精品解析：河南省郑州市二七区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年河南省郑州市二七区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 对称性揭示了自然的秩序与和谐，是数学之美的体现．在数学活动课中，同学们利用画图工具绘制出下列图形，其中是中心对称图形的是（　　） A. 三叶玫瑰线 B. 笛卡尔心形线 C. 蝴蝶曲线 D. 四叶玫瑰线 2. 在数轴上表示一个不等式组解集如图所示，则这个不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A. B. C D. 4. 正十边形的外角和的度数为（　　） A. 1440° B. 720° C. 360° D. 180° 5. 生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种性质相同的图形拼接而成的．像这样的用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．如果只用一种几何图形镶嵌整个地面，下列哪一种不能单独镶嵌成一个平面图形．（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 6. 在中，，，，则（ ） A. 2 B. C. D. 7. 兔子的三个洞口A、B、C构成，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点 C. 三条边的垂直平分线的交点 D. 三个角的角平分线的交点 8. 已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A B. C. D. 9. 先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于，先要假设这五个正数（ ） A. 都大于 B. 都小于 C. 没有一个小于 D. 没有一个大于 10. 如图，E，F分别是平行四边形边，上的点，与相交于点P，与相交于点Q，若，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在平行四边形中，，则______ 12. 如图，，两地被池塘隔开，小明先在外选一点，然后测出，的中点，，若的长为16米，则，两地间的距离是_______米． 13. 不等式组的所有整数解的和为__________． 14. 若方程有增根，则a的值是____． 15. 如图，在矩形中，为的中点，连接、，分别取、的中点、，以、为顶点作第二个矩形，使、在上．在矩形中，重复以上的步骤继续画图若，矩形的周长为30，则第个矩形的边长分别是_______，______． 三、解答题（本大题共7个小题，共75分） 16. 《名校课堂》上有这样一道题：“先化简，再求值：，然后从、0、1、2中选取一个作为x的值代入求值．” 下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学：解：原式； 乙同学：解：原式； （1）甲同学解法的依据是_______，乙同学解法的依据是_______；（填序号） ①分式的基本性质； ②等式的基本性质； ③乘法分配律； ④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 17. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形． （1）在网格图中画出先向右平移3个单位，再向上平移4个单位长度后的． （2）画出格点绕点E顺时针旋转后的． 18. 如图所示，是等边三角形，点是的中点，延长到，使． （1）求的度数？ （2）用尺规作图的方法，过点作，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹） （3）求证：． 19. 端午节吃粽子，是中国传统习俗．某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题： （1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 20. 如图，在四边形中，，，连接，，，动点P从点A出发，沿线段匀速运动，同时动点Q从点C出发，沿线段匀速运动．当P，Q其中一点到达顶点，另一点也停止运动．设运动的时间为． （1）求证：四边形为平行四边形． （2）若点P的运动速度为，点Q的运动速度为，当四边形为平行四边形时，求t的值． 21. （阅读理解） 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，其中，求证：． 证明：， 因为，所以，故． 【新知理解】 （1）比较大小：______．（填“>”，“=”，“<”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示，其面积分别为，请比较的大小关系． 【拓展应用】 （3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且），试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？ 22. 问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中，，将从图1的位置开始绕点逆时针旋转，得到（点，分别是点，的对应点），旋转角为，设线段与相交于点，线段分别交，于点， 特例分析：（1）如图2，当旋转到时，旋转角的度数为 ； 探究规律：（2）如图3，在绕点逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论． 拓展延伸：（3）当是等腰三角形时，求旋转角的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年河南省郑州市二七区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 对称性揭示了自然的秩序与和谐，是数学之美的体现．在数学活动课中，同学们利用画图工具绘制出下列图形，其中是中心对称图形的是（　　） A. 三叶玫瑰线 B. 笛卡尔心形线 C. 蝴蝶曲线 D. 四叶玫瑰线 【答案】D 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：D． 2. 在数轴上表示一个不等式组的解集如图所示，则这个不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组．根据“小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”即可得． 【详解】解：不等式组的解集是． 故选：C． 3. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案． 【详解】解：A、是整式的乘法，故此选项不符合题意； B、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意； C、不是因式分解，故此选项不符合题意； D、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握概念是解题的关键． 4. 正十边形的外角和的度数为（　　） A. 1440° B. 720° C. 360° D. 180° 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形的外角和定理即可得到结果； 【详解】因为多边形的外角和是． 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，准确记忆是解题的关键． 5. 生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种性质相同的图形拼接而成的．像这样的用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．如果只用一种几何图形镶嵌整个地面，下列哪一种不能单独镶嵌成一个平面图形．（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 【答案】C 【解析】 【分析】正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等，②顶点公共，③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°，判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之不能． 【详解】解：A.等边三角形的内角为60°，（个），所以6个等边三角形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意； B. 正方形内角为90°，（个），所以4个正方形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意； C. 正五边形内角为108°，（个），所以正五边形不能在一个顶点处实现内角之和等于360°，符合题意； D. 正六边形的内角为120°，（个），所以3个正六边形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查正多边形镶嵌，掌握平面镶嵌的条件是解题的关键． 6. 在中，，，，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查含的直角三角形性质、勾股定理等知识，根据题意，作出图形，由含的直角三角形性质得到，再由勾股定理求解即可得到，熟记直角三角形性质，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 在中，，，，则， 由勾股定理可得， 故选：B． 7. 兔子的三个洞口A、B、C构成，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点 C. 三条边的垂直平分线的交点 D. 三个角的角平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，即可求解. 【详解】解：猎狗到三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在的三条边垂直平分线的交点． 故选：C 8. 已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【详解】解：由图象可得：当时，， ∴不等式的解集为， 故选：A． 9. 先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于，先要假设这五个正数（ ） A. 都大于 B. 都小于 C. 没有一个小于 D. 没有一个大于 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，找出至少有一个大于或等于的反面，得到答案． 【详解】解：已知五个正数的和等于1， 用反证法证明这五个正数中至少有一个大于或等于， 先要假设这五个正数都小于， 故选：B． 10. 如图，E，F分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点P，与相交于点Q，若，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键在于求出各三角形之间的面积关系．根据平行四边形的面积与三角形的面积公式可得三角形的面积，连接、两点，由三角形的面积公式我们可以推出，，所以，，因此可以推出四边形的面积就是．再根据面积差可得答案． 【详解】解：连接，过点作于点， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 的边上的高与的边上的高相等， ， ， 同理：， ， ，， ， 故阴影部分面积为． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在平行四边形中，，则______ 【答案】##130度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角相等． 根据平行四边形的性质即可进行解答． 【详解】解：如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：． 12. 如图，，两地被池塘隔开，小明先在外选一点，然后测出，的中点，，若的长为16米，则，两地间的距离是_______米． 【答案】32 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．根据三角形中位线定理即可得到结论． 【详解】解：点，是，的中点， 是的中位线， （米， 答：，两地间的距离是32米， 故答案为：32． 13. 不等式组的所有整数解的和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，进而求解即可．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． ∴所有整数解为，，，，1，2 ∴． 故答案为：． 14. 若方程有增根，则a的值是____． 【答案】3 【解析】 【分析】此题主要考查了分式方程的增根，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解：去分母，得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程，可得：． 故答案为：3． 15. 如图，在矩形中，为的中点，连接、，分别取、的中点、，以、为顶点作第二个矩形，使、在上．在矩形中，重复以上的步骤继续画图若，矩形的周长为30，则第个矩形的边长分别是_______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了规律型图形的变化类，解决本题的关键是利用矩形的性质和三角形中位线定理，难度较大．根据四边形是矩形，为的中点，，可得，即可证明，进而可求出矩形的边长为，，再根据、分别是、的中点，可得矩形的长和宽之比为，可得第二个矩形的边长为，宽为，第三个矩形的边长为 和，进而可得第个矩形的边长． 【详解】解：四边形是矩形， ， 为的中点， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 矩形的周长为30， ，， 、分别是、的中点， 矩形的长和宽之比为， 在中，，则宽为， 同理可得：第三个矩形的边长为 和， 则可得：第个矩形的边长分别是，． 故答案为：，． 三、解答题（本大题共7个小题，共75分） 16. 《名校课堂》上有这样一道题：“先化简，再求值：，然后从、0、1、2中选取一个作为x的值代入求值．” 下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学：解：原式； 乙同学：解：原式； （1）甲同学解法的依据是_______，乙同学解法的依据是_______；（填序号） ①分式的基本性质； ②等式的基本性质； ③乘法分配律； ④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）②；③ （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查分式的性质及相关计算，熟练掌握分式的性质是解题的关键，（1）根据乘法分配律，以及分式的基本性质进行计算，即可解答；（2）若选择甲同学的解法：先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；若选择乙同学的解法：先利用乘法分配律计算分式的乘法，再算加减，即可解答． 【小问1详解】 解：（1）甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律， 故答案为：②；③； 【小问2详解】 （2）若选择甲同学的解法： 若选择甲同学的解法： ； 当的值为时，分式的分母为，分式无意义， 故当时，原式． 若选择乙同学的解法： ． 当的值为时，分式的分母为，分式无意义， 故当时，原式． 17. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形． （1）在网格图中画出先向右平移3个单位，再向上平移4个单位长度后的． （2）画出格点绕点E顺时针旋转后的． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质． （1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可． 【小问1详解】 如图，即为所求； 【小问2详解】 如图，即为所求． 18. 如图所示，是等边三角形，点是的中点，延长到，使． （1）求的度数？ （2）用尺规作图的方法，过点作，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹） （3）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】此题综合考查了等边三角形的性质、基本作图和等腰三角形的性质．全等和等腰三角形都是证明线段相等的常用方法． （1）根据等边三角形的性质和三角形的外角的性质进行求解； （2）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法进行求作； （3）根据等腰三角形的三线合一进行证明． 【小问1详解】 解：是等边三角形， ， 又，为外角， ； 【小问2详解】 如图所示： 【小问3详解】 证明：是等边三角形，是中点， ，又， ， ， 又， ． 19. 端午节吃粽子，是中国传统习俗．某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题： （1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）商场节后每千克A粽子的进价是10元； （2）商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该商场节后每千克粽子的进价是元，则节前每千克粽子的进价是元，根据节前用240元购进粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．列出分式方程，解方程即可； （2）设该商场节前购进千克粽子，则节后购进千克粽子，根据总费用不超过4600元，列出一元一次不等式，解得，再设总利润为元，由题意列出与的函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该商场节后每千克粽子的进价是元，则节前每千克粽子的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：该商场节后每千克粽子的进价是10元； 【小问2详解】 设该商场节前购进千克粽子，则节后购进千克粽子， 由题意得：， 解得：， 设总利润为元， 由题意得：， ， 随着的增大而增大， 当时，取得最大值， 答：该商场节前购进300千克粽子获得利润最大，最大利润是3000元． 20. 如图，在四边形中，，，连接，，，动点P从点A出发，沿线段匀速运动，同时动点Q从点C出发，沿线段匀速运动．当P，Q其中一点到达顶点，另一点也停止运动．设运动的时间为． （1）求证：四边形为平行四边形． （2）若点P的运动速度为，点Q的运动速度为，当四边形为平行四边形时，求t的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理： （1）根据平行线的判定证明，再利用平行四边形的判定即可得证； （2）由题意可知，，，由勾股定理得，再由平行四边形的性质得，即可解决问题． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； 小问2详解】 解：∵，，， ∴， 四边形是平行四边形， ，， 由题意可知，，， 当四边形是平行四边形时，点在线段上时，此时，， ， ， 解得：． 21. （阅读理解） 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，其中，求证：． 证明：， 因为，所以，故． 新知理解】 （1）比较大小：______．（填“>”，“=”，“<”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示，其面积分别为，请比较的大小关系． 【拓展应用】 （3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且），试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？ 【答案】（1）（2）（3）小莹的购货方式更合算，理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了作差法比较两个数的大小，多项式乘以多项式，整式加减运算、分式加减法的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题中的方法作差解答； （2）先分别表示出两个平行四边形的面积，再利用作差法计算判断； （3）先分别表示两人两次购买苹果的平均单价，再用作差法计算比较大小即可判断． 【详解】（1）∵， ∴，即 故答案为：； （2）， ， ． ， ， ，即． （3）小亮两次购买苹果共花费元，两次购买苹果的平均单价为元/千克； 小莹两次购买苹果共花费20元，两次购买苹果的平均单价为元/千克； ， m，n是正数，且， ， ， 小莹的购货方式更合算． 22. 问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中，，将从图1的位置开始绕点逆时针旋转，得到（点，分别是点，的对应点），旋转角为，设线段与相交于点，线段分别交，于点， 特例分析：（1）如图2，当旋转到时，旋转角的度数为 ； 探究规律：（2）如图3，在绕点逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论． 拓展延伸：（3）当是等腰三角形时，求旋转角的度数． 【答案】（1）；（2）见详解；（3）或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质等；掌握判定方法及性质，能根据等腰三角形的顶点不同进行分类讨论是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质得和，即可求解； （2）由等腰三角形的性质及旋转的性质得，，由可判定，即可得证； （3）①当时，由旋转的性质得，由，即可求解； ②当时，同理可求解；③当时，同理可求解． 【详解】（1）解：如图， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：， ， 由旋转得：， ，， ， 在和中， ， ， ； （3）解：①如图，当时， 由旋转得：， ， ， ， ， ； ②如图，当时， 由①得：， ， ， ， ； ③如图，当时， 由①得：， ， ， ， ， 不合题意，舍去； 综上所述：旋转角的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $