精品解析：2024年河南省安阳市文峰区安阳正一中学中考模拟预测数学试题

2023—2024学年下学期第九次阶段考 九年级数学试题卷 亲爱的同学：山有顶峰，湖有彼岸，在学习的旅途中，万物皆有回转．请你相信，一切付出，终有回甘！ 一、单选题 1. 下列各数与的相反数相等的是（ ） A. B. C. D. 2. 2023年9月9日，上海微电子研发的28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步. 已知28nm为0.000000028米，数据0.000000028用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，这是一个正方体的展开图，则在这个正方体上与“美”字所在面相对的面上的字是（ ） A. 建 B. 设 C. 河 D. 南 4. 如图，直线相交于点O，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线通过平移后，得到抛物线的解析式为，则平移的方向和距离是（ ） A. 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B. 向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C. 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D. 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 7. 如图，在菱形中，连接，以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点E．再分别以点A，E为圆心，大于的长为半径在上方画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G．若，则的度数为（ ） A. 30° B. C. D. 15° 8. 如图，是一个等腰直角三角形纸板，，在此三角形内部作一个正方形，使在边上，点，分别在，边上．将一个飞镖随机投掷到这个纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，E，F分别是边上的点，将沿折叠，点B的对应点G恰好落在边上．若，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 10. 如图1，E为矩形的边上的一点，点P从点B出发，沿折线运动到点D停止；同时点Q从点B出发，沿运动到点C停止，点P，Q的运动速度都是．设运动时间为的面积为，若y与x的对应关系如图2所示，则的面积是（ ） 图1 图2 A. B. C. D. 二、填空题 11. 已知函数，则x满足的条件是___________． 12. 第五套人民币中的5角硬币色泽为镍白色，正、反面的内周边缘均为正十一边形，则其内角和为______． 13. 不等式组的最小整数解为______． 14. 如图，边长为2的正方形内接于，分别过点A，D作的切线，两条切线交于点P，则图中阴影部分的面积是____________ 15. 在边长为1的等边三角形中，D为直线上一点，，点E在直线上，且，则的长为________． 三、解答题 16. （1）计算： （2）解方程： 17. 师上学校初中部全体同学参加了希望工程捐款活动，随机抽取了部分同学捐款的情况进行统计，并绘制了如下两幅不完整统计图． （1）求本次共抽查学生的人数，并将条形统计图补充完整； （2）捐款金额的众数是  ，中位数是  ； （3）请你估算师上学校初中部1000名学生中捐款大于等于20元的学生人数． 18. 如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作． （1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （2）在（1）的条件下，求证：． 19. 某“综合与实践”小组开展测量某建筑物高度的活动，他们制订了测量方案，测量报告如下． 课题 测量某建筑物的高度． 测量工具 皮尺，旗杆等． 设计方案 建筑物正前方有一根高度是17米的旗杆，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角为，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离是20米，梯坎坡长是9米，梯坎坡度． 参考数据 结果精确到0.1米，参考数据：． 请根据以上测量结果，求建筑物的高度． 20. 放风筝是人们非常喜欢的一种传统游戏活动，至今已有两千多年的历史，它最早是用来祈福和观测气象变化的，后来逐渐演变为娱乐和竞技的工具．数学中有一种四边形，酷似风筝形状，故名“筝形”．如图，在平面直角坐标系中，四边形是一个“筝形”，已知垂直平分于点H，，，．直线与反比例函数的图象交于点A，，点C在反比例函数第三象限的图象上，点H在y轴上． （1）求反比例函数的解析式及点A的坐标． （2）求点H的坐标． （3）以A为圆心，的长为半径作，直接写出图中阴影部分的面积． 21. 南阳市历史文化厚重，是楚汉文化的重要发祥地，同时也是“中国月季之乡”．某苗圃经营商从批发市场购进甲、乙两种月季花进行售卖．若每棵甲种月季花的进价比每棵乙种月季花的进价少5元，且用1200元购进甲种月季花的数量与用1400元购进乙种月季花的数量相等． （1）求购进甲、乙两种月季花的单价分别为多少元． （2）该苗圃经营商计划购进甲、乙两种月季花共100棵，且乙的数量不多于甲的数量的3倍，已知甲的售价是40元/棵，乙的售价是50元/棵，试问如何购买能使利润最大？并求出最大利润． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），点是抛物线上一点． （1）求抛物线的表达式及点A的坐标． （2）设直线的函数表达式为，请结合图象直接写出不等式的解集． （3）平行于x轴的直线l交抛物线于点，，交直线于点，若，求的取值范围． 23. 如图，是等腰三角形，．点D在直线上，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到，连接 （1）问题发现： 如图1，若__________，与的数量关系是___________________． （2）类比探究： 如图2，若，（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． （3）拓展应用： 若，过点E作于点F，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年下学期第九次阶段考 九年级数学试题卷 亲爱的同学：山有顶峰，湖有彼岸，在学习的旅途中，万物皆有回转．请你相信，一切付出，终有回甘！ 一、单选题 1. 下列各数与的相反数相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查立方根，负整数指数幂，相反数，绝对值，掌握以上知识点是解题的关键．由立方根的定义，负整数指数幂公式，相反数的定义，绝对值的意义，即可判断． 【详解】解：的相反数是2， A． ，故A不符合题意； B． ，故B符合题意； C． ，故C不符合题意； D． ，故D不符合题意； 故选：B． 2. 2023年9月9日，上海微电子研发的28nm浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步. 已知28nm为0.000000028米，数据0.000000028用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：依题意，， 故选：B． 3. 如图，这是一个正方体的展开图，则在这个正方体上与“美”字所在面相对的面上的字是（ ） A. 建 B. 设 C. 河 D. 南 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “建”与“南”是相对面， “设”与“丽”是相对面， “美”与“河”是相对面． 故选：C． 4. 如图，直线相交于点O，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，对顶角相等，根据垂直，得到，进而求出的度数，根据对顶角相等，即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选A． 5. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用提公因式法，公式法对各项进行因式分解，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项正确，符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 6. 将抛物线通过平移后，得到抛物线的解析式为，则平移的方向和距离是（ ） A. 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B. 向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C. 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D. 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】先确定两个抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律确定抛物线平移的情况． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， 而点向左平移2个，再向下平移3个单位可得到， 所以抛物线向左平移2个，再向下平移3个单位得到抛物线y=x2+2x+3． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式；二是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式． 7. 如图，在菱形中，连接，以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点E．再分别以点A，E为圆心，大于的长为半径在上方画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G．若，则的度数为（ ） A. 30° B. C. D. 15° 【答案】B 【解析】 【分析】由作图可知，根据菱形的性质得到，，进而得到，，根据三角形内角和，依次求出、的度数即可， 本题考查了作垂线，菱形的性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：由作图可知， ∵菱形， ∴，， ∴，， ∴，， 故选：B． 8. 如图，是一个等腰直角三角形纸板，，在此三角形内部作一个正方形，使在边上，点，分别在，边上．将一个飞镖随机投掷到这个纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用阴影的面积除以的面积即可． 【详解】解：如图， 是一个等腰直角三角形，，设， 的面积为，， 四边形为正方形，是一个等腰直角三角形 ∴， ， 阴影区域的面积为， 飞镖落在阴影区域的概率为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 9. 如图，在矩形中，E，F分别是边上的点，将沿折叠，点B的对应点G恰好落在边上．若，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．过点E作，由折叠可知：，，由勾股定理可得，再得，设，则，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点E作， 由题意可得四边形是矩形， ， 由折叠可知：，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ． 故选：C． 10. 如图1，E为矩形的边上的一点，点P从点B出发，沿折线运动到点D停止；同时点Q从点B出发，沿运动到点C停止，点P，Q的运动速度都是．设运动时间为的面积为，若y与x的对应关系如图2所示，则的面积是（ ） 图1 图2 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当，，此时点运动到点时，点运动到点时，则根据面积得出，结合图象，当时，点P运动到点D，得出，再证明，结合勾股定理，得出，最后由三角形面积公式可得出答案．本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的判定与性质，矩形的性质与判定、勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握数形结合思想方法是解题的关键． 【详解】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当，， 此时点运动到点时，点运动到点时， 过点作于， 此时， ∵四边形是矩形 ∴ ∵ ∴ ∴ 设 则 ∵结合图象，当时，点P运动到点D ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∵ ∴ 则 即 解得 则 ∴ 则的面积为． 故选：B． 二、填空题 11. 已知函数，则x满足的条件是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了求函数的自变形及分式、二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．根据分式及二次根式有意义的条件分析求解即可． 【详解】解：∵函数， ∴，且． ∴且． 故答案为：且． 12. 第五套人民币中的5角硬币色泽为镍白色，正、反面的内周边缘均为正十一边形，则其内角和为______． 【答案】1620° 【解析】 【分析】边形的内角和是，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和． 【详解】根据多边形的内角和公式，得． 故答案为：1620°． 【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容，此题难度不太． 13. 不等式组的最小整数解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，不等式组的整数解问题，掌握一元一次不等式组的解法步骤是解本题的关键． 分别解不等式组中的两个不等式，确定不等式组的解集，再确定最小整数解即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的最小整数解为：． 故答案为：． 14. 如图，边长为2的正方形内接于，分别过点A，D作的切线，两条切线交于点P，则图中阴影部分的面积是____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，切线的性质，掌握正多边形与圆的性质是正确计算的前提，判定四边形是正方形是解决问题的关键．连接，根据切线的性质得到，根据正方形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图所示，连接， 、是的切线， ，， ∴ 四边形是正方形， ，， ， 四边形是正方形， ， ， ， 阴影部分面积 ， 故答案为：． 15. 在边长为1的等边三角形中，D为直线上一点，，点E在直线上，且，则的长为________． 【答案】或3 【解析】 【分析】分点在线段的延长线和反向延长线上，两种情况进行讨论求解即可，当点在线段的延长线上时，推出为等腰三角形，三角形外角的性质求出，根据等边对等角，推出为含30 度角的直角三角形，求出的长，进而求出的长即可，当点在线段的反向延长线上时，过点作，过点作，得到，根据等边三角形和等腰三角形的性质，结合平行线分线段成比例进行求解即可． 【详解】解：当点在的延长上时，如图， ∵边长为1的等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点在的反向延长上时，如图， 过点作，过点作， 则：， ∵为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或； 故答案为：或3． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，以及平行线分线段成比例，掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 三、解答题 16. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，负整数指数幂以及解整式方程： （1）原式分别化简，，，然后再进行加减运算即可； （2）通过去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可 【详解】解：（1） ； （2）， 去分母得，， 去括号得，， 移项，合并，得，， 系数化为1，得：， 经检验，是原方程的解， 所以，分式方程的解为： 17. 师上学校初中部全体同学参加了希望工程捐款活动，随机抽取了部分同学捐款的情况进行统计，并绘制了如下两幅不完整统计图． （1）求本次共抽查学生的人数，并将条形统计图补充完整； （2）捐款金额的众数是  ，中位数是  ； （3）请你估算师上学校初中部1000名学生中捐款大于等于20元的学生人数． 【答案】（1）50， 补全条形统计图如下： （2）10，12.5 （3）220 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，求众数，用样本估计总体等等，正确读懂统计图是解题的关键． （1）由题意可知，捐款15元的有14人，占捐款总人数的，由此可得总人数，将捐款总人数减去捐款5、15、20、25元的人数可得捐10元的人数，进而补全统计图即可； （2）从条形统计图中可知，捐款10元的人数最多，由此可知众数；中间两个数据的平均数即为中位数； （3）用八年级学生的总人数乘以样本中捐款20元及以上的人数所占比例即可得到答案． 【小问1详解】 解：本次抽查的学生有：（人）， ∴捐款10元的有（人）； 【小问2详解】 解：由条形统计图可知，捐款10元人数最多， ∴捐款金额的众数是10， 中位数是（元）， 故答案为：10，12.5； 【小问3详解】 （人）； ∴师上学校初中部1000名学生中捐款大于等于20元的学生人数估计有220人． 18. 如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作． （1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1） 方法不唯一，如图所示． （2）证明：∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵点在以为直径的圆上， ∴， ∴． 又∵为的切线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵在和中， ∴． ∴． 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图，过点作的垂线，交于点，即可求解； （2）根据题意切线的性质以及直径所对的圆周角是直角，证明，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得出，进而证明，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作圆的切线，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 19. 某“综合与实践”小组开展测量某建筑物高度的活动，他们制订了测量方案，测量报告如下． 课题 测量某建筑物的高度． 测量工具 皮尺，旗杆等． 设计方案 建筑物正前方有一根高度是17米的旗杆，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角为，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离是20米，梯坎坡长是9米，梯坎坡度． 参考数据 结果精确到0.1米，参考数据：． 请根据以上测量结果，求建筑物的高度． 【答案】建筑物的高度约为37.7米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，如图，过点作，垂足为，延长交于点，由题意得：，，米，，，从而可得，再根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算可求出和的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：，，米，，， ∴， ∵梯坎坡度， ∴， ∴设米，则米， 在中，（米）， ∵米， ∴， 解得：， ∴米，米， ∵米， ∴米， 在中，米， ∴（米）， ∴建筑物的高度约为37.7米． 20. 放风筝是人们非常喜欢的一种传统游戏活动，至今已有两千多年的历史，它最早是用来祈福和观测气象变化的，后来逐渐演变为娱乐和竞技的工具．数学中有一种四边形，酷似风筝形状，故名“筝形”．如图，在平面直角坐标系中，四边形是一个“筝形”，已知垂直平分于点H，，，．直线与反比例函数的图象交于点A，，点C在反比例函数第三象限的图象上，点H在y轴上． （1）求反比例函数的解析式及点A的坐标． （2）求点H的坐标． （3）以A为圆心，的长为半径作，直接写出图中阴影部分的面积． 【答案】（1），点． （2） （3）阴影部分的面积为． 【解析】 【分析】（1）先求得点，即可求得反比例函数的解析式，联立，解方程组即可求解； （2）过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，利用证明求得，，据此求解即可； （3）利用待定系数法求得直线的解析式，联立求得，利用，求解即可． 【小问1详解】 解：一次函数的图象过点， ， ， 点． 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的解析式为． 联立方程组可得， 解得或， 点； 【小问2详解】 解：如图，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F， ，，， ． 垂直平分于点H，点H在y轴上， ， ， ． ，， ， ， ，， ， 点； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， 直线的解析式为． 联立， 解得或， ， ． ， ， ． ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式、扇形的面积、勾股定理、全等三角形的判定和性质和反比例函数与一次函数的交点问题．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 21. 南阳市历史文化厚重，是楚汉文化的重要发祥地，同时也是“中国月季之乡”．某苗圃经营商从批发市场购进甲、乙两种月季花进行售卖．若每棵甲种月季花的进价比每棵乙种月季花的进价少5元，且用1200元购进甲种月季花的数量与用1400元购进乙种月季花的数量相等． （1）求购进甲、乙两种月季花的单价分别为多少元． （2）该苗圃经营商计划购进甲、乙两种月季花共100棵，且乙的数量不多于甲的数量的3倍，已知甲的售价是40元/棵，乙的售价是50元/棵，试问如何购买能使利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1）甲种月季每棵30元，乙种月季每棵35元 （2）购进甲种月季25棵时，该苗圃获得利润最大，为1375元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用： （1）设甲种月季每棵x元，乙种月季每棵元，根据用1200元购进甲种月季花的数量与用1400元购进乙种月季花的数量相等，列方程求解； （2）设该苗圃获得利润为y元，购进甲种月季a棵，根据题意，列出方程，然后根据购进两种月季的总数量共100棵，且乙的数量不多于甲的数量的3倍，求出a的范围，求其最大利润． 【小问1详解】 解：设甲种月季每棵x元，乙种月季每棵元，由题意得， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则乙种月季的价格为：元， 答：甲种月季每棵30元，乙种月季每棵35元； 【小问2详解】 解：设该苗圃获得利润为y元，购进甲种月季a棵，则购进乙种月季棵，由题意得， ， ∵ ∴， ∵， ∴当时，y有最大值，即， 即：购进甲种月季25棵时，该苗圃获得利润最大，为1375元． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），点是抛物线上一点． （1）求抛物线的表达式及点A的坐标． （2）设直线的函数表达式为，请结合图象直接写出不等式的解集． （3）平行于x轴的直线l交抛物线于点，，交直线于点，若，求的取值范围． 【答案】（1），点A的坐标为 （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了求出抛物线的解析式和x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把代入抛物线，求出抛物线的解析式，再求出点A的坐标即可； （2）根据图象求出不等式的解集即可； （3）求出抛物线的顶点坐标为，对称轴是直线，根据二次函数性质求出，由，结合图象，可知直线l在点C的上方，抛物线顶点的下方，求出直线的函数表达式为，令，得出，求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵点是抛物线上一点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为， 令， 解得，． ∴点A的坐标为． 【小问2详解】 解：根据函数图象可知，当或时，一次函数的图象在二次函数图象的上面， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：∵直线l平行于x轴， ∴，即点关于对称轴对称， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴是直线， ∴，由，结合图象，可知直线l在点C的上方，抛物线顶点的下方， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的函数表达式为， 令， 解得， ∴． ∴． 23. 如图，是等腰三角形，．点D在直线上，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到，连接 （1）问题发现： 如图1，若__________，与的数量关系是___________________． （2）类比探究： 如图2，若，（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． （3）拓展应用： 若，过点E作于点F，，请直接写出的长． 【答案】（1）， （2）不成立，，； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵线段绕点D逆时针旋转得到， 连接， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， 同理得出 ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， ∴； （3）9或7 【解析】 【分析】（1）先证明，都是等边三角形，再通过证明即可作答． （2）先证明，都是等腰直角三角形，根据勾股定理列式得出，，再通过两组对边分别成比例，夹角相等的三角形来证明即可作答． （3）注意“点D在直线上”，因此要进行分类讨论，即：当D在线段上时、当D在的延长线上时、当D在的延长线上，这三个情况，且结合图形，运用数形结合思想作答即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴是等边三角形 ∴， ∵线段绕点D逆时针旋转得到，连接， ∴， ∴是等边三角形， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：依题意，点D在直线上， ∵ ∴， ∵线段绕点D逆时针旋转得到，连接， ∴， 则， ∴ 当D在线段上时，如图： ∵， ∴， 过点B作 ∵ ∴， ∴， ∴ ∵线段绕点D逆时针旋转得到，连接， ∴， 则， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， ∴， 则， ∵，且， ∴， ∴， 则， 此时； 当D在的延长线上时，如图： ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， ∴， 设 ∵ ∴在 ∴ ∴ 则 ∴ 当D在的延长线上时，过点D作的延长线与点H，如图： ∵ ∴ ∴ 设 设，则， ∴， 则， ∵，， ∴， ∵线段绕点D逆时针旋转得到，连接， ∴ ∴ ∴ 则 即． 综上：或7 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $