=15是分式方程的解， 所以估计口袋中大约有红球15个 故答案为：15 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．解题的关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系． 14. “爱劳动，劳动美”，甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家和的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前到达基地．求甲、乙的速度．设甲的速度为每小时，依题意可列方程为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由甲、乙两人速度之间的关系可得出已的速度为每小时，利用时间＝路程÷速度，结合甲比乙提前到达目的地，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：∵甲的速度是乙的速度的倍，且甲的速度为每小时， ∴乙的速度为每小时． 依题意得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 15. 如图，点是反比例函数图象上的一点，垂直于轴，垂足为，的面积是，若点也在此函数图象上，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，由反比例函数的几何意义可得，即可得，进而得到反比例函数的解析式，再把代入解析式即可求出的值，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上的一点，垂直于轴，垂足为， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵点在此函数图象上， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，扇形中，，以点 A为圆心，长为半径作弧，交于点C，若，则阴影部分的周长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到是等边三角形，因此，，由，得到，由弧长公式求出的长，的长，即可求出阴影的周长．本题考查弧长的计算，等边三角形的判定和性质，关键是由题意得到是等边三角形；掌握弧长公式． 【详解】解：由题意得到：， ， 是等边三角形， ，， ， ， 的长，的长， 阴影的周长的长的长． 故答案为：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，，与是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为，则点C的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于以原点为位似中心的定义点的坐标关系得到，本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 【详解】解：点为位似中心，的位似图形为，位似比为，而，且点C在第四象限、点B在第二象限， 即 故答案为： 18. 如图，在正方形中，边长为的等边三角形的顶点分别在上．下列结论正确的有：______．（填写序号）①；②；③；④． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】证明可求证结论①，②，设，列出方程，可求解结论③，根据正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理可证结论④． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴，， ∴中，， ∴， ∴，故结论①正确； 由结论①正确可知，， ∴， ∵是等边三角形，且， ∴， ∴， 在中，，故结论②正确； 由结论①正确可知，是等腰直角三角形，且， ∴，设，则，， 如图所示，连接交于点，且是等边三角形， ，且由结论①正确可知点是的中点， ∴，， 在中，，， ∴， ∵， ∴，解得，， ∴，， ∴，故结论③错误； ∵正方形中，边长为的等边三角形， ∴，连接，交于点，如图所示， ∴在等边三角形中，点是的中点， ∴， 在中，， 由结论①正确，可知是直角等腰三角形，，点是的中点， ∴根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一般，即， ∴，故结论④正确； 综上所述，结论正确的序号是①②④， 故答案是：①②④． 【点睛】本题主要考查正方形，等腰三角形的综合，掌握正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角行的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 19. 某展览馆（点P）到荣成路与香港路的距离相等，且到中山公园（点B）的距离最短，请你在图中作出点P的位置． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作角平分线和垂线，先作出的平分线，过点B作于点P，即可得出点P的位置． 【详解】解：先作的平分线，再过点B作于点P，则点P即为所求作的点，如图所示： 四、解答题（本大题共6题，共62分） 20. （1）化简：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据分式的加减运算通分括号内，以及运用乘除运算法则进行化简，即可求出答案． （2）根据一元一次不等式的解法即可求出答案． 本题考查分式的混合运算以及一元一次不等式组的解法，解题的关键是熟练运用一元一次不等式组的解法、分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型． 【详解】解：（1） ； （2）， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为：． 21. 某校计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图． （1）请把图1中缺失的数据，图形补充完整； （2）请计算图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数； （3）若该校共有1200名学生，请估计最喜欢去D地研学的学生人数． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）300． 【解析】 【分析】（1）根据选择的人数是人，所占的比例是，据此即可求得本次参加抽样调查的学生人数，进而求得选择的人数，即可补全统计图； （2）利用乘以选择的人数所占总人数的比即可得解； （3）利用总人数乘以对应的百分比即可求得． 【小问1详解】 解：（人） 选择的人数：（人） 补全图形如下： 【小问2详解】 解：， ∴研学活动地点所在扇形的圆心角的度数； 【小问3详解】 （人） 答：最喜欢去地研学的学生人数共有人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 22. 中国古代的“四大名著”是指《红楼梦》《三国演义》《西游记》《水浒传》，“四大名著”是中国文学史中的经典作品，是世界宝贵的文化遗产．某校举行文化节讲名著活动，现将四大名著制作为卡片，《红楼梦》《三国演义》《西游记》《水浒传》分别对应的编号为，，，（除编号外，卡片其余完全相同），将它们背面朝上，洗匀后放在桌面上． （1）琳琳随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为的概率为______． （2）若琳琳从这四张卡片中随机抽取一张，明明接着从余下的3张卡片中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法求琳琳、明明两人中恰好有一人抽中《红楼梦》（即卡片）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）根据题意先列出图表，得出所有等可能的结果数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：琳琳随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 一共有12种情况，琳琳、明明两人中恰好有一人《红楼梦》（即卡片）有6种情况， 琳琳、明明两人中恰好有一人《红楼梦》的概率为：． 23. 太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一，老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC如图2所示，BC=10米，∠ABC=∠ACB=36°，改建后顶点D在BA的延长线上，且∠BDC=90°，求改建后南屋面边沿增加部分AD的长．（结果精确到0.1米） （参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95．tan18°≈0.32，sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73） 【答案】1.9米 【解析】 【详解】试题分析：在直角三角形BCD中，由BC与sinB的值，利用锐角三角函数定义求出CD的长，在直角三角形ACD中，由∠ACD度数，以及CD的长，利用锐角三角函数定义求出AD的长即可． 试题解析：∵∠BDC=90°，BC=10，sinB=， ∴CD=BC•sinB=10×0.59=5.9， ∵在Rt△BCD中，∠BCD=90°﹣∠B=90°﹣36°=54°， ∴∠ACD=∠BCD﹣∠ACB=54°﹣36°=18°， ∴在Rt△ACD中，tan∠ACD=， ∴AD=CD•tan∠ACD=5.9×0.32=1.888≈1.9（米）， 则改建后南屋面边沿增加部分AD的长约为1.9米． 考点：解直角三角形的应用 24. 如图，在中，O是中点，过A作的平行线，交延长线于D，点E，F分别是的中点，连接和． （1）求证：； （2）请从以下两个问题中选择其中一个进行解答，（若多选，则按第一个解答计分）． ①当满足什么条件时，四边形是菱形？请加以证明； ②当满足什么条件时，四边形是矩形？请加以证明． 【答案】（1）见解析 （2）①，证明见解析②，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形和矩形的判定： （1）利用证明即可； （2）①先证明四边形是平行四边形，再根据邻边相等的四边形是菱形，即可得出结论； ②先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的四边形是矩形，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵O是中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 ①当时，四边形是菱形；证明如下： 由（1）知， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，点 E是的中点， ∴， ∴四边形是菱形； ②当时，四边形是矩形，证明如下： 由（1）知， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形平行四边形， ∵，点 E是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 25. 某地蔬菜市场为指导某种蔬菜的生产和销售，对往年的市场行情和生产情况进行了调查，得到如图所示的信息．其中，这种蔬菜每千克成本元/千克与销售月份之间满足二次函数关系，每千克售价元/千克与销售月份之间满足一次函数关系． （1）分别求，关于的函数关系式； （2）按照往年的行情，在哪个月份销售这种蔬菜的收益最大？ （3）该蔬菜市场管理部门为了稳定蔬菜销售，提高销售商户经营的积极性，决定给商户每千克补贴4元，那么，一年中有几个月份商户销售这种蔬菜不会出现亏损？ 【答案】（1），； （2）5月份销售这种蔬菜收益最大 （3）一年中有9个月份商户销售这种蔬菜不会出现亏损 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，求二次函数的最值，关键是能从图象中获取信息． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设每千克蔬菜利润为W元，根据“”列式，利用二次函数的性质即可求解； （3）令补贴后每千克利润为，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：由图象信息可设，将代入， 得：， 解得：， ∴． 设，将，代入， 得：， 解得：，， ∴； 【小问2详解】 解：设每千克蔬菜利润为W元，则 ， ∵， ∴当时，W取得最大值， 即5月份销售这种蔬菜收益最大； 【小问3详解】 解：令补贴后每千克利润， 解得：，， ∵当时，， ∴一年中有9个月份商户销售这种蔬菜不会出现亏损． 26. 如图，已知：，，，，是边上的中点．过点作的垂线，过点作的平行线，交于点，点从点出发沿方向往点匀速运动，速度为，同时点从点出发沿方向往点匀速运动，速度为，连接，过点作于点，连接，是线段的中点．设运动时间为，解答下列问题： （1）当四边形为平行四边形时，求t的值； （2）设的面积为S，求出S与t的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使A，Q，F三点在同一条直线？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是存在，当时，，，三点在同一条直线． 【解析】 【分析】（1）利用两边平行且相等的四边形为平行四边形可得，以此建立方程求解即可； （2）根据勾股定理求出，由直角三角形的中线性质得，由平行线的性质得，则，，延长交延长线于点，过点作于点，过点作于点，，易得四边形为平行四边形，于是，，进而算出，，由等面积法可求出，再根据三角形的面积公式代入计算即可； （3）连接并延长，交的延长线于点，交于点，过点作于点，由平行线分线段成比例和线段中点定义可得，，由同角的余角相等得，于是，，再利用平行线分线段成比例可得，求出，，以此即可求解． 【小问1详解】 解： ， 当时，四边形为平行四边形时， 由题意可得，，， ， 解得：； 【小问2详解】 解：中，，， ， 是边上的中点， ， ， ， 在中，，，， ，，， ， ，， 如图，延长交延长线于点，过点作于点，过点作于点， 则， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ，， ， ， ； 即； 【小问3详解】 解：存在，过程如下： 如图，连接并延长，交的延长线于点，交于点，过点作于点， 则， 是线段的中点，， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 解得：， ， ， 当时，，，三点在同一条直线． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、解直角三角形、二次函数的应用、几何动点问题、平行线分线段成比例定理等知识，解题关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$